Funcion Cuadratica - Cuadernillo de Practica

1
CUADERNILLO DE PRÁCTICA
MATEMÁTICA II
4to. año EyG - 2012
FUNCIÓN CUADRÁTICA. ECUACIÓN CUADRÁTICA.
1) Calcular el valor del discriminante y marcar con X el tipo de raíces de f(x) = ax2+bx+c
A b
c
no tiene raíces reales
raíces reales ≠
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 raíces reales =
1 -4 -4
-1 -3 -4
-2 2 -1
1
0 -3
2) Calcular el/los valores de k para los cuales las siguientes funciones tienen dos raíces reales iguales
y escriban sus fórmulas:
a) f(x) = x2 + 2kx + k
b) f(x) = x2 + (k-1)x –k
3) Expresar c/u de las siguientes funciones en la forma que se pide:
a) f(x) = x2-4x+3, en forma canónica es f(x) = ……………………….
1
b) f(x) = − 2 (𝑥 + 2)(𝑥 − 3), en forma polinómica es f(x)= ………………..
c) f(x)= 2(x-3)2 -2, en forma polinómica es f(x) = ...……………
d) f(x) = -x2 +2x+3, en forma factorizada es f(x)= ……………………..
4) Una función cuadrática tiene raíces x1 = -5 y x2 = 4, dar su fórmula en forma canónica siendo a = -3.
5) Expresar en forma polinómica la fórmula de una función cuadrática cuyo vértice es V= ( 21 ;1) y el
gráfico interseca al eje y en y = 32 .
6) Una función tiene raíces x1 = 3 y x2 = -1 y contiene al punto (1;-2), dar su expresión canónica
7) Obtener en forma factorizada la fórmula de una función cuadrática que tiene raíces x1 = -5 y x2 = -4
y su gráfico contiene al punto P=(-1;6).
8) Hallar la expresión canónica de la función cuadrática cuyo gráfico corta al eje x en x = 6 y su vértice
es V = (-2;-49).
9) Hallar la fórmula y dar las coordenadas del vértice de una función cuyo gráfico es como el de f(x) =
x2, pero trasladado 5 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba.
10) Indicar las coordenadas del vértice y dar la fórmula de una función cuadrática cuyo gráfico es igual
al de f(x) = x2 , desplazado 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
11) Una función cuadrática tiene raíces x1 = -5 y x2 = 4, dar su fórmula en forma canónica siendo
a = -3.
12) Expresar en forma factorizada:
a) f(x) = x2-2x-3 b) g(x) = x2+8x +16
c) h(x)= -2x2-8x-6
13) Al poner a prueba un nuevo automóvil se comprobó que para velocidades mayores que 10 km/h y
menores que 150 km/h, el rendimiento de nafta r (en km/litro) está relacionado con la velocidad v (en
km/h) mediante la función
v(km/h)
40
110
r(v) = 0,002v(180-v).
r(km/l)
6,4
a) Completar la tabla:
b) Averiguar a qué velocidad el rendimiento es máximo y calcular dicho rendimiento
2
14) ¿Cuál es la máxima superficie que se puede abarcar con una soga de 100 m dispuesta en forma
rectangular sobre el piso?
15) Los ingresos mensuales de un fabricante de zapatos están dados por la función
I(z)=1000z -2z2,donde z es la cantidad de pares de zapatos que fabrica en el mes.
Realizar el gráfico aproximado de la función y responder:
a) Qué cantidad de pares debe fabricar mensualmente para obtener el mayor ingreso?
b) Cuáles son los ingresos si se fabrican 125 pares zapatos?
c) A partir de qué cantidad de pares comienza a tener pérdidas?
16) En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio se reprodujeron rápidamente, pero los
recursos de isla comenzaron a escasear y la población decreció. El número de iguanas a t años de
haberlas dejado en la isla está dado por: i(t) = -t2 +22t +112.Calcular:
a) La cantidad de años en los cuales la población de iguanas aumentó.
b) En qué momento la población de iguana se extingue?
17) Hallar la expresión polinómica de la función cuadrática f que reúne las condiciones: coeficiente
cuadrático es 3 y tiene dos raíces reales cuya suma es 6 y cuyo producto es 8.
18) Una función cuadrática f(x) de coeficiente lineal 6 tiene dos raíces reales cuya suma es 2 y cuyo
producto es -35. Hallar su expresión polinómica.
19) El producto de las raíces de una función cuadrática es -9, su suma es nula y el gráfica interseca el
eje y en P=(0;18). Escribir su expresión en forma polinómica.
20) Las raíces de una familia de funciones cuadráticas suman 4, su producto es -21 y las ramas de sus
gráficas van hacia abajo. Escribir la fórmula de una de estas funciones en forma polinómica.
21) Resolver las siguientes ecuaciones:
a) x(x2-3x)-4(x-1) = x3
d)
2𝑥−1
𝑥
𝑥
= −3𝑥+4
b) x2+x+1=0
e)
(𝑥−√2)
√3
=
√12
(𝑥+√2)
c) (x+1)2 = (1-3x)2
f)
𝑥+1
𝑥
= 2𝑥
NÚMEROS COMPLEJOS.
1) Completar:
a ) z  1  2i  z  ..........
b) z  - π - 3i  - z  ..........
c) - z  - 3  4i  z  ..........
d) z  5 - i  z  ..........
3
e ) - z   2i  z  .........
4
f) z  - 1  5i  - z  ..........
2) Expresar en forma binómica y representa gráficamente los siguientes números
complejos:
z1=(0;3)
z2=(-2;0)
z3=(2;2)
z4=(1;-4)
3) Expresar en forma de par ordenado y representa gráficamente los siguientes números
complejos:
z1=2+i
z2=-2–3i
z3=4–2i
z4=5i
3
4) Escribir en forma binómica y de par ordenado los siguientes números complejos:
-
2
-
1
5
2
-3
-1
-3
5) Representar z, -z y z si z = -3 + 2i. Luego expresa a cada uno de estos números
complejos en forma de par ordenado
6) Resolver:
a) (3-5i)(1+2i)=
e) 3i22 - 5i7 + i31=
i)
b) 7i(1-i)(7-4i)=
f) –i18 + 2i10- 7i29=
j)
3−4i
) √−169 =
2+3i
c) (
d)
−3𝑖(1+𝑖)
5−2𝑖
i)  i3 

20

3+2𝑖
𝑖
(6+2𝑖)(5+3𝑖)
g) 6i63 - i11+ 4i103-i=
5
=
h) (
6
∗
6−12𝑖
1+2𝑖
) ∗ 𝑖 24 =
2
 i2 5 7
 . i1 4 5 
j) 
 i1 4 6


: i1 5 
+ (6 − 𝑖)2 − 3𝑖 2 =
2+2𝑖
k)
=
2
(3𝑖 50 −2𝑖 23 )
2−3𝑖
 2 6 -3 1 2 0
.i

  i 


k)  
 5 6 -2 1 0 
.  i 

i
 


=
20

7) Hallar los valores de z que verifican las ecuaciones:
a) 2z-3i+1=zi-2
b) z2+3iz+4=0
c)z+i=4+zi+3i
d)
2z+(3+2i)(4−i)+4i
2−i
8) Resolver las ecuaciones:
a) –x2+x=
5
b) (2x+1)2+9=0
2
e) x2-2x+5 =0
1
f) 2 𝑥 2 − 2𝑥 = −4
c) x2-2x=-10
d) x2-4x+5=0
g) x(x-2)=-10
h) x(-4+x)+8=0
= 7 + 6i
9) Colocar V o F justificando tu respuesta:
a) (2+3i)2= -5+12i
b)
 2 i    4i 
d)
c)
6 6
4 3

 
 4  3 i . i11
3
 5
 1   9   16   36   4
4
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
1) Extraer factor común:
A(x)=-x4+5x3
B(x)= 24x5+18x4-30x2
D(x)= 2x4-x3-6x2
E(x)= -x3+2x2
C(x)=4x3-2x2+6x-3
F(x)=
15 4 21 3 9
x 
x 
x
16
40
28
2) Expresar como producto las diferencias de cuadrados:
F(x) = x4-25 G(x)=36 – x2
H(x)=x6-121 I(x) = x2-9
A(x)= 1 
1 2
x
4
E(x)= x14- x10
B(x)= x4 -16=
C(x)=
25 6 9
x 
16
4
J(x)= -81+x4
D(x)= 
4 2
m 4
9
K(x)= –x8 + 64
3) Expresa como cuadrado de binomio:
P(x)= 4x2-4x+1
S(x) = x2+3x+
N(x) =25x6+20x3+4
9
=
4
T(x) = x6+4x3+4
G(x) = x2-
4
4
x+ =
3
9
M(x) = x2-6x+9
4) Expresa como cubo de binomio :
1 3 3 2 3
x  x  x 1
8
4
2
3 2 3
1
3
R(x) = x  x  x 
2
4
8
D(x) = x3+15x2+75x+125
T(x) =
P(x) = x3-12x2+48x-64
5) Escribe V o F según corresponda:
a) x2-2x+1 = (x+1)2
d) 1+3x2-3x-x3 =(1-x)3
b) x2+8x+16 = (x+4)2
e) x3-27x2+9x-27 =(x-3)3
c) x2+2x-1 = (x-1)2
f) x3+9x2+27x+27 = (x+3)3
6) Hallar las raíces de los siguientes polinomios:
K(x)=3x7-12x5
L(x)=-x3+16x
E(x) = x2+x-12
N(x) = 2x2+4x-6
M(x)=2x5-32x
Ñ(x) = x2-5x+6
O(x) = 3x2+9x+6
7) Factorizar :
A(x) = 3x3+5x2-11x+3
B(x)= x3-3x+2
C(x) =3x3-14x2+17x-6
D(x) = x3-6x2+12x-8
E(X) = x4+2x3-3x2-4x+4
F(x) = x4-7x3+18x2-20x+8
G(x) = (x-2)4 (x2-4)3
J(x) = x4+6x3+13x2+12x+4
L(x) = x3-7x2+11x-5
M(x) = -x3+x2+5x+3
N(x) = 3x4-6x2-9x-6
Ñ(x) = 2x3+6x2+6x+2
O(x) = (2x2-2)3
P(x) = x3+3x2-4
Q(x) = 2x4-18x2
R(x) = x3+x2+1/4x
S(x)= -x4+3x3-9/4x2
T(x) = x5-2x4+x3
U(x) = x4-4x3-2x2+12x+9
V(x) = x4-2x3+5x2-8x+4
W(x) = x5-3x4+x3-3x2
X(x) = x4+x3-x2-x
Y(x) = x4-x3+64x-64
Z(x) = -4x3-2x2+4x+2
H(x) = 5x3 -15x2 +15x –5
I(x) = 2x3 -4x2 -10x+12
A´(x) = x3 + 1/2x2 + 4x +2
B´(x) = (x2 -25) (2x-4)2
C´(x) = 4x3 -4x - 8x2 + 8
8) Dar el orden de multiplicidad de c/u de las raíces de los polinomios A, C, D,H,M y V
5
9) Escribir la expresión factorizada de un polinomio P(x) de grado 4, coeficiente principal 3, que tiene
como raíces x = 2 (con grado de multiplicidad 2), x = -1 y x = 4.
10) Ñ(x) es un polinomio, de grado 3, con a=1 y raíces x=2, x=-4 y x=5. Expresar Ñ(x) como producto
de polinomios primos.
11) P(x) es un polinomio de grado seis, con coeficiente principal 6 y seis raíces que son los primeros
múltiplos positivos de 6. Expresar P(x) factorizado.
12) Con una plancha de cartón de 10 cm de largo y 8 cm de ancho se fabrican cajas sin tapa.
a) Hallar la expresión polinómica correspondiente al volumen de la caja.
b) Calcular las dimensiones de una caja, cuyas medidas son proporcionales a la anterior, si el volumen
de la misma es de 48 cm3.
13) Se quiere construir ascensores para uso exclusivo de personas discapacitadas en la boca de los
subterráneos. Los constructores han establecido que por cada ascensor para colocar se tiene que
excavar, desde la vereda, un hueco con forma de prisma recto, de base cuadrada de x metros de
lado y profundidad igual al quíntuplo de la base. La base y las paredes del hueco deben estar
totalmente cubiertas con cemento y deben llevar, además, a lo largo de
sus cuatro aristas verticales, potente vigas de hierro para evitar su distorsión:
una superficie cuadrada igual a la base debe quedar libre para la puerta.
Para presupuestar la obra, se consideran los siguientes costos:
Materiales
Uso de máquina excavadora
Cemento
Vigas de hierro
Costo
$120 el m3 para excavar
$200 el m2
$60 el m
Se arma una fórmula polinómica que permita calcular el costo total C(x)
En función de la medida del lado de la base, que tiene los siguientes componentes:
C(x)= costo de máquina excavadora + costo de cemento + costo de vigas
a) En función de la medida del lado de la base, encontrar expresiones para:
- el costo de la máquina excavadora
- el costo del cemento
- el costo total
- el costo de las vigas de hierro
b) calcular las dimensiones del hueco del ascensor par que el costo total sea de $55800.
FUNCIONES POLINOMICAS
1) Indicar, según el gráfico, si las raíces son de orden par o impar:
6
x1=2
x2=-3
x1=-2
x2=-1
x3=1
2) Obtener la fórmula de c/u de las siguientes funciones polinómicas:
x1=0
x2=2
a) .función de grado 4
b) f de grado 3
c) f de grado 3
.x1=3 es una raíz doble
.x1=-5; raíz simple
.ptos de intersección de
.x2= 2 es una raíz doble
.x2=-1; raíz doble
la gráfica con el eje x:
.f(-1) =2
.f(0) = 4
(-2;0),(-1:0)y (1/2;0)
.f(-3) = -14
3) Reconstruir en cada caso la fórmula de cada función polinómica:
a) f(x) es de grado 3
b) g(x) de grado mínimo
x1 = -4 es una raíz simple
12
su gráfico es:
x2 = 3 raíz doble
f(4) = 2
c) g(x) de grado 5
d) f(x) de grado mínimo
x1=0 raíz triple
45
su gráfico es:
x2=7 raíz doble
f(1)=-36
4) Graficar: f(x)=x3+2x2-x-2; y completar:
a) La intersección de la gráfica con el eje y es el punto:
b) La función factorizada tiene la forma:
c) La multiplicidad de c/raíz es: x1=…….,raíz………………;x2=……,raíz…………;x3=…….,raíz.………..
d) f(-3)=
f(0)=
f(2)=
f(-2)=
e) El conjunto de positividad de la función es ……………………….. y el de negatividad ………………….
5) Graficar: f(x)=x5-2x4-x3+2x2
a) La intersección de la gráfica con el eje y es el punto:
b) La función factorizada tiene la forma:
c) La multiplicidad de c/raíz es: x1=…….,raíz………………;x2=……,raíz…………;x3=…….,raíz.………..
d) f(-1)=
f(0)=
f(2)=
f(-2)=
e) El conjunto de positividad de la función es ……………………….. y el de negatividad ………………….
6) Graficar: y=-2x4-11x3-11x2+15x+9
a) La intersección de la gráfica con el eje y es el punto:
b) La función factorizada tiene la forma:
7
c) La multiplicidad de c/raíz es: x1=…….,raíz………………;x2=……,raíz…………;x3=…….,raíz.………..
d) f(1)=
f(0)=
f(-1)=
f(2)=
e) El conjunto de positividad de la función es ……………………….. y el de negatividad ………………….
7) Graficar: y = x4-4x3+4x2
a) La intersección de la gráfica con el eje y es el punto:
b) La función factorizada tiene la forma:
c) La multiplicidad de c/raíz es: x1=…….,raíz………………;x2=……,raíz…………;x3=…….,raíz.………..
d) f(-3)=
f(0)=
f(2)=
f(-2)=
e) El conjunto de positividad de la función es ……………………….. y el de negatividad ………………….
EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS
A) Simplificar las expresiones:
1)
6)
5x 2  5

x 1
x3  1

x 2  2x  1
2)
𝑥 2 −𝑥−6
𝑥 2 −3𝑥
7) 𝑥 3 +𝑥2 −2𝑥 =
𝑥 3 −𝑥 2
=
1 x
x 1
3)
8)
4)
𝑥 5 −16𝑥
𝑥 2 −2𝑥
x3  x 2  x  1

x2  1
x 2  7 x  10

x 2  25
5)
=
B) Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones:
2
x 3
*

2
x  3x
x
1)
x 3  8 2 x 4  4 x 3  8x 2
:

x2  4
2x3  4x 2
4)
 x  3x  9  x  6 x  9
24
*
* 3

 2x  6
3
2 x  54
7)
x 3  0,125  2 x 3 

:
4 x 2  10x   x  0,5 
2
2)
:
x
1
2
x 2  2x  4


* x3  8 *
 8x
2 x 2  3x  2

x2  4
2
1
3)
5)
x  x  6 x  5x  6
: 2

x2 1
x  x2
2
2
x 3  0,5x 2  0,25x

2x  5
6)
x 4  16 
x  4x  4
x2
2
x3  8
x3  8
x2
*
*

x 2  2x  4 x 2  2x x  2
8)
C) Resolver las siguientes sumas y restas:
1)
x4 x2


x2 1 x2 1
2)
2x
8


x4 x4
5)
2 x  x 3 x( x  2 )


x2
x2
6)
3x  4 x 2  1 x  5



4x
5x
2x 2
8)
7
1
3

 2

15x  15 5x  5 5x  5
9)
3)
5
2x


x  1 3x  3
6x 2
12 x


4x  8 4x  8
7)
10)
4)
1
x
2

6 x

9x
6
x
 2

3x  9 x  9
1
1
1
 2


2x  4 x  4 2x  4
x7
 x
 x2
2
12) 


 :
 x  3 x 2  6x  9  x  3
2
10
1



11)
x  5 x2  5 x  5
2
4

13) 2 x  16 
x  14 x  49 x  4
x4
FUNCIONES RACIONALES
1) Indicar el dominio de las siguientes funciones:
f1 ( x) 
x 1
x3
f 2 ( x) 
2x
x 2
2
𝑥+2
𝑓3 (𝑥) = 𝑥−3
𝑥
𝑓4 (𝑥) = 𝑥 2 −9
2
𝑓5 (𝑥) = 𝑥
8
2) i) Graficar: g ( x)  x  2 .
x 1
ii) Determinar :
a) Dominio:
b) Asíntota vertical: x= ….
c) Asíntota horizontal: y= ….
d) Intersección con el eje x: (…;…) e) Intersección con el eje y: (…;…)
1
f) g(0)=….;g(2)=……;g(-2)=……;g(− 2) =……
iii) Marcar en el gráfico (con distintos colores) los ítems b,c,d y e
x2 −4
3) i) Graficar: f(x)=2x2 −1.
ii) Determinar:
a) Dominio:
b) Asíntota vertical: x= ….
c) Asíntota horizontal: y= …..
d) Intersección con el eje x: (…;…) e) Intersección con el eje y: (…;…)
1
f) f(0)=….;f(2)=……;f(-1)=……;f(− 2) =……
iii) Marcar en el gráfico (con distintos colores) los ítems b,c,d y e
x2 +x+4
4) Graficar: f(x)=
Determinar:
x+2
. La expresión simplificada es: f¨(x)=………… .
a) Dominio:
b) Asíntota vertical: x=….
c) Asíntota horizontal: y=…..
d) Intersección con el eje x: (…;…) e) Intersección con el eje y: (…;…)
1
4
f) f(0)=….;f(-2)=……;f(-1)=……;f(− ) =……
iii) Marcar en el gráfico (con distintos colores) los ítems b,c,d y e
x2 −9
5) Graficar: f(x)= x−3 . La expresión simplificada es: f¨(x)=………… .
Determinar :
a) Dominio:
b) Asíntota vertical: x=….
c) Asíntota horizontal: y=…..
d) Intersección con el eje x: (…;…) e) Intersección con el eje y: (…;…)
f) f(0)=….;f(-2)=……;f(-1)=……;f(2) =……
iii) Marcar en el gráfico (con distintos colores) los ítems b,c,d y e
x+5
6) Graficar: f(x)=x2 −25. La expresión simplificada es: f¨(x)=………… .
Determinar:
a) Dominio:
b) Asíntota vertical: x=….
c) Asíntota horizontal: y=…..
d) Intersección con el eje x: (…;…) e) Intersección con el eje y: (…;…)
f) f(0)=….;f(-2)=……;f(-1)=……;f(−2) =……
7) a) Dada la siguiente gráfica de una función racional, determinar: Av y Ah
b) Indicar cuál de las siguientes fórmulas corresponde a la gráfica
y luego, determinar ord. al origen y raíz de la función:
9
i) f(x) =
2
x2
ii) f(x) =
2x  5
x3
iii) f(x) =
2 x  5
x3
FUNCIÓN EXPONENCIAL
1) Indicar cuáles de las siguientes funciones son exponenciales:
f1(x)= 9x
f2(x)=(0,3)x
f3(x)=x5
f4(x)=(-4)x
2) Completar con “creciente” o “decreciente”:
1 𝑥
4 𝑥
b) y=(3)
a) y=bx
c) y= (3)
1 𝑥
f5(x)=(2)
d) y =8x
3) Las funciones f(x), g(x) y h(x) son de R en R y están dadas por las fórmulas:
f(x)= 2.2x
g(x)= 2x-3
h(x)=2x-2
a) Determinar Dom e Im de c/u
b) Graficar la tres funciones (en distintos colores) en un sistema de ejes cartesianos.
c) Completar el cuadro
función
k
b
c
Variación respecto de y=2x
f(x)=2.2x
g(x)=2x-3
h(x)=2x-2
1 𝑥
3
4) a) Graficar f(x)=( ) .
b) Indicar: dominio, imagen, ordenada al origen y asíntota de f(x).
c) Es creciente o decreciente?
x 2
x
1
1
d) A partir de desplazamientos de f(x) obtener las gráficas de g(x) =  
y h(x) =    1 .
 3
 3
e) Indicar dominio, conjunto imagen, ecuación de la asíntota de g(x) y de h(x).
5) a) A partir del gráfico de f(x) = f(x) = 3x, graficar por corrimientos la función: g(x) = 3x+1 b) Determinar
Im(g) y asíntota de g(x)
1 𝑥
6) En la función y=(3) + 𝑏, el punto (-2;5) pertenece a la misma.
a) Determinar el valor de b
b) Indicar Dm e Im de la función
c) ¿En qué punto la gráfica de la función corta al eje y?
7) Encontrar la función exponencial de la forma y=k.ax sabiendo que k=2 y el punto (-2;8) pertenece a
la función.
8) Si a la gráfica de la función f(x) = 3x se la desplaza 2 unidades hacia la derecha se obtiene la
función g(x).
a) ¿cuál es la fórmula de g(x)?.
b) Graficar f(x) y, a partir de desplazamientos, obtener el gráfico de g(x).
1 𝑥
2
1 𝑥
2
9) Siendo f(x) = ( ) , a) Graficar f(x), b) Obtener por desplazamiento de f el gráfico de g(x)=( ) − 2 ,
c) Determinar: Dm(g), Im(g), asíntota e intersección del gráfico con el eje y.
10
1 𝑥
10) a) Graficar: f(x) = -2(2) b) Determinar Dm(f), Im(f), asíntota del gráfico.
11) a) Graficar: f(x) = 3x .
b) Desplazar el gráfico de f, dos unidades hacia abajo, para obtener el gráfico de g(x).
c) Dar la fórmula de g(x).
d) Determinar Dm(g), Im(g), asíntota e intersección con el eje y.
1 𝑥
12) a)Cuál es el desplazamiento que se le debe realizar al gráfico de f(x)=(4) para obtener el gráfico
1 𝑥−3
de h(x) = (4)
.b) Cuál es la asíntota de h? c) En qué punto interseca al eje y?

13) La población de un cultivo de bacterias viene expresada por la función logística y  
850
1 e
 0, 2 t

,

donde y es el número de bacterias y t el tiempo en días. a) ¿Cuál es el nº aproximado e bacterias
transcurrido 1 día? .Y en 10 días?
14) Sabiendo que la masa de Carbono 14 (remanente después de su desintegración), puede
calcularse con la fórmula M=M0.(70/79)t, siendo M0, la masa iniciadle carbono 14 y t el período de
tiempo en miles de años. Calcular: a) la masa de carbono 14 de un organismo que en vida tuvo 200
gramos, si ya han pasado 10000 años .b) El tiempo aproximado de un fósil que en vida tenía 200
gramos de carbono 14 y hoy tiene 76 gramos.
ECUACIONES EXPONENCIALES
1) Hallar el valor de x:
a) 3x+1=4
b) 3x+1 -2=25
c) 7x+3-2=-1
c) 32x-1=3
d)8x+1=22x+7
e)5.2x+2x=24
f) 3.2x-2x=1
g) 8.3x+1+3x+1=1
h) 2x+1+2x=12
i) 5x+3-5x+2=4
j) 3. 2𝑥
3
l) 4x+1+4x+2=1280
ñ)
25 3𝑥−1 3−2𝑥
.5
.5
3
q) 7 1.7 2 x 
2 −1
=3
3
 196
7x
=3
1
m) 32 . 4𝑥+2 − . 4𝑥+1 = 1
8
1 34x+2
o) .
5
33x+1
=
1
45
r) 3.3 x 2  2.3 x 
25
9
k) 8. 23𝑥−1 + 23𝑥 =
n) 2x.2x+1=8
5
8
p)121 . 11x-2 = 3. 11x -22
1
 
2
s)  
2
x 1
 5.2  x  128
2) A partir del momento de la compra, el precio de los automóviles se va devaluando progresivamente
en forma exponencial. Si un auto que fue comprado en $8500 en 1990 tiene un valor de $ 4500 en
1998, ¿cuál fue el porcentaje de depreciación anual?
Rta.: 7,6%
3) Supongamos que los autos 0 km, se deprecian a un ritmo constante del 20 % anual. Si uno de estos
autos cuesta hoy $20000. ¿Cuál será el valor dentro de 6 años?
Rta.: $ 5242,88
4) El valor de una antigüedad aumenta un 20% cada 5 años. Si el valor actual de la antigüedad es de
$100. ¿Cuál será el valor al cabo de 100 años?
Rta.: $ 3833,7
5) Según estimaciones de las Naciones Unidas, la población de la ciudad de Bombay (India)
evolucionó en las últimas décadas de tal modo que su crecimiento fue del 40% por década. Sabiendo
que la población en 1950 era de 2,9 millones de habitantes, calcular cuál será la cantidad de
habitantes, según este modelo, en el año 2020.
RTA.: 30,56 millones
11
6) La masa de árboles de un bosque es 5000 toneladas y por efecto de deforestación, decrece un 9%
anual .i) ¿cuál será la masa de árboles de dicho bosque al cabo de 25 años?. ii) Al cabo de cuánto
tiempo quedará la mitad de la masa actual?
Rta.:i) 473,16 t;ii) 7 años 4 meses y 2 días
7) Julio trabaja en una empresa. Su contrato estipula un sueldo inicial de $900 al mes y un aumento
pautado en un 0,3% mensual. a) Escriban la función que relaciona la antigüedad de Julio en este
trabajo (en meses) y su sueldo (en $).b) ¿Cuánto ganará al cabo de dos años y medio?.c) ¿A partir de
qué mes su sueldo superará los 1000$?.
Rta.: b) $984,62; c) a partir del mes 36
8) La población de cierto tipo de insecto en un ambiente crece a un ritmo de 22% cada 8 días. ¿En
cuánto tiempo dicha población será 25 veces mayor a la actual?
Rta.: 129 días y medio
9) En un zoológico, se quiere medicar a una cebra y se le prescribe las siguientes instrucciones:
- El medicamento debe ser suministrado durante 10 días
- El primer día, la dosis debe ser de 200ml
-Cada día subsiguiente se le debe suministrar 3/5 de la dosis correspondiente al día anterior. a)¿Cuál
es la dosis indicada para el octavo día? b)¿Cuántos ml se le habrán dado luego de 5 días? c) Escriban
la fórmula de la función que relaciona el número de días y la cantidad de medicamento inyectado por
Rta.:a) 5,6ml-b) 461,12ml
LOGARITMO
1) Calcular:
a) log 3 27 =
d) log 100 =
e) log1 64 =
2
j)
9
log5 125
3
3
5
5
1
216
q) log1 9 − log1 25 + log7 73 =
3
8
i) log2 27 =
3
l) log3 3 =
n) log25 5 =
o) log 1000 − log1 1 + log6
1
1
k) log5 1 =
=
m) log√3 9 =
f) log3 √27 =
h) log5 5 =
g) log1 16 =
4
c) log 2 0.5 =
b) log 5 125 =
ñ) log√8 64 =
2
3
1
p) log1 8 − log7 1 + log1 64 =
=
2
4
1 2
r) log2 32 − log3 √81 − log4 (16) =
5
2) Expresar como un solo logaritmo y luego resolver:
1
a) 2. log5 10 − 4. log5 1 + log5 16 =
d)3. log 5 5 + log 5
1
−
5
log5 125
3
3
=
f) log 1 2 + log 1 8 + 2 log 1 4 =
9
9
9
b) log 6 3 +
log6 27
3
5
=
c) [log 4
e) log 1 + 2 log 1 √28 − 2 log 1 (
5
7
5
5
g) log54 + log510 - log58=
1
32
2
− log 4 2] =
2√5
5
)=
3) Resolver, aplicando propiedades del logaritmo:
a) log2 (8√2) =
d) log √3 (√3 √3) =
3
1
b) log4 √4 √2 =
e) log 10 (
1
10
√0.1) =
4) Hallar el valor de x:
a) log4(x+12)=2
b) log(x2-3)=0
c) log3
1
√27
f) log 4√2
=
[
6
√(√√2√2
)
3
]
=
12
c) log2(x-1)-log23=log2(x+3)
d) log2x+log23=4
e) 4log2(x-1)=0
f) log(x-1)2=0
g) log2(x2+2x-3)=0
h) log3(8x+9)=4
i) 2logx=1+log(x-0,9)
k) log(x+1)-log(x-1)=log2
j) 3 log 𝑥 − log 32 = log ( )
m) log2(x-1)=6-log2(3x+1)
n) log6(x-1)=3-log6(5x+1)
ñ) log2(x+1)+log2(x-1)=3
o) log4x-log23=log25
p) 3.log4(x+)-log4(x+2)=1
q) 2 log1 (𝑥 − 2) + log1 (𝑥 − 2) = 4
r) 3.2x=10
𝑥
32
l) log(x-2)+log(x+3)=log6
s) 2 log√3 (5 − 𝑥) = 4
u) log3 x – log3(x-2)=2
5) Calcular: a) log 5120=
b) log3 48=
8
8
1
t) 3 log2 (1 + 7𝑥) = 2
v) logx2+logx6 = 2+logx3
1
c) log4 (18) =
d) log2 34=
6) La fórmula que relaciona el pH de una solución con la concentración de iones hidrógeno es:
pH=log (
1
),
[𝐻 + ]
donde [𝐻 + ] representa lo moles de iones hidrógeno por litro. El agua tiene pH=7, es
neutra. Un pH bajo (menor que 7) indica que la solución es ácida, y un pH alto (mayor que 7), que es
básica.
Un champú que tiene 0,00001 iones H+ por litro tiene pH=…….; la sangre tiene
aproximadamente3,981.10-8 iones H+ por litro tiene un pH=…..
7) Una persona depositó $5000 en un banco que le ofreció un interés compuesto del 10% anual.
¿Cuánto tiempo estuvo depositado el dinero si llegó a tener un monto de $6655?
Rta.: 3 años
8) Calcular cuál es el monto que se obtiene al depositar $10 000 al 10% de interés semestral, durante
4 semestres.
Rta.:$ 146410
9) Calcular el tiempo necesario para que un capital de $ 70 000 se convierta en $189 000 al 4% de
interés bimestral.
Rta.: 25,32 bim.
10) Hallar el tiempo que ha estado colocado un capital de $7500 al 0,25% mensual para que produzca
un interés de $200.
Rta.: 10,54 meses
11) Un monto de $8208 fue dado por un capital de $7200 al 4% anual. ¿Cuánto años y meses estuvo
colocado dicho capital?
Rta.: 3,3 años
12) ¿A qué tanto por ciento bimestral deben colocarse $48750 durante 7 años para que produzcan un
interés de $20475?
Rta.: 2,5%
13) De una determinada semilla nace una planta. De esta planta se obtienen 5 semillas nueva. De
ellas nacen sendas plantas que, a su vez, dan 5 semillas cada una, y así sucesivamente. Llamaremos
“generación cero” a la primera semilla.
a) ¿Cuántas semillas corresponden a la generación 6?
b) Llamen m al “número de generación” y escriban una fórmula que permita calcular la cantidad de
semillas en función de m.
c) Busquen una fórmula que permita expresar la cantidad de semilla correspondientes a la generación
m, pero suponiendo que la generación cero está compuesta por 8 semillas. Rta.: a) 15625 semillas; b)
S(m)= 5m ; c) S(m)=8.5m
13
14) Se tiene una muestra de 128 gramos de una sustancia radiactiva (torio-34), cuya masa se reduce a
la mitad en aproximadamente 24 días. a) Calculen la masa aproximada que quedará al cabo de 100
días y al cabo de 200 días .b) Calculen el tiempo aproximado que habrá transcurrido cuando queden 2
gramos. Rta.: a) 7,127 g; 0,397g; b) 144 días
FUNCIÓN LOGARíTMICA
1) Completar con “creciente” o “decreciente” según corresponda:
f4(x)=𝐥𝐨𝐠𝟐 (𝒙) =
f1(x)= log2(x)
f2(x)=log3(x)=
f3(x)=𝐥𝐨𝐠𝟏 (𝒙) =
𝟓
𝟒
2)a) Determinar el Dm e Im de cada función:
f1(x) =log4x
f2(x) = log2 (x-1)
b) Hallar: f1(16)=
f1(𝟔𝟒) =
𝟏
f5(x)=𝐥𝐨𝐠𝟕 (𝒙) =
𝟑
f3(x) = log3(x+2)
f2(9)=
f2(𝟏𝟕) =
f3(25)=
f3(-1)=
3) a) Graficar g(x)=𝐥𝐨𝐠𝟏 𝒙 y f(x)=𝐥𝐨𝐠𝟏 (𝒙 − 𝟐) en un mismo sistema de ejes cartesianos (con diferentes
colores)
𝟒
𝟒
b) Determinar: Dm(g),Dm(f),Im(g) e Im(f)
c) El punto de intersección de la gráfica de f(x) con el eje x es: (...;…).(Marcarlo en la gráfica)
d) La función ……………….(crece o decrece)
e) La asíntota de f(x) es: x=……
f) Qué desplazamiento se efectúa a g(x) para obtener f(x)?
4) a) Graficar f1(x)=𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 y f2 (x)=𝐥𝐨𝐠𝟑 (𝒙 + 𝟏) en un mismo sistema de ejes cartesianos (con
diferentes colores)
b) Determinar: Dm(f1),Dm(f2),Im(f1) e Im(f2)
c) El punto de intersección de la gráfica de f2(x) con el eje x es: (...;…).(Marcarlo en la gráfica)
d) La función ……………….(crece o decrece)
e) La asíntota de f2(x) es: x=….. (marcarla con línea de puntos)
f) Qué desplazamiento se efectúa a f1(x) para obtener f2(x)?
5)a) Graficar f1(x)=log4(x) y f2(x)=log4(x-3) en un mismo sistema de ejes cartesianos (con diferentes
colores)
b) Determinar: Dm(f1),Dm(f2),Im(f1) e Im(f2)
c) El punto de intersección de la gráfica de f2(x) con el eje x es: (...;…).(Marcarlo en la gráfica)
d) La función ……………….(crece o decrece)
e) La asíntota de f2(x) es: x=…….(marcarla con línea de puntos)
f) Qué desplazamiento se efectúa a f1(x) para obtener f2(x)?
6) a) Graficar f1(x)=log2 x y f2(x) log2 x +1, en un mismo sistema de ejes cartesianos.
b) ¿Qué desplazamiento tiene f2(x) con respecto a f1(x)?
7) Si a la gráfica de f1(x) = log4(x) se la desplaza 3 unidades hacia la derecha se obtiene la gráfica de
f2(x). Dar la fórmula de f2(x).
14
BIBLIOGRAFÍA
-
“NUEVA CARPETA DE MATEMÁTICA IV,V y VI”. Ed. Aique
“LOGIKAMENTE” . Ed. Logikamente
“MATEMÁTICA I” Ed. Santillana
“MATEMÁTICA I y II”. Ed. Puerto de Palos
“UNA PUERTA ABIERTA A LA MATEMÁTICA”. Ed. Comunicarte.
15
CUADERNILLO DE PRÁCTICA
MATEMÁTICA II
4to. año EyG - 2012