Ejercicios de repaso 1 teoria de lineas

Ricardo Alejos
Electrónica de Radiofrecuencia
Ejercicios de repaso 1
Teoría de líneas de transmisión
Ejercicio 1
√
(
(
)
)(
)(
(
Enunciado
)
)
(
Una línea de transmisión tiene los siguientes
parámetros por unidad de longitud:
)
O lo que es lo mismo
(
)
Ahora, ésta misma impedancia característica
pero para una frecuencia de operación de
:
√
(
Por simplicidad, se asume que estos cuatro
parámetros son independientes a la
frecuencia de operación. (a) Calcule la
impedancia característica de la línea
a
ya
. (b) Haga tres gráficas
en función de la frecuencia, desde
hasta
, de
,
(constante de
atenuación) y (constante de propagación).
Solución
(a) Comenzaremos calculando la impedancia
característica de la línea
utilizando la
expresión
√
Así bien, sustituyendo los valores de cada
una de las impedancias de los componentes
a
, la impedancia característica es:
(
)
)(
)(
(
)
)
(
)
O lo que es lo mismo
(
)
(b) Ahora, antes de hacer las gráficas de los
parámetros requeridos, recordemos que
están definidos como la parte real e
imaginaria de la constante de propagación
compleja :
√(
)(
)
Donde es la constante de atenuación y la
de propagación (como se mencionó en el
enunciado del problema).
Así bien, las gráficas pedidas en el enunciado
es presentan a continuación.
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Electrónica de Radiofrecuencia
impedancia de entrada
a
siguientes distancias de la
, (b)
y (c)
Characteristic Impedance of an Ideal Lossy Transmission Line
50.5
50
49.5
, a las
carga: (a)
.
abs(Z ) [  ]
49
0
48.5
48
47.5
47
46.5
7
10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
Solución
Attenuation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line
0.189
La impedancia de entrada
línea es
0.1885
a lo largo de la
 [rad/m]
0.188
()
0.1875
0.187
En este caso, la constante de propagación
compleja es
0.1865
0.186
0.1855
7
10
8
9
10
10
10
10
Frequency [Hz]
√
[
[(
(
)
)(
(
)]
)(
)]
Propagation Constant of an Ideal Lossy Transmission Line
400
350
300
La impedancia de carga
para una
Resistencia en serie con un inductor es
, así bien, la impedancia de carga
para la frecuencia pedida es:
 [rad/m]
250
200
150
100
(
50
0
7
10
8
9
10
10
)(
)
10
10
(
Frequency [Hz]
Ejercicio 2
Enunciado
La línea de transmisión con pérdidas
ilustrada a continuación tiene los mismos
parámetros por unidad de longitud que el
problema anterior. La impedancia de carga
consiste de un resistor de
en serie
con un inductor de
. Calcule la
)
La impedancia característica
para esta
línea de transmisión fue obtenida en el
ejercicio anterior:
(
)
Así bien, al emplear estos datos sobre la
expresión para calcular la impedancia de
entrada, obtenemos:
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a)
(
b)
(
c)
(
)
(
)
)
)
(
(
()
)
Así bien, para
)
(
)
(
)
(
)
(
Ejercicio 3
(
Enunciado
Para el siguiente circuito con línea de
transmisión, calcule el coeficiente de
reflexión en la carga, , el
en la línea, la
impedancia de entrada
en la entrada de
la línea. Asuma que
,
(
) y (a)
; (b)
.
(
)
)
(
)
(
(
)
)
)
Y para
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
Ejercicio 4
Enunciado
Solución
El coeficiente de reflexión en la carga se
puede calcular utilizando la expresión
Una línea de transmisión sin pérdidas está
conectada a
. (a) Si se mide un
de
en la carga, encuentre los dos
valores posibles para . (b) ¿Cuál es el valor
del SWR cuando se mide a una distancia
desde la carga?
Solución
Sustituyendo los datos dados
enunciado, encontramos el valor de
en
Podemos aprovechar que tenemos
coeficiente de reflexión para calcular el
de a siguiente forma:
| |
| |
La impedancia de entrada se calcula:
el
(a) Sabemos que la relación de onda
estacionaria está definida así:
| |
| |
el
Y en este caso su valor es
el módulo de sería:
, de forma que
| |
Pero a su vez, el coeficiente de reflexión en
la carga debe corresponder a:
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Posteriormente, lo calculamos per ahora a
una distancia de
desde la carga:
Para
ambos
valores
.
Resolviendo la igualdad anterior para estos
dos valores encontramos los dos posibles
valores de la impedancia característica, que
son:
(b) El valor de la impedancia de entrada
medida a una distancia de
es el
mismo que en el resto de la línea de
transmisión, pues es éste no depende de la
longitud.
Ejercicio 5
)
Para poder hacer éste cálculo expresaremos
la longitud en términos de lambda para así
poder cancelar los términos .
(
(
Una línea coaxial tiene una impedancia
característica
, una longitud física
de
, y está rellena con un dieléctrico
cuyo
. Si su frecuencia de
operación es
y está conectada a una
impedancia
, calcule el
coeficiente de reflexión en la carga, , el
coeficiente de reflexión en la entrada,
, el SWR en la línea, y la impedancia
en la entrada de la línea coaxial,
.
Solución
coeficiente
de
(
)
)
)
(
)
Note que la magnitud no cambia, ya que
estamos en un caso de una línea de
transmisión sin pérdidas.
El cálculo del
forma:
Enunciado
Calculamos primero el
reflexión en la carga :
(
se realiza de la siguiente
| |
| |
Finalmente, calculamos la impedancia de
entrada
al final de la línea (
)
()
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
(
(
)
)
)
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Ejercicio 6
Enunciado
El siguiente circuito con líneas de transmisión
tiene
,
,
,
. Calcule la potencia
promedio entregada a la carga si: (a)
; (b)
.
Ya teniendo el voltaje de entrada en la línea,
obtendremos ahora el voltaje incidente en la
carga (ya que la potencia entregada
corresponde únicamente a la parte incidente
del voltaje). Sabemos que si el voltaje a lo
largo de la línea es:
()
Entonces
incidente
línea:
(
)
podemos escribir el voltaje
en función del voltaje en la
()
(
Solución
El procedimiento a seguir será primero
obtener el voltaje a la entrada de la línea de
transmisión, para así poder trabajar el
circuito como en los ejercicios anteriores. El
voltaje a una distancia de la carga se puede
obtener mediante la expresión que
corresponde al divisor de voltaje:
)
Para el caso descrito en el inciso (a):
(
)
(
)
(
Para el primer caso (a) donde
impedancia de entrada es:
(
(
, la
)
Una vez habiendo obtenido el voltaje
incidente, es posible ahora calcular la
potencia entregada a la carga:
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
| | )
)
Así bien, al ejecutar el divisor de voltaje,
obtenemos el voltaje en el nodo de entrada
de la línea de transmisión
(
(
√ )(
(
)
)
Para la longitud del inciso (b) se entregará la
misma potencia a la carga, ya que estamos
tratando con una línea sin pérdidas.
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Ejercicio 7
Enunciado
Un radio transmisor de
se conecta a
una antena a través de una línea coaxial de
. La antena puede ser representada por
un resistor de
en serie con un
inductor
cuando se opera a
. Si el transmisor puede entregar
cuando está conectada a una carga acoplada.
(a) ¿Cuál es el valor equivalente de la fuente
de voltaje
?; (b) ¿Cuánta potencia es
entregada a la antena a
?
Solución
Para encontrar el valor equivalente de la
fuente, hagamos el supuesto entonces de
que la carga está completamente acoplada a
la línea de transmisión, es decir:
Así bien, podemos utilizar la expresión de
potencia promedio para obtener el voltaje de
entrada de la línea de transmisión y la carga
:
(
√
(
| | )
| | )
Dado que la línea está correctamente
acoplada, la impedancia de entrada de la
línea será también de
, de modo
que para encontrar el valor de la fuente
equivalente del transmisor podemos utilizar
el divisor de voltaje conformado por la
impedancia de entrada y la impedancia de
salida de la fuente:
(
)
Donde es el voltaje en el nodo de entrada
de la línea de transmisión. Así bien:
Ya conociendo el voltaje de la fuente, ahora
podemos calcular la potencia entregada a la
carga. Para facilitar los cálculos hagamos que
la longitud de la línea de transmisión tenga
un valor de
(podemos hacer esta
suposición ya que la potencia entregada es
independiente de la longitud de la línea para
el caso sin pérdidas), así bien, podemos
seguir el mismo procedimiento que el
ejercicio anterior.
Primero obtengamos la impedancia de
entrada de la línea, que después utilizaremos
como parte del divisor de voltaje.
()
(
(
)
(
)
)
)
(
(
(
)
)
Recordemos ahora que la tangente de
tiende a infinito, de modo que podemos
simplificar la expresión a
(
)
(
)
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(
)
(
)
Ahora ejecutamos el divisor de voltaje
(
(
(
(
))
)
)
También
necesitaremos
calcular
coeficiente de reflexión en la carga :
(
el
)
Y ahora podemos calcular el voltaje incidente
en la carga :
(
(
)
(
(
(
)
)
)
)
Por lo tanto, la potencia entregada a la carga
es:
(
(
| | )
)