kupdf.net mecanica-de-materiales-6ta-edicion-r-c-hibbeler (1)

Sexta edición
PEARSON
Prentice
HaU
R. C. Hibbeler
MECÁNICA
DE MATERIALES
S E X T A
E D I C I Ó N
R. C. Hibbeler
TRADUCCIÓN
José de la Cera Alonso
Profesor Titular, U niversidad A utónom a M etropolitana
Virgilio González y Pozo
F acultad de Q uím ica, U niversidad N acional A utónom a de M éxico
REVISIÓN TÉCNICA
Alex Elias Zuñiga
Ingenierio Industrial Mecánico
Instituto Tecnológico de Pachuca
Maestría en Ingeniería Mecánica
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
Doctorado de Ingeniería Mecánica
University o f Nebraska, Lincoln, EUA
Miembro del Sistema Nacional de Investigadores - SNI
Director de lngene ría Mecánica
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey
Campus Monterrey
PEARSON
®
México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador
España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay »Venezuela
/ Datos de catalogación bibliográfica
R. C . Hibbeler
Mecánica de materiales
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006
ISBN: 970-26-0654-3
Form ato: 20 X 25.5 cm
Páginas: 896
A uthorized translation from the English language edition entitled, Mechanics o f Materials, by R. C, H ibbeler, publi­
shed by Pearson E ducation, Inc., publishing as P R E N T IC E H A L L , INC., Copyright © 2004. All rights reserved.
ISBN 0-13-191345 X
Traducción autorizada de la edición en idiom a inglés, titulada M echanics o f Materials, por R. C. H ibbeler, publica­
da por Pearson E ducation, Inc., publicada com o P R E N T IC E H A L L , INC., C opyright © 2004. Todos los derechos
reservados.
E sta edición en español es la única autorizada.
Edición en español:
Editor:
Supervisor de desarrollo:
Supervisor de producción:
Pablo Miguel Guerrero Rosas
e-mail: [email protected]
Esthela González Guerrero
Enrique Trejo Hernández
SEXTA EDICIÓN, 2006
D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500, 5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Email: [email protected]
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. Núm. 1031.
Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse,
por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor
o de sus representantes.
ISBN 970-26-0654-3
Impreso en México/Printed in México.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06
PEARSON
®
AL ESTUDIANTE
Con el deseo de que esta obra estim ulará el interés en la
ingeniería m ecánica y servirá com o una guía aceptable
para su com presión.
P R E F A C I O
El propósito principal de este libro es p ro porcionar al lector una p resen ­
tación clara y minuciosa de la teoría y aplicaciones de la ingeniería m ecá­
nica; p ara esto se basa en la explicación del com portam iento físico de los
m ateriales som etidos a carga a fin de realizar un m odelo de este com por­
tam iento que sea a su vez, el m odelo de la teoría. Se hace énfasis en la im­
portancia de satisfacer los requisitos del equilibrio, de la com patibilidad
de la deform ación y del com portam iento del m aterial.
Características del texto
Las siguientes son las características más im portantes del texto.
•
Las secciones “Procedim iento de análisis”, “Puntos
im portantes” y “R epaso del capítulo” proporcionan una guía para
la resolución de problem as y un resum en de los conceptos.
•
Se utilizan num erosas fotografías a lo largo del libro
para explicar cóm o se aplican los principios de la m ecánica de m a­
teriales a situaciones del m undo real. En algunas secciones, se m ues­
tran cóm o los m ateriales se deform an o fallan bajo carga para así
proporcionar un entendim iento conceptual de los térm inos y con­
ceptos.
•
Los problem as propuestos son de aplicación fácil, m e­
dia y difícil. A lgunos de ellos requieren de una solución, con ayuda
de la com putadora. Se ha puesto un cuidado especial en la p resen ­
tación y en sus soluciones, éstas han sido revisadas en su totalidad
para garantizar su claridad y exactitud num érica.
•
Ilustraciones. E n varias partes del libro se han agregado figuras y
fotografías que proporcionan una clara referencia a la naturaleza
tridim ensional de la ingeniería. H em os tratad o de ilustrar concep­
tos complicados o abstractos para instruir y poder motivar a los lecto­
res a través de lo visual.
Resúmenes.
Fotografías.
Problemas.
Contenido
El libro está dividido en 14 capítulos. El capítulo 1 com ienza con un rep a­
so de los conceptos im portantes de la estática, seguido por definiciones
form ales de los esfuerzos norm ales y cortantes, así como p o r un análisis
del esfuerzo normal en m iem bros cargados axialm ente y del esfuerzo cor­
tante prom edio causado po r el cortante directo.
E n el capítulo 2 se definen la deform ación unitaria norm al y cortante,
y en el capítulo 3 se presenta una descripción de algunas de las p ro p ied a­
des m ecánicas de los m ateriales. Los capítulos 4 ,5 y 6 contienen, respec­
tivam ente, explicaciones de la carga axial, la torsión y la flexión. E n cada
uno de esos capítulos se considera el com portam iento tanto lineal-elásti-
v iii
•
P r e f a c io
co com o plástico. También se incluyen tem as relacionados con concentra­
ciones de esfuerzo y esfuerzo residual. El cortante transversal se descri­
be en el capítulo 7, ju n to con una descripción de los tubos con pared del­
gada, flujo de cortante y del centro de cortante. El capítulo 8 m uestra un
repaso parcial del m aterial presentado en los capítulos anteriores, y se des­
cribe el estado de esfuerzos causados por cargas combinadas. E n el capí­
tulo 9 se presentan los conceptos de transform ación de estados de esfuer­
zo multiaxial. En form a parecida, el capítulo 10 describe los m étodos de
transform ación de deform ación unitaria, que incluyen la aplicación de va­
rias teorías de la falla. El capítulo 11 es un resum en y repaso más del m a­
terial anterior, describiendo aplicaciones al diseño de vigas y ejes. En el
capítulo 12 se cubren varios métodos para calcular deflexiones de vigas y
ejes. También se incluye una descripción del cálculo de las reacciones en
esos miembros, cuando son estáticam ente indeterm inados. E l capítulo 13
presenta una descripción del pandeo en columnas y, por último, en el ca­
pítulo 14 se reseñan el problem a del im pacto y la aplicación de varios m é­
todos de energía para calcular deflexiones.
Las secciones del libro que contienen m aterial más avanzado se identi­
fican con un asterisco (*). Si el tiem po lo perm ite, se pueden incluir algu­
nos de esos tem as en el curso. A dem ás, este m aterial es una referencia
adecuada de los principios básicos,, cuando se usen en otros cursos, y se
puede usar como base p ara asignar proyectos especiales.
Método alternativo . A lgunos profesores prefieren tratar prim ero las
transform aciones de esfuerzos y deform aciones unitarias, antes de estu­
diar las aplicaciones específicas de la carga axial, la torsión, la flexión, y la
fuerza cortante. U na m anera posible para hacerlo así es tratar prim ero el
esfuerzo y sus transform aciones que se ven en los capítulos 1 y 9, seguido
por la deform ación unitaria y sus transform aciones que se ven en el capí­
tulo 2 y en la prim era p a rte del capítulo 10. El análisis y problem as de
ejemplo en estos capítulos se han form ulado para hacer esto posible. A de­
más, los conjuntos de problem as se han subdividido de m anera que este
m aterial pueda ser cubierto sin un conocim iento previo de los capítulos
intermedios. Los capítulos 3 al 8 pueden ser entonces estudiados sin p ér­
dida de continuidad.
Características especiales
Organización y enfoque. El contenido de cada capítulo está orga­
nizado en secciones bien definidas que contienen una explicación de temas
específicos, problem as de ejem plo ilustrativos y un conjunto de proble­
mas de tarea. Los tem as de cada sección están agrupados en subgrupos
definidos por títulos. El propósito de esto es presentar un m étodo es­
tructurado para introducir cada nueva definición o concepto y hacer el
libro conveniente para referencias y repasos posteriores.
Contenido de los capítulos. Cada capítulo comienza con una ilustra­
ción que m uestra una aplicación del m aterial del capítulo. Se proporcio­
nan luego los “O bjetivos del capítulo” que proporcionan una vista gene­
ral del tem a que será tratado.
P r efa cio
Procedim ientos de análisis. Se presenta al final de varias secciones
del libro con el objetivo de dar al lector una revisión o resum en del m a­
terial, así com o un m étodo lógico y o rdenado a seguir en el m om ento de
aplicar la teoría. Los ejem plos se resuelven con el m étodo antes descrito
a fin de clarificar su aplicación num érica. Sin em bargo, se entiende que
una vez que se tiene dom inio de los principios relevantes y que se ha ob­
tenido el juicio y la confianza suficientes, el estudiante podrá desarrollar
sus propios procedim ientos p ara resolver problem as.
Fotografías. Se utilizan num erosas fotografías a lo largo de todo el li­
bro p ara explicar cóm o se aplican los principios de la mecánica a situacio­
nes del m undo real.
Puntos im portantes. A q u í se proporciona un repaso o resum en de
los conceptos fundam entales de una sección y se recalcan los tem as m e­
dulares que deban tom arse en cuenta al aplicar la teoría en la solución de
problem as.
Entendim iento conceptual. Por m edio de fotografías situadas a lo
largo de todo el libro, se aplica la teoría de una m anera simplificada a fin
de ilustrar algunas de las características conceptuales más im p o rtan tes
que aclaran el significado físico de m uchos de los térm inos usados en las
ecuaciones. Estas aplicaciones simplificadas increm entan el interés en el
tem a y preparan m ejor al lector para en ten d er los ejem plos y a resolver
los problem as.
Problemas de tarea. M últiples problem as de este libro m uestran si­
tuaciones reales encontradas en la práctica de la ingeniería. Se espera que
este realism o estim ule el interés p o r la ingeniería m ecánica y p roporcio­
ne la habilidad de reducir cualquiera de tales problem as desde su descrip­
ción física hasta el m odelo o representación sim bólica sobre los cuales se
aplican los principios de la m ecánica. A lo largo del texto existe aproxi­
m adam ente igual núm ero de problem as que utilizan tanto las unidades
SI com o las FPS. A dem ás, en cada conjunto de problem as se ha in ten ta­
do presentar éstos de acuerdo con el grado de dificultad en form a crecien­
te. Las respuestas a todos los problem as, excepto cada cuatro, se encuen­
tran listados al final del libro. P ara advertir al lector de un problem a cuya
solución no aparezca en la lista m encionada, se ha colocado un asterisco
(*) antes del núm ero del problem a. Las respuestas están dadas con tres
cifras significativas, aún cuando los datos de las propiedades del m aterial
se conozcan con una m enor exactitud. Todos los problem as y sus solucio­
nes se han revisado tres veces. U n sím bolo “c u ad ra d o ” (■) se usa para
identificar problem as que requieren de un análisis num érico o una apli­
cación de com putadora.
Repaso del capítulo. Los puntos clave del capítulo resum en en las
nuevas secciones de repaso, a m enudo en listas con viñetas.
Apéndices. C ontienen tem as de repaso y listas de datos tabulados. El
apéndice A proporcio n a inform ación sobre centroides y m om entos de
inercia de áreas. Los apéndices B y C contienen datos tabulados de p e r­
files estructurales y la deflexión y la pendiente de varios tipos de vigas y
•
ix
x
• P refacio
flechas. El apéndice D, llam ado “R epaso para el exam en de fundam entos
de ingeniería”, contiene problem as típicos ju n to con sus soluciones p ar­
ciales com únm ente usados en exám enes de ingenieros profesionales. Estos
problem as tam bién pueden usarse como práctica y repaso en la p repara­
ción de exám enes de clase.
Revisión de la exactitud. E sta nueva edición ha sido som etida a un
riguroso escrutinio para garantizar la precisión del texto y de las páginas
a las que se hace referencia. A dem ás de la revisión del autor de todas las
figuras y m aterial de texto, Scott H endricks del Instituto Politécnico de
Virginia y Kurt Norlin de los Servicios Técnicos Laurel, exam inaron to ­
das las páginas de prueba así como todo el m anual de soluciones.
Suplem entos
•
El autor preparó este m a­
nual cuya exactitud, tal como el texto del libro, fue verificada en
tres ocasiones.
Manual de soluciones para el profesor.
Course compass es una solución en línea ideal
para ayudarle a dirigir su clase y a p rep arar conferencias, cuestio­
narios y exámenes. Con el uso de course compass, los profesores
tienen un rápido acceso a los suplem entos electrónicos que le perm i­
ten incluir ilustraciones com pletas e im ágenes para sus presentacio­
nes en PowerPoint. Course compass hace accesibles las soluciones
electrónicas (por seguridad en archivos individuales), y ayuda a ex­
hibir sólo las soluciones que usted elige en el sitio Web. Por favor
no difunda estas respuestas en niguna dirección electrónica no pro­
tegida.
• Course compass.
Para saber más acerca de Course compass, visite www.pearsoneducacion.net/coursecompass o diríjase a su representante local de Pearson E du­
cación o envíe un mail a editorialm x@ pearsoned.com
Reconocimientos
A lo largo de los años este texto ha incorporado muchas de las sugeren­
cias y com entarios de mis colegas en la profesión docente. Su estím ulo y
buenos deseos de proporcionar una crítica constructiva son muy aprecia­
dos y espero que acepten este reconocim iento anónimo. Mi agradecimien­
to se extiende tam bién a los revisores de las varias ediciones previas.
B. Aalami, San Francisco State University
R. Alvarez, Hofstra University
C. A m m erm an, Colorado School o f Mines
S. Biggers, Clemson University
R. Case, Florida Atlantic University
R. Cook, University o fW isconsin— M adison
J. Easley, University o fK a n sa s
A. G ilat, Ohio State University
I. Elishakoff, Florida Atlantic University
H. Huntley, University o f M ichigan— Dearborn
J. Kayser, Lafayette College
J. Ligon, Michigan Technological University
A. Marcus, University o f R hode Island
G. May, University o f N ew M exico
D. Oglesby, University o f M issouri— Rolla
D. Q uesnel, University o f Rochester
S. Schiff, Clemson University
C. Tsai, Florida Atlantic University
P. Kwon, Michigan State University
C. Lissenden, Penn State University
D. Liu, Michigan State University
T. W. Wu, The University o f Kentucky
J. H ashem i, Texas Tech University
A. Pelegri, Rutgers— The State University o f N ew Jersey
W. Liddel, A uburn University at M ontgom ery
Q uisiera dar las gracias particularm ente a Scott H endricks del Instituto
Politécnico de Virginia quien revisó m inuciosam ente el texto y el m anual
de soluciones de este libro. Tam bién hago extensiva mi gratitud a todos
mis alum nos que han usado la edición previa y han hechos com entarios
para m ejorar su contenido.
Por últim o quisiera agradecer la ayuda de mi esposa, Cornelie (Conny)
durante todo el tiem po que m e ha tom ado p rep arar el m anuscrito para
su publicación.
A preciaría mucho si usted en cualquier m om ento tiene com entarios o
sugerencias respecto al contenido de esta edición.
Russell Charles Hibbeler
hibbeler@ bellsouth.net
C O N T E N I D O
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1
3
Esfuerzo 3
Propiedades mecánicas
de los materiales 85
Introducción
3
Equilibrio de un cuerpo deform able 4
Esfuerzo 22
Esfuerzo normal promedio en una barra
cargada axialmente 24
Esfuerzo cortante prom edio 32
Esfuerzo perm isible 49
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Pruebas de tensión y com presión 85
El diagram a de esfuerzo-deform ación
unitaria 87
C om portam iento esfuerzo-deform ación
unitaria de m ateriales dúctiles y frágiles 91
Ley de H ooke 94
E nergía de deform ación 96
R elación de Poisson 107
El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria
en cortante 109
*3.8 F alla d e m a te r ia le s p o r flu jo p lá s tic o y p o r
fa tig a 112
4
2
Carga axial 121
Deformación unitaria 69
2.1
2.2
D eform ación 69
D eform ación unitaria
4.1
4.2
70
Principio de Saint-V enant 121
D eform ación elástica de un m iem bro cargado
axialm ente 124
x iv
•
C o n t e n id o
Principio de superposición 138
M iem bro estáticam ente indeterm inado
cargado axialm ente 139
4.5 M étodo de las fuerzas p ara el análisis
de m iem bros cargados axialm ente 145
4.6 Esfuerzo térm ico 154
4.7 C oncentraciones de esfuerzos 162
*4.8 D eform ación axial inelástica 168
*4.9 Esfuerzo residual 173
4.3
4.4
6.4
6.5
*6.6
*6.7
*6.8
6.9
*6.10
*6.11
La fórm ula de la flexión 295
Flexión asim étrica 313
Vigas com puestas 324
Vigas de concreto reforzado 331
Vigas curvas 333
C oncentraciones de esfuerzos 343
Flexión inelástica 352
Esfuerzo residual 361
5
Torsión 185
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
*5.6
*5.7
5.8
*5.9
*5.10
D eform aciones p o r torsión de una flecha
circular 185
La fórm ula de la torsión 188
Transm isión de potencia 197
Á ngulo de torsión 206
M iem bros estáticam ente indeterm inados
cargados con pares de torsión 221
Flechas sólidas no circulares 228
Tubos de pared delgada con secciones
transversales cerradas 231
C oncentración de esfuerzos 242
Torsión inelástica 245
Esfuerzo residual 252
7
Esfuerzo cortante
transversal 373
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Esfuerzo cortante en m iem bros rectos 373
La fórm ula del esfuerzo cortante 375
Esfuerzos cortantes en vigas 378
Flujo cortante en m iem bros com puestos
392
Flujo cortante en m iem bros de pared
delgada 401
*7.6 C entro de co rtan te 406
6
Flexión 263
6.1
6.2
6.3
D iagram as de fuerza cortante y m om ento
flexionante 263
M étodo gráfico para construir diagram as
de fuerza cortante y m om ento
flexionante 272
D eform ación p o r flexión de un m iem bro
recto 291
8
Cargas combinadas 423
8.1
8.2
R ecipientes de presión de pared delgada 423
Estado de esfuerzo causado por cargas
combinadas 429
C o n ten ido
9
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Transform ación del esfuerzo plano 453
Ecuaciones generales de la transformación
de esfuerzo plano 458
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante
máxim o en el plano 462
El círculo de M ohr (esfuerzo plano) 476
Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial
y a torsión 485
Variaciones de esfuerzos a través de una viga
prismática 486
Esfuerzo cortante máxim o absoluto 492
xv
i i
Transformación
de esfuerzo 453
9.1
9.2
•
Diseño de vigas y ejes 557
11.1
11.2
*11.3
*11.4
Base para el diseño de vigas 557
D iseño de vigas prism áticas 559
Vigas totalm ente esforzadas 573
D iseño de ejes 577
12
Deflexión de vigas y ejes 587
10
Transformación de
deformación unitaria 505
10.1 D eform ación unitaria plana 505
10.2 Ecuaciones generales de transform ación
de deform ación unitaria plana 507
*10.3 Círculo de M ohr (deform ación unitaria
plana) 514
*10.4 D eform ación unitaria cortante m áxim a
absoluta 522
10.5 R osetas de deform ación 525
10.6 Relaciones de propiedades de los
m ateriales 530
*10.7 Teorías de la falla 542
12.1 La curva elástica 587
12.2 P endiente y desplazam iento por
integración 591
*12.3 Funciones de discontinuidad 609
*12.4 P endiente y desplazam iento p o r el m étodo
del m om ento de área 620
12.5 M étodo de superposición 634
12.6 Vigas y ejes estáticamente indeterm inados 641
12.7 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados
(m étodo de integración) 642
*12-8 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados
(m étodo del m om ento de área) 647
12.9 Vigas y ejes estáticam ente indeterm inados
(m étodo de la superposición) 653
xvi
•
C o n t en id o
Apéndices
13
Pandeo de columnas 669
13.1
13.2
13.3
*13.4
*13.5
*13.6
Carga crítica 669
Columna ideal con soportes articulados 672
Columnas con diversos tipos de apoyos 678
La fórmula de la secante 689
Pandeo inelástico 697
Diseño de columnas para carga
concéntrica 704
*13.7 Diseño de columnas por carga excéntrica 716
A.
A .l
A.2
A.3
A.4
Propiedades geométricas de un área 798
Centroide de un área 798
Momento de inercia de un área 801
Producto de inercia de un área 805
Momentos de inercia de un área respecto
a ejes inclinados 807
A.5 El círculo de Mohr para momentos
de inercia 809
B. Propiedades geométricas de los perfiles
estructurales 815
C.
P en d ien tes y deflexiones en vigas
D.
Repaso para el examen de fundamentos
de ingeniería 825
Respuestas 845
índice 863
14
Métodos de energía 727
14.1 Trabajo externo y energía
de deformación 727
14.2 Energía de deformación elástica para varias
clases de carga 732
14.3 Conservación de la energía 746
14.4 Carga de impacto 752
*14.5 Principio del trabajo virtual 762
*14.6 Método de las fuerzas virtuales aplicado
a armaduras 766
*14.7 Método de las fuerzas virtuales aplicado
a vigas 774
*14.8 Teorema de Castigliano 784
*14.9 Teorema de Castigliano aplicado
a armaduras 786
*14.10 El teorema de Castigliano aplicado
a vigas 790
823
acero esw"
S í-* -»
C A P I T U L O
E
s f u
e r z 0
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
E n este capítulo repasarem os algunos principios im portantes de la estática y m os­
trarem os cóm o se usan para determ inar las cargas internas resultantes en un cuer­
po. D espués, presentarem os los conceptos de esfuerzo norm al y esfuerzo cortan­
te y se estudiarán las aplicaciones específicas del análisis y diseño de los m iem bros
som etidos a una carga axial o a un cortante directo.
— -
1.1
>
Introducción
La mecánica de m ateriales es una ram a de la m ecánica que estudia las
relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deform able y la
intensidad de las fuerza internas que actúan d en tro del cuerpo. E sta dis­
ciplina de estudio implica tam bién calcular las deformaciones del cuerpo
y proveer un estudio de la estabilidad del mism o cuando está som etido a
fuerzas externas.
En el diseño de cualquier estructura o m áquina, es necesario prim ero ,
usar los principios de la estática para determ in ar las fuerzas que actúan
sobre y dentro de los diversos m iem bros. El tam año de los miembros, sus
deflexiones y su estabilidad dependen no sólo de las cargas internas, sino
tam bién del tipo de m aterial de que están hechos. En consecuencia, una
determ inación precisa y una com presión básica del com portam iento del
material será de im portancia vital para d esarrollar las ecuaciones nece­
sarias usadas en la m ecánica de m ateriales. D ebe ser claro que m uchas
fórm ulas y reglas de diseño, tal com o se definen en los códigos de inge­
niería y usadas en la práctica, se basan en los fundam entos de la m ecáni­
ca de m ateriales, y por esta razón es tan im portante entender los princi­
pios de esta disciplina.
3
4 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
Desarrollo histórico. El origen de la m ecánica de m ateriales data de
principios del siglo x v i i , cuando G alileo llevó a cabo experim entos para
estudiar los efectos de las cargas en barras y vigas hechas de diversos m a­
teriales. Sin em bargo, para alcanzar un entendim iento apropiado de tales
efectos fue necesario establecer descripciones experim entales precisas de
las propiedades mecánicas de un m aterial. Los m étodos para hacer esto
fueron considerablem ente m ejorados a principios del siglo xvm . E n aquel
tiem po el estudio tanto experim ental com o teórico de esta m ateria fue
em prendido, principalm ente en Francia, p or personalidades com o SaintV enant, Poisson, Lam é y Navier. D ebido a que sus investigaciones se ba­
saron en aplicaciones de la m ecánica a los cuerpos m ateriales, llam aron a
este estudio “resistencia de m ateriales”. Sin embargo, hoy en día llamamos
a lo mism o “m ecánica de los cuerpos deform ables” o sim plem ente, “m e­
cánica de m ateriales”.
E n el curso de los años, y después de que muchos de los problem as fun­
dam entales de la m ecánica de m ateriales han sido resueltos, fue necesa­
rio usar m atem áticas avanzadas y técnicas de com putación para resolver
problem as más complejos. Como resultado, esta disciplina se extendió a
otras áreas de la m ecánica m oderna com o la teoría de la elasticidad y la
teoría de la plasticidad. La investigación en estos cam pos continúa, no só­
lo p ara satisfacer las dem andas de solución a problem as de ingeniería de
vanguardia, sino tam bién para justificar más el uso y las limitaciones en
que se basa la teoría fundam ental de la m ecánica de materiales.
1.2
Equilibrio de un cuerpo deformable
D eb id o a que la estática juega un papel esencial tan to en el desarrollo
com o en la aplicación de la m ecánica de m ateriales, es muy im portante
te n e r un buen conocim iento de sus principios fundam entales. Por esta ra­
zón repasarem os algunos de esos principios que serán usados a lo largo
del texto.
Idealización de
una fuerza
U n cuerpo p u ed e estar som etido a diversos tipos
de cargas externas; sin em bargo, cualquiera de éstas puede clasificarse co­
mo fuerza de superficie o com o fuerza de cuerpo. Vea la figura 1-1.
C a rg a s e x t e r n a s .
Fuerza
de
superficie
Idealización de una carga
lincalmcnte distribuida
Fig. 1-1
Fuerza
de cuerpo
Fuerzas de superficie. Com o su nom bre lo indica, las fu erzas de super­
fic ie son causadas por el contacto directo de un cuerpo con la superficie
de otro. E n todos los casos, esas fuerzas están distribuidas sobre el área de
contacto entre los cuerpos. En particular si esta área es pequeña en com ­
paración con el área total del cuerpo, entonces la fuerza superficial puede idealizarse com o una sola fu erza concentrada, que es aplicada a un
p u n to sobre el cuerpo. Por ejemplo, esto podría hacerse para representar
el efecto del suelo sobre las ruedas de una bicicleta al estudiar la carga so­
b re ésta. Si la carga superficial es aplicada a lo largo de un área estrecha,
la carga puede idealizarse com o una carga linealm ente distribu ida, w(s).
A q u í la carga se mide com o si tuviese una intensidad de fuerza/longitud
a lo largo del área y se representa gráficam ente por una serie de flechas a
lo largo de la línea s. L a fu erza resultante FR de m>(s) es equivalente a l
área bajo la curva de carga distribuida, y esta resultante actúa a través
d el centroide C o centro geom étrico de esta área. La carga a lo largo de
la longitud de una viga es un ejem plo típico en el que es aplicada a m enu­
do esta idealización.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
• 5
F u e rz a de cuerpo. U na fu erza de cuerpo se desarrolla cuando un cuer­
po ejerce una fuerza sobre o tro cuerpo sin contacto físico directo entre
los cuerpos. Ejem plos de esto incluyen los efectos causados p o r la gravi­
tación de la Tierra o por su cam po electrom agnético. A unque las fuerzas
de cuerpo afectan cada una de las partículas que form an el cuerpo, esas
fuerzas se representan norm alm ente po r una sola fuerza concentrada ac­
tuando sobre el cuerpo. E n el caso de la gravitación, esta fuerza se llama
el peso del cuerpo y actúa a través del centro de gravedad del mismo.
Reacciones en los soportes. Las fuerzas de superficie que se desarro­
llan en los soportes o puntos de contacto en tre cuerpos se llam an reaccio­
nes. E n problem as bidim ensionales, es decir, en cuerpos som etidos a sis­
tem as de fuerzas coplanares, los soportes m ás com únm ente encontrados
se m uestran en la tabla 1-1. O bserve cuidadosam ente el sím bolo usado
para rep resen tar cada so p o rte y el tipo de reacciones que ejerce en su
m iem bro asociado. E n general, siem pre pu ed e d eterm in arse el tipo de
reacción de soporte im aginando que el m iem bro unido a él se traslada o
gira en una dirección particular. S i el soporte im pide la traslación en una
dirección dada, entonces una fu erza debe desarrollarse sobre el m iem ­
bro en esa dirección. Igualm ente, si se im pide una rotación, debe ejer­
cerse un m om ento sobre el m iem bro. Por ejemplo, un soporte de rodillo
sólo puede im pedir la traslación en la dirección del contacto, perpendicu­
lar o norm al a la superficie. Por consiguiente, el rodillo ejerce una fuerza
norm al F sobre el m iem bro en el pu n to de contacto. Como el m iem bro
puede girar librem ente respecto al rodillo, no puede desarrollarse un m o­
m ento sobre el miembro.
Muchos elementos de máquinas son conec­
tados por pasadores para permitir la rota­
ción libre en sus conexiones. Esos soportes
ejercen una fuerza sobre un miembro, pero
no un momento.
T A B L A 1-1
Tipo de conexión
Reacción
Tipo de conexión
Reacción
Ecuaciones de equilibrio. E l equilibrio de un m iem bro requiere un
balance de fuerzas para im pedir que el cuerpo se traslade o tenga m ovi­
m iento acelerado a lo largo de una trayectoria recta o curva, y un balance
de m om entos para im pedir que el cuerpo gire. Estas condiciones pueden
expresarse m atem áticam ente con las dos ecuaciones vectoriales:
2F = 0
2M 0 = 0
A quí, X F representa la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuer­
po y 2 M q es la sum a de los m om entos de todas las fuerzas respecto a
cualquier punto O sobre o fuera del cuerpo. Si se fija un sistem a coorde­
nado x , y , z con el origen en el punto O, los vectores fuerza y m om ento
pueden resolverse en com ponentes a lo largo de los ejes coordenados y
las dos ecuaciones an terio res p u ed en escribirse en form a escalar com o
seis ecuaciones, que son:
2Fv = 0
2M , = 0
2Fy = 0
2My = 0
= 0
■LMZ = 0
( 1-2 )
A m enudo, en la práctica de la ingeniería la carga sobre un cuerpo p u e­
de representarse com o un sistem a de fuerzas coplanares. Si es éste el ca­
so y las fuerzas se encuentran en el plano x -y, entonces las condiciones
para el equilibrio del cuerpo pueden especificarse por medio de sólo tres
ecuaciones escalares de equilibrio; éstas son:
2 F V= 0
2Fy = 0
(1-3)
= 0
E n este caso, si el p u n to O es el origen de coordenadas, entonces los m o­
m entos estarán siem pre dirigidos a lo largo del eje z, que es perpendicu­
lar al plano que contiene las fuerzas.
La correcta aplicación de las ecuaciones de equilibrio requiere la espe­
cificación com pleta de todas las fuerzas conocidas y desconocidas que ac­
túan sobre el cuerpo. L a m ejor manera de tom ar en cuenta esas fu erzas
es dibujando el diagram a de cuerpo libre del cuerpo. Es obvio que si el
diagram a de cuerpo libre está dibujado correctam ente, los efectos de to ­
das las fuerzas y m om entos aplicados serán tom ados en cuenta cuando se
escriban las ecuaciones de equilibrio.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
(a)
Fig. 1-2
Cargas internas resultantes. U na de las aplicaciones más im portan­
tes de la estática en el análisis de problem as de la mecánica de m ateria­
les es poder determ inar la fuerza y m om ento resultantes que actúan d en ­
tro de un cuerpo y q u e son necesarias p ara m a n ten er unido al c u e rp o ’
cu an d o éste está so m etid o a cargas ex tern as. P or ejem plo, co n sid ere
el cuerpo m ostrado en la figura 1-2a, que es m antenido en equilibrio por
las cuatro fuerzas externas.* Para o b ten er las cargas internas que actúan
sobre una región específica d en tro del cuerpo es necesario usar el m éto ­
do de las secciones. E sto requiere hacer una sección im aginaria o “co rte”
a través de la región donde van a determ inarse las cargas internas. Las dos
partes del cuerpo son separadas y se dibuja un diagram a de cuerpo libre
de una de las partes, figura l-2£>. Puede verse aquí que existe realm ente
una distribución de la fuerza interna que actúa sobre el área “expuesta”
de la sección. Esas fuerzas rep resen tan los efectos del m aterial de la p a r­
te superior del cuerpo actuando sobre el m aterial adyacente de la parte
inferior. A unque la distribución exacta de la carga interna puede ser des­
conocida, podem os usar las ecuaciones de equilibrio para relacionar las
fuerzas externas sobre el cuerpo con la fuerza y m om ento resultantes de
la distribución , F R y M r q , en cualquier p u n to específico O sobre el área
seccionada, figura l-2c. Al hacerlo así, note que
actúa a través del p u n ­
to O , aunque su valor calculado no d ep en d e de la localización de este
punto. Por otra parte, M Ro, sí depende de esta localización, ya que los b ra­
zos de mom ento deben extenderse de O a la línea de acción de cada fuerza
externa sobre el diagram a de cuerpo libre. Se m ostrará en partes p o ste­
riores del texto que el punto O suele escogerse en el centroide del área
seccionada, y así lo considerarem os aquí a m enos que se indique o tra cosa.
A dem ás, si un m iem bro es largo y delgado, com o en el caso de una barra
o una viga, la sección p o r considerarse se tom a generalm ente perpendicu­
lar al eje longitudinal del miembro. A esta sección se le llama sección trans­
versal.
*E1 peso del cuerpo no se muestra, ya que se supone que es muy pequeño y, por tanto,
despreciable en comparación con las otras cargas.
• 7
Momento
de torsión
Fuerza
normal
Fuerza
cortante
Momento
flexionante
(C)
(d)
Fig. 1-2 (cont.)
Tres dim ensiones. V erem os después en este texto cóm o relacionar las
cargas resultantes.
y M /^ , con la distribución de fuerza sobre el área sec­
cionada y desarrollarem os ecuaciones que puedan usarse para el análisis
y diseño del cuerpo. Sin em bargo, para hacer esto deben considerarse las
com ponentes de F^ y M r0>actuando norm al o perpendicularm ente al área
seccionada y dentro del plano del área, figura 1-2d. C uatro tipos diferen­
tes de cargas resultantes pueden entonces definirse com o sigue:
F uerza norm al, N. E sta fuerza actúa perpendicularm ente al área. Ésta
se desarrolla siem pre que las fuerzas externas tienden a em pujar o a jalar
sobre los dos segm entos del cuerpo.
Fuerza cortante, V. La fuerza cortante reside en el plano del área y se
desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que los dos seg­
m entos del cuerpo resbalen uno sobre el otro.
M om ento to rsionante o torca, T. E ste efecto se desarrolla cuando las
cargas externas tienden a torcer un segm ento del cuerpo con respecto al
otro.
M om ento flexionante, M. El m om ento flexionante es causado por las
cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo respecto a un eje que se
encuentra d en tro del plano del área.
E n este texto, advierta que la representación de un m om ento o una to r­
ca se m uestra en tres dim ensiones com o un vector con una flecha curva
asociada. Por la regla de la m ano derecha, el pulgar da el sentido de la fle­
cha del vector y los dedos recogidos indican la tendencia de rotación (to r­
sión o flexión). U sando un sistem a coordenado x,y , z , cada una de las car­
gas anteriores puede ser determ inada directam ente de las seis ecuaciones
de equilibrio aplicadas a cualquier segm ento del cuerpo.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
• 9
Fuerza
cortante
V
M 0 Momento
flexionante
N
Fuerza
normal
Fig. 1-3
Cargas coplanares. Si el cuerpo está sometido a un sistema de fuerzas
coplanares. figura l-3a. entonces sólo existen en la sección com ponen­
tes de fuerza normal, de fuerza cortante y de momento flexionante. figu­
ra 1-3b. Si usamos los ejes coordenados x.y, z, con origen en el punto O
como se muestra en el segmento izquierdo, entonces una solución direc­
ta para N se puede obtener aplicando 2 Fx = 0, y V se puede obtener di­
rectamente de 2 Fv = 0. Finalmente, el m omento flexionante M 0 se pue­
de determ inar directamente sumando momentos respecto al punto O (el
eje z), 2 M0 = 0, para eliminar los momentos causados por las incógnitas
N y V.
PUNTOS IMPORTANTES
La mecánica de materiales es un estudio de la relación entre las
cargas externas sobre un cuerpo y la intensidad de las cargas in­
ternas dentro del cuerpo.
Las fuerzas externas pueden ser aplicadas a un cuerpo como car­
gas distribuidas o cargas de superficie concentradas, o bien como
fuerzas de cuerpo que actúan sobre todo el volumen del cuerpo.
Las cargas linealmente distribuidas producen una fuerza resultan­
te que tiene una magnitud igual al área bajo el diagrama de car­
ga y una posición que pasa por el centroide de esa área.
Un soporte produce una fuerza en una dirección particular sobre
su miembro correspondiente si ésta impide traslación del miembro
en esa dirección y él produce un momento de par sobre el miem­
bro si él impide una rotación.
Las ecuaciones de equilibrio 2 F = 0 y 2 M = 0 deben ser satis­
fechas para prevenir que un cuerpo se traslade con movimiento
acelerado o que gire.
Al aplicar las ecuaciones de equilibrio, es im portante dibujar pri­
mero el diagrama de cuerpo libre del cuerpo para poder lomar
en cuenta todos los términos en las ecuaciones.
El método de las secciones se usa para determ inar las cargas
internas resultantes que actúan sobre la superficie del cuerpo sec­
cionado. En general, esas resultantes consisten en una fuerza
normal, una fuerza cortante, un mom ento torsionante y un mo­
mento flexionante.
Para diseñar los miembros de este mar­
co de edificio, es necesario primero en­
contrar las cargas internas en varios pun­
tos a lo largo de su longitud.
PROCEDIMIENTOS DE ANÁLISIS
El método de las secciones se usa para determ inar las cargas internas
resultantes en un punto localizado sobre la sección de un cuerpo. Pa­
ra obtener esas resultantes, la aplicación del método de las secciones
requiere considerar los siguientes pasos.
Reacciones en los soportes.
• Decida primero qué segmento del cuerpo va a ser considerado.
Si el segmento tiene un soporte o conexión a otro cuerpo, enton­
ces antes de que el cuerpo sea seccionado, es necesario determ i­
nar las reacciones que actúan sobre el segmento escogido del
cuerpo. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de todo el cuerpo y
luego aplique las ecuaciones necesarias de equilibrio para obte­
ner esas reacciones.
Diagram a de cuerpo libre.
• Mantenga todas las cargas distribuidas externas, los momentos de
flexión, los momentos de torsión y las fuerzas que actúan sobre
el cuerpo en sus posiciones exactas, luego haga un corte imagina­
rio por el cuerpo en el p u n to ’donde van a determinarse las car­
gas internas resultantes.
• Si el cuerpo representa un miembro de una estructura o disposi­
tivo mecánico, la sección es a m enudo tomada perpendicularmen­
te al eje longitudinal del miembro.
• Dibuje un diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos “cor­
tados” e indique las resultantes desconocidas N, V, M y T en la
sección. Esas resultantes son usualmente colocadas en el punto
que representa el centro geométrico o centroide del área seccio­
nada.
• Si el miembro está sometido a un sistema coplanar de fuerzas, só­
lo N, V y M actúan en el centroide.
• Establezca los ejes coordenados x, y, z con origen en el centroi­
de y muestre las componentes resultantes que actúan a lo largo de
los ejes.
Ecuaciones de equilibrio.
• Los momentos deben sumarse en la sección, respecto a cada uno
de los ejes coordenados donde actúan las resultantes. Al hacerlo
así se eliminan las fuerzas desconocidas N y V y es posible en­
tonces determ inar directamente M (y T).
• Si la solución de las ecuaciones de equilibrio da un valor negati­
vo para una resultante, el sentido direccional supuesto de la re­
sultante es opuesto al mostrado en el diagrama de cuerpo libre.
Los siguientes ejemplos ilustran num éricam ente este procedim iento y
también proporcionan un repaso de algunos de los principios im portan­
tes de la estática.
S e cció n 1 .2
E J E M P L O
Equilibrio de un cuerpo deformable
'| g | -----------------------------------------------
Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección
transversal en C de la viga m ostrada en la figura 1-4a.
B
(a)
Fig. 1-4
Solución
Reacciones en el soporte. Este problema puede ser resuelto de la m a­
nera más directa considerando el segmento CB de la viga, ya que en­
tonces las reacciones en A no tienen que ser calculadas.
Diagrama de cuerpo libre. Si hacemos un corte imaginario perpen­
dicular al eje longitudinal de la viga, obtenem os el diagrama de cuer­
po libre del segmento CB m ostrado en la figura 1-4b. Es importante
m antener la carga distribuida exactam ente donde está sobre el seg­
mento hasta después que el corte se ha hecho. Sólo entonces debe es­
ta carga reemplazarse por una sola fuerza resultante. Note que la in­
tensidad de la carga distribuida en C se determ ina por triángulos
semejantes, esto es, de la figura 1-4a, w/6 m = (270 N /m )/9 m, w 180 N/m. La magnitud de la carga distribuida es igual al área bajo la
curva de carga (triángulo) y actúa a través del centroide de esta área.
Así, F = t(180 N /m )(6 m) = 540 N, que actúa a 1/3 (6 m) = 2 m de C,
como se muestra en la figura 1-46.
Ecuaciones de equilibrio.
tenemos
2 Fx = 0;
-N c = 0
135 N
Resp.
90 N/m [ i
Vc - 540 N = 0
Vc = 540 N
l + I M c = 0;
(b)
Aplicando las ecuaciones de equilibrio ob-
Nc = 0
+ t 2 F V= 0;
540 N
- • = - 180 N/m
Mr
1215 N !
Resp.
- M c - 540 N(2 m) = 0
Mc = -1080 N -m
540 N
3645
Resp.
El signo negativo indica que Mc actúa en dirección opuesta a la mos­
trada en el diagrama de cuerpo libre. Trate de resolver este problema
usando el segmento AC, obteniendo prim ero las reacciones en el so­
porte A , que son dadas en la figura l-4c.
t|
N-ra'yl
-1.5 m 0.5 m
• 11
12 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
------------------------------------------------------------------------------------------Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección
transversal en C de la flecha de la máquina m ostrada en la figura l-5a.
La flecha está soportada por chumaceras en A y B, que ejercen sólo
fuerzas verticales sobre la flecha.
(800 N /m )(0.150 m) = I2 0 N
225 N
- 200 mm
100
50 mm
50 mm
(a)
Fig. 1-5
Solución
Resolveremos este problema usando el segmento AC de la flecha.
40 N ,
Reacciones en el soporte. En la figura 1-5b se muestra un diagrama
de cuerpo libre de toda la flecha. Como el segmento A C va a ser con­
siderado, sólo la reacción en A tiene que ser considerada. ¿Por qué?
i + l M B = 0 ;- A V(OAOO m) + 120 N(0.125 m) - 225 N (0.100 m) = 0
>1,, = -18.75 N
El signo negativo para A v indica que ésta actúa en sentido opuesto al
mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre.
Diagrama de cuerpo libre. Si realizamos un corte imaginario perpen­
dicular al eje de la flecha por C, obtenemos el diagrama de cuerpo li­
bre del segmento A C mostrado en la figura l-5c.
Ecuaciones de equilibrio.
^
2 F , = 0;
+ t 2 Fy = 0;
1 + 1 Mc = 0;
Nc - 0
Resp.
-18.75 N - 40 N - Vc = 0
Vc = -5 8 .8 N
Resp.
Mc + 40 N(0.025 m) + 18.75 N(0.250 m) = 0
Mc = -5 .6 9 N • m
R esp.
¿Qué indican los signosnegativos de Vc y Mc? Como ejercicio, calcu­
le la reacción enB ytrate de obtener los mismosresultados usando el
segmento CBD de la flecha.
S eccióm1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
E J E M P L O
-----------------------------------------------
El montacargas en la figura 1-6a consiste en la viga A B y en las poleas
unidas a ella, en el cable y en el motor. Determine las cargas internas
resultantes que actúan sobre la sección transversal en C si el motor es­
tá levantando la carga W de 500 Ib con velocidad constante. Desprecie
el peso de las poleas y viga.
0.5 pie
*
5001b
—►
N
r. .
M ,-
- 4.5 pies -
I
5 001b
Fig. 1-6
(b)
Solución
La manera más directa de resolver este problema es seccionar el cable
y la viga en C y luego considerar todo el segmento izquierdo.
Diagrama de cuerpo libre.
Vea la figura 1-66.
Ecuaciones de equilibrio.
i
S F t = 0:
+ f S F,. = 0;
500 Ib + Nc = 0
-5 0 0 Ib - Vc = 0
Nc = -5 0 0 Ib
Vc = -5 0 0 Ib
Resp.
Resp.
1+ I M C = 0; 500 Ib (4.5 pies) - 500 Ib (0.5 pies) + M c = 0
Me = -2000 Ib • pie
Resp.
Como ejercicio, trate de obtener esos mismos resultados consideran­
do el segmento de viga A C , es decir, retire la polea en A de la viga y
muestre las componentes de la fuerza de 500 Ib de la polea actuando
sobre el segmento de viga AC.
• 13
14 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
□
Determ ine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección
transversal en G de la viga de madera mostrada en la figura 1-7«. Supon­
ga que las juntas en A , 5 , C, D y E están conectadas por pasadores.
Solución
Reacciones en los soportes. Consideraremos el segmento A G para el
análisis. Un diagrama de cuerpo libre de toda la estructura se muestra
en la figura 1-7¿>. Verifique las reacciones calculadas en E y C. En par­
ticular, note que BC es un miembro de dos fuerzas ya que sólo dos fuer­
zas actúan en él. Por esta razón la reacción en C debe ser horizontal tal
como se muestra.
Como BA y BD son también miembros de dos fuerzas, el diagrama
de cuerpo libre de la junta B es como se muestra en la figura 1.7c. De
nuevo, verifique las magnitudes de las fuerzas calculadas FBA y FBD.
15001b
7750 Ib
••' (] ii- - H Í
|—2 pies —*j' r W
VC
(d)
Diagrama de cuerpo libre. Usando el resultado para F«/i- la sección
izquierda AG de la viga se muestra en la figura \-ld .
Ecuaciones de equilibrio.
segmento AG , tenemos
2 Fx = 0;
+ t 2 Fy = 0;
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al
7750 l b ( |) + Nc = 0
Nc = - 6 2 0 0 Ib
- 1 5 0 0 Ib + 7750 l b ( |) - VG = 0
VG = 3150 Ib
Fig. 1-7
i + 2 Mc = 0;
Resp.
Resp.
Mc ~ (7750 lb)(§) (2 pies) + 1500 lb(2 pies) = 0
M g = 6300 Ib • pie
Resp.
Como ejercicio, calcule esos mismos resultados usando el segmen­
to GE.
S e c c ió n
1.2 Equilibrio de un cuerpo deformable
E J E M P L O
Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre la sección
transversal en B del tubo m ostrado en la figura 1-8«. El tubo tiene una
masa de 2 kg/m y está sometido a una fuerza vertical de 50 N y a un
par de momento de 70 N • m en su extremo A . El tubo está em potra­
do en la pared en C.
Solución
El problema se puede resolver considerando el segmento A B . que no
implica las reacciones del soporte en C.
Diagrama de cuerpo libre. Los ejes x, y, z. se fijan en B y el diagra­
ma de cuerpo libre del segmento A B se m uestra en la figura l-8¿. Las
componentes de fuerza y mom ento resultantes en la sección se supo­
ne que actúan en las direcciones coordenadas positivas y que pasan por
el centroide del área transversal en B. El peso de cada segmento de tu­
bo se calcula como sigue:
70 N-m
(a)
WBD = (2 k g /m )(0.5 m)(9.81 N /kg) = 9.81 N
WAD = (2 k g /m )(1.25 m)(9.81 N /kg) = 24.525 N
Estas fuerzas actúan por el centro de gravedad de cadg segmento.
Ecuaciones de equilibrio.
equilibrio, obtenemos*
Aplicando las seis ecuaciones escalares de
^ F.x ~ Oí
2 Fy = 0;
(^b).v = 0
( FB)y = 0
1 Fz = 0;
(Fb ) z - 9.81 N - 24.525 N - 50 N = 0
(Fb ) z = 84.3 N
Resp.
Resp.
fFü);
Resp.
2 (M b), = 0; (M b ) x + 70 N • m - 50 N (0.5 m) - 24.525 N (0.5 m)
- 9.81 N (0.25 m) = 0
( M b ) x = —30.3 N -m
Resp.
l ( M B)y = 0: (M B)y + 24.525 N (0.625 m) + 50 N (1.25 m) = 0
(M B)y = -77.8 N -m
Z (M
b )z
-
(M
b)z
= 0
Resp.
R e s P-
¿Qué indican los signos negativos de (MB)Xy ( M ^ y Note que la fuer­
za norm al N B = (FB) V = 0, m ientras que la fuerza cortante es
VB = V (0 )2 + (84.3)2 = 84.3 N. Adem ás, el m om ento torsionante
es Tb = (M b) v = 77.8 N • m y el m om ento flexionante es M¡¡ =
V(30.3)2+(0) 1/2 = 30.3 N ■m.
*La m agnitud de cada m o m en to resp ec to a un eje es igual a la m agnitud de cada fuer­
za p o r la distancia p erp en d icu lar del eje a la línea de acción de la fuerza. L a dirección
de cad a m om ento es d eterm in ad a u san d o la regla de la m ano derecha, con m om entos
positivos (pulgar) dirigidos a lo largo de los ejes co o rd en ad o s positivos.
70 N-m
(b)
Fig. 1-8
• 15
16 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS
1-1. Determ ine la fuerza normal interna resultante que
actúa sobre la sección transversal por el punto A en cada
columna. En (a), el segmento BC pesa 180 lb/pie y el seg­
m ento CD pesa 250 lb/pie. En (b), la columna tiene una
masa de 200 kg/m.
1-3. D eterm ine el par interno resultante que actúa sobre
las secciones transversales por los puntos B y C.
5 klb
10 pies
*1-4. Determine la fuerza normal y cortante internas re­
sultantes en el miembro en (a) la sección a-a y (b) la sec­
ción b-b, cada una de las cuales pasa por el punto A . La
carga de 500 Ib está aplicada a lo largo del eje centroidal
del miembro.
4 pies
4 pies
(a)
(b)
P r n b . 1-1
1-2. Determine el par interno resultante que actúa sobre
las secciones transversales por los puntos C y D. Los co­
jinetes de soporte en A y B perm iten el libre giro de la
flecha.
1-5. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal a través del punto D del
miembro A B .
50 mm
Prob. 1-2
50 mm
P r o b le m a s
1-6. La viga A B está articulada por un pasador en A y
soportada por un cable BC. D eterm ine las cargas internas
resultantes que actúan sobre la sección transversal en el
punto D.
•
17
1-9. Determine las cargas internas resultantes que actúan
sobre la sección transversal por el punto C. La unidad en­
friadora tiene un peso total de 52 klb y su centro de gra­
vedad en G.
1-7. Resuelva el problema 1-6 para las cargas internas re­
sultantes que actúan en el punto E.
F
Probs. 1-6/7
Prob. 1-9
y
*1-8. La viga A B está em potrada en la pared y tiene un
peso uniforme de 80 Ib/pic. Si el gancho soporta una car­
ga de 1500 Ib. determine las cargas internas resultantes que
actúan sobre las secciones transversales por los puntos
C y D.
1-10. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre las secciones transversales por los puntos D y
E de la estructura.
Prob. 1-8
Probs. 1-10/11
1-11. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre las secciones transversales por los puntos F y
G de la estructura.
18 .
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-12. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre (a) la sección a-a y (b) la sección b-b. Cada sec­
ción pasa por el centroide en C.
1-15. La carga de 800 Ib está siendo izada a velocidad
constante usando el motor M que tiene un peso de 90 Ib.
D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan so­
bre la sección transversal por el punto B en la viga. La
viga tiene un peso de 40 Ib /pie y está empotrada en la pa­
red en A .
*1-16. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por los puntos C y D e n
el problem a 1-15.
M
11.5pies .
ÍM z —
L
□
f
t
. i
c-7 B-^
p T?
*— 4p ies—-—4pies— -—3pies— —3pies— •— 4pies—0.25 p i e '
1-13. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por'el punto C en la vi­
ga. La carga D tiene una masa de 300 kg y está siendo iza­
da por el m otor M con velocidad constante.
Probs. 1-15/16
1-14. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por el punto E de la viga
en el problem a 1-13.
1-17. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal en el punto B.
60 Ib/pie
Probs. 1-13/14
Prob. 1-17
P r o b le m a s
1-18. La viga soporta la carga distribuida mostrada. D e­
termine las cargas internas resultantes que actúan sobre la
sección transversal por el punto C. Suponga que las reac­
ciones en los soportes A y B son verticales.
1-19. Determine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por el punto D en el pro­
blema 1-18.
19
1-21. La perforadora de vástago metálico está sometida
a una fuerza de 120 N en su mango. Determ ine la magni­
tud de la fuerza reactiva en el pasador A y en el eslabón
corto BC. D eterm ine también las cargas internas resultan­
tes que actúan sobre la sección transversal que pasa por D
en el mango.
1-22. Resuelva el problema 1-21 para las cargas internas
resultantes sobre la sección transversal que pasa por E y
en una sección transversal del eslabón corto BC.
1.5 kN/m
*1-20. La charola de servicio T usada en un avión está
soportada en cada lado por un brazo. La charola está co­
nectada por un pasador al brazo en A , y en B tiene un pa­
sador liso. (El pasador puede moverse dentro de la ranu­
ra en los brazos para poder plegar la charola contra el
asiento del pasajero al frente cuando aquella no está en
uso.) D eterm ine las cargas internas resultantes que actúan
sobre la sección transversal por el punto C del brazo cuan­
do el brazo de la charola soporta las cargas mostradas.
Probs. 1-21/22
1-23. El tubo tiene una masa de 12 kg/m. Considerando
que está em potrado en la pared en A . determ ine las car­
gas internas resultantes que actúan sobre la sección trans­
versal en B. Desprecie el peso de la palanca CD.
12 N
15 ram
Prob. 1-20
Prob. 1-23
20 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-24. La viga principal A B soporta la carga sobre el ala
del avión. Las cargas consisten en la reacción de la rueda
de 35 000 Ib en C, el peso de 1200 Ib de combustible en el
tanque del ala, con centro de gravedad en D y el peso de
400 Ib del ala con centro de gravedad en E. Si está em po­
trada al fuselaje en A , determ ine las cargas internas resul­
tantes sobre la viga en este punto. Suponga que el ala no
transmite ninguna de las cargas al fuselaje, excepto a tra­
vés de la viga.
z
1-26. La flecha está soportada en sus extremos por dos
cojinetes A y B y está sometida a las fuerzas aplicadas a
las poleas fijas a la flecha. D eterm ine las cargas internas
resultantes que actúan sobre la sección transversal en el
punto C. Las fuerzas de 300 N actúan en la dirección —z y
las fuerzas de 500 N actúan en la dirección +x. Los cojine­
tes en A y B ejercen sólo componentes .v y z de fuerza so­
bre la flecha.
z
35 000 ib
Prob. 1-24
1-25. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por el punto B del letre­
ro. El poste está em potrado en el suelo y una presión uni­
forme de 7 Ib/pie2 actúa perpendicularm ente sobre la cara
del letrero.
1-27. U na manivela de prensa tiene las dimensiones mos­
tradas. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal en A si se aplica una fuer­
za vertical de 50 Ib a la manivela como se muestra. Suponga
que la manivela está em potrada a la flecha en B.
z
' ’50 Ib
Prob. 1-25
Prob. 1-27
P r o b le m a s
*1-28.
Determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por los puntos F y G de
la estructura. El contacto en E es liso.
•
21
1-31. La barra curva A D de radio r tiene un peso w por
unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano ver­
tical, determine las cargas internas resultantes que actúan
sobre la sección transversal por el punto B. Sugerencia: la
distancia del centroide C del segmento A B al punto O es
O C = [2rsen(0/2)]/0.
801b
Prob. 1-31
1-29. El vástago del perno está sometido a una tensión
de 80 Ib. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal en el punto C.
*1-32.
La barra curva A D de radio /■tiene un peso w por
unidad de longitud. Si ésta se encuentra en un plano hori­
zontal, determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal por el punto B. Sugeren­
cia: la distancia del centroide C del segmento A B al punto
O es CO = 0.9745/'.
Prob. 1-29
1-30. Determ ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre la sección transversal en los puntos B y C del
miembro curvo.
1-33. Se m uestra en la figura un elem ento diferencial
tomado de una barra curva. Demuestre que clN/dO = V,
dV /d d = - N , d M /d d = - T y d T /d O = M.
M +iiM
T+dT
22 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1.3
Esfuerzo
Fig. 1-9
'
En la sección 1.2 mostramos que la fuerza y el m omento que actúan
en un punto específico sobre el área seccionada de un cuerpo, figura
1-9, representan los efectos resultantes de la d istrib u ció n de fu e r z a
verdadera que actúa sobre el área seccionada, figura 1-96. La obten­
ción de esta d istrib u ció n de carga interna es de importancia prim or­
dial en la mecánica de materiales. Para resolver este problem a es ne­
cesario establecer el concepto de esfuerzo.
Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas
áreas, tal como el área sombreada de AA m ostrada en la figura 1-10«.
Al reducir AA a un tamaño cada vez más pequeño, debemos hacer
dos hipótesis respecto a las propiedades del material. C onsiderare­
mos que el material es continuo, esto es, que consiste en una distri­
bución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estar
compuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. A de­
más, el material debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes es­
tán unidas entre sí, en vez de tener fracturas, grietas o separaciones.
Una fuerza típica finita pero muy pequeña AF. actuando sobre su área
asociada AA , se m uestra en la figura 1-lOa. Esta fuerza como todas
las otras, tendrá una dirección únicá, pero para el análisis que sigue la
reemplazaremos por sus tres co m p o n e n tes, AFV, AFVy AF-, que se to­
man tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área AA
tiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza AF y sus compo­
nentes: sin embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en ge­
neral a un límite finito. Este cociente se llama e sfu erzo y describe la
in ten sid a d d e la fu e r z a interna sobre un p la n o específico (área) que
pasa por un punto.
S e c c ió n 1 .3
Esfuerzo normal. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria,
actuando normalmente a AA se define como el esfuerzo normal, a (sigma).
Como dFj es normal al área, entonces,
túan
gura
terza
itenmors neleñas
-10a.
lacer
rareiistriestar
Adees esiones,
i área
todas
sue la
se to­
ja AA
>mpoen geib e la
i ) que
<r, =
lím
AFZ
——
&A—*Q A A
(1-4)
Si la fuerza o esfuerzo norm al “jala" al elem ento de área AA como se
muestra en la figura 1-10«. se le llama esfuerzo de tensión, mientras que si
“empuja” a A/l se le llama esfuerzo de compresión.
Esfuerzo cortante. La intensidad de fuerza, o fuerza por área unita­
ria, actuando tangente a AA se llama esfuerzo cortante, r (tau). Aquí te­
nemos las componentes de esfuerzo cortante,
T -v =
*
AFx
lim
— —
A/i—*o A A
v
AF>
T*y = A i x
(1-5)
El subíndice z en a. se usa para indicar la dirección de la línea normal
hacia fuera, que especifica la orientación del área AA. figura 1-11. Para
las componentes del esfuerzo cortante. rzx y r:v, se usan dos subíndices. El
eje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor­
denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.
Fig. 1-11
Estado general de esfuerzo. Si el cuerpo es adicionalmente seccio­
nado por planos paralelos al plano .r-z. figura 1-10£>. y al plano y-z, figura
1-lOc, podemos entonces “separar” un elem ento cúbico de volumen de
material que representa el estado de esfuerzo que actúa alrededor del pun­
to escogido en el cuerpo, figura 112. Este estado de esfuerzo es caracteri­
zado por tres componentes que actúan sobre cada cara del elemento. Esas
componentes de esfuerzo describen el estado de esfuerzo en el punto só­
lo para el elemento orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fue­
se seccionado en un cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se
definiría usando un conjunto diferente de componentes de esfuerzo.
Unidades. En el sistema SI. las magnitudes de los esfuerzos normal y
cortante se especifican en las unidades básicas de new tons por m etro
cuadrado (N /n r). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N /m 2) es algo
pequeña y en trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), sim­
bolizado por. mega- (106), simbolizado por M o giga- (109). simbolizado
por G. para representar valores mayores del esfuerzo.* De la misma ma­
nera. en el sistema inglés de unidades, los ingenieros por lo regular expre­
san el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o en kilolibras por
pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilolibra (kip) = 1000 Ib.
* A lgunas veces el esfuerzo se expresa en u n id ad es de N / n i n r . d o n d e 1 m m = 10 ’ m.
Sin em bargo, en el sistem a SI no se p erm iten prefijos en el d en o m in ad o r de una fracción
y p o r tan to es m ejo r u sa r el eq u iv alen te 1 N /m m - = ] M N /m 2 = 1 M Pa.
Fig. 1-12
Esfuerzo
•
23
24 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1.4
Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialm ente
p
ti
r
Fuerza interna
Area de la sección
transversal
i
i
Fuerza externa
(a)
Suposiciones. Antes de determinar la distribución de esfuerzo prom e­
dio que actúa sobre el área transversal de la barra, es necesario hacer dos
hipótesis simplificatorias relativas a la descripción del material y a la apli­
cación específica de la carga.
1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de que
se aplica la carga, y también, la sección transversal debe perm ane­
cer plana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la
barra cambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneas
horizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra se
d eform arán u n ifo rm em en te cuando la barra esté sometida a la carga,
figura l-13c. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extre­
mos de la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede
ocasionar d isto rsio n es localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo en
la distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.
(b)
Región de
deformación
uniforme de
la barra
Fig. 1-13
Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican lar­
gos y delgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmen­
te se aplican a los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras
colgantes y pernos son ejemplos típicos. En esta sección determinaremos
la distribución del esfuerzo promedio que actúa sobre la sección transver­
sal de una barra cargada axialmente como la mostrada en la figura 1-13«,
que tiene una forma general. Esta sección define el área de la sección
transversal de la barra y como todas esas secciones transversales son igua­
les, a la barra se le llama barra prismática. Si despreciamos el peso de la
barra y la seccionamos como se indica en la figura 1-13¿>, entonces, por
equilibrio del segmento inferior, la fuerza interna resultante que actúa so­
bre la sección transversal debe ser igual en magnitud, opuesta en sentido
y colineal con la fuerza externa que actúa en el fondo de la barra.
2. Para que la barra exp erim en te u na d efo rm a ció n u n ifo rm e , es nece­
sario que P se aplique a lo largo del eje cen tro id a l de la sección
transversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Un m a­
terial homogéneo tiene las mismas propiedades físicas y mecánicas
en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esas mismas
propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de la ingenie­
ría pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Por ejemplo, el
acero contiene miles de cristales orientados al azar en cada milíme­
tro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de las aplicaciones
este material tiene un tam año físico que es mucho mayor que un
solo cristal, la suposición anterior relativa a la composición del m a­
terial es bastante realista. Sin embargo, debe mencionarse que el
acero puede volverse anisotrópico por medio del laminado en frío,
esto es, laminado o forjado a tem peraturas subcríticas. Los m ate­
riales anisotrópicos tienen propiedades diferentes en direcciones
diferentes, y aunque éste sea el caso, si la anisotropía se orienta a
lo largo del eje de la barra, entonces la barra se deformará unifor­
m em ente cuando sea sometida a una carga axial. Por ejemplo, la
madera, debido a sus granos o fibras, es un material que es homo­
géneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el siguiente aná­
lisis.
1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
S e c c ió n
irican larrmalmenras. barras
tinaremos
i transverura 1-13«,
'a sección
5son iguapeso de la
onces, por
i actúa soen sentido
rra.
■zo promeihacer dos
y a la apliués de que
: permanenpo que la
:s las líneas
la barra se
i a la carga,
a los extre­
mas puede
nos sólo en
je la barra.
te, es necela sección
co. Un mar mecánicas
sas mismas
: la ingenieejemplo, el
ada milímeiplicaciones
tyor que un
rión del m a­
tarse que el
iado en frío,
i. Los matedirecciones
se orienta a
nará uniforejemplo, la
ue es homoguiente aná-
Distribución del esfuerzo normal promedio. Suponiendo que la
barra está sometida a una deformación uniforme constante, entonces esta
deformación es causada por un esfuerzo normal crconstante, figura 1-13<r/.
En consecuencia, cada área zL4 sobre la sección transversal está someti­
da a una fuerza AF = cr AA, y la suma de esas fuerzas actuando sobre toda
el área transversal debe ser equivalente a la fuerza interna resultante P en
la sección. Si hacemos que &A —>clA y por tanto AF -h> dF, entonces co­
mo cr es constante, tenemos
dF = \ a dA
'a
P =
O-
A
cr
P_
A
(1-6)
(d)
Donde,
Fig. 1-13 (cont.)
cr = esfuerzo normal prom edio en cualquier punto sobre el área de la
sección transversal
P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área
de la sección transversal. P se determ ina usando el método de las
secciones y las ecuaciones de equilibrio
A = área de la sección transversal de la barra
La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transver­
sal ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nu­
los respecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 1-13í/.
Cuando esto ocurre.
0=
ydF=
/I
( M r )y = 2 My,
0 = —
I y a d A = o-\ y d A
v4
A
x dF = —
-U
xa- d A
= -crj
x dA
M
Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide,
/ y d A = 0 y f x dA = 0. (Vea el apéndice A.)
Equilibrio. D ebería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en
cualquier elemento de volumen de material localizado en cada punto so­
bre la sección transversal de una barra cargada axialmente. Si considera­
mos el equilibrio vertical del elemento, figura 1-14. entonces al aplicar la
ecuación de equilibrio de fuerzas,
2 F, = 0;
p
o-(Ai4) - cr'(A/4) = 0
a — cr'
En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele­
mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éste
se le llama esfuerzo uniaxial.
• 25
f
26
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
P
ji
á
T
p
P
Compresión
Tensión
Fig. 1-15
W J lB *
Esta barra de accro se usa para suspen­
der una porción de una escalera, y por
ello está sometida a un esfuerzo de
tensión.
El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o a com pre­
sión, como se m uestra en la figura 1-15. Como interpretación gráfica, la
magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente al volumen ba­
jo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = a A (volumen = altura X base).
Además, como consecuencia del equilibrio de momentos, esta resultante
pasa p o r el centroide de este volumen.
Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, esta
suposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño
ahusamiento. Por ejemplo, puede dem ostrarse, usando un análisis más
exacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada de sec­
ción transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados adyacen­
tes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según a = P/ A, es
sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de la elasticidad.
Esfuerzo normal promedio máximo. En el análisis anterior, tanto
la fuerza interna P como el área de la sección transversal se consideraron
constantes a lo largo del eje longitudinal de la barra y por tanto se obtu­
vo un esfuerzo normal ir = P /A también constante. Sin embargo, en oca­
siones la barra puede estar sometida a varias cargas externas a lo largo de
su eje o puede presentarse un cambio en su área de sección transversal.
En consecuencia, el esfuerzo normal dentro de la barra puede ser dife­
rente de sección a sección, y si debe calcularse el esfuerzo normal prom e­
dio máximo, tendrá que determinarse la posición en que la razón P /A sea
máxima. Para esto es necesario determ inar la fuerza interna P en varias
secciones a lo largo de la barra, lo que se consigue dibujando un diagra­
ma de fuerza normal o axial. Específicamente, este diagrama es una grá­
fica de la fuerza normal P contra su posición x a lo largo de la longitud de
la barra. P se considerará positiva si causa tensión en el miembro y nega­
tiva si causa compresión. Una vez conocida la carga interna en toda la
barra podrá identificarse la razón máxima de P/A.
S e c c ió n
1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
PUNTOS IMPORTANTES
• Cuando un cuerpo que está sometido a una carga externa es sec­
cionado, hay una distribución de fuerza que actúa sobre el área
seccionada que mantiene cada segmento del cuerpo en equilibrio.
La intensidad de esta fuerza interna en un punto del cuerpo se
denomina esfuerzo.
• El esfuerzo es el valor límite de la fuerza por área unitaria, al ten­
der a cero el área. Para esta definición, el material en el punto se
considera continuo y cohesivo.
• En general, hay seis componentes independientes de esfuerzo en
cada punto en el cuerpo, que son los esfuerzos normales, ax, crv,
a z y los esfuerzos cortantes, r vv, ryz, t xz.
• La magnitud de esas componentes depende del tipo de carga que
actúa sobre el cuerpo y de la orientación del elem ento en el punto.
• Cuando una barra prismática está hecha de material homogéneo
e isotrópico, y está sometida a una fuerza axial que actúa por el
centroide del área de la sección transversal, entonces el material
dentro de la barra está sometido sólo a esfuerzo norm al Este es­
fuerzo se supone uniforme o promediado sobre el área de la sec­
ción transversal.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
La ecuación a = P /A da el esfuerzo normal promedio en el área
transversal de un miembro cuando la sección está sometida a una
fuerza normal interna resultante P. Para miembros axialmente car­
gados, la aplicación de esta ecuación requiere los siguientes pasos.
Carga interna.
• Seccione el miembro perpendicularmente a su eje longitudinal en
el punto donde el esfuerzo normal va a ser determ inado y use el
diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio de fuerza
necesarios para obtener la fuerza axial interna P en la sección.
Esfuerzo normal promedio.
• Determine el área transversal del miembro en la sección y calcu­
le el esfuerzo normal promedio a = P/A.
• Se sugiere que o-se muestre actuando sobre un pequeño elemento
de volumen del material localizado en un punto sobre la sección
donde el esfuerzo es calculado. Para hacer esto, primero dibuje a
sobre la cara del elem ento que coincide con el área seccionada
A. Aquí, cr actúa en la misma dirección que la fuerza interna P
ya que todos los esfuerzos normales sobre la sección transversal
actúan en esta dirección para desarrollar esta resultante. El es­
fuerzo normal a que actúa sobre la cara opuesta del elemento
puede ser dibujada en su dirección apropiada.
• 27
28 .
CAPITULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
La barra en la figura 1-16a tiene un ancho constante de 35 mm y un es­
pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal prom edio máximo en
la barra cuando ella está sometida a las cargas mostradas.
B
12 kN
9 kN
Ç
4 kN
D
22 kN
35 mm
12 kN
------H D _
■+- Pa b = 12 kN
c
9 kN
12 kN Mr-
-► PBC = 30 kN
9 kN
PCD = 22 k N -« ------- i
------► 22 kN
(b)
P(kN)
30
22
12
(c)
Solución
10 mm
► 30 kN
Carga interna. Por inspección, las fuerzas axiales internas en las re­
giones AB, BC y CD son todas constantes pero tienen diferentes mag­
nitudes. Usando el método de las secciones, esas cargas son determ ina­
das en la figura 1-166; y el diagrama de fuerza normal que representa
esos resultados gráficamente se muestra en la figura l-16c. Por inspec­
ción, la carga máxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como
el área transversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo
promedio también ocurre dentro de esta región de la barra.
Esfuerzo normal promedio.
vbc
-
Aplicando la ecuación 1-6, obtenemos
PBC
30(10S)N
/l
(0.035 m )(0.010m )
= 85.7 MPa
Resp.
La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección trans­
versal arbitraria de la barra dentro de la región BC se m uestra en la
figura l-16íl Gráficamente el volumen (o “bloque”) representado por
esta distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea,
30 kN = (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm).
S e c c ió n
E J E M P L O
1.4 Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
-----------------------------------------------
La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras A B y BC como se
muestra en la figura \-\la . Si A B tiene un diámetro de 10 mm y BC tie­
ne un diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en
cada barra.
(a)
Fig. 1-17
Solución
Carga interna. Debemos primero determ inar la fuerza axial en
cada
barra. En la figura 1-17¿> se muestra un diagrama de cuerpo libre de la
lámpara. Aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos
•*> 2 F , = 0;
Fgc( |) - Fba eos 60° = 0
+ t 2 Fy = 0;
Fs c ( |) + Fba sen 60° - 784.8 N = 0
Fbc = 395.2 N,
Fba = 632.4 N
Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a la reac­
ción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su longitud.
Esfuerzo normal promedio.
arBC =
=
A bc
Aplicando la ecuación 1-6, tenemos
395.2 N
_ ^^
7r(0.004 m )2
a BA = —
=
632-4
= 8.05 MPa
A ba
7t(0.005 m )2
8.05
Resp.
Resp.
La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una
sección transversal de la barra A B se muestra en la figura l-17c, y en
un punto sobre esta sección transversal, un elemento de material está
esforzado como se muestra en la figura l . l l d .
(d)
(c)
• 29
E J E M P L O
1.8
La pieza fundida mostrada en la figura 1-18« está hecha de acero con
peso específico de yac = 490 Ib /p ie D e te rm in e el esfuerzo de com pre­
sión promedio que actúa en los puntos A y B.
w
0.75 pie -
¡
2.75 pies
\r
2.75
- 0.4 pie
B
B
í f
frl
L■<=’ /
0.75 pie
____ 1
____
.4
P
(b)
9.36 lb/pulg2
(c)
Fig. 1-18
Solución
Carga interna. En la figura 1-186 se muestra un diagrama de cuerpo
libre del segmento superior de la pieza fundida donde la sección pasa
por los puntos A y B. El peso de este segmento es Wac = yacVac. La fuer­
za axial interna P en la sección es entonces
+t 2 Fz = 0;
P ~ w ac = 0
P - (490 lb/pie )(2.75 pies)7r(0.75 pie)2 = 0
2381 Ib
Esfuerzo de compresión promedio. El área transversal en la sección
es A = 7r(0.75 p ie)2, y el esfuerzo de com presión prom edio es en ­
tonces
P
2381 Ib
A
7t(0.75 pie)2
= 1347.5 lb/pie = 1347.5 lb/pie (1 pie /144 pulg )
= 9.36 lb/pulg2
R esp.
El esfuerzo mostrado en el elem ento de volumen de material en la
figura 1-18c es representativo de las condiciones en A o B. Note que
este esfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo o cara som breada del
elemento ya que esta cara forma parte del área de la superficie del fon­
do de la sección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna re­
sultante P empuja hacia arriba.
S e c c ió n 1 .4
E J E M P L O
Esfuerzo normal promedio en una barra cargada axialmente
-----------------------------------------------
El miembro AC mostrado en la figura 1-19« está sometido a una fuer­
za vertical de 3 kN. Determine la posición x de esta fuerza de modo que
el esfuerzo de compresión promedio en el soporte liso C sea igual al
esfuerzo de tensión promedio en el tirante A B . El tirante tiene un área
en su sección transversal de 400 mm2 y el área de contacto en C es de
650 mm2.
(a)
Fig. 1-19
Solución
Carga interna. Las fuerzas en A y C pueden ser relacionadas consi­
derando el diagrama de cuerpo libre del miembro AC, figura 1-196. Se
tienen tres incógnitas que son FAB, Fc y x. En la solución de este pro­
blema usaremos unidades de newtons y milímetros.
+ t 2 Fy = 0;
2 M a = 0;
Fab + Fc ~ 3000 N = 0
-3000 N(jc) + Fc (200 mm) = 0
(1)
(2 )
Esfuerzo norm al promedio. Puede escribirse una tercera ecuación
necesaria que requiere que el esfuerzo de tensión en la barra A B y el
esfuerzo de compresión en C sean equivalentes, es decir,
a =
AB
400 mm2 650 mm2
Fc = 1.625Fab
Sustituyendo esto en la ecuación 1, despejando Fab y Fc, obtenemos
Fab = 1143 N
Fc = 1857 N
La posición de la carga aplicada se determina con la ecuación 2,
x = 124 mm
Note que 0 < x < 200 mm, tal como se requiere.
Resp.
• 31
1.5
Esfuerzo cortante promedio
El esfuerzo cortante se definió en la sección 1.3 como la componente del
esfuerzo que actúa en el plano del área seccionada. Para m ostrar cómo se
desarrolla este esfuerzo, consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F
a la barra mostrada en la figura 1-20a. Si los soportes se consideran rígi­
dos y F es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la
barra se deforme y falle a lo largo de los planos A B y CD. Un diagrama de
cuerpo libre del segmento central no soportado de la barra, figura 1-206,
indica que una fuerza cortante V = F/2 debe aplicarse a cada sección pa­
ra mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante prom edio dis­
tribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza se define
por:
'Tprom
a
(1-7)
Donde,
Tprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mis­
m o en todo punto localizado sobre la sección
V = fuerza cortante interna resultante en la sección; se determ ina con
las ecuaciones de equilibrio
A = área en la sección
La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando so­
bre la sección derecha en la figura l-20c. Observe que Tprom tiene la mis­
ma dirección que V, ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas aso­
ciadas que contribuyen en conjunto a generar la fuerza interna resultante
V en la sección.
El caso de carga analizado en la figura 1-20 es un ejemplo de cortante
sim ple o cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción di­
recta de la carga aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios
tipos de conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc.
Sin embargo, en todos esos casos, la aplicación de la ecuación 1-7 es sólo
aproximada. Una investigación más precisa de la distribución del esfuer­
zo cortante sobre la sección crítica revela que esfuerzos cortantes mucho
mayores ocurren en el material que los predichos por esta ecuación. Si
bien éste puede ser el caso, la aplicación de la ecuación 1-7 es generalmen­
te aceptable para muchos problemas de análisis y diseño. Por ejemplo, los
manuales de ingeniería permiten su uso al considerar tamaños de diseño
para sujetadores como pernos o para obtener la resistencia por adheren­
cia de juntas sometidas a cargas cortantes. Con respecto a esto, ocurren
en la práctica dos tipos de cortante, que merecen tratam ientos separados.
.
S e c c ió n
1.5 Esfuerzo cortante promedio
•
• 33
Fig. 1-21
Cortante simple. Las juntas de acero y m adera mostradas en las figu­
ras 1-21« y l-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan­
te sim ple y se conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que
los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-21« no está de­
masiado apretada de modo que la fricción entre los miembros puede des­
preciarse. Pasando una sección entre los miembros se obtienen los diagra­
mas de cuerpo libre m ostrados en las figuras 1-216 y 1-21 d. Como los
miembros son delgados, podemos despreciar el momento generado por
la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección transversal del
perno en la figura 1-216 y la superficie de contacto entre los miembros en
la figura 1-21 d están sometidos sólo a una fuerza cortante V = F. Esta fuer- El pasador en este tractor está sometido a
za se usa en la ecuación 1-7 para determ inar el esfuerzo cortante prome- cortante doble,
dio que actúa en la sección de la figura 1-21 d.
Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la
figura 1-22« o l-22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese ti­
po de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sec­
ción entre cada uno de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del
miembro central son como se m uestra en las figuras 1-226 y i-22d. Tene­
mos aquí una condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza
cortante V - Ff2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortan­
te debe considerarse al aplicar rperm = V¡A.
Fig. 1-22
Syijm
S e cció n
1.5 Esfuerzo cortante promedio
• 33
Fig. 1-21
Cortante simple. Las juntas de acero y m adera mostradas en las figu­
ras 1-21 a y l-21c, respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan­
te sim ple y se conocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que
los miembros son delgados y que la tuerca en la figura 1-21« no está de­
masiado apretada de modo que la fricción entre los miembros puede des­
preciarse. Pasando una sección entre los miembros se obtienen los diagra­
mas de cuerpo libre m ostrados en las figuras 1-216 y 1-21 d. Como los
miembros son delgados, podemos despreciar el momento generado por
la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección transversal del
perno en la figura 1-216 y la superficie de contacto entre los miembros en
la figura 1-21 d están sometidos sólo a una fuerza cortante V = F. Esta fuerza se usa en la ecuación 1-7 para determ inar el esfuerzo cortante promedio que actúa en la sección de la figura 1-21 d.
El pasador en este tractor está sometido a
cortante doble,
Cortante doble. Cuando la junta se construye como se muestra en la
figura 1-22« o l-22c, deben considerarse dos superficies cortantes. Ese ti­
po de conexiones se llaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sec­
ción entre cada uno de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del
miembro central son como se m uestra en las figuras 1-226 y l-22d. Tene­
mos aquí una condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza
cortante V = Ff2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortan­
te debe considerarse al aplicar T p e rm = V/A.
Fig. 1-22
Ay
Fig. 1-23
Equilibrio. Consideremos un elemento de volumen de material tom a­
do en un punto localizado sobre la superficie de cualquier área seccionada
sobre la que actúa el esfuerzo cortante promedio, figura 1-23a. Si consi­
deramos el equilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces
fuerza
esfuerzo
área
n i------- 1
2 Fy - 0;
Tz y ( ^ x A y) ~ T'zy A * A y = 0
T zy ~~ r zy
De m anera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da ryz =
Tyz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,
m om ento
fuerza
I
esfuerzo
2 Mx = 0;
brazo
1
área
1
—r zy( A x Ay) Az + r yz( A x Az) A y = 0
por lo que
En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que el
esfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, esté acom­
pañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras, figu­
ra l-23¿>. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes deben tener igual
magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno de otro en caras con
un borde común. A esto se le llama propiedad complementaria del cortan­
te,y bajo las condiciones mostradas en la figura 1-23, el material está so­
metido a cortante puro.
Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado
por la acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que
el esfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la ac­
ción de otros tipos de cargas.
S e c c ió n 1 .5
PUNTOS IMPORTANTES
• Si dos partes delgadas o pequeñas se unen entre sí, las cargas apli­
cadas pueden causar cortante del material con flexión desprecia­
ble. Si éste es el caso, es generalmente conveniente en el análisis
suponer que un esfuerzo cortante promedio actúa sobre el área
de la sección transversal.
• A menudo los sujetadores, como clavos y pernos, están someti­
dos a cargas cortantes. La magnitud de una fuerza cortante sobre
el sujetador es máxima a lo largo de un plano que pasa por las
superficies que son conectadas. Un diagrama de cuerpo libre cui­
dadosamente dibujado de un segmento del sujetador permitirá
obtener la magnitud y dirección de esta fuerza.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
La ecuación rprom = V /A se usa para calcular sólo el esfuerzo cortan­
te promedio en el material. Su aplicación requiere dar los siguientes
pasos
Cortante interno.
• Seccione el miembro en el punto donde el esfuerzo cortante pro­
medio va a ser determinado.
• Dibuje el diagrama de cuerpo libre necesario y calcule la fuerza
cortante interna y que actúa en la sección que es necesaria para
mantener la parte en equilibrio.
Esfuerzo cortante promedio.
• Determine el área seccionada A , y calcule el esfuerzo cortante
promedio rprom = V/A.
• Se sugiere que T p ro m sea m ostrado sobre un pequeño elemento de
volumen de material localizado en un punto sobre la sección don­
de él es determinado. Para hacer esto, dibuje primero T p ro m sobre
la cara del elem ento que coincide con el área seccionada A. Este
esfuerzo cortante actúa en la misma dirección que V. Los esfuer­
zos cortantes que actúan sobre los tres planos adyacentes pueden
entonces ser dibujados en sus direcciones apropiadas siguiendo
el esquema mostrado en la figura 1-23.
Esfuerzo cortante promedio
• 35
La barra m ostrada en la figura 1-24a tiene una sección transversal cua­
drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del
eje centroidal del área transversal de la barra, determ ine el esfuerzo
normal promedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el
m aterial a lo largo (a) del plano a-a y (b) del plano b-b.
800 N
(a)
500 kPa
Fig. 1-24
Solución
Parte (a)
Carga interna. La barra es seccionada, figura 1-246, y la carga inter­
na resultante consiste sólo en una fuerza axial P = 800 N.
Esfuerzo promedio.
la ecuación 1-6.
El esfuerzo normal promedio se determ ina con
a = “ =
A
8° | ! L
= 500 kPa
(0.04 m)(0.04 rp)
Resp.
No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante
en la sección es cero.
T p ro m
—0
Resp.
La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la sección trans­
versal se m uestra en la figura l-24c.
S e c c ió n 1 .5
cua£o del
uerzo
bre el
l
30'
800 N
800 N
E
•jk P a
Parte (b)
Carga interna. Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagra­
ma de cuerpo libre del segmento izquierdo es como se muestra en la
figura 1-24d. Aquí actúan una fuerza normal (N) y una fuerza cortan­
te (V) sobre el área seccionada. Usando ejes x , y, se requiere
-*• S Fx = 0;
+T 2 F,
=
0;
-8 0 0 N + N sen 60° + V eos 60° = 0
V sen 60° - N eos 60° = 0
/
o más directamente, usando ejes x \y '
+ \ S F¿ = 0;
N - 800 N eos 30° = 0
+ S 2 Fy = 0;
1/ - 800 N sen 30° = 0
Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones,
inter-
N = 692.8 N
V = 400 N
12
con
Esfuerzos promedio. En este caso el área seccionada tiene un espe­
sor de 40 mm y una profundidad de 40 mm/sen 60° = 46.19. respecti­
vamente, figura 1-24«. El esfuerzo normal promedio es entonces
Resp.
N_
A
nante
692.8 N
= 375 kPa
(0.04 m)(0.04619 m)
Resp.
y el esfuerzo cortante promedio es
v
Resp.
'p ro m
trans-
A
400 N
= 217 kPa
(0.04 m)(0.04619 m)
La distribución de esfuerzo se muestra en la figura l-24e.
Resp.
Esfuerzo cortante promedio
• 37
38 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
El puntal de madera m ostrado en la figura 1-25« está suspendido de
una barra de acero de diám etro de 10 mm, que está em potrada a la pa­
red. Si el puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo
cortante prom edio en la barra en la pared y a lo largo de los dos pla­
nos sombreados del puntal, uno de los cuales está indicado como abcd.
Solución
Cortante interno. Como se m uestra en el diagrama de cuerpo libre
en la figura 1-256, la barra resiste una fuerza cortante de 5 kN donde
ella está em potrada a la pared. En la figura l-25c se muestra un diagra­
ma de cuerpo libre del segmento seccionado del puntal que está en con­
tacto con la barra. Aquí la fuerza cortante que actúa a lo largo de ca­
da plano som breado es de 2.5 kN.
Esfuerzo cortante promedio.
prom
V
A
Para la barra,
5000N
= 63.7 MPa
7r(0.005 m )2
Resp.
Para el puntal,
fuerza del puntal
sobre la barra
V
2500 N
I = (0.04 m)(0.02 m) " 312 MPa
kN
^
La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra sec­
cionada y el segmento de puntal se m uestran en las figuras 1-25d y
l-25e, respectivamente. Se m uestra también con esas figuras un ele­
mento de volumen típico del material en un punto localizado sobre la
superficie de cada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo
cortante debe actuar sobre cada cara som breada de esos elementos y
sobre las caras adyacentes de los mismos.
0>)
I7 = 2.5 kN
V = 2.5 kN
r
Í|
5 kN
J
i
fuerza de la
barra sobre
el puntal
5 kN
5 kN
(c)
3.12 MPa
(e)
(d)
Fig. 1-25
S e c c ió n
1.5 Esfuerzo cortante promedio
E J E M P L O
do de
la pauerzo
s plaabccl.
El miembro inclinado en la figura 1-26« está sometido a una fuerza de
compresión de 600 Ib. Determ ine el esfuerzo de compresión promedio
a lo largo de las áreas lisas de contacto definidas por A B y BC, y el es­
fuerzo cortante prom edio a lo largo del plano horizontal definido por
EDB.
,600 Ib
i libre
ionde
iagraiconie ca-
/¡a
Resp.
Fig. 1-26
360 ib
Solución
Resp.
i sec25d y
a elebre la
uerzo
ítos y
Cargas internas. El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado
se muestra en la figura l-26¿>. Las fuerzas de compresión que actúan
sobre las áreas de contacto son
2 Fx = 0;
Fab - 600 lb(f) = 0
FAB = 360 Ib
+ T2 Fy = 0;
Fbc - 600 lb(f) = 0
FBC = 480 Ib
/
También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior del miem­
bro del fondo, figura l-26c. la fuerza cortante que actúa sobre el plano
horizontal seccionado E D B es
± X F x = 0;
V = 360 Ib
240
Esfuerzo promedio. Los esfuerzos de compresión promedio a lo lar­
go de los planos horizontal y vertical del miembro inclinado son
aAB
(rBC -
360 Ib
= 240 lb/pulg
(1 pulg)(1.5 pulg)
Resp.
480 Ib
= 160 lb/pulg2
(2 pulg)(1.5 pulg)
Resp.
Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 1-26d.
El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontal
definido por ED B es
360 Ib
V - = (3 pulg)(1.5 pulg) = 80 lb/P ul§'
ResP-
Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figu­
ra l-26e.'
(d)
3601b
• 39
40
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS
1-34. La colum na está som etida a una fuerza axial de
8 kN en su parte superior. Si el área de su sección trans­
versal tiene las dimensiones mostradas en la figura, deter­
mine el esfuerzo normal prom edio que actúa en la sección
a-a. Muestre esta distribución del esfuerzo actuando sobre
la sección transversal de la columna.
Prob. 1-34
1-35. El grillete de anclaje soporta la fuerza del cable de
600 Ib. Si el pasador tiene un diámetro de 0.25 pulg, deter­
mine el esfuerzo cortante promedio en el pasador.
Prob. 1-35
*1-36. Al correr, el pie de un hombre de 150 Ib está mo­
m entáneam ente sometido a una fuerza que es 5 veces su
peso. Determ ine el esfuerzo normal prom edio desarrolla­
do en la tibia T de su pierna en la sección media a-a. La
sección transversal puede suponerse circular con diám e­
tro exterior de 1.75 pulg y un diám etro interior de 1 pulg.
Suponga que el peroné F no soporta carga.
Prob. 1-36
1-37. Ei pequeño bloque tiene un espesor de 0.5 pulg. Si
la distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por la
carga varía como se muestra, determ ine la fuerza F apli­
cada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.
Prob. 1-37
■
Pr o blem a s
mossu
ollat. La
ime-
1-38. El pequeño bloque tiene un espesor de 5 mm. Si la
distribución de esfuerzo en el soporte desarrollado por
la carga varía como se muestra, determine la fuerza F apli­
cada al bloque y la distancia d a la que está aplicada.
41
*1-40. La rueda de soporte se mantiene en su lugar bajo
la pata de un andamio por medio de un pasador de 4 mm
de diámetro como se muestra en la figura. Si la rueda es­
tá som etida a una fuerza norm al de 3 kN, determ ine el
esfuerzo cortante prom edio generado en el pasador. D es­
precie la fricción entre la pata del andamio y el tubo sobre
la rueda.
5U lg-
60 MPa
40 MPa
Prob. 1-38
1-39. La palanca está unida a la flecha em potrada por
medio de un pasador cónico que tiene un diám etro medio
de 6 mm. Si se aplica un par a la palanca, determ ine el es­
fuerzo cortante prom edio en el pasador, entre el pasador
y la palanca.
ilg. Si
por la
apli-
1-41. U na mujer con peso de 175 Ib está de pie sobre un
piso vinflico con zapatos de tacón puntiagudo. Si el tacón
tiene las dim ensiones mostradas, determ ine el esfuerzo
normal promedio que ella ejerce sobre el piso y com páre­
lo con el esfuerzo normal promedio generado cuando un
hombre del mismo peso lleva zapatos de tacones planos.
Suponga que la carga se aplica lentam ente de manera que
puedan ignorarse los efectos dinámicos. Suponga también
que todo el peso es soportado sólo por el tacón de un za­
pato.
1.2 pulg-
0.3 pulg
-Ht—o.i pulg
0.5 pulg
Prob. 1-39
Prob. 1-41
42 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-42. La lámpara con un peso de 50 Ib está soportada por
tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter­
mine cuál barra está sometida al mayor esfuerzo normal
promedio y calcule su valor. Considere d = 30°. El diám e­
tro de cada barra se da en la figura.
1-43.
1-46. Los dos miembros de acero están unidos entre sí
por medio de una soldadura a tope a 60°. Determ ine los
esfuerzos normal y cortante promedio resistidos en el pla­
no de la soldadura.
Resuelva el problema 1-42 para 0 = 45°.
*1-44. La lámpara con un peso de 50 Ib está soportada por
tres barras de acero conectadas por un anillo en A . D eter­
mine el ángulo de orientación 9 de A C tal que el esfuerzo
normal producido en la barra A C sea el doble del esfuer­
zo normal promedio en la barra A D . ¿Cuál es la magnitud
del esfuerzo en cada barra? El diám etro de cada barra se
da en la figura.
A , 25 mm
■c
8kN -
Z -------sí
8kN
60°
30 mm
Prob. 1-46
1-47. La flecha compuesta consiste en un tubo A B y en
una barra sólida BC. El tubo tiene un diám etro interior de
20 mm y un diámetro exterior de 28 mm. La barra tiene un
diám etro de 12 mm. D eterm ine el esfuerzo norm al p ro­
medio en los puntos D y E y represente el esfuerzo sobre
un elem ento de volumen localizado en cada uno de esos
puntos.
Probs. 1-42/43/44
___
El pedestal tiene una sección transversal triangu­
lar como se muestra. Si está sometido a una fuerza com­
presiva de 500 Ib, especifique las coordenadas x y y del pun­
to P(x, y ) en que debe aplicarse la carga sobre la sección
transversal para que el esfuerzo norm al sea uniform e.
Calcule el esfuerzo y esboce su distribución sobre una sec­
ción transversal en una sección alejada del punto de apli­
cación de la carga.
1-45.
5001b
Prob. 1-45
A
B _ 6kN
. j.
D
r t ~
, «■ M=a - ^ 8 k N
6kN
E
Prob. 1-47
*1-48. La pieza de madera está som etida a una fuerza
de tensión de 85 Ib. Determ ine los esfuerzos normal y cor­
tante prom edio desarrollados en las fibras de la madera
orientadas a lo largo de la sección a-a a 15° con respecto
el eje de la pieza.
Prob. 1-48
1
P ro b lem a s
e si
los
)la-
1-49. El bloque de plástico está som etido a una fuerza
axial de compresión de 600 N. Suponiendo que las tapas
arriba y en el fondo distribuyen la carga uniform emente a
través del bloque, determ ine los esfuerzos normal y cor­
tante promedio que actúan a lo largo de la sección a-a.
•
43
*1-52. La junta está sometida a la fuerza axial de miem­
bro de 5 kN. D eterm ine el esfuerzo normal promedio que
actúa en las secciones A B y BC. Suponga que el miembro
es liso y que tiene 50 mm de espesor.
600 N
5kN
y en
>r de
e un
proabre
esos
Prob. 1-52
1-53. La junta está sometida a la fuerza axial de miem­
bro de 6 klb. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio que
actúa sobre las secciones A B y BC. Suponga que el miem­
bro es liso y que tiene 1.5 pulg de espesor.
Prob. 1-49
1-50. El espécimen falló en una prueba de tensión a un
ángulo de 52° cuando la carga axial era de 19.80 klb. Si el
diámetro del espécimen es de 0.5 pulg, determ ine los es­
fuerzos normal y cortante prom edio que actúan sobre el
plano inclinado de falla. Además, ¿cuál fue el esfuerzo nor­
mal prom edio que actuaba sobre la sección transversal
cuando ocurrió la falla?
le r z a
cor­
dera
jecto
Prob. 1-53
Prob. 1-50
.a
1-51. Un espécimen a tensión con área A en su sección
transversal está sometido a una fuerza axial P. Determine
el esfuerzo cortante máximo promedio en el espécimen e
indique la orientación 0 de la sección en que éste ocurre.
1-54. Los dos miembros usados en la construcción del fu­
selaje de un avión están unidos entre sí usando una solda­
dura de boca de pescado a 30°. D eterm ine los esfuerzos
normal y cortante promedio sobre el plano de cada solda­
dura. Suponga que cada plano inclinado soporta una fuer­
za horizontal de 400 libras.
85 Ib
pulg
P ■*-
rr*'
/
Prob. 1-51
8001b-
' 1 pulg
1 pulg
30°
8001b
T
30'
Prob. 1-54
44 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-55. El conductor de un auto deportivo aplica los fre­
nos traseros, lo que ocasiona que los neumáticos se desli­
cen. Si la fuerza normal en cada neumático trasero es de
400 Ib y el coeficiente de fricción cinética entre los neum á­
ticos y el pavimento es de ¡xk = 0.5, determ ine el esfuerzo
cortante prom edio desarrollado por la fuerza de fricción
sobre los neumáticos. Suponga que el caucho de los neu­
máticos es flexible y que cada neumático tiene una presión
de 32 lb/pulg2.
1-58. Las barras de la arm adura tienen cada una un área
transversal de 1.25 pulg2. D eterm ine el esfuerzo normal
prom edio en cada barra debido a la carga P = 8 klb. Indi­
que si el esfuerzo es de tensión o de compresión.
1-59. Las barras de la arm adura tienen cada una un
área transversal de 1.25 pulg2. Si el esfuerzo normal pro­
medio máximo en cualquier barra no debe ser mayor de
20 klb/pulg2,determ ine la magnitud máxima / ’ de las car­
gas que pueden aplicarse a la armadura.
400 Ib
Prob. 1-55
Probs. 1-58/59
*1-56. Las barras A B y B C tienen diámetros de 4 mm y
6 mm, respectivamente. Si la carga de 8 kN se aplica al ani­
llo en fi, determ ine el esfuerzo normal promedio en cada
barra si 0 = 60°.
1-57. Las barras A B y B C tienen diám etros de 4 mm y
6 mm, respectivamente. Si la carga vertical de 8 kN se apli­
ca al anillo en B. determine el ángulo 9 de la barra BC de
m anera que el esfuerzo normal promedio en ambas barras
sea el mismo. ¿Q ué valor tiene este esfuerzo?
*1-60. La arm adura está form ada p o r tres m iem bros
conectados por pasadores; las áreas transversales de los
miembros se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer­
zo norm al prom edio generado en cada barra cuando la
arm adura está sometida a la carga mostrada. Indique si el
esfuerzo es de tensión o de compresión.
5001b
Probs. 1-56/57
Prob. 1-60
P ro blem a s
1-61. La viga uniforme está soportada por dos barras A B
y CD cuyas áreas transversales son de 12 mm2 y 8 mm2,
respectivamente. Si d = 1 m, determine el esfuerzo normal
prom edio en cada barra.
1-62. La viga uniforme está soportada por dos barras A B
y CD cuyas áreas de sección transversal son de 12 mm2 y
8 mm2, respectivamente. Determine la posición d de la car­
ga de 6 kN para que el esfuerzo normal prom edio en am­
bas barras sea el mismo.
• 45
1-65. El bastidor de dos miembros está sometido a la car­
ga distribuida mostrada. D eterm ine la intensidad w de la
carga uniform e máxima que puede aplicarse al bastidor
sin que los esfuerzos normal y cortante promedios en la
sección b-b excedan los valores a = 15 MPa y r = 16 MPa,
respectivamente. El miembro CB tiene una sección trans­
versal cuadrada de 35 mm de lado.
Probs. 1-61/62
1-63. La lámpara usada para iluminar el enganche de va­
gones de ferrocarril está soportada por el pasador de i pulg
de diám etro en A . Si la lámpara pesa 4 Ib y el brazo tiene
un peso de 0.5 Ib/pie, determine el esfuerzo cortante pro­
medio en el pasador necesario para soportar la lámpara.
Sugerencia: la fuerza cortante en el pasador es causada por
el par requerido para el equilibrio en A .
*1-64. El bastidor de dos miembros está som etido a la
carga distribuida que se muestra en la siguiente figura. D e­
term ine los esfuerzos normal y cortante prom edio que ac­
túan en las secciones a-a y b-b. El miembro CB tiene una
sección transversal cuadrada de 35 mm de lado. Conside­
re w = 8 kN/m.
Probs. 1-64/65
■1-66. Considere el problema general de una barra hecha
de m segmentos, cada uno con área transversal constante A m
y longitud L m. Si se tienen« cargas sobre la barra como se
muestra, escriba un programa de com putadora que pue­
da usarse para determinar el esfuerzo normal promedio en
cualquier posición específica x. Muestre una aplicación del
program a usando los valores
= 4 pies, d-y - 2 pies,
P\ - 400 Ib, A] = 3 pulg2, L,2 = 2 pies, d2 = 6 pies, P2 =
—300 Ib, ^42 = 1 pulg2-
Prob. 1-66
46 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-67. La viga está soportada por un pasador en A y un
eslabón corto BC. Si P = 15 kN, determine el esfuerzo cor­
tante promedio desarrollado por los pasadores en A , B y
C. Todos los pasadores están en cortante doble, como se
m uestra y cada uno tiene un diám etro de 18 mm.
*1-68. La viga está soportada por un pasador en A y un
eslabón corto BC. D eterm ine la magnitud máxima P de
las cargas que la viga soportará si el esfuerzo cortante pro­
m edio en cada pasador no debe ser m ayor de 80 MPa.
Todos los pasadores están en cortante doble y cada uno
tiene un diámetro de 18 mm.
1-70. La grúa pescante está sostenida por un pasador en
A y soporta un elevador de cadena que puede viajar a lo
largo del patín inferior de la viga, 1 pie s x s 12 pies. Si el
elevador puede soportar una carga máxima de 1500 Ib, de­
term ine el esfuerzo normal máximo promedio en el tiran­
te B C de diámetro | pulg y el esfuerzo cortante máximo
promedio en el pasador de diámetro de | pulg en B.
M
Probs. 1-67/68
1-69. Cuando la mano sostiene una piedra de 5 Ib, el hú­
mero H, que se supone liso, ejerce las fuerzas normales Fc
y Fa sobre el radio C y el cúbito A , respectivamente, co­
mo se muestra. Si la m enor área de sección transversal del
ligamento en B es de 0.30 pulg2, determ ine el máximo es­
fuerzo de tensión promedio a que estará sometido.
Prob. 1-70
1-71. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio desarro­
llado en los eslabones A B y CD de las tenazas que sopor­
tan el tronco con masa de 3 Mg. El área de la sección trans­
versal de cada eslabón es de 400 mm2.
1
Prob. 1-69
Prob. 1-71
P ro blem a s
*1-72. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro­
llado en los pasadores A y B de las tenazas que soportan
el tronco con masa de 3 Mg. Cada pasador tiene un diá­
metro de 25 mm y está sujeto a un cortante doble.
•
47
1-74. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho
de concreto con peso específico de 150 lb/pie3. D eterm i­
ne el esfuerzo normal promedio que actúa a media altura
del pedestal, esto es, a z = 4 pies. Sugerencia: el volumen
de un cono de radio r y altura h es V = i irr2h.
z
Prob. 1-74
1-73. El pedestal en forma de tronco cónico está hecho
de concreto con peso específico de 150 lb/pie3. D eterm i­
ne el esfuerzo normal promedio que actúa en la base del
pedestal. Sugerencia: el volumen de un cono de radio r y
altura h es V = ¿ 77t2/¡.
z
Prob. 1-73
1-75. La columna está hecha de concreto con densidad de
2.30 Mg/m3. E n su parte superior B está sometida a una
fuerza de compresión axial de 15 kN. Determ ine el esfuer­
zo normal promedio en la columna en función de la dis­
tancia z medida desde su base. Nota: el resultado será útil
solamente para determ inar el esfuerzo normal promedio
en una sección alejada de los extremos de la columna, de­
bido a la deformación localizada en los extremos.
48 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-76. La pila está hecha de material con peso específi­
co y. Si tiene una sección transversal cuadrada, determine
su ancho w en función de z, de manera que el esfuerzo nor­
mal promedio en la pila permanezca constante. La pila so­
porta una carga constante P en su parte superior, donde
su ancho es w\.
1-78. El radio del pedestal está definido p or r =
(0.5e”ao8’'2) m, donde y está dada en metros. Si el material
tiene una densidad de 2.5 M g/m3, determ ine el esfuerzo
normal promedio en el soporte.
r = 0.5e“° 08'"
Prob. 1-78
Prob. 1-76
1-77. El pedestal soporta una carga P en su centro. Si el
m aterial tiene una densidad de masa p, determ ine la di­
mensión radial r en función de z, de manera que el esfuer­
zo norm al prom edio perm anezca constante. La sección
transversal es circular.
1-79. Determine la velocidad angular máxima constante
u>del volante de manera que el esfuerzo normal prom e­
dio en su pestaña no sea mayor que er = 15 MPa. Supon­
ga que la pestaña es un anillo delgado con espesor de 3 mm,
ancho de 20 mm y masa de 30 kg/m. La rotación tiene lugar
en un plano horizontal. Desprecie el efecto de los rayos en
el análisis. Sugerencia: considere un diagrama de cuerpo
libre de una porción semicircular del anillo. El centro de
masa de un segmento semicircular está en r = 2 r/ir des­
de el diámetro.
Prob. 1-79
S e c c ió n
1.6
1.6 Esfuerzo permisible
• 49
Esfuerzo permisible
U n ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento
mecánico debe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea se­
guro. Además, una estructura o máquina corrientem ente en uso puede en
ocasiones tener que ser analizada para ver qué carga adicional pueden so­
portar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar
los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro.
Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisi­
ble que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miem­
bro pueda soportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejem­
plo, la carga para la cual el miembro se diseña puede ser diferente de la
carga real aplicada sobre él. Las medidas previstas para una estructura o
máquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el
montaje de las partes componentes. Pueden ocurrir vibraciones descono­
cidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tom ado en cuenta
durante el diseño. La corrosión atmosférica, el decaimiento o las condi­
ciones ambientales tienden a que los materiales se deterioren durante el
servicio. Finalmente, algunos materiales, como la m adera, el concreto o
los compuestos reforzados con fibras, pueden m ostrar alta variabilidad en
sus propiedades mecánicas.
Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis
de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de
seguridad (FS) es la razón de la carga de falla, Ffa|la, dividida entre la car­
ga permisible, /’’pernv La Ffa),a se determ ina por medio de ensayos experi­
mentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en
la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean
tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de
carga y simetría. Expresado matemáticamente,
FS =
falla
(1-8)
perm
Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuer­
zo desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar a = P /A
y Tpr°m = V /A , entonces podemos expresar el factor de seguridad como
larazón del esfuerzo de falla <xfal|a (o rfana) al esfuerzo permisible crperm
( o Tperm) ; * esto es,
FS = - ^ ü!2^perm
(1-9)
O
FS =
(1-10)
^perm
*En algunas capas, como en las columnas, la carga aplicada no está relacionada linealmente
a la tensión y por lo tanto sólo la ecuación 1-8 puede usarse para determinar el factor de
seguridad. Vea el capítulo 13.
Factores apropiados de seguridad de­
ben ser considerados al diseñar grúas y
cables usados para transferir cargas pe­
sadas.
50 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge m a­
yor que 1 para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen
de los tipos de m ateriales por usarse y de la finalidad prevista para la
estructura o máquina. Por ejemplo, el FS usado en el diseño de compo­
nentes de aeronaves o vehículos espaciales puede ser cercano a 1 para
reducir el peso del vehículo. Por otra parte, en el caso de una planta nu­
clear, el factor de seguridad para algunos de sus componentes puede ser
tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbre en el com portam ien­
to de la carga o del material. Sin embargo, en general, los factores de se­
guridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles para elem entos
estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que sus inde­
terminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien.
Sus valores, que pueden encontrarse en los códigos de diseño y manuales
de ingeniería, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y pa­
ra el público junto con una solución económica razonable para el diseño.
1.7
Diseño de conexiones simples
Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento del
material, las ecuaciones cr = P/A y rprom = V /A pueden usarse para ana­
lizar o diseñar una conexión simple o un elem ento mecánico. En particu­
lar, si un miembro está sometido a una fuerza normal en una sección, su
área requerida en la sección se determ ina con
Por otra parte, si la sección está sometida a una fuerza cortante, entonces
el área requerida en la sección es:
V
A = --------
(1-12)
Como vimos en la sección 1.6, el esfuerzo permisible usado en cada una
de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad a un es­
fuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzos di­
rectam ente en un código apropiado de diseño.
A hora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales
las ecuaciones pueden usarse en el diseño.
Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área
de la sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuer­
za de tensión puede determ inarse si la fuerza tiene una línea de acción
que pasa por el centroide de la sección transversal. Por ejemplo, conside-
S e c c ió n 1 .7
Diseño de conexiones simples •
Esfuerzo normal uniforme
se m a­
lenden
■vara la
cmpo1 para
ita nu;de ser
imien; de senentos
s indee bien,
inuales
il y padiseño.
^nerm
Fig. 1-27
re la barra con perforación en sus extremos mostrada en la figura 1-27«.
En la sección intermedia a-a, la distribución de esfuerzos es uniforme so­
bre toda la sección y se determ ina el área som breada A , como se muestra
en la figura \-21b.
Esfuerzo cortante uniforme
' perm
P
Fig. 1-28
' perm
(b)
nto del
ra ana>articu:ión, su
(1-11)
itonces
(1-12)
ida una
a un esrzos dis cuales
El área
la fueracción
onside-
(c)
Área de la sección transversal de un conector sometido a cor­
tante. A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas,
tablones o varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta tras­
lapada mostrada en la figura 1-28«. Si el perno está suelto o la fuerza de
agarre del perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza
de fricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre de
una sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra en
la figura 1-286. El perno está sometido a una fuerza cortante interna re­
sultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que el esfuer­
zo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformemente sobre la
sección transversal, el área A de la sección transversal del perno se deter­
mina como se muestra en la figura l-28c.
Área requerida para resistir aplastamiento. Un esfuerzo normal
producido por la compresión de una superficie contra otra se denomina
esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo es demasiado grande, puede
aplastar o deform ar localmente una o ambas superficies. Por tanto, para
impedir una falla es necesario determ inar el área apropiada de apoyo pa­
ra el material, usando un esfuerzo de aplastamiento permisible. Por ejem­
plo, el área A de la placa B de base de la columna mostrada en la figura
1-29 se determina a partir del esfuerzo permisible de aplastamiento del
concreto, usando la ecuación A = P/(,o-b)petm. Esto supone, desde luego,
que el esfuerzo permisible de aplastamiento para el concreto es menor que
el del material de la placa de base y además que el esfuerzo está unifor­
memente distribuido entre la placa y el concreto, como se muestra en la
figura.
penn
Fig. 1-29
51
52 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
Área requerida para resistir el cortante causado por carga axial.
Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma tal
que puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuando
éste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería una
barra de acero cuyo extremo esté em potrado en concreto y se encuentre
cargado como se m uestra en la figura l-30a. Un diagrama de cuerpo libre
de la barra, figura 1-306, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre el
área de contacto de la barra con el concreto. Esta área es ( 7 7 d)l, donde d
es el diám etro de la barra y / es la longitud del em potramiento. Si bien la
distribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de
determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar/4 = V /T perm pa­
ra calcular /, siempre que conozcamos d y rperm, figura 1-306.
PUNTOS IMPORTANTES
Esfuerzo cortante uniforme
• El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección
de un esfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su
carga propuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden
influir en el esfuerzo real en un miembro y entonces, dependien­
do de los usos propuestos para el miembro, se aplica un factor de
seguridad para obtener la carga admisible que el miembro pue­
de soportar.
• Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unas
pocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuer­
zos normal y cortante promedio usadas en el diseño y análisis en
ingeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplica­
das, debe ser claro que la distribución del esfuerzo se supone uni­
formemente distribuida o “promediada" sobre la sección.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal pro­
medio y del esfuerzo cortante promedio, debe prim ero considerarse
cuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico.
Una vez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñar­
se con suficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe
sobre ella. P ara determ inar esta área, se requieren los siguientes
pasos.
Carga interna.
• Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuer­
po libre de un segmento del miembro. La fuerza interna resultan­
te en la sección se determina entonces usando las ecuaciones de
equilibrio.
Área requerida.
• Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible, el área
requerida para soportar la carga en la sección se calcula enton­
ces C O n A P A-^pcrm O /I
V / tpemr
S e c c ió n
E J E M P L O
1.7 Diseño de conexiones simples • 53
1.13
Los dos miembros están unidos por pasadores en B como se muestra
en la figura 1-31 a. Se muestran también en la figura dos vistas superio­
res de las conexiones por pasador en A y B. Si los pasadores tienen un
esfuerzo cortante permisible rperm = 12.5 klb/pulg2 y el esfuerzo per­
misible de tensión de la barra CB es (o-,)perm = 16.2 klb/pulg2, deter­
mine el diámetro más pequeño, con una aproximación a pulg, de los
pasadores A y B y el diám etro de la barra CB, necesarios para sopor­
tar la carga.
(a)
Fig. 1-31
Solución
La barra CB es un miembro de dos fuerzas; el diagrama de cuerpo li­
bre del miembro A B , junto con las reacciones calculadas en A y B. se
muestran en la figura 1-31 b. Como ejercicio, verifique los cálculos y no­
te que la fuerza resultante en A debe usarse para el diseño del pasador
A, ya que ésta es la fuerza cortante que el pasador resiste.
333 klb
Continúa
54 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
Pasador en A
Pasador en B
(c)
D iám etro de los pasadores. De la figura 1-31« y los diagramas de
cuerpo libre de la porción seccionada de cada pasador en contacto con
el miembro A B , figura l-31c, vemos que el pasador A está sometido a
cortante doble, mientras que el pasador B está sometido a cortante sim­
ple. Entonces,
i2.5 kib/puig2 * 01139
mtib/pui^ '
02661
' Á í)
pulg!''(■ f )
*
d ”
' 0381 pule
‘
°'583plllg
Aunque estos valores representan los diámetros más pequeños permi­
sibles para los pasadores, deberá escogerse un tam año de pasador co­
mercial. Escogeremos un tamaño mayor con una aproximación a ^ pulg
como se requiere.
d A = ~ pulg = 0.4375 pulg
Resp.
d B = | pulg = 0.625 pulg
Resp.
Diám etro de la barra. El diámetro requerido para la barra en su sec­
ción media es entonces:
,
_
BC
P
_
(o-í)perm
3.333klb
_ nnfíKQ . 2 _ í á £
16.2 klb/pulg2
'
?U &
H 4
dBC = 0.512 pulg
Escogeremos
d[¡c = ^ pulg = 0.5625 pulg
Resp.
S e cció n
1.7 Diseño de conexiones simples • 55
E J E M P L O
El brazo de control está sometido a la carga mostrada en la figura 1-32a.
Determine el diámetro requerido, con una aproximación de ¿ pulg, para
el pasador de acero en C si el esfuerzo cortante permisible para el ace­
ro es 7perm = 8 lb/pulg2. A dvierta en la figura que el pasador está so­
metido a cortante doble.
(b)
Solución
Fuerza cortante interna. Un diagrama de cuerpo libre del brazo se
muestra en la figura \-32b. Por equilibrio tenemos,
1+ 2 Mc = 0; Fab(8 pulg) - 3 klb(3 pulg) - 5 klp(f)(5 pulg) = 0
F ab = 3 klb
^ I F t = 0;
- 3 klb - C , + 5 klb(f) = 0
+ t 2 Fy = 0;
C , = 1 klb
Cy - 3 klb - 5 k1b(|) = 0
6.082 klb
Cy = 6 klb
3.041 klb
El pasador en C resiste la fuerza resultante en C. Por lo tanto,
3.041 klb
Pasador en C
Fc = V ( l k l b ) 2 + (6 klb)2 = 6.082 klb
(c)
Como el pasador está sometido a cortante doble, una fuerza cortante
de 3.041 klb actúa sobre su área transversal entre el brazo y cada ho­
ja de soporte para el pasador, figura l-32c.
Área requerida.
A =
Tenemos
V
'perm
3.041 klb
= 0.3802 pulg2
8 klb/pulg= 0.3802 pulg2
d = 0.696 pulg
Usaremos un pasador con diám etro de
d = ~ pulg = 0.750 pulg
Resp.
Fig. 1-32
La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circular
em potrado a ella, como se m uestra en la figura 1-33«. Si la barra pasa
por un agujero con diámetro de 40 mm, determ ine el diámetro míni­
mo requerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario pa­
ra soportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la
barra es crperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el dis­
co es rperm = 35 MPa.
— ] 40 mm I—
Fig. 1-33
Solución
Diám etro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es
de 20 kN. El área transversal requerida para la barra es entonces
P
20(103) N
2
= 0.3333(10 J) n r
A = ------- = — -— 7 7 —
. °"pcrm
60(10 ) N /irr
De m anera que
A = n f ^ p í = 0.3333(10“2) m2
4
d = 0.0206 m = 20.6 mm
Resp.
Espesor del disco. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre
de la sección del núcleo del disco, figura 1-336, el material en el área
seccionada debe resistir esfuerzos cortantes para impedir el movimien­
to del disco a través del agujero. Si se supone que este esfuerzo cortan­
te está uniformemente distribuido sobre el área seccionada, entonces,
como V = 20 kN, tenemos:
V
20(10 ) N
,
.
,
A = ------ = ------- -----------7 = 0.571 10-3 m2
35(10 ) N /m
v
'
Como el área seccionada A = 2 tt(0.02 m)(/), el espesor requerido del
disco es:
0.5714(10-3) m2
f = —„
” — r— = 4.55(10-3) m = 4.55 mm
2 tt( 0 .0 2 m )
v
’
Resp.
S e c c ió n 1 .7
E J E M P L O
Diseño de conexiones simples • 57
1.16
Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 1-34« es resistida
por el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha
del cojinete en B. Determ ine el máximo valor de P para las dos fuer­
zas axiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exce­
da un esfuerzo de aplastamiento permisible en C de (ab )perm = 75 MPa
y que el esfuerzo normal prom edio en la flecha no exceda un esfuerzo
de tensión permisible de (cr,)perm = 55 MPa.
Carga
axial
Fig-1-34
3P
2P
Posición
(c)
Solución
Para resolver el problema determ inarem os P para cada condición po­
sible de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño. ¿Por qué?
Esfuerzo normal. Usando el método de las secciones, vemos que la
carga axial dentro de'la región FE de la flecha es 2P. mientras que la car­
ga axial máxima, 3P, ocurre dentro de la región EC, figura l-34£>. La
variación de la carga interna se ve claramente en el diagrama de fuer­
za normal, figura l-34c. Como el área transversal de toda la flecha es
constante, la región EC estará sometida al esfuerzo normal promedio
máximo. Aplicando la ecuación 1-11, tenemos:
P
A
3P
55(106) N /m 2 =
\
/ /
7t-(0.03 m )2
P = 51.8 kN
Esfuerzo de aplastamiento. Como se muestra en el diagrama de cuer­
po libre en la figura 1-34d, el collarín en C debe resistir la carga de 3P,
que actúa sobre un área de apoyo de A h = [7r(0.04m)2 - 7r(0.03m)2] =
2.199(10-3) m2. Entonces,
P
A = ------- ;
^perm
^P
75(106) N /m 2 = -------------=---- r
'
2.199(10“3) m2
P = 55.0 kN
En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es
P = 51.8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que el
esfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.
3P
(d )
58 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
E J E M P L O
La barra rígida A B mostrada en la figura l-35a está soportada por una
barra de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por bloque de alu­
minio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de
diám etro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple. Si el
esfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (a-ac)faUa = 680 MPa y
(°ai)faiia = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla pa­
ra cada pasador es r{alia = 900 MPa, determ ine la carga máxima P que
puede aplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2.
Solución
Usando las ecuaciones 1-9 y 1-10, los esfuerzos permisibles son
,
s
(tf'ac)falla 680 MPa
(o’ac)falla =
= ------ ----- = 340 MPa
FS
2
, ,
(^aOfalla
70 MPa
( ^al)falla = - 0 - = — ^---- = 35 MPa
FS
2
Tfalla 900 MPa
Aenxtr,
Tfalla = -==- = ----------- = 450 MPa
FS
2
El diagrama de cuerpo libre para la barra se m uestra en la figura
1-356. Se tienen tres incógnitas. Aplicaremos aquí las ecuaciones de
equilibrio para expresar FÁC y FB en términos de la carga P aplicada.
Tenemos
ii+ 2 M
b
= 0;
P(1.25 m) -
FAC{2 m) = 0
(1)
l + '2 M A
= 0;
Fb(2 m) -
P(0.75 m) = 0
(2)
Determinarem os ahora cada valor de P que genera el esfuerzo per­
misible en la barra, bloque y pasadores, respectivamente.
Barra AC.
Se requiere
Fac = K c W A ac) = 340(106) N /m 2[7r(0.01 m )2] = 106.8 kN
Usando la ecuación 1,
Bloque B.
(106.8 kN) 2 m )
P = ----- — --- ----- - = 171 kN
1.25 m
En este caso,
F ¡¡ = (o-3\)permA B = 35(106) N/m2[1800mm2(10_6)m 2/m m 2] = 63.0kN
Usando la ecuación 2,
Pasador A o C.
V
(63.0 kN)(2 m)
P = ----- — ---------- = 168 kN
0.75 m
Aquí
= Fac = TpermA = 450(106) N /m 2[7r(0.009 m )2] = 114.5 kN
De la ecuación 1,
114.5 kN (2m )
P = ----- — H ------L = 183 kN
1.25 m
Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN),
se genera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Por
consiguiente,
P = 168 kN
Resp.
P ro blem a s
•
59
PROBLEMAS
*1-80. El miembro B está sometido a una fuerza de com­
presión de 800 Ib. Si A y B están hechos de madera y tie­
nen § pulg de espesor, determ ine con una aproximación
de j pulg la dimensión h más pequeña del soporte para
que el esfuerzo cortante prom edio no sea m ayor que
Tpe™ = 300 lb/pulg2.
1-82. La ju n ta está conectada p or m edio de dos p er­
nos. Determine el diámetro requerido de los pernos si el es­
fuerzo co rtan te perm isible en los pernos es Tperm =
110 MPa. Suponga que cada perno soporta una porción
igual de la carga.
Prob. 1-80
Prob. 1-82
1-81. El poste de roble de 60 X 60 mm está soportado por
el bloque de pino. Si los esfuerzos permisibles por aplas­
tamiento en esos materiales son o-roMo = 43 MPa y crpino =
25 MPa. determ ine la carga máxima P que puede ser so­
portada. Si se usa una placa rígida de apoyo entre los dos
materiales, determine su área requerida de manera que la
carga máxima P pueda ser soportada. ¿Q ué valor tiene
esta carga?
Prob. 1-81
1-83. La palanca está unida a la flecha A por medio de
una chaveta de ancho d y longitud de 25 mm. Si la flecha
está em potrada y se aplica una fuerza vertical de 200 N
perpendicular al mango, determine la dimensión d si el es­
fuerzo cortante permisible en la chaveta es ^ „ n = 35 MPa.
Prob. 1-83
60 .
CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-84. El tamaño a del filete se determ ina calculando el
esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano sombreado
que tenga la m enor sección transversal. D eterm ine el
tam año a más pequeño de los dos cordones si la fuerza
aplicada a la placa es P = 20 klb. El esfuerzo cortante
perm isible para el m aterial de la soldadura es Tp<¡rm =
14 klb/pulg2.
1-87. El manguito de un eslabón giratorio en el control
elevador de un avión se m antiene en posición usando una
tuerca y una arandela como se muestra en la figura («). La
falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de
empuje se separe como se muestra en la figura (¿>). Si el
esfuerzo normal prom edio máximo para la arandela es
t7mix = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio má­
ximo es rmáx = 21 klb/pulg2, determine la fuerza F que de­
be aplicarse al manguito para que ocurra la falla. La aran­
dela tiene pulg de espesor.
°'75 pulg
Prob. 1-84
(a)
1-85. El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg.
Si se supone que la junta falla por cortante en ambos lados
del bloque a lo largo del plano sombreado, el cual tiene la
sección transversal más pequeña, determ ine la fuerza má­
xima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortan­
te permisible para el m aterial de la soldadura es rperm =
14 klb/pulg2.
(b)
Prob. 1-87
*1-88. Los dos alambres de acero A B y A C se usan para
soportar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo
de tensión permisible de <7perm = 200 MPa. determ ine el
diám etro requerido de cada alambre si la carga aplicada
es P = 5 kN.
1-89. Los dos cables de acero A B y A C se usan para so­
portar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de
tensión permisible de o-perm = 180 MPa, y el alambre A B
tiene un diám etro de 6 mm y A C tiene un diám etro de
4 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a
la cadena antes de que falle uno de los alambres.
Prob. 1-85
1-86. El miembro a tensión está ensamblado por medio
de dos pernos, uno a cada lado del miembro como se mues­
tra. Cada perno tiene un diám etro de 0.3 pulg. D eterm ine
la carga máxima P que puede aplicarse al m iem bro si el
esfuerzo cortante permisible para los pernos es Tperm =
12 klb/pulg2 y el esfuerzo normal promedio permisible es
Operm = 20 klb/pulg2.
60°
P~*-
m
m
Prob. 1-86
Probs. 1-88/89
60 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-84. El tamaño a del filete se determ ina calculando el
esfuerzo cortante promedio a lo largo del plano sombreado
que tenga la m enor sección transversal. D eterm ine el
tam año a más pequeño de los dos cordones si la fuerza
aplicada a la placa es P = 20 klb. El esfuerzo cortante
perm isible para el m aterial de la soldadura es r perm =
14 klb/pulg2.
1-87. El manguito de un eslabón giratorio en el control
elevador de un avión se mantiene en posición usando una
tuerca y una arandela como se muestra en la figura (a). La
falla de la arandela A puede ocasionar que la barra de
empuje se separe como se muestra en la figura (b ). Si el
esfuerzo normal prom edio máximo para la arandela es
^máx = 60 klb/pulg2 y el esfuerzo cortante promedio má­
ximo es Tmáx = 21 klb/pulg2, determ ine la fuerza F que de­
be aplicarse ai manguito para que ocurra la falla. La aran­
dela tiene ^ pulg de espesor.
0-75 pulg i F T k
Prob. 1-84
^ (a)
1-85. El tamaño del cordón de soldadura es a = 0.25 pulg.
Si se supone que la junta falla por cortante en ambos lados
del bloque a lo largo del plano sombreado, el cual tiene la
sección transversal más pequeña, determ ine la fuerza má­
xima P que puede aplicarse a la placa. El esfuerzo cortan­
te permisible para el material de la soldadura es rperm =
14 klb/pulg2.
(b)
Prob. 1-87
*1-88. Los dos alambres de acero A B y A C se usan para
soportar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo
de tensión permisible de orperm = 200 MPa. determ ine el
diám etro requerido de cada alambre si la carga aplicada
es P = 5 kN.
Ka
1-89. Los dos cables de acero A B y A C se usan para so­
portar la carga. Si ambos alambres tienen un esfuerzo de
tensión permisible de crperm = 180 MPa, y el alambre A B
tiene un diám etro de 6 mm y A C tiene un diám etro de
4 mm, determine la mayor fuerza P que puede aplicarse a
la cadena antes de que falle uno de los alambres.
—|«i'Prob. 1-85
1-86. El miembro a tensión está ensamblado por medio
de dos pernos, uno a cada lado del miembro como se mues­
tra. Cada perno tiene un diám etro de 0.3 pulg. Determ ine
la carga máxima P que puede aplicarse al miembro si el
esfuerzo cortante permisible para los pernos es rpenT1 =
12 klb/pulg2 y el esfuerzo normal promedio permisible es
'p e rm = 20 klb/pulg2.
60 °
P~*~
Prob. 1-86
Probs. 1-88/89
P ro blem a s
1-90. El brazo de la grúa está soportado por el cable de
un malacate que tiene un diám etro de 0.25 pulg y un es­
fuerzo normal permisible de <rpcrm = 24 klb/pulg2. D eter­
mine la carga máxima que puede ser soportada sin que el
cable falle cuando 9 = 30° y <¡>= 45°. Desprecie el tam a­
ño del malacate.
1-91. El brazo está soportado por el cable del malaca­
te que tiene un esfuerzo norm al perm isible de crperm =
24 klb/pulg2. Si se requiere que el cable levante lentam en­
te 5000 Ib, de 6 = 20° a 9 = 50°, determine el diámetro más
pequeño del cable con una aproxim ación de
pulg. El
brazo A B tiene una longitud de 20 pies. Desprecie el ta­
maño del malacate.
•
61
1-93. La viga está hecha de pino del sur y está soporta­
da por placas de base que descansan en manipostería. Si
los esfuerzos permisibles de aplastam iento para los ma­
teriales SOn (Op¡no)perm “ 2.81 klb/pulg", (<7Vnamp)perm —
6.70 klb/pulg2, determ ine la longitud requerida para las
placas de apoyo en A y B, con una aproximación de jp u lg ,
para soportar la carga mostrada. Las placas tienen 3 pulg
de ancho.
6 klb
200 !b/pie
Prob. 1-93
1-94. Si el esfuerzo permisible de aplastamiento para el
material bajo los soportes A y B e s ((Tfc) p<. rm = 400 lb/pulg2,
determine el tam año de las placas cuadradas de apoyo A '
y B ' requeridas p ara so p o rtar la carga. Considere P =
1.5 klb. Dimensione las placas con una aproximación de
\ pulg. Las reacciones en los soportes son verticales.
*1-92. La arm adura se usa para soportar la carga mos­
trada. D eterm ine el área requerida de la sección transver­
sal del miembro B C si el esfuerzo normal permisible es
O-perm = 24 klb/pulg2.
1-95. Si el esfuerzo permisible por aplastamiento para el
material bajo los soportes A y B e s (orb)pcrm = 400 lb/pulg2,
determine la carga P máxima que puede aplicarse a la viga.
Las placas de apoyo A ' y B' tienen sección cuadrada de
2 X 2 pulg y 4 X 4 pulg, respectivamente.
8001b
3 klb
A
Prob. 1-92
B
Probs. 1-94/95
62 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
*1-96. D eterm ine el área transversal requerida en el
miembro B C y el diám etro de los pasadores en A y B si
el esfuerzo normal permisible es crperm = 3 klb/pulg2 y el
esfuerzo cortante permisible es Tperm = 4 klb/pulg2.
1-98. Las dos barras de aluminio A B y A C tienen diá­
metros de 10 mm y 8 mm, respectivamente. D eterm ine la
fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El
esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es crperm =
150 MPa.
Prob. 1-98
1-97. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza ver­
tical de P = 20 kN. D eterm ine sus diámetros requeridos si
el esfuerzo permisible de tensión para el aluminio es de
O-perm = 150 MPa.
1-99. Las ménsulas soportan uniform emente la viga, por
lo que se supone que los cuatro clavos en cada ménsula so­
portan una porción igual de la carga. Si la viga está some­
tida a la carga mostrada, determ ine el esfuerzo cortante
promedio en cada clavo de la ménsula en los extremos A
y B. Cada clavo tiene un diám etro de 0.25 pulg. Las m én­
sulas soportan sólo cargas verticales.
*1-100. Las ménsulas soportan uniform emente la viga,
por lo que se supone que los cuatro clavos de cada mén­
sula soportan porciones iguales de la carga. D eterm ine el
diámetro más pequeño de los clavos en A y B si el esfuerzo
cortante permisible para los clavos es
= 4 klb/pulg2.
Las ménsulas soportan sólo cargas verticales.
40 lb/pie
Prob. 1-97
Probs. 1-99/100
P ro blem a s
1-101. La viga atirantada se usa para soportar una carga
distribuida de w - 0.8 klb/pie. Determ ine el esfuerzo cor­
tante promedio en el perno en A de 0.40 pulg de diám etro
y el esfuerzo de tensión promedio en el tirante A B que tie­
ne un diám etro de 0.5 pulg. Si el esfuerzo de fluencia en
cortante para el perno es t v = 25 klb/pulg2 y el esfuerzo
de fluencia en tensión para el tirante es cry = 38 klb/pulg2,
determine el factor de seguridad con respecto a la fluen­
cia en cada caso.
•
63
*1-104. Si el esfuerzo cortante permisible para cada uno
de los pasadores de acero de 0.3 pulg de diám etro e n A ,B
y C es xperm = 12.5 klb/pulg2 y el esfuerzo normal per­
misible para la barra de 0.40 pulg de diám etro es <xpern1 =
22 klb/pulg2, determine la intensidad w máxima de la carga
uniformemente distribuida que puede colgarse de la viga.
1-102. Determine la intensidad w máxima de la carga dis­
tribuida que puede ser soportada por la viga atirantada de
manera que no se exceda un esfuerzo corlante permisible
Tperm = 13.5 klb/pulg2 en los pernos de 0.40 pulg de diá­
m etro en A y B, ni que se exceda tampoco un esfuerzo per­
misible de tensión crperm = 22 klb/pulg2 en el tirante A B
de 0.5 pulg de diámetro.
Probs. 1-103/104
1-105. Las dos partes de la viga de madera están conec­
tadas entre sí por un perno en B. Suponiendo que las co­
nexiones e .n A ,B ,C y D ejercen sólo fuerzas verticales so­
bre la viga, determ ine el diám etro requerido del perno en
B y el diám etro exterior requerido de sus arandelas si el
esfuerzo permisible de tensión para el perno es (o-,),,,.,™ =
150 MPa y el esfuerzo permisible por aplastam iento para
la madera es
= 28 MPa. Suponga que el agujero
en las arandelas tiene el mismo diám etro que el perno.
1-103. La viga atirantada se usa para soportar la carga
distribuida de w = 500 lb/pie. D eterm ine el factor de
seguridad con respecto a la fluencia en el tirante de acero
BC y en los pasadores en B y C si el esfuerzo de fluencia
para el acero en tensión es crv = 36 klb/pulg2 y en cortante
es t v = 18 klb/pulg2. El tirante tiene un d iám etro de
0.4 pulg y los pasadores tienen cada uno un diám etro
de 0.30 pulg.
64 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
1-106. La barra se m antiene en equilibrio por los sopor­
tes de pasador en A y en B. Observe que el soporte en A
tiene una sola hoja y por lo tanto el pasador está someti­
do a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene
dos hojas y su pasador está som etido a cortante doble.
El esfuerzo cortante permisible para ambos pasadores es
Tperm = 150 MPa. Si se coloca sobre la barra una carga uni­
formemente distribuida w = 8 kN /m , determ ine su posi­
ción mínima permisible x medida desde B. Los pasadores
en A y en B tienen cada uno un diámetro de 8 mm. D es­
precie cualquier fuerza axial en la barra.
1-110. El pasador está sometido a cortante doble ya que
se usa para conectar los tres eslabones entre sí. D ebido al
desgaste, la carga está distribuida sobre las partes superior
e inferior del pasador como se muestra en el diagrama de
cuerpo libre. Determine la máxima carga P que la cone­
xión puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para
el material es rperm = 8 klb/pulg2 y el diám etro del pasa­
dor es de 0.5 pulg. D eterm ine también las intensidades de
carga w, y w2.
1-107. La barra se mantiene en equilibrio por los sopor­
tes de pasador en A y en B. Note que el soporte en A tie­
ne una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido
a cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos
hojas y su pasador está som etido a co rtan te doble. El
esfuerzo cortante perm isible para am bos pasadores es
Tpei.m = 125 MPa. Si x = 1 m, determ ine la carga w distri­
buida máxima que la barra puede soportar. Los pasadores
A y B tienen cada uno un diám etro de 8 mm. Desprecie
cualquier fuerza axial en la barra.
La barra se mantiene en equilibrio por los sopor­
tes de pasador sn A y en B. Note que el soporte en A tie­
ne una sola hoja y por lo tanto el pasador está sometido a
cortante simple, mientras que el soporte en B tiene dos ho­
jas y su pasador está sometido a cortante doble. El esfuer­
zo cortante permisible para ambos pasadores es Tperm =
125 MPa. S ix = l m y w ' = 1 2 kN /m , determ ine el menor
diám etro requerido para los pasadores A y B. Desprecie
cualquier fuerza axial en la barra.
P
t
*1-108.
w2
r
...............
z ?
tu m i] ,,
Probs. 1-109/110
1-111. El cojinete de empuje consiste en un collarín circu­
lar A fijo a la flecha B. D eterm ine la fuerza axial P m á­
xima que puede aplicarse a la flecha de m anera que el
esfuerzo cortante a lo largo de la superficie cilindrica a o b
no sea mayor que el esfuerzo cortante permisible rperm =
170 M P a /
Probs. 1-106/107/108
E fpasador está sometido a cortante doble ya que
se usa para conectar los tres eslabones entre sí. D ebido al
desgaste, la carga está distribuida sobre las partes superior
e inferior del pasador como se m uestra en el diagrama de
cuerpo libre. D eterm ine el diám etro d del pasador si el
esfuerzo cortante perm isible es rpcTm = 1 0 klb/pulg2 y
la carga P — 8 klb. Determ ine también las intensidades de
carga
y w7.
—j-
1-109.
58 mm
Prob. 1-111
REPASO DEL CAPÍTULO
• Las cargas internas en un cuerpo consisten en una fuerza normal,
una fuerza cortante, un m omento flexionante y un momento torsionante. Estas cargas internas representan las resultantes de las
distribuciones de esfuerzos normales y de esfuerzos cortantes que
actúan sobre la sección transversal. Para obtener esas resultantes,
use el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio.
• Si una barra está hecha de material homogéneo isotrópico y es­
tá sometida a una serie de cargas axiales externas que pasan por
el centroide de la sección transversal, entonces una distribución
uniforme de esfuerzo normal actuará sobre la sección transver­
sal. Este esfuerzo normal promedio puede ser determ inado de
cr = P /A , donde P es la carga axial interna en la sección.
• El esfuerzo cortante promedio puede ser determ inado usando
t V /A , donde V es la fuerza cortante resultante sobre el área de
la sección transversal A . Esta fórmula se usa a menudo para en­
contrar el esfuerzo cortante promedio en sujetadores o en partes
usadas para conexiones.
• El diseño de cualquier conexión simple requiere que el esfuerzo
promedio a lo largo de cualquier sección transversal no exceda
un factor de seguridad o un valor permisible de crperm o rperm. Esos
valores se dan en códigos o reglamentos y se consideran seguros
con base en experimentos o experiencia.
66 • CAPÍTULO 1 Esfuerzo
PROBLEMAS
DE
REPASO
*1-112. Un perno atraviesa una placa de 30 mm de espe­
sor. Si la fuerza en el vastago del perno es de 8 kN, deter­
mine el esfuerzo normal promedio en el vástago.el esfuer­
zo cortante prom edio a lo largo del área cilindrica de la
placa definida por las líneas a-a y el esfuerzo cortante pro­
medio en la cabeza del perno a lo largo del área cilindrica
definida por las líneas b-b.
1-114. D eterm ine las cargas internas resultantes que ac­
túan sobre las secciones transversales por los puntos D y
E de la estructura.
150 lb/pie
8 kN
30 mm
Prob. 1-114
1-113. La estructura de dos miembros está sometida a la
carga mostrada. D eterm ine el esfuerzo normal promedio
y el esfuerzo cortante promedio que actúan en las seccio­
nes a-a y b-b. El miembro Ctí tiene una sección transver­
sal cuadrada de 2 pulg por lado.
1-115. La barra B C está hecha de acero cuyo esfuerzo
permisible de tensión es o-,*™ = 155 MPa. Determ ine su
diám etro más pequeño para que pueda soportar la carga
mostrada. Suponga que la viga está conectada por un pa­
sador en A .
80 Ib
Prob. 1-113
Prob. 1-115
m
m
P ro blem a s de repaso
La columna tiene un área transversal de 12(103)
mm2. Está sometida a una fuerza axial de 50 kN. Si la placa
de base a la cual la columna está unida tiene una longitud
de 250 mm, determine su ancho d de manera que el esfuer­
zo de aplastamiento promedio en el suelo bajo la placa sea
la tercera parte del esfuerzo de compresión promedio en la
columna. Esboce la distribución de esfuerzos que actúan
sobre la sección transversal de la columna y en el fondo de
la placa de base.
*1-116.
•
67
1-118. La polea se mantiene fija a la flecha de 20 mm de
diámetro por medio de una chaveta que se inserta en una
ranura de la polea y de la flecha. Si la carga suspendida
tiene una masa de 50 kg, determine el esfuerzo cortante
promedio en la chaveta a lo largo de la sección a-a. La cha­
veta tiene una sección transversal cuadrada de 5 mm por
5 mm y 12 mm de longitud.
50 kN
Prob. 1-116
La viga AB está soportada por un pasador en A y
por un cable BC. Otro cable CG se usa para sostener la
estructura. Si AB pesa 120 lb/pie y la columna FC pesa
180 lb/pie, determine las cargas internas resultantes que
actúan sobre las secciones transversales por los puntos D
y E. Desprecie los anchos de la viga y de la columna en el
cálculo.
Prob. 1-118
1-117.
La conexión de barra y grillete está sometida a
una fuerza de tensión de 5 kN. Determine el esfuerzo nor­
mal promedio en cada barra y el esfuerzo cortante prome­
dio en el pasador A entre los miembros.
1-119.
kN
-12 pies-
Prob. 1-117
Prob. 1-119
Esfuerzos excesivos en materiales frágiles, como en este estribo de concreto,
generan deformaciones que terminan fracturándolo. Por medio de mediciones
de la deformación unitaria, los ingenieros pueden predecir el esfuerzo en el
material.
T
j
Deformación unitaria
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
En ingeniería, la deformación de un cuerpo se especifica usando el concepto de
deformación unitaria tanto normal como cortante. En este capítulo definiremos
esas cantidades y mostraremos cómo pueden evaluarse en diversos tipos de pro­
blemas.
2.1
Deformación
Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar la forma
y tam año del cuerpo. A esos cambios se les llama deformación y ésta
puede ser visible o prácticam ente inadvertida si no se emplea el equi­
po apropiado para hacer mediciones precisas. Por ejemplo, una banda
de hule experim entará una deformación muy grande cuando se estira.
En cambio, en un edificio sólo ocurrirán deformaciones ligeras en sus
miembros estructurales debido a la carga de sus ocupantes. Un cuerpo
también puede deformarse cuando la tem peratura del cuerpo cambia.
Un ejemplo común es la expansión o la contracción térmica de un te­
cho causada por el clima.
69
70
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
Observe las posiciones antes y después de tres
segmentos de línea diferentes sobre esta mem­
brana de hule sometida a tensión. La línea ver­
tical se alarga, la línea horizontal se acorta y la
línea inclinada cambia de longitud y gira.
En sentido general, la deformación de un cuerpo no será uniforme a tra­
vés de su volumen, por lo que el cambio en la geometría de un segmento
de línea dentro del cuerpo puede variar a lo largo de su longitud. Por ejem­
plo, una porción de la línea puede alargarse, mientras que otra porción pue­
de contraerse. Sin embargo, según se consideran segmentos de línea cada
vez más cortos, éstos permanecerán también cada vez más rectos después
de la deformación, y así, para estudiar los cambios por deformación de ma­
nera más ordenada, consideraremos que las líneas son muy cortas y están
localizadas en la vecindad de un punto. Al hacerlo así, debe ser claro que
cualquier segmento de línea localizado en un punto del cuerpo cambiará
en una cantidad diferente respecto a otro localizado en algún otro punto.
Además, estos cambios dependerán también de la orientación del segmen­
to de línea en el punto. Por ejemplo, un segmento de línea puede alargarse
si está orientado en una dirección, mientras que puede contraerse si está
orientado en otra dirección.
2.2
Deformación unitaria
Con objeto de describir la deformación por cambios en la longitud de seg­
mentos de líneas y los cambios en los ángulos entre ellos, desarrollaremos
el concepto de deformación unitaria. Las mediciones de deformación
unitaria se hacen en realidad por medio de experimentos, y una vez que
las deformaciones unitarias han sido obtenidas, se mostrará, más adelan­
te en este texto, cómo pueden relacionarse con las cargas aplicadas, o es­
fuerzos, que actúan dentro del cuerpo.
(a)
Deformación unitaria normal. El alargamiento o contracción de un
segmento de línea por unidad de longitud se llama deformación unita­
ria normal. Para desarrollar una definición formal de la deformación
unitaria normal, consideremos la línea A B que está contenida dentro del
cuerpo no deform ado mostrado en la figura 2-1 a. Esta línea está situa­
da a lo largo del eje n y tiene una longitud inicial As. Después de la de­
formación, los puntos A y B se desplazan a los puntos A ' y B' y la línea
recta se convierte en curva con longitud As', figura 2-1 b. El cambio en
longitud de la línea es entonces As' — As. Si definimos la deformación
unitaria normal promedio usando el símbolo eprom (épsilon), entonces:
eprom
As' - As
As
A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al punto A ,
la longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo
que As —> 0. Igualmente, esto causa que B' se aproxime a A', de modo que
As' -» 0. Por consiguiente, la deformación unitaria normal en el punto
A y en la dirección de n, es en el límite:
(b)
Fig. 2-1
e =
lim
B—»/I a lo largode ;i
A s' - A s
------ — —■
AS
(2 -2 )
Si se conoce la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecua­
ción para obtener la longitud final aproximada de un segmento corto de
línea en la dirección de n, después de que ha sido deformado.
S e c c ió n
a tranento
ejemq puei cada
¡spués
le maestán
o que
tibiará
punto,
gmenrgarse
si está
Tenemos:
le segremos
lación
:z que
leían­
l o es-
Deformación unitaria cortante. El cambio en el ángulo que ocurre
entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares entre sí se lla­
ma deformación unitaria cortante. Este ángulo se denota por y (gamma)
y se mide en radianes. Para m ostrar cómo se desarrolla, consideremos los
segmentos de línea A B y A C partiendo desde el mismo punto A en un
cuerpo, y dirigidos a lo largo de los ejes perpendiculares n y t, figura 2-2a.
Después de la deformación, los extremos de las líneas se desplazan, y las
líneas mismas se vuelven curvas, de modo que el ángulo entre ellas en A
es 6', figura 2-2b. De aquí definimos la deformación unitaria cortante en
el punto A que está asociada con los ejes n y t como:
de un
m i la­
lación
ro del
sitúa­
la dei línea
íio en
iación
Dnces:
(2-3)
A í ' « (1 + e) A i
Por tanto, cuando e es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que
si e es negativa, la línea se contraerá.
Unidades. Note que la deformación unitaria normal es una cantidad
adimensional. ya que es una relación entre dos longitudes. Aunque éste es
el caso, es una práctica común establecerla en términos de una relación
de unidades de longitud. Si se usa el sistema SI, entonces las unidades bá­
sicas serán m etro/m etro (m /m ). O rdinariam ente, en la mayoría de las
aplicaciones ingenieriles, e será muy pequeña, así que las mediciones del
alargamiento son micrómetros por metro (//.m/m), donde 1 ¿un = 10-6 m.
En el sistema pie-libra-ségundo. la deformación unitaria puede ser esta­
blecida en unidades de pulgadas por pulgadas (pulg/pulg). En trabajos
experimentales, a veces se expresa el alargamiento como un porcentaje,
es decir, 0.001 m /m = 0.1%. Como ejemplo, un alargamiento normal de
480(10^6) puede ser reportado como 480(10~6) pulg/pulg, 480 /¿m/m o
como 0.0480%.También se puede establecer esta respuesta simplemente
como 480 ¡i (480 “mieras”).
7r
lím
0'
y,„ = x2 —
B—
»/t a lo largo de n
C —
• /4 a lo largo de l
(2-4)
Note que si 6' es m enor que 7r/2, la deformación unitaria cortante es po­
sitiva, mientras que si 6' es mayor que tt/2, la deformación unitaria cor­
tante es negativa.
(2-1)
ito A,
modo
lo que
punto
(2-2)
ecuarto de
(b)
(a)
Fig. 2-2
2.2 Deformación unitaria
•
71
74
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
E J E M P L O
2.1
La barra esbelta mostrada en la figura 2-4 está sometida a un incre­
m ento de tem peratura a lo largo de su eje, que genera una deform a­
ción unitaria normal en la barra de ez = 40(10 3)z1/2, donde z está
dada en metros. Determ ine (a) el desplazamiento del extremo B de
la barra debido al incremento de tem peratura, y (b) la deformación
unitaria normal prom edio en la barra.
Fig. 2-4
Solución
Parte (a). Como la deformación unitaria normal está dada en cada
punto a lo largo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado
en la posición z, figura 2-4, tiene una longitud deform ada que puede
determ inarse con la ecuación 2-3; o sea,
d z ' = [1 + 40(1 ( T ^ z ^ d z
La suma total de esos segmentos a lo largo del eje da la longitud de­
formada de la barra, esto es,
r 0.2 m
z' =
[1 + 40(10-3)z ^ 2] dz
= z \ 40(10-3)(fz 3/2)|o2m
= 0.20239 m
Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es
AB = 0.20239 m — 0.2 m = 0.00239 m = 2.39 mm [
Resp.
Parte (b). La deformación unitaria normal promedio en la barra se
determ ina con la ecuación 2-1, que supone que la barra o “segmento
de línea” tiene una longitud original de 200 mm y un cambio de lon­
gitud de 2.39 mm. Por consiguiente,
eprom =
As' - As
2.39 mm
aÍ
= 200 mm = ° '0119 mm/ mm ResP■
S e c c ió n
2.2 Deformación unitaria
•
75
E J E M P L O
Una fuerza que actúa sobre el mango de la palanca mostrada en la
figura 2-5a ocasiona que el brazo gire en sentido horario un ángulo
de 6 = 0.002 rad. Determ ine la deformación unitaria normal prom e­
dio desarrollada en el alambre BC.
Fig. 2-5
Solución
Como 6 - 0.002 rad es pequeño, el alargamiento en el alambre CB,
figura 2-5b, es BB' = 0(0.5 m) = (0.002 rad)(0.5 m) = 0.001 m. La de­
formación unitaria normal promedio en el alambre es entonces,
e p ro m
-
____
,
BB'
0.001
CB - l m - 0.001 m /m
Resp.
a
m
76
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
E J E M P L O
2.3
La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con líneas puntea­
das en la figura 2-6a. Si en esta configuración deformada las líneas hori­
zontales sobre la placa permanecen horizontales y no cambian su longi­
tud. determine (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo del
lado A B , y (b) la deformación unitaria cortante promedio en la placa
relativa a los ejes x y y.
3 mm
H
3 mm
h
Ju
2 mm
ir T '
250 mm
250 mm
- 300 mm ■
(b)
(a)
Fig. 2-6
Solución
Parte (a). La línea A B , que coincide con el eje y , se convierte en la lí­
nea A B ' después de la deformación, como se muestra en la figura 2-6b.
La longitud de esta línea es
A B ' = V (250 - 2)2 + (3)2 = 248.018 mm
La deformación unitaria normal promedio para A B es por lo tanto
( eA ß )
AB' - AB
AB
prom
248.018 mm — 250 mm
250 mm
Resp.
= —7.93(10~3) mm/mm
(c)
El signo negativo indica que la deformación unitaria causa una contrac­
ción de AB.
Parte (b). Como se ve en la figura 2-6c, el ángulo 90° BAC original­
mente recto entre los lados de la placa y medido desde los ejes x,y, cam­
bia a 0' debido al desplazamiento de B a B '. Como y xy = 7r/2 - 6 ' , en­
tonces y xv es el ángulo mostrado en la figura. Así,
Jxy
= tan
3 mm
250 mm — 2 mm
= 0.0121 rad
Resp.
S e c c ió n
E J E M P L O
La placa mostrada en la figura 2-1a está empotrada a lo largo de A B y se
mantiene en las guías rígidas horizontales en sus partes superior e inferior
A D y BC. Si su lado derecho CD recibe un desplazamiento horizontal uni­
forme de 2 mm, determine (a) la deformación unitaria normal promedio
a lo largo de la diagonal A C , y (b) la deformación unitaria cortante en E
relativa a los ejes x,y.
•76 m m —|ß ,
(a)
Fig. 2-7
Solución
Parte (a). Cuando la placa se deforma, la diagonal AC se convierte en
la A C ', figura 2-7b. La longitud de las diagonales A C y A C se halla con
el teorema de Pitágoras. Tenemos,
AC = V(0.150)2 + (0.150)2 = 0.21213 m
A C = V(0.150)2 + (0.152)2 = 0.21355 m
Por tanto, la deformación unitaria normal promedio a lo largo de la dia­
gonal es
(e/ic) Pr°m
0.21355 m - 0.21213 m
0.21213 m
A C - AC
AC
- 0.00669 mm/mm
Resp.
Parte (b). Para encontrar la deformación unitaria cortante en E rela­
tiva a los ejes .* y y, es necesario primero encontrar el ángulo 9', que es­
pecifica el ángulo entre esos ejes después de la deformación, figura 2-lb.
Tenemos
tan
76 mm
75 mm
0' = 90.759° -
17
- (90.759°) = 1.58404 rad
180
Aplicando la ecuación 2-4, la deformación unitaria cortante en E es por
tanto,
y xy = ^ — 1.58404 rad = -0.0132 rad
Resp.
De acuerdo con la convención de signos, el signo negativo indica que el án­
gulo ff es mayor que 90°. Advierta que si los ejes x y y fuesen horizontal y
vertical, entonces debido a la deformación, y x>, = 0 en el punto E.
2.2 Deformación unitaria
•
77
78
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
PROBLEMAS
2-1. Una pelota de hule llena de aire tiene un diámetro de
6 pulg. Si la presión del aire dentro de ella se aumenta hasta
que el diámetro de la pelota sea de 7 pulg, determine la de­
formación unitaria normal promedio en el hule.
2-5. El alambre A B no está estirado cuando 6 = 45°. Si la
aplicación de una carga a la barra AC, genera que el ángulo
6 = 47°, determ ine la deformación unitaria normal en el
alambre.
2-2. Una franja delgada de caucho tiene una longitud no es­
tirada de 15 pulg. Si se estira alrededor de un tubo cuyo diá
metro exterior es de 5 pulg, determine la deformación unita­
ria normal promedio en la franja.
2-6. Si una carga aplicada a la barra A C ocasiona que el pun­
to A se desplace hacia la derecha una cantidad A L, determi­
ne la deformación unitaria normal en el alambre A B . Inicial­
mente, 6 = 45°.
2-3. La viga rígida está soportada por un pasador en A y por
los alambres BD y CE. Si la carga P sobre la viga ocasiona
que el extremo C se desplace 10 mm hacia abajo, determine
la deformación unitaria normal desarrollada en los alambres
CE y BD.
r
V
)
—i—
4 m
i
-3 m -
2 m ----- f----- 2 m Prob. 2-3
Probs. 2-5/6
2-7. Los dos alambres están conectados en A . Si la fuerza P
ocasiona que el punto A se desplace horizontalmente 2 mm,
determine la deformación unitaria normal desarrollada en
cada alambre.
*2-4. Bandas de nylon están adheridas por fusión a placas
de vidrio. Con un calentamiento moderado el nylon se ablan­
da mientras que el vidrio permanece aproximadamente rí­
gido. Determine la deformación unitaria cortante promedio
en el nylon debido a la carga P cuando el conjunto se defor­
ma como se indica.
2 mm
Prob. 2-4
Prob. 2-7
P ro blem a s
*2-8. Parte de la palanca de mando de un avión consiste en
un miembro rígido CBD y en un cable flexible A B . Si se apli­
ca una fuerza al extremo D del miembro y hace girar a éste
d = 0.3°, determine la deformación unitaria normal en el ca­
ble. Inicialmente, el cable no está estirado.
2-9. Parte de la palanca de mando de un avión consiste en
un miembro rígido CBD y en un cable flexible A B . Si se apli­
ca una fuerza al extremo D del miembro y genera una defor­
mación unitaria normal en el cable de 0.0035 mm/mm. deter­
mine el desplazamiento del punto D. Inicialmente el cable no
está estirado.
•
79
*2-12. La placa triangular está fija en su base y su vértice A
recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la
deformación unitaria cortante yxy en A.
2-13. La placa triangular está fija en su base, y su vértice A
recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine
la deformación unitaria normal promedio ex a lo largo del
e je x
2-14. La placa triangular está fija en su base, y su vértice A
recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la
deformación unitaria normal prom edio Cy a lo largo del
eje x'.
HH
Probs. 2-8/9
2-10. El alambre A B no está estirado cuando 6 = 45°. Si
se aplica una carga vertical a la barra AC, lo que ocasiona que
6 = 47°,determ ine la deformación unitaria normal en el
alambre.
2-11. Si una carga aplicada a la barra A C ocasiona que el
punto A se desplace hacia la izquierda una cantidad AL. de­
termine la deformación unitaria normal en el alambre AB.
Inicialmente, 6 = 45°.
Probs. 2-10/11
2-15. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los des­
plazamientos indicados. Determine las deformaciones unita­
rias normal promedio ev y ev a lo largo de los ejes x y y.
y
Prob. 2-15
80
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
*2-16. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los des­
plazamientos indicados. Determine la deformación unitaria
cortante a lo largo de los bordes de la placa en A y B.
2-17. A las esquinas de la placa cuadrada se le dan los des­
plazamientos indicados. Determine las deformaciones unita­
rias normal promedio a lo largo del lado A B y de las diago­
nales AC y DB.
Prob. 2-18
0.2 pulg
2-19. Las tres cuerdas están unidas al anillo en B. Cuando
se aplica una fuerza al anillo, éste se mueve al punto B ' , de
modo que la deformación unitaria normal en A B es eAB y la
deformación unitaria normal en CB es ec s . Considerando
que esas deformaciones unitarias son pequeñas, determine la
deformación unitaria normal en DB. Observe que A B y CB
permanecen horizontal y vertical, respectivamente, debido a
las guías de los rodillos en A y C.
0.3 pulg
Probs. 2-16/17
2-18. La cuerda de nylon tiene una longitud inicial L y es­
tá unida a un perno fijo en A y a un rodillo en B. Si se aplica
una fuerza P al rodillo, determine la deformación unitaria
normal en la cuerda cuando el rodillo está en C, ec y en D,
eD. Si la cuerda no estaba estirada inicialmente en la posición
C, determine la deformación unitaria normal eCo cuando el
rodillo se mueve a D. Demuestre que si los desplazamientos
Ac y
son pequeños, entonces eCD = eD ec .
Prob. 2-19
P ro b le m a s
*2-20. La placa rectangular está sometida a la deformación
mostrada por las líneas punteadas. D eterm ine las defor­
maciones unitarias cortantes y xy y y vV desarrolladas en el
punto A .
Prob. 2-20
•
81
2-23. La placa rectangular está sometida a la deformación
mostrada por las líneas punteadas. Determine la deforma­
ción unitaria cortante promedio y xy de la placa.
*2-24. La placa rectangular está sometida a la deformación
mostrada por las líneas punteadas. Determine las deforma­
ciones unitarias normales promedio a lo largo de la diagonal
A C y del lado/IB .
3 m m - i *—
Probs. 2-23/24
2-21. Un alambre delgado situado a lo largo del eje x es de­
formado en modo tal que cada punto del alambre se despla­
za A.v = k x 2 a lo largo del eje x. Si k es constante, ¿cuál
es la deformación unitaria normal en cualquier punto P a lo
largo del alambre.
Prob. 2-21
2-22. El alambre está sometido a una deformación unitaria
normal definida por e = (x/L )e~ W L^~donde x está en milí­
metros. Si el alambre tiene una longitud inicial L, determine
el incremento en su longitud.
2-25. La pieza de caucho es inicialmente rectangular. D e­
termine la deformación unitaria cortante promedio y xy si las
esquinas B y D están sometidas a los desplazamientos que
ocasionan que el caucho se deforme como se muestra con las
líneas punteadas.
2-26. La pieza de caucho es inicialmente rectangular y está
sometida a la deformación mostrada por las líneas puntea­
das. Determine la deformación unitaria normal promedio a
lo largo de la diagonal DB y del lado AD .
3 mm—-
400 mm
- 300 m m ------| B
2 mm
Prob. 2-22
Probs. 2-25/26
82
•
CAPÍTULO 2 Deformación unitaria
2-27. El material se distorsiona y toma la posición puntea­
da mostrada. Determine (a) las deformaciones unitarias nor­
males promedio ex, e v y la deformación unitaria cortante y xy
en A ,y (b) la deformación unitaria normal promedio a lo lar­
go de la línea BE.
ti
*2-28. El material se deforma según las líneas punteadas
mostradas en la figura. Determine la deformación unitaria
normal promedio que se presenta a lo largo de las diagona­
les A D y CF.
Prob. 2-30
2-31. El tubo curvo tiene un radio original de 2 pies. Si se
calienta no uniformemente, de manera que la deformación
unitaria normal a lo largo de su longitud es e = 0.05 eos 6.
determine el incremento en longitud del tubo.
15 mm
*2-32.
Resuelva el problema 2-31 si e = 0.08 sen 6.
D \— !
■4 {•------8 0 m m
—i
F
Probs. 2-27/28
2-29. La carga no uniforme genera una deformación unita­
ria normal en la flecha que puede expresarse por ex = k x 2,
donde k es una constante. Determine el desplazamiento del
extremo B. Además, ¿cuál es la deformación unitaria normal
promedio en la flecha?
Probs. 2-31/32
2-33. El bloque de polisulfona está unido con pegamento
en sus partes superior e inferior a placas rígidas. Si una fuer­
za tangencial aplicada a la placa superior ocasiona que el ma­
terial se deforme de modo tal que sus lados quedan descritos
por la ecuación y = 3.56jt1/4, determine la deformación uni­
taria cortante en el material en sus esquinas A y B.
!
Prob. 2-29
2-30. La carga no uniforme genera una deformación unita­
ria normal en la flecha que puede expresarse por
ex = k sen
donde k es una constante. Determine el desplazamiento del
centro C y la deformación unitaria normal promedio en to­
da la flecha.
Prob. 2-33
Pr o blem a s
2-34 La fibra A B tiene una longitud L y orientación d. Si
sus extremos A y B experimentan desplazamientos muy pe­
queños u A y vB, respectivamente, determine la deformación
unitaria normal en la fibra cuando ella está en la posi­
ción A ' B'.
83
2-35. Si la deformación unitaria normal se define con res­
pecto a la longitud final, como
en lugar de definirla con respecto a la longitud inicial, ecua­
ción 2-2, demuestre que la diferencia en esas deformaciones
unitarias se representa como un término de segundo orden,
esto es, e„ - e'„ = e„e'„.
y
y
^
A
•
uA A'
y
*
Prob. 2-34
\vb
Deben conocerse las propiedades mecánicas de un material a fin de que los
ingenieros puedan asociar las mediciones de deformación unitaria al esfuerzo.
Aquí se determinan las propiedades mecánicas del hueso a partir de una
prueba de compresión.
C A P Í T U LO
3
Propiedades mecánicas
de los materiales
Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unita­
ria. en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con
las deformaciones unitarias usando métodos experimentales para determ inar el
diagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará
el comportamiento descrito por este diagrama, para los materiales usados co­
m únm ente en ingeniería. Se examinarán también las propiedades mecánicas y
otras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.
3.1
Pruebas de tensión y compresión
La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar
una carga sin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inheren­
te al material mismo y debe determinarse por experimentación. Entre
las pruebas más importantes están las pruebas de tensión o compresión.
Aunque con estas pruebas pueden determinarse muchas propiedades
mecánicas im portantes de un material, se utilizan principalmente para
determ inar la relación entre el esfuerzo normal promedio y la deform a­
ción normal unitaria en muchos materiales utilizados en ingeniería, sean
de metal, cerámica, polímeros o compuestos.
85
86
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
d 0 = 0.5 pulg
V~Lo = 2 pulg
i
Fig. 3-1
(
Espécimen típico de acero con una
galga extensométrica cementada sobre
éste.
Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de
forma y tamaño “estándar”. Antes de la prueba, se imprimen con un
punzón a la probeta dos marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas m ar­
cas se colocan lejos de los extremos del espécimen porque la distribu­
ción del esfuerzo en los extremos es un tanto compleja debido al agarre
de las conexiones cuando se aplica una carga. Se toman mediciones tan­
to del área de la sección transversal inicial del espécimen, A 0, como
de la distancia L0 de la longitud calibrada entre las marcas del punzón.
Por ejemplo, cuando se usa un espécimen de metal en una prueba de
tensión, generalmente éste tiene un diám etro inicial de d0 = 0.5 pulg
(13 mm) y una longitud calibrada de L0 = 2 pulg (50 mm), figura 3-1.
Con objeto de aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el
espécimen, por lo regular los extremos se asientan sobre juntas de rótu­
la. Luego se usa una máquina de prueba similar a la mostrada en la figu­
ra 3-2 para estirar el espécimen a un régimen constante muy lento, has­
ta alcanzar el punto de ruptura. La máquina se diseña para que se pueda
leer la carga requerida para m antener este alargamiento uniforme.
D urante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de
la carga aplicada P, a medida que se leen en la carátula de la máquina
o en un dispositivo digital. También puede medirse el alargamiento <5 =
L - L 0 entre las marcas que se hicieron en el espécimen con el punzón,
usando ya sea una galga o un dispositivo óptico o mecánico llamado
extensómetro. Este valor de 5 se usa luego para determ inar la deform a­
ción unitaria normal promedio en el espécimen o muestra. Sin em bar­
go, a veces no se toma esta medición, puesto que también es posible leer
la deformación unitaria directamente usando una galga extensométrica
de resistencia eléctrica, que se parece al mostrado en la figura 3-3. La
operación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctri­
ca de un alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida
a deformación. En esencia, la galga está cementada o pegada al espéci­
men en una dirección específica. Si el pegamento es muy fuerte en com­
paración con la galga, entonces ésta es, en efecto, una parte integral del
espécimen, de modo que cuando éste se alargue en la dirección de la
galga, el alambre y el espécimen experim entarán la misma deformación
unitaria. Midiendo la resistencia eléctrica del alambre, la galga puede
graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normal direc-
de resistencia eléctrica
Fig. 3-2
Fig. 3-3
S ección 3.2
3.2
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
El diagram a de esfuerzo-deform ación
unitaria
A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posi­
ble calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deforma­
ción unitaria en el espécimen y luego graficar los resultados. La curva
resultante se llama diagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay
dos maneras de describirlo.
Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usan­
do los datos registrados, podemos determ inar el esfuerzo nom inal o de
ingeniería dividiendo la carga P aplicada entre el área A 0 de la sección
transversal original del espécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo
es constante en la sección transversal y en toda la región entre los puntos
calibrados. Tenemos
D e la misma manera, la deformación nom inal o de ingeniería se deter- •
mina directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la
longitud calibrada 8, entre la longitud calibrada original del espécimen
L0. Aquí se supone que la deformación unitaria es constante en la re­
gión entre los puntos calibrados. Entonces,
Si se grafican los valores correspondientes de cr y e, con los esfuerzos
como ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva
resultante se llama diagrama convencional de esfuerzo-deformación
unitaria. Este diagrama es muy im portante en la ingeniería ya que pro­
porciona los medios para obtener datos sobre la resistencia a tensión (o
a compresión) de un material sin considerar el tam año o forma geomé­
trica del material. Sin embargo, debe ser claro que nunca serán exacta­
mente iguales dos diagramas de esfuerzo-deformación unitaria para un
material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables
de la composición del material, de imperfecciones microscópicas, de la
m anera en que esté fabricado, de la velocidad de carga y de la tempe­
ratura durante la prueba.
Veremos ahora las características de la curva convencional esfuerzo
deformación unitaria del acero, material comúnmente usado para la fa­
bricación de miembros estructurales y elementos mecánicos. En la figu­
ra 3-4 se muestra el diagrama característico de esfuerzo-deformación
unitaria de una probeta de acero, usando el método antes descrito. En
esta curva podemos identificar cuatro maneras diferentes en que el ma­
terial se comporta, dependiendo de la cantidad de deformación unitaria
inducida en el material.
•
87
88
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
, esfuerzo
f de fractura
Diagramas esfuerzo-deformación unitaria, convencional
y real, para un material dúctil (acero) (no a escala).
Fig. 3-4
Comportamiento elástico. Este comportamiento elástico ocurre cuando
las deformaciones unitarias en el modelo están dentro de la región ligera­
mente sombreada que se muestra en la figura 3-4. Puede verse que la cur­
va es en realidad una línea recta a través de toda esta región, así que el es­
fuerzo es proporcional a la deformación unitaria. En otras palabras, se dice
que el material es linealmente elástico. El límite superior del esfuerzo en es­
ta relación lineal se llama límite de proporcionalidad , olp. Si el esfuerzo ex­
cede un poco el límite de proporcionalidad, el material puede todavía res­
ponder elásticamente; sin embargo, la curva tiende a aplanarse causando
un incremento mayor de la deformación unitaria con el correspondiente in­
cremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite
elástico. Para determ inar este punto en cualquier espécimen, debemos
aplicar, y luego retirar, una carga creciente hasta que se detecte una de­
formación permanente en el mismo. Sin embargo, en el acero rara vez se
determina el límite elástico, puesto que está muy cerca del límite de pro­
porcionalidad y, por tanto, su detección es bastante difícil.
Fluencia. Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico
provocará un colapso del material y causará que se deforme permanente­
mente. Este comportamiento se llama fluencia, y está indicado por la región
más oscura de la curva, figura 3-4. El esfuerzo que origina la fluencia se
llama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, <xy, y la deformación que
ocurre se llama deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura
3-4, en los aceros con bajo contenido de carbono o en aquellos que sean la­
minados o rolados en caliente, se distinguen dos valores para el punto de
fluencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una
disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto infe­
rior de fluencia. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado el punto infe-
S ección 3.2
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
•
89
rior de fluencia, como se muestra en la figura 3-4, entonces la muestra con­
tinuará alargándose sin ningún incremento de carga. Observe que la figu­
ra 3-4 no está trazada a escala. Si lo estuviera, las deformaciones unitarias
inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40 veces más grandes que las
producidas hasta el límite elástico. Cuando el material está en este estado,
suele decirse que es perfectamente plástico.
Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, pue­
de aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se eleva con­
tinuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo, llama­
do esfuerzo último, ct„. La elevación en la curva de esta manera se llama
endurecimiento por deformación, y se identifica en la figura 3-4 como la re­
gión ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba, y mientras el espé­
cimen se está alargando, el área de su sección transversal disminuirá. Esta
disminución de área es bastante uniforme en toda la longitud calibrada del
espécimen, incluso hasta la deformación unitaria que corresponde al es­
fuerzo último.
Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la sec­
ción transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probe­
ta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es causado por
planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deforma­
ciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes (vea la sección
10.7). Como resultado, tiende a desarrollarse un “cuello” en esta zona a
medida que el espécimen se alarga cada vez más. figura 3-5«. Puesto que el
área de la sección transversal en esta zona está decreciendo continuamen­
te, el área más pequeña puede soportar sólo una carga siempre decrecien­
te. De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria tienda a cur­
varse hacia abajo hasta que la probeta se rompe en el punto del esfuerzo
de fractura, oy, figura 3-5b. Esta región de la curva debida a la formación
del cuello está representada con color oscuro en la figura 3-4.
Diagrama real de esfuerzo-deformación unitaria. En lugar de usar
siem pre el área de la sección transversal y la longitud originales de la
muestra para calcular el esfuerzo y la deformación unitaria (de ingenie­
ría), podríamos haber usado el área de la sección transversal y la longitud
reales del espécimen en el instante en que la carga se está midiendo. Los
valores del esfuerzo y de la deformación unitaria calculados a partir de es­
tas mediciones se llaman esfuerzo real y deformación unitaria real, y un tra­
zo de sus valores se llama diagrama real de esfuerzo-deformación unita­
ria. Cuando se traza este diagrama, vemos que tiene la forma mostrada por
la línea que forma la curva en la figura 3-4. Advierta que ambos diagra­
mas (el convencional y el real) prácticamente coinciden cuando la defor­
mación unitaria es pequeña. Las diferencias entre los diagramas comien­
zan a aparecer en la zona de endurecimiento por deformación, donde la
magnitud de la deformación unitaria es más significativa. En particular, no­
te la gran divergencia dentro de la zona de formación del cuello. Aquí po­
demos ver que. según el diagrama o - e convencional, la probeta de en­
sayo en realidad soporta una carga decreciente, puesto que A 0 es constante
cuando se calcula el esfuerzo nominal, <r = P /A 0. Sin embargo, según el
diagrama a - e real, el área real A dentro de la región de formación del
cuello está siempre decreciendo hasta que ocurre la falla oy-, y así el ma­
terial realmente soporta un esfuerzo creciente, puesto que cr = P/A
Patrón típico de estricción que ocurrió en
este espécimen de acero justo antes de la
fractura.
Falla de un
material dúctil.
(b)
Fig. 3-5
90
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación real y convencional
son diferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo
dentro de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general
no es severa dentro de este intervalo. Siempre que el material sea “rígi­
do”, como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta
el límite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los
valores nominales de <xy de e será muy pequeño (alrededor de 0.1%)
comparado con sus valores verdaderos. Ésta es una de las razones
primordiales para usar diagramas de esfuerzo-deformación convencio­
nales.
Los conceptos anteriores pueden resumirse haciendo referencia a la
figura 3-6, la cual muestra un diagrama de esfuerzo-deformación con­
vencional de una probeta de un acero dulce. Con objeto de resaltar los
detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala de defor­
mación exagerada. Siguiendo el comportamiento, el límite de propor­
cionalidad se alcanza en alp = 35 klb/pulg2 (241 MPa), cuando e¡p =
0.0012 pulg/pulg. Éste es seguido por un punto superior de fluencia de
(°y)« = 38 klb/pulg2 (262 MPa), luego súbitam ente por un punto infe­
rior de fluencia de (oy), = 36 klb/pulg2 (248 MPa). El final de la fluen­
cia ocurre con una deformación unitaria de eY = 0.030 pulg/pulg, la cual
es 25 veces más grande que la deformación unitaria en el límite de pro­
porcionalidad. Continuando, la probeta de ensayo se endurece hasta que
alcanza un esfuerzo último de ct„ = 63 klb/pulg2 (435 MPa), y luego co­
mienza la estricción hasta que ocurre la falla, oy = 47 klb/pulg2 (324 MPa).
En comparación, la deformación unitaria en el punto de falla, ef = 0.380
pulg/pulg, es 317 veces mayor que e¡p.
o (klb/pulg2)
Fig. 3-6
S ección 3.3
cional
i cabo
eneral
"rígihasta
de los
0. 1%)
tzones
enrió­
la a la
i con­
tar los
deforroporeiP ~
cia de
) infefluena cual
e prota que
ao coMPa).
0.380
3.3
Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles
91
Com portam iento esfuerzo-deform ación unitaria
de m ateriales dúctiles y frágiles
Los materiales pueden clasificarse como dúctiles o frágiles dependien­
do de sus características esfuerzo-deformación unitaria. Trataremos a ca­
da uno por separado.
Materiales dúctiles. Todo material que pueda estar sometido a defor­
maciones unitarias grandes antes de su rotura se llama m aterial dúctil. El
acero dulce (de bajo contenido de carbono), del que hemos hablado an­
tes, es un ejemplo típico. Los ingenieros a m enudo eligen materiales dúc­
tiles para el diseño, ya que estos materiales son capaces de absorber im­
pactos o energía y, si sufren sobrecarga, exhibirán norm alm ente una
deformación grande antes de su falla.
U na manera de especificar la ductilidad de un material es reportar su
porcentaje de elongación o el porcentaje de reducción de área (estricción) en el mom ento de la fractura. El porcentaje de elongación es la
deformación unitaria del espécimen en la fractura expresada en porcen­
taje. Así, si la longitud original entre las marcas calibradas de un probe­
ta es L0 y su longitud durante la ruptura es Lf, entonces
Porcentaje de elongación =
L f - L0
( 100%)
(3-3)
Como se aprecia en la figura 3-6, puesto que ef = 0.380, este valor sería
de 38% para una probeta de ensayo de acero dulce.
El porcentaje de reducción del área es otra m anera de especificar la
ductilidad. Está definida dentro de la región de formación del cuello co­
mo sigue:
A q - AiPorcentaje de reducción del área = ----------- (100%)
pulg)
•
(3-4)
Aquí A 0 es el área de la sección transversal original y A f es el área en
la fractura. Un acero dulce tiene un valor típico de 60 por ciento.
Además del acero, otros materiales como el latón, el molibdeno y el
zinc pueden también exhibir características de esfuerzo-deformación
dúctiles similares al acero, por lo cual ellos experimentan un com porta­
miento esfuerzo-deformación unitaria elástico, fluyen a esfuerzo cons­
tante, se endurecen por deformación y, finalmente, sufren estricción has­
ta la ruptura. Sin embargo, en la mayoría de los metales, no ocurrirá una
fluencia constante más allá del rango elástico. Un metal para el cual és­
te es el caso es el aluminio. En realidad, este metal a menudo no tiene
un punto de fluencia bien definido, y en consecuencia es práctica común
definir en él una resistencia a la fluencia usando un procedimiento grá­
fico llamado el método de la desviación. Norm alm ente se escoge una
deformación unitaria de 0.2% (0.002 pulg/pulg) y desde este punto so­
bre el eje e, se traza una línea paralela a la porción inicial recta del dia­
grama de esfuerzo-deformación unitaria. El punto donde esta línea in­
terseca la curva define la resistencia a la fluencia. Un ejemplo de la
construcción para determ inar la resistencia a la fluencia para una alea­
ción de aluminio se muestra en la figura 3-7. De la gráfica, la resisten­
cia a la fluencia es crYs — 51 klb/pulg2 (352 MPa).
a (klb/pulg2)
60
0.010
e (pulg/pulg)
0.002
(desviación
de 0.2%)
Resistencia a la fluencia para una aleación
de aluminio
Fig. 3-7
92
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
a (klb/pulg2)
Diagrama a -e para el hierro colado gris
Fig.3-9
Observe que la resistencia de fluencia no es una propiedad física del
material, puesto que es un esfuerzo que causó una deformación unita­
ria perm anente especificada en el material. Sin embargo, en este texto
supondremos que la resistencia de fluencia, el punto de fluencia, el lími­
te elástico y el límite de proporcionalidad coinciden todos ellos, a no ser
que se establezca de otra manera. El hule natural sería una excepción,
ya que de hecho ni siquiera tiene un límite de proporcionalidad, puesto
que el esfuerzo y la deformación unitaria no están linealmente relacio­
nados, figura 3-8. En cambio, este material, que se conoce como un po­
límero, exhibe un comportamiento elástico no lineal.
La madera es a menudo un material m oderadam ente dúctil, y como
resultado se diseña por lo general para responder sólo a cargas elásti­
cas. Las características de resistencia de la m adera varían mucho de una
especie a otra, y para cada especie dependen del contenido de humedad,
la edad y el tam año o la localización de los nudos en la madera. Puesto
que la m adera es un material fibroso, sus características de tensión o de
compresión difieren mucho cuando recibe carga paralela o perpendicu­
lar a su grano. Específicamente, la m adera se abre con facilidad cuando
se carga en tensión perpendicularm ente a su grano y, por consiguiente,
las cargas de tensión suelen casi siempre aplicarse paralelas al grano de
los miembros de madera.
Sección
3.3 C o m p o r t a m ie n t o e s fu e r z o - d e fo r m a c ió n u n it a r ia d e m a t e r ia le s d ú c t ile s y f r á g ile s
•
93
o (klb/pulg2)
Falla a tensión
de un material frágil
La compresión ocasiona
que el material se expanda
(a)
-pulg)
(b)
Fig. 3-10
Diagrama a - e para una mezcla típica de concreto
Fig. 3-11
:a del
unitatexto
I limiio ser
Dción,
tuesto
lacioin pocomo
elástile una
ledad,
'uesto
n o de
ndicuuando
tiente,
tno de
Materiales frágiles. Los materiales que exhiben poca o ninguna fluen­
cia antes de su rotura se llaman materiales frágiles. Un ejemplo es el hie­
rro colado, o hierro gris, cuyo diagrama de esfuerzo-deformación bajo ten­
sión se muestra por la porción A B de la curva en la figura 3-9. Aquí la
fractura a oy = 22 klb/pulg2 (152 MPa) tiene lugar inicialmente en una
imperfección o una grieta microscópica y luego se extiende rápidamente
a través de la muestra, ocasionando una fractura completa. Como resul­
tado de este tipo de falla, los materiales frágiles no tienen un esfuerzo de
ruptura bajo tensión bien definido, puesto que la aparición de grietas en
una muestra es bastante aleatoria. En cambio, suele reportarse el esfuer­
zo de ruptura promedio de un grupo de pruebas observadas. En la figura
3-10a se muestra una probeta típica en la que ha ocurrido la falla.
Comparados con su com portamiento bajo tensión, los materiales frá­
giles como el hierro colado exhiben una resistencia mucho más elevada
a la compresión axial, como se evidencia por la porción AC de la curva
en la figura 3-9. En este caso cualquier grieta o imperfección en la pro­
beta tiende a cerrarse, y conforme la carga aum enta el material por lo
general se abom bará o adquirirá forma de barril a medida que las de­
formaciones unitarias van siendo más grandes, figura 3-105.
Al igual que el hierro colado, el concreto se clasifica también como
material frágil y tiene baja capacidad de resistencia a la tensión. Las ca­
racterísticas de su diagrama de esfuerzo-deformación dependen primor­
dialmente de la mezcla del concreto (agua, arena, grava y cemento) y
del tiempo y tem peratura del curado. En la figura 3-11 se muestra un
ejemplo típico de un diagrama de esfuerzo-deformación “com pleto” para
el concreto. Por inspección, su resistencia máxima a la compresión es de
casi 12.5 veces mayor que su resistencia a la tensión, (crc)máx = 5 klb/pulg2
(34.5 MPa) contra (cr,)máx = 0.40 klb/pulg2 (2.76 MPa). Por esta razón,
el concreto casi siempre se refuerza con barras de acero cuando está di­
señado para soportar cargas de tensión.
Puede afirmarse, por lo general, que la mayoría de los materiales ex­
hiben un com portamiento tanto dúctil como frágil. Por ejemplo, el acero
tiene un comportamiento frágil cuando tiene un contenido de carbono
alto, y es dúctil cuando el contenido de carbono es reducido. También
los materiales se vuelven más duros y frágiles a temperaturas bajas, mien­
tras que cuando la temperatura se eleva, se vuelven más blandos y dúcti­
les. Este efecto se muestra en la figura 3-12 para un plástico metacrilático.
El acero pierde rápidamente su resistencia
al ser calentado. Por esta razón los ingenie­
ros requieren a menudo que los miembros
estructurales principales sean aislados con­
tra el fuego.
a (klb/pulg2)
160° F
------ 1-------e(pulg/pulg)
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Diagramas cr-f para un plástico metacrilático
Fig. 3-12
94
3.4
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Ley de Hooke
Como se observó en la sección anterior, los diagramas de esfuerzo-de­
formación para la mayoría de los materiales de ingeniería exhiben una
relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria dentro de la
región elástica. Por consiguiente, un aum ento en el esfuerzo causa un au­
m ento proporcional en la deformación unitaria. Este hecho fue descu­
bierto por R obert Hooke en 1676 en los resortes, y se conoce como ley
de Hooke. Puede expresarse m atemáticamente como:
(3-5)
A quí E representa la constante de proporcionalidad, que se llama m ó­
dulo de elasticidad o m ódulo de Young, en honor de Thomas Young,
quien publicó en 1807 un trabajo sobre el tema.
La ecuación 3-5 representa en realidad la ecuación de la porción ini­
cial recta del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria hasta el límite
de proporcionalidad. Además, el módulo de elasticidad representa la pen­
diente de esta línea. Puesto que la deformación unitaria no tiene dimen­
siones, según la ecuación 3-5, E tendrá unidades de esfuerzo, tales como
lb/pulg2, klb/pulg2 o pascales. Como ejemplo de su cálculo, considere­
mos el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el acero m ostra­
do en la figura 3-6. Aquí, a,p = 35 klb/pulg2 y e¡p = 0.0012 pulg/pulg, de
modo que:
E = — =
= 29(103) klb/pulg2
%
0.0012 pulg/pulg
a (klb/pulg2)
acero para resortes
( I % de carbono)
acero endurecido
tratado termicamente
(0.6% de carbono)
acero maquinado
(0.6% de carbono)
acero estructural
(0.2% de carbono)
acero suave
(0.1% de carbono)
0.002 0.004 0006 0.008 0.01
Fig. 3-13
<• (pulg/pulg)
Como se m uestra en la figura 3-13, el límite de proporcionalidad pa­
ra un tipo particular de acero depende de su contenido de aleación; sin
embargo, la mayoría de los grados de acero, desde el acero rolado más
suave hasta el acero de herramientas más duro, tienen aproximadamen­
te el mismo módulo de elasticidad, que generalm ente se acepta igual a
£ ac = 29(103) klb/pulg2 o 200 GPa. Los valores comunes de E para otros
materiales de ingeniería están a menudo tabulados en códigos de inge­
niería y en libros de referencia. Valores representativos se dan también
en el forro interior de la cubierta de este libro. Debe observarse que el
módulo de elasticidad es una propiedad mecánica que indica la rigidez
de un material. Los materiales que son muy rígidos, como el acero, tie­
nen valores grandes de E [£ ac = 29(103) klb/pulg2 o 200 GPa], mientras
que los materiales esponjosos, como el hule vulcanizado, pueden tener
valores bajos [£ h = 0.10(103) klb/pulg2 o 0.70 MPa].
El módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más im­
portantes usadas en el desarrollo de las ecuaciones presentadas en este
texto. Por tanto, deberá siempre recordarse que E puede usarse sólo si
un material tiene un comportamiento elástico lineal. También, si el esfuerzo en el material es mayor que el límite de proporcionalidad, el dia­
grama de esfuerzo deformación unitaria deja de ser una línea recta y la
ecuación 3-5 ya no es válida.
Sección
3.4 Ley de Hooke
Endurecimiento por deformación. Si una probeta de material dúctil,
como el acero, es cargada dentro de la zona plástica y luego descargada,
la deformación elástica se recupera cuando el material retorna a su esta­
do de equilibrio. Sin embargo, la deformación plástica permanece y, como
resultado, el material queda som etido a una deformación permanente.
Por ejemplo, cuando un alambre se dobla (plásticamente), resorteará un
poco (elásticamente) cuando se quita la carga; sin embargo, no retornará
por completo a su posición original. Este comportamiento puede ilustrar­
se por medio de un diagrama de esfuerzo-deformación unitaria como se
m uestra en la figura 3-14«. Aquí, la probeta es cargada, primero, más allá
de su punto de fluencia A hasta el punto A '. Puesto que las fuerzas intera­
tómicas tienen que vencerse para alargar al espécimen elásticamente, en­
tonces estas mismas fuerzas hacen que los átomos permanezcan juntos cuan­
do se retira la carga, figura 3-14a. Por consiguiente, el módulo de elasticidad
E es el mismo, y la pendiente de la línea O 'A ' tiene la misma pendiente
que la línea O A.
Si se aplica de nuevo la carga, los átomos del material serán nueva­
mente desplazados hasta que ocurra la fluencia en o cerca del esfuerzo
A ', y el diagrama de esfuerzo-deformación continúa a lo largo de la mis­
ma trayectoria como antes, figura 3-14b. Sin embargo, conviene señalar
que este nuevo diagrama de esfuerzo-deformación definido por O 'A 'B '
tiene ahora un punto de fluencia mayor (A '), como consecuencia del en- *
durecimiento por deformación. En otras palabras, el material tiene aho­
ra una región elástica mayor, sin embargo, tiene menos ductilidad, esto es,
una menor región plástica, que cuando estaba en su estado original.
Debe señalarse que en realidad puede perderse algo de calor o ener­
gía cuando el espécimen es descargado desde A ' y luego cargado de nue­
vo hasta este mismo esfuerzo. Como resultado, se tendrán ligeras curvas
en las trayectorias de A ' a O' y de O' a A ' durante un ciclo de carga
medido cuidadosamente. Esto se muestra por medio de las curvas con
rayas en la figura 3-146. El área sombreada entre estas curvas represen­
ta energía perdida y se llama histéresis mecánica. Se convierte en una
consideración im portante cuando se seleccionan materiales que van a
servir como amortiguadores de vibraciones en estructuras o en equipos
mecánicos, aunque en este texto no la consideraremos.
a
región
elástica
a
región
plástica
región
elástica
B
e
?deformaci6n ? recuperación ,
permanente'
elástica
'
O
(a)
O'
(b)
Fig. 3-14
región
plástica
•
95
96
3.5
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
Energía de deform ación
Fig. 3-15
Un material tiende a almacenar energía internamente en todo su volu­
men al ser deform ado por una carga externa. Puesto que esta energía
está relacionada con las deformaciones del material, recibe el nombre
de energía de deformación unitaria. Por ejemplo, cuando una probeta de
prueba a tensión está sometida a una carga axial, un elemento de volu­
men del material está sometido a esfuerzo uniaxial como se muestra en
la figura 3-15. Este esfuerzo desarrolla una fuerza AF = cr AA = a (Ai
Ay) sobre Jas caras superior e inferior del elem ento después que el ele­
mento sufre un desplazamiento vertical e Az. Por definición, el trabajo
se determina por el producto de la fuerza y el desplazamiento en la di­
rección de la fuerza. Puesto que la fuerza AF aum enta uniformemente
desde cero hasta su magnitud final AF cuando se alcanza el desplaza­
miento e Az, el trabajo efectuado en el elemento por la fuerza es igual
a la magnitud de la fuerza promedio (AF/2) por el desplazamiento e Az.
Este “trabajo externo” es equivalente al “trabajo interno” o energía de
deformación unitaria almacenada en el elemento (suponiendo que no se
pierda energía en forma de calor). En consecuencia, la energía de defor­
mación unitaria AU es AU = (1/2 AF) e Az = (1/2 o Ax Ay)e Az. Como
el volumen del elem ento es AF = Ax Ay Az, entonces AU = 1/2 ere AV.
A veces es conveniente formular la energía de deformación unitaria
por unidad de volumen de material. Esto se llama densidad de energía
de deformación unitaria, y puede expresarse como
AU
1
w= Á v = r e
(3-6)
Si el comportamiento del material es elástico lineal, entonces es aplica­
ble la ley de Hooke, o = Ee, y por tanto podemos expresar la densidad de
energía de deformación unitaria en términos del esfuerzo uniaxial como:
2E
(3-7)
Módulo de resiliencia. En particular, cuando el esfuerzo o-alcanza el
límite de proporcionalidad, a la densidad de la energía de deformación
unitaria, calculada con la ecuación 3-6 o la 3-7, se le llama módulo de re­
siliencia, esto es.
(3-8)
Módulo de resiliencia ur
(a)
Fig. 3-16
En la región elástica del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria,
figura 3-16«, advierta que ur es equivalente al área triangular sombreada
bajo el diagrama. La resiliencia de un material representa físicamente la
capacidad de éste de absorber energía sin ningún daño perm anente en
el material.
Módulo de tenacidad. O tra propiedad im portante de un material es
el módulo de tenacidad, u,. Esta cantidad representa el área total dentro
del diagrama de esfuerzo-deformación, figura 3-16¿>, y por consiguiente in-
dica la d
cisameu
do se da
materia]
debido ;
con un t>
fractura
La alea*
nacidad
diagran:
cómop>
tres ales
pur\
•
uj
te
tos
ira
• El
usa
lib
• Ui
mi
tía
la
• Ui
a
le
lo
• Pi
ui
fu
• U
ce
ck
• Si
pí
&
• U
ca
• B
P*
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L!
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ta
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Sección
'olu;rgía
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:a de
/olua en
■(A*
i eleibajo
a dilente
lazaigual
e Az.
ía de
no se
efor^omo
eAV.
itaria
ergía
(3-6)
plicaad de
:omo:
(3-7)
nza el
lación
de re-
(3-8)
litaria,
jreada
;nte la
nte en
:rial es
dentro
ntc in­
dica la densidad de la energía de deformación unitaria del material pre­
cisamente antes de que se rompa. Esta propiedad resulta importante cuan­
do se diseñan miembros que pueden sobrecargarse accidentalmente. Los
materiales con un módulo de tenacidad elevado se distorsionarán mucho
debido a una sobrecarga; sin embargo, pueden ser preferibles a aquellos
con un valor bajo, puesto que los materiales que tienen un u, bajo pueden
fracturarse de m anera repentina sin indicio alguno de una falla próxima.
La aleación de los metales pueden también cambiar su resiliencia y te­
nacidad. Por ejemplo, al cambiar el porcentaje de carbono en el acero, los
diagramas de esfuerzo-deformación resultantes en la figura 3-17 indican
cómo pueden cambiar a su vez los grados de resiliencia y de tenacidad en
tres aleaciones.
3.5 Energía de deformación
•
97
a
(b)
PUNTOS IMPORTANTES
• U n diagrama de esfuerzo-deformación convencional es importan­
te en la ingeniería ya que proporciona un medio para obtener da­
tos sobre la resistencia a tensión o compresión del material sin
importar el tamaño o forma física del material.
• El esfuerzo y la deformación unitaria de ingeniería se calculan
usando el área original de la sección transversal y la longitud ca­
librada del espécimen.
• Un material dúctil, como el acero dulce, tiene cuatro com porta­
mientos distintos al ser cargado. Ellos son el comportamiento elás­
tico, la fluencia o cedencia, el endurecimiento por deformación y
la estricción.
• Un material es linealmente elástico si el esfuerzo es proporcional
a la deformación unitaria dentro de la región elástica. A esto se
le llama ley de Hooke, y la pendiente de la curva se llama módu­
lo de elasticidad, E.
• Puntos importantes sobre el diagrama de esfuerzo-deformación
unitaria son el límite de proporcionalidad, el límite elástico, el es­
fuerzo de fluencia, el esfuerzo último y el esfuerzo de fractura.
• La ductilidad de un material puede ser especificada por el por­
centaje de elongación del espécimen o por el porcentaje de reduc­
ción en área.
• Si un material no tiene un distinto punto de fluencia, puede es­
pecificarse un esfuerzo de fluencia usando un procedim iento grá­
fico tal como el método de la desviación.
• Los materiales frágiles, como el hierro colado gris, tienen muy po­
ca o ninguna fluencia y se fracturan repentinamente.
• El endurecimiento por deformación se usa para establecer un
punto de fluencia más alto en un material. Esto se logra defor­
mando el material más allá del límite elástico y luego liberando
la carga. El módulo de elasticidad permanece igual: sin embargo,
la ductilidad del material decrece.
• La energía de deformación unitaria es energía almacenada en un
material debido a su deformación. Esta energía por volumen uni­
tario se llama densidad de energía por deformación unitaria. Si
ella se mide hasta el límite de proporcionalidad se llama m ódu­
lo de resiliencia, y si se mide hasta el punto de fractura, se llama
módulo de tenacidad.
Fig. 3-16 (cont.)
resistencia más alta
del acero endurecido
(0.6% de carbono)
acero estructural
muy tenaz
de carbono)
acero suave
muy dúctil
(0.1 % de carbono)
Fig. 3-17
Este espécimen de nylon exhibe un
alto grado de tenacidad evidencia­
do por la gran cantidad de estric­
ción que ha sufrido justo antes de
su fractura.
98
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
U na prueba de tensión para una aleación de acero da como resulta­
do el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en la fi­
gura 3-18. Calcule el módulo de elasticidad y el esfuerzo de fluencia
con base en una desviación de 0.2%. Identifique sobre la gráfica el
esfuerzo último y el esfuerzo de fractura.
<7 (k lb/pulg2)
120
a„ = 108
<%= 68
€ (pulg/pulg)
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0 .U 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24
I 0.0008 I 0.0016 I 0.0024
0.0004 0.0012 00020
*02%"
Fig. 3-18
Solución
Módulo de elasticidad. Debemos calcular la pendiente de la por­
ción inicial recta de la gráfica. Usando la curva amplificada y la esca­
la mostrada, esta línea se extiende del punto O a un punto estimado
A, que tiene coordenadas de aproximadamente (0.0016 pulg/pulg, 50
klb/pulg2). Por consiguiente,
50 = klb/pulg2
0.0016 pulg/pulg
31.2(103) klb/pulg2
Resp.
Advierta que la ecuación de la línea OA es entonces a = 31.2(103)e.
Resistencia a la fluencia. Para una desviación de 0.2%, comenza­
mos con una deformación unitaria de 0.2%, o 0.0020 pulg/pulg y ex­
tendemos gráficamente una línea (punteada) paralela a O A hasta que
interseca a la curva a-e en A'. La resistencia a la fluencia es aproxi­
madamente:
o-yS = 68 klb/pulg2
Resp
Esfuerzo último. Este se define por la ordenada máxima de la grá­
fica cr-e, esto es, por el punto B en la figura 3-18.
cr„ = 108 klb/pulg2
Resp.
Esfuerzo de fractura. Cuando el espécimen se deforma a su máxi­
mo de 6f = 0.23 pulg/pulg, se fractura en el punto C. Entonces,
ay = 90 klb/pulg2
Resp.
Sección
3.5 Energía de deformación
•
99
E J E M P L O
En la figura 3-19 se m uestra el diagrama de esfuerzo-deformación uni­
taria para una aleación de aluminio usada para fabricar partes de avión.
Si un espécimen de este material se somete a un esfuerzo de 600 MPa, de­
termine la deformación unitaria permanente que queda en el espécimen
cuando la carga se retira. Calcule también el módulo de resiliencia
antes y después de la aplicación de la carga.
Solución
Deformación unitaria permanente. Cuando el espécimen está so­
metido a la carga, se endurece hasta que se alcanza el punto B sobre
el diagrama er-e, figura 3-19. La deformación unitaria en este punto
es aproximadamente 0.023 mm/mm. Cuando se retira la carga, el ma­
terial se comporta siguiendo la línea recta BC, que es paralela a la lí­
nea OA. Como ambas líneas tienen la misma pendiente, la deforma­
ción unitaria en el punto C puede determ inarse analíticamente. La
pendiente de la línea OA es el módulo de elasticidad, esto es,
E =
450 MPa
0.006 mm/m m
= 7 5 .0
Según el triángulo C BD :
BD
600(106) Pa
E =
CD ~
CD
GPa
tr(M Pa)
750
F
600 -
Oy = 450
= 7 5 .0 ( 1 0 9)
Pa
CD — 0 0 .0 0 8 mm/mm
€ (m m /m m )
Esta deformación unitaria representa la cantidad de deformación uni­
taria elástica recuperada. La deformación unitaria permanente, eoc, es
entonces
,
eoc = 0 .0 2 3 m m /m m — 0 .0 0 8 m m/mm
= 0 .0 1 5 0 mm/m m
Resp.
Nota: si las marcas de calibración sobre el espécimen estaban original­
mente separadas 5 0 mm, entonces, después de retirar la carga, esas mar­
cas estarán a 5 0 mm + (0 .0 1 5 0 ) ( 5 0 mm) = 5 0 .7 5 mm separadas.
M ódulo de resiliencia. Aplicando la ecuación
(«r)inicial =
= ^ (4 5 0
3 -8 ,
tenemos*
M P a) (0 .0 0 6 m m /mm)
= 1.35 M J/m 3
Resp.
^(600 MPa)(0.008 m m /mm)
=
2 .4 0
M J/m 3
Resp.
El efecto del endurecimiento del material ha causado un incremen­
to en el módulo de resiliencia, como se advierte por comparación de
las respuestas; sin embargo, note que el módulo de tenacidad del ma­
terial ha decrecido, ya que el área bajo la curva O ABF es mayor que
el área bajo la curva CBF.
*E1 trab ajo en el sistem a SI de u n id ad es se m ide en joules, d o n d e 1 J = 1 N • m.
•—eoc—■!
Fig. 3-19
100
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
3.3
La barra de aluminio mostrada en la figura 3-20« tiene una sección
transversal circular y está sometida a una carga axial de 10 kN. Una
porción del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para el m a­
terial se m uestra en la figura 3-206; determ ine el alargamiento
aproximado de la barra cuando se le aplica la carga. Si se retira la car­
ga, ¿cuál es el alargamiento permanente de la barra? Considere Eal =
70 GPa.
20
mm
15
B
M --------------------------------- '
10 kN ■<----------
mm
le
i---------- ► 10 kN
■ "i
!
" t
600 mm
»
(a)
a (MPa)
(b)
Fig. 3-20
Solución
En el análisis despreciaremos las deformaciones localizadas en el pun­
to de aplicación de la carga y donde el área de la sección transversal
de la barra cambia bruscamente. (Esos efectos se estudiarán en las
secciones 4.1 y 4.7.) En toda la sección media de cada segmento, el
esfuerzo normal y la deformación son uniformes.
Sección
Para estudiar la deformación de la barra, debemos obtener la defor­
mación unitaria. Hacemos esto calculando prim ero el esfuerzo y luego
usamos el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para obtener la
deformación unitaria. El esfuerzo normal dentro de cada segmento es:
10(103) N
P
a AB ~ ~7 ~
•n- (0.01 m )2
= 31.83 MPa
10(103) N
A
ir (0.0075 m ):
= 56.59 MPa
Según el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria, el material en la
región A B se deforma elásticamente ya que oy = 40 MPa > 31.83 MPa.
Usando la ley de Hooke,
trAB
31.83(106) Pa
= T T - = ----- — 3 --------- = 0.0004547 mm/mm
B
£ ai
70(10 ) Pa
£a b
El material dentro de la región BC se deforma plásticamente, ya que
a y = 40 MPa < 56.59 MPa. De la gráfica, para aBC = 56.59 MPa,
eBC ~ 0.045 m m /m m
El alargamiento aproximado de la barra es entonces
8 = 1 e L - 0.0004547 (600 mm) + 0.045 (400 mm)
= 18.3 mm
Resp.
Cuando se retira la carga de 10 kN, el segmento A B de la barra re­
cupera su longitud original. ¿Por qué? Por otra parte, el material en el
segmento BC se recupera elásticamente a lo largo de la línea FG, figura
3-20b. Como la pendiente de FG es £ al, la recuperación elástica de la
deformación es:
erec =
a BC
56.59(106) Pa
9 n— = 0.000808 mm/mm
£ ai ~ 70(109) Pa
La deformación plástica que permanece en el segmento BC es entonces:
e OG
= 0.0450 - 0.000808 = 0.0442 mm/mm
Por tanto, cuando la carga se retira, la barra permanece con un alarga­
miento dado por:
8' = eOG^BC = 0.0442 (400 mm) = 17.7 mm
Resp.
3.5 Energía de deformación
•
101
102
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
PROBLEMAS
3-1. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una pro­
beta de ensayo de acero que tenía un diámetro original
de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los
datos se muestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuer­
zo-deformación unitaria y determ ine aproxim adam ente
el módulo de elasticidad, el esfuerzo último y el esfuer­
zo de ruptura. Use una escala de 1 pulg = 15 klb/pulg2 y
1 pulg = 0.05 pulg/pulg. Dibuje de nuevo la región elás­
tica lineal, usando la misma escala de esfuerzos, pero una
escala de deformaciones unitarias de 1 pulg = 0.001 pulg.
3-2. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una pro­
beta de ensayo de acero que tenía un diám etro original
de 0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Con
los datos proporcionados en la tabla, trace el diagrama
de esfuerzo-deformación unitaria y determ ine aproxim a­
dam ente el módulo de tenacidad.
Carga (kN )
Alargamiento (mm)
0
2.50
6.50
8.50
9.20
9.80
12.0
14.0
14.5
14.0
13.2
0
0.0009
0.0025
0.0040
0.0065
0.0098
0.0400
0.1200
'0.2500
0.3500
0.4700
*3-4. Se llevó a cabo una prueba de tensión en una pro­
beta de ensayo de acero que tenía un diámetro original de
0.503 pulg y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los da­
tos se m uestran en la tabla. Trace el diagrama de esfuer­
zo-deformación unitaria y determ ine aproxim adam ente
el módulo de elasticidad, el esfuerzo de fluencia, el es­
fuerzo último y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de
1 pulg = 20 klb/pulg2 y 1 pulg = 0.05 pulg/pulg. Dibuje
de nuevo la región elástica, usando la misma escala de es­
fuerzos pero una escala de deformaciones unitarias de
1 pulg = 0.001 pulg/pulg.
C arga (klb) A largam iento (pulg)
0
0.0005
0.0015
0.0025
0.0035
0.0050
0.0080
0.0200
0.0400
0.1000
0.2800
0.4000
0.4600
0
1.50
4.60
8.00
11.00
11.80
11.80
12.00
16.60
20.00
21.50
19.50
18.50
Prob. 3-4
Probs. 3-1/2
3-3. Se dan en la tabla los datos de un ensayo de esfuerzo-deformación unitaria de un material cerámico. La cur­
va es lineal entre el origen y el prim er punto. Trace la
curva y determine el módulo de elasticidad y el módulo
de resiliencia.
o (M P a )
e (m n i/m m )
0
229
314
341
355
368
0
0.0008
0.0012
0.0016
0.0020
0.0024
Prob. 3-3
3-5. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diáme­
tro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg.
Determ ine aproximadamente el módulo de elasticidad
del material, la carga sobre el espécimen que genera la
fluencia y la carga última que el espécimen soportará.
3-6. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diámetro
original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg. Si
el espécimen se carga hasta que se alcanza en él un esfuer­
zo de 70 klb/pulg2, determ ine la cantidad aproximada de
recuperación elástica y el incremento en la longitud cali­
brada después de que se descarga.
3-7. Se da en la figura el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria de una aleación de acero con un diám e­
tro original de 0.5 pulg y una longitud calibrada de 2 pulg.
Determ ine aproximadamente el módulo de resiliencia y
el módulo de tenacidad para el material.
P ro b le m as
70
/
50
40
/
\\
/
y
/t
20
< r(lb /p u lg 2)
_ —.
30
/
/
103
3-9. Se muestra en la figura el diagrama a-e para las fi­
bras elásticas que forman la piel y músculos humanos.
Determine el módulo de elasticidad de las fibras y esti­
me sus módulos de tenacidad y de resiliencia.
CT(klb/pulg2)
80
60
♦
/
//
10
0/
e (pulg/pulg)
e(pulg/pulg)
0 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.24 0.28
0 0.0005 0.0010.0015 0.002 0.0025 0.0030.0035
2 2.25
Prob. 3-9
P robs. 3-5/6/7
*3-8. En la figura se m uestra el diagrama de esfuerzodeformación unitaria para una barra de acero. D eterm i­
ne aproxim adam ente el módulo de elasticidad, el límite
de proporcionalidad, el esfuerzo último y el módulo de
resiliencia. Si la barra se carga hasta un esfuerzo de 450
MPa, determ ine la cantidad de deformación unitaria elás­
tica recuperable y la deformación unitaria perm anente en
la barra cuando ésta se descarga.
■3-10. Se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación
unitaria para un hueso que puede describirse por la ecua­
ción e = 0.45(10~6) ( t + 0.36(10_I2)í73, donde crestá en kPa.
Determine el esfuerzo de fluencia suponiendo una desvia­
ción de 0.3 por ciento.
f
cr(MPa)
■3-11. Se muestra el diagrama de esfuerzo-deformación
unitaria para un hueso que puede describirse por la ecua­
ción e = 0.4 5 (1 0 _6) c t+ 0 .36(10“ 12) tr\ donde crestá en kPa.
Determ ine el módulo de tenacidad y el alargamiento en
una región de 200 mm de longitud justo antes de que se
fracture si la falla ocurre en e = 0.12 mm/mm.
Prob. 3-8
Prob. 3-11
104
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
*3-12. La fibra de vidrio tiene un diagrama de esfuer­
zo-deformación unitaria como el mostrado. Si una barra
de 50 mm de diám etro y 2 m de longitud hecha de este
m aterial está sometida a una carga axial de tensión de
60 kN, determine su alargamiento.
*3-16. El poste está soportado por un pasador en C y
por un alambre A B de acero A-36. Si el alambre tiene un
diám etro de 0.2 pulg, determ ine cuánto se alarga éste
cuando una fuerza horizontal de 2.5 klb actúa sobre el
poste.
cr(Pa)
3-13. El plástico acetal tiene un diagrama de esfuerzodeformación unitaria como el mostrado. Si una barra de
este material tiene una longitud de 3 pies y un área trans­
versal de 0.875 pulg2 y está sometido a una carga axial de
2.5 klb, determine su alargamiento.
<r(lb/pulg2)
Prob. 3-16
3-17. La barra DA es rígida y se mantiene originalmen­
te en posición horizontal cuando el peso W está soporta­
do en C. Si el peso ocasiona que B se desplace hacia aba­
jo 0.025 pulg, determ ine la deformación unitaria en los
alambres D E y BC. Además, si los alambres están hechos
de acero A-36 y tienen un área transversal de 0.002 pulg2,
determ ine el peso W.
3 pies
3-14. Un espécimen tiene originalmente 1 pie de longi­
tud, un diámetro de 0.5 pulg y está sometido a una fuer­
za de 500 Ib. Cuando la fuerza se incrementa a 1800 Ib,
el espécimen se alarga 0.9 pulg. Determ ine el módulo de
elasticidad del material si éste permanece elástico.
D
B
4 pies
3-15. U n miembro estructural de un reactor nuclear es­
tá hecho de una aleación de zirconio. Si debe soportar
una carga axial de 4 klb, determine su área transversal re­
querida. Use un factor de seguridad de 3 con respecto a
la fluencia. ¿Cuál es la carga sobre el miembro si éste tie­
ne 3 pies de longitud y su alargamiento es de 0.02 pulg?
E ZI = 14(103) klb/pulg2, ay = 57.5 klb/pulg2. El material
tiene com portamiento elástico.
D
w
Prob. 3-17
P ro b le m as
3-18. Se muestra el diagrama cr-e de un haz de fibra co­
lágena de la que se compone un tendón humano. Si
un segmento del tendón de Aquiles en A tiene una lon­
gitud de 6.5 pulg y un área transversal aproximada de
0.229 pulg2, determ ine su alargamiento si el pie soporta
una carga de 125 Ib, que causa una tensión en el tendón
de 343.75 Ib.
•
105
a 'klb/pulg2)
Prob. 3-19
*3-20. Las dos barras están hechas de poliestireno, que
tiene el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mos­
trado. D eterm ine el área transversal de cada barra de m a­
nera que las barras se rom pen sim ultáneam ente cuando
la carga P = 3 klb. Suponga que no se presenta ningún
pandeo.
Prob. 3-18
P
3-19. Las dos barras están hechas de poliestireno, que
tiene el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mos­
trado. Si el área transversal de la barra A B es de 1.5 pulg2
y el de la BC es de 4 pulg2, determine la fuerza P máxima
que puede soportarse antes de que uno de los miembros
se rompa. Suponga que no ocurre ningún pandeo.
a (klb/pulg2)
P
106
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3-21. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria pa­
ra una resina de poliestireno está dado en la figura. Si la
viga rígida está soportada por un puntal A B y un poste
C D , ambos hechos de este material, y sometida a una car­
ga de P - 80 kN, determine el ángulo de inclinación de
la viga cuando se aplica la carga. El diám etro del puntal
es de 40 mm y el diámetro del poste es de 80 mm.
*3-24. El tubo está soportado por un pasador en C y un
alam bre A B de acero A-36. Si el alambre tiene un diá­
m etro de 0.2 pulg, determine la carga w distribuida si el
extremo B se desplaza 0.75 pulg hacia abajo.
3-22. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria para
una resina poliestérica está dado en la figura. Si la viga
rígida está soportada por un puntal A B y un poste CD,
ambos hechos de este material, determine la carga P m á­
xima que puede aplicarse a la viga antes de que falle. El
diám etro del puntal es de 12 mm y el diám etro del pos­
te es de 40 mm.
P ro b s. 3-23/24
3-25. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria pa­
ra muchas aleaciones metálicas puede describirse analí­
ticam ente usando la ecuación de tres parám etros de Ramberg-Osgood e = cr/E + ko ", donde E, k y n se
determ inan por mediciones en el diagrama. U sando el
diagrama de esfuerzo-deformación unitaria mostrado en
la figura, considere E = 30(103) klb/pulg2 y determ ine los
otros dos parámetros k y n y obtenga luego una expre­
sión analítica para la curva.
cr(M Pa)
a (klb/pulg2)
P robs. 3-21/22
3-23. El tubo está soportado por un pasador en C y un
alambre A B de acero A-36. Si el alambre tiene un diá­
m etro de 0.2 pulg. determine su alargamiento cuando una
carga distribuida ce w = 100 lb/pie actúa sobre la viga.
El material permanece elástico.
Prob. 3-25
S ecció n
3.6
3.6 Relación de Poisson
•
107
Relación de Poisson
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza axial de ten­
sión, no sólo se alarga sino que también se contrae lateralmente. Por
ejemplo, si una tira de hule se alarga, puede notarse que el espesor y el
ancho de la tira disminuyen. Igualmente, una fuerza de compresión que
actúa sobre un cuerpo ocasiona que éste se contraiga en la dirección de
la fuerza y que se expanda lateralmente. Estos dos casos se ilustran en la
figura 3-21 para una barra con radio r y longitud L iniciales.
Cuando la carga P se aplica a la barra, la longitud de la barra cambia
una cantidad 5 y su radio una cantidad 8'. Las deformaciones unitarias
en la dirección axial o longitudinal y en la dirección lateral o radial son,
respectivamente,
e long
8_
L
8'
e lat -
A principios del siglo xix, el científico francés S.D. Poisson descubrió
que dentro del rango elástico, la razón de esas dos deformaciones uni­
tarias es constante, ya que las deformaciones 8 y 8' son proporcionales.
A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor
numérico que es único para un material particular que sea homogéneo
e isotrópico. Expresado matemáticamente,
_£lat_
(3-9)
e long
El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (defor­
mación unitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación
unitaria negativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria
lateral es la misma en todas las direcciones laterales (o radiales). Ade­
más, esta deformación unitaria es causada sólo por la fuerza axial o lon­
gitudinal; ninguna fuerza o esfuerzo actúa en una dirección lateral que
deforme el material en esa dirección.
La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos
no porosos tiene un valor generalmente entre } y y. En la cubierta pos­
terior del libro se dan valores típicos de v para materiales comunes. En
particular, un material ideal sin movimiento lateral cuando se alargue o
contraiga, tendrá v - 0. Veremos en la sección 10.6 que el valor máximo
posible para la razón de Poisson es 0.5. Por tanto, 0 £ v s 0.5.
Cuando el bloque de hule es compri­
mido (deformación unitaria negati­
va) sus lados se expanden (deforma­
ción unitaria positiva). La relación de
esas deformaciones unitarias es cons­
tante.
Forma final
Forma original
Forma original
Form a final
r
Tensión
Compresión
Fig. 3-21
108
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
| ^ | ---------------------------------------------------Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura
3-22. Si se aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine el
cambio en su longitud y el cambio en las dimensiones de su sección
transversal después de aplicada la carga. El material se comporta elás­
ticamente.
P = 80 kN
Fig. 3-22
Solución
El esfuerzo normal en la barra es
P
*’ - A -
80(103) N
,
,
(0.1 m)(0.05 m) ' 16°<106> Pa
De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, £ ac = 200 GPa,
por lo que la deformación unitaria en la dirección z es:
16.0(106) Pa
e . = — = ---------- 5 ------ = 80(10
z
£ ac
200(10 ) Pa
V
) mm/mm
'
El alargamiento axial de la barra es entonces:
8. = ezL z = [80(10_6)](1.5 m) = 120 /¿m
Resp.
Usando la ecuación 3-9, donde vAC= 0.32 según la tabla en el forro
posterior, las contracciones en las direcciones x y y son:
ex = e v = - v ace 2 = -0.32[80(10-6)] = -25.6 /¿m/m
Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:
S x = exL x = —[25.6( 10_6 )](0.1 m) = -2 .5 6 ¿un
Resp.
8V = e vL y = —[25.6(10_6)](0.05 m) = -1.28 pxa
Resp.
S ecció n
3.7
3.7 El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
El diagram a de esfuerzo-deform ación unitaria en cortante
En la sección 1.5 se mostró que cuando un elemento de material está
sometido a cortante puro, el equilibrio requiere que se desarrollen es­
fuerzos cortantes iguales en las cuatro caras del elemento. Estos esfuer­
zos deben estar dirigidos hacia o desde las esquinas diagonalmente
opuestas del elemento, figura 3-23a. Además, si el material es homogé­
neo e isotrópico, entonces el esfuerzo cortante distorsionará al elemen­
to de manera uniforme, figura 3-23b. Como se mencionó en la sección
2 .2 , la deformación unitaria cortante yxy mide la distorsión angular del
elemento con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de
los ejes x y y.
El com portamiento de un material sometido a cortante puro puede
ser estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos del­
gados y sometiéndolos a una carga de torsión. Sí se hacen mediciones
del par aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, según los
métodos que se explicarán en el capítulo 5, los datos pueden usarse pa­
ra determ inar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria cortante, y
puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación cortante
unitaria. En la figura 3-24 se muestra un ejemplo de este diagrama pa­
ra un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión, este material .
exhibirá un com portamiento elástico lineal cuando se le somete a cor­
te, y tendrá un límite de proporcionalidad t ¡p definido. También ocurri­
rá un endurecimiento por deformación hasta que se llegue al esfuerzo
cortante último t u. Finalmente, el material comenzará a perder su resis­
tencia al cortante hasta que se alcance un punto en que se fracture, Tf.
En la mayoría de los m ateriales de ingeniería, como el que acabamos
de describir, el com portamiento elástico es lineal, de modo que la ley de
Hooke para el cortante puede escribirse como:
t
= Gy
(3-10)
Aquí G se llama m ódulo de elasticidad p o r cortante o módulo de rigi­
dez:. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el diagrama
T-y, esto es, G = Tip/y¡p. En el forro interior de la cubierta de este libro
se dan algunos valores típicos para materiales comunes de ingeniería.
Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pa o lb/'pulg2),
puesto que g se mide en radianes, una cantidad adimensional.
En la sección 10.6 se dem ostrará que las tres constantes del material, E,
v y G están relacionadas por la ecuación:
G
2 ( 1
+ v)
(3-11)
Siempre que E y G se conozcan, el valor de v podrá determinarse por
medio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe­
rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103) klb/pulg 2
y Gac = 11.0(103) klb/pulg2, de modo que, según la ecuación 3-11, vac =
0.32.
(a)
Fig. 3-23
•
109
110
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
t
Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y el
diagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria que
resulta se muestra en la figura 3-25«. Determ ine el módulo cortante
G, el límite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. D eter­
mine también la distancia d máxima que la parte superior de un blo­
que de este material, mostrado en la figura 3-25b, podría desplazarse
horizontalmente si el material se comporta elásticamente al actuar so­
bre él la fuerza cortante V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar es­
te desplazamiento?
(klb/pulg2)
Solución
M ódulo cortante. Este valor representa la pendiente de la porción
recta OA del diagrama r-y. Las coordenadas del punto A son (0.008
rad, 52 klb/pulg2). Entonces,
Y„ = 0.54
(a)
0.73
/(ra d )
G =
52 klb/pulg 2
= 6500 íclb/pulg 2
0.008 rad
Resp.
La ecuación de la línea OA es por lo tanto r = 6500y, que es la ley
de H ooke para cortante.
L ím ite de proporcionalidad
lineal en el punto A . Así,
Por inspección, la gráfica deja de ser
T¡p = 52 klb/pulg 2
Resp.
Esfuerzo último.
Este valor representa el esfuerzo cortante máximo, punto B. De la
gráfica,
r „ = 73 klb/pulg 2
Resp
(b)
Fig. 3-25
Desplazamiento elástico m áxim o y fuerza cortante. Como la defor­
mación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulo
muy pequeño, la parte superior del bloque en la figura 3-256 se des­
plazará horizontalmente:
tan(0.008 rad) = 0.008 rad =
2
pulg
d = 0.016 pulg
Resp.
El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es rlp =
52 klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des­
plazamiento es
' prom
v_
A’
52 klb/pulg2 =
(3 pulg) (4 pulg)
V = 624 klp/pulg 2
Resp.
S ección 3.7
El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria en cortante
E J E M P L O
El espécimen de aluminio mostrado en la figura 3-26 tiene un diáme­
tro d0 = 25 mm y una longitud calibrada L 0 = 250 mni, Si una fuer­
za de 165 kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determ ine el mó­
dulo de elasticidad. Determ ine también cuánto se reduce el diámetro
debido a esta fuerza. Considere Gal = 26 GPa y oy = 440 MPa.
165 kN
í
Solución
M ódulo de elasticidad.
cimen es
El esfuerzo norm al prom edio en el espé­
P
165(103) N
a = — = -------- ----- -------r = 336.1 MPa
A
(tt/4 )(0.025 m ) 2
y la deformación unitaria normal promedio es
8 _
L
mm _ q q ^ q
mm
1 .2 0
250
mm/ mm
'
Como cr < a Y = 440 MPa, el material se com porta elásticamente. El
módulo de elasticidad es
I
165 kN
o336.1(106) Pa
£ ., = - = — „ '
' — = 70.0 GPa
al
e
0.00480
Resp.
Contracción del diámetro. Primero determinamos la relación de
Poisson para el material usando la ecuación 3-11.
G =
26 GPa =
E
2(1
+
v)
70.0 GPa
2 ( 1
+ v)
v = 0.346
Como 6 jong = 0.00480 mm/mm, entonces por la ecuación 3-9,
e lat
e long
0.346 =
e iat
^lat
0.00480 mm/mm
~ —0.00166 mm/mm
La contracción del diámetro es por lo tanto
8‘ = (0.00166)(25 mm)
Fig. 3-26
•
111
112
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
'3.8
Falla de m ateriales por flujo plástico y por fatiga
Hasta ahora hemos estudiado las propiedades mecánicas de un material
sólo para una carga estática o aplicada lentam ente a una tem peratura
constante. Sin embargo, en ciertos casos, un miembro puede tener que
usarse en un ambiente para el cual las cargas deben ser sostenidas por
periodos largos a temperaturas elevadas, o en otros casos la carga puede
ser repetida o cíclica. No consideraremos tales efectos en este libro, aun­
que brevemente mencionaremos cómo se puede determ inar la resisten­
cia de los materiales en estas condiciones, puesto que reciben un trata­
miento especial en el diseño.
La aplicación de largo plazo de la car­
ga del cable sobre este poste ha cau­
sado su deformación debido al flujo
plástico.
a (klb/pulg2)
40
30
20
10
200
400
600
800
1000
Diagrama cr-t para acero inoxidable
a 1200°F y deformación unitaria por flujo
plástico de 1%
Fig. 3-27
í(h)
Flujo plástico. Cuando un material tiene que soportar una carga por un
periodo muy largo, puede continuar deformándose hasta que ocurre una
fractura súbita o su utilidad se ve amenazada. Esta deformación perm a­
nente dependiente del tiempo se llama flu jo plástico. Norm alm ente el
flujo plástico es tomado en cuenta cuando se usan metales o cerámicos co­
mo miembros estructurales o partes mecánicas sometidos a tem peratu­
ras elevadas. Sin embargo, en algunos materiales, como los polímeros y
los materiales compuestos (incluyendo la madera y el concreto), si bien la
tem peratura no es un factor importante, el flujo puede presentarse para
aplicaciones estrictamente a largo plazo de la carga. Como ejemplo típi­
co, consideremos el hecho de que una banda de hule no retorna a su for­
ma original después de haber sido liberada de una posición estirada en la
cual se mantuvo durante un periodo muy largo. En sentido general, tan­
to el esfuerzo y /o la temperatura juegan un papel im portante en la veloci­
dad del flujo plástico.
Para efectos prácticos, cuando el flujo plástico resulta importante, el
material se diseña por lo común para diseñar una deformación unitaria
por flujo plástico especificado para un periodo determinado. A este res­
pecto, una propiedad mecánica im portante que se considera en el dise­
ño de miembros sometidos a flujo plástico es la resistencia p or flujo plás­
tico. Este valor representa el esfuerzo inicial más alto que el material
puede soportar durante un tiempo especificado sin causar una cantidad
determ inada de deformación unitaria por flujo plástico. La resistencia
por flujo plástico variará con la tem peratura y, para efectos de diseño,
deberán especificarse la tem peratura, la duración de la carga, y la defor­
mación unitaria por flujo plástico permisibles. Por ejemplo, se ha suge­
rido una deformación unitaria por flujo plástico de 0 .1 % anual para el
acero en pernos y en tuberías, y de 0.25% anual para el forro de plomo
en cables.
Existen varios métodos para determ inar la resistencia por flujo plás­
tico permisible para un material en particular. Uno de los más sencillos
implica ensayar varias muestras simultáneam ente a una tem peratura
constante, pero estando cada una sometida a un esfuerzo axial diferen­
te. Midiendo el tiempo necesario para producir ya sea una deformación
unitaria permisible o la deformación unitaria de ruptura para cada es­
pécimen, se puede establecer una curva de esfuerzo contra tiempo. Nor­
malmente estas pruebas se efectúan para un periodo máximo de 1 0 0 0 ho­
ras. En la figura 3-27 se presenta un ejemplo de los resultados para un
acero inoxidable a una temperatura de 1200 °F y una deformación unita­
ria por flujo plástico prescrita de 1%. Este material tiene una resistencia
S ecció n 3 .8
Falla de materiales por flujo plástico y por fatiga
•
113
de fluencia de 40 klb/pulg 2 (276 MPa) a la tem peratura ambiente (con
. % de desviación), y la resistencia por flujo plástico a 1 0 0 0 horas se en­
cuentra que es aproximadamente <jc = 20 klb/pulg 2 (138 MPa).
En general, la resistencia por flujo plástico disminuirá para tempera­
turas más elevadas o para esfuerzos aplicados más elevados. Para perio­
dos más largos, deberán hacerse extrapolaciones de las curvas. Para ello
se requiere un cierto grado de experiencia con el comportamiento del
flujo plástico, y cierto conocimiento suplementario del uso de las pro­
piedades del material bajo flujo plástico. Sin embargo, una vez que la re­
sistencia por flujo plástico de un material se ha determinado, se aplica
un factor de seguridad para obtener un esfuerzo permisible apropiado
para el diseño.
0 2
F atiga. Cuando un metal se somete a ciclos de esfuerzo o de defor­
mación repetidos, ello ocasiona que su estructura se colapse, y, finalmen­
te se fracture. Este com portamiento se llama fa tig a , y por lo regular es
la causa de un gran porcentaje de fallas en bielas y cigüeñales de m á­
quinas, álabes de turbinas de gas o de vapor, conexiones o soportes de
puentes, ruedas y ejes de ferrocarril, así como otras partes sometidas a
cargas cíclicas. En todos estos casos ocurrirá una fractura bajo un esfuer­
zo menor que el esfuerzo de fluencia del material.
La naturaleza de esta falla resulta del hecho de que existen regiones
microscópicas, normalmente en la superficie del miembro, donde el es­
fuerzo local es mucho más grande que el esfuerzo promedio que actúa
en la sección transversal. Cuando este esfuerzo más grande se aplica en
forma cíclica, conduce a la formación de grietas diminutas. La presencia
de estas grietas provoca un aumento posterior del esfuerzo en sus puntas o
fronteras, lo cual a su vez ocasiona una extensión posterior de las grietas en
el material cuando el esfuerzo continúa ejerciendo su acción. Con el tiem­
po el área de la sección transversal del miembro se reduce a un punto en
que la carga ya no puede ser soportada, y como resultado ocurre la fractu­
ra súbita. El material, aunque sea dúctil, se comporta como si fuera frágil.
Con objeto de especificar una resistencia segura para un material m e­
tálico bajo carga repetida, es necesario determ inar un límite por debajo
del cual no pueda ser detectada una evidencia de falla después de ha­
ber aplicado una carga durante un núm ero determ inado de ciclos. Este
esfuerzo limitante se llama límite de fatiga o, más propiamente, límite de
resistencia a la fatiga. Usando una máquina de ensayos para este propó­
sito, una serie de muestras son sometidas a un esfuerzo específico apli­
cado cíclicamente hasta su falla. Los resultados se trazan en una gráfica
que represente el esfuerzo S (o a) como ordenada y el núm ero de ciclos
N a la falla como abscisa. Esta gráfica se llama diagrama S-N, o diagra­
ma esfuerzos-ciclos, y a menudo los valores de N se trazan en una esca­
la logarítmica, puesto que generalmente son bastante grandes.
En la figura 3-28 se muestran ejemplos de diagramas S-N de dos me­
tales comunes en ingeniería. El límite de resistencia a la fatiga es aquel
esfuerzo para el cual la gráfica S-N se vuelve horizontal o asintótica.
Como ya hemos indicado, existe un valor bien definido de (Sc/)ac =
27 klb/pulg 2 (186 MPa) para el acero. Sin embargo, para el aluminio el
límite de resistencia a la fatiga no está bien definido, por lo que se le es­
pecifica normalmente como el esfuerzo que tiene un límite de 500 mi­
llones de ciclos, (.S'£/)ai = 19 klb/pulg 2 (131 MPa). Los valores típicos de
El diseño de los juegos mecánicos de
un parque de diversión, requiere una
consideración cuidadosa de las cargas
que pueden provocar fatiga.
114
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
S (klb/pulg2)
Diagrama S-N para aleaciones de acero y aluminio
(el eje N tiene una escala logarítmica)
Fig. 3-28
los límites de resistencia a la fatiga para diversos materiales de ingenie­
ría aparecen con frecuencia en los manuales. Una vez obtenido un va­
lor determinado, se supone que para cualquier esfuerzo por debajo de
este valor la vida bajo fatiga es infinita, y por consiguiente el número de
ciclos para que la falla ocurra ya no merece consideración.
PUNTOS IMPORTANTES
• La relación de Poisson, v, es una medida de la deformación uni­
taria lateral de un material homogéneo e isotrópico versus su de­
formación unitaria longitudinal. Esas deformaciones unitarias son
generalmente de signos opuestos, o sea, si una es un alargamien­
to, la otra será una contracción.
• El diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante es
una gráfica del esfuerzo cortante versus la deformación unitaria
cortante. Si el material es homogéneo e isotrópico y también elás­
tico lineal, la pendiente de la curva dentro de la región elástica
se llama módulo de rigidez o módulo cortante, G.
• Existe una relación matemática entre G, E y v.
• El flujo plástico es la deformación dependiente del tiempo de un
material para el cual el esfuerzo y/o la tem peratura juegan
un papel importante. Los miembros son diseñados para resistir
los efectos del flujo plástico con base en su resistencia al flujo
plástico, que es el esfuerzo inicial más grande que un material
puede resistir durante un tiempo específico sin que genere una
deformación unitaria específica por flujo plástico.
• La fatiga ocurre en metales cuando el material es sometido a ci­
clos de esfuerzo y deformación unitaria. Los miembros son dise­
ñados para resistir la fatiga garantizando que el esfuerzo en el
miembro no excede su límite por fatiga. Este valor se determ ina
en un diagrama S-N como el máximo esfuerzo que el miembro
puede resistir al estar sometido a un núm ero específico de ciclos
de carga.
P r o b le m a s
•
115
PROBLEMAS
3-26.
Una barra de plástico acrílico tiene una longitud
de 200 mm y un diám etro de 15 mm. Si se le aplica una
carga axial de 300 N. determine el cambio en su longitud
y en su diámetro. E p = 2.70 GPa, vp = 0.4.
3-29.
El soporte consta de tres placas rígidas conecta­
das entre sí por medio de dos cojinetes de hule situados
simétricamente. Si se aplica una fuerza vertical de 50 N
a la placa A , determ ine el desplazamiento vertical apro­
ximado de esta placa debido a las deformaciones unita­
rias cortantes en el hule. Cada cojinete tiene dimensiones
de 30 mm y 20 mm. G r = 0.20 MPa.
300 N
300 N
200 mm
P ro b . 3-26
3-27.
Un bloque cilindrico corto de aluminio 2014-T6,
que tiene inicialmente un diám etro de 0.5 pulg y una lon­
gitud de 1.5 pulg, se sitúa entre las mordazas lisas de un
tornillo de banco y se comprime hasta que la carga axial
aplicada es de 800 Ib. D eterm ine (a) la disminución de su
longitud y (b) su nuevo diámetro.
3-30.
8001b
8001b
Se construye un resorte de cortante con dos blo­
ques de hule, cada uno de altura h , ancho b y espesor a.
Los bloques se adhieren a tres placas como se muestra.
Si las placas son rígidas y el módulo cortante del hule es
G, determine el desplazamiento de la placa A si se aplica
una carga P vertical a esta placa. Suponga que el desplaza­
miento es pequeño de modo que 8 = a tan y ~ ay.
m
i
P ro b . 3-27
'
T
'
.
Ir*
\
•
*3-28.
Un bloque corto cilindrico de bronce C86100 con
diámetro original de 1.5 pulg y longitud de 3 pulg.se colo­
ca en una máquina de compresión y se comprime hasta
que su longitud es de 2.98 pulg. Determ ine el nuevo diá­
m etro del bloque.
-—
a—
►
i—
a —
Prob. 3-30
h
116
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
3-31. Se construye un reso rte de co rta n te a d h irie n d o un
anillo de hule a un anillo rígido e m p o trad o y a un m a n ­
guito. C uan d o se coloca una carga P so b re el m anguito,
d em uestre que la p en d ien te en el p u n to y del h u le es
dy/dr ~ tan y = - t a n (PflirftGr)). P ara ángulos p e q u e ­
ños podem os escribir dy/dr
- P/(2rdiGr). Integre esta
expresión y evalúe la co n stan te d e integración u san d o la
condición de que y = 0 en r - r„. D el resultado, calcule
la deflexión y - 5 d el m anguito.
3-33. U n buje tiene un d iám etro de 30 m m y encaja d en ­
tro d e un m anguito rígido con un d iám etro in terio r de
32 mm. T an to el buje co m o el m anguito tien en una lo n­
gitud d e 50 mm. D eterm in e la presión axial p q u e debe
aplicarse a la p arte su p erio r del buje para hacer q u e to ­
m e c o n tac to con los costados del m anguito. A dem ás, ¿en
c u án to d eb e ser com prim ido el buje hacia abajo p ara que
o cu rra esto? El buje está h echo de un m aterial p a ra el
cual li = 5 M Pa. v = 0.45.
Prol>. 3-31
•\3-32. U n bloque de alum inio tiene una sección tra n s­
versal rectangular y se so m ete a una fuerza d e c o m p re ­
sión axial de 8 klb. Si el lado d e 1.5 pulg cam bia su lo n ­
gitud a 1.500132 pulg. d eterm in e la razón d e Poisson y la
nueva longitud del lad o de 2 pulg. £ a! = 10( 10') k lb /p u lg ; .
Prob. 3-33
3-34. U n b loque d e hu le se som ete a un alarg am iento
d e 0.03 pulg a lo largo del eje x. y sus caras verticales re ­
ciben una inclinación tal q u e = 89.3'. D eterm in e las d e ­
form aciones u n itarias éK, ev y yxv. C on sid ere v, = 0.5.
3 pulg
Prob. 3-32
Repaso
del capítulo
•
117
REPASO DEL CAPÍTULO
• Una de las pruebas mds importantes en la resistencia de materiales es la prueba de tensión. Los resulta­
dos. encontrados al jalar un espécimen de tamaño conocido, son graficados como esfuerzo normal sobre
el eje vertical y deformación unitaria normal sobre el eje horizontal.
• Muchos materiales de la ingeniería exhiben un comportamiento elástico lineal inicial, donde el esfuerzo
es proporcional a la deformación unitaria definido por la ley de Hooke, a = Ee. Aquí E. llamado módu­
lo de elasticidad, es la pendiente de esta línea sobre el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria.
• Cuando el material es forzado más allá del punto de fluencia, ocurre una deformación permanente. En
particular, el acero tiene una región de fluencia, donde el material exhibe un incremento en deformación
unitaria pero ningún incremento en esfuerzo. La región de endurecimiento por deformación causa una
fluencia adicional del material con un correspondiente incremento del esfuerzo. Finalmente, en el esfuer­
zo último, una región localizada sobre el espécimen empieza a contraerse, formando un cuello. Es aquí
donde ocurre la fractura.
• Los materiales dúctiles, como la mayoría de los metales, exhiben comportamiento clástico y plástico. La
madera es moderadamente dúctil. La ductilidad es usualmente especificada por el alargamiento perma­
nente en la falla o por la reducción permanente en el área transversal.
• Los materiales frágiles exhiben poca o ninguna fluencia antes de la falla. El hierro colado y el vidrio son
ejemplos típicos. El concreto también es frágil en tensión.
• El punto de fluencia de un material se puede incrementar por endurecimiento por deformación, lo que
se logra aplicando una carga suficientemente grande para causar un incremento en el esfuerzo tal que cause
fluencia, y luego liberando la carga. El mayor esfuerzo producido resulta el nuevo punto de fluencia del
material.
• Cuando se aplica una carga, las deformaciones ocasionan que energía de deformación se almacene en el
material. La energía por deformación unitaria por volumen unitario o densidad de energía de deforma­
ción es equivalente al área bajo la curva de esfuerzo-deformación unitaria. Esta área, hasta el punto de
fluencia, se llama módulo de resiliencia. El área total bajo el diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
se llama módulo de tenacidad.
• La relación de Poisson v es una propiedad adimensional del material que mide la deformación unitaria
lateral respecto a la deformación unitaria longitudinal. Su valor se encuentra entre ü < i'S 0.5.
• También pueden establecerse diagramas de esfuerzo cortante versus deformación unitaria cortante. Den­
tro de la región elástica, r = Gy. donde G es el módulo cortante, que se encuentra de la pendiente de la
línea dentro de la región elástica. El valor de G también puede hallarse de la relación que existe entre
G .E y i», o sea G = Eí[2(1 + v)J.
• Cuando los materiales están en servicio por periodos largos, las consideraciones de flujo plástico y fati­
ga resultan importantes. El flujo plástico es la velocidad de la deformación, que ocurre a altos esfuerzos
y/o altas temperaturas. El diseño requiere que el esfuerzo en el material no exceda un esfuerzo predeter­
minado llamado resistencia al flujo plástico. La fatiga puede ocurrir cuando el material experimenta un
gran número de ciclos de carga. Este efecto ocasiona la formación de microgrietas. lo que conduce a una
fractura frágil. Para prevenir la fatiga, el esfuerzo en el material no debe exceder un límite especificado
de fatiga.
118
•
CAPÍTULO 3 Propiedades mecánicas de los materiales
PROBLEMAS
DE
REPASO
3-35. Se muestra en la figura la porción elástica del dia­
grama de esfuerzo-deformación unitaria a tensión para
una aleación de aluminio. El espécimen usado para la
prueba tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un diá­
m etro de 0.5 pulg. Cuando la carga aplicada es de 9 klb,
el nuevo diámetro del espécimen es de 0.49935 pulg.
Calcule el módulo cortante Ga| para el aluminio.
*3-36. Se muestra en la figura la porción elástica del dia­
grama de esfuerzo-deformación unitaria en tensión para
una aleación de aluminio. El espécimen usado en la prue­
ba tiene una longitud calibrada de 2 pulg y un diámetro
de 0.5 pulg. Si la carga aplicada es de 10 klb, determine
el nuevo diámetro del espécimen. El módulo cortante es
Gal = 3.8(103) klb/pulg2.
3-38. Un bloque cilindrico corto de aluminio 6061-T6
con diám etro original de 20 mm y longitud de 75 mm se
coloca en una máquina de compresión y se comprime has­
ta que la carga axial aplicada es de 5 kN. D eterm ine (a)
el decrem ento en su longitud y (b) su nuevo diámetro.
3-39. E l alambre. A R de acero A-36 tiene un área trans­
versal de 10 mm2 y no está estirado cuando 6 = 45.0°.
Determ ine la carga P necesaria para que 6 = 44.9°.
a (klb/pulg2)
70
/
7
e (pulg/pulg)
0.00614
P ro b s. 3-35/36
3-37. U na viga rígida reposa en una posición horizontal
sobre dos cilindros de aluminio 2014-T6 que tienen las
longitudes sin carga que se muestran en la figura. Si ca­
da cilindro tiene un diámetro de 30 mm, determine la co­
locación x de la carga de 80 kN de modo que la viga per­
manezca horizontal. ¿Cuál es el nuevo diám etro del
cilindro A después de haberse aplicado la carga? ya! =
0.35.
P ro b . 3-39
80 kN
Prob. 3-37
*3-40. Mientras experimenta una prueba de tensión, un
espécimen de aleación de cobre con longitud calibrada
de 2 pulg es sometido a una deformación unitaria de
0.40 pulg/pulg cuando el esfuerzo es de 70 klb/pulg2. Si
ay = 45 klb/pulg2 cuando eY = 0.0025 pulg/pulg, deter­
mine la distancia entre los puntos de calibración cuando
se retira la carga.
P r o blem a s de repaso
3-41. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
para el polietileno, que se usa para revestir cables coa­
xiales, se determ ina con un espécimen que tiene una
longitud calibrada de 10 pulg. Si una carga P sobre el
espécimen desarrolla una deformación unitaria de
e = 0.024 pulg/pulg. determ ine la longitud aproximada
del espécimen, medida entre los puntos de calibración,
cuando se retira la carga.
•
119
Se efectuó una prueba de tensión en un espéci­
men de acero que tenía un diám etro original de 12.5 mm
y una longitud calibrada de 50 mm. Usando los datos en
la tabla, trace el diagrama de esfuerzo-deformación uni­
taria y determ ine en forma aproximada el módulo de te­
nacidad. Use una escala de 20 mm = 50 MPa y 20 mm =
0.05 mm/mm.
3-43.
cr(klb/pulg2)
o
o
Carga (kN) Alargamiento (mm)
P
t
0
e (pulg/pulg)
0.008
0.016
0.024
0.032
0.040
0.048
Prob. 3-41
U na prueba de tensión se llevó a cabo en un espé­
cimen de acero que tenía un diám etro original de 12.5 mm
y una longitud calibrada de 50 mm. Los datos resultan­
tes se muestran en la tabla siguiente. Trace el diagrama
de esfuerzo-deformación unitaria y determ ine en forma
aproximada el módulo de elasticidad, el esfuerzo último
y el esfuerzo de ruptura. Use una escala de 20 mm = 50
MPa y 20 mm = 0.05 mm/mm. Vuelva a dibujar la región
elástica lineal usando la misma escala de esfuerzos pero
con una escala de deformaciones unitarias de 20 mm =
0.001 mm/mm.
3-42.
Carga (kN) Alargamiento (mm)
0
11.1
31.9
37.8
40.9
43.6
53.4
62.3
64.5
62.3
58.8
0
0.0175
0.0600
0.1020
0.1650
0.2490
1.0160
3.0480
6.3500
8.8900
11.9380
Prob. 3-42
0
0.0175
0.0600
0.1020
0.1650
0.2490
1.0160
3.0480
6.3500
8.8900
11.9380
0
11.1
31.9
37.8
40.9
43.6
53.4
. 62.3
64.5
62.3
58.8
/
/
Prob. 3-43
U na barra de latón de 8 mm de diám etro tiene
un módulo de elasticidad de £ jatón = 100 GPa. Si su lon­
gitud es de 3 m y se somete a una carga axial de 2 kN.
determine su alargamiento. ¿Cuál sería su alargamiento
bajo la misma carga si su diám etro fuera de 6 mm?
*3 -4 4 .
2 kN
>
■C
■3 m -
Prob. 3-44
2 kN
La garrucha de esta torre petrolera está suspendida de cables sometidos a cargas
y deformaciones extremadamente grandes.
C A P Í T U L O
4
Carga axial
OBJETIVOS DEL CAPITULO
En el capítulo 1 analizamos el método para determ inar el esfuerzo normal en
miembros cargados axialmente. Ahora, en este capítulo, estudiaremos cómo de­
term inar la deformación de estos miembros y además un método para encontrar
las reacciones en los soportes cuando tales reacciones no se determ inan estricta­
mente a partir de las ecuaciones de equilibrio. Se presentará también un análisis
de los efectos del esfuerzo térmico, de las concentraciones de esfuerzos, de las de­
formaciones inelásticas y del esfuerzo residual.
4.1
Principio de Saint-Venant
En los capítulos anteriores planteamos el concepto de esfuerzo como un
medio para m edir la distribución de fuerza dentro de un cuerpo y la de­
formación unitaria como un medio para medir la deformación de un
cuerpo. Mostramos también que la relación matemática entre el esfuerzo
y la deformación unitaria depende del tipo de material de que está hecho
el cuerpo. En particular, si el esfuerzo genera una respuesta lineal elás­
tica en el material, entonces la ley de Hooke es aplicable y se tendrá una
relación proporcional entre el esfuerzo y la deformación unitaria.
121
122
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
La carga distorsiona
las lincas situadas cerca
de ella
Las líneas que están
lejos de la carga
y del soporte
perm anecen rectas
La carga distorsiona
las líneas situadas
cerca del soporte
(a)
Fig. 4 - 1
Por ejemplo, considere la m anera en que una barra rectangular se de­
forma elásticamente cuando está sometida a una fuerza P aplicada a lo
largo de su eje centroidal, figura 4-la. La barra está aquí em potrada en
un extremo con la fuerza aplicada a través de un agujero en su otro ex­
tremo. Debido a la carga, la barra se deforma como se indica por las dis­
torsiones de las líneas reticuladas, originalmente horizontales y verticales
dibujadas sobre la barra. Advierta la deformación localizada que ocurre
en cada extremo. Este efecto tiende a disminuir al medirlo en regiones ca­
da vez más alejadas de los extremos. Además, las deformaciones se “em ­
parejan” y se igualan en la sección media de la barra.
Como la deformación está relacionada con el esfuerzo dentro de la ba­
rra, podemos establecer que el esfuerzo se distribuirá más uniformemente
a través de la sección transversal si la sección se tom a cada vez más lejos
del punto en que se aplica la carga externa. Para m ostrar esto, considere­
mos un perfil de la variación de la distribución del esfuerzo que actúa en
las secciones a-a, b-b y c-c, cada una de las cuales se muestra en la figura
4-1 b. Com parando estas distribuciones se ve que el esfuerzo casi alcanza
un valor uniforme en la sección c-c, la cual está suficientemente alejada
del extremo. En otras palabras, la sección c-c está lo bastante alejada de
la aplicación de P para que la deformación localizada causada por P de­
saparezca. La distancia mínima desde el extremo de la barra donde esto
ocurre puede determ inarse usando un análisis matemático basado en la
teoría de la elasticidad.
Sin embargo, como regla general, aplicable a muchos otros casos de car­
ga y geometría del miembro, podemos considerar esta distancia por lo me­
nos igual a la mayor dimensión de la sección transversal cargada. Por con­
siguiente, para la barra en la figura 4-1 b, la sección c-c debería estar
localizada a una distancia por lo menos igual al ancho (no al espesor) de
la barra.* Esta regla se basa en observaciones experimentales del compor­
tamiento del material y, sólo en casos especiales, como el visto aquí, ha si­
do justificada matemáticamente. Sin embargo, debe notarse que esta re­
gla no es aplicable a todo tipo de miembro y carga. Por ejemplo, en los
miembros formados por elementos de pared delgada y sometidos a car­
gas que ocasionan grandes deflexiones, se pueden generar esfuerzos y de­
formaciones localizadas que tienen influencia a una distancia considera­
ble del punto de aplicación de la carga.
* C u an d o la sección c-c está así localizada, la teo ría de la elasticidad p redice que el esfu er­
zo m áxim o es erm;ís = 1.02<rprom.
S ección 4.1
E n el soporte, figura 4-1 a, advierta cómo se impide la disminución del
ancho de la barra, la cual debería ocurrir debido al alargamiento lateral
de ésta, una consecuencia del “efecto Poisson” visto en la sección 3.6. Sin
embargo, por los mismos argumentos anteriores podríamos demostrar que
la distribución del esfuerzo en el apoyo también se empareja y se vuelve
uniforme en la sección transversal a una distancia corta del soporte; ade­
más, la magnitud de la fuerza resultante generada por esta distribución
del esfuerzo debe ser igual a P.
El hecho de que el esfuerzo y la deformación se comporten de esta ma­
nera se denomina principio de Saint-Venant, ya que el primero en adver­
tirlo fue el científico francés Barré de Saint-Venant en 1855. En esencia, el
principio establece que el esfuerzo y la deformación unitaria producidos
en puntos del cuerpo suficientemente alejados de la región de aplicación
de la carga serán los mismos que el esfuerzo y la deform ación unitaria
producidos por cualesquiera otras cargas aplicadas que tengan la misma
resultante estáticamente equivalente y estén aplicadas al cuerpo dentro
de la misma región. Por ejemplo, si dos fuerzas P /2 aplicadas simétrica­
m ente actúan sobre la barra, figura 4-le, la distribución del esfuerzo en la
sección c-c, que esté lo suficientemente alejada de los efectos locales de
estas cargas, será uniforme y, por tanto, equivalente a orprom = P /A , como
antes.
Para resumir, cuando se estudia la distribución del esfuerzo en un cuer­
po en secciones suficientemente alejadas de los puntos de aplicación de la
carga, no tenemos que considerar las distribuciones del esfuerzo, un tan­
to complejas, que pueden desarrollarse realm ente en los puntos de apli­
cación de la carga o en los soportes. El principio de Saint-Venant postula
que los efectos locales causados por cualquier carga que actúe sobre el
cuerpo se disiparán o suavizarán en aquellas regiones que estén lo sufi­
cientemente alejadas de la localización de la carga. Además, la distribu­
ción del esfuerzo resultante en estas regiones será la misma que la causa­
da por cualquier otra carga estáticamente equivalente aplicada al cuerpo
dentro de la misma área localizada.
Principio de Saint-Venant
•
123
Note cómo las líneas sobre esta membrana de
hule se distorsionan después de que son alarga­
das. Las distorsiones localizadas en los agarres
se suavizan, como era de esperarse. Esto es de­
bido al principio de Saint-Venant.
124
4.2
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Para
-»ara ea
Deformación elástica de un miembro cargado axialm ente
Usando la ley de H ooke y las definiciones de esfuerzo y deformación
unitaria, desarrollaremos ahora una ecuación para determ inar la defor­
mación elástica de un miembro sometido a cargas axiales. Para genera­
lizar el desarrollo, consideremos la barra m ostrada en la figura 4-2a, que
tiene una sección transversal que varía gradualmente a lo largo de su
longitud L. La barra está sometida a cargas concentradas en sus extre­
mos y a una carga externa variable distribuida a lo largo de su longitud.
Esta carga distribuida podría, por ejemplo, representar el peso de una
carga vertical, o fuerzas de fricción actuando sobre la superficie de la
barra. Aquí queremos determinar el desplazamiento relativo 8 (delta) de
un extremo de la barra respecto al otro causado por esta carga. En el si­
guiente análisis despreciaremos las deformaciones localizadas que ocu­
rren en puntos de carga concentrada y donde la sección transversal cam­
bia repentinamente. Como vimos en la sección 4.1, esos efectos ocurren
dentro de pequeñas regiones de la longitud de la barra y tendrán por
tanto sólo una pequeña influencia en el resultado final. En su mayor par­
te, la barra se deform ará uniformemente, por lo que el esfuerzo normal
estará distribuido de m anera uniforme sobre la sección transversal.
Usando el método de las secciones, un elem ento diferencial de longi­
tud dx y área A (x) es aislado de la barra en la posición arbitraria x. El dia­
grama de cuerpo libre de este elemento se muestra en la figura 4-2b. La
fuerza axial interna resultante se representa por P(x), puesto que la car­
ga externa hará que varíe a lo largo de la longitud de la barra. Esta carga,
P(x), deform ará el elem ento en la forma indicada por el perfil punteado
y, por consiguiente, el desplazamiento de un extremo del elem ento res­
pecto al otro extremo será d8. El esfuerzo y la deformación unitaria en el
elem ento son:
cr =
P(x)
d8
dx
y
A(x)
Si estas cantidades no exceden el límite de proporcionalidad, podemos
relacionarlas por medio de la ley de Hooke, es decir,
<r = Ee
P(x) _ (dS\
A(x)
\d x)
dS =
------------ x ------------- -
b—
------------------------- -
i
P(x) dx
A{x) E
n —i
i
i
----------------------------- L ------------------------------ -
PM-
i
__ i
dx —
hrl
(b)
Fig. 4-2
aonde.
6 =
L =
P{x) J
A IX i =
£
=
C arga
por k><
¿.rüca 2
í c de I
«aaod
Si la I
a c o rra
II
3espi22
-oq de,
rrre ra i
S ección 4 .2
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
•
125
Para la longitud entera L de la barra debemos integrar esta expresión
para encontrar el desplazamiento buscado en el extremo. Esto da:
= f LP ( x ) d x
J0 A ( x ) E
(4 -1 )
donde.
8 = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto
L = distancia entre los puntos
P{x) = fuerza axial interna en la sección, localizada a una distancia x
de un extremo
/l(x) = área de la sección transversal de la barra, expresada como fun­
ción de x
E = módulo de elasticidad del material
Carga y área transversal constantes. En muchos casos la barra
tendrá un área transversal A constante y el material será homogéneo,
por lo que E será constante. Además, si una fuerza externa constante se
aplica a cada extremo, figura 4-3, entonces la fuerza interna P a lo lar­
go de la barra será también constante. En consecuencia, al integrar la
ecuación 4-1 se obtiene:
(4 -2 )
Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si la sec­
ción transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptam ente de. una
región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarse a ca­
da segmento de la barra donde esas cantidades sean todas constantes. El
desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otro se encuentra
entonces por medio de la adición vectorial de los desplazamientos de los
extremos de cada segmento. Para este caso general,
PL
AE
(4 -3 )
El desplazamiento vertical en la parte su­
perior de estas columnas depende de la
carga aplicada sobre el techo y del piso uni­
do a sus puntos medios.
126
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
H
+5
+P
■ ■*-
H
+5
Convención de signo positivo para P y S
C onvención d e sign os. Para aplicar la ecuación 4-3, debemos desarro­
llar una convención de signos para la fuerza axial interna y el desplaza­
miento de un extremo de la barra con respecto al otro extremo de la
misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza y el desplazamiento
son positivos si causan tensión y alargamiento, respectivamente, figura
4-4, mientras que una fuerza y un desplazamiento negativo causarán
compresión y contracción, respectivamente.
Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 4-5a. Las fuer­
zas axiales internas “P ”, calculadas por el método de las secciones en cada
segmento, son PAB = +5 kN, PBC = - 3 kN y PCD = —7 kN, figura 4-56.
Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (o normal) para
la barra, figura 4-5c. Aplicando la ecuación 4-3 para obtener el desplaza­
miento del extremo A respecto del extremo D, tenemos
PL
Fig. 4-4
■>A/D
(5 k N )L ^
AE
+
( - 3 k N ) L * c , ( - 7 k N ) L CD
+
AE
AE
Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ello
significará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alar­
ga) m ientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se
acerca hacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa
para indicar este desplazamiento relativo (á^/o); sin embargo, si el des­
plazamiento va a determ inarse respecto a un punto fijo, entonces, se
usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijo,
entonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como 6 4 .
5 kN
(a)
-i — — , i -------- ► PA B = 5 k N
/■(kN)
• 8 kN
■<------ ■
5 kN
3 * --------- PBC = 3 k N
A
Peo = 7 kN
D
(c)
(b)
FIg. 4-5
S ecció n 4 .2
esarrosplaza3 de la
miento
. figura
usarán
isfuer;n cad a
a 4-5 b.
il) para
splaza-
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
loes, se
•te fijo,
mo SA.
• El principio de Saint-Venant establece que la deformación y el esfuerzo localizados que ocurren dentro
de las regiones de aplicación de la carga o en los soportes tienden a “em parejarse” a una distancia sufi­
cientemente alejada de esas regiones.
• El desplazamiento de un miembro cargado axialmente se determina relacionando la carga aplicada al es­
fuerzo usando cr = P /A y relacionando el desplazamiento a la deformación unitaria usando e = dS/dx.
Finalmente esas dos ecuaciones se combinan usando la ley de Hooke, a = Ee, que da la ecuación 4-1.
• Como la ley de Hooke ha sido usada en el desarrollo de la ecuación del desplazamiento, es importante
que las cargas no generen fluencia del material y que el material sea homogéneo y se comporte de ma­
nera elástico-lineal.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El desplazamiento relativo entre dos puntos A y B sobre un miem­
bro cargado axialmente puede determ inarse aplicando la ecuación
4-1 (o la ecuación 4-2). La aplicación implica los siguientes pasos.
Fuerza interna.
• Use el método de las secciones para determ inar la fuerza axial
interna P en el miembro.
• Si esta fuerza varía a lo largo de la longitud del miembro, debe­
rá hacerse una sección en una posición arbitraria x medida des­
de un extremo del miembro y la fuerza deberá representarse co­
mo función de x, esto es, P(x).
7kN
127
PUNTOS IMPORTANTES
i£
i'a, ello
¡e alaro A se
: se usa
el des­
•
• Si fuerzas externas constantes actúan sobre el miembro, debe en­
tonces determinarse la fuerza interna en cada segmento del miem­
bro, entre dos fuerzas externas cualesquiera.
• Para cualquier segmento, una fuerza de tensión interna es positi­
va y una fuerza de compresión interna es negativa. Por convenien­
cia, los resultados de la carga interna pueden m ostrarse gráfica­
mente construyendo el diagrama de fuerza normal.
Desplazamiento.
• Cuando la sección transversal del miembro varía a lo largo de su
eje, el área de esta sección debe expresarse en función de su po­
sición x, esto es, /4(.v).
• Si el área de la sección transversal, el módulo de elasticidad, o la
carga interna cambian bruscamente, la ecuación 4-2 debe aplicar­
se a cada segmento para el cual estas cantidades sean constantes.
• Al sustituir los datos en las ecuaciones 4-1 a 4-3, asegúrese de
usar el signo apropiado para P, tal como se vio arriba, y use un
conjunto consistente de unidades. Para cualquier segmento, si el
resultado calculado es numéricam ente positivo, éste indica un
alargamiento; si es negativo, éste indica una contracción.
128
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O
La barra compuesta de acero A-36 mostrada en la figura 4-6a está he­
cha de dos segmentos A B y BD que tienen áreas transversales de
A Aa = 1 pulg 2 y A bd = 2 pulg2. Determ ine el desplazamiento verti­
cal del extremo A y el de B respecto a C.
15 klb
15 klb
15 klb
15 klb
■t
4 klb
4 klb
4 klb
4 klb
PAB = 15 klb
T
8 klb.
8 klb
8 klb
PBC = 7 klb
Solución
(a)
15
P (klb)
2
(b)
Fuerza interna. Debido a la aplicación de las cargas externas, las
fuerza axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todas di­
ferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las seccio­
nes y la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra
en la figura 4-6í> y se encuentran graficadas en la figura 4-6c.
Desplazamiento. De la cubierta interior posterior de este libro, to­
mamos el valor E ac = 29(103) klb/pulg2. Usando la convención de sig­
nos, esto es, fuerzas internas de tensión son positivas y fuerzas inter­
nas de compresión son negativas, el desplazamiento vertical de A
respecto al soporte fijo D es:
--
3.5
^
PL
[+15 klb] (2 pies) (12 pulg/pie)
5-4 “ ¿ A É ~
4.5
+
(1 pulg2)[29(103) klb/pulg2]
[+7 klb]( 1.5 pies)(12 pulg/pie)
(2
x (pie)
+
(c)
Fig. 4-6
pulg2)[29(103) klb/pulg2]
[ - 9 klb](l pie)(12 pulg/pie)
(2 pulg2)[29(103) klb/pulg2]
= +0.0127 pulg
Resp.
Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento
de A es hacia arriba.
Aplicando la ecuación 4-2 entre los puntos B y C, obtenemos:
&B/C ~
PbcL bc
A Bc B
[+7 klb](1.5 pies)(12 pulg/pie)
( 2
pulg2) [29(103) klb/pulg2]
= +0.00217 pulg
A quí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.
Resp.
S ecció n
E J E M P L O
4.2 Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
---------------------------
El conjunto mostrado en la figura 4-7« consiste en un tubo A B de
aluminio con área transversal de 400 mm2. U na barra de acero con
diámetro de 1 0 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través del
tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine
el desplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa
y £ a| = 70 GPa.
Fig. 4-7
Solución
Fuerza interna. El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra,
figura 4-76, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN
y el tubo a una compresión de 80 kN.
Desplazamiento. Determinaremos primero el desplazamiento del
extremo C con respecto al extremo B .Trabajando en unidades de newtons y metros, tenemos
PL
[+80(103) N](0.6 m)
8C/ r = -— = --------------- ;-----------z—---- — +0.003056 m —*
C/B
AE
7t(0.005 m) [200(10 ) N /m ]
El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha
con respecto al extremo B, ya que la barra se alarga.
El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:
P L _ __________________________________
[—80(103) N ](0.4m )
g _ ___
B
AE
[400 mm 2 (10-6) m2/m m 2][70(109) N /m 2]
= -0.001143 m = 0.001143 m -*
El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se m ue­
ve hacia la derecha respecto a A .
Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, el despla­
zamiento resultante de C respecto a A es entonces:
( J*)
s c = 8 b + 8c/ b = 0.001143 m + 0.003056 m
- 0.00420 m = 4.20 mm —*
Resp.
•
129
130
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O
Una viga rígida A B descansa sobre los dos postes cortos mostrados
en la figura 4-8a. AC está hecho de acero y tiene un diám etro de
20 mm; BD está hecho de aluminio y tiene un diám etro de 40 mm.
D eterm ine el desplazamiento del punto £ situado en A B cuando se
aplica a una carga vertical de 90 kN sobre este punto. Considere
£ ac = 200 GPa y £ a, = 70 GPa.
90 kN
200
mm I
- 400 mm
300 mm
Solución
Fuerza interna. Las fuerzas de compresión que actúan en la parte
superior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miem­
bro A B , figura 4-8£>. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en
cada poste, figura 4-8c.
(a)
Desplazamiento.
poste es:
El desplazamiento de la parte superior de cada
Poste AC:
90 kN
200 mm i
400 mm -
60 kN
SA =
Pac L ac =
A
ac
E
ac
[-6 0 (1 0 3) N](0.300 m)
7
r( 0 . 0 1 0 m ) 2 [200(109) N /m 2]
= -286(10
)m
30 kN
(b)
Poste BD:
Sn —
=
60 kN
30 kN
[—30(103) N](0.300 m)
PbdL bd
= —1 0 2 ( 1 0
A bdEa ~ 77(0.020 m )2[70(109) N /m 2]
0 .1 0 2
mm j.
En la figura 4-8d se muestra un diagrama de los desplazamientos de
los puntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en el
triángulo sombreado, el desplazamiento del punto £ es entonces:
8,7 = 0.102 mm + (0.184 n m ) ( ^ . mm | _ q.225 mm ],
\ 600 mm /
P ,\c = 60 kN
Peo = 30 kN
(c)
)m
0 .10 2
mm
0.102 mm
'. 184mm
0.286 mm
F i g .4-8
Resp.
S ección 4.2
Deformación elástica de un miembro cargado axialmente
E3
E J E M P L O
Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico
y y un módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un co­
no con las dimensiones mostradas en la figura 4-9a. Determ ine el des­
plazamiento de su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.
Solución
Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miem­
bro que depende del peso W (y) de un segmento del miembro situa­
do debajo de cualquier sección, figura 4-9b. Por tanto, para calcular
el desplazamiento, debemos usar la ecuación 4-1. En la sección loca­
lizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono como función
de y se determ ina por proporción: esto es,
x
r0
~y~~L'
r0
X = Ly
El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:
7T 2
77Tg 3
V = —yx~ = — r y-’
3
3L
Como W = yV. la fuerza interna en la sección es:
„2
+T 2Fv= 0:
(a)
Desplazamiento. El área de la sección transversal es también una
función de la posición y. figura 4-9b. Tenemos:
2
AAt( y ) = 7rx2 = -7no
jy y
Aplicando la ecuación 4-1 entre los límites _y = 0 y y = L s e obtiene:
I LP(y) dy _ f ¿ [(y 7 rrg/ 3 L2) / ] d y
A(y) E
J0
\{Trrl/Ll ) y 2] E
(b)
Fig. 4-9
y¡¿
6
E
Resp.
Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades
de los términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longi­
tud como era de esperarse.
•
131
132
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS
4-1. El conjunto consta de una barra de acero CB y una
barra de aluminio BA, teniendo cada una un diámetro de
12 mm. Si la barra se somete a las cargas axiales en A y en
el copie B, determine el desplazamiento del copie B y del
extrem o A. La longitud de cada segm ento sin estirar se
muestra en la figura. Desprecie el tam año de las conexio­
nes en B y C, y supouga que son rígidas. ZTac = 200 GPa,
Eal = 70 GPa.
-► 18 kN
6 kN
— 80 pulg — •---------150 pulg ----------- -— 100 p u lg — •
5 klb
8 klb
A
2 klb
7 2 klb
5 klb B
6 klb
D
Frob. 4-4
4-5. U na barra de acero A-36 está sometida a las cargas
que se muestran en la figura. Si el área de la sección trans­
versal de la barra es de 60 mm2, determ ine el desplaza­
miento de B y de A . Desprecie el tam año de los copies en
B ,C y D .
2m•
3m
Prob. 4-1
4-2. La flecha compuesta, que consiste en secciones de
aluminio, cobre y acero, está sometida a las cargas m ostra­
das en la figura. Determine el desplazamiento del extremo
A con respecto al extremo D y el esfuerzo normal en cada
sección. En la figura se muestran el área de la sección trans­
versal y el módulo de elasticidad para cada sección. Des­
precie el tam año de los collarines en B y en C.
4-3. D eterm ine el desplazamiento de B con respecto a C
de la flecha compuesta del problem a 4-2.
Aluminio
Cobre
Acero
£ a| = 10(103) klb/pulg2 Ecu = 18(103 ) klb/pulg2
A ab = 0.09 pulg2
A bc = 0.12 pulg2
3.50 klb
= 29( 103 ) klb/pulg2
A Ci) = 0.06 pulg2
Prob. 4-5
1.75 klb
1.50 klb
2.00 klb
1.75 klb
18 pulg-
■12 pulg-
16 pulg-
4-6. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diám etro de
30 mm y soporta la carga mostrada. Determ ine el despla­
zamiento de A con respecto a E. Desprecie el tamaño de
los copies.
Probs. 4-2/3
*4-4. Una flecha de cobre está sometida a las cargas axia­
les que se m uestran en la figura. D eterm ine el despla­
zamiento del extremo A con respecto al extremo D si los
diámetros de cada segmento son dAB = 0.75 pulg, d BC =
1 pulg, y dCD = 0.5 pulg. Tome £ cu = 18O03) klb/pulg2.
Prob. 4-6
P ro blem a s
4-7. La barra de acero tiene las dimensiones originales
mostradas en la figura. D eterm ine el cambio en su longi­
tud y las nuevas dimensiones de su sección transversal en
la sección a-a al estar sometida a una carga axial de 50 kN.
£ ac = 2C0 GPa, vac = 0.29.
•
133
4-9. El copie está som etido a una fuerza de 5 klb. D e­
term ine la distancia d' entre C y E tom ando en cuenta la
compresión del resorte y la deformación de los segmentos
verticales de los pernos. Cuando no se tiene una carga apli­
cada, el resorte no está estirado y d = 10 pulg. El material
es acero A-36 y cada perno tiene un diámetro de 0.25 pulg.
Las placas en A , B y C son rígidas y el resorte tiene una ri­
gidez k = 12 klb/pulg.
A 5 klb
------ jLÜ
8 pulg
Œ
P ro b . 4-7
6 pulg
£
*4-8. La estructura m ostrada consiste en dos barras rí­
gidas originalm ente horizontales. Están soportadas por
pasadores y barras de acero A-36 de 0.25 pulg de diám e­
tro. Si se aplica la carga vertical de 5 klb a la barra inferior
A B , determine el desplazamiento en C, B y E.
!
5 klb
P ro b . 4-9
4-10. La barra tiene un área A en su sección transversal
de 3 pulg2y un módulo de elasticidad E = 35(103) klb/pulg2.
D eterm ine el desplazamiento de su extrem o A cuando es­
tá sometida a la carga distribuida mostrada.
134
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
La arm adura está hecha de tres barras de acero
A-36, cada una con área transversal de 400 mm2. D eterm i­
ne el desplazamiento horizontal del rodillo en C cuando
P = 8 kN.
4-11.
*4-12. La arm adura está hecha de tres barras de acero
A-36, cada una con área transversal de 400 mm2. D eterm i­
ne la magnitud requerida de P para desplazar el rodillo
0.2 mm hacia la derecha.
4-15. El conjunto consta de tres barras de titan io y
una barra rígida AC. El área de la sección transversal de
cada barra se da en la figura. Si se aplica una carga vertical
de P = 20 kN al anillo F, determ ine el desplazamiento ver­
tical del punto F. £,¡ = 350 GPa.
A o c = 45 m m -
2m
A ba = 60 m m 2
2
m
E
|—0.5 m-
- 0.75 m
1.5 m
A r r = 75 m m 2
!
P = 20 kN
P ro b . 4-15
P ro b s. 4-11/12
La armadura consiste de tres miembros, cada uno
de acero A-36 y área transversal de 0.75 pulg2. Determ ine
la carga máxima P que puede aplicarse de modo que el ro­
dillo en B no se desplace más de 0.03 pulg.
4-13.
4-14. Resuelva el problema 4-13 considerando que la car­
ga P actúa verticalmente hacia abajo en C.
Probs. 4-13/14
*4-16. El sistema de eslabones está form ado p or tres
miembros ds acero A-36 conectados por pasadores: ca­
da m iem bro tiene un área transversal de 0.730 pulg2. Si
se aplica una fuerza vertical de P = 50 klb al extremo B
del miembro A B, determine el desplazamiento vertical del
punto B.
4-17. El sistema de eslabones está form ado por tres
miembros de acero inoxidable 304 conectados por pasado­
res; cada miembro tiene un área transversal de 0.75 pulg2.
D eterm ine la magnitud de la fuerza P necesaria para des­
plazar el punto B 0.10 pulg hacia abajo.
|*-3 pies -¡- -3 pies—j
P r o b le m a s
■4-18. Considere el problem a general de una barra que
consta de m segmentos, cada uno con área transversal A m
y longitud L m. Si se tienen n cargas sobre la barra como
se muestra, escriba un programa de computadora que pue­
da usarse para determ inar el desplazamiento de la barra
en cualquier posición x especificada. A plique el progra­
ma para los valores L x = 4 pies, d¡ = 2 pies, P\ = 400 Ib,
Ay = 3 pulg2, ¿ 2 = 2 pies, d2 = 6 pies,P2 = —300lb,yl2 =
1 pulg2.
•
135
*4-20. La cabina C de un observatorio tiene un peso de
250 klb, y por medio de un sistema de engranes viaja ha­
cia arriba a una velocidad constante a lo largo de la colum­
na de acero A-36, la cual tiene una altura de 200 pies. La
columna tiene un diám etro exterior de 3 pies y está hecha
de placas de acero que tienen un espesor de 0.25 pulg. Des­
precie el peso de la columna, y determ ine el esfuerzo nor­
mal promedio de la columna en su base B, en función de
la posición y de la cabina. También determ ine el desplaza­
miento relativo del extremo A con respecto al extrem o B
en función de y.
“n
“2
M
---- ► *
l* i
-X
—|
**l
L\
L>2
r»
~ P2
*
s--- ►
Arn
P„
m
*
Prob. 4-18
P ro b . 4-20
4-19. La barra rígida está soportada por la barra CB co­
nectada ésta en sus extremos por pasadores; la barra CB
tiene un área transversal de 14 m n r y está hecha de alu­
minio 6061-T6. Determ ine la deflexión vertical de la barra
en D cuando se aplica la carga distribuida.
4-21. Una barra tiene una longitud L y el área de su sec­
ción transversal es A . D eterm ine su alargamiento debido
tanto a la fuerza P como a su propio peso. El material tie­
ne un peso específico y (peso/volumen) y un módulo de
elasticidad E.
136
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
El barreno de acero A-36 de un pozo petrolero pe­
netra 12 000 pies en el terreno. Suponiendo que el tubo
usado para perforar el pozo está suspendido librem ente
de la torre en A, determ ine el esfuerzo normal promedio
máximo en cada segmento de tubo y el alargamiento de su
extrem o D con respecto al extrem o fijo en A . La flecha
consta de tres tamaños diferentes de tubo,>4B, B C y CD,
cada uno con su longitud, peso por unidad de longitud y
área transversal indicados en la figura. Sugerencia: use los
resultados del problema 4-21.
4-22.
La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud
L. Está suspendida del techo y soporta una carga P en su
extremo. Demuestre que el desplazamiento de su extre­
mo debido a esta carga es 5 = PL/(TrEr2rl). Desprecie el
peso del material. El módulo de elasticidad es E.
*4-24.
Resuelva el problem a 4-24 incluyendo el peso del
material y considerando que su peso específico es y (pe­
so/volumen).
4-25.
A
A,uj= 2.50 pulg2
wAB- 3.2 lb/pie
5000 pies
B
ABC- 1.75 pulg2
wBC= 2.8 lb/pie
5000 pies
A c d = 1.25 pulg2 2000 pies
wCD= 2.0 lb/pie D ' - ± \
P ro b . 4-22
El tubo está enterrado en el suelo de manera que
cuando se jala hacia arriba, la fuerza de fricción a lo largo
de su longitud varía linealmente desde cero en B hasta / máx
(fuerza/longitud) en C. D eterm ine la fuerza inicial P re­
querida para extraer el tubo y el alargam iento asociado
del tubo un instante antes de que comience a deslizar. El
tubo tiene una longitud L, un área A en su sección trans­
versal y el material de que está hecho tiene un módulo de
elasticidad E.
4-23.
P ro b s. 4-24/25
D eterm ine el alargam iento de la flecha ahusada
de acero A-36 cuando está sometida a una fuerza axial de
18 klb. Sugerencia: use el resultado del problem a 4-24.
4-26.
- r,= 0.5 pulg
r2 = I pulg
r, = 0.5 pulg
----- ——------ ™------------- =—'— ¡JE
------ yJ
18 klb
|
~
™
hf^nd--------------- 20 pu1§--------------t t h ?
Prob. 4-26
,
t
18 klb
P r o b le m a s
4-27. Determine el desplazamiento relativo de un extremo de la placa prismática truncada con respecto al otro
extremo cuando está sometida a una carga axial P.
•
137
El material del hueso tiene un diagrama esfuerzodeformación unitaria que puede definirse por la relación
cr= E[e/{ 1+kEe)]. donde k y E son constantes. Determine
la compresión dentro de la longitud L del hueso, donde se
supone que el área A de la sección transversal del hueso
es constante.
4-29.
1
ó
r
p
P ro b . 4-29
P ro b . 4-27
4-30. El pedestal tiene una forma cuyo radio está definido
por la función r = 2/(2 + yx/1) pies, donde y está en pies Si
el módulo de elasticidad para el material es £ = 14(103)
klb/pulg2, determine el desplazamiento de su parte supe­
rior cuando soporta la carga de 500 libras.
*4-28. Determine el alargamiento de la barra de aluminio
cuando está sometida a una fuerza axial de 30 kN. Ea\ =
70 GPa. Sugerencia: use el resultado del problema 4-27.
4 pies
50 mm
-4 -----------------L
<2™
15 mm
_ r r ~
30 kN
---------r
L-250 mmProb. 4-28
Prob. 4-30
138
4.3
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Principio de superposición
El principio de superposición suele usarse para determ inar el esfuerzo
o el desplazamiento en un punto de un miembro cuando éste está so­
m etido a una carga complicada. Al Gubdividir la carga en componentes,
el principio de superposición establece que el esfuerzo o desplazamien­
to resultantes en el punto puede determ inarse encontrando primero el
esfuerzo o desplazamiento causado por cada carga componente actuan­
do independientemente sobre el miembro. El esfuerzo o desplazamiento
resultante se determ ina entonces sumando algebraicamente las contri­
buciones causadas por cada componente.
Las siguientes dos condiciones deben cumplirse para que el principio
d e superposición pueda aplicarse.
1. La carga debe estar relacionada linealmente con el esfuerzo o el
desplazamiento que va a determinarse. Por ejemplo, las ecuacio­
nes a = P /A y 8 = P L f A E implican una relación lineal entre P y
aro 6.
2. La carga no debe cam biar significativamente la geometría origi­
nal o configuración del miembro. Si tienen lugar cambios signifi­
cativos. la dirección y localización de las fuerzas aplicadas así como
sus brazos de momento cambiarán, y en consecuencia la aplicación
de las ecuaciones de equilibrio conducirá a resultados diferentes.
Por ejemplo, considere la barra esbelta mostrada en la figura 4-IOa,
que está sometida a la carga P. En la figura 4-10 /\ P se ha reem ­
plazado por sus componentes, P = P, + P :. Si P ocasiona que la
barra se deflexione considerablemente, como se muestra, el momen­
to de la carga respecto a su soporte, Pd, no será igual a la suma de
los momentos de sus cargas componentes. Pd t P xd\ + P2d2. por­
que d\ ¥= d2 & d.
La mayoría de las ecuaciones que implican carga, esfuerzo y desplaza*
miento, desarrolladas en este texto, constan de relaciones lineales entre
esas cantidades.También los miembros o cuerpos que se van a considerar
serán tales que la carga producirá deform aciones tan pequeñas que el
cambio en la posición y la dirección de la carga será insignificante y puede
despreciarse. Sin embargo, en el capítulo 13 estudiaremos una excepción
a esta regla. Consiste en una columna que lleva una carga axial equiva­
lente a la carga crítica o de pandeo. Se dem ostrará que cuando esta carga
aum enta sólo ligeramente, ocasionará que la columna sufra una deflexión
lateral grande, incluso si el material mantiene elasticidad lineal. Estas de­
flexiones, asociadas con las componentes de cualquier carga axial, no pue­
den ser superpuestas.
Fig. 4-10
S ección 4.4
4.4
sfuerzo
:stá soinentes,
:amiennero el
actuanmiento
contri-
Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente
Miembro estáticam ente indeterm inado cargado axialm ente
Cuando una barra está fija sólo en un extremo y está sometida a una
fuerza axial, la ecuación de equilibrio de fuerzas aplicada a lo largo del
eje de la barra es suficiente para encontrar la reacción en el soporte fijo.
Un problema como éste, donde las reacciones pueden determinarse sólo
a partir de las ecuaciones de equilibrio, se denomina estáticamente de­
terminado. Sin embargo, si la barra está fija en ambos extremos, como
en la figura 4-11«, entonces se tienen dos reacciones axiales desconoci­
das, figura 4-116, y la ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa como:
•incipio
+T2 F =
zo o el
cuaciotre P y
i origisignifi;í como
icación
¡rentes,
i 4-10«,
i reemque la
íomeniima de
i 2i por-
splaza:s entre
siderar
que el
rpuede
¡epción
squivaa carga
flexión
¡tas deio pue-
0
;
fb
+
fa
- P = o
B
En este caso, la barra se denomina estáticamente indeterminada. ya que
la ecuación de equilibrio por sí sola no es suficiente para determ inar las
reacciones.
Para establecer una ecuación adicional, necesaria para la solución, se
requiere considerar la geometría de la deformación. Específicamente,
a una ecuación que determ ina las condiciones del desplazamiento se le
llama condición cinemática o condición de com patibilidad. Una con­
dición apropiada de compatibilidad requeriría que el desplazamiento re­
lativo de un extremo de la barra con respecto al otro extremo fuese igual
a cero, ya que los soportes extremos están fijos. Por consiguiente, pode­
mos escribir:
■>A/B
=
ac
AE
_
kF,
Fb L cb _
p.
AE
Suponiendo que A E es constante, podemos resolver simultáneamente
las dos ecuaciones anteriores y obtener los valores:
Ambos valores son positivos, por lo que las reacciones se muestran con
sus sentidos correctos en el diagrama de cuerpo libre.
F,
1
I
i
0
Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas
usando una relación carga-desplazamiento, que depende del comporta­
miento del material. Por ejemplo, si se tiene un com portamiento lineal
elástico, puede usarse 8 = P L / A E . Como la fuerza interna en el segmen­
to A C es +F a y en el segmento CB la fuerza interna es —F¡¡, la ecua­
ción de compatibilidad puede escribirse como:
Fa ^
(a)
J
(b)
Fig. 4-11
•
139
140
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PUNTOS IMPORTANTES
• El principio de superposición se usa a veces para simplificar los
problemas de esfuerzo y desplazamiento que tienen cargas com­
plicadas. Esto se hace subdividiendo la carga en componentes y
luego sumando algebraicamente los resultados.
• La superposición requiere que la carga esté linealmente relacio­
nada con el esfuerzo o el desplazamiento, y que la carga no cam­
bie en forma significativa la geom etría original del miembro.
• Un miembro es estáticamente indeterminado si las ecuaciones de
equilibrio no son suficientes para determ inar las reacciones en el
miembro.
• Las condiciones de compatibilidad especifican las restricciones de
desplazamiento que ocurren en los soportes u otros puntos sobre
un miembro.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Las fuerzas desconocidas en problemas estáticamente indeterm ina­
dos se determ inan satisfaciendo los requisitos de equilibrio, compa­
tibilidad y fuerza-desplazamiento del miembro.
Equilibrio.
• Dibuje un diagrama de cuerpo libre del miembro para identifi­
car todas las fuerzas que actúan sobre él.
• El problema puede ser clasificado como estáticamente indeter­
minado si el núm ero de reacciones desconocidas sobre el diagra­
ma de cuerpo libre es mayor que el número de ecuaciones de
equilibrio disponibles.
• Escriba las ecuaciones de equilibrio para el miembro.
La mayoría de las columnas de concreto son
reforzadas con barras de acero; como esos
dos materiales trabajan juntos soportando la
carga aplicada, la columna resulta ser está­
ticamente indeterminada.
Compatibilidad.
• Para escribir las ecuaciones de compatibilidad dibuje un diagra­
ma de desplazamientos para investigar la manera en que el miem­
bro se alargará o contraerá al ser sometido a las cargas externas.
• Exprese las condiciones de compatibilidad en términos de los des­
plazamientos causados por las fuerzas.
• Use una relación carga-desplazamiento, tal como d = PL/AE, pa­
ra relacionar los desplazamientos desconocidos con las reaccio­
nes desconocidas.
• Resuelva las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para las
fuerzas reactivas desconocidas. Si cualquiera de las magnitudes
tiene un valor numérico negativo, ello indica que esta fuerza ac­
túa en sentido opuesto al indicado en el diagrama de cuerpo libre.
S e c c ió n 4 .4
Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente
K3
E J E M P L O
La barra de acero m ostrada en la figura 4-12a tiene un diámetro de
5 mm. Está em potrada en la pared en A y antes de cargarla se tiene
una holgura de 1 mm entre la pared en B' y la barra. Determine las
reacciones en A y en B' cuando la barra se somete a una fuerza axial
de P = 20 kN, como se muestra. Desprecie el tamaño del collarín en C.
Considere £ ac = 200 GPa.
• P = 20 kN
- 800 mm
400 mm
(a)
Solución
Equilibrio.
Como se m uestra en el diagrama de cuerpo libre, figura
4-126, supondremos que la fuerza P es suficientemente grande para
que el extremo B de la barra entre en contacto con la pared en B '.
El problema es estáticamente indeterm inado ya que hay dos incóg­
nitas y sólo una ecuación de equilibrio.
El equilibrio de la barra requiere:
A
P = 20 kN
(b)
2 Fx = 0;
~F a ~ Fb + 20(103) N = 0
(1)
Compatibilidad. La carga ocasiona que el punto B se mueva a B ',
sin ningún desplazamiento adicional. Por tanto, la condición de com­
patibilidad para la barra es:
&bja — 0 . 0 0 1 m
Este desplazamiento puede expresarse en términos de las reaccio­
nes desconocidas usando la relación carga-desplazamiento, ecuación
4-2, aplicada a los segmentos A C y CB, figura 4-12c. Trabajando en
unidades de newtons y metros, tenemos:
5 b/ a =
0.001 m =
0 .0 0 1
m =
E a L ac
AE
F rL cr
— —
AE
£¿(0.4 m)
tt(0.0025
m) [200(10 ) N /m 2]
£B(0.8 m)
77(0.0025 m) [200(10 ) N /m 2
£„(0.4 m) - £fi(0.8 m) = 3927.0 N • m
(2)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtiene:
£ 4
= 16.6 kN
Fb = 3.39 kN
Resp.
Debido a que FB resultó positiva, el extremo B sí entra en contacto con
la pared en B' como se supuso originalmente. Por otra parte, si FB fue­
se una cantidad negativa, el problema sería estáticamente determ ina­
do, con Fb = 0 y £ 4 = 20 kN.
1 mm
(C )
Fig. 4-12
•
141
142
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O
El poste de aluminio mostrado en la figura 4-13a está reforzado con un
núcleo de bronce. Si el conjunto soporta una carga axial de compresión
de P = 9 klb, aplicada a la tapa rígida, determ ine el esfuerzo normal
prom edio en el alum inio y en el bronce. C onsidere E a¡ = 10(103)
klb/pulg 2 y Ebr = 15(103) klb/pulg2.
La
tad
mic
Las
Solución
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del poste se muestra en la
figura 4-13¿>. Aquí la fuerza axial resultante en la base está representa­
da por las componentes desconocidas tomadas por el aluminio, Fai, y el
bronce, Fbr. El problema es estáticamente indeterminado. ¿Por qué?
El equilibrio por fuerzas verticales requiere que:
(a)
+T
P =9 klb
= 0;
- 9 klb + Fa\ + F bhrr = 0
So*
Eqt
tra>
ya i
equ
O)
Compatibilidad. La tapa rígida en el poste origina que los desplaza­
mientos en el poste de aluminio y en el núcleo de bronce sean iguales,
esto es,
5 al =
4r
Coi
cad
dóf
mié
sem
tos i
Usando las relaciones carga-desplazamiento,
Fa,L
FhxL
br ^ b r
¿al = Fbr1
(b)
77
-[(2 pulg ) 2 -
P-A = Fbr
7 T( 1
al
‘ br
( 1
^br
pulg)2]
~ 1 0 ( 1 0 3) klb/pulg 2
pulg ) 2
_15(103) klb/pulg 2 _
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos
ffbr= 0.955 klb/pulg2
Fal = 6 klb
cra| = 0.637 klb/pulg3
Usa
Fbl = 3 klb
Como los resultados son positivos, los esfuerzos serán de compresión.
El esfuerzo normal promedio en el aluminio y en el bronce son en­
tonces,
6
ir[{2 pulg ) 2
2
t t ( 1 pulg)
( 1
pulg)-
0.637 klb/pulg 2
Resp.
Res4
3 klb
°"b r
klb
= 0.955 klb/pulg 2
Resp.
Las distribuciones de los esfuerzos se muestran en la figura 4-13c.
S ecció n 4 .4
E J E M P L O
Miembro estáticamente indeterminado cargado axialmente
•
El
Las tres barras de acero A-36 mostradas en la figura 4-14a están conec­
tadas por pasadores a un miembro rígido. Si la carga aplicada sobre el
miembro es de 15 kN, determ ine la fuerza desarrollada en cada barra.
Las barras A B y E F tienen cada una un área transversal de 25 mm 2 y
la barra CD tiene un área transversal de 15 mm2.
Solución
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre del miembro rígido se mues­
tra en la figura 4-14/;. Este problema es estáticamente indeterminado
ya que se tienen tres incógnitas y sólo dos ecuaciones disponibles de
equilibrio. Estas ecuaciones son:
+f
= 0;
i,+SM c = 0;
Fa + Fc + Fe - 15 k N = 0
(1)
~F a (0A m) + 15 kN(0.2 m) + FE{0.4 m) = 0
(2)
Compatibilidad. Debido a los desplazamientos en los extremos de
cada barra, la línea A C E m ostrada en la figura 4-14c tom ará la posi­
ción definida por los puntos A'C 'E '. Desde esta posición, los desplaza­
mientos de los puntos A , C y E pueden relacionarse por triángulos
semejantes. La ecuación de compatibilidad para esos desplazamien­
tos es entonces:
(a)
E
0.2 m
0 .8
m
1
ZL
0.4 m
0.2 m
0.4 m
(b)
sc ~ 2 S¿ +
Usando la relación carga-desplazamiento, ecuación 4-2, tenemos:
FCL
(15m m 2) £ ac
1
2
fal
(25 mm2) £ ac +
1
2
5C
A‘
Fe L
(25 mm2) £ ac_
(c)
Fc = 0.3 Fa + 0.3 Fe
(3)
Fig. 4-14
Resolviendo simultáneamente las ecuaciones 1-3 se obtiene:
Fa = 9.52 kN
Resp.
Fc = 3.46 kN
Resp.
Fe = 2.02 kN
Resp.
143
144
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
El perno mostrado en la figura 4-15« está hecho de una aleación de
aluminio 2014-T6 y está apretado de modo que comprime a un tubo
cilindrico hecho de una aleación de magnesio Am 1004-T61. El tubo
tiene un radio exterior de i pulg y el radio interior del tubo y el ra­
dio del perno son de i de pulg. Las arandelas en los extremos del tubo
son rígidas y tienen un espesor despreciable. Inicialmente la tuerca
está ligeramente apretada a mano; luego, por medio de una llave, la
tuerca se aprieta media vuelta. Si el perno tiene 20 hilos por pulgada,
determ ine el esfuerzo en el perno.
Solución
Equilibrio. Se considera el diagrama de cuerpo libre de una sección
del perno y del tubo, figura 4-15¿>, para relacionar la fuerza en el per­
no Fb con la fuerza en el tubo, F,. Por equilibrio, se requiere,
(1)
Fb - F, = 0
El problema es estáticamente indeterminado ya que se tienen dos in­
cógnitas en esta ecuación.
C om patibilidad. Al apretar la tuerca media vuelta sobre el per­
no, el tubo se acortará <5„ y el perno se alargará 8b, figura 4-15c.
Como la tuerca experimenta media vuelta, ella avanza una distancia
de (± )(i pulg) = 0.025 pulg a lo largo del perno. Entonces, la compa­
tibilidad de esos desplazamientos requiere
5, = 0.025 pulg - 8b
(+Î)
Leyendo el módulo de elasticidad en la tabla de la cubierta interior
posterior y aplicando la ecuación. 4-2, obtenemos:
(b)
F, (3 pulg)
7
r[( 0 . 5 pulg)2- (0.25 pulg)2][6.48(103) klb/pulg:
= 0.025 pulg —
Fb(3 pulg)
77-(0.25 pulg) [10.6(103) klb/pulg2]
0.78595F, = 25 - 1.4414/^
(2)
Resolviendo simultáneam ente las ecuaciones 1 y 2, obtenemos:
Fb = F ,= 11.22 klb
Los esfuerzos en el perno y en el tubo son entonces:
Posición
final
<rb
0.025 pulg
A
Ab
1 1 .2 2
klb
7r(0.25 pulg )
= 57.2 klb/pulg 2
1 1 . 2 2 klb/pulg 2
Fl = ________________________
Posición
inicial
(=)
Fig. 4-15
A,
Resp.
2
tt[(0.5 pulg ) 2 - (0.25 pulg)2]
= 19.1 klb/pulg 2
Estos esfuerzos son menores que los esfuerzos de fluencia de cada mate­
rial, (oy)al = 60 klb/pulg 2 y (ay)mg = 2 2 klb/pulg 2 (vea la cubierta inte­
rior posterior), por lo que este análisis “elástico” es válido.
4.5 Método de las fuerzas para el análisis de miembros cargados axialmente
S ecció n
4.5
Método de las fuerzas para el análisis de miembros
cargados axialm ente
Es posible resolver también los problemas estáticamente indetermina­
dos escribiendo la ecuación de compatibilidad y considerando la super­
posición de las fuerzas que actúan sobre el diagrama de cuerpo libre. A
este método de solución suele llamársele m étodo de las fuerzas o mé­
todo de las flexibilidades. Para m ostrar cómo se aplica, consideremos
de nuevo la barra en la figura 4-11 a. Para escribir la ecuación necesaria
de compatibilidad, escogeremos prim ero cualquiera de los dos soportes
como “redundante” y retiraremos temporalmente su efecto sobre la barra.
La palabra redundante, tal como se aplica aquí, indica que el soporte no
es necesario para m antener la barra en equilibrio estable, de m anera que
cuando se retira, la barra se vuelve estáticamente determ inada. Escoge­
remos aquí el soporte en B como redundante. Usando el principio de
superposición, la barra, con la carga original actuando sobre ella, figura
4-16«, es entonces equivalente a la barra sometida sólo a la carga exter­
na P, figura 4-166, más a la barra sometida sólo a la carga redundante
desconocida F#, figura 4-16c.
Si la carga P ocasiona que B se desplace hacia abajo una cantidad 8P,
la reacción FB debe ser capaz de desplazar el extrem o B de la barra ha­
cia arriba una cantidad 8B, de m anera que no ocurra ningún desplaza­
miento^ en B cuando las dos cargas se superpongan. Así entonces,
(+1)
0 — 8p
=
P L ac
AE
(a)
8r
Esta ecuación representa la ecuación de compatibilidad para los despla­
zamientos en el punto B, donde hemos supuesto que los desplazamien­
tos son positivos hacia abajo.
Aplicando la relación carga-desplazamiento a cada caso, tenemos
8P = PLac/A E y 8b = F bL / A E . En consecuencia,
0
No hay
desplazamiento
de B
Desplazamiento de B
al rem over la fuerza
redundante de B
(b)
i_
Fb L
AE
+
Fn= P
L- f )
A
Del diagrama de cuerpo libre de la barra, figura 4-116, la reacción en
A puede ahora determinarse con la ecuación de equilibrio,
+t
2
Fy =
0
;
-A C
+ FÁ - P = o
Como L cb = L - L ÁC, entonces,
FÁ = P
Desplazamiento de B
sólo al aplicar la
fuerza redundante a B
(c)
- CB
Estos resultados son los mismos que se obtuvieron en la sección 4.4, ex­
cepto que aquí hemos aplicado la condición de compatibilidad y luego la
condición de equilibrio para obtener la solución. Advierta también que
el principio de superposición puede usarse aquí ya que el desplazamien­
to y la carga están linealmente relacionados (8 = P L /A E ), lo que supo­
ne, desde luego, que el material se comporta de m anera elástico-lineal.
Fig. 4-16
1
•
145
146
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El análisis por el método de las fuerzas requiere efectuar los siguientes pasos.
Compatibilidad.
• Escoja uno de los soportes como redundante y escriba la ecuación de compatibilidad. Para hacer es­
to, el desplazamiento conocido en el soporte redundante, que es usualmente cero, se iguala al despla­
zamiento en el soporte causado sólo por las cargas externas actuando sobre el miembro más (vecto­
rialmente) el desplazamiento en el soporte causado sólo por la reacción redundante actuando sobre
el miembro.
• Exprese la carga externa y desplazamientos redundantes en términos de las cargas usando una rela­
ción carga-desplazamiento, tal como 8 = P L /A E.
• Una vez establecida, la ecuación de compatibilidad puede resolverse y hallar la magnitud de la fuer­
za redundante.
Equilibrio.
• Dibuje un diagrama de cuerpo libre y escriba las ecuaciones de equilibrio apropiadas para el miem­
bro usando el resultado calculado para la fuerza redundante. Resuelva esas ecuaciones para encon­
trar las otras reacciones.
E J E M P L O
l mi
P = 20 kN
m'N\
L
I
B'
-800 m in­
400 mm
La barra de acero A-36 mostrada en la figura 4-17« tiene un diáme­
tro de 5 mm. Está unida a la pared fija en A y antes de ser cargada
hay un hueco entre la pared en B' y la barra, de 1 mm. Determine las
reacciones en A y B '.
Solución
ia)
P = 20 kN
1 mm
. P= 20 kN
Posición
inicial
fr.i.i1 > j »
Compatibilidad. Aquí consideraremos el soporte en B ' como redun­
dante. Usando el principio de superposición, figura 4-176, tenemos
(
tí
8n —
w
8r =
(b)
3.40 kN
►
0.001 m = 8P - 8 b
(1)
Las deflexiones 8Py 8fí son determ inadas con la ecuación 4-2.
Posición
final
+
)
P L AC
AE
FbL ab
AE
[20( 103) N](0.4 m)
7t(0.0025 m ) 2 [200( 109) N /m 2]
FB( 1 .2
0
= 0.002037 m
m)
77(0.0025 m ) 2 [200(109) N /m 2j
Sustituyendo en la ecuación 1, obtenemos
0.001 m = 0.002037 m - 0.3056(10~6)Fg
(c)
Er = 3.40(103) N = 3.40 kN
Resp_
Fig. 4-17
Equilibrio.
Del diagrama de cuerpo libre, figura 4-17c,
2 F , = 0; —Fa + 20 kN - 3.40 kN = 0
FA = 16.6 kN
R esp .
P r o b le m a s
•
147
PROBLEMAS
4-31. La columna de acero A-36, que tiene un área
transversal de 18 pulg2, está em bebida en concreto de al­
ta resistencia como se muestra. Si se aplica una carga axial
de 60 klb a la columna, determ ine el esfuerzo de com pre­
sión promedio en el concreto y en el acero. ¿Cuánto se
acorta la columna? La columna tiene una altura original
de 8 pies.
*4-32. La columna de acero A-36 está em bebida en con­
creto de alta resistencia como se muestra en la figura de
abajo. Si se aplica una carga axial de 60 klb a la colum­
na. determine el área requerida de acero de manera que
la fuerza sea com partida igualmente entre el acero y el
concreto. ¿Cuánto se acorta la columna? La columna tie­
ne una altura original de 8 pies.
4-34. Una columna de concreto está reforzada por m e­
dio de cuatro varillas de acero de refuerzo, cada una de
18 mm de diámetro. Determ ine el esfuerzo en el concre­
to y en el acero si la columna está sometida a una carga
axial de 800 kN. E ac = 200 GPa, Ec = 25 GPa.
4-35. La columna está construida con concreto de alta
resistencia y cuatro varillas de refuerzo de acero A-36. Si
está sometida a una fuerza axial de 800 kN. determ ine el
diámetro requerido de cada varilla para que una cuarta
parte de la carga sea soportada por el acero y tres cuar­
tas partes por el concreto. £ ac = 200 GPa, Ec = 25 GPa.
60 klb
16 pul:
,í;
11
¡ til
8 pies
Probs. 4-31732
4-33. U n tubo de acero está lleno de concreto y some­
tido a una fuerza de compresión de 80 kN. Determ ine el
esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta car­
ga. El tubo tiene un diám etro exterior de 80 mm y un diá­
metro interior de 70 mm. £ ac = 200 GPa. Ec = 24 GPa.
Probs. 4-34/35
*4-36. El tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de
20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entra justam en­
te entre las paredes fijas antes de ser cargado, determine
la reacción en las paredes cuando se somete a la carga
mostrada.
80 kN
500 mm
8 kN
11— 300 i
Prob. 4-33
8 kN
— 700 mm
Prob. 4-36
148
•
CAPITULO 4 Carga axial
La barra compuesta consiste en un segmento A B
de acero A-36 de 20 mm de diám etro y de segmentos
extremos DA y CB de bronce C83400 de 50 mm de diá­
metro. D eterm ine el esfuerzo normal prom edio en cada
segmento debido a la carga aplicada.
4-37.
La barra compuesta consiste en un segmento A B
de acero A-36 de 20 mm de diám etro y de segmentos
extremos DA y CB de bronce C83400 de 50 mm de diá­
metro. D eterm ine el desplazamiento de A respecto a B
debido a la carga aplicada.
4-38.
500 mm
El soporte consiste en un poste sólido de bronce
C83400 que está rodeado por un tubo de acero inoxida­
ble 304. A ntes de aplicar la carga, el hueco entre esas dos
partes es de 1 mm. Dadas las dimensiones mostradas, de­
term ine la carga axial máxima que puede aplicarse a la
tapa rígida A sin generar fluencia en ninguno de los m ate­
riales.
4-41.
■250 m m -
20 mm
P ro b s. 4-37/38
La carga de 2800 Ib va a ser soportada por los dos
alambres de acero A-36, esencialmente verticales. Si ori­
ginalmente el alambre A B es de 60 pulg de largo y el
alambre A C de 40 pulg, determ ine la fuerza desarrollada
en cada alambre cuando se cuelga la carga. Cada alam ­
bre tiene un área transversal de 0.02 pulg2.
4-39.
*4-40. La carga de 2800 Ib va a ser soportada por los
dos alambres de acero A-36, esencialmente verticales.
Si originalmente el alambre A B es de 60 pulg de largo y
el alambre A C de 40 pulg, determ ine el área transversal
de A B para que la carga se reparta igualmente entre am­
bos alambres. El alambre A C tiene un área transversal de
0.02 pulg2.
Probs. 4-39/40
P ro b . 4-41
Dos alambres de acero A-36 se usan para sopor­
tar el m otor de 650 Ib de peso. Originalmente, A B tiene
32 pulg de longitud y A 'B ' 32.008 pulg de longitud. D e­
term ine la fuerza soportada por cada alambre cuando el
m otor se suspende de ellos. Cada alambre tiene un área
transversal de 0.01 pulg2.
4-42.
Prob. 4-42
•
P r o b le m a s
El poste central B del conjunto tiene una longitud
original de 124.7 mm, mientras que los postes A y C tienen
una longitud de 125 mm. Si las tapas arriba y abajo se
consideran rígidas, determ ine el esfuerzo normal prom e­
dio en cada poste. Los postes están hechos de aluminio y
tiene cada uno un área transversal de 400 mm2. Ea¡ =
70 GPa.
4-43.
149
La carga distribuida está soportada por tres barras
de suspensión. A B y E F están hechas de aluminio y CD
está hecha de acero. Si cada barra tiene un área transver­
sal de 450 mm2, determ ine la intensidad máxima w de la
carga distribuida de modo que no se exceda un esfuerzo
permisible de
=180 MPa en el acero y (<Tperm)ai =
94 MPa en el aluminio. Eac = 200 GPa, £ al = 70 GPa.
4-45.
800 kN /m
125 mm
/A / l
/ J lL
r U ------------------ Ü—
1
*->
—
™ " W
th
800 kN /m
Prob. 4-4S
Prob. 4-43
La viga está articulada en A y soportada por dos
barras de aluminio; cada barra tiene un diám etro de
1 pulgy un módulo de elasticidad £ a) = 10(103) klb/pulg2.
Si se supone que la viga es rígida e inicialmente horizon­
tal, determine el desplazamiento del extremo B cuando
se aplique sobre ésta una carga de 5 klb.
4-46.
El espécimen representa una m atriz reforzada
con filamentos, la cual está fabricada con plástico (m a­
triz) y vidrio (fibra). Si se tienen n fibras, cada una con
área Ay de sección transversal y un módulo de E¡, em be­
bidas en una matriz con área transversal A,„ y un módulo
de £„„ determine el esfuerzo en la matriz y en cada fibra
cuando se aplica la fuerza P sobre el espécimen.
*4-44.
La barra está articulada en A y está soportada por
dos barras de aluminio, cada una con diám etro de 1 pulg
y módulo de elasticidad £ al = 10(103) klb/pulg2. Si se su­
pone que la barra es rígida y que está inicialmente en po­
sición horizontal, determ ine la fuerza en cada barra cuan­
do se aplica la carga de 5 klb.
4-47.
P
P
Prob. 4-44
Probs. 4-46/47
150
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Se supone que la viga horizontal es rígida mien­
tras soporta la carga distribuida mostrada. Determine las
reacciones verticales en los soportes. Cada soporte con­
siste en un poste de madera con diámetro de 1 2 0 mm y
con altura original (descargado) de 1.40 m. Considere
Emadera ~ 12 GPa.
*4-48.
Se supone que la viga horizontal es rígida mien­
tras soporta la carga distribuida mostrada. Determine el
ángulo de inclinación de la viga después de aplicada la
carga. Cada soporte consiste en un poste de madera con
diámetro de 1 2 0 mm y una longitud original (descarga­
da) de 1.40 m. Considere Emadera - 12 GPa.
4-49.
La barra rígida está soportada por dos postes cor­
tos de madera y un resorte. Si cada uno de los postes tie­
ne una altura de 500 mm y área transversal de 800 mnr
y el resorte tiene una rigidez k = 1.8 MN/m y una lon­
gitud no estirada de 520 mm, determine la fuerza en cada
poste después de aplicada la carga a la barra. Ema(ier¡, =
11 GPa.
4-51.
*4-52. La barra rígida está soportada por dos postes
de madera (abeto blanco) y un resorte. Cada poste tiene
una longitud (sin carga presente) de 500 mm y un áiea
transversal de 800 mm2; el resorte tiene una rigidez k =
1.8 MN/m y una longitud (sin carga presente) de 520 mm.
Determine el desplazamiento vertical de A y B después
de que se aplica la carga a la barra.
60 kN
18 kN/m
60 kN
100 mm
100 mm
C
B
500 mm
P robs. 4-48/49
Probs. 4-51/52
El perno de acero de 10 mm de diámetro está ro­
deado por un manguito de bronce. El diámetro exterior
del manguito es de 2 0 mm y su diámetro interior es de
10 mm. Si el perno está sometido a una fuerza de com­
presión de P = 20 kN. determine el esfuerzo normal pro­
medio en el acero y en el bronce. Eac = 200 GPa y Ebr =
100 GPa.
4-53.
Las tres barras colgantes están hechas del mismo
material y tienen las mismas áreas A en sus secciones
transversales. Determine el esfuerzo normal promedio en
cada barra si la barra rígida ACE está sometida a la fuer­
za P.
4-50.
\— £ —k-rf.2
2
Prob. 4-50
P r o b le m a s
4-54. El vastago de 10 mm de diám etro de un perno de
acero está envuelto por un casquillo de bronce. El diá­
m etro exterior de este casquillo es de 20 mm y su diám e­
tro interior es de 10 mm. Si el esfuerzo de fluencia para el
acero es (o y )ac = 640 M Pa y para el bronce es (o y )br =
520 MPa, determ ine la magnitud de la carga elástica má­
xima P que puede aplicarse al conjunto. £'ac = 200 GPa,
E br = 100 GPa.
•
151
*4-56. La prensa consta de dos cabezales rígidos m an­
tenidos en posición por las dos barras de acero A-36 de
0.5 pulg de diámetro. Se coloca en la prensa un cilindro
sólido de aluminio 6061-T6 y se ajustan los tornillos de
manera que apenas si aprieten contra el cilindro. Si lue­
go se aprietan media vuelta, determ ine el esfuerzo nor­
mal promedio en las barras y en el cilindro. El tornillo de
cuerda simple en el perno tiene un avance de 0.01 pulg.
Nora: el avance representa la distancia que el tornillo
avanza a lo largo de su eje en una vuelta completa del
tornillo.
10 mm
20 mm
P ro b . 4-56
4-55. El miembro rígido es m antenido en la posición
mostrada por tres barras de acero A-36. Cada barra tie­
ne una longitud inicial (no alargada) de 0.75 m y un área
transversal de 125 m nr. Determine las fuerzas en las barras
si a un nivelador en la barra EF se le da una vuelta ente­
ra. El avance del tornillo es de 1.5 mm. Desprecie el tam a­
ño del nivelador y suponga que es rígido. Nota: el avance
ocasiona que la barra, al estar descargada, se acorte 1.5 mm
cuando al nivelador se le da una vuelta entera.
4-57. La prensa consta de dos cabezales rígidos m ante­
nidos en posición por las dos barras de acero A-36 de
{ pulg ce diámetro. Se coloca en la prensa un cilindro só­
lido de aluminio 6061-T6 y se ajustan los tornillos de ma­
nera que apenas si aprieten conlra el cilindro. Determ ine
el ángulo que el tornillo debe girar antes que las barras
o el espécimen comiencen a fluir. El tornillo de cuerda
simple en el perno tiene un avance de 0.01 pulg. Nota: el
avance representa la distancia que el tornillo avanza a lo
largo de su eje en una vuelta completa del tornillo.
0.75 m
A (-— 0.5 i
— 0.5 m — j C
0.75 m
íh r
Prob. 4-55
Prob. 4-57
152
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
El conjunto consiste en dos postes hechos de un
material 1 con módulo de elasticidad £ , y área transver­
sal Ay en cada uno de ellos, y un material 2 con módulo
de elasticidad E 2 y área transversal A 2. Si se aplica una
carga central P a la tapa rígida, determine la fuerza en ca­
da material.
4-58.
El conjunto consiste en un miembro de aluminio
6061-T6 y en un miembro de bronce rojo C83400, confi­
nados entre placas rígidas. Determ ine la distancia d a que
debe colocarse la carga vertical P sobre las placas para
que éstas permanezcan horizontales cuando el material
se deforma. Cada miembro tiene un ancho de 8 pulg y no
están adheridos entre sí.
4-61.
P
P
P ro b . 4-58
El conjunto consiste en tres postes con las siguien­
tes propiedades: postes 1 (A B y CD) hechos de un m a­
terial con módulo de elasticidad E\ y área transversal Ay,
poste central 2 (EF) hecho de un m aterial con módulo
de elasticidad E 2 y área transversal A 2. Si los postes A B
y CD se reemplazan por otros dos postes hechos con el
material del poste EF, determ ine el área transversal re­
querida en los nuevos postes de manera que ambos con­
juntos se deformen la misma cantidad al cargarlos.
4-59.
El conjunto consiste de dos postes A B y CD he­
chos de un material 1 que tiene un módulo de elasticidad
de Ex y área transversal A¡ cada uno, y un poste central
EF hecho de un material 2 con módulo de elasticidad E 2
y área transversal A 2, determ ine el área transversal re­
querida en el nuevo poste de manera que ambos conjun­
tos se deformen la misma cantidad al cargarlos.
*4-60.
P
Probs. 4-59/60
6 pulg 3 pulg
P ro b . 4-61
I.a viga rígida está soportada por un conjunto de
barras dispuestas simétricamente y cada una tiene un área
A y longitud L. Las barras A B y CD tienen un módulo
de elasticidad E\ y las barras E F y G H uno de E2. D eter­
mine el esfuerzo normal prom edio en cada barra si se
aplica un momento concentrado M 0 a la viga.
4-62.
h— ^
^
^
Prob. 4-62
— H
Pro b lem a s
4-63. El miembro ahusado está fijo en sus extremos A
y B y está sometido a una carga P = 7 klb en x = 30 pulg.
Determine las reacciones en los soportes. El miembro tie­
ne 2 pulg de espesor y está hecho de aluminio 2014-T6.
6 pulg
. ¡1 pulg
P -* -
•
153
4-66. El poste está hecho de aluminio 6061-T6 y tiene
un diámetro de 50 mm. Está em potrado en A y en B y
en su centro C tiene un resorte unido a un collarín rígi­
do. Si el resorte inicialmente no está comprimido, deter­
mine las reacciones en A y en B cuando se aplica la fuer­
za P = 40 kN al collarín.
4-67. El poste está hecho de aluminio 6061-T6 y tiene
un diámetro de 50 mm. Está em potrado en A y en B y
en su centro C tiene un resorte unido a un collarín rígido.
Si el resorte inicialmente no está comprimido, determine
la compresión en éste cuando se aplica la carga P = 50 kN
al collarín.
60 pulg
P ro b . 4-63
*■4-64. El miembro ahusado está fijo en sus extremos A
y B y está sometido a una carga P. Determine la posición
x de la carga y la magnitud máxima de ésta si el esfuerzo
normal permisible del material es crpcrm = 4 klb/pulg2. El
miembro tiene 2 pulg de espesor.
k = 200 MN/m
>pies
i_L;
p-*-
‘ 3 pies
*4-68. La barra rígida soporta la carga distribuida uni­
forme de 6 klb/pie. D eterm ine la fuerza en cada cable si
cada uno tiene un área transversal de 0.05 pulg2 y E =
31(103) klb/pulg2.
- 60 pies —
P ro b . 4-64
4-65. El resorte sin estirar tiene una longitud de 250 mm
y una rigidez k - 400 kN/m. Si se comprime y se coloca
sobre la porción A C de 200 mm de la barra de aluminio
A B y se libera, determ ine la fuerza que la barra ejerce
sobre la pared en A . A ntes de aplicarse la carga, hay un
hueco de 0.1 mm entre la barra y la pared en B. La ba­
rra está fija a la pared en A . Desprecie el espesor de la
placa rígida en C. Ea\ = 70 GPa.
20 mm
Prob. 4-65
P ro b s. 4-66/67
4-69. La barra rígida está originalmente en posición ho­
rizontal soportado por dos cables cada uno con área
transversal de 0.05 pulg2 y E = 31 (103) klb/pulg2. D eter­
mine la rotación pequeña de la barra cuando se aplica la
carga uniforme.
154
4.6
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
Esfuerzo térmico
Un cambio de tem peratura puede ocasionar que un material cambie sus
dimensiones. Si la tem peratura aumenta, generalmente un material se
dilata, mientras que si la tem peratura disminuye, el material se contrae.
Ordinariam ente esta dilatación o contracción está linealmente relaciona­
da con el incremento o disminución de tem peratura que se presenta. Si
éste es el caso y el material es homogéneo e isotrópico, se ha encontra­
do experim entalm ente que la deformación de un miembro de longitud
L puede calcularse usando la fórmula:
8t = a A T L
(4-4)
donde.
La mayoría de los puentes se diseñan con
juntas de expansión para permitir el mo­
vimiento térmico de la superficie de ro­
damiento y evitar así esfuerzos por cam­
bio de temperatura.
a = propiedad del material llamada coeficiente lineal de dilatación
térmica. Las unidades miden deformación unitaria por grado de
tem peratura. Ellas son 1/°F (Fahreñheit) en el sistema inglés y
1/°C (Celsius) o 1/°K (Kelvin) en el sistema SI. Los valores comu­
nes se dan en la cubierta interior posterior del libro
A T = cambio algebraico en la tem peratura del miembro
L = longitud original del miembro
8r = cambio algebraico en la longitud del miembro
Si el cambio de tem peratura varía sobre toda la longitud del miembro,
esto es, A 7 = A7" (x), o si a varía a lo largo de la longitud, entonces la ecua­
ción 4-4 es aplicable para cada segmento de longitud dx. En este caso, el
cambio en la longitud del miembro es:
rL
8t — a A T dx
(4-5)
El cambio en longitud de un miembro estáticamente determinado pue­
de calcularse fácilmente con las ecuaciones 4-4 o 4-5, ya que el miembro
tiene libertad de dilatarse o contraerse cuando experim enta un cambio
de tem peratura. Sin embargo, en un miembro estáticamente indetermina­
do esos desplazamientos térmicos pueden estar restringidos por los so­
portes, lo que produce esfuerzos térmicos que deben ser considerados en
el diseño.
El cálculo de esos esfuerzos térmicos puede efectuarse usando los m é­
todos delineados en las secciones previas. Los siguientes ejemplos ilustran
algunas aplicaciones.
S ección 4.6
E J E M P L O
Esfuerzo térmico
4.10
La barra de acero A-36 m ostrada en la figura 4-18 cabe justamente
entre los dos soportes fijos cuando 7 \ = 60 °F. Si la tem peratura se
eleva a T2 = 120 °F, determ ine el esfuerzo térmico normal promedio
desarrollado en la barra.
0.5 pu!g
H
■
X 0 -5 PulS
Solución
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en
la figura 4-18b. Como no hay fuerza externa, la fuerza en A es igual
pero opuesta a la fuerza que actúa en B\ esto es,
+ f 2 F , = 0;
Fa = Fb = F
El problema es estáticamente indeterm inado ya que esta fuerza no
puede ser determ inada por equilibrio.
Compatibilidad. Como 8B/A - 0, el desplazamiento térmico ST que
ocurre en A , figura 4-18c, es contrarrestado por la fuerza F que se re­
quiere para em pujar la barra una cantidad 8/? de regreso a su posición
original; es decir, la condición de compatibilidad en A es:
(+ !')
8 a/ b =
0
= Sr - SF
Aplicando las relaciones térm icas y de carga-desplazam iento, te­
nemos:
0 = aATL -
AL
Así, con los datos de la cubierta interior posterior,
F
(b)
F = aATAE
= [6.60(10~6)/°F](120 °F - 60 °F)(0.5 pulg)2[29(103) klb/pulg2]
= 2.87 klb
8t
r jÉ h
De la magnitud de F debería ser aparente qué cambios en tem pera­
tura pueden ocasionar grandes fuerzas reactivas en miembros estáti­
camente indeterminados.
Como F representa también la fuerza axial interna dentro de la barra,
el esfuerzo normal de compresión (térmico) prom edio es entonces:
F
2.87 klb
= — = ------------- 5 - = 11.5 klb/pulg 2
/I
(0.5 pulg)
5
(C)
Fig. 4-18
SF
•
155
156
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
E J E M P L O
---------------------------------------------------Un tubo de aluminio 2014-T6 con área transversal de 600 mm 2 se usa
como camisa para un perno de acero A-36 con área transversal de
400 mm2, figura 4-19a. Cuando la tem peratura es de T y = 15 °C, la
tuerca mantiene el conjunto en una condición ligeramente apretada
tal que la fuerza axial en el perno es despreciable. Si la tem peratura
se incrementa a T2 = 80 °C, determine el esfuerzo normal promedio
en el perno y en la camisa.
Solución
Equilibrio. En la figura 4-196 se muestra un diagrama de cuerpo li­
bre de un segmento seccionado del conjunto. Se generan las fuerzas Fb
y F¡ debido a que el perno y la camisa tienen diferentes coeficientes de
dilatación térmica y se dilatan diferentes cantidades cuando la tempe­
ratura se incrementa. El problema es estáticamente indeterminado, ya
que esas fuerzas no pueden determinarse sólo por equilibrio. Sin em­
bargo, se requiere que:
+ | 2 F y = 0;
Fs = F b
(1)
Compatibilidad. El incremento de tem peratura ocasiona que la ca­
misa y el perno se dilaten (Ss) r y (Sh)T, figura 4-19c. Sin embargo, las
fuerzas redundantes Fb y F¡ alargan el perno y acortan la camisa. En
consecuencia, el extremo del conjunto alcanza una posición final que
no es la misma que la posición inicial. Por consiguiente, la condición de
compatibilidad es
(+¿)
8
= (s b ) r
+
[ 8 b )¡•
=
(8s)r
~
(S s ) f
Posición
inicial
«ür
V
8
posicición
final
t~~N
(5,) f
«0
Aplicando las ecuaciones 4-2 y 4-4 y usando las propiedades mecáni­
cas dadas en la tabla en la cubierta interior posterior, tenemos:
[12(10-6)/°C](80 °C - 15 °C)(0.150 m)
F6(0.150 m)
(400 mm 2 )(10 - 6 m 2 /m m 2 )[200(109) N /m 2
= [23(10 )/°C](80 °C - 15°C )(0.150m )
F,(0.150 m)
600 mm 2 (10
6
m 2 /m m 2 )[73.1(109) N /m 2]
Usando la ecuación 1 y despejando, se obtiene:
Fs = Fh = 20.26 kN
El esfuerzo normal promedio en el perno y en la camisa es entonces:
20.26 kN
CTb
400 mm 2 (10 - 6 m 2 /m m 2)
_
20.26 kN
C7s ~ 600 mm 2 ( 1 0
-6
m 2 /m m 2)
= 50.6 MPa
Resp.
= 33.8 MPa
Resp.
Como en este análisis se supuso un com portamiento elástico lineal
de los materiales, los esfuerzos calculados deben revisarse para cons­
tatar que ellos no exceden los límites proporcionales del material.
158
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
4.12
E J E M P L O
I
h 300 m m -4—300 m m H 150 kN/m
■
I
60 m m » L
—40 mm
‘
250 mm
1 40 mm -1
■---------i— i
Acero
Aluminio
Acero
(a)
La barra rígida mostrada en la figura 4-20a está fija a la parte supe­
rior de los tres postes hechos de acero y aluminio. Cada poste tiene
una longitud de 250 mm cuando no hay carga aplicada a la barra y la
tem peratura es Tj = 20 °C. Determine la fuerza soportada por cada
poste si la barra está sometida a una carga uniformemente distribui­
da de 150 kN/m y la tem peratura se eleva a T2 = 80 °C.
Solución
Equilibrio. El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la
figura 4-206. El equilibrio debido a los momentos con respecto al cen­
tro de la barra, requiere que las fuerzas en los postes de acero sean igua­
les. Sumando fuerzas en el diagrama de cuerpo libre, tenemos
+ | 2 F V = 0:
90 kN
2 Fac+ Fal - 90(103) N = 0
(1)
Compatibilidad. Debido a la simetría de la carga, de la geometría
y del material, la parte superior de cada poste se desplaza la misma
cantidad. Por tanto,
(2)
^ac ¿>al
La posición final de la parte superior de cada poste es igual a su des­
plazam iento causado por el increm ento de tem peratura, más a su
desplazamiento causado por la fuerza de compresión interna axial, fi­
gura 4-20c. Así, entonces, para un poste de acero y uno de aluminio, te­
nemos:
(+ 1 )
!
F«,
(b)
( +1) (4c) 7-= ~ ( 8 a c ) r + (S ac) f
I I
¡í
Posición inicial r -
§íc “^al
(& c V
í <5ul )c
P osición final
( + 1)
(¿>al)r = “ (Sal ) t + (S a|)f
Aplicando la ecuación 2, obtenemos
~ ( 5 ac ) t +
( S ac ) f =
- (4 l)r +
(Sal ) f
Usando las ecuaciones 4-2 y 4-4 y las propiedades del material dadas
en la cubierta interior posterior, obtenemos
(C)
-[12(10
)/°C](80 °C + 20 °C)(0.250 m) +
Fig. 4-20
= -[23(10
)/°C](80 °C - 20 °C)(0.250 m)
Fac (0.250 m)
tt(0.020 m ) 2 [200(109) N /m 2)
Fa[(0.250 m)
tt(0.03 m ) 2 [73.1(109) N /m 2]
Fac= 1.216Fal - 165.9(10J)
(3)
Por consistencia, todos los datos numéricos se han expresado en tér­
minos de newtons, metros y grados Celsius. Al resolver simultánea­
m ente las ecuaciones 1 y 3, resulta
Fac = -1 6 .4 kN
F.a = -1 2 3 kN
Resp.
El valor negativo para Fac indica que esta fuerza actúa en sentido
opuesto al mostrado en la figura 4-206. En otras palabras, los postes
de acero están en tensión y el poste de aluminio está en compresión.
P r o b le m a s
•
159
PROBLEMAS
;upetiene
i y la
cada
ibui-
en la
cenigua-
Tres barras hechas cada una de material diferen­
te están conectadas entre sí y situadas entre dos muros
cuando la temperatura es 7’) = 12 °C. Determine la fuer­
za ejercida sobre los soportes (rígidos) cuando la tempe­
ratura es T2 = 18 °C. Las propiedades del material y el
área de la sección transversal de cada barra están dadas
en la figura.
4-70.
Una rejilla térmica consiste en dos placas de alu­
minio 6061-T6 con ancho de 15 mm y empotradas en sus
extremos. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando
la temperatura es de 7"! = 25 °C, determine la tempera­
tura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál
es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a
Ti = 100 °C? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.
4-74.
Acero
Cobre
Bronce
£ ac = 200 GPa
crac = 12(10-*)/°C
£ br = 100 GPa
£ cu = 120 GPa
« br = 21(1 0 « )/°C a cu = 17(10-«)/oC
j4cu = 5 1 5 m m 2
A ,c = 200 m m 2
( 1)
¿ b r= 4 5 0 m m 2
~ f~ ~ Í
tría
na
- 300 m m -
Una rejilla térmica consiste en una placa AB de
aluminio 6061-T6 y en una placa CD de magnesio Am
1004-T61, cada una con ancho de 15 mm y empotrada en
su extremo. Si la abertura entre ellas es de 1.5 mm cuando
la temperatura es de T] = 25 °C, determine la tempera­
tura requerida para cerrar justamente la abertura. ¿Cuál
es la fuerza axial en cada placa si la temperatura sube a
T2 = 100 °C? Suponga que no ocurrirá flexión ni pandeo.
4-75.
200 mm 100 mm
P ro b . 4-70
(2)
. desa su
al, fio, te-
Una losa de concreto de alta resistencia de un ac­
ceso a un garaje tiene una longitud de 2 0 pies cuando su
temperatura es de 20 °F. Si hay una abertura de 0.125 pulg
entre uno de sus lados y la guarnición, determine la tem­
peratura requerida para cerrar la abertura. ¿Cuál es el
esfuerzo de compresión en el concreto cuando la tempe­
ratura sube a l l O °F?
4-73.
La cinta de acero de un topógrafo va a usarse pa­
ra medir la longitud de una línea. La cinta tiene una sec­
ción transversal rectangular de 0.05 pulg por 0.2 pulg y
una longitud de 100 pies cuando T\ = 60 °F y la tensión
en la cinta es de 20 Ib. Determine la longitud verdadera
de la línea si la lectura en la cinta es de 463.25 pies al
usarla con una tensión de 35 Ib a Ti = 90 °C. El terreno
en que se coloca es plano. a ac = 9.60(10_6)/°F, £ ac =
29(103) klb/pulg2.
4-71.
10 mm
B C 1
10 mm
^
1
D
;
- 400 mm
600 mm
p-+
5 mm
idas
P ro b s. 4-74/75
0.05 pulg
P ro b . 4-71
i2]
W ]
(3)
i téríneaResp.
ntido
ostes
sión.
La barra AB de bronce rojo C83400 y la barra
BC de aluminio 2014-T6 están unidas en el collarín B y
empotradas en sus extremos. Si no hay carga en las ba­
rras cuando T\ = 50 °F, determine el esfuerzo normal pro­
medio en cada una de ellas cuando T2 = 120 °F. ¿Cuánto
se desplazará el collarín? El área transversal de cada
miembro es de 1.75 pulg2.
*4-76.
La barra compuesta tiene los diámetros y mate­
riales indicados. Está sostenida entre los soportes fijos
cuando la temperatura es Tx = 70 °F. Determine el es­
fuerzo normal promedio en cada material cuando la tem­
peratura es de T i= 110 °F.
*4-72.
304 pernos de acero
inoxidable.
\
2014-T6 Aluminio
^ C 86100 Bronce
‘
12 pulg
!
D
_
B
------- 4 pies-------- - ■
C
4 pulg
6 p ie s-------------- -— 3 p ies— -
Prob. 4-72
- 2 pies
- 3 pies -
Prob. 4-76
160
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
El cilindro de 50 mm de diámetro está hecho de
magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la prensa cuando
la tem peratura es T, = 2 0 °C. Si los pernos de acero ino­
xidable 304 de la prensa tienen cada uno un diám etro de
10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza despre­
ciable contra los cabezales rígidos, determ ine la fuerza en
el cilindro cuando la tem peratura se eleva a T2 = 130 °C.
4-77.
El cilindro de diámetro de 50 mm de diám etro es­
tá hecho de magnesio Am 1004-T61 y se coloca en la pren­
sa cuando la tem peratura es T\ = 15 °C. Si los pernos de
acero inoxidable 304 de ¡a prensa tienen cada uno un diá­
m etro de 10 mm y apenas aprietan al cilindro con fuerza
despreciable contra los cabezales rígidos, determine la
tem peratura a la que el esfuerzo normal promedio en el
aluminio o en el acero resulta ser de 12 MPa.
4-78.
P rob. 4-79
La barra central CD del conjunto se calienta de
T\ = 30 °C a T2 = 180 °C por medio de una resistencia
eléctrica. A la tem peratura inferior T h el espacio entre C
y la barra rígida es de 0.7 mm. D eterm ine la fuerza en las
barras A B y EF causada por el incremento de tem pera­
tura. Las barras A B y EF son de acero y cada una tiene
un área transversal de 125 mm2. CD es de aluminio y tie­
ne un área transversal de 375 mm2. £ ac = 200 GPa, Ea\ =
70 GPa y a al = 2 3 ( 1 0 “6)/°C.
*4-80.
La barra central CD del conjunto se calienta de
Tx = 30 °C a T2 = 180 °C por medio de una resistencia
eléctrica. También, las dos barras extremas A B y EF se
calientan de T x = 30° a T2 = 50 °C. A la tem peratura in­
ferior T\ , el espacio entre C y la barra rígida es de 0.7 mm.
Determine la fuerza en las barras A B y EF causada por el
incremento de temperatura. Las barras A B y EF son de
acero y cada una tiene un área transversal de 125 mm2. CD
es de aluminio y tiene un área transversal de 375 mm2.
Eac = 200 GPa, £ al = 70 GPa, a ac = 12(10"6)/°C y a a, =
23(10 ~6 )/°C.
4-81.
100 mm
P robs. 4-77/78
0.7 mm
El conjunto consiste en un cilindro de aluminio
2014-T6 con diám etro exterior de 200 mm y diámetro in­
terior de 150 mm junto con un cilindro concéntrico sóli­
do interior de magnesio Am 1004-T61 con diám etro de
125 mm. Si la fuerza de agarre en los pernos A B y CD es
de 4 kN cuando la tem peratura es T x = 16 °C, determ i­
ne la fuerza en los pernos cuando la tem peratura sube a
T2 = 48 °C. Suponga que los pernos y los cabezales son
rígidos.
4-79.
300 mm
Probs. 4-80/81
P ro b le m as
Las tres barras están hechas de acero A-36 y for­
man una armadura conectada por pasadores. Si ésta se
construye cuando T\ = 50 °F, determine la fuerza en ca­
da barra cuando T2 = 110 °F. Cada barra tiene un área
transversal de 2 pulg2.
4-82.
Las tres barras están hechas de acero A-36 y for­
man una armadura conectada por pasadores. Si ésta se
construye cuando T\ = 50 °F, determine el desplazamien­
to vertical del nodo A cuando T2 = 150 °F. Cada barra
tiene área transversal de 2 pulg2.
4-83.
•
161
La barra tiene un área transversal A, longitud L,
módulo de elasticidad E y coeficiente de dilatación tér­
mica a. La temperatura de la barra cambia uniformemen­
te desde una temperatura TA en A hasta una temperatu­
ra TB en B. de modo que en cualquier punto x a lo largo
de la barra, T = TA + x(TB —TA)/L. Determine la fuer­
za que la barra ejerce sobre las paredes rígidas. Inicial­
mente no se tiene ninguna fuerza axial en la barra.
4-85.
—
1
4
A
B
TA
Tb
P ro b . 4-85
P robs. 4-82/83
La barra metálica tiene un espesor t y un ancho w
y está sometida a un gradiente de temperatura de T\ a T2
(7] < T2). Esto causa que el módulo de elasticidad del
material varíe linealmente de £[ en la parte superior a un
valor menor E2 en el fondo de la barra. En consecuencia,
en cualquier posición vertical y, E = [{E2 — E x)/w] y +
E\. Determine la posición d donde debe aplicarse la fuer­
za axial P para que la barra se alargue uniformemente en
toda su sección transversal.
4-86.
La barra está hecha de acero A-36 y tiene un diá­
metro de 0.25 pulg. Si los resortes se comprimen 0.5 pulg
cuando la temperatura de la barra es T = 40 °F, determi­
ne la fuerza en la barra cuando su temperatura es T =
160 °F.
*4-84.
k = 1000 lb/pulg
k = 1000 lb/pulg
4 pies
Prob. 4-84
162
4.7
•
CAPITULO 4 Carga axial
Concentraciones de esfuerzos
En la sección 4.1 se señaló que cuando una fuerza axial se aplica a un
miembro, se genera una compleja distribución de esfuerzos dentro de
una región localizada alrededor del punto de aplicación de la carga. Ta­
les distribuciones típicas del esfuerzo se m uestran en la figura 4-1. No
sólo bajo cargas concentradas aparecen complejas distribuciones del es­
fuerzo, sino también en secciones donde el área de la sección transver­
sal cambia. Por ejemplo, considere la barra en la figura 4-21 a, que está
sometida a una carga axial P. Puede verse aquí que las líneas horizon­
tales y verticales de la retícula asumen un patrón irregular alrededor del
agujero centrado en la barra. El esfuerzo normal máximo en la barra ocu­
rre en la sección a-a, que coincide con la sección de área transversal más
pequeña. Si el material se comporta de m anera elástica lineal, la distribu­
ción del esfuerzo que actúa en esta sección puede determ inarse a partir
de un análisis basado en la teoría de la elasticidad o bien experim ental­
mente, midiendo la deformación unitaria normal en la sección a-a y luego
calculando el esfuerzo usando la ley de Hooke, u = Ee. Independiente­
m ente del método usado, la forma general de la distribución del esfuerzo
será como la m ostrada en la figura 4-216. D e m anera similar, si la barra
tiene una reducción de su sección transversal con filetes en la zona de
transición, figura 4-22a, entonces de nuevo, el esfuerzo normal máximo
en la barra ocurrirá en la sección transversal más pequeña, sección a-a,
y la distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 4-22b.
a
Sin distorsión
Distorsionada
(a)
Distribución promedio del esfuerzo
(c)
Fig. 4-21
S ección 4.7
Concentraciones de esfuerzos
•
163
En los dos casos anteriores, el equilibrio por fuerzas requiere que la
magnitud de la fuerza resultante desarrollada por la distribución del es­
fuerzo sea igual a P. En otras palabras,
P = \ a dA
(4-6)
Como se estableció en la sección 1.4. esta integral representa gráficamen­
te el volumen bajo cada uno de los diagramas de distribución del esfuer­
zo mostrados en las figuras 4-216 y 4-226. Además, el equilibrio debido a
los momentos, requiere que cada distribución del esfuerzo sea simétrica
sobre la sección transversal, de manera que P pase por el centroide de ca­
da volumen.
Sin embargo, en la práctica, la distribución real del esfuerzo no tiene
que determinarse; sólo el esfuerzo máximo en esas secciones debe ser co­
nocido para poder diseñar el miembro cuando se aplique la carga P y se
genere este esfuerzo. En los casos en que cambia la sección transversal,
como en los casos vistos antes, valores específicos del esfuerzo normal má­
ximo en la sección crítica pueden determinarse por medio de métodos ex­
perimentales o por medio de técnicas matemáticas avanzadas usando la
teoría de la elasticidad. Los resultados de esas investigaciones se repor­
tan por lo regular en forma gráfica usando un fa cto r K de concentración
de esfuerzos. Definimos K como la razón del esfuerzo máximo al esfuer­
zo promedio que actúa en la sección transversal más pequeña; esto es,
Las concentraciones de esfuerzos se pre­
sentan a menudo en las esquinas agudas de
maquinaria pesada. Los ingenieros pueden
mitigar estos efectos usando placas atiesadoras soldadas a las esquinas.
(4-7)
Si se conoce K y si el esfuerzo normal promedio se ha calculado a partir
de <7 prom = P / A. donde A es el área transversal más pequeña, figuras
4 21c y 4-22c, entonces de la ecuación anterior, el esfuerzo máximo en
la sección transversal es <xmáx = K(P/A).
■V
P -+
°m áx
jr
Distribución real del esfuerzo
(b)
Sin distorsión
P*+
s
1
J
Distorsionada
Distribución promedio del esfuerzo
(a)
(c)
164
•
CAPÍTULO 4 Propiedades mecánicas de los materiales
P
P
(a)
► P
P ■*
P
En todas las esquinas de esta losa ha ocurri­
do agrietamiento del concreto debido a su
contracción al ser curado. Esas concentra­
ciones de esfuerzos pueden evitarse dándo­
le forma circular al agujero.
Los valores específicos de K se reportan generalm ente en forma grá­
fica en manuales relacionados con el análisis de esfuerzos. Ejemplos de
estas gráficas se dan en las figuras 4-24 y 4-25, respectivamente.* En par­
ticular observe que K es independiente de las propiedades del material
de la barra: más bien, depende sólo de la geometría y de! tipo de discon­
tinuidad de ésta. Cuando el tam año r de la discontinuidad disminuye, la
concentración del esfuerzo aumenta. Por ejemplo, si una barra requiere
un cambio en su sección transversal, se ha determ inado teóricam ente
que una esquina aguda, figura 4-23«, produce un factor de concentra­
ción de esfuerzo mayor de 3. En otras palabras, el esfuerzo norm al máxi­
mo será tres veces mayor que el esfuerzo normal promedio en la sección
transversal más pequeña. Sin embargo, éste puede reducirse a, digamos,
1.5 veces introduciendo un filete, figura 4-23b. Puede conseguirse una
reducción aún mayor por medio de pequeñas ranuras o por agujeros si­
tuados en la transición, figuras 4-23c y 4-23d. En todos estos casos un
buen diseño ayudará a reducir la rigidez del material que rodea a las es­
quinas, de modo que tanto la deformación unitaria como el esfuerzo se
distribuyan con más suavidad sobre la barra.
Los factores de concentración de esfuerzos dados en las figuras 4-24 y
4-25 se determ inaron sobre la base de una carga estática, con la hipótesis
de que el esfuerzo en el material no excede el límite de proporcionalidad.
Si el material es m uy frágil, el límite de proporcionalidad puede estar en
el esfuerzo de ruptura y, por tanto, la falla comenzará en el punto de con­
centración del esfuerzo cuando se haya alcanzado el límite de proporcio­
nalidad. En esencia, lo que sucede es que comienza a formarse una grie­
ta en ese punto y se desarrolla una concentración del esfuerzo más alta
en la punta de esta grieta. Esto, a su vez, ocasiona que la grieta progre­
se en la sección transversal, resultando una fractura súbita. Por esta ra­
zón, es muy im portante usar factores de concentración de esfuerzos en el
diseño cuando se usan materiales frágiles. Por otra parte, si el material es
dúctil y está sometido a una carga estática, los ingenieros desprecian por
lo general el uso de factores de concentración de esfuerzos puesto que
cualquier esfuerzo que exceda al límite de proporcionalidad no provoca­
rá una grieta. En cambio, el material tendrá una resistencia de reserva de­
bido a la fluencia y al endurecimiento por deformación. En la siguiente
sección veremos los efectos causados por este fenómeno.
Las concentraciones de esfuerzo son también la causa de muchas fallas
en miembros estructurales o en elementos mecánicos sometidos a cargas
de fatiga. En estos casos, una concentración de esfuerzos ocasionará que
el material se agriete cuando el esfuerzo exceda el límite de fatiga del m a­
terial. sin im portar que éste sea dúctil o frágil. Lo que sucede es que el
m aterial situado en la punta de la grieta permanece en un estado frágil y
por tanto, la grieta continúa creciendo, conduciendo a una fractura pro­
gresiva. Por consiguiente, los ingenieros implicados en el diseño de tales
miembros deben buscar maneras de limitar la cantidad de daño que pue­
de resultar debido a la fatiga.
*Vea L ipson. C. y Juvinall. R . C., H a n d b o o k o f Stress a n d Strength, M acm illan. 1963.
S ecció n
4.7 Concentraciones de esfuerzos
h
Fig. 4-24
PUNTOS IMPORTANTES
• Las concentraciones de esfuerzos ocurren en secciones donde el área
transversal cambia repentinam ente. E ntre más severo es el cam­
bio, mayor es la concentración de los esfuerzos.
• Para diseño o análisis, sólo es necesario determ inar el esfuerzo
máximo que actúa sobre el área con sección transversal más pe­
queña. Esto se hace usando un factor de concentración de esfuer­
zos, /í, que ha sido determ inado experim entalm ente y es sólo una
función de la geometría del espécimen.
• Normalmente la concentración de esfuerzos en un espécimen dúc­
til sometido a una carga estática no tendrá que ser considerado
en el diseño; sin embargo, si el material es frágil, o está someti­
do a cargas de fatiga, entonces las concentraciones de esfuerzos
se vuelven importantes.
Fig. 4-25
•
165
166
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O
Una barra de acero tiene las dimensiones mostradas en la figura
4-26. Si el esfuerzo permisible es <7 perm = 16.2 klb/pulg2, determ ine la
máxima fuerza axial P que la barra puede soportar.
p
p
Fig. 4-26
Solución
Como se tiene un filete del tipo mostrado, el factor de concentración
de esfuerzos puede determinarse usando la gráfica en la figura 4-24.
Los parám etros geométricos necesarios son
¿ , M f H Ü , 0.50
n
1 pulg
w =
h
2
1
pulg =
pulg
Entonces, de la gráfica,
a : = 1.4
Calculando el esfuerzo normal promedio en la sección transversal
más pequeña, tenemos:
prum
(1 pulg)(0.5 pulg)
= 2P
Aplicando la ecuación 4-7 con <rperm = o-max* resulta:
O’perm
¿ '•°rprom
16.2 k lb = \ A{2P)
P = 5.79 klb
Resp
S e c c ió n 4 .7
4.14
E J E M P L O
La barra de acero mostrada en la figura 4-27 está sometida a una car­
ga axial de 80 kN. Determ ine el esfuerzo normal máximo desarrolla­
do en la barra así como el desplazamiento de un extremo de la barra
respecto al otro. El acero tiene un esfuerzo de fluencia a Y = 700 MPa
y un £ ac = 200 GPa.
.
A
40 mm
B
80 kN
10 mm
Fig. 4-27
Solución
Esfuerzo norm al máximo. Por inspección, el esfuerzo normal máxi­
mo se presenta en la sección transversal más pequeña, donde comienza
el filete, en B o en C. El factor de concentración de esfuerzos se lee en
la figura 4-23. Se requiere:
r _
h
6
2 0
mm _
mm
w _ 40 mm _ ^
h
2 0 mm
’
Entonces, K = 1.6.
El esfuerzo máximo es entonces:
P
°máx
K—
A
80(103) N
1.6
( 0 . 0 2 m )( 0 . 0 0 1 m)
= 640 MPa
Resp.
Note que el material permanece elástico, ya que 640 MPa < aY =
700 MPa.
Desplazamiento. Despreciaremos aquí las deformaciones localiza­
das que rodean a la carga aplicada y al cambio brusco en la sección
transversal del filete (principio de Saint-Venant). Tenemos:
_ ^ P L
8a / d - 2 j ^ r ¿
AE
J
80(103) N (0.3m )
{ (0.04 m)(0.01 m)[200(109) N /m 2]
80(103) N (0.8m )
4-
(0.02 m)(0.01 m)[200(109) N /n r
a a / o = 2.20 mm
Resp.
Concentraciones de esfuerzos
•
167
168
•
*4.8
CAPÍTULO 4 Carga axial
Deformación axial inelástica
L a fa lla d e e s te tu b o d e a c e ro s o m e tid o a
p re sió n o c u rrió en e l á r e a tra n s v e rs a l m ás
p e q u e ñ a , q u e es a tra v é s d el o rificio . N o te
c ó m o , a n te s d e la fra c tu ra , el m a te ria l q u e
r o d e a la su p e rfic ie f ra c tu r a d a se d e fo rm ó .
Hasta ahora hemos considerado sólo cargas que ocasionan que el m a­
terial de un miembro se comporte elásticamente. Sin embargo, a veces
un miembro puede ser diseñado de manera que la carga ocasione que
el material fluya y adquiera por consiguiente deformaciones perm anen­
tes. Tales miembros suelen fabricarse con un metal muy dúctil como el
acero recocido al bajo carbono, que tiene un diagrama esfuerzo-defor­
mación unitaria similar al de la ñgura 3-6 y que puede modelarse como
se muestra en la figura 4-286. A un material que exhibe este com porta­
miento idealizado se le denomina elástico-perfectamente plástico o elastoplástico.
Para ilustrar físicamente cómo tal material se comporta, consideremos
la barra en la figura 4-28«, que está sometida a la carga axial P. Si la car­
ga genera un esfuerzo elástico cr =
en la barra, entonces por equilibrio
se requiere que, de acuerdo con la ecuación 4-6, P = f a 1 d A = a i A.
Además el esfuerzo cr¡ genera en la barra la deformación unitaria ej, como
se indica en el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, figura 4-286. Si P se
incrementa ahora hasta Pp, de manera que ocasione que el material flu­
ya, esto es, a = a Y, entonces de nuevo Pp - fcrY d A = crYA. La carga Pp
se denomina carga plástica, ya que representa la carga máxima que pue­
de ser soportada por un material elastoplástico. Para este caso, las defor­
maciones unitarias no están definidas de m anera única. Más bien, en el
instante en que se alcanza crY, la barra está primero sometida a la defor­
mación unitaria de fluencia eY. figura 4-286, después de lo cual la barra
continuará fluyendo (o alargándose) de manera que se generan las defor­
maciones unitarias e2. luego e3, etc. Como nuestro “m odelo” del material
exhibe un comportamiento perfectamente plástico, este alargamiento con­
tinuará indefinidamente sin incremento de la carga. Sin embargo, en rea­
lidad el material em pezará,después de alguna fluencia, a endurecerse por
deformación de m anera que la resistencia adicional que alcanza detendrá
cualquier deformación adicional. En consecuencia, cualquier diseño ba­
sado en este comportamiento será seguro, ya que el endurecimiento por
deformación proporciona el potencial para que el material soporte una
carga adicional en caso de que sea necesario.
P
Fig. 4-28
S ección 4.8
[ mai/eces
; que
m en­
no el
leforcomo
>ortaelas-
Consideremos ahora el caso de una barra que tenga un agujero como
se muestra en la figura 4-29«. Cuando la magnitud de P se incrementa, se
presenta una concentración de esfuerzos en el material cerca del agujero,
a lo largo de la sección a-a. El esfuerzo aquí alcanzará un valor máximo
de, digamos, crmáx = a¡ con una deformación unitaria elástica correspon­
diente de valor eb figura 4-296. Los esfuerzos y las deformaciones unita­
rias correspondientes en otros puntos a lo largo de la sección transversal
serán menores, como se indica en la distribución del esfuerzo mostrada
en la figura 4-29c. Com o es de esperarse, el equilibrio requiere que
P = f a dA. En otras palabras, P es geom étricam ente equivalente al
“volumen” contenido dentro de la distribución del esfuerzo. Si la carga se
incrementa ahora a P', de manera que crmáx = crY, entonces el material co­
menzará a fluir hacia afuera desde el agujero, hasta que la condición de
equilibrio P' = Jcr d A se satisfaga, figura 4-29í/. Como se ve, esto produ­
ce una distribución del esfuerzo que tiene geométricamente un mayor “vo­
lum en” que el mostrado en la figura 4-29c. Un incremento adicional de
carga ocasionará que el material eventualmente fluya sobre toda la sección
transversal hasta que ninguna carga mayor pueda ser soportada por la
barra. Esta carga plástica Pp se muestra en la figura 4-29e y puede calcu­
larse a partir de la condición de equilibrio:
Pp —
cry d A = u y A
Aquí, cry es el esfuerzo de fluencia y A es el área de la sección transver­
sal de la barra en la sección a-a.
Los siguientes ejemplos ilustran numéricamente cómo se aplican esos
conceptos a otros tipos de problemas en que el material se comporta elastoplásticamente.
Deformación axial inelástica
♦ 169
170
.
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O
Dos alambres de acero se usan para levantar el peso de 3 klb, figura
4-30a. El alambre A B tiene una longitud no deformada de 20.00 pies
y el alambre A C tiene una longitud no deform ada de 20.03 pies. Si ca­
da alambre tiene un área transversal de 0.05 pulg 2 y el acero puede
considerarse elástico-perfectamente plástico, como se muestra en la
grafica a - e en la figura 4-306, determine la fuerza y alargamiento
en cada alambre.
20.00 pies
20.03 pies
Solución
Por inspección, el alambre A B comienza a tom ar la carga cuando el
gancho se levanta. Sin embargo, si este alambre se alarga más de 0.03
pies, la carga es entonces tomada por ambos alambres. Para que esto
ocurra, la deformación unitaria en el alambre A B debe ser:
«„» 2 0
(a)
pies
- 0.0015
que es m enor que la deformación unitaria elástica máxima, eY =
0.0017, figura 4-306. Además, el esfuerzo en el alambre A B cuando
esto sucede puede determ inarse m ediante la figura 4-306, por propor­
ción; esto es,
0.0017
50 klb/pulg 2
0.0015
crAB
(tab ~ 44.12 klb/pulg 2
La fuerza en el alambre es entonces:
Fab = °
ab
A
= (44.12 klb/pulg2) (0.05 pie2) = 2.21 klb
Como el peso por soportarse es de 3 klb, podemos concluir que am ­
bos alambres deben usarse para soportarlo.
Una vez que el peso está soportado, el esfuerzo en los alambres de­
pende de la deformación unitaria correspondiente. Hay tres posibili­
dades: que la deformación unitaria en ambos alambres sea elástica, que
el alambre A B esté deform ado plásticamente mientras que el alambre
A C esté deformado elásticamente o que ambos alambres estén defor­
mados plásticamente. Comenzaremos suponiendo que ambos alambres
permanecen elásticos. Por inspección del diagrama de cuerpo libre del
peso suspendido, figura 4-30c, vemos que el problem a es estáticamen­
te indeterminado. La ecuación de equilibrio es:
cr(klb)
+ Í 2 .F. =
0
;
TAb + Tac - 3 klb = 0
(1)
T ab . T a c
e(pulg/pulg)
0.0017
(b)
(c)
Fig. 4-30
S ección 4.8
Deformación axial ¡nelástica
Como AC es 0.03 pie más largo que A B , vemos en la figura 4-30rf
que la compatibilidad en los desplazamientos de los extremos B y C
requiere que:
SAb = 0.03 pie + SAc
(2)
El módulo de elasticidad, figura 4-306, es Eac = 50 klb/pulg2/0.0017 =
29.4(103) klb/pulg2. Como éste es un análisis elástico lineal, la rela­
ción carga-desplazamiento está dada por S = P L /A E , por lo que:
7 ^(2 0 .0 0 pies) (12 pulg/pie)
(0.05 pulg2)[29.4(103) klb/pulg2j
7’/4C(20.03 pies)(12 pulg/pie)
= 0.03 pie (12 pulg/pie) +
(005 pulg2)[29.4(103) klb/pulg2]
20.00Tab = 44.11 + 20.03TAC
(3)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 3, obtenemos:
Tab = 2.60 klb
Tac = 0.400 klb
El esfuerzo en el alambre A B es entonces:
2.60 klb
0.05 pulg 2
= 52.0 klb/pulg 2
Este esfuerzo es mayor que el esfuerzo elástico máximo permisible
(a y = 50 klb/pulg2) por lo que el alambre A B se plastifica y soporta su
carga máxima de:
TAb ~ 50 klb/pulg 2 (0.05 pulg2) = 2.50 klb
Resp.
De la ecuación 1,
Tac = 0-500 klb
Resp.
Advierta que el alambre AC permanece elástico, ya que el esfuerzo
en el alambre aAC = 0.500 klb/0.05 pulg 2 = 10 klb/pulg 2 < 50 klb/pulg2.
La deformación unitaria elástica correspondiente se determina por pro­
porción, figura 4-306; esto es,
e AC
10 klb/pulg 2
0.0017
50 klb/pulg 2
eAC = 0.000340
El alargamiento de A C es entonces:
8ÁC = (0.000340)(20.03 pies) = 0.00681 pie
Resp.
Aplicando la ecuación 2, el alargamiento de A B es entonces:
8Ab = 0.03 pie + 0.00681 pie = 0.0368 pie
Resp.
•
171
172
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
E J E M P L O
La barra en la figura 4-31a está hecha de un acero con comportamien­
to elástico-perfectamente plástico con a Y = 250 MPa. Determine (a)
el valor máximo de la carga P que puede aplicársele sin que el acero
fluya y (b) el valor máximo de P que la barra puede soportar. Esboce
la distribución del esfuerzo en la sección crítica para cada caso.
Solución
Parte (a). Cuando el material se comporta elásticamente, debemos
usar un factor de concentración de esfuerzos, determ inado con ayuda
40 mm
- ■ - T.
.
_ .._ J
“o A
l
i
r
h
4 mm
= 0.125
(40 mm — 8 mm)
w
h
40 mm
= 1.25
(40 mm - 8 mm)
'
£ 4 mm
-> »
2 mm
La carga m áxima que no ocasiona fluencia, se presenta cuando
amix = ay. El esfuerzo normal promedio es a Y = P /A . Usando la ecua­
ción 4-7, tenemos:
(a)
áx
^ ^ p i'o m -
25Q(106) Pa = 1.75
(b)
PY
l
(c)
Fig. 4-31
Oy
(0.002 m)(0.032 m)
= 9.14 kN
Resp.
Esta carga se ha calculado usando la sección transversal más pequeña.
La distribución resultante del esfuerzo se muestra en la figura 4-316.
Por equilibrio, el “volumen” contenido dentro de esta distribución de­
be ser igual a 9.14 kN.
Parte (b). La carga máxima soportada por la barra requiere que todo
el material en la sección transversal más pequeña fluya. Por tanto, con­
forme P crece hacia la carga plástica Pp, se cambia gradualmente la dis­
tribución del esfuerzo del estado elástico mostrado en la figura 4-316
al estado plástico mostrado en la figura 4-31c. Se requiere:
ay =
250(106) Pa =
(0.002 m ) (0.032 m)
Pp = 16.0 kN
Resp.
Aquí, Pp es igual al “volumen" contenido dentro de la distribución del
esfuerzo, que en este caso es Pp = a YA.
S ección 4.9
*4.9
Esfuerzo residual
Si un miembro cargado axialmente o grupo de tales miembros forma un
sistema estáticamente indeterminado que puede soportar cargas tanto
de tensión como de compresión, entonces las cargas externas excesivas
que causan fluencia del material generarán esfuerzos residuales en los
miembros cuando dichas cargas sean retiradas. La razón para esto tiene
que ver con la recuperación elástica del m aterial, que ocurre durante la
descarga. Por ejemplo, consideremos un miembro prismático hecho de
un material elastoplástico que tenga el diagrama esfuerzo-deformación
O A B , como el mostrado en la figura 4-32. Si una carga axial produce un
esfuerzo sY en el material y una deformación unitaria plástica corres­
pondiente ec, entonces cuando la carga se retira, el material responderá
elásticamente y seguirá la línea CD para recuperar algo de la deforma­
ción plástica. Una recuperación total a esfuerzo cero en el punto O' se­
rá sólo posible si el miembro es estáticamente determinado, ya que las
reacciones de los soportes del miembro deben ser cero cuando se reti­
ra la carga. Bajo estas circunstancias, el miembro se deform ará perm a­
nentemente de modo que la deformación unitaria perm anente en el
miembro es eQ-. Sin embargo, si el miembro es estáticamente indetermi­
nado, retirar la carga externa ocasionará que las fuerzas en los soportes
respondan a la recuperación elástica CD. Como estas fuerzas impiden
que el miembro se recupere plenamente, inducirán esfuerzos residuales
en el miembro.
Para resolver un problem a de esta clase, el ciclo completo de carga y
descarga del miembro puede considerarse como la superposición de una
carga positiva (acción de carga) sobre una carga negativa (acción de
descarga). La acción de cargar, de O a C, conduce a una distribución plás­
tica del esfuerzo, mientras que la acción de descargar a lo largo de CD
conduce sólo a una distribución elástica del esfuerzo. La superposición
requiere que las cargas se cancelen; sin embargo, las distribuciones de es­
fuerzo no se cancelarán y, por tanto, quedarán presentes esfuerzos resi­
duales.
El siguiente ejemplo ilustra numéricamente estos conceptos.
o
Fig. 4-32
Esfuerzo residual
•
173
174
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
La barra m ostrada en la figura 4-33« tiene un radio de 5 mm y está
hecha de un material elástico-perfectamente plástico para el cual
<jy = 420 MPa y E = 70 GPa, figura 4-33¿>. Si se aplica una fuerza
P = 60 kN a la barra y luego se retira, determ ine el esfuerzo residual
en la barra y el desplazamiento perm anente del collarín en C.
S o lu c ió n
El diagrama de cuerpo libre de la barra se muestra en la figura 4-33b.
Por inspección, la barra es estáticamente indeterminada. La aplica­
ción de la carga P tendrá una de las tres siguientes consecuencias: que
ambos segmentos AC y CB permanezcan elásticos, que AC se plastifique mientras CB permanece elástico o que AC y CB se plastifiquen.*
Un análisis elástico, similar al visto en la sección 4.4, dará FA = 45 kN
y Fb = 15 kN en los soportes. Sin embargo, esto conduce a un esfuer­
zo de:
.. A
45 kN
C P= 60 kN
- H h r ------
aAC
= 573 MPa (compresión) > crY = 420 MPa
7r(0.005 m ) 2
300 mm-
100 mm
en el segmento AC, y
(a)
15 kN
& CB ~
7t(0.005 m)
= 191 MPa (tensión)
en el segmento CB. Como el material en el segmento A C fluirá, su­
pondremos que A C se plastifica mientras que CB permanece elástico.
Para este caso, la fuerza máxima posible generable en A C es:
A
C p = 60 kN
B
3 <>*►Fb
(Fa ) y = <rr A = 420(103) kN /m 2 [tt(0.005 m )2]
= 33.0 kN
(b)
y, por equilibrio de la barra, figura 4-33b,
Fig. 4-33
F b = 60 kN - 33.0 kN = 27.0 kN
El esfuerzo en cada segmento de la barra es por tanto:
a AC = a Y = 420 MPa (compresión)
27.0 kN
&CB ~
7r (0.005 m)
= 344 MPa (tensión) < 420 MPa (OK)
Esfuerzo residual Para obtener el esfuerzo residual, es necesario
también conocer la deformación unitaria en cada segmento debido
a la carga. Como CB responde elásticamente,
8r
—
Fb L cb
AE
(27.0 kN )(0.300 m)
tt(0.005 m )2 [70(106) kN /m 2
= 0.001474 m
S ección 4.9
Esfuerzo residual
•
175
Así,
e CB ~
8r
0.001474 m
L Cb
0.300 m
= +0.004913
También, como 8C es conocida, la deformación unitaria en AC es:
0.001474 m
eAC —
0.100 m
-A C
= -0.01474
Por tanto, cuando se aplica P, el comportamiento esfuerzo-deformación
unitaria para el material en el segmento CB se mueve de O a A ', figura
4-33c,y para el material en el segmento A C se mueve de O a B‘. Si se
aplica la carga P en sentido opuesto, en otras palabras, si se retira la car­
ga, ocurre entonces una respuesta elástica y fuerzas opuestas de FA =
45 kN y Fb = 15 kN deben aplicarse a cada segmento. Como se calculó
antes, esas fuerzas generan esfuerzos aAC = 573 MPa (tensión) y crCB =
191 MPa (compresión), y en consecuencia, el esfuerzo residual en ca­
da miembro es:
( a AC)r = -4 2 0 MPa + 573 MPa = 153 MPa
( o-C B ) r = 344 MPa - 191 MPa = 153 MPa
Resp.
Resp.
Este esfuerzo de tensión es el mismo para ambos segmentos, lo que
era de esperarse. Note también que el com portam iento esfuerzo-deformación unitaria para el segmento AC se mueve de B' a D' en la fi­
gura 4-33c. mientras que el comportamiento esfuerzo-deformación uni
= -0 .0 0 6 0
taria para el segmento CB se mueve de A ' a C .
e ._ = -0 .0 1 4 7 3 n
Desplazamiento permanente.
unitaria residual en CB es:
o-
70(109) Pa
420
344
* ^ \
1
-/l'T
/
^*cs=(0004911
De la figura 4-33c, la deformación
153(106) Pa
c(M Pa)
B'
-4 2 0
= 0.002185
(C)
por lo que el desplazamiento perm anente de C es
Se = e>CB^CB = 0.002185 (300 mm) = 0.656 mm<—
Resp.
Podemos también obtener este resultado determ inando la deforma­
ción unitaria residual e'AC en AC. figura 4-33c. Como la línea B'D' tie­
ne una pendiente E, entonces:
8a
(420 + 153)106 Pa
8eAC = — = ------------ s r -------- = 0.008185
E
70(10 ) Pa
Por tanto,
e' Ac = eAC + 8eAC = -0.01474 + 0.008185 = -0.006555
Finalmente,
8C = e’ac L ac = -0.006555 (100 mm) = 0.656 mm
Resp.
*La posibilidad de q u e C B se plastifique an tes q u e A C , no p u ed e o cu rrir ya que cu an ­
d o el p unto C se d efo rm a, la deform ación unitaria en A C (p o r ser éste m ás corto) siem ­
p re será m ayor qu e la deform ación u n itaria e n CB.
i
(m m / tn m )
176
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS
4-87. Determine el esfuerzo normal máximo desarrolla­
do en la barra cuando se halla sometida a una tensión de
P = 8 kN.
4-90. Determine la fuerza axial máxima P que puede apli­
carse a la barra. La barra está hecha de acero y tiene un
esfuerzo permisible de <xperm = 21 klb/pulg2.
*4-88. Si el esfuerzo normal permisible para la barra es
crperm = 1 2 0 MPa, determ ine la fuerza axial máxima P que
puede aplicarse a la barra.
4-91. Determine el esfuerzo máximo normal desarrolla­
do en la barra cuando ésta está som etida a una tensión
P = 2 klb.
0.125 pulg
1.875 pulg
1.25 pulg
r = 0.25 pulg
0.75 pulg
P robs. 4-87/88
P robs. 4-90/91
4-89. U na pieza está hecha de placa de acero de 0.25 pulg
de espesor. Si se taladra un orificio de 1 pulg a través de
su centro, determine el ancho aproxim ado w de la placa
de modo que pueda soportar una fuerza axial de 3350 Ib.
El esfuerzo permisible es <TpCrm = 22 klb/pulg2.
*4-92. U na placa de acero A-36 tiene un espesor de
12 mm. Si tiene filetes en B y C y
= 150 MPa, deter­
mine la carga axial máxima P que puede soportar. Calcu­
le su alargamiento despreciando el efecto de los filetes.
3350 Ib
Prob. 4-89
Prob. 4-92
P ro blem a s
4-93. E n la figura se muestra la distribución del esfuer­
zo resultante a lo largo de la sección A B de una barra. A
partir de esta distribución, determine la fuerza axial resul­
tante P aproximada aplicada a la barra. También, ¿cuál es
el factor de concentración de esfuerzos para esta geom e­
tría?
•
177
E n la figura se muestra la distribución del esfuer­
zo resultante a lo largo de la sección A B de la barra. A par­
tir de esta distribución, determine la fuerza axial resultan­
te P aproximada aplicada a la barra. Además, ¿cuál es el
factor de concentración de esfuerzos para esta geometría?
4-95.
0.5 pulg
10 nun
P ro b . 4-95
Prob. 4-93
El vastago de f 0 mm de diám etro de un perno de
acero tiene un casquillo de bronce adherido a él. El diá­
metro exterior de este casquillo es de 20 mm. Si el esfuer­
zo de fluencia del acero es (cry)ac = 640 MPa, y el del bron­
ce (o-y-)br = 520 MPa, determ ine la magnitud de la carga
más grande P que puede aplicarse al vastago. Suponga que
los m ateriales son elásticos y perfectam en te plásticos.
£ ac = 200 GPa, Ebr = 100 GPa.
*4-96.
4-94. Se muestra la distribución resultante de esfuerzo
sobre la sección A B de la barra. De esta distribución, de­
termine la fuerza P axial resultante aproximada aplicada
a la barra. También, ¿cuál es el factor de concentración de
esfuerzos para esta geometría?
P
Prob. 4-94
Prob. 4-96
178
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
4-97. El vástago de 10 mm de diámetro de un perno de
acero tiene un casquillo de bronce adherido a él. El diá­
m etro exterior de este casquillo es de 20 mm. Si el esfuer­
zo de fluencia del acero de (o>)ac = 640 MPa y el del bron­
ce (ov)br = 520 MPa, determine la magnitud de la carga
elástica P más grande que puede aplicarse al conjunto.
£ ac = 200 GPa, £ br = 100 GPa.
4-99. La barra tiene un área transversal de 1 pulg2. Si se
aplica en B una fuerza P = 45 klb y luego se retira, deter­
mine el esfuerzo residual en las secciones A B y BC. try =
30 klb/pulg2.
Prob. 4-99
Prob. 4-97
4-98. El peso está suspendido de alambres de acero y alu­
minio, cada uno con la misma longitud inicial de 3 m y área
transversal de 4 mm2. Si los materiales pueden suponerse
elásticos y perfectam ente plásticos, con (oy)ac = 120 MPa
y (°V)ai = 70 MPa. determine la fuerza en cada alambre
cuando el peso es (a) 600 N y (b) = 720 N. £ a! = 70 GPa,
£ ac = 200 GPa.
*4-100. Dos alam bres de acero, cada uno con un área
transversal de 2 mm2, están unidos a un anillo en C, y lue­
go se estiran y se amarran entre los dos soportes A y B. La
tensión inicial en los alambres es de 50 N. Si una fuerza ho­
rizontal P se aplica al anillo, determine la fuerza en cada
alambre si P = 20 N. ¿Cuál es la fuerza más pequeña que
debe aplicarse al anillo para reducir la fuerza en el alam ­
bre CB a cero? Considere o y = 300 MPa y £ ac = 200 GPa.
B
2
Prob. 4-98
m
3m
Proh. 4-100
P r o b le m a s
4-101. U na carga distribuida se aplica a una viga rígida,
la cual está soportada por tres barras com o se m uestra
en la figura. Cada barra tiene un área en su sección trans­
versal de 1.25 pulg2 y está hecha de un material que tiene
un diagrama esfuerzo-deformación unitaria que puede ser
aproximado por los dos segmentos de línea que se mues­
tran. Si se aplica a la viga una carga de iv = 25 klb/pie,
determine el esfuerzo en cada barra y el desplazamiento
vertical de la viga rígida.
•
179
4-103.
Una viga rígida está soportada por tres postes A,
B y C de igual longitud. Los postes A y C tienen un diá­
m etro de 75 mm y están hechos de aluminio, para el cual
£ ai = 70 G Pa y («v)ai = 20 MPa. El poste B tiene un diá­
m etro de 20 mm y está hecho de latón, para el cual E\Món =
100 GPa y (oy)latón = 590 MPa. D eterm ine la magnitud
más pequeña de P de modo que (a) sólo los postes A y C
fluyan y que (b) todos los postes fluyan.
4-102. Una carga distribuida es aplicada a una viga rígi­
da, 1e cual está soportada por tres barras, como se mues­
tra en la figura. Cada barra tiene un área transversal de
0.75 pulg2 y está hecha de un material que tiene un diagra­
ma de esfuerzo-deformación unitaria que puede represen­
tarse aproximadamente por los dos segmentos de línea que
se muestran. Determine la intensidad de la carga distribui­
da w necesaria para que la viga se desplace hacia abajo
1.5 pulg.
C
B
latón
al
[— 2 m —|— 2 m —j— 2 m —-j— 2 m —j
P ro b . 4-103
|-— 4 pies—+ —4 pies— j
*4-104. U na viga rígida está soportada por tres postes,
A , B y C. Los postes A y C tienen un diám etro de 60 mm
y están hechos de aluminio, para el cual Ea\ = 70 G Pa y
(°Y)ai = 20 MPa. El poste B está hecho de latón, para el
cual £ tal6n = 100 GPa y (oy))atón = 590 MPa. Si P = 130 kN,
determine el diám etro más grande del poste B de modo
que todos los postes fluyan al mismo tiempo.
<r(klb/pulg2)
P
r 1
B
Probs. 4-101/102
al
|— 2 m
latón
C
— 2 m —j— 2 m —j— 2 m - |
Prob. 4-104
180
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
4-105. Las tres barras que se muestran en la figura están
unidas entre sí por un pasador y bajo la acción de la carga
P. Si cada barra tiene un área A de sección transversal, una
longitud L, y está hecha de un material elástico perfecta­
mente plástico, para el cual el esfuerzo de fluencia es a>,
determine la carga más grande (carga última) que puede
ser soportada por las barras, es decir, la carga P que oca­
siona que todas las barras fluyan. Además, ¿cuál es el des­
plazamiento horizontal del punto A cuando la carga alcan­
za su valor último? El módulo de elasticidad es E.
Resuelva el problema 4-106 si el diagrama esfuer­
zo-deformación unitaria está definido por er = ce3'2.
4-107.
cr-
Prob. 4-107
P ro b . 4-105
*4-108. La barra con diám etro de 2 pulg está em potrada
en sus extremos y soporta la carga axial P. Si el material
es elástico y perfectam ente plástico como se muestra en
su diagrama esfuerzo-deformación unitaria, determ ine la
carga P más pequeña necesaria para que fluyan ambos seg­
mentos A C y CB. Determine el desplazamiento perm anen­
te del punto C cuando se retira la carga.
4-109. Determine el alargamiento en la barra del proble­
ma 4-108 cuando tanto la carga P como los soportes son
retirados.
4-106. Un material tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria que puede describirse por la curva cr — ce12.
D eterm ine la deflexión 5 del extremo de una barra hecha
de este material si la barra tiene una longitud L, un área
A en su sección transversal, y un peso específico y.
P
<í--
--------- 2 p ie s--------- -
Prob. 4-106
B
C
A
------3 p ie s —
Probs. 4-108/109
------ -
REPASO DEL CAPÍTULO
Cuando se aplica una carga en un punto de un cuerpo, ésta tien­
de a generar una distribución de esfuerzo dentro del cuerpo que
resulta más uniformemente distribuida en regiones alejadas del
punto de aplicación. A esto se le llama principio de Saint-Venant.
El desplazamiento relativo en el extremo de un miembro
axialmente cargado respecto al otro extremo se determ ina con
~LP (x) dx
------ — . Si una serie de fuerzas axiales externas constan8 =
J0
AE
tes sor aplicadas al miembro y A E es también constante, entonPL
ces 8 = 2 — —■En las aplicaciones es necesario usar una conven/\C j
ción de signos para la carga interna P y asegurarse que el mate­
rial no fluye, sino que permanece elástico lineal.
La superposición de carga y desplazamiento es posible siempre
que el material permanece elástico lineal y no ocurren cambios
significativos en la geometría.
Las reacciones en una barra estáticamente indeterminada pue­
den ser determ inadas usando las condiciones de equilibrio y com­
patibilidad que especifican el desplazamiento en los soportes.
Esos desplazamientos son relacionados con las cargas usando las
relaciones carga-desplazamiento, es decir, 8 = P L /A E .
Un cambio de tem peratura puede ocasionar que un miembro he­
cho de un material homogéneo isotrópico cambie su longitud en
8 = a \T L . Si el miembro está confinado, este alargamiento pro­
ducirá esfuerzos térmicos en el miembro.
Los agujeros y las transiciones bruscas en una sección transver­
sal genera concentraciones de esfuerzos. En el diseño, uno obtie­
ne el factor de concentración de esfuerzo K de una gráfica, que
ha sido determ inada de experimentos. Este valor se multiplica en­
tonces por el esfuerzo promedio para obtener el esfuerzo máxi­
mo en la sección transversal, crmáx = /Cfjprom.
Si la carga en una barra ocasiona que el material fluya, entonces
la distribución de esfuerzo que se produce puede ser determ ina­
da de la distribución de la deformación unitaria y del diagrama
esfuerzo-deformación unitaria. Para material perfectamente plás­
tico, la fluencia ocasionará que la distribución del esfuerzo en la
sección transversal de un agujero o de una transición se em pare­
je y resulte uniforme.
Si un miembro está restringido y una carga externa causa fluen­
cia, entonces cuando la carga es retirada, se tendrá un esfuerzo
residual en el material.
182
•
CAPÍTULO 4 Carga axial
PROBLEMAS
DE
REPASO
4-110. Ei remache de acero de 0.25 pulg de diámetro, el
cual se encuentra sometido a una tem peratura de 1500 °F
conecta dos placas de modo que a esta tem peratura tie­
ne 2 pulg de longitud y ejerce una fuerza de agarre de
250 Ib entre las placas. Determ ine la fuerza aproximada
de agarre entre las placas cuando el remache se enfría a
70 °F. Suponga en el cálculo que las cabezas del remache
y las placas son rígidas. Considere a ac = 8(10 6)/°F. £ ac =
29(103) klb/pulg2. ¿Es el resultado una estimación conser­
vadora de la respuesta correcta? ¿Por qué sí o por que no?
2 pulg
1
i !
Prob. 4-110
Prob. 4-112
4-113. Una fuerza P se aplica a una barra compuesta
de un material elástico y perfectam ente plástico. Cons­
truya una gráfica para mostrar como varía la fuerza en
cada sección A B y B C (ordenada) según aum enta P (abs­
cisa). La barra tiene áreas transversales de 1 pulg2 en la
región A B y de 4 pulg2 en región BC y a Y = 30 klb/pulg2.
Determine la fuerza P máxima axial que puede
aplicarse a la placa de acero. El esfuerzo permisible es
crperm = 21 klb/pulg2.
4-111.
Prob. 4-113
Prob. 4-111
Dos tubos de acero A-36, cada uno con un área
transversal de 0.32 pulg2. están atornillados entre sí usan­
do una unión en B como se muestra. Originalmente el
conjunto está ajustado de tal manera que no hay carga
sobre los tubos. Si la unión se aprieta de manera que su
tornillo, con avance de 0.15 pulg, experimenta dos vuel­
tas completas, determine el esfuerzo normal promedio
desarrollado en los tubos. Suponga que la unión en B y
los copies e n ^ y C son rígidos. Desprecie el tamaño de
la unión. Nota: el avance ocasiona que los tubos, descar­
gados, se acorten 0.15 pulg cuando la unión gira una vuel­
ta entera.
4-114. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diámetro
de 0.5 pulg y está ligeramente unida a los soportes rígi­
dos en A y B cuando T x — 70 °F. Si la tem peratura des­
ciende a T2 = —10 °F y se aplica una fuerza axial de P =
16 Ib al collarín rígido como se muestra, determine las
reacciones en A y B.
*4-112.
Prob. 4-114
P r o blem a s de repaso
4-115. La barra de aluminio 2014-T6 tiene un diámetro
de 0.5 pulg y está ligeramente unida a los soportes rígi­
dos en A y B cuando T¡ = 70°F. D eterm ine la fuerza P
que debe aplicarse al collarín para que, cuando T — 0 °F,
la reacción en B sea cero.
/i
•
183
4-118. La estructura consta de dos barras de acero A-36,
A C y BD. unidas a la viga rígida A B con peso de 100 Ib.
Determine la posición x para la carga de 300 Ib de modo
que la viga permanezca en posición horizontal antes y
después de aplicar la carga. Cada barra tiene un diáme­
tro de 0.5 pulg.
B
P ro b . 4-115
*4-116. El perno de acero tiene un diám etro de 7 mm
y está dentro de una camisa de aluminio como se mues­
tra. La camisa tiene un diám etro interior de 8 mm y un
diámetro exterior de 10 mm. La tuerca en A está ajusta­
da de manera que apenas apriete contra la camisa. Si la
tuerca se aprieta media vuelta, determine la fuerza en el per­
no y en la camisa. El tornillo de cuerda simple del perno
tiene un avance de 1.5 mm. Eac = 200 GPa y E a\ = 70
GPa. Ñola: el avance representa la distancia que la tuer­
ca avanza a lo largo del perno en una vuelta completa de
la tuerca.
4-117. El perno de acero tiene un diám etro de 7 mm y
está dentro de una camisa de aluminio como se muestra.
La camisa tiene un diámetro interior de 8 mm y un diá­
metro exterior de 10 mm. La tuerca en A está ajustada
de manera que apenas si aprieta contra la camisa. D eter­
mine la cantidad de vueltas que la tuerca en A debe gi­
rar para que la fuerza en el perno y en la camisa sea de
12 kN. El tornillo de cuerda simple en el perno tiene un
avance de 1.5 mm. Eac = 200 GPa, £ a! = 70 GPa. Nota:
el avance representa la distancia que la tuerca avanza a
lo largo del perno en una vuelta com pleta de la tuerca.
A
P ro b . 4-118
4-119. Una junta está hecha de tres placas de acero A-36
que están soldadas entre sí. Determ ine el desplazamien­
to del extrem o A con respecto al extremo B cuando la
junta está sometida a las cargas axiales que se indican.
Cada placa tiene un espesor de 5 mm.
10 0
100 mm
Probs. 4-116/117
Prob. 4-119
mm
CAPITULO
T o r s ió n
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
En este capítulo estudiaremos los efectos al aplicar una carga torsional a un miem­
bro recto y largo, por ejemplo, una flecha o un tubo. Inicialmente consideraremos
que el miembro tiene una sección transversal circular. Mostraremos cómo determi­
nar la distribución del esfuerzo dentro del miembro y el ángulo de torsión cuando
el material se comporta de manera elástico-lineal y también cuando el com porta­
miento es inelástico. Se verá el análisis de flechas y tubos estáticamente indeter­
minados. y temas especiales como el de los miembros con secciones transversales
no circulares. Finalmente, se dará una consideración particular a la concentración
de esfuerzos y a los esfuerzos residuales causados por cargas torsionales.
5.1 Deformaciones por torsión de una flecha circular
Un par de torsión es un momento que tiende a hacer girar a un miembro
con respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el
diseño de ejes o flechas de impulsión usadas en vehículos y en m aquina­
ria. Podemos ilustrar físicamente lo que sucede cuando un par de torsión
se aplica a una flecha circular considerando que la flecha está hecha de un
m aterial altam ente deformable tal como el hule, figura 5-la. Cuando se
aplica el par, los círculos y líneas de rejillas longitudinales originalmente
marcados sobre la flecha tienden a distorsionarse para formar el patrón
m ostrado en la figura 5-1 b. Por inspección, la torsión hace que los círculos
permanezcan como círculos y que cada línea de rejilla longitudinal se defor­
me convirtiéndose en una hélice que interseca a los círculos según ángu­
los iguales. También las secciones transversales en los extremos de la fle­
cha permanecen planas, esto es. no se alabean o comban hacia adentro ni
hacia afuera, y las líneas radiales en estos extrem os permanecen rectas
durante la deformación, figura 5-16. A partir de estas observaciones pode­
mos suponer que si el ángulo de rotación es pequeño, la longitud y el radio
de la flecha perm anecerán sin alteración.
186 • CAPÍTULO 5 Torsión
Antes de la deformación
(a)
Los círculos
permanecen
circulares
Las líneas
longitudinales
se vuelven hélices
Así pues, si la flecha está fija en un extremo como se muestra en la fi­
gura 5-2 y se aplica un par de torsión en su otro extremo, el plano som­
breado se distorsionará en una forma oblicua como se muestra. Aquí se
ve que una línea radial ubicada en la sección transversal a una distancia
x del extrem o fijo de la flecha girará un ángulo <f>(x). El ángulo 4>{x), así
definido, se llama ángulo de torsión. Depende de la posición de x y varia­
rá a lo largo de la flecha, como se muestra.
Para entender cómo esta distorsión deforma el material, aislaremos aho­
ra un elemento pequeño situado a una distancia radial p (rho) del eje de
la flecha, figura 5-3. Debido a la deformación, figura 5-2, las caras frontal
y posterior del elemento sufrirán una rotación. La que está en x gira 4>{x),
y la que está en x + Ax gira <¿>(x)+ A</>. Como resultado, la diferencia de
estas rotaciones, A(¿>, ocasiona que el elem ento quede sometido a una de­
formación unitaria cortante. Para calcular esta deformación unitaria, ob­
serve que antes de la deformación el ángulo entre los bordes A C y A B es
de 90°; sin embargo, después de la deformación, los bordes del elemento
son A D y AC y el ángulo entre ellos es 6'. De la definición de deform a­
ción unitaria cortante, ecuación 2-4, tenemos:
y = x2 —Clím
ff
— A n lo largo d e C A
B — A a lo targo d e t í A
Las líneas radiales
permanecen rectas
Después de la deformación
(b)
Fig. 5-1
Plano
deformado
Plano sin deformar
N o te la d e fo rm a c ió n del e le m e n to r e c ta n g u la r c u a n d o e s ta b a r ra d e h u le e s s o m e tid a a
u n p a r d e to rsió n .
El ángulo de torsión <¿(.v) se incrementa
conforme x aumenta,
Fig. 5-2
S ección 5.1
fimse
eia
así
:iahode
ital
M,
i de
cieob3 es
:nto
ma-
Deformaciones por torsión de una flecha circular •
187
Este ángulo,y. está indicado sobre el elemento. Puede relacionarse con la
longitud A.v del elemento y con la diferencia en el ángulo de rotación, A0,
entre las caras sombreadas. Si A.v -» dx y A<f>-> d<f>, tenemos entonces:
BD = pdcj) = dx y
Por tanto,
Plano
deformado
d<f)
y = pd¿
(5-D
Puesto que dx y d é son iguales para todos los elementos situados en pun­
tos dentro de la sección transversal en x, entonces d é /d x es constante y
la ecuación 5-1 establece que la magnitud de la deformación unitaria cor­
tante para cualquiera de estos elementos varía sólo con su distancia ra­
dial p desde el eje de la flecha. En otras palabras, la deformación unitaria
cortante dentro de la flecha varía linealmente a lo largo de cualquier lí­
nea radial, desde cero en el eje de la flecha hasta un máximo ymáx en su
periferia, figura 5-4. Como d<j>/dx = y/p = ymáx/c>entonces:
sin
deformar
Deformación unitaria cortante del elemento
y = ( 7 ) y.™
Los resultados obtenidos aquí son también válidos para tubos circu­
lares. Dependen sólo de las hipótesis con respecto a las deformaciones
mencionadas arriba.
Fig.S-3
La deformación unitaria
cortante del material crece
linealmente con p, o sea,
y = (p/cb-míx
Fig. 5-4
5.2
La fórmula de la torsión
Si una flecha está sometida a un par de torsión externo, entonces, por equi­
librio, debe también desarrollarse un par de torsión interno en la flecha.
En esta sección desarrollaremos una ecuación que relacione la distribu­
ción del esfuerzo cortante con el par de torsión interno resultante en la
sección de una flecha o de un tubo circular.
Si el material es elástico lineal, entonces es aplicable la ley de Hooke,
t = G y y, en consecuencia, una variación lineal de la deformación uni­
taria cortante, como dijimos en la sección anterior, conduce a una varia­
ción lineal en el esfuerzo cortante correspondiente a lo largo de cualquier
línea radial en la sección transversal. Por tanto, al igual que la variación
de la deformación unitaria cortante en una flecha sólida, r variará desde
cero en el eje longitudinal de la flecha hasta un valor máximo, Tm áx, en su
periferia. Esta variación se muestra en la figura 5-5 sobre las caras fron­
tales de un núm ero selecto de elementos situados en una posición radial
intermedia p y en el radio exterior c. Debido a la proporcionalidad de los
triángulos, o bien usando la ley de Hooke ( r = G y) y la ecuación 5-2
[y = (p/c)ymáJ , podemos escribir que:
(5-3)
Esta ecuación expresa la distribución del esfuerzo cortante como \xn&fu n ­
ción de la posición radial p del elemento; en otras palabras, define la dis­
tribución del esfuerzo en términos de la geometría de la flecha. Usándo­
la, aplicarem os ahora la condición que requiere que el par de torsión
producido por la distribución del esfuerzo sobre toda la sección transver­
sal sea equivalente al par de torsión interno T en la sección, lo cual m an­
tiene a la flecha en equilibrio, figura 5-5. Específicamente, cada elemento
El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo
de toda línea radial de la sección transversal
S ección 5.2
de área dA, situado en p, está sometido a una fuerza dF = r d A . El par de
torsión producido por esta fuerza es d T = p (r d A ). Por tanto, para la sec­
ción transversal entera:
r - |
= j^ (f
Tmáx
(5-4)
Puesto que rm¿x/c es constante,
La integral en esta ecuación depende sólo de la geometría de la flecha.
Representa el momento polar de inercia del área de la sección transversal
de la flecha calculado con respecto al eje longitudinal de la flecha. Sim­
bolizaremos este valor como J, y por tanto la ecuación anterior puede es­
cribirse en la forma más compacta,
(5-6)
donde,
Tmáx = esfuerzo cortante máximo en la flecha, el cual ocurre en la super­
ficie exterior
T = par de torsión interno resultante que actúa en la sección transver­
sal. Este valor se determ ina por el método de secciones y la ecua­
ción de equilibrio de momentos con respecto al eje longitudinal de
la flecha.
J = momento polar de inercia del área de la sección transversal
c — radio exterior de la flecha
Usando las ecuaciones 5-3 y 5-6, el esfuerzo cortante en la distancia in­
term edia p puede ser determ inado a partir de una ecuación similar:
(5-7)
Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores suele llamarse fórm ula de
la torsión. Recordemos que se usa solamente cuando la flecha es circular
y el material es homogéneo y se comporta de manera elástico-lineal, pues­
to que su obtención esta basada en el hecho de que el esfuerzo cortante
es proporcional a la deformación unitaria cortante.
La fórmula de la torsión
• 189
190 • CAPITULO 5 Torsión
Flecha sólida. Si la flecha tiene una sección transversal circular sólida,
el m omento polar de inercia J puede determinarse usando un elemento
de área en forma de anillo diferencial o corona circular que tenga un es­
pesor dp y una circunferencia 2-n-p, figura 5-6. Para este anillo, dA = 2-rrp
dp, de modo que:
a
f C„3=A ~2rr\
~ , J 1^4
= j C~2/o---P \2 ttp dp)
p- dp = 277*1 - jp
Jo
Jo
'
■
(5-8)
Advierta que ./ es una propiedad geométrica del área circular y es siem­
pre positiva. Las unidades comunes usadas para ella son mm 4 o pulg4.
Hemos mostrado que el esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo
de toda línea radial de la sección transversal de la flecha. Sin embargo, si
un elem ento de volumen de material sobre la sección transversal es ais­
lado, entonces debido a la propiedad complementaria del cortante, esfuer­
zos cortantes iguales deben también actuar sobre cuatro de sus caras ad­
yacentes como se muestra en la figura 5-7a. Por consiguiente, no sólo el
par interno de torsión T desarrolla una distribución lineal del esfuerzo
cortante a lo largo de toda línea radial en el plano de la sección trans­
versal, sino también una distribución asociada del esfuerzo cortante a
lo largo de un plano axial, figura 5-7b. Es interesante observar que, a cau­
sa de esta distribución axial de esfuerzo cortante, las flechas hechas de
m adera tienden a rajarse a lo largo del plano axial cuando se las somete
a un par de torsión excesivo, figura 5-8. Esto sucede debido a que la ma­
dera es un material anisotrópico. Su resistencia al corte paralelo a sus fi­
bras o granos, dirigida a lo largo del eje de la flecha, es mucho m enor que
su resistencia perpendicular a las fibras, dirigida en el plano de la sección
transversal.
El esfuerzo corlante varía linealmente a lo largo
de toda línea radial de la sección transversal,
(b)
Falla de una flecha de madera por torsión.
Fig. 5-7
Fig. 5-8
S ección 5.2
da.
nto
eslirp
La fórmula de la torsión
• 191
Flecha tubular. Si una flecha tiene una sección transversal tubular, con
un radio interior c, y un radio exterior c0. entonces, según la ecuación 5-8,
podremos determ inar su m omento polar de inercia restando J para una
flecha de radio c, del calculado para una flecha de radio c„. El resultado
es:
7r
J = y té - 4)
(5-9)
em4
Al igual que en la flecha sólida, el esfuerzo cortante distribuido en el área
de la sección transversal del tubo varía linealmente a lo largo de cualquier
,,
j • i ren
ai
i r »' i i
linea radial, figura
5-9a. Ademas, el esfuerzo cortante varia a lo largo
... oa una sobrecarga lo que condujo ao una
,,„o
°
° de tida
un plano axial de igual manera, figura 5-9/). En la figura 5-9a se muestran fal)a caUsada por fluencia del material,
ejemplos del esfuerzo cortante actuando sobre elementos de volumen tí­
picos.
irgo
;o, si
aisúer>ad­
ío el
erzo
ansite a
cauis de
mete
i ma­
us firque
xión
Esfuerzo torsional máximo absoluto. En cualquier sección trans­
versal dada de la flecha, el esfuerzo cortante máximo se presenta en la su­
perficie exterior. Sin embargo, si la flecha está sometida a una serie de pa­
res externos o el radio (m om ento polar de inercia) varía, el esfuerzo
torsional máximo en la flecha podría entonces ser diferente de una sec­
ción a la siguiente. Si se va a determ inar el esfuerzo torsional máximo ab­
soluto, resulta im portante encontrar la posición en que la razón Tc/J es
máxima. Para esto puede ser de ayuda m ostrar la variación del par inter­
no T en cada sección a lo largo del eje de la flecha por medio de un dia­
grama de m omento torsionante. Específicamente, este diagrama es una
grafica del par interno T versus su posición x a lo largo de la longitud de la
flecha. De acuerdo con una convención de signos, T será positivo si de
acuerdo con la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido hacia afue­
ra de la flecha cuando los dedos se curvan en la dirección del giro causa­
do por el par, figura 5-5. Una vez que se ha determ inado el par interno en
toda la flecha, puede identificarse entonces la razón máxima Tc/J.
5-8)
(a)
El esfuerzo cortante varía linealmente a lo largo
de toda línea radial de la sección transversal,
(b)
Fig. 5-9
a
192 • CAPITULO 5 Torsión
PUNTOS IMPORTANTES
• Cuando una flecha con sección transversal circular está sometida
a un par de torsión, la sección transversal permanece plana mien­
tras que las líneas radiales giran. Esto ocasiona una deformación
unitaria cortante dentro del material que varía linealmente a lo
largo de cualquier línea radial, de cero en el eje de la flecha a un
máximo en su borde exterior.
E J
La d
largt
min<
• Para un material homogéneo elástico lineal, debido a la ley de
Hooke, el esfuerzo cortante a lo largo de cualquier línea radial
de la flecha también varía linealmente, de cero en su eje a un má­
ximo en su borde exterior. Este esfuerzo cortante máximo no de­
be exceder el límite proporcional.
• Debido a la propiedad complementaria del cortante, la distribu­
ción lineal del esfuerzo cortante dentro del plano de la sección
transversal está también distribuido a lo largo de un plano axial
adyacente de la flecha.
• La fórmula de la torsión se basa en el requisito de que el par re­
sultante sobre la sección transversal es igual al par producido por
la distribución lineal del esfuerzo cortante respecto al eje longi­
tudinal de la flecha. Es necesario que la flecha o tubo tenga una
sección transversal circular y que esté hecho de material hom o­
géneo con comportamiento elástico lineal.
Solm
El m
Aplk
tenei
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
La fórmula de la torsión puede aplicarse usando el siguiente procedimiento.
S o Ilh
Carga interna.
• Seccione la flecha perpendicularm ente a su eje en el punto en que el esfuerzo cortante debe determ inar­
se y use el diagrama de cuerpo libre necesario y las ecuaciones de equilibrio para obtener el par interno
en la sección.
El mi
sión i
dal i
mejaa
Propiedades de la sección.
• Calcule el momento polar de inercia de la sección transversal. Para una sección sólida de radio c , J — 7tc4 / 2
y para un tubo de radio exterior c„ y radio interior c¡, J = ir(cl - cf)/2.
Esfuerzo cortante.
• Especifique la distancia radial p medida desde el centro de la sección transversal al punto en que se va
a calcular el esfuerzo cortante. Aplique luego la formula de la torsión t = Tp/J, o si el esfuerzo cortante
máximo se va a determinar usando Tm áx = Tc/J. Al sustituir los datos numéricos, asegúrese de usar un
conjunto consistente de unidades.
• El esfuerzo cortante actúa sobre la sección transversal en un sentido siempre perpendicular a p. La fuer­
za que genera debe contribuir a formar el par de torsión respecto al eje de la flecha que tiene el mismo
sentido que el par resultante interno T que actúa sobre la sección. Una vez establecido este sentido, pue­
de aislarse un elemento de volumen del material, localizado donde se determina r, y pueden entonces
mostrarse sobre las tres caras restantes del elemento el sentido en que actúa r.
Este
renci
re s j
Para
S ección 5.2
E J E M P L O
--------------------
La distribución del esfuerzo en una flecha sólida ha sido graficaaa a lo
largo de tres líneas radiales como se muestra en la figura 5-10«. D eter­
mine el momento de torsión interno resultante en la sección.
Fig. 5-10
Solución 1
El momento polar de inercia de la sección transversal es:
/ = | ( 2 pulg ) 4 = 25.13 pulg 4
Aplicando la fórmula de la torsión con rmáx =
tenemos:
Te
r máx = — ;
/
8
klb/pulg2, figura 5-10«,
7X2 pulg)
klb/pulg - = —— —
'
(25.13 pulg4)
T = 101 klb • pulg
8
Resp.
Solución II
El mismo resultado puede obtenerse encontrando el mom ento de tor­
sión producido por la distribución del esfuerzo respecto al eje centroidal de la flecha. Primero debemos expresar r = /(p ). Por triángulos se­
mejantes, tenemos:
r _
p
8
klb/pulg 2
2 pulg
r = 4p
Este esfuerzo actúa en todas las porciones del elem ento anular dife­
rencial que tiene un área dA = Irrp clp. Como la fuerza generada por
Tes dF = tcíA , el momento de torsión es:
d T - p dF - p ( r d A ) = p (4 p )2 ? rp dp =
8
-«p3 dp
Para el área entera en que actúa r, se requiere:
T =
2
8
í\
Trp3 dp = Sot —p‘
2
= 101 klb • pulg
o
Resp.
La fórmula de la torsión
• 193
19 4
•
CAPÍTULO 5
Torsión
E J E M P L O
La flecha sólida de radio c está sometida al momento de torsión T, fi­
gura 5-1 la. Determ ine la fracción de T que resiste el material conteni­
do dentro de la región exterior de la flecha, que tiene un radio interior
de c / 2 y radio exterior c.
Solución
El esfuerzo en la flecha varía linealmente, de modo que r = (p/c)rmáx,
ecuación 5-3. Por tanto, el momento de torsión d T ' sobre el área anu­
lar localizada en la región de sombreado ligero, figura 5-1 Ib, es:
d T = p ( r d A ) = p (p /c )rmáx(27rp dp)
Para toda el área de sombreado ligero, el momento de torsión es:
(a)
r
=
27rrm!íx
L
dp
f „
c/2
2
'n"rmáx 1 4
c
4P
C
c/2
Es decir,
15-7T
^máx^
~ ~yi
(1)
Este mom ento de torsión T ' puede expresarse en términos del mo­
mento de torsión aplicado T usando prim ero la fórmula de la torsión
para determ inar el esfuerzo máximo en la flecha. Tenemos:
Fig. 5-11
^*máx
Te
Te
( tt/ 2 ) c 4
2T
Tmáx
7TC
Sustituyendo este valor en la ecuación 1 obtenemos:
r ' =
ir
Resp.
Aproximadamente el 94% del momento torsionante es resistido aquí
por la región de sombreado más claro y el restante 6 % de T (o -¡^) es
resistido por el “núcleo” interior de la flecha, p = 0 a p = c/2. En con­
secuencia, el material localizado en la región exterior de la flecha es al­
tam ente efectivo para resistir el momento de torsión, lo que justifica el
uso de flechas tubulares como un medio eficiente para transmitir mo­
mentos con el consiguiente ahorro de material.
S ección 5.2
E J E M P L O
La fórmula d e la torsión
• 195
5.3
La flecha mostrada en la figura 5-12« está soportada por dos cojinetes
y está sometida a tres pares de torsión. Determ ine el esfuerzo cortan­
te desarrollado en los puntos A y B. localizados en la sección a-a de la
flecha, figura 5-126.
42.5 klb pulg
42.5 klb-pulg
Fig. 5-12
Solución
Par de torsión interno. Las reacciones en los cojinetes de la flecha son
cero, siempre que se desprecie el peso de ésta. Además, los pares apli­
cados satisfacen el equilibrio por momento respecto al eje de la flecha.
El par de torsión interno en la sección a-a lo determinamos con ayu­
da del diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo, figura 5-126.
Tenemos,
SM.V= 0; 42.5 klb- pulg - 30 klb • pulg - 7
= 0
T - 12.5 klb • pulg
Propiedades de la sección. El m om ento polar de inercia de la
cha es:
j = y (0.75 pulg ) 4 = 0.497 pulg 4
Esfuerzo cortante.
t
k lb /p u lg -
Como el punto A está en p = c - 0.75 pulg,
Te
(12.5 klb-pulg)(0.75 pulg)
1 0 rtllL ,
= — = -------------------------A---------- = 18.9 klb/pulgA
J
(0.497 pulg4)
F 6
a
3.77 k lb /p u lg
Igualmente, para el punto B , en p = 0.15 pulg, tenemos:
Tp
J
(12.5 klb • pulg)(0.l5 pulg)
(0.497 pulg 4
= 3.77 klb/pulg 2
0.75 pulg
Resp.
Las direcciones de esos esfuerzos sobre cada elemento e n A y B . figu­
ra 5-l2c,se determinan con base en la dirección del par resultante inter­
no T mostrado en la figura 5-126. Observe cuidadosamente cómo actúa
el esfuerzo cortante sobre los planos de cada uno de esos elementos.
(C)
196 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
El
5.3
El tubo mostrado en la figura 5-13« tiene un diámetro interior de 80 mm
y un diám etro exterior de 100 mm. Si su extremo se aprieta contra el
soporte en A usando una llave de torsión en B, determ ine el esfuerzo
cortante desarrollado en el material en las paredes interna y externa a
lo largo de la porción central del tubo cuando se aplican las fuerzas de
80 N a la llave.
smd
1
Solución
Par de torsión interno. Se tom a una sección en una posición C inter­
media a lo largo del eje del tubo, figura 5-136. La única incógnita en la
sección es el par de torsión interno T. El equilibrio por fuerza y mo­
mento respecto a los ejes x y z se satisface. Se requiere:
2 M y = 0;
80 N(0.3 m) + 80 N(0.2 m) - T = 0
T = 40 N • m
Propiedades de la sección. El momento polar de inercia de la sec­
ción transversal del tubo es:
J = y [(0.05 m ) 4 - (0.04 m)4] = 5.80(10"6) m 4
Esfuerzo cortante. Para cualquier punto sobre la superficie exterior
del tubo, p = ca = 0.05 m, tenemos
t0
0
—
Tc„
40 N -m (0 .0 5 m )
= ------------ ^ ---- j 1 = 0.345 MPa
J
5.80(10"6) m4
Resp.
Para cualquier punto sobre la superficie interior, p = c¡ = 0.04 m, por
lo que:
Tc¡
40 N • m(0.04 m)
5.80(10-6) m‘
(C )
Fig. 5-11
= 0.276 MPa
Resp.
Para m ostrar cómo esos esfuerzos actúan en puntos representativos
D y E de la sección transversal, veremos prim ero la sección transver­
sal desde el frente del segmento CA del tubo, figura 5-13«. Sobre esta
sección, figura 5-13c, el par de torsión interno resultante es igual pero
opuesto al mostrado en la figura 5-136. Los esfuerzos cortantes en D y
E contribuyen a generar este par y actúan por tanto sobre las caras
sombreadas de los elementos en las direcciones mostradas. En conse­
cuencia advierta cómo las componentes del esfuerzo cortante actúan
sobre las otras tres caras. Además, como la cara superior de D y la ca­
ra inferior de E están sobre regiones libres de esfuerzo, es decir, sobre
las paredes exterior e interior del tubo, no puede existir ningún esfuer­
zo cortante sobre esas caras o sobre las otras caras correspondientes
del elemento.
P -taí
l i 70
S ección 5.3 Transmisión de potencia
5.3
• 197
Transmisión de potencia
Las flechas y los tubos que tienen secciones transversales circulares se
usan a menudo para transm itir la potencia desarrollada por una máqui­
na. Cuando se usan para este fin, quedan sometidos a pares de torsión que
dependen de la potencia generada por la máquina y de la velocidad an­
gular de la flecha. La potencia se define como el trabajo efectuado por
unidad de tiempo. El trabajo transm itido por una flecha en rotación es
igual al par de torsión aplicado por el ángulo de rotación. Por tanto,si du­
rante un instante de tiempo dt un par de torsión aplicado T ocasiona que
la flecha gire un ángulo dd, entonces la potencia instantánea es:
dt
Puesto que la velocidad angular esw = d6/dt, podemos también expresar
la potencia como:
' P = T ío
(5-10)
En el sistema SI, la potencia se expresa en watts cuando el par de tor­
sión se mide en newton-metro (N • m) y w se expresa en radianes por se­
gundo (rad/s) (1 W = 1 N* m /s). En el sistema pie-libra-segundo o siste­
ma FPS, las unidades básicas de la potencia son pie-libra por segundo
(pie • lb/s); sin embargo, en la práctica se usa más a menudo el caballo de
potencia (hp), en donde:
1 hp = 550 pies • libra/s
Para Ja maquinaria, a m enudo se reporta la frecuencia,f de rotación de
la flecha. Ésta es una medida del número de revoluciones o ciclos de la
flecha por segundo y se expresa en hertz (1 Hz = 1 ciclo/s). Puesto que
1 ciclo = 27r rad, entonces a> = 2rrf y la ecuación anterior para la poten­
cia resulta
P = 2tr fT
(5-11)
Diseño de una flecha. Cuando la potencia transmitida por una flecha
y su frecuencia se conocen, el par de torsión desarrollado en la flecha pue­
de determinarse con la ecuación 5-11, esto es, T = P /ltrf. Conociendo T
y el esfuerzo cortante permisible para el material, rperm, podemos deter­
m inar el tam año de la sección transversal de la flecha usando la fórmula
de la torsión, siempre que el com portamiento del material sea elástico-li­
neal. Específicamente, el parám etro geométrico o de diseño J¡c es:
L _
C
T
Tperm
( 5 -1 2 )
Para una flecha sólida,J = ( it/2) c4, y entonces, al sustituir, puede deter­
minarse un valor único para el radio c de la flecha. Si la flecha es tubular,
de modo que / = ( tt/2)(Co ~ c f),e 1 diseño permite una amplia variedad de
posibilidades para la solución: puede hacerse una selección arbitraria, ya
sea para c0 o para c¡, y el otro radio se determ ina con la ecuación 5-12.
La flecha impulsora de esta máquina corta­
dora debe ser diseñada para satisfacer los re­
quisitos de potencia de su motor.
198 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
5.5
La flecha sólida A B de acero mostrada en la figura 5-14 va a usarse pa­
ra transm itir 5 hp del m otor M al que está unida. Si la flecha gira a
u) = 175 rpm y el acero tiene un esfuerzo perm isible de Tperm =
14.5 klb/pulg2, determine el diámetro requerido para la flecha al ~ pulg
más cercano.
Fig. 5-14
Solución
El par de torsión sobre la flecha se determ ina con la ecuación 5-10, es
decir. P = Tco. Si expresamos P en pies-libras por segundo y w en ra­
dianes/segundo, tenemos
/ 550 pies • Ib/s \
j = 2750 pies • lb/s
P « 5 h p ^ ----- lh p
w
175 rev / 2ir rad V 1 min \
~ Vi 1—
min
rev A 60 s J
,„
.
= 1833 rad/s
Así,
P = 7w;
2750 pies • lb/s = 7(18.33 rad/s)
T = 150.1 pies • Ib
Si aplicamos la ecuación 5-12, obtenemos:
2T
C =
\
7 _ 7t c^ = T
C
2 c
Tnerm
1/í3
/2(150.1 pies • lb)(12 pulg/pie)V / 3
7r(14 500 lb/pulg2)
c = 0.429 pulg
Como 2c = 0.858 pulg, seleccionamos una flecha con diámetro de
7
d = -g pulg = 0.875 pulg
Resp.
Pro blem a s
•
199
E J E M P L O
U na flecha tubular con diámetro interior de 30 mm y un diámetro ex­
terior de 42 mm. va a usarse para transm itir 90 kW de potencia. D eter­
mine la frecuencia de rotación de la flecha para que el esfuerzo cortan­
te no pase de 50 MPa.
Solución
El momento de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha se de­
termina con la fórmula de la torsión.
= —
^máx —
j
50(10 ) N /m =
r(0.021 m)
vtt/2)[(0.021 m ) 4 - (0.015 m )4]
T = 538 N • m
Aplicando la ecuación 5-11, la frecuencia de rotación es:
P = 2ttf T
90(103) N • m /s = 2tt/(538 N • m)
/ = 26.6 Hz
Resp.
PROBLEMAS
Un tubo está sometido a un par de torsión de
600 M-m. Determine la porción de este par que es resistida
por la sección sombreada. Resuelva el problema de dos ma­
neras: (a) usando la fórmula de la torsión: (b) determinan­
do la resultante de la distribución del esfuerzo cortante.
5-1.
P ro b s. 5-2/3
600
P ro b . 5-1
Una flecha sólida de radio r está sometida a un par
de torsión T. Determine el radio r' del núcleo de la flecha
que resista una mitad del par aplicado (772). Resuelva el
problema de dos modos: (a) usando la fórmula de la tor­
sión: (b) determinando la resultante de la distribución del
esfuerzo cortante.
*5-4. El tubo de cobre tiene un diámetro exterior de
40 mm y un diámetro interior de 37 mm. Si está firmemen­
te afianzado a la pared en A y se le aplican tres pares de
torsión como se muestra en la figura, determine el esfuer­
zo cortante máximo desarrollado en el tubo.
5-2.
Una flecha sólida de radio r está sometida a un par
de torsión T. Determine el radio r’ del núcleo de la flecha
que resista una cuarta parte del par de torsión aplicado
(774). Resuelva el problema de dos modos: (a) usando la
fórmula de la torsión: (b) determinando la resultante de
la distribución del esfuerzo cortante.
5-3.
SO.N-m
Prob. 5-4
200 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-5. Un tubo de cobre tiene un diám etro ex terio r de
2.50 pulgy un diámetro interior de 2.30 pulg. Si está firme­
m ente afianzado a la pared en C y se le aplican tres pares
de torsión como se muestra en la figura, determ ine el es­
fuerzo cortante desarrollado en los puntos A y B. Estos
puntos están situados sobre los elementos de volumen lo­
calizados en A y en B.
5-9. U n conjunto consiste en dos secciones de tubo de
acero galvanizado conectadas entre sí por medio de un co­
pie reductor situado en B. El tubo más pequeño tiene un
diám etro exterior de 0.75 pulg y un diám etro interior de
0.68 pulg, mientras que el tubo más grande tiene un diá­
m etro exterior de 1 pulg y un diám etro interior de 0.86
pulg. Si el tubo está fijo a la pared en C, determ ine el es­
fuerzo cortante máximo desarrollado en cada sección del
tubo cuando el par mostrado se aplica a las em puñaduras
de la llave.
600 lb-pies
P ro b . S-S
5-6. Una flecha sólida de 1.25 pulg de diám etro se usa
para transmitir los pares de torsión aplicados a los engra­
nes como se m uestra en la figura. Si está soportada por
cojinetes lisos en A y B, los cuales no resisten ningún par,
determine el esfuerzo cortante desarrollado en los puntos
C y D de la flecha. Indique el esfuerzo cortante sobre los
elementos de volumen localizados en estos puntos.
5-7. La flecha tiene un diám etro exterior de 1.25 pulg y
un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares apli­
cados como se m uestra, determ ine el esfuerzo cortante
máximo absoluto desarrollado en la flecha. Los cojinetes
lisos en A y B no resisten pares.
P rob. 5-9
*5-8. La flecha tiene un diám etro exterior de 1.25 pulg y
un diámetro interior de 1 pulg. Si se somete a los pares apli­
cados como se muestra, trace la distribución del esfuerzo
cortante que actúa a lo largo de una línea radial en la re­
gión EA de la flecha. Los cojinetes lisos en A y B no resis­
ten pares.
5-10. El eslabón funciona como parte del control de ele­
vación de un pequeño avión. Si el tubo de aluminio unido
al eslabón tiene un diám etro interno de 25 mm y un espe­
sor de 5 mm, determ ine el esfuerzo cortante máximo en el
tubo cuando se aplica la fuerza de 600 N a los cables. E s­
boce la distribución del esfuerzo cortante sobre toda la sec­
ción.
Probs. 5-6/7/8
Prob. 5-10
Pro blem a s
5-11. La flecha consiste en tres tubos concéntricos, cada
uno hecho del mismo material y con los radios interno y
externo m ostrados. Si se aplica un par de torsión T =
800 N • m al disco rígido fijo en su extremo, determ ine el
esfuerzo cortante máximo en la flecha.
T= 800 N-m
•
201
5-14. La flecha sólida tiene un diám etro de 0.75 pulg. Si
está sometida a los pares mostrados, determ ine el esfuer­
zo cortante máximo generado en las regiones B C y D E de
la flecha. Los cojinetes en A y F permiten la rotación libre
de la flecha.
5-15. La flecha sólida tiene un diám etro de 0.75 pulg. Si
está sometida a los pares mostrados, determ ine el esfuer­
zo cortante máximo generado en las regiones CD y E F de
la flecha. Los cojinetes en A y F perm iten la rotación libre
de la flecha.
r¡ = 32 mm
r0 = 38 mm
Prob. 5-11
*5-12. La flecha sólida está em potrada en C y está some­
tida a los pares de torsión m ostrados. D eterm ine el es­
fuerzo cortante en los puntos A y B e indique el esfuerzo
cortante sobre elementos de volumen localizados en esos
puntos.
Probs. 5-14/15
*5-16. La flecha de acero tiene un diám etro de 1 pulg y
se atornilla a la pared por medio de una llave. Determ ine
el par de fuerzas F más grande que puede aplicarse a la
flecha sin que el acero fluya. ty = 8 klb/pulg2.
5-17. La flecha de acero tiene un diám etro de 1 pulg y se
atornilla a la pared por medio de una llave. D eterm ine el
esfuerzo cortante máximo en la flecha cuando las fuerzas
del par tienen una magnitud F = 30 Ib.
Prob. 5-12
5-13. Un tubo de acero con diám etro exterior de 2.5 pulg
se usa para transmitir 350 hp de potencia al girar a 27 rpm.
Determine el diámetro interior d del tubo al j pulg más cer­
cano si el esfuerzo cortante perm isible es rperm =
10 klb/pulg2.
TF
P rohs. 5-16/17
202 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-18. U na flecha de acero está sometida a las cargas de
torsión que se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer­
zo cortante desarrollado en los puntos A y B y trace el es­
fuerzo cortante sobre elementos de volumen situados en
estos puntos. La flecha tiene un radio exterior de 60 mm
en la sección donde A y B están localizados.
5-19. U na flecha de acero está sometida a las cargas de
torsión que se muestran en la figura. D eterm ine el esfuer­
zo cortante máximo absoluto en la flecha y trace la distri­
bución del esfuerzo cortante a lo largo de una línea radial
donde tal esfuerzo es máximo.
Prob. 5-22
5-23. Las flechas de acero están conectadas entre sí por
medio de un filete soldado como se muestra. Determ ine
el esfuerzo cortante promedio en la soldadura a lo largo
de la sección a-a si el par de torsión aplicado a las flechas
es T = 60 N • m. Nota: la sección crítica donde la soldadu­
ra falla es a lo largo de la sección a-a.
5 kN m
P ro b s. 5-18/19
*■5-20. Las flechas de acero de 20 mm de diámetro que
se muestran en la figura están conectadas entre sí por me­
dio de un copie de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del ace­
ro es (rY)ac = 100 MPa y el del bronce es ( T y ) br = 250 MPa,
determine el diámetro exterior d requerido del copie para
que el acero y el bronce empiecen a fluir al mismo tiempo
cuando el conjunto está sometido a un par de torsión T. Su­
ponga que el copie tiene un diámetro interior de 20 mm.
5-21. Las flechas de acero de 20 mm de diám etro que se
muestran en la figura están conectadas entre sí por medio
de un copie de bronce. Si el esfuerzo de fluencia del acero
es (Ty)ac = 100 MPa, determ ine el par de torsión T nece­
sario para que e¡ acero fluya. Si d = 40 mm, determ ine el
esfuerzo cortante máximo en el bronce. El copie tiene un
diám etro interior de 20 mm.
P ro b . 5-23
*5-24. La barra tiene un diám etro de 0.5 pulg y un peso
de 5 lb/pie. Determine el esfuerzo máximo de torsión en
la barra en una sección situada en A debido al peso de la
barra.
5-25. Resuelva el problem a 5-24 para el esfuerzo de tor­
sión máximo en B.
mm
P robs. 5-20/21
5-22. El copie se usa para conectar las dos flechas entre
sí. Suponiendo que el esfuerzo cortante en los pernos es
uniforme, determine el núm ero de pernos necesarios pa­
ra que el esfuerzo cortante máximo en la flecha sea igual
al esfuerzo cortante en los pernos. Cada perno tiene un
diám etro d.
P ro b s. 5-24/25
Pro blem a s
■ 5-26. Considere el problem a general de una flecha cir­
cular hecha de m segmentos cada uno de radio c,„. Si se
tienen« pares de torsión sobre la flecha como se muestra,
escriba un programa de com putadora que sirva para de­
terminar el esfuerzo cortante máximo en cualquier posi­
ción x especificada a lo largo de la flecha. Aplíquelo para
los siguientes valores: L\ = 2 pies, = 2 pulg, L 2 = 4 pies,
c2 = 1 pulg, T\ = 800 Ib • pie. d\ = 0,T2= -6 0 0 Ib • pie, d2 =
5 pies.
•
203
La flecha tiene un diám etro de 80 mm y debido a
la fricción en su superficie dentro del agujero, queda so­
metido a un par de torsión variable dado por la función
/ = [25.re-v2)]N • m/m, donde .v está en metros. Determine
el par de torsión mínimo TQnecesario para vencer la fric­
ción y que la flecha pueda girar. También determ ine el es­
fuerzo máximo absoluto en la flecha.
■ 5-29.
(25.x- e x") N-m/m
Prob. 5-26
La flecha está som etida a un par de torsión dis­
tribuido a lo largo de su longitud con m agnitud t =
(10x2)N -m /m , donde .v está en metros. Si el esfuerzo má­
ximo en la flecha debe perm anecer constante con valor de
80 MPa, determ ine la variación requerida para el radio c
de la flecha para 0 £ x ^ 3 m.
5-27.
x
Prob. 5-29
La flecha sólida tiene un ahusamiento lineal que va
de rA en un extremo a rB en el otro. Obtenga una ecuación
que dé el esfuerzo cortante máximo en la flecha en una po­
sición x a lo largo del eje de la flecha.
5-30.
Prob. 5-27
Un resorte cilindrico consiste en un anillo de hule
unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígido
se mantiene fijo y se aplica un par de torsión T a la flecha,
determine el esfuerzo cortante máximo en el hule.
*5-28.
5-28
Prob. 5-30
204 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-31. Cuando se perfora un pozo a una velocidad angu­
lar constante, el extrem o del tubo perforador encuentra
una resistencia TA a la torsión. También el suelo a lo largo
de los costados del tubo crea un par de fricción distribuido
a lo largo de su longitud, que varía uniform emente desde
cero en la superficie B hasta tA en A . Determ ine el par mí­
nimo T b que debe ser proporcionado por la unidad de
impulsión para vencer los pares resistentes, y calcule el es­
fuerzo cortante máximo en el tubo. El tubo tiene un radio
exterior ra y un radio interior r¡.
La flecha motriz de un tractor va a ser diseñada co­
mo un tubo de pared delgada. El m otor entrega 200 hp
cuando la flecha está girando a 1200 rpm. Determ ine el es­
fuerzo mínimo para la pared de la flecha si el diám etro
exterior de ésta es de 3 pulg. El material tiene un esfuer­
zo cortante permisible Tpcrm = 7 klb/pulg2.
5-34.
Un motor suministra 500 hp a la flecha de acero
A B , que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg.
D eterm ine su diámetro interno más grande al ¿ pulg más
cercano, cuando gira a 200 rad/s si el esfuerzo cortante per­
misible del material es 7perm = 25 klb/pulg2.
5-35.
P ro b s. 5-34/35
La flecha motriz de un tractor está hecha de un
tubo de acero que tiene un esfuerzo cortante permisible
Tperm = 6 klb/pulg2. Si el diám etro exterior es de 3 pulg y
el m otor suministra 175 hp a la flecha al girar a 1250 rpm,
determ ine el espesor mínimo requerido para la pared de
la flecha.
*5-36.
*5-32. La flecha impulsora A B de un automóvil está he­
cha con un acero que tiene un esfuerzo cortante permisi­
ble de Tperm = 8 klb/pulg2. Si el diám etro exterior es de
2.5 pulg y el motor desarrolla 200 hp cuando la flecha gi­
ra a 1 140 rpm. determ ine el espesor mínimo requerido pa­
ra la pared de la flecha.
La flecha impulsora A B de un automóvil va a ser
diseñada como un tubo de pared delgada. El m otor desa­
rrolla 150 hp cuando la flecha gira a 1500 rpm. D eterm ine
el espesor mínimo de la pared de la flecha si su diámetro
exterior es de 2.5 pulg. El material tiene un esfuerzo cor­
tante permisible de rperm = 7 klb/pulg2.
5-33.
)
B - '" '
1
Un m otor entrega 500 hp a la flecha de acero A B ,
que es tubular y tiene un diám etro exterior de 2 pulg y un
diám etro interior de 1.84 pulg. D eterm ine la velocidad
angular más pequeña a la que puede girar la flecha si el
esfuerzo cortante perm isible del m aterial es Tpe)rn =
25 klb/pulg2.
5-37.
La flecha de 0.75 pulg de diám etro para el motor
eléctrico desarrolla 0.5 hp y gira a 1740 rpm. D eterm ine el
par de torsión generado y calcule el esfuerzo cortante má­
ximo en la flecha. La flecha está soportada por cojinetes
de bolas en A y B.
5-38.
Xl
AV
zuna t=
Probs. 5-32/33
Probs. 5-36/37/38
P ro blem a s
•
205
5-39. La flecha sólida A C tiene un diám etro de 25 mm y
está soportada por dos cojinetes lisos en D y E. Está aco­
plada a un m otor en C que suministra 3 kW de potencia a
la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes A y B to­
man 1 kW y 2 kW, respectivamente, determ ine el esfuerzo
cortante máximo desarrollado en la flecha en las regiones
A B y BC. La flecha puede girar libremente en sus cojine­
tes de apoyo D y E.
5-42. El m otor entrega 500 hp a la flecha A B de acero
que es tubular y tiene un diámetro exterior de 2 pulg y un
diámetro interior de 1.84 pulg. Determ ine la velocidad an­
gular más pequeña a la que puede girar si el esfuerzo cor­
tante permisible del material es
= 25 klb/pulg2.
*5-40. La flecha sólida de acero D F tiene un diámetro de
25 mm y está soportada por dos cojinetes lisos en D y en
E. Está acoplada a un m otor en C que entrega 12 kW de
potencia a la flecha cuando gira a 50 rpm. Si los engranes
A, B y C toman 3 kW, 4 k\V y 5 kW, respectivamente, de­
termine el esfuerzo cortante máximo desarrollado en la
flecha en las regiones CF y BC. La flecha puede girar li­
bremente en sus cojinetes de apoyo D y E.
5-43. El motor entrega en A 50 hp cuando gira a una ve­
locidad angular constante de 1350 rpm. Por medio del sis­
tema de banda y polea esta carga es entregada a la flecha
BC. de acero del ventilador. D eterm ine al i pulg más cer­
cano e" diámetro mínimo que puede tener esta flecha si el
esfuerzo co rtan te perm isible p ara el acero es r perm =
12 klb/pulg2.
5-41. Determ ine el esfuerzo cortante máximo absoluto
generado en la flecha en el problem a 5-40.
Probs. 5-40/41
Prob. 5-43
206 • CAPÍTULO 5 Torsión
5.4
Ángulo de torsión
Los pozos petroleros son comúnmente per­
forados a profundidades mayores de mil me­
tros. Como resultado, el ángulo total de tor­
sión de un conjunto de tubos de perforación
puede ser considerable y debe ser calculado.
Ocasionalmente el diseño de una flecha depende de la restricción en la
cantidad de rotación que pueda ocurrir cuando la flecha está sometida a
un par de torsión. Además, poder calcular el ángulo de torsión de una fle­
cha es im portante cuando se analizan las reacciones en flechas estática­
m ente indeterminadas.
En esta sección desarrollaremos una fórmula para determ inar el ángu­
lo de torsión, 4>(phi), del extremo de una flecha con respecto a su otro
extremo. Supondremos que la flecha tiene una sección transversal circu­
lar que puede variar gradualm ente a lo largo de su longitud, figura 5-15«
y que el material es homogéneo y se comporta de un modo elástico-lineal
cuando se aplica el par de torsión. Como en el caso de una barra cargada
axialmente, despreciaremos las deformaciones locales que ocurren en los
puntos de aplicación de los pares y en donde la sección transversal cam­
bia abruptam ente. Según el principio de Saint-Venant, estos efectos ocu­
rren en pequeñas regiones a lo largo de la flecha y generalm ente tienen
sólo un ligero efecto en los resultados finales.
Para usar el método de las secciones, un disco diferencial de espesor dx,
localizado en la posición x, se aísla de la flecha, figura 5-15¿>. El par de tor­
sión resultante interno está representado por. T(x), puesto que la acción
externa puede causar que varíe a lo largo del eje de la flecha. Debido a
T(x) el disco se torcerá, de modo que la rotación relativa de una de sus
caras con respecto a la otra cara es d(j>, figura 5-156. Además como se ex­
plicó en la sección 5.1, un elem ento de material situado en un radio p ar­
bitrario dentro del disco sufrirá una deformación unitaria cortante y. Los
valores de -y y d é se relacionan por la ecuación 5-1, es decir,
d<f> = y —
(5-13)
Ya <
puei
la d
este
tOIM
Inte;
tora
Aqu
:
T(x¡
J(xi
G
Par i
lo ca
que i
ton»
gura
menl
cual.
Lass
carga
(a)
(b)
Fig. 5-15
S ección 5.4 Ángulo de torsión
• 207
Ya que es aplicable la ley de Hooke, y = t/G , y que el esfuerzo cortante
puede expresarse en términos del par de torsión aplicado usando la formu­
la de la torsión r = T(x)p/J(x), entonces y = T(x)p/J(x)G. Sustituyendo
este resultado en la ecuación 5-13. el ángulo de torsión para el disco es en­
tonces:
Integrando sobre toda la longitud L de la flecha, obtenem os el ángulo de
torsión para toda la flecha, esto es.
(5-14)
Aquí.
(j) = ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro,
medido en radianes
T(x) = par de torsión interno en una posición arbitraria hallado a par­
tir del método de las secciones y de la ecuación del equilibrio de
momentos aplicada con respecto al eje de la flecha
J(x) = momento polar de inercia de la flecha expresado en función de la
posición x
G = módulo de rigidez del material
Par de torsión y área de la sección transversal constantes. Por
lo común, en la práctica de la ingeniería el material es homogéneo por lo
que G es constante. Además, el área transversal de la flecha y el par de
torsión aplicado son constantes a lo largo de la longitud de la flecha, fi­
gura 5-16. Si éste es el caso, el par de torsión interno T(x) = T, el mo­
mento polar de inercia J(x) = J, y la ecuación 5-14 puede ser integrada, lo
cual da:
(5-15)
Las similitudes entre las dos ecuaciones anteriores y aquellas para una barra
cargada axialmente (ó = ¡P (x)dx/A (x)E y 8 = P L /A E ) son notorias.
Al calcular el esfuerzo y el ángulo de tor­
sión de esta perforadora de suelo, es nece­
sario considerar la carga variable que actúa
a lo largo de su longitud.
Registrador
de la deformación
por torsión
Cabezal
giratorio
Controles
Selector ^
del intervalo
de carga
Motor
del motor
Probeta
Cabezal
fijo
-
---------- — . .- - i
móvil montada sobre rieles
Fig. 5-17
Podemos usar la ecuación 5-15 para determ inar el m ódulo de elastici­
dad por cortante G del material. Para hacerlo se sitúa una probeta de en­
sayo de longitud y diámetro conocidos en una máquina para ensayos de
torsión como la que se muestra en la figura 5-17. El par de torsión T y el
ángulo de torsión (f>se miden entonces entre una longitud calibrada L.
Usando la ecuación 5-15, G = TL¡J<j). Normalmente, para obtener un va­
lor de G más confiable, se efectúan varias de estas pruebas y se emplea el
valor promedio.
Si la flecha está sometida a varios pares de torsión diferentes, o si el área
de la sección transversal o el módulo de rigidez cambian abruptam ente de
una región de la flecha a la siguiente, la ecuación 5-15 puede aplicarse a
cada segmento de la flecha en que estas cantidades sean todas constan­
tes. El ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro
se halla entonces por la suma vectorial de los ángulos de torsión de cada
segmento. En este caso,
(5-16)
C o n v en ció n d e sig n o s. Con objeto de aplicar las ecuaciones anterio­
res debemos establecer una convención de signos para el par de torsión
interno y para el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respec­
to al otro. Para hacerlo usaremos la regla de la mano derecha, según la
cual tanto el par como el ángulo de torsión serán positivos si el pulgar se
aleja de la sección de la flecha cuando los dedos restantes se curvan para
indicar el sentido del par, figura 5-18.
Para ilustrar el uso de esta convención de signos, consideremos la fle­
cha m ostrada en la figura 5-19a, la cual está sometida a cuatro pares de
torsión. Va a determ inarse el ángulo de torsión del extremo A con respec­
to al extremo D. En este problema deberán considerarse tres segmentos
déla flecha, puesto que el par de torsión interno cambia en R y en C.T Jsan-
S ección 5.4 Ángulo de torsión
• 209
Convención de signo positivo
para T y <¡>
Fig. 5-18
80 N-m
tlC l-
: ens de
y el
a L.
i va2 a el
área
:e de
rse a
itanotro
cada
5-16)
do el método de las secciones, se calculan los pares de torsión internos pa­
ra cada segmento, figura 5-196. Según la regla de la mano derecha, con
pares positivos dirigidos hacia afuera del extremo seccionado de la flecha,
tenemos TAB = +80 N • m, TBC = - 7 0 N • m y TCD - - 1 0 N • m. Con es­
tos valores se puede trazar el diagrama de momentos torsionantes para la
flecha, figura 5-19c. Aplicando la ecuación 5-16, tenemos:
(+80 N • m) L ab
------------ +
JG
<Pa / d = ------------- ~
( —70 N • m) L BC
JG
80 N-m
10 N-m
( —10 N • m) L cd
JG
T rn = 10 N-m
Si se sustituyen los demás datos y se obtiene la solución como una canti­
dad positiva, ello significa que el extremo A girará como se indica por la
curvatura de los dedos de la mano derecha estando el pulgar dirigido ha­
cia afuera de la flecha, figura 5-19«. Se usa la notación con subíndice do­
ble para indicar este ángulo de torsión relativo((^/p); sin embargo, si el
ángulo de torsión va a determinarse con relación a un punto fijo, entonces
sólo se usará un único subíndice. Por ejemplo, si D está situado en un so­
porte fijo, entonces el ángulo de torsión calculado será denotado como c¡)A.
eriorsión
specún la
\ar se
para
a flees de
specentos
Jsan-
T bc = 70 N-m
150 N-m
(b)
T(N-m)
" -10
-70
(c)
(a)
Fig. 5-19
PUNTOS IMPORTANTES
• El ángulo de torsión se determ ina relacionando el par aplicado
al esfuerzo cortante usando la fórmula de la torsión, r = Tp/J. y
relacionando la rotación relativa a la deformación unitaria cor­
tante usando d<f> = y dx/p. Finalmente esas ecuaciones se combi­
nan usando la ley de Hooke, r = Gy, lo que da la ecuación 5-14.
• Como la ley de Hooke se usa en el desarrollo de la fórmula del
ángulo de torsión, es importante que los pares aplicados no ge­
neren fluencia del material y que el material sea homogéneo y se
comporte de m anera elástica-lineal.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El ángulo de torsión de un extremo de una flecha o tubo con respec­
to al otro extremo puede ser determ inado aplicando las ecuaciones
5-14 a 5-16.
Par de torsión interno.
• El par de torsión interno se encuentra en un punto sobre el eje
de la flecha usando el método de las secciones y la ecuación de
equilibrio por momento, aplicada a lo largo de la flecha.
• Si el par de torsión varía a lo largo de la longitud de la flecha,
debe hacerse una sección en la posición arbitraria x a lo largo de
la flecha y el par de torsión ser representado como una función
de x, esto es, T{x).
• Si varios pares de torsión externos constantes actúan sobre la fle­
cha entre sus extremos, el par de torsión interno en cada segmen­
to de la flecha, entre dos pares de torsión externos cualesquiera
debe ser determinado. Los resultados se pueden representar co­
mo un diagrama de par torsionante.
Ángulo de giro.
• Cuando el área de la sección transversal circular varía a lo largo
del eje de la flecha, el m omento polar de inercia puede ser ex­
presado como función de su posición x a lo largo del eje, J(x).
• Si el mom ento polar de inercia o el par de torsión interno cam­
bia repentinamente entre los extremos de la flecha, entonces <¿>=
i(T (x)/J(x)G )dx o 4> = T L /JG debe aplicarse a cada segmento
para el cual J, G y T son continuos o constantes.
• Cuando el par de torsión interno en cada segmento se ha deter­
minado, asegúrese de usar una convención de signos consistente
para la flecha, como la vista anterior. Asegúrese también de usar
un conjunto consistente de unidades al sustituir datos numéricos
en las ecuaciones.
O
E J E M P L O
Los engranes unidos a la flecha de acero em potrada están sometidos a
los pares de torsión mostrados en la figura 5-20a. Si el módulo de cor­
tante es G = 80 GPa y la flecha tiene un diámetro de 14 mm, determi­
ne el desplazamiento del diente P en el engrane A. La flecha gira libre­
m ente sobre el cojinete en B.
J
40 N-m
Tco = 130 N-m
150 N-m B
10 0
280 N-m
p ~.
mm >££/
Solución
Par de torsión interno. Por inspección, los pares en los segmentos AC,
CD y D E son diferentes pero constantes a lo largo de cada segmento. En
la figura 5-20b se muestran los diagramas de cuerpo libre de segmentos
apropiados de la flecha junto con los pares internos calculados. Usan­
do la regla de la mano derecha y la convención de signos establecida
de que un par positivo se aleja del extremo seccionado de la flecha, te­
nemos:
Tac = + 1 5 0 N - m
r CD = -1 3 0 N - m
40 N-m
150 N-m
280 N-m
r O£ = -1 7 0 N - m
Estos resultados se muestran también sobre el diagrama de pares torsionantes en la figura 5-20c.
Ángulo de torsión.
(b)
El momento polar de inercia de la flecha es:
J = | (0.007 m ) 4 = 3.77(10“9) m 4
Aplicando la ecuación 5-16 a cada segmento y sumando los resultados
algebraicamente, tenemos:
7"(N-ni)
( + 150 N • m)(0.4 m)
JG
150
3.77(10-9) m4[80(109) N /m 2]
+
-130
3.77(10-9) m4[80(109) N /m 2)]
+
(-1 7 0 N • m)(0.5 m)
3.77(10 ) m [80(10 ) N /m 2)]
0.4
o
( —130 N -m ) (0.3 m)
= -
0 .2 1 2
rad
Como la respuesta es negativa, por la regla de la mano derecha el pul­
gar se dirige hacia el extremo E de la flecha y. por tanto, el engrane A
gira como se muestra en la figura 5-20d.
El desplazamiento del diente P sobre el engrane A es:
Sp = <f>Ar = (0.212 rad)(100 mm) = 21.2 mm
Resp.
Recuerde que este análisis es válido sólo si el esfuerzo cortante no
excede del límite proporcional del material.
0.7
-170
(c)
P
100 mm
1.2
•í (m)
212 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
Las dos flechas sólidas de acero mostradas en la figura 5-21 a están aco­
pladas a través de los engranes B y C. D eterm ine el ángulo de torsión
del extremo A de la flecha A B cuando se aplica el par de torsión T =
45 N • m. Considere G - 80 GPa. La flecha A B gira libremente sobre
los cojinetes E y F, m ientras que la flecha CD está em potrada en D.
Cada flecha tiene un diám etro de 20 mm.
Solución
Par de torsión interno. En las figuras 5-21¿> y 5-21c se muestran dia­
gramas de cuerpo libre de cada flecha. Sumando momentos a lo largo
del eje * de la flecha se obtiene la reacción tangencial entre los engra­
nes de F = 45 N-m/0.15 m = 300 N. Sumando momentos respecto al
eje x de la flecha DC, esta fuerza genera entonces un par de torsión de
{T d )x = 300 N (0.075 m) = 22.5 N-m sobre la flecha DC.
( r 0 )v = 22.5 N-m
D>0.075 m
Ángulo de torsión. Para resolver el problem a calculamos prim ero el
_ giro del engrane C debido al par de 22.5 N-m en la flecha DC, figura
5-216. Este ángulo de torsión es:
F = 300 N
(+22.5 N • m)(1.5 m)
T L DC
JG
(b)
(ir/2 )(0.010 m )4[80( 109) N /m 2
= +0.0269 rad
Como los engranes en los extremos de las flechas están conectados,
la rotación 4>c del engrane C ocasiona que el engrane B gire <¡>B, figura
5-21c, donde
T = 45 N-m
<fr,(0.15 m) = (0.0269 rad)(0.075m )
4>B = 0.0134 rad
0.150 m
Determ inarem os ahora el ángulo de torsión del extremo A con res­
pecto al extrem o B de la flecha A B generado por el par de 45 N -m ,
figura 5-21c. Tenemos:
<t>a / b ~
Tab L ab
JG
(+45 N • m )(2 m)
(w/2)(0.010 m) [80(10 ) N /m 2]
+0.0716 rad
La rotación del extremo A se determina entonces sumando <j>B y </>
ya que ambos ángulos tienen el mismo sentido, figura 5-21c. Tenemos:
4>a = 4>b + <1>a/ b = 0.0134 rad + 0.0716 rad = +0.0850 rad
Resp.
S ecció n 5 .4
Á n g u lo d e t o r s ió n
•
E J E M P L O
El poste sólido de hierro colado de 2 pulg de diám etro mostrado en la
figura 5-22a está enterrado en el suelo. Si se le aplica un par de torsión
por medio de una llave rígida a su parte superior, determ ine el esfuer­
zo cortante máximo en el poste y el ángulo de torsión en su parte su­
perior. Suponga que el par está a punto de hacer girar el poste y que el
suelo ejerce una resistencia torsionante uniforme de t Ib •pulg/pulg a
lo largo de su longitud enterrada de 24 pulg. G = 5.5(103) klb/pulg2.
25
Solución
Par de torsión interno. El par de torsión interno en el segmento A B
del poste es constante. Del diagrama de cuerpo libre, figura 5-22b, te­
nemos:
Tab = 25 lb( 12 pulg) = 300 Ib • pulg
S M Z = 0;
La magnitud del par de torsión distribuido uniformemente a lo largo
del segmento BC enterrado puede determ inarse a partir del equilibrio
de todo el poste, figura 5-22c. En este caso,
2
M; =
251b(12pulg) - í(24pulg) =
0
0
t = 12.5 Ib • pulg/pulg
Por tanto, del diagrama de cuerpo libre de una sección de poste situa­
da en la posición x dentro de la región BC. figura 5-22d, tenemos:
XA/, =
0
;
25
Ib
Tbc - 12.5* = 0
Tbc = 12.5*
Esfuerzo cortante máximo. El esfuerzo cortante más grande ocurre
en la región A B . puesto que el par es máximo ahí y J es constante pa­
ra el poste. Aplicando la fórmula de la torsión, tenemos:
TABc_ = (300 Ib • pulg) (1 pulg)
^"máx
( t t /2)(1 pie ) 4
= 191 lb/pulg 2
Resp.
25 Ib
25 Ib
Á ngulo de torsión. El ángulo de torsión en la parte superior puede
determinarse respecto a la parte inferior del poste, ya que este extre­
mo está fijo y a punto de girar. Ambos segmentos A B y BC, giran, y en
este caso tenemos:
36 pulg
Tab L ab
*‘ m ~ W
f L,iC TRr dx
JG
+ J„
(300 Ib pulg)
=
=
2 4
JG
1 0
800 Ib-pulg 2 +
JG
1 2
O
pule12.5;c dx
JG
-5 Í(24)
/ 2 1
i = 12.5 !b-pulg/pulg
Ib-pulg 2
JG
14 400 Ib pulg 2
( tt/ 2)(1 pulg)45500(103) lb/pulg:
= 0.00167 rad
(d)
24 pulg
213
214 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
La flecha ahusada m ostrada en la figura 5-23« está hecha de un m ate­
rial cuyo módulo cortante es G. Determ ine el ángulo de torsión de su
extremo B cuando está sometido a un par.
Solución
M om ento de torsión interno. Por inspección o por el diagrama de
cuerpo libre de una sección localizada en la posición arbitraria x. figu­
ra 5-23¿>, el m omento de torsión es T.
Ángulo de torsión. El momento polar de inercia varía aquí a lo lar­
go del eje de la flecha, por lo que tenemos que expresarlo en términos
de la coordenada .v. El radio c de la flecha en x puede determ inarse en
términos de x por proporción de la pendiente de la línea A B en la fi­
gura 5-23c. Tenemos:
c2 - q
c2 ~ c
C1 ~
C = C2 - X
Ci - Cl
L
c2 - X
/(* )« f
C1
Aplicando la ecuación 5-14, tenemos:
f
2T
7tG Jo
Tdx
C2 - C\
c2 - x
dx
c2 — x
Efectuando la integración usando una tabla de integrales, se obtiene:
4> =
L
2T
1
ttG j
f c2 - ci
\
2T í
(b)
u
L
c2 — X
c2 -
3
/L
V i _ 1_
ttG \ 3 ( c 2 - cx) A c í
c\
Reordenando términos resulta:
4) =
2TL ( c2 + cjc2 + Ci
,,3 .3
3 irG
Resp.
CjC2
Para verificar parcialmente este resultado, note que cuando C] = c2 =
c, entonces
TL
[( 7 r / 2 )c4]G
Fig. 5-23
que es la ecuación 5-15.
__ T L
JG
P ro blem a s
•
215
PROBLEMAS
*5-44. Las hélices de un barco están conectadas a una
flecha sólida de acero A-36 de 60 m de largo que tiene un
diám etro exterior de 340 mm y un diám etro interior de
260 mm. Si la potencia generada es de 4.5 MW cuando la
flecha gira a 20 rad/s. determ ine el esfuerzo torsionante
máximo en la flecha y su ángulo de torsión.
5-45. U na flecha está som etida a un par de torsión T.
Compare la efectividad de usar el tubo mostrado en la fi­
gura contra la de una sección sólida de radio c. Para esto,
calcule el porcentaje de aum ento en el esfuerzo de torsión
y en el ángulo de torsión por unidad de longitud del tubo
respecto a la sección sólida.
*5-48. La flecha de acero A-36 está hecha con los tubos
A B y CD más una sección sólida BC. Está soportada so­
bre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los
engranes, fijos a sus extremos, están sometidos a pares de
torsión de 85 N • m, determ ine el ángulo de torsión del ex­
tremo B de la sección sólida respecto al extrem o C. Los
tubos tienen un diám etro externo de 30 mm y un diáme­
tro interno de 20 mm. La sección sólida tiene un diám etro
de 40 mm.
P robs. 5-44/45
P ro b . 5-47/48
5-46. La flecha sólida de radio c está sometida a un par
de torsión T. D em uestre que la deformación cortante má­
xima generada en la flecha es ymáx = Tc/JG. ¿Cuál es la
deformación cortante en un elemento localizado en el pun­
to A , a c f2 del centro de la flecha? Esboce la distorsión
cortante en este elemento.
5-49. Los extremos estriados y los engranes unidos a la
flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de to r­
sión mostrados. Determine el ángulo de torsión del extre­
mo B con respecto al extremo A . La flecha tiene un diá­
m etro de 40 mm.
300 N-m
500 N m
P ro b . 5-46
5-47. La flecha de acero A-36 está hecha con los tubos
A B y CD más una sección sólida BC. Está soportada so­
bre cojinetes lisos que le permiten girar libremente. Si los
engranes, fijos a sus extremos, están sometidos a pares de
torsión de 85 N- m. determ ine el ángulo de torsión del en­
grane A con respecto al engrane D. Los lubos tienen un
diám etro exterior de 30 mm y un diám etro interior de
20 mm. La sección sólida tiene un diám etro de 40 mm.
Prob. 5-49
216
• CAPÍTULO 5 Torsión
5-50. Los extremos estriados y los engranes unidos a la
flecha de acero A-36 están sometidos a los pares de tor­
sión mostrados. Determ ine el ángulo de torsión del engra­
ne C con respecto al engrane D. La flecha tiene un diáme­
tro de 40 mm.
300 N-m
El perno de acero A-36 de 8 mm de diámetro es­
tá em potrado en el bloque en A . D eterm ine las fuerzas F
del par que debe aplicarse a la llave para que el esfuerzo
co rtan te máximo en el pern o sea de 18 MPa. Tam bién
calcule el desplazamiento correspondiente de cada fuerza
F necesario para generar este esfuerzo. Suponga que la lla­
ve es rígida.
*5-52.
500 N-m
P ro b . 5-52
P ro b . 5-50
La flecha y volante giratorios, al ser llevados repen­
tinam ente al reposo en D, comienzan a oscilar en sentido
horario y antihorario de manera que un punto A sobre el
borde exterior del volante se desplaza a través de un arco
de 6 mm. Determine el esfuerzo cortante máximo desarro­
llado en la flecha tubular de acero A-36 debido a esta os­
cilación. La flecha tiene un diám etro interior de 24 mm y
un diámetro exterior de 32 mm. Los cojinetes e n B y C per­
miten que la flecha gire libremente, mientras que el sopor­
te en D mantiene fija la flecha.
La turbina desarrolla 150 kW de potencia que
se transm ite a los engranes en forma tal que C recibe 70%
y D 30% . Si la rotación de la flecha de acero A-36 de
100 mm de diámetro es u>= 800 rpm, determ ine el esfuer­
zo cortante máximo absoluto en la flecha y el ángulo de
torsión del extremo E de la flecha respecto al extrem o B.
El cojinete en E perm ite que la flecha gire libremente res­
pecto a su eje.
Prob. 5-51
Prob. 5-53
5-51.
5-53.
P ro blem a s
5-54. La turbina desarrolla 150 kW de potencia que se
transmite a los engranes de manera que tanto C como D
reciben la misma cantidad. Si la rotación de Ja flecha de
acero A-36 de 100 mm de diám etro es co = 500 rpm, deter­
mine el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha y
la rotación del extrem o B de ésta respecto al extremo E.
El cojinete en E permite que la flecha gire libremente al­
rededor de su eje.
•
217
5-57. El m otor produce un par de torsión T = 20 N • m
sobre el engrane A . Si el engrane C se bloquea repentina­
mente de taJ manera que no pueda girar, aunque B sí pue­
de girar libremente, determ ine el ángulo de torsión de F
con respecto a £ y el de F con respecto a D de la flecha de
acero L2 que tiene un diám etro interior de 30 mm y un
diámetro exterior de 50 mm. También, calcule el esfuerzo
cortante máximo absoluto en la flecha. La flecha está so­
portada sobre cojinetes en G y H.
P ro b . 5-57
P ro b . 5-54
5-55. La flecha hueca de acero A-36 tiene 2 m de longi­
tud y un diám etro exterior de 40 mm. Cuando está giran­
do a 80 rad/s, transm ite 32 kW de potencia del m otor E al
generador G. D eterm ine el espesor mínimo de la flecha si
el esfuerzo cortante permisible es rperm = 140 MPa y la fle­
cha está restringida a no torcerse más de 0.05 radianes.
*5-56. La flecha sólida de acero A-36 tiene 3 m de longi­
tud y un diám etro de 50 mm. Se requiere que transm ita
35 kW de potencia del m otor E al generador G. D eterm i­
ne la velocidad angular mínima que la flecha puede tener
si está restringida a no torcerse más de I o.
5-58. El m otor de un helicóptero suministra 600 hp a la
flecha del ro to r A B cuando las aspas están girando a
1200 rpm. D eterm ine al i pulg más cercano el diám etro de
la flecha A B si el esfuerzo cortante permisible es Tpcrm =
8 klb/pulg2 y las vibraciones limitan el ángulo de torsión
de la flecha a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de lon­
gitud y está hecha de acero L2.
5-59. El m otor de un helicóptero está entregando 600 hp
a la f echa del rotor A B cuando las aspas giran a 1200 rpm.
Determine al | pulg más cercano el diámetro de la flecha A B
si el esfuerzo cortante permisible es rp(.rm = 10.5 k lb / pulg2
y las vibraciones limitan el ángulo de torsión de la flecha
a 0.05 radianes. La flecha tiene 2 pies de longitud y está he­
cha de acero L2.
E
Probs. 5-55/56
Prob. 5-58/59
218
• CAPÍTULO 5 Torsión
*■5-60. Considere el problem a general de una flecha
circular hecha de m segmentos, cada uno de radio c,„ y
módulo cortante G,„. Si actúan n pares de torsión sobre la
flecha como se muestra, escriba un programa de compu­
tadora que sirva para determ inar el ángulo de torsión en
su extremo A . Aplique el programa con los siguientes da­
tos: L \ = 0.5 m, Cj = 0.02 m, Gj = 30 GPa. L 2 = 1.5 m,
C2 = 0.05 m, Gi = 15 GPa, T\ - -4 5 0 N • m,
= 0.25 m,
T2 = 600 N • m, d2 = 0.8 m.
5-62. La flecha de acero L2 de 6 pulg de diám etro en la
turbina está soportada sobre cojinetes en A y B. Si C se
m antiene fijo y las paletas de la turbina generan un par de
torsión en la flecha que crece lincalmente de cero en C a
2000 Ib • pie en D, determ ine el ángulo de torsión del ex­
tremo D de la flecha respecto al extremo C.También, calcu­
le el esfuerzo cortante máximo absoluto en la flecha. Des­
precie el tamaño de las paletas.
P ro b . 5-62
P ro b . 5-60
5-61. La pieza de acero A-36 consta de un tubo con ra ­
dio exterior de 1 pulg y un espesor de pared de 0.125 pulg.
Por medio de una placa rígida en B se conecta a la flecha
sólida A B de 1 pulg de diámetro. Determ ine la rotación
del extremo C del tubo si se aplica un par de torsión de
200 Ib • pulg al tubo en este extremo. El extremo A de la
flecha está em potrada.
Prob. 5-61
5-63. Cuando se perfora un pozo, se supone que el extre­
mo profundo del tubo perforador encuentra una resisten­
cia a la torsión TA. Además, la fricción del suelo a lo largo
de los lados del tubo crea una distribución lineal del par de
torsión por unidad de longitud que varía desde cero en la
superficie B hasta í0 en A . Determ ine el par de torsión ne­
cesario Tfí que debe aplicar la unidad impulsora para ha­
cer girar el tubo. También, ¿cuál es el ángulo de torsión re­
lativo de un extremo del tubo con respecto al otro extremo
en el instante en que el tubo va a comenzar a girar? El tu­
bo tiene un radio exterior r0 y un radio interior r¡. El mó­
dulo de cortante es G.
Prob. 5-63
Pro blem a s
*5-64. Con el poste de acero A-36 se “taladra” a veloci­
dad angular constante el suelo usando la instalación rota­
toria. Si el poste tiene un diám etro interior de 200 mm y
un diámetro exterior de 225 mm. determ ine el ángulo re­
lativo de torsión del extremo A del poste con respecto al
extremo B. cuando el poste alcanza la profundidad indi­
cada. Debido a la fricción del suelo, suponga que el par que
actúa a lo largo del poste varía linealmente como se mues­
tra y que un par de torsión concentrado de 80 kN- m actúa
en la punta del poste.
•
219
El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos
con el fin de proporcionar estabilización in situ. Si el mez­
clador está conectado a una flecha tubular de acero A-36
que tiene un diám etro interior de 3 pulg y un diám etro ex­
terior de 4.5 pulg, determine el ángulo de torsión de la flecha
en la sección A con respecto a la sección C, considerando
que cada hoja mezcladora está sometida a los pares de tor­
sión mostrados.
5-66.
15 kN-m /m
80 k N m
P ro b . 5-64
El dispositivo mostrado se usa para mezclar suelos
con el fin de proporcionar estabilización in situ. Si el mezcla­
dor está conectado a una flecha tubular de acero A-36 que
tiene un diámetro interior de 3 pulg y un diámetro exterior
de 4.5 pulg. determine el ángulo de torsión de la flecha en la
sección A con respecto a la sección B. así como el esfuerzo
cortante máximo absoluto en la flecha, si cada hoja mezcla­
dora está sometida a los pares de torsión mostrados.
5-65.
Prob. 5-66
La flecha tiene un radio c y está sometida a un par
de torsión por unidad de longitud de Iq. distribuido unifor­
memente sobre toda la longitud L de la flecha. D eterm i­
ne el ángulo de torsión 4>en el extremo fí, considerando
que el extremo alejado A está empotrado. El módulo cor­
tante es G.
5-67.
220 • CAPÍTULO 5 Torsión
*5-68. El perno de acero A-36 se aprieta dentro de un
agujero de manera que el par de torsión reactivo sobre el
v ástag o /lB puede expresarse por la ecuación t = ( k x 2)
N • m/m, donde x está en metros. Si se aplica un par de tor­
sión T = 50 N • m a la cabeza del perno, determ ine la cons­
tante k y la magnitud del giro en los 50 mm de longitud del
vástago. Suponga que el vástago tiene un radio constante
de 4 mm.
5-71. El contorno de la superficie de la flecha está defi­
nido por la ecuación y = eax, donde a es una constante. Si
la flecha está sometida a un par de torsión T en sus extre­
mos, determine el ángulo de torsión del extremo A con res­
pecto al extremo B. El módulo de cortante es G.
5-69. Resuelva el problema 5-68 considerando que el par
distribuido es t = (k x 2,i) N • m/m.
P r o b .5-71
= 50 N-m
P ro b s. 5-68/69
*5-72. Un resorte cilindrico consiste en un anillo de hu­
le unido a un anillo rígido y a una flecha. Si el anillo rígi­
do se m antiene fijo y se aplica un par de torsión T a la fle­
cha rígida, determ ine el ángulo de torsión de ésta. El
módulo cortante del hule es G. Sugerencia: como se mues­
tra en la figura, la deformación del elem ento con radio r
puede determinarse con r d6 = dr y. Use esta expresión
junto con r = T/{2irr2h ), del problem a 5-28, para obtener
el resultado.
5-70. La flecha de radio c está sometida a un par distri­
buido r, medido como par/longitud de flecha. D eterm ine
el ángulo de torsión en el extrem o A . El módulo de cor­
tante es G.
ydr = rdO
Prob. 5-70
Prob. 5-72
S ección 5.5
5.5
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
Miembros estáticam ente indeterm inados cargados
con pares de torsión
U na flecha sometida a torsión puede clasificarse como estáticamente in­
determinada si la ecuación de equilibrio por momentos, aplicada con res­
pecto al eje de la flecha, no es suficiente para determ inar los pares de tor­
sión desconocidos que actúan sobre la flecha. En la figura 5-24o se muestra
un ejemplo de esta situación. Según se aprecia en el diagrama de cuerpo
libre, figura 5-246, los pares de torsión reactivos en los soportes A y B son
desconocidos. Requerimos que:
I A Í , = 0;
T - Ta - Tb = 0
Puesto que aquí sólo se tiene una ecuación de equilibrio y existen dos in­
cógnitas, este problema es estáticamente indeterminado. Con objeto de ob­
tener una solución usaremos el método de análisis visto en la sección 4.4.
La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática, re­
quiere que el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto
al otro extremo sea igual a cero, ya que los soportes en los extremos son
fijos. Por tanto,
<I>a / b = 0
Para escribir esta ecuación en términos de los pares de torsión descono­
cidos, supondremos que el material se comporta de modo elástico-lineal,
de modo que la relación carga-desplazamiento quede expresada por =
TL/JG . Considerando que el par interno en el segmento AC e s + T Ay que
en el segmento CB el par interno es —TB, figura 5-24c, la ecuación de com­
patibilidad anterior puede escribirse como:
TaL ac _ TBLBc _ _
JG
Aquí se supone que JG es constante.
JG
• 221
Resolviendo las dos ecuaciones anteriores para las reacciones, y consi­
derando que L = L ac + L Bc, obtenemos
Advierta que cada par reactivo crece o decrece linealmente con la ubica­
ción de L ac o L bc al par de torsión aplicado.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Los pares de torsión desconocidos en flechas estáticamente indeter­
minadas se calculan satisfaciendo el equilibrio, la compatibilidad y los
requisitos de par-desplazamiento de la flecha.
Equilibrio.
• Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la flecha para identificar
todos los pares que actúan sobre ella y luego escriba las ecuacio­
nes de equilibrio por momento respecto al eje de la flecha.
Compatibilidad.
• Para escribir la ecuación de compatibilidad, investigue la mane­
ra en que la flecha se torcerá al ser sometida a las cargas exter­
nas, considerando cómo los soportes restringen a la flecha cuan­
do ella se tuerce.
• Exprese la condición de compatibilidad en términos de los des­
plazamientos rotatorios causados por los pares de torsión reacti­
vos, y luego use una relación par de torsión-desplazamiento, tal
como <t> = TL/JG, para relacionar los pares desconocidos con los
desplazamientos desconocidos.
• Despeje de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad los pa­
res de torsión reactivos desconocidos. Si cualquiera de las mag­
nitudes tiene un valor numérico negativo, ello indica que este par
actúa en sentido opuesto al indicado sobre el diagrama de cuer­
po libre.
S ección 5.5
E J E M P L O
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
--
La flecha sólida m ostrada en la figura 5-25a tiene un diám etro de
20 mm. Determine las reacciones en los em potramientos A y B cuan­
do está sometida a los dos pares de torsión mostrados.
(b)
Solución
Equilibrio. Por inspección del diagrama de cuerpo libre, figura 5-25b,
se ve que el problem a es estáticamente indeterm inado ya que hay só­
lo una ecuación disponible de equilibrio, y se tienen dos in c ó g n ita s,^
y T b. Se requiere
SM.V = 0;
- T b + 800 N • m - 500 N • m - TA = 0
(1)
Compatibilidad. Como los extremos de la flecha están empotrados,
el ángulo de torsión de un extremo de la flecha con respecto al otro de­
be ser cero. Por consiguiente, la ecuación de compatibilidad puede es­
cribirse como
Óa/b =
0
Esta condición puede expresarse en términos de los pares de torsión
desconocidos usando la relación carga-desplazamiento, <f>- TL/JG .
Tenemos aquí regiones de la flecha donde el par interno es constante,
BC, CD y DA. En los diagramas de cuerpo libre mostrados en la figu­
ra 5-25c se indican esos pares internos actuando sobre segmentos de la
flecha. De acuerdo con la convención de signos establecida en la sec­
ción 5.4, tenemos
- T b(0.2 m) + (T a + 500 N • m)(1.5 m) + TA(0 3 m) _
JG
JG
JG
1.8TA - 0.2T b = -7 5 0
(2)
Fig. 5-25
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, obtenemos
Ta = -3 4 5 N • m
TB = 645 N • m
(c)
Resp.
El signo negativo indica que TA actúa con sentido opuesto al mostra­
do en la figura 5-25b.
• 223
224
CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
5.12
La flecha m ostrada en la figura 5-26a está hecha de un tubo de acero
unido a un núcleo de latón. Si se aplica un par de torsión T = 250 Ib • pie
en su extremo, indique la distribución del esfuerzo cortante a lo largo
de una línea radial de su sección transversal. Considere Gac = 11.4(103)
klb/pulg2, G!a[ = 5.20(103) klb/pulg2.
X
250 Ib-pie
Fig. 5-24
Solución
Equilibrio. En la figura 5-26b se muestra un diagrama de cuerpo li­
bre de la flecha. La reacción en el empotramiento se ha representado
por la magnitud desconocida de par resistido por el acero, Tac, y por el
latón, Tía,. Trabajando en unidades de libras y pulgadas, por equilibrio
se requiere:
- T ac - 7jat + 250 Ib • pie(12 pulg/pies) = 0
(1)
Compatibilidad. Se requiere que el ángulo de torsión del extremo A
sea el mismo tanto para el acero como para el latón. Así,
—<£ac
^Iat
Aplicando la relación carga-desplazamiento,
= TL/JG, tenemos:
___________________ ______________________ =
(tt/2)[(1 pulg ) 4 - (0.5 pulg) 4 ]11.4(103) klb/pulg 2
______________ T\m L___________
(tt/2)(0.5 pulg) 4 5.20(103) klb/pulg 2
7ac = 32.887]at
(2)
S ección 5.5
Miembros estáticamente indeterminados cargados con pares de torsión
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2, obtenemos:
Tac = 2911.0 Ib • pulg = 242.6 Ib • pie
Tía, = 88.5 Ib • pulg = 7.38 Ib • pie
Estos pares actúan a lo largo de toda la longitud de la flecha, ya que
ningún par externo actúa en puntos intermedios a lo largo del eje de la
flecha. El esfuerzo cortante en el núcleo de latón varía de cero en su
centro a un máximo sobre la superficie en que entra en contacto con
el tubo de acero. Con la fórmula de torsión,
, s
(88.5 Ib-pulg)(0.5 pulg)
(Tiat)máx = ----- ,
----- = 451 lb/pulg
( tt/ 2)(0.5 pulg)4
Para el acero, el esfuerzo cortante mínimo está localizado sobre la su­
perficie y tiene el valor de:
, v
(Tac)mín
(2911.0 Ib ■pulg) (0.5 pulg)
,
i \4
rr\ c i \ 4 i
( tt/ 2)[(1 pulg)4 - (0.5 pulg)41
2
988 lb/pulg
y el esfuerzo cortante máximo está en la superficie externa, con valor de:
,
(2911.0 Ib-pulg)(1 pulg)
, ,
Tac)máx = , mr / 1 —
— 7TZ— r r 5 7 = 1977 lb/pulgz
(w /2)[(l pulg ) 4 - (0.5 pulg)4]
Los resultados se muestran en la figura 5-26c. Note la discontinuidad
del esfuerzo cortante en la superficie de contacto entre el latón y el ace­
ro. Esto era de esperarse, ya que los materiales tienen módulos de ri­
gidez diferentes; es decir, que el acero es más rígido que el latón (G ac
> G|at), por lo que toma más esfuerzo cortante en esta superficie de
contacto. Si bien el esfuerzo cortante es aquí discontinuo, la deforma­
ción cortante no lo es; es decir, la deformación unitaria cortante es la
misma en el latón y en el acero. Esto puede evidenciarse usando la ley
de Hooke, y = t/ G . En la superficie de contacto entre acero y latón, fi­
gura 5-26d, la deformación cortante unitaria es:
451 lb/pulg2
988 lb/pulg2
y = — = -------- 7----------- r = ---------- 2----------- T = 0.0867(10 ) rad
G
5.2(106) lb/pulg2
11.4(106) lb/pulg2
v
989 lb /p u lg :
1977 lb '/pr u lgp 2
A
/\O/T'I/IA—
3' rad
0.0867(1
(TJ)
f máx
Distribución del esfuerzo
cortante
(c)
Distribución de la deformación
unitaria cortante
(d)
• 225
226 • CAPÍTULO 5 Torsión
PROBLEMAS
5-73. La flecha de acero tiene un diám etro de 40 mm y
está em p o trad a en sus extrem os A y B. D eterm ine el
esfuerzo cortante máximo en las regiones A C y CB de la
flecha cuando se aplica el par mostrado. Gac = 10.8(103)
klb/pulg2.
El m otor A genera un par de torsión en el engrane
B de 450 Ib-pie que se aplica a lo largo del eje de la flecha
CD de acero de 2 pulg de diámetro. Este par de torsión de­
be transm itirse a los engranes piñones en E y F. Si estos
engranes están temporalmente fijos, determine el esfuerzo
cortante máximo en los segmentos CB y BD de la flecha.
¿Cuál es el ángulo de torsión de cada uno de esos segmen­
tos? Los cojinetes en C y D sólo ejercen fuerzas reactivas
sobre la flecha y no resisten ningún par de torsión. G ac =
12(103) klb/pulg2.
5-77.
P ro b . 5-73
5-74. Una barra está hecha de dos segmentos: A B de ace­
ro y BC de latón. Está em potrada en sus extremos y some­
tida a un par de torsión T = 680 N • m. Si la porción de ace­
ro tiene un diám etro de 30 mm, determ ine el diám etro
requerido en la porción de latón de manera que las reac­
ciones en los em potram ientos sean las mismas. G ac =
75 GPa, Giat = 39 GPa.
D eterm ine el esfuerzo cortante máximo absoluto
en la flecha del problema 5-74.
5-75.
C
P ro b . 5-77
La flecha compuesta consiste en un segmento me­
dio que incluye la flecha sólida de 1 pulg de diám etro y un
tubo que está soldado a las bridas rígidas A y B. D espre­
cie el espesor de las bridas y determ ine el ángulo de tor­
sión del extremo C de la flecha respecto al extremo D. La
flecha está sometida a un par de torsión de 800 Ib-pie. El
material es acero A-36.
5-78.
P robs. 5-74/75
*5-76. La flecha de acero está hecha de dos segmentos:
A C tiene un diám etro de 0.5 pulg y CB un diám etro de
1 pulg. Si está empotrada en sus extremos A y B y sometida
a un par de torsión de 500 Ib-pie, determ ine el esfuerzo
cortante máximo en la flecha. Gac = 1U.8(103) klb/pulg2.
Prob. 5-78
Pro blem a s
La flecha está hecha de una sección sólida AB de
acero y una porción tubular de acero con un núcleo de la­
tón. Si está empotrada en A y se aplica en C un par de tor­
sión T = 50 Ib-pie. determine el ángulo de torsión que se
presenta en C y calcule el esfuerzo cortante y la deforma­
ción cortante máximos en el latón y en el acero. Conside­
re Gac = 11.5( 103) klb/pulg2 y Glal = 5.6(103) klb/pulg2.
5-79.
•
227
Las dos flechas. A B y EF, están empotradas en sus
extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al
engrane común en C que está conectado a la flecha CD.
Si se aplica un par de torsión T = 80 N • m al extremo D.
determine el par de torsión en A y F. Cada flecha tiene un
diámetro de 20 mm y están hechas de acero A-36.
5-82.
Probs. 5-81/82
La flecha de acero A-36 está hecha de dos seg­
mentos: AC tiene un diámetro de 0.5 pulg y CB tiene un
diámetro de 1 pulg. Si la flecha está empotrada en sus ex­
tremos A y B y está sometida a un par de torsión unifor­
memente distribuido de 60 Ib • pulg/pulg a lo largo del
segmento CB. determine el esfuerzo cortante máximo ab­
soluto en la flecha.
5-83.
Prob. 5-79
Las dos flechas de 3 pies de longitud están he­
chas de aluminio 2014-T6. Cada una tiene un diámetro de
1.5 pulg y están conectadas entre sí por medio de engra­
nes fijos a sus extremos. Sus otros extremos están empo­
trados en A y B. También están soportadas por cojinetes
en C y D. que permiten la libre rotación de las flechas res­
pecto a sus ejes. Si se aplica un par de torsión de 600 Ib-pie
al engrane superior como se muestra, determine el esfuer­
zo cortante máximo en cada flecha.
*5-80.
0.5 pulg
A
*5-84. La flecha ahusada está doblemente empotrada en
A y B. Si se aplica un par de torsión T en su punto medio,
determine las reacciones en los empotramientos.
Prob. 5-80
Las dos flechas. AB y EF. están empotradas en sus
extremos y conectadas a engranes conectados a su vez al
engrane común en C que está conectado a la flecha CD.
Si se aplica un par de torsión T = 80 N • m al extremo D,
determine el ángulo de torsión en este extremo. Cada fle­
cha tiene un diámetro de 2 0 mm y están hechas de acero
A-36.
5-81.
Proh. 5-84
228
• CAPÍTULO 5 Torsión
Una porción de la flecha de acero A-36 está some­
tida a un par de torsión linealmente distribuido. Si la fle­
cha tiene las dimensiones mostradas, determine las reac­
ciones en los empotramientos A y C. El segmento AB tiene
un diámetro de 1.5 pulg y el segmento BC un diámetro de
0.75 pulg.
5-85.
La flecha de radio c está sometida a un par de tor­
sión distribuido t, medido como par/longitud de flecha.
Determine las reacciones en los empotramientos A y B.
5-87.
Determine la rotación en la junta B y el esfuerzo
cortante máximo absoluto en la flecha del problema 5-85.
5-86.
300 lb-pulg/pulg
Probs.
*5.6
- - - V.»7?¡V; - .
Prob. 5-87
Flechas sólidas no circulares
-■
Note la deformación que ocurre en el ele­
mento cuadrado cuando esta barra de hule
está sometida a un par de torsión.
En la sección 5.1 se demostró que cuando un par de torsión se aplica a
una flecha que tenga una sección transversal circular, es decir, que sea si­
métrica con respecto a su eje, las deformaciones unitarias cortantes va­
rían linealmente desde cero en el centro hasta un m omento máximo en
su periferia. Además, debido a la uniformidad de la deformación cortan­
te en todos los puntos sobre el mismo radio, la sección transversal no se
deforma, sino que permanece plana después de que la flecha se ha torci­
do. Sin embargo, las flechas que no tienen una sección transversal circu­
lar no son simétricas con respecto a su eje, y a causa de que el esfuerzo
cortante en su sección transversal está distribuido de m anera compleja,
sus secciones transversales pueden alabearse cuando la flecha se tuerce.
En la figura 5-27 puede observarse cómo se deforman las líneas de retícula
de una flecha que tiene una sección transversal cuadrada cuando la fle­
cha está sometida a torsión. Como consecuencia de esta deformación, el
análisis de la torsión en flechas no circulares resulta considerablemente
complicado y no se examinará en este texto.
Deformada
Fig. 5-27
No deformación
Me
posib
secck
de có
la fie«
del es
tari as
seccid
obser
un esi
bién n
to de i
perari
cortan
embar
que ac
a su ve
tes t y
Los i
ría de 1
guiares
fuerzo i
que esi
puntos
Tambié
da flecl
ción tra
que tea
metida
guio de
versal n
S ección
5.6 Flechas sólidas no circulares • 229
Tm;íx
Distribución del esfuerzo cortante
a lo largo de dos líneas radiales
(a)
Alabeo del área de la sección transversal
(b)
(c)
Fig. 5-28
Mediante un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad es
posible determ inar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha de
sección transversal cuadrada. En la figura 5-28« se m uestran ejemplos
de cómo varía este esfuerzo cortante a lo largo de dos líneas radiales de
la flecha. Según se dijo anteriorm ente, a causa de que estas distribuciones
del esfuerzo cortante varían de manera compleja, las deformaciones uni­
tarias cortantes que generan tendrán como consecuencia un alabeo de la
sección transversal conforme se muestra en la figura 5-28b. En particular,
observe que los puntos de las esquinas de la flecha estarán sometidos a
un esfuerzo cortante nulo y, por tanto, a una deformación cortante tam­
bién nula. La razón para esto puede mostrarse al considerar un elemen­
to de material situado en uno de estos puntos, figura 5-28c. Se podría es­
perar que la carga sombreada de este elemento esté sometida a un esfuerzo
cortante con objeto de ayudar a resistir el par de torsión aplicado T . Sin
embargo, esto no sucede aquí, puesto que los esfuerzos cortantes r y r',
que actúan sobre la superficie exterior de la flecha, deben ser cero, lo cual
a su vez implica que las componentes de esfuerzo cortante correspondien­
tes r y / en la cara som breada deben ser también iguales a cero.
Los resultados del análisis anterior, junto con otros resultados de la teo­
ría de la elasticidad para flechas que tengan secciones transversales trian­
gulares y elípticas, se muestran en la tabla 5-1. En todos los casos, el es­
fuerzo cortante máximo se presenta en un punto de la sección transversal
que esté menos distante del eje central de la flecha. En la tabla 5-1 estos
puntos están indicados con puntos negros en las secciones transversales.
También se dan en la tabla las fórmulas para el ángulo de torsión de ca­
da flecha. Extendiendo estos resultados a una flecha que tenga una sec­
ción transversal arbitraria, puede dem ostrarse asimismo que una flecha
que tenga una sección transversal circular es más eficiente, ya que está so­
metida tanto a un esfuerzo cortante máximo más pequeño como a un án­
gulo de torsión más pequeño que una flecha que tenga una sección trans­
versal no circular y está sometida al mismo par de torsión.
T A B L A 5-1
Forma de la
sección transversal
Tmáx
<P
4.81 T
7.10 TL
a3
a 4C
20 T
46 TL
Cuadrada
a
Triángulo equilátero
„3
a*G
Elipse
(q2 + b 2)TL
7ta3b 3G
230 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
La flecha de aluminio 6061-T6 mostrada en la figura 5-29 tiene una sec­
ción transversal en forma de triángulo equilátero. Determ ine el par de
torsión T más grande que puede aplicarse al extremo de la flecha si el
esfuerzo cortante permisible es rperm = 8 klb/pulg 2 y el ángulo de tor­
sión máximo permitido en su extremo es de <j>peim = 0.02 rad. ¿Qué par
de torsión puede aplicarse a una flecha de sección circular hecha con
la misma cantidad de material?
Solución
Por inspección, el par de torsión interno resultante en cualquier sec­
ción transversal a lo largo del eje de la flecha es tam bién T. Con las
fórmulas para rmáx y d>de la tabla 5-1, se requiere:
207
' perm
( 1 0 3) lb/pulg 2 =
8
„3 ’
.60°
207
(1.5 pulg ) 3
7 = 1350 Ib • pulg
También,
1.5 pulg
467L
perm
Fig. 5-29
0 .0 2
a4G,al ‘
rad =
467(4 pies)(12 pulg/pie)
(1.5 pulg)4 [3.7(106) lb/pulg 2
7 = 170 Ib • pulg
Resp.
Por comparación, se ve que el par de torsión más grande es limitado
por el ángulo de torsión permisible.
Sección transversal circular. Si se va a usar la misma cantidad de alu­
minio para una flecha de igual longitud con sección transversal circu­
lar, debemos calcular primero el radio de ésta. Tenemos:
7TC~ — ~ ( 1.5
•^ círculo — ^ triá n g u lo »
pulg) (1.5 Sen 60 )
c = 0.557 pulg
Por los requisitos de esfuerzo y ángulo de torsión se requiere:
7(0.557 pulg)
V rm = y ;
8
( 1 0 3) lb/pulg 2 =
( tt/ 2)(0.557 pulg4)
7 = 2170 Ib • pulg
perm
TL
JG,,i
0 .0 2
rad =
7 (4 pies)(12 pulg/pie)
( tt/ 2)(0.557 pulg4) [3.7(106) lb/pulg2]
7 = 233 Ib • pulg
Nuevamente, el ángulo de torsión limita al par aplicable.
C om parando este resultado (233 Ib • pulg) con el dado antes
(170 Ib • pulg), se ve que una flecha con sección transversal circular pue­
de soportar 37% más par de torsión que una con sección transversal
triangular.
S ecció n
*5.7
5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 231
Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas
A menudo se emplean tubos de paredes delgadas de forma no circular
para construir estructuras de peso ligero tales como las usadas en los ae­
roplanos. En algunas aplicaciones pueden estar sometidas a una carga de
torsión. En esta sección analizaremos los efectos de aplicar un par de tor­
sión a un tubo de pared delgada que tenga una sección transversal cerra­
da, es decir, un tubo que no tenga aberturas a lo largo de su longitud. En
la figura 5-30« se muestra un tubo de tal tipo, que tiene una sección trans­
versal constante pero de forma arbitraria. Para el análisis supondremos
que las paredes tienen un espesor variable t. Puesto que las paredes sor del­
gadas, podemos obtener una solución aproximada para el esfuerzo cortan­
te suponiendo que este esfuerzo está distribuido uniformemente a través
del espesor del tubo. En otras palabras podremos determ inar el esfuerzo
cortante promedio en el tubo en cualquier punto dado. Sin embargo, an­
tes de hacerlo, veremos primero algunos conceptos preliminares con res­
pecto a la acción del esfuerzo cortante sobre la sección transversal.
Flujo cortante. En las figuras 5-30« y 5-306 se m uestra un elemento
pequeño del tubo, que tiene una longitud finita s y un ancho diferencial
dx. En un extremo, el elemento tiene un espesor tA, y en el otro extremo
el espesor es tB. Debido al par de torsión aplicado T, en la cara frontal del
elemento se desarrolla un esfuerzo cortante. Específicamente, en el extre­
mo A el esfuerzo cortante es t a , y en el otro extremo B es t b . Estos es­
fuerzos pueden relacionarse observando que esfuerzos cortantes equiva­
lentes t a y t b deben tam bién actuar sobre los lados longitudinales del
elemento, que se m uestran sombreados en la figura 5-306. Puesto que es­
tos lados tienen espesores tA y tB constantes, las fuerzas que actúan sobre
ellos son dFA = TA (tA dx) y dFB = t b ( t B dx). El equilibrio de las fuerzas
requiere que éstas sean de igual magnitud pero de sentido opuesto, de mo­
do que:
ib)
JA l A ~ r B t B
Este im portante resultado establece que el producto del esfuerzo cortan­
te longitudinal prom edio m ultiplicado p o r el espesor del tubo es el mis­
mo en todo punto del área transversal del tubo. Este producto se llama
flu jo de cortante,* q, y en términos generales puede expresarse como:
<? =
prom
(5-17)
Puesto que q es constante sobre la sección transversal, el esfuerzo cortan­
te promedio más grande ocurrirá donde el espesor del tubo es más pe­
queño.
*Se usa el térm ino "flujo", ya que co n cep tu alm en te q es análogo al agua que fluye por un ca­
nal ab ie rto Je sección transversal rectan g u lar con a ltu ra co n stan te y ancho variable w. A un­
q u e la velocidad v del agua en cada p u n to a lo largo del canal es d iferen te (igual que Tprom).
el flujo q = tnv es co n stan te
Fig. 5-30
Si un elem ento diferencial que tenga un espesor t, una longitud ds y un
ancho dx se aísla del tubo, figura 5-30c, se ve que el área som breada so­
bre la que actúa el esfuerzo cortante promedio es dA = t ds. Por tanto,
d F = Tpromr ds = q d s,o q = dF/ds. En otras palabras, el flujo de cortan­
te, que es constante en el área de la sección transversal, mide la fuerza por
unidad de longitud a lo largo del área de la sección transversal del tubo.
Es im portante observar que las componentes de esfuerzo cortante que
se m uestran en la figura 5-30c son las únicas que actúan en el tubo. Las
componentes que actúan en la otra dirección, como se muestra en la figu­
ra 5-30d, no pueden existir. Ello se debe a que las caras superior e infe­
rior del elem ento están en las paredes interior y exterior del tubo, y estas
superficies deben estar libres de esfuerzo. En su lugar, según se observó
arriba, el par de torsión aplicado hace que el flujo de cortante y el esfuer­
zo promedio estén siempre dirigidos tangencialmente a la pared del tubo,
de manera que contribuyan al par de torsión resultantes T.
: T" = 0
libre de
esfuerzo (superior)
Superficie libre
de esfuerzo (inferior)
Esfuerzo cortante promedio. El esfuerzo cortante promedio, rprom,
que actúa en el área som breada dA = t ds del elem ento diferencial mos­
trado en la figura 5-30c, puede relacionarse con el par de torsión T con­
siderando el par producido por el esfuerzo cortante con respecto a un
punto O seleccionado dentro de los límites del tubo, figura 5-30<?. Como
se m uestra, el esfuerzo cortante desarrolla una fuerza dF = TpromdA =
Tprom(í ds) en el elemento. Esta fuerza actúa tangencialmente a la línea
central de la sección transversal del tubo, y, como el brazo de palanca es
h, el par de torsión es:
d T = h(dF) = h(Tpromtd s)
Para toda la sección transversal se requiere que:
^prom^ ds
Aquí, la “integral de línea” indica que la integración se lleva a cabo alre­
dedor de todo el límite del área. Puesto que el flujo de cortante q = Tp ro m í
es constante, estos términos reunidos pueden ser factorizados fuera de la
integral, de modo que:
(e)
T = Tpromí
0
h ds
Puede hacerse una simplificación gráfica para evaluar la integral obser­
vando que el área media, mostrada por el triángulo som breado en la figu­
ra 5-30e, es d A m = (1 /2)h ds. Entonces,
T
1 = ^2 1t prom1t d A nj
2Tpromt A m
S ecció n
5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 233
Despejando Tprom, tenemos
(5-18)
Aquí,
Tprom = esfuerzo cortante promedio que actúa en el espesor del tubo
T = par de torsión resultante en la sección transversal, el cual se halla
usando el método de las secciones y las ecuaciones de equilibrio
t = espesor del tubo donde se va a calcular rprom
A„, = área media encerrada por la línea central del espesor del tubo. A,„
se muestra som breada en la figura 5-30f.
Puesto que q = rpromí, podemos determ inar el flujo de cortante en la
sección transversal usando la ecuación
(5-19)
Ángulo de torsión. El ángulo de torsión de un tubo de pared delga­
da de longitud L puede determ inarse usando los métodos de la energía y
más adelante en el texto se propone como un problem a el desarrollo de
la ecuación necesaria.* Si el material se com porta de m anera elástico-lineal y G es el módulo de cortante, entonces este ángulo dado en radia­
nes, puede expresarse por:
T L I ds
* ~ Z Z 5 ? T
,c n x
( 5 -2 0 )
Aquí la integración debe llevarse a cabo alrededor de todo el límite del
área de la sección transversal del tubo.
PUNTOS IMPORTANTES
• El flujo cortante q es el producto del espesor del tubo y el esfuer­
zo cortante promedio. Este valor es constante en todos los pun­
tos a lo largo de la sección transversal del tubo. E n consecuencia,
el esfuerzo promedio máximo sobre la sección transversal ocurre
donde el espesor del tubo es más pequeño.
• El flujo cortante y el esfuerzo cortante promedio actúan tangen­
cialmente a la pared del tubo en todos los puntos y en una direc­
ción tal que contribuya al par resultante.
*V é a se el problem a 14-19.
234 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
Calcule el esfuerzo cortante prom edio en un tubo de pared delgada
con sección transversal circular de radio medio r,„ y espesor t. que es­
tá sometido a un par de torsión T, figura 5-31«. ¿Cuál es el ángulo de
torsión relativo si el tubo tiene una longitud L?
Solución
Esfuerzo cortante promedio. El área media del tubo es A m = Trr?n¡.
Aplicando la ecuación 5-18 obtenemos:
• prom
(a)
Distribución del esfuerzo
cortante real
(fórmula de la torsión)
2 tA m
lirtr-
Resp.
Podemos verificar la validez de este resultado aplicando la fórmula
de la torsión. En este caso, usando la ecuación 5-9, tenemos
/ = j ( r i - rf)
=
d + rj)(r0 + r¡){r0 - r¡)
Como r„, = r0 = r¡ y t = ra - r¡,J = — [(2r2m)(2rm)t] = 2irr3„,t
Distribución del esfuerzo
corlante promedio
(aproximación de pared delgada)
(b)
Fig. 5-31
Trm
Trm
T
r prom = — = - — — = -— j
J
2 v r mt
27Ttrí,
de manera que
Resp.
que concuerda con el resultado previo.
La distribución del esfuerzo cortante promedio que actúa sobre to­
da la sección transversal del tubo se muestra en la figura 5-316. Tam­
bién se muestra la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre
una línea radial, calculado con la fórmula de la torsión. Observe cómo
cada Tprom actúa en una dirección tal que contribuye a generar un par
de torsión resultante T en la sección. Conforme el espesor del tubo dis­
minuye, el esfuerzo cortante en todo el tubo resulta más uniforme.
Ángulo de torsión.
$ =
Aplicando la ecuación 5-20 tenemos:
TL
/ ds
TL
4 A ÍG
La integral representa la longitud alrededor de la línea central limítro­
fe, que es 2 irrm. Sustituyendo, el resultado final es:
TL
^— T77.
2 t t i ,„Gt
^sp
Demuestre que se obtiene el mismo resultado usando la ecuación 5-15.
S ecció n 5 .7
Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 235
E J E M P L O
El tubo es de bronce C86100 y tiene una sección transversal rectangu­
lar como se muestra en la figura 5-32a. Determ ine el esfuerzo cortan­
te promedio en los puntos A y B del tubo cuando éste está sometido a
los dos pares mostrados. ¿Cuál es el ángulo de torsión del extremo C?
El tubo está em potrado en E.
35 N-m
3 rnin
25 N-m
D
(b)
60 N-m
Solución
Esfuerzo cortante prom edio. Si se secciona el tubo a través de los
puntos A y B, el diagrama de cuerpo libre resultante es el mostrado en
la figura 5-32b. El par de torsión interno es de 35 N • m. Como se mues­
tra en la figura 5-32d, el área A,„ es:
60 N-m
(c)
A m = (0.035 m )(0.057 m) - 0.00200 n r
57 mm
Aplicando la ecuación 5-18 al punto A , tA = 5 mm, por lo que:
ta
=
- Z —
A
2 tA m
En el punto B j
b
=
-------------- 3
B
=
—
— =
-------------------
1 .7 5
MPa
Resp.
= 3 mm. por lo que:
T
t r
5 - N
2(0.005 m )(0.00200m 2)
35 mm
35 N • m
---------- ---- ---------------------------------------------—
2 tA m
2(0.003 m )(0.00200 m2)
2.92 MPa
Resp.
Estos resultados se muestran sobre elementos de material localiza­
dos en los puntos A y B, figura 5-32e. Note cuidadosamente cómo el
par de 35 N • m en la figura 5-32b genera esos esfuerzos sobre las caras
sombreadas de cada elemento.
Ángulo de torsión. De los diagramas de cuerpo libre en las figuras
5-32b y 5-32c, los pares de torsión internos en las regiones D E y CD
son de 35 N • m y de 60 N • m, respectivamente. De acuerdo con la con­
vención de signos establecida en la sección 5.4, estos pares son ambos
positivos. Así, la ecuación 5-20 nos da:
TL
-i*
4 A lfil.■J t
60 N • m(0.5 m)
4(0.00200 m2)2(38(109) N /m 2)
+
35 N • m(1.5 m)
4(0.00200 m2)2(38(109) N /m 2)
= 6.29(10-3) rad
57 mm
5 mm
+
2
35 mm
3 mm
57 mm
5 mm
+ 2
35 mm
3 mm
Resp.
(d)
2.92 MPa
1.75 MPa
236 • CAPITULO 5 Torsión
Un tubo cuadrado de aluminio tiene las dim ensiones m ostradas en
la figura 5-33a. Determ ine el esfuerzo cortante promedio en el punto
A del tubo cuando éste está sometido a un par de torsión de 85 Ib- pie.
Calcule también el ángulo de torsión debido a esta carga. Considere
Gai = 3.80(103) klb/pulg2.
(a)
Solución
Esfuerzo cortante promedio. Por inspección, el par de torsión inter­
no resultante en la sección transversal donde se encuentra A es T =
85 Ib • pie. De la figura 5-33¿>, el área A„, que aparece sombreada, es:
A m = (2.5 pulg) (2.5 pulg)= 6.25 pulg 2
2.5 pulg
Aplicando la ecuación 5-18,
T
85 Ib -pie(12 pulg/pie)
2tA„,
2(0.5 pulg)(6.25 pulg2)
= 163 lb/pulg
Resp.
Como t es constante, excepto en las esquinas, el esfuerzo cortante pro­
medio es el mismo en todos los puntos de la sección transversal. En la
figura 5-33c se muestra actuando sobre un elem ento localizado en el
punto A. Advierta que Tprom actúa hacia arriba sobre la cara som brea­
da, contribuyendo así a generar el par T interno resultante en la sec­
ción.
163 lb/pulg2
Ángulo de torsión. El ángulo de torsión generado por T se determ i­
na con la ecuación 5-20, esto es,
TL
85 Ib • pie(12 pulg/pie)(5 pies)(12 pulg/pie)
4 A zmG .
4(6.25 pulg2)2[3.80(106) lb/pulg2]
ds
= 0.206(10~3) p u l g j ) ds
(0.5 pulg)
La integral en esta expresión representa la longitud de la línea central
limítrofe del tubo, figura 5-33£>. Así,
4> = 0.206(10 ) pulg
[4(2.5 pulg)] = 2.06(10 ) rad
Resp.
S e c c ió n
5.7 Tubos de pared delgada con secciones transversales cerradas • 237
E J E M I P L O M » -------------------------------------------U n tubo delgado está hecho de 3 placas de acero A-36 de 5 mm de es­
pesor que forman una sección transversal triangular como se muestra
en la figura 5-34a. Determ ine el par de torsión 7 máximo a que puede
quedar sometido si el esfuerzo cortante permisible es rperm = 90 MPa
y el tubo no debe girar más de = 2 ( 1 0 ~3) rad.
Solución
El área A,„ se m uestra som breada en la figura 5-34¿> y es igual a:
Am=
^ (2 0 0
m m ) ( 2 0 0 mm sen 60°)
= 17.32(103) mm 2 (10 - 6 m 2 /m m 2) = 17.32(10"3) m 2
El esfuerzo cortante promedio más grande ocurre en puntos en que el
espesor del tubo es más pequeño, esto es, a lo largo de los lados y no
en las esquinas. Aplicando la ecuación 5-18 con t = 0.005 m, obtene­
mos
7
Tprom =
90(106) N /m 2 =
2(0.005 m)(17.32(10“3) m2)
7 = 15.6
15.' kN • m
De la ecuación 5-20 tenemos:
0 .0 0 2
rad =
7(3 m)
/
4(17.32(10-3) m ) 2 [75(109) N /m 2] J (0.005 m)
La integral representa la suma de las dimensiones a lo largo de los tres
lados de la línea central limítrofe. Así,
300.0 = 7[3(0.20 m)]
7 = 500 N • m
Resp.
Por comparación, la aplicación del par de torsión está restringida por
el ángulo de torsión.
Fig. 5-34
238 • CAPÍTULO 5 Torsión
PROBLEMAS
*5 -8 8 . La barra de aluminio tiene una sección transver­
sal cuadrada de 10 mm por 10 mm. Determine el par de
torsión T necesario para que un extremo gire 90° con res­
pecto al otro, si la barra tiene 8 m de longitud. Ga| =
28 GPa, (ry)a, = 240 MPa.
La flecha está hecha de plástico y tiene una sección
transversal elíptica. Si está sometida a la carga torsional
mostrada, determine el esfuerzo cortante en el punto A y
muestre el esfuerzo cortante sobre un elemento de volu­
men localizado en este punto. Además, determine el ángu­
lo de torsión <f>en el extremo B. Gp = 15 GPa.
5-93.
Determine la cantidad en que se incrementa el es­
fuerzo cortante máximo en una flecha con sección elípti­
ca respecto a una flecha con sección transversal circular si
ambas flechas resisten el mismo par de torsión.
5-89.
5-90. Si a = 25 mm y b = 15 mm, determine el esfuerzo
cortante máximo en las flechas circular y elíptica cuando
el par de torsión aplicado es T = 80 N •m. ¿En qué porcen­
taje es más eficiente para resistir el par de torsión la fle­
cha de sección circular que la flecha de sección elíptica?
La flecha de sección cuadrada se usa en el extremo
de un cable impulsor con el fin de registrar la rotación del
cable en un aparato medidor. Si tiene las dimensiones mos­
tradas y está sometida a un par de 8 N • m, determine el
esfuerzo cortante en el punto A de la flecha. Esboce el es­
fuerzo cortante sobre un elemento de volumen situado en
este punto.
5-94.
P ro b s. 5-89/90
La flecha de acero tiene 12 pulg de longitud y se
atornilla a la pared por medio de una llave. Determine las
fuerzas Fdel par máximo que pueden aplicarse a la flecha
sin que el acero fluya. ry = 8 klb/pulg2.
5-91.
*5 - 9 2 . La flecha de acero tiene 12 pulg de longitud y
se atornilla a la pared por medio de una llave. Determine
el esfuerzo cortante máximo en la flecha y la magnitud
del desplazamiento que experimenta cada fuerza del
par si éstas tienen una magnitud F = 30 Ib. Gac =
1 0 .8 C
1 0 3) klb/pulg2.
Pro blem a s
5-95. La flecha de aluminio está em potrada en sus extre­
mos A y B. Determ ine las reacciones en los em potram ien­
tos cuando se somete a un par de torsión de 80 Ib-pie en
C. La flecha tiene sección transversal cuadrada de 2 pulg
por 2 pulg. También, ¿cuál es el ángulo de torsión en C?
Ga| = 3.8(103) klb/pulg2.
•
239
5-98. El tubo de plástico está sometido a un par de tor­
sión de 150 N • m. D eterm ine la dimensión media a de sus
lados si el esfuerzo cortante permisible rp[.rm = 60 MPa.
Cada lado tiene un espesor t = 3 mm. Desprecie las con­
centraciones de esfuerzos en las esquinas.
5-99. El tubo de plástico está sometido a un par de tor­
sión de 150 N • m. Determ ine el esfuerzo cortante prom e­
dio en el tubo si la dimensión media a = 200 mm. Cada
lado tiene un espesor t = 3 mm. Desprecie las concentra­
ciones de esfuerzos en las esquinas.
P ro b . 5-95
*5-96. Se quiere fabricar una barra circular para resistir
un par de torsión; sin embargo, la barra resulta con sección
transversal elíptica durante el proceso de manufactura, con
una dimensión más pequeña que la otra por un factor k
como se muestra. Determ ine el factor por el que se incre­
menta el esfuerzo cortante máximo.
150 N-m
P robs. 5-98/99
D eterm ine el espesor constante del tubo rectan­
gular si el esfuerzo cortante promedio no debe exceder de
12 kib/pulg2 cuando se aplica un p ar de torsión T =
20 klb • pulg al tubo. Desprecie las concentraciones de es­
fuerzos en las esquinas. Se muestran las dimensiones me­
dias del tubo.
*5-100.
D eterm ine el par de torsión T que puede aplicar­
se al tubo rectangular si el esfuerzo cortante prom edio no
debe exceder de 12 klb/pulg2. Desprecie las concentracio­
nes de esfuerzos en las esquinas. Se muestran las dimen­
siones medias del tubo y su espesor es de 0.125 pulg.
5-101.
P ro b . 5-96
5-97. Se aplica un par de torsión T a dos tubos con las
secciones transversales mostradas. Compare el flujo de cor­
tante desarrollado en cada tubo.
Prob. 5-97
Probs. 5-100/101
240 • CAPÍTULO 5 Torsión
5-102. Se aplica un par de torsión de 2 klb • pulg al tubo
que tiene un espesor de 0.1 pulg en su pared. Determ ine
el esfuerzo cortante promedio en el tubo.
*5-104. El tubo de acero tiene una sección transversal
elíptica con las dimensiones medias mostradas y un espe­
sor constante t = 0.2 pulg. Si el esfuerzo cortante permisi­
ble es Tpcrn, = 8 klb/pulg2 y el tubo debe resistir un par de
torsión T = 250 Ib pie, determine la dimensión b necesa­
ria. El área media de la elipse es A,„ = Trb(0.5b).
Ib-pie
P ro b . 5-102
P ro b . 5-104
5-103. El tubo está hecho de plástico, su pared es de 5 mm
de espesor y tiene las dimensiones medias mostradas. D e­
term ine el esfuerzo cortante promedio en los puntos A y
B cuando está som etido al par de torsión T - 5 N • m.
M uestre el esfuerzo cortante sobre elementos de volumen
localizados en esos puntos.
Prob. 5-103
5-105. El tubo está hecho de plástico, tiene 5 mm de es­
pesor y las dimensiones medias son las mostradas. D eter­
mine el esfuerzo cortante prom edio en los puntos A y
B cuando el tubo está som etido al p ar de torsión T =
500 N • m. M uestre el esfuerzo cortante sobre elementos
de volumen localizados en esos puntos. Desprecie las con­
centraciones de esfuerzos en las esquinas.
Prob. 5-105
P ro blem a s
Una porción del fuselaje de un avión puede apro­
ximarse por la sección transversal mostrada. Si el espesor
de su pared de aluminio 2014-T6 es de 10 mm. determine
el par de torsión máximo T que puede aplicarse si rperm =
4 MPa. Además, determine el ángulo de torsión en una sec­
ción de 4 m de longitud.
5-106.
•
241
*5-108. El tubo exagonal de plástico está sometido a un
par de torsión de 150 N • m. Determine la dimensión me­
dia a de sus lados si el esfuerzo cortante permisible es
Tperm = 60 MPa. Cada lado tiene un espesor t = 3 mm.
Prob. 5-108
Debido a la fabricación, el círculo interior del tu­
bo es excéntrico con respeto al círculo exterior. ¿En qué
porcentaje se reduce la resistencia torsional cuando la ex­
centricidad e es igual a un cuarto de la diferencia de los
radios?
5-109.
Prob. 5-106
5-107.
El tubo simétrico está hecho de un acero de alta
resistencia con las dimensiones medias mostradas y con un
espesor de 5 mm. Determine el esfuerzo cortante prome­
dio desarrollado en los puntos A y B cuando se somete a
un par de torsión T = 40 N • m. Muestre el esfuerzo cortan­
te en elementos de volumen localizados en esos puntos.
Prob. 5-109
Para un esfuerzo cortante máximo dado, determi­
ne el factor en que se incrementa la capacidad de tomar
un par de torsión si la sección semicircular se invierte de
la posición punteada a la sección mostrada. El tubo tiene
0 . 1 pulg de espesor.
5-110.
Prob. 5-107
Prob. 5-110
242
5.8
• CAPÍTULO 5 Torsión
Concentración de esfuerzos
La fórmula de la torsión, rmáx = Tc/J, puede aplicarse a regiones de una
flecha que tenga una sección transversal circular constante o un ligero
ahusamiento. Cuando se presentan cambios bruscos en la sección trans­
versal, tanto la distribución de esfuerzo cortante como la distribución de
deformación cortante en la flecha se vuelven complejas y pueden obte­
nerse sólo por el uso de m étodos experim entales o posiblem ente por
un análisis matemático basado en la teoría de la elasticidad. En la figura
5-35 se muestran tres discontinuidades de la sección transversal comunes
en la práctica. Ellas son los copies, que se usan para conectar dos flechas
colineales entre sí, figura 5-35«: los cimeros, usados para conectar engra­
nes o poleas a una flecha, figura 5-35b, y los filetes, utilizados para fabri­
car una flecha colineal única de dos flechas que tienen diámetros diferen­
tes, figura 5-35c. En cada caso el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en el
punto indicado de la sección transversal.
Con objeto de eliminar la necesidad de llevar a cabo un análisis com­
plejo de esfuerzo en una discontinuidad de la flecha, el esfuerzo cortante
máximo puede determ inarse para una geometría especificada usando un
fa cto r de concentración de esfuerzos torsionales, K. Como en el caso de
miembros cargados axialmente, sección .4.7, K es por lo regular tomado
de una gráfica. En la figura 5-36 se muestra un ejemplo de una flecha con
filetes. Para usar esta gráfica, primero se calcula la relación geométrica
Fig. 5-35
2.0
1.9
1.8
1.7
1.6
K 15
1.4
1.3
1.2
1.1
Fig. 5-36
S ec c ió n
; una
igero
rans5n de
obtee por
ígura
tunes
echas
ngrafabrierenen el
com•tante
do un
tso de
mado
la con
étrica
5.8 Concentración de esfuerzos • 243
D/cl para definir la curva apropiada y después, una vez calculada la abs­
cisa r/d, se halla el valor de K a lo largo de la ordenada. El esfuerzo cor­
tante máximo se determ ina según la ecuación:
(5-21)
Aquí, la fórmula de la torsión se aplica a la más pequeña de las dos fle­
chas conectadas, puesto que rmáx ocurre en la base del filete, figura 5-35c.
Puede observarse en la gráfica que un aumento en el radio r del filete
causa una disminución de K. Por tanto, el esfuerzo cortante máximo en la
flecha puede reducirse aumentando el radio del filete. También, si se re­
duce el diámetro de la flecha más grande, la relación D /d será menor, así
como el valor de K , y por tanto Tmáx será menor.
Como en el caso de miembros cargados axialmente, los factores de con­
centración de esfuerzos torsionantes deben utilizarse siempre que se di­
señen flechas de materiales frágiles, o cuando van a estar sometidas a fa ­
tiga o a cargas de torsión cíclicas. Estos tipos de carga dan lugar a la
formación de grietas en la zona de concentración de esfuerzos, y esto pue­
de a menudo conducir a una falla súbita de la flecha. Obsérvese también
que si se aplica una carga torsional estática grande a una flecha fabricada
de un material dúctil, entonces pueden desarrollarse deformaciones inelásticas en la flecha. Como resultado de la fluencia, la distribución del es­
fuerzo estará distribuida más suavemente en la flecha, de modo que el
esfuerzo máximo que resulte no estará limitado a la zona de concentra­
ción de esfuerzos. Este fenómeno se estudiará más ampliamente en la sec­
ción siguiente.
PUNTOS IMPORTANTES
• Las concentraciones de esfuerzos en flechas ocurren en puntos de
cambios repentinos en la sección transversal, como acoplamien­
tos o cuñeros y filetes. Entre más severo es el cambio, mayor se­
rá la concentración de los esfuerzos.
• Para el análisis o el diseño, no es necesario conocer la distribu­
ción exacta del esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Es
posible obtener el esfuerzo cortante máximo usando un factor K
de concentración de esfuerzos, que ha sido determinado mediante
experimentos y es sólo una función de la geometría de la flecha.
• Normalmente, la concentración de esfuerzos en una flecha dúctil
sometida a un par de torsión estático no tendrá que ser conside­
rado en el diseño, sin embargo, si el material es frágil, o está so­
metido a cargas de fatiga, entonces las concentraciones de esfuer­
zos resultan importantes.
Las concentraciones de esfuerzos pueden
ocurrir en el acoplamiento de estas flechas,
lo que debe tomarse en cuenta al diseñar el
acoplamiento.
244 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
La flecha escalonada mostrada en la figura 5-37a está soportada por
cojinetes & r\A yB . Determine el esfuerzo máximo en la flecha debido
a los pares de torsión aplicados. El filete en la unión de cada flecha tie­
ne un radio r de 6 mm.
60 N m
30 Nm
Fig. 5-37
r=30 N-m
30 N-m
Solución
'O
(b)
Par de torsión interno. Por inspección, el equilibrio por m om ento
respecto al eje de la flecha se satisface. Como el esfuerzo cortante má­
ximo ocurre en los extremos de las raíces de las flechas de menor diá­
metro, el par interno (30 N •m) puede encontrarse ahí aplicando el mé­
todo de las secciones, figura 5-37b.
Esfuerzo cortante máximo. El factor de concentración de esfuerzos
puede determ inarse usando la figura 5-36. De la geometría de la flecha
tenemos:
esfuerzo cortante
predicha por la
fórmula de
la torsión
del esfuerzo cortante
según la concentración
de esfuerzos
D
2(40 mm)
d
2 (2 0
r _
d
mm
= 0.15
2 ( 2 0 mm)
mm)
=
2
6
Con estos parám etros se obtiene K = 1.3.
Aplicando la ecuación 5-21, tenemos:
(c)
K
Te
= 1.3
30 N • m(0.020 m)
. Í7r/2)(0.020 m)
= 3.10 MPa
Resp.
Por evidencia experimental, la distribución real de los esfuerzos a lo
largo de una línea radial en la sección transversal de la sección crítica
tiene una forma similar a la mostrada en la figura 5-37c, y en la cual se
compara con la distribución lineal de esfuerzos obtenida con la fórmu­
la de la torsión.
S e c c ió n
*5.9
Torsión inelástica
Las ecuaciones para el esfuerzo y la deformación desarrolladas hasta aho­
ra son válidas solamente si el par de torsión aplicado ocasiona que el ma­
terial se comporte de m anera elástico-lineal. Sin embargo, si las cargas de
torsión son excesivas, el material puede fluir y, por consiguiente, deberá
usarse entonces un “análisis plástico” para determ inar la distribución del
esfuerzo cortante y el ángulo de torsión. Para llevar a cabo este análisis es
necesario satisfacer las condiciones tanto de deformación como de equi
librio en la flecha.
En la sección 5.1 se mostró que las deformaciones unitarias cortantes
que se desarrollan en el material deben variar linealmente desde cero en
el centro de la flecha hasta un máximo en su límite exterior, figura 5-38«.
Esta conclusión se basó enteram ente en consideraciones geométricas y
no en el com portam iento del material. También el par de torsión resul­
tante en la sección debe ser equivalente al par de torsión causado por to­
da la distribución de esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Esta
condición puede expresarse m atemáticamente considerando el esfuerzo
cortante r que actúa sobre un elemento de área dA localizado a una dis­
tancia pdel centro de la flecha, figura 5-386. La fuerza producida por es­
te esfuerzo es dF = r dA , y el par de torsión producido es d T - p d F =
p r dA . Para toda la flecha se requiere que:
T = [ p rdA
(5-22)
Si el área dA sobre la cual actúa r puede definirse como un anillo dife­
rencial que tiene un área de dA = 2irp dp, figura 5-38c, entonces la ecua­
ción anterior puede escribirse como:
rp 2 dp
T = 2tt
(5-23)
A
Estas condiciones de geometría y carga serán usadas ahora para deter­
minar la distribución del esfuerzo cortante en una flecha cuando está so­
metida a tres tipos de par de torsión.
Distribución linea!
esfuerzo-deformación unitaria
(a)
Fig. 5-38
5.9 Torsión inelàstica • 245
246 • CAPÍTULO 5 Torsión
Par elástico máximo. Si el par de torsión produce la máxima defor­
mación unitaria cortante elástica y Y en el límite exterior de la flecha, en­
tonces la distribución de la deformación unitaria cortante a lo largo de
una línea radial de la flecha será como la mostrada en la figura 5-3%. Pa­
ra establecer la distribución del esfuerzo cortante, debemos usar ya sea la
ley de Hooke o hallar los valores correspondientes del esfuerzo cortante
a partir del diagrama r-y del material, figura 5-39«. Por ejemplo, una de­
formación unitaria cortante y Y produce el esfuerzo cortante t y en p = c.
De la misma manera, en p = p b la deformación unitaria cortante es yx =
(Pi/c)y Y. Según el diagrama r-y, yj produce rj. Cuando estos esfuerzo y
otros como ellos se trazan en p = c, p = pj, etc., resulta la distribución de
esfuerzo cortante lineal esperada en la figura 5-39c. Puesto que esta dis­
tribución de esfuerzo cortante puede describirse m atemáticamente como
t = t y ( p / c ) . el par máximo de torsión elástica puede determinarse a par­
tir de la ecuación 5-23, es decir,
Ty =
2
-rrJ TY ( ^ j p 2 dp
o
Ty =
j t y c3
(5-24)
Este mismo resultado puede, por supuesto, obtenerse de una m anera
más directa usando la fórmula de la torsión, es decir, t y = T y c/ [ ( tt / 2 )c4].
Además, el ángulo de torsión puede determinarse a partir de la ecuación
5-13, como sigue:
dx
dé = y —
(5-25)
Como se observó en la sección 5.4. esta ecuación da por resultado é ~
TL/JG, cuando la flecha está sometida a un par de torsión constante y tie­
ne un área transversal constante.
Par de torsión elastoplástico. Consideremos ahora que el material
de la flecha exhibe un comportamiento plástico perfectam ente elástico.
Como se muestra en la figura 5-40a. esto está caracterizado por un dia-
r
Distribución de la deformación
unitaria cortante
(b)
Fig. 5-39
Distribución del esfuerzo cortante
(c)
S e c c ió n
5.9 Torsión inelàstica
• 247
grama esfuerzo-deformación unitaria cortante en que el material experi­
menta una cantidad creciente de deformación unitaria cortante cuando
el esfuerzo cortante en el material alcanza el punto de fluencia t y ■Enton­
ces, a medida que el par de torsión aplicado vaya aum entando en magni­
tud arriba de TY, comenzará a presentarse la fluencia. Primero en el lími­
te exterior de la flecha, p = c, y luego, según la deform ación unitaria
cortante vaya aum entando a. digamos, y'. el límite de la fluencia progre­
sará hacia el centro de la flecha, figura 5-40i>. Como se muestra, esto pro­
duce un núcleo elástico, donde, por proporción, el radio externo del nú­
cleo espy = (yY /y')c.También la porción exterior de la flecha formará un
anillo o corona circular plástica, puesto que las deformaciones unitarias
cortante y son mayores que y Y dentro de esta región. En la figura 5-40c
se muestra la distribución del esfuerzo cortante correspondiente a lo lar­
go de una línea radial de la flecha. Ésta fue establecida tomando puntos
sucesivos en la distribución de la deformación unitaria cortante, y hallan­
do el valor correspondiente del esfuerzo cortante a partir del diagrama
r -y. Por ejemplo, en p = c, y ' da y Y, y en p = pY y Y da también t y , etcé­
tera.
Puesto que r puede ahora ser establecido en función de p, podemos apli­
car la ecuación 5-23 para determ inar el par de torsión. Como una fórmu­
la general, para un material de com portamiento elastoplástico. tenemos:
'o
7T
a
ZlT
. •a
-5 .
^— Typy + -X~tY(c - Py)
2
2py
Py
3
(5-26)
-A nillo
r r plástico
Distribución de la deformación
unitaria cortante
(b)
Fig. 5-40
Distribución del esfuerzo
cortante
(c)
248
• CAPÍTULO 5 Torsión
Par de torsión plástico. U n aumento adicional de T tenderá a reducir el
radio del núcleo elástico hasta que todo el material fluya, es decir, pY —» 0 ,
figura 5-406. El material de la flecha está entonces sometido a un com­
portamiento perfectamente plástico y la distribución del esfuerzo cortan­
te es constante, como se muestra en la figura 5-40d. Puesto que entonces
t = ry, podemos aplicar la ecuación 5-23 para determ inar el p a r de tor­
sión plástico, Tp, el cual representa el par de torsión más grande posible
que la flecha puede soportar.
C
Tp = 2tt
typ
2
dp
'o
= y TyC3
(5-27)
Por comparación con el par de torsión elástico máximo Ty, ecuación 5-24,
puede verse que:
r , - ¡T y
Severa torcedura de un espécimen de alu­
minio causada por la aplicación de un par de
torsión plástico.
En otras palabras, el par de torsión plástico es 33 % más grande que el par
de torsión elástico máximo.
El ángulo de torsión </>para la distribución del esfuerzo cortante en la
figura 5-40d no puede ser definido en forma única. Esto es porque r = t y
no corresponde a ningún valor único de la deformación unitaria cortante
7 5 :
En consecuencia, una vez que T p se aplica, la flecha continuará
deformándose o torciéndose, sin ningún aum ento correspondiente en el
esfuerzo cortante.
Par de torsión último. En general, la mayoría de los materiales de in­
geniería tendrán un diagrama esfuerzo-deformación unitaria cortantes
como el que se muestra en la figura 5-41«. Por consiguiente si T aumenta
de modo que la deformación unitaria cortante máxima en la flecha resulte
y = yu, figura 5-416, entonces, por proporción, y Y ocurre en pY = (y Y/y,,)c.
De igual manera, las deformaciones unitarias cortantes en, digamos, p =
P\ Y P ~ P2 pueden ser halladas por proporción, es decir, yx = {pi/c)yu y
y 2 = { P i / C)y u - Si se toman valores correspondientes de t ¡ , t y , t 2 y r „ del
diagrama r-y y se trazan, obtenemos la distribución del esfuerzo cortan-
Anillo
plástico
T
Núcleo
elástico
Yy
Y'
Distribución de la deformación
unitaria cortante
Par de torsión
totalmente plástico
(e)
(f)
(d)
Fig. 5-40 (cont.)
S e c c ió n
te, que actúa sobre una línea radial en la sección transversal, figura 5-41 c.
El par de torsión producido por esta distribución del esfuerzo se llama
p a r de torsión últim o, Tu, puesto que cualquier aum ento posterior en la
deformación unitaria cortante causará que el esfuerzo cortante máximo
en el límite exterior de la flecha sea m enor que r,„ y, por tanto, el par de
torsión producido por la distribución de esfuerzo cortante y resultante se­
ría menor que Tu.
La magnitud de T „ puede determ inarse integrando “gráficamente” la
ecuación 5-23. Para ello se segmenta el área de la sección transversal de
la flecha en un núm ero finito de anillos, tal como el que se muestra som­
breado en la figura 5-4 Id. El área del anillo, AA = 2-rrp Ap, se multiplica
por el esfuerzo cortante r que actúa sobre ella, de modo que la fuerza
AF = r AA puede determinarse. El par de torsión creado por esta fuer­
za es, entonces, AT = p AF = p (tA A ). La suma de todos los pares de tor­
sión en toda la sección transversal, así determ inada, da el par de torsión
último T„; esto es, la ecuación 5-23 se convierte en Tu ~ l i r l r p 2 Ap. Por
otra parte, si la distribución del esfuerzo puede expresarse como una fun­
ción analítica, r = /(p ), como en los casos del par de torsión elástica y plás­
tica, entonces la integración de la ecuación 5-23 puede llevarse a cabo di­
rectamente.
Distribución de la deformación
unitaria cortante última
(b)
Distribución del esfuerzo
cortante último
(c)
(d)
Fig. 5-41
PUNTOS IMPORTANTES
• La distribución esfuerzo-deformación unitaria sobre una línea ra­
dial se basa en consideraciones geométricas, y se encuentra que
siempre permanece lineal. Sin embargo, la distribución esfuerzo
cortante depende del par aplicado y debe por lo tanto ser deter­
minada a partir del com portamiento del material, o diagrama esfuerzo-deformación unitaria cortante.
• Una vez que se ha establecido la distribución esfuerzo cortante
para la flecha, ella produce un par de torsión respecto al eje de
la flecha que es equivalente al par de torsión resultante que ac­
túa sobre la sección transversal.
• El comportamiento perfectamente plástico supone, que la distri­
bución de esfuerzo cortante es constante, y que la flecha conti­
nuará torciéndose sin un incremento del par. Este par de torsión
se llama par de torsión plástico.
5.9 Torsión inelástica
(a)
249
250 .
CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
La flecha tubular en la figura 5-42« está hecha de una aleación de alu­
minio que tiene el diagrama elastoplástico r-y mostrado. Determ ine
(a) el par de torsión máximo que puede aplicarse a la flecha sin que el
material fluya, (b) el par de torsión máximo o par de torsión plástico
que puede aplicarse a la flecha. ¿Cuál debe ser la deformación unita­
ria cortante mínima en el radio exterior para que se desarrolle un par
de torsión plástico?
50 mm
Solución
30 mm
Par de torsión elástico máximo. Se requiere que el esfuerzo cortan­
te en la fibra exterior sea de 20 MPa. Usando la fórmula de la torsión,
tenemos:
r(M P a)
ty
=
7Ve
J '
20(106) N /m 2 =
TY = 3.42
7>(0.05 m)
(tt/2)[(0.05 m ) 4 - (0.03 m )4]
kN • m
Resp.
Las distribuciones del esfuerzo cortante y de la deformación unita­
ria cortante para este caso se muestran en la figura 5-426. Los valores
en la pared interior del tubo se obtienen por proporción.
Par de torsión plástico. La distribución del esfuerzo cortante en es­
te caso se muestra en la figura 5-42c. La aplicación de la ecuación 5-23
requiere que r = ry. Tenemos:
0.05 m
20 MPa
Distribución del esfuerzo
cortante elástico
1
0.05 m
[20(106) N /m 2]p2 dp = 125.66(106) - p 3
= 27T
0.03 m
A
i m
-'0.03
= 4 .1 0 k N -m
Resp.
Para este tubo, Tp representa 20% de increm ento en la capacidad
por par de torsión en comparación con el par elástico T Y.
Deformación unitaria cortante en el radio exterior. El tubo se plas­
tifica totalm ente cuando la deformación unitaria cortante en la pared
interior es de 0.286(10-3) rad, según se muestra en la figura 5-42c. Co­
mo la deformación unitaria cortante permanece lineal sobre la sección
transversal, la deformación unitaria plástica en las fibras exteriores del
tubo en la figura 5-42c se determina por proporción; esto es.
ya
0.286(10-3) rad
50 mm
30 mm
y a = 0.477(10-3) rad
Distribución de la deformación
unitaria cortante elástica
(b)
Fig . 5-42
cortame plástica inicial
cortante plástico
(c)
Resp.
S e c c ió n
E J E M P L O
5.9 Torsión inelàstica
5.20
U na flecha sólida circular tiene un radio de 20 mm y longitud de 1.5 m.
El material tiene un diagrama T-y elastoplástico como el mostrado en
la figura 5-43«. Determine el par de torsión necesario para torcer la fle­
cha un ángulo c¡>= 0 . 6 rad.
r(MPa)
(a)
Solución
Para resolver el problema obtendrem os prim ero la distribución de la
deformación cortante y luego la distribución del esfuerzo cortante. Una
vez determinado esto, puede fijarse la magnitud del par buscado.
La deformación cortante máxima ocurre en la superficie de la flecha,
es decir, en p = c. Como el ángulo de torsión es <f>= 0.6 rad en toda la
longitud de 1.5 m de la flecha, usando la ecuación 5-25 para toda la lon­
gitud, tenemos:
ó
0.6
= y-
Ymáx( 1-5 m )
=
Distribución de la deformación
unitaria cortante
(0.02 m)
Tmáx
y Y = 0.0016 rad
(b )
= 0.008 rad
La deformación cortante, que siempre varía linealmente, se muestra
en la figura 5-436. Note que el material fluye ya que ymáx > y Y = 0.0016
rad en la figura 5-43«. El radio del núcleo elástico, p y , puede obtener­
se por proporción. De la figura 5-436,
Py
m
0.008
0 .0 2
0.0016
py = 0.004 m = 4 mm
En la figura 5-43c se m uestra la distribución del esfuerzo cortante,
trazada sobre un segmento de línea radial, con base en la distribución
de la deformación cortante. El par de torsión puede ahora obtenerse
usando la ecuación 5-26. Sustituyendo los datos numéricos, se obtiene:
(c)
Fig. 5-43
T
= ^
( 4 c 3 -
tj-[75(106)
1.25 kN -m
p y )
N /m 2
[4(0.02 m )3 - (0.004 m )3]
Resp.
•
251
252
• CAPITULO 5 Torsión
*5.10
Esfuerzo residual
Cuando una flecha está sometida a deformaciones por cortante plástica
causadas por torsión, el retiro del par de torsión ocasionará que cierto es­
fuerzo cortante permanezca en la flecha. Este esfuerzo se llama esfuerzo
residual, y su distribución puede calcularse usando los principios de su­
perposición.
La recuperación elástica fue analizada en la sección 3.4, y se refiere al
hecho de que cuando un material se deforma plásticamente, parte de la
deformación del material se recupera cuando la carga se retira. Por ejem­
plo si un material se deforma a y \, m ostrada por el punto C en la curva
T - y de la figura 5-44, el retiro de la carga causará un esfuerzo cortante in­
verso, de modo que el comportamiento del material seguirá el segmento
CD en línea recta, creando cierta recuperación elástica de la deformación
cortante y \. Esta línea es paralela a la porción inicial A B en línea recta
del diagrama T -y , y por tanto ambas líneas tienen una pendiente G como
se indica.
Para ilustrar cómo puede determinarse la distribución de esfuerzo re­
sidual en una flecha, prim ero consideremos que la flecha está sometida
a un par de torsión plástica Tp. Como se explicó en la sección 5.9, Tp crea
una distribución del esfuerzo cortante como se muestra en la figura 5-45«.
Supondremos que esta distribución es una consecuencia de la deforma-
Fig. 5-44
S e c c ió n 5 .1 0
ción del material en el límite exterior de la flecha hasta j) en la figura 5-44.
También, que y! es lo suficientemente grande como para que se pueda su­
poner que el radio del núcleo elástico tiende a cero, esto es, y\ 5 £> y Y. Si
Tp se retira, el material tiende a recuperarse elásticamente, a lo largo de
la línea CD. Puesto que ocurre un com portamiento elástico, podemos su­
perponer sobre la distribución de esfuerzos en la figura 5-45a una distri­
bución lineal de esfuerzos causada al aplicar el par de torsión plástica T /;
en la dirección opuesta, figura 5-456. Aquí el esfuerzo cortante máximo t„
calculado para esta distribución del esfuerzo, se llama módulo de ruptura
por torsión. Se determina a partir de la fórmula de la torsión,* lo cual da:
Esfuerzo residual
Par de torsión plástico aplicado
que genera deformaciones unitarias
cortantes en toda la flecha
(a)
Tpc
Tr =
Tpc
(7r/2)c
Usando la ecuación 5-27,
[(2/3)'77TyC3]c
4
( tt/ 2 ) c 4
= 3 Ty
T, -
Observe que aquí es posible la aplicación invertida de Tp usando la dis­
tribución lineal de esfuerzo cortante de la figura 5-456, puesto que la re­
cuperación máxima de la deformación elástica por cortante es 2yY, como
se vio en la figura 5-44. Esto corresponde al esfuerzo cortante máximo
aplicado de 2 r y el cual es mayor que el esfuerzo cortante máximo de \ r Y
calculado anteriormente. De aquí que, por superposición de las distribu­
ciones del esfuerzo que impliquen la aplicación y luego el retiro del par
de torsión plástico, tenemos la distribución del esfuerzo cortante residual
en la flecha, como se muestra en la figura 5-45c. D eberá observarse en es­
te diagrama que el esfuerzo cortante en el centro de la flecha, mostrado
como T y , debe realmente ser cero, puesto que el material a lo largo del eje
de la flecha no está deformado. La razón de que esto no sea así es que he­
mos supuesto que todo el material de la flecha fue deformado más allá del
límite proporcional como objeto de determinar el par de torsión plástico, fi­
gura 5-45a. Para ser más realistas, cuando se modela el comportamiento del
material debe considerarse un par de torsión elastoplástico. Esto conduce
así, a la superposición de las distribuciones de esfuerzos que se muestran en
la figura 5-45d.
Par de torsión plástico invertido
que causa deformaciones unitarias
elásticas en toda la flecha
(b)
Distribución del esfuerzo
cortante residual en la flecha
+
Distribución del esfuerzo
cortante residual en la flecha
(d)
Fig. 5-45
*La fórm ula de ¡a torsión es válida sólo cuando el m aterial se com porta de m an era elástico-lineal: sin em bargo, el m ódulo de ru p tu ra se llam a así p o rq u e se supone que el material
se com porta elásticam ente y luego se ru m p t rep en tin am en te en el lím ite proporcional.
(c)
• 253
254 • CAPÍTULO 5 Torsión
E J E M P L O
Un tubo está hecho con una aleación de latón; tiene 5 pies de longitud
y el área transversal m ostrada en la figura 5-46«. El material tiene un
diagrama elastoplástico t - y. también mostrada en la figura 5-46«. D eter­
mine el par de torsión plástica Tp. ¿Cuál es la distribución del esfuerzo
cortante residual y el ángulo de torsión permanente del tubo si Tp se remue­
ve justamente después de que el tubo queda totalmente plastificado?
Solución
Par de torsión plástica. El par de torsión plástica Tp deformará el tubo
de modo que todo el material fluya. La distribución de esfuerzos será co­
mo la mostrada en la figura 5-466. Aplicando la ecuación 5-23, tenemos:
O /JT
TyP2 dp = T T y ( c l- C J )
Tp = 2 v
2 tt
=^
0.002
( 1 2 ( 1 0 3) lb/pulg 2 ) [ ( 2 pulg ) 3 - ■(1 pulg)3] = 175.9 klb ■pulg Resp-
En el mom ento en que el tubo queda totalm ente plastificado, la fluenrad. figura 5-46«. El ángulo de torsión que se presenta puede determ i­
narse con la ecuación 5-25, que para el tubo entero da:
(0.002)(5 pies)(12 pulg/pie)
* , - y y j, -
(1
pulg)
=
0 .1 2 0
rad "j
Cuando se remueve Tp, o en efecto se reaplica en sentido opuesto, de­
be superponerse la distribución de esfuerzo cortante lineal “ficticia” mos­
trada en la figura 5-46c a la m ostrada en la figura 5-46£>. En la figura
5-46c, el esfuerzo cortante máximo o el módulo de ruptura se calcula con
la fórmula de la torsión:
Tpc0
rr -
J
(175.9 klb • pulg)(2 pulg)
( 7 r/ 2 ) [ ( 2 pulg ) 4 -
(1
pulg)4]
= 14.93 klb/pulg 2
También, en la pared interior del tubo el esfuerzo cortante es:
t¡
= (14.93 klb/pulg 2
iPH Ít?) =
2 p u lg /
7
4 7
klb/pulg 2
De la figura 5-46«, G = TY j y Y = 12 klb/pulg 2 /(0.002 rad) = 6000
klb/pulg2, por lo que el ángulo correspondiente de torsión 4>¡>al rem o­
ver Tp, es entonces:
Distribución del esfuerzo
cortante residual
Fig. 5-46
TpL
(175.9 klb • pulg)(5 pies)(12 pulg/pie)
<t>'P =-77T
=
JG
(tt/2)[(2 pulg ) 4 (1 pulg)4]6000 klb/pulg 2
En la figura 5-46<r/ se muestra la distribución del esfuerzo cortante re­
sidual resultante. La rotación permanente del tubo después de que Tp se
ha removido es:
i,+
4> = 0.120 - 0.0747 = 0.0453 rad *¡
Resp.
P ro blem a s
•
255
PROBLEMAS
La flecha de acero está hecha de dos segmentos,
A B y BC. conectados por medio de un filete de soldadura
con radio de 2.8 mm. D eterm ine el esfuerzo cortante má­
ximo desarrollado en la flecha.
5-111.
La flecha com puesta está diseñada para girar a
720 rpm m ientras transm ite 30 kW de potencia girando
a 720 rpm. ¿Es esto posible? El esfuerzo cortante permi­
sible es Tperm = 12 MPa.
5-114.
5-115. La flecha com puesta está diseñada para girar a
540 rpm. Si el radio del filete que conecta las flechas es
r = 7.20 mm y el esfuerzo cortante permisible del material
es T^rn, = 55 MPa. determ ine la potencia máxima que la
flecha puede transmitir.
C
60 N-m
Prob. 5-111
*5-112. La flecha se usa para transm itir 0.8 hp girando a
450 rpm. Determine el esfuerzo cortante máximo en la fle­
cha. Los segmentos están conectados por medio de un fi­
lete de soldadura con radio de 0.075 pulg.
I pulg
*5-116. El acero usado para la flecha tiene un esfuerzo
cortante permisible rpcrm = 8 MPa. Si los miembros están
conectados m ediante un filete de soldadura de radio
r = 2.25 mm, determ ine el par de torsión T máximo que
puede aplicarse.
Prob. 5-112
El conjunto está sometido a un par de torsión de
710 lb-pulg. D eterm ine el radio del filete de menor tam a­
ño que puede usarse para transmitir el par si el esfuerzo
cortante permisible del material es Tpi;rm = 12 klb/pulg2.
2
5-113.
0.75 pulg
2
Probs. 5-116
Una flecha sólida está sometida al par de torsión
T que ocasiona que el material fluya. Si el material es elastoplástico, dem uestre que el par puede expresarse en tér­
minos del ángulo de torsión <f>de la flecha como T = y Ty
(1 - <£3y/4<£3),donde T Y y é Yson el par y el ángulo de tor­
sión cuando el material empieza a fluir.
5-117.
U na flecha sólida con diám etro de 2 pulg está he­
cha de un material elastoplástico con esfuerzo de fluencia
ty = 16 klb/pulg2 y módulo cortante G = 12(103) klb/pulg2.
Determine el par de torsión requerido para desarrollar un
núcleo elástico en la flecha con diám etro de 1 pulg. ¿Qué
valor tiene este par plástico?
5-118.
Determ ine el par de torsión necesario para torcer
un alambre corto de 3 mm de diám etro varias vueltas si es­
tá hecho de acero con com portam iento elastoplástico y
esfuerzo de fluencia t y = 80 MPa. Suponga que el m ate­
rial se plastifica totalmente.
5-119.
Prob. 5-113
710 lb pie
256
• CAPITULO 5 Torsión
U na flecha sólida tiene diámetro de 40 mm y lon­
gitud de 1 m. Está hecha de un material elastoplástico con
esfuerzo de fluencia Ty = 100 MPa. Determ ine el par de
torsión T Y máximo elástico y el correspondiente ángulo
de torsión. ¿Qué valor tiene el ángulo de torsión si el par
se incrementa a T = 1.27Y? G = 80 GPa.
*5-120.
Determine el par de torsión necesario para torcer
un alambre corto de 2 mm de diámetro varias vueltas si es­
tá hecho de acero elastoplástico con esfuerzo de fluencia
Ty = 50 MPa. Suponga que el material se plastifica total­
mente.
5-121.
U na barra con sección transversal circular con
3 pulg de diámetro está sometida a un par de torsión de
100 pulg-klb. Si el m aterial es elastoplástico con t y =
16 klb/pulg2, determine el radio del núcleo elástico.
El tubo de 2 m de longitud está hecho de un ma­
terial con com portamiento elastoplástico como el m ostra­
do. Determ ine el par de torsión T aplicado que somete el
m aterial del borde exterior del tubo a una deform ación
cortante unitaria ymáx = 0.008 rad. ¿Cuál será el ángulo de
torsión perm anente en el tubo cuando se retire el par? Es­
boce la distribución del esfuerzo residual en el tubo.
*5-124.
5-122.
45
U na flecha de radio c = 0.75 pulg está hecha de
un material con el com portam iento elastoplástico m ostra­
do en la figura. D eterm ine el par de torsión T que debe
aplicarse en sus extrem os para que se genere un núcleo
elástico de radio p = 0.6 pulg. Determ ine el ángulo de tor­
sión cuando la flecha tiene 30 pulg de longitud.
5-123.
r(M P a)
y (rad)
0.003
P ro b . 5-124
5-125. La flecha consiste en dos secciones rígidamente
conectadas entre sí. Si el material tiene un com portamien­
to elastoplástico como el mostrado, determ ine el par de
torsión T más grande que puede aplicarse a la flecha.Tam­
bién dibuje la distribución del esfuerzo cortante sobre una
línea radial para cada sección. D esprecie el efecto de la
concentración de esfuerzos.
r (klb/pulg-)
t
3 ------ ■/-------
12
y (rad)
0.006
Prob. 5-123
(klb/pulg2)
—
y(rad)
0005
Prob. 5-125
Pro blem a s
5-126. La flecha está hecha con un material endurecido
por deformación con un diagrama r-ycom o el mostrado.
Determine el par de torsión T que debe aplicarse a la fle­
cha para generar un núcleo elástico con radio pc = 0.5 pulg.
•
257
*5-128. El diagrama de esfuerzo-deformación unitaria
cortante para una flecha sólida de 50 mm de diámetro pue­
de representarse por el diagrama dado en la figura. D eter­
mine el par de torsión requerido para generar un esfuer­
zo cortante máximo en la flecha de 125 MPa. Si la flecha
tiene 3 m de longitud, ¿cuál es el ángulo de torsión corres­
pondiente?
r(M P a)
0.6 pulg
r(klb/pulg:)
P ro b . 5-128
P ro b . 5-126
5-127. La flecha tubular está hecha con un material en­
durecido por deformación con un diagrama r-y como el
mostrado. D eterm ine el par de torsión T que debe aplicar­
se a la flecha para que la deformación cortante unitaria
máxima sea de 0.01 rad.
5-129. El tubo de 2 m de longitud está hecho con un ma­
terial con el com portam iento elastoplástico m ostrado en
la figura. Determ ine el par de torsión T aplicado que so­
mete al material en el borde exterior del tubo a una defor­
mación unitaria cortante ymáx = 0.006 rad. ¿Cuál será el
ángulo perm anente de torsión en el tubo cuando se retire
este par? Esboce la distribución de los esfuerzos residua­
les en el tubo.
Prob. 5-127
Prob. 5-129
REPASO DEL CAPÍTULO
• Un par de torsión ocasiona que una flecha con sección transver­
sal circular se tuerza, de manera tal que la deformación unitaria
cortante en la flecha es proporcional a su distancia radial desde
el centro. Si el material es homogéneo y la ley de Hooke es apli­
cable, entonces el esfuerzo cortante se determ ina a partir de la
fórmula de la torsión t = Tc/J.
• Para diseñar una flecha es necesario encontrar el parám etro geo­
métrico — = 7’/ r perm. La potencia generada por una flecha rota­
toria es dada a menudo: en este caso el par de torsión se deter­
mina con P = Tco.
• El ángulo de torsión de una flecha circular se determ ina con
, , T (x )d x
TL
<f>= J o j q , o si el par y JG son constantes, entonces </>=
.
Para las aplicaciones es necesario usar una convención de signos pa­
ra el par de torsión interno y asegurarse que el material no fluye,
sino que permanece elástico lineal.
• Si la flecha es estáticamente indeterminada, entonces los pares
reactivos se determ inan por equilibrio, compatibilidad de giros y
la relación par de torsión-giro, tal como <¡> = TL/JG .
• Las flechas sólidas no circulares tienden a alabearse fuera del pla­
no transversal al ser sometidas a un par de torsión. Se dispone de
fórmulas para determ inar el esfuerzo cortante elástico y el giro
para esos casos.
• El esfuerzo cortante en tubos se determ ina considerando el flu­
jo cortante en el tubo. Esto supone que el esfuerzo cortante a tra­
vés de cada espesor t del tubo es constante. Su valor se determi­
na con rprom = T/2í A m.
• En flechas ocurren concentraciones de esfuerzos cuando la sección
transversal cambia repentinamente. El esfuerzo cortante máximo
se determina usando un factor K de concentración de esfuerzo,
que se determina a partir de experimentos y se representa en for­
ma gráfica. Una vez obtenido, rmáx = K(Tc/J).
• Si el par de torsión aplicado ocasiona que el material exceda el
limite elástico, entonces la distribución de esfuerzos no será pro­
porcional a la distancia radial desde la línea central de la flecha.
El par de torsión está entonces relacionado con la distribución
del esfuerzo m ediante el diagrama de esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante y con el equilibrio.
• Si una flecha está sometida a un par de torsión plástico, que es
luego retirado, el material responderá elásticamente, ocasionan­
do con ello que se desarrollen esfuerzos cortante residuales en la
flecha.
260
• CAPÍTULO 5 Torsión
PROBLEMAS
DE
REPASO
Considere un tubo de pared delgada de radio m e­
dio r y espesor i. D em uestre que el esfuerzo cortante m á­
ximo en el tubo debido a un par de torsión T tiende al es­
fuerzo cortante promedio calculado con la ecuación 5-18
cuando r /t —>
5-134.
■5-138. La flecha ahusada está hecha de aluminio 2014T6 y tiene un radio que puede describirse por la función
r = 0.02(1 + x 3^2) m. donde ,v está en metros. D eterm ine
el ángulo de torsión de su extremo A si está sometida a un
par de torsión de 450 N •m.
P ro b . 5-134
El tubo tiene un diám etro exterior de 0.75 pulg y
un diám etro interior de 0.68 pulg. Si está firm emente su­
jetado a la brida, determine la distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la altura del tubo cuando se aplica el par
mostrado a la barra de la llave.
5-135.
*5-136. El tubo tiene un diám etro exterior de 0.75 pulg
y un diám etro interior de 0.68 pulg. Si está firmemente su­
jetado a la brida en B, determine la distribución del esfuer­
zo cortante a lo largo de una línea radial situada a la mi­
tad de la altura del tubo cuando se aplica el par mostrado
a la barra de la llave.
P ro b . 5-138
Si la flecha sólida A B a la cual está unida la cruceta
es de latón rojo C83400 y tiene un diámetro de 10 mm, de­
term ine las fuerzas máximas del par que puede aplicarse
a la cruceta antes de que el material empiece a fallar. Con­
sidere Tpgrm = 40 MPa. ¿Cuál es el ángulo de torsión de la
cruceta? La flecha está fija en A.
5-139.
P robs. 5-135/136
El tubo perforador de un pozo petrolero está he­
cho de acero y tiene un diám etro exterior de 4.5 pulg y un
espesor de 0.25 pulg. Si el tubo está girando a 650 rpm al
ser impulsado por un motor de 15 hp. determ ine el esfuer­
zo cortante máximo en el tubo.
5-137.
F
Prob. 5-139
P ro blem a s de repaso
*5-140. La flecha sólida A B unida a la cruceta está he­
cha de latón rojo C83400. D eterm ine el diám etro más pe­
queño de la flecha de modo que el ángulo de torsión no
pase de 0.5° y el esfuerzo cortante no pase de 40 MPa cuan­
do F = 25 N.
•
261
La flecha de 60 mm de diám etro gira a 300 rpm.
Este movimiento es causado por las desiguales tensiones
en la banda de la polea de 800 N y 450 N. D eterm ine la po­
tencia transmitida y el esfuerzo cortante máximo desarro­
llado en la flecha.
5-142.
Prob.5-142
P ro b . 5-140
✓
El material de que está hecha cada una de tres fle­
chas tiene un esfuerzo de fluencia de r Y y un módulo de
cortante de G. Determ ine qué geometría para la flecha re­
sistirá el mayor par de torsión sin fluir. ¿Q ué porcentaje
de este par puede ser tomado por las otras dos flechas? Su­
ponga que cada flecha está hecha con la misma cantidad
de material y que tiene la misma área transversal.
5-141.
Prob. 5-141
El tubo de aluminio tiene un espesor de 5 mm y
las dimensiones externas m ostradas en su sección trans­
versal. D eterm ine el esfuerzo cortante máximo promedio
en el tubo. Si el tubo tiene una longitud de 5 m, determ ine
el ángulo de torsión. G aI = 28 GPa.
5-143.
Prob. 5-143
Las vigas son miembros estructurales importantes usadas en la construcción de
edificios. Su d se ñ o se basa a m enudo en su capacidad de resistir esfuerzos
de flexión, que es el tema de este capítulo.
Flexión
OBJETIVOS DEL CAPITULO
Las vigas y las flechas son importantes elementos estructurales y mecánicos en
ingeniería. En este capítulo determinaremos los esfuerzos en esos miembros cau­
sados por flexión. El capítulo comienza con una exposición sobre cómo obtener
los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante en vigas y flechas. Igual
que los diagramas de fuerza normal y momento torsionante, los diagramas de fuer­
za cortante y m omento flexionante proporcionan un medio útil para determ inar
la fuerza cortante y el mom ento flexionante máximos en un miembro y. a la vez,
para indicar dónde ocurren esos valores máximos. Una vez que se determ ina el
momento interno en una sección, puede calcularse el esfuerzo de flexión. Consi­
deraremos primero miembros rectos, con secciones transversales simétricas y fabri­
cados con material homogéneo, elástico lineal. Después estudiaremos casos espe­
ciales de flexión asimétrica y miembros hechos de materiales compuestos. Veremos
también miembros curvos, concentraciones de esfuerzos, flexión inelástica y es­
fuerzos residuales.
6.1
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
Los miembros esbeltos y que soportan cargas aplicadas perpendicular­
m ente a sus ejes longitudinales se llaman vigas. En general, las vigas son
barras rectas y largas que tienen secciones transversales constantes. A
menudo se clasifican según el modo en que están soportadas. Por ejem­
plo, una viga simplemente apoyada está soportada por un pasador en un
extremo y por un rodillo en el otro, figura 6 - 1 , una viga en voladizo está
empotrada en un extremo y libre en el otro, y una viga con voladizo tiene
uno o ambos extremos libres situados más allá de los soportes. Las vigas
pueden considerarse entre los elementos estructurales más importantes.
Como ejemplos se cuentan los miembros usados para soportar el piso de
un edificio, la cubierta de un puente o el ala de un aeroplano. También el
eje de un automóvil, la pluma de una grúa e incluso muchos de los hue­
sos del cuerpo humano funcionan como vigas.
Viga simplemente apoyada
■
Viga en voladizo
Viga con voladizo
Fig. 6-1
263
264 • CAPITULO 6 Flexión
.
^
tttT
A - ____________________
D
c
----X\ —
------------------------- X3 —
Fig. 6-2
ííH U T rn
Carga distribuida positiva
V
V
11
Fuerza corante interna positiva
______________ M M
____
m
m
)
t m
m
M omento flexionante interno positivo
Convención de signos para vigas
Debido a las cargas aplicadas, las vigas desarrollan una fuerza cortante
y un momento flexionante internos que, en general, varían de punto a pun­
to a lo largo del eje de la viga. Para diseñar apropiadam ente una viga es
necesario prim ero determ inar la fuerza cortante máxima y el momento
flexionante máximo en la viga. Una m anera de hacerlo es expresar V y M
como funciones de la posición * a lo largo del eje de la viga. Esas funciones
de fuerza córlame y momento flexionante pueden trazarse y representar­
se por medio de gráficas llamadas diagramas de cortante y momento. Los
valores máximos de V y M pueden entonces obtenerse de esas gráficas.
Además, como los diagramas de cortante y m omento dan información de­
tallada sobre la variación de la fuerza cortante y del m omento flexionan­
te a lo largo del eje de la viga, ellos son usados por los ingenieros para
decidir dónde colocar material de refuerzo dentro de la viga o para deter­
minar el tamaño de la viga en varios puntos a lo largo de su longitud.
En la sección 1.2 usamos el método de las secciones para hallar la car­
ga interna en un punto específico de un miembro. Sin embargo, si tenemos
que determ inar V y M como funciones de x a lo largo de una viga, enton­
ces es necesario localizar la sección imaginaria o cortar a una distancia
arbitraria x desde el extremo de la viga y formular K y M e n términos de
x. Respecto a esto, la selección del origen y de la dirección positiva para
cualquiera x seleccionada es arbitraria. Con frecuencia, el origen se loca­
liza en el extremo izquierdo de la viga y la dirección positiva se toma ha­
cia la derecha.
En general, las funciones de fuerza cortante y m omento flexionante in­
ternos obtenidas en función de x serán discontinuas, o bien sus pendien­
tes serán discontinuas en puntos en que una carga distribuida cambia o
donde fuerzas o momentos concentrados son aplicados. Debido a esto, las
funciones de cortante y momento deben determ inarse para cada región
de la viga localizada entre dos discontinuidades cualesquiera de carga. Por
ejemplo, tendrán que usarse las coordenadas x h x 2 y para describir la
variación de V y M a lo largo de la viga en la figura 6-2a. Esas coordena­
das serán válidas sólo dentro de las regiones de A a B para x h de B a C
para x 2 y de C a D para x3.
Convención de signo para vigas. Antes de presentar un método pa­
ra determ inar la fuerza cortante y el m omento flexionante como funcio­
nes de x y luego trazar esas funciones (diagramas de fuerza cortante y mo­
mento flexionante), es necesario prim ero establecer una convención de
signos que nos perm ita definir fuerzas cortantes y momentos flexionantes internos “positivos” y “negativos”. Aunque la selección de una con­
vención de signos es arbitraria, usaremos aquí la frecuentem ente usada
en la práctica de la ingeniería y mostrada en la figura 6-3. Las direcciones
positivas son las siguientes: la carga distribuida actúa hacia abajo sobre la
viga: la fuerza cortante interna genera una rotación horaria del segmento
de viga sobre el cual ella actúa y el momento flexionante interno genera
compresión en las fibras superiores del segmento. Las cargas opuestas a
éstas se consideran negativas.
S e c c ió n 6 .1
ante
pun­
ja es
ento
'y M
ones
ntar. Los
ficas.
n deinanpara
eteri
i cár­
amos
itonmcia
os de
para
locaa hate indienbia o
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egión
a. Por
bir la
denaBa C
lo painciov moón de
Dnani conusada
•iones
bre la
aento
enera
stas a
Diagramas de fuerza cortante
PUNTOS IMPORTANTES
• Las vigas son miembros rectos largos que toman cargas perpen­
diculares a su eje longitudinal. Ellas se clasifican de acuerdo a co­
mo están soportadas, por ejemplo, vigas simplemente apoyadas,
vigas en voladizo o vigas con voladizo.
• Para diseñar apropiadam ente una viga, es im portante conocer la
variación de la fuerza cortante y del m omento flexionante a lo
largo de su eje para hallar los puutos en que esos valores son má­
ximos.
• Al establecer una convención de signos para la fuerza cortante y
el momento flexionante positivos, la fuerza y el momento en la
viga pueden ser determinados como función de su posición x y
esos valores pueden ser graficados para establecer los diagramas
de fuerza cortante y m omento flexionante.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante pueden ser
construidos usando el siguiente procedimiento.
Reacciones en los soportes.
• Determine todas las fuerzas y momentos reactivos que actúan so­
bre la viga, y resuelva todas las fuerzas en componentes actuan­
do perpendicular y paralelam ente al eje de la viga.
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante.
• Especifique coordenadas x separadas que tengan un origen en el
extremo izquierdo de la viga y se extiendan a regiones de la viga
entre fuerzas y/o momentos concentrados, o donde no haya dis­
continuidad de la carga distribuida.
• Seccione la viga perpendicularm ente a su eje en cada distancia x
y dibuje el diagrama de cuerpo libre de uno de los segmentos. Ase­
gúrese de que V y M se muestren actuando en sus sentidos positi­
vos, de acuerdo con la convención de signos dada en la figura 6-3.
• La fuerza cortante se obtiene sumando las fuerzas perpendicu­
lares al eje de la viga.
• El momento flexionante se obtiene sumando los momentos res­
pecto al extremo seccionado del segmento.
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
• Trace el diagrama de fuerza cortante ( V versus *) y el diagrama
de momento flexionante (M versus x). Si los valores numéricos de
las funciones que describen V y M son positivos, los valores se
trazan sobre el eje x, mientras que los valores negativos se trazan
debajo del eje.
• En general, es conveniente m ostrar los diagramas de fuerza cor­
tante y m omento flexionante directam ente abajo del diagrama de
cuerpo libre de la viga.
y
momento flexionante
265
266
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para
la viga m ostrada en la figura 6-4a.
A *-
(b)
(a)
IX
Solución
Reacciones en los soportes.
tran en la figura 6-4d.
Las reacciones en los soportes se mues-
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. La viga se sec­
ciona a una distancia x arbitraria del soporte A , extendiéndose dentro
de la región A B . y el diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo se
muestra en la figura 6-4b. Las incógnitas V y M se indican actuando en
sentido positivo sobre la cara derecha del segmento, de acuerdo con la
convención de signos establecida. Aplicando las ecuaciones de equili­
brio se obtiene:
(c)
+Í
p_
F, =
0
;
1+ 2M =
0
;
2
2
V
( 1)
P
M = —x
2
(2 )
En la figura 6-4c se muestra un diagrama de cuerpo libre para un seg­
mento izquierdo de la viga que se extiende una distancia x dentro de
la región BC. Como siempre, V y M se muestran actuando en sentido
positivo. Por tanto,
M
'
= EL
4
+ T2 Fv =
0
:
—- P - V = 0
2
(3)
(d)
i+ S M =
0
:
M + P[x- k y r x , 0
Fig.6-4
M = - ! L - x)
(4)
El diagrama de fuerza cortante representa una gráfica de las ecuaciones
1 y 3 y el diagrama de momento flexionante representa una gráfica de las
ecuaciones 2 y 4, figura 6-4d. Estas ecuaciones pueden verificarse en par­
te notando que dV /dx - —w y dM /dx = Ven cada caso. (Esas relaciones
se desarrollan en la siguiente sección como las ecuaciones 6 - 1 y 6 -2 .)
S e c c ió n
E J E M P L O
6.1
Diagramas de fuerza cortante
y
momento flexionante
• 267
6.2
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para
la viga m ostrada en la figura 6-5«.
Solución
Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes fueron de­
terminadas en la figura 6-5d.
Funciones de fuerza cortante y m omento flexionante. Este proble­
ma es similar al del ejemplo previo, donde dos coordenadas x deben
usarse para expresar la fuerza cortante y el momento flexionante en to­
da la longitud de la viga. Para el segmento dentro de la región A B, fi­
gura 6-5b, tenemos
+t
2
Fv =
=
0
0
:
;
L
2
i)
•
' r
M0
L
(c)
M0
V ~ ~~L
M - ~
o
■
Y para el segmento dentro de la región BC, figura 6-5c,
M0
V = —
i +2A/ = 0;
M,
_O
M = M0 - — - x
M
M_n
2
Mo
M = Mn 1 - —
Diagramas de fuerza cortante y m om ento flexionante. Cuando se
grafican las funciones anteriores, se obtienen los diagramas de fuerza
cortante y momento flexionante mostrados en la figura 6-5d. En este
caso, observe que la fuerza cortante es constante en toda la longitud de
la viga; ella no es afectada por el mom ento M0 que actúa en el centro
de la viga. Así como una fuerza genera un salto en el diagrama de fuer­
za cortante, ejemplo 6 - 1 , un par concentrado genera un salto en el dia­
grama de momento flexionante.
■
E l
M0
L
x
+ t Z F y = 0;
M
2
(d)
Fig. 6-5
268 .
CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionante para
la viga m ostrada en la figura 6 -6 a.
Solución
HUJlH'JHTrrJTT
Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes fueron de­
term inadas en la figura 6 -6 c.
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. En la figura
6 - 6 6 se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo
de la viga. La carga distribuida sobre este segmento está representada
por su fuerza resultante sólo después de que el segmento se aísla como
un diagrama de cuerpo libre. Dado que el segmento tiene una longitud
.v, la magnitud de la fuerza resultante es wx. Esta fuerza actúa a través
del centroide del área que comprende la carga distribuida, a una dis­
tancia x/2 desde el extremo derecho. Aplicando las dos ecuaciones de
equilibrio se obtiene:
( 8)
M
+t
2
Fv =
0
;
wL
wx — V - 0
(1)
V = w[ — - x
wL
(b)
t+ E M =
0
;
+ (w* ) ( f ) + M =
w
M = y ( L x - x 2)
0
(2 )
Estos resultados para V y M pueden verificarse observando que
d V /d x = —w. Esto es ciertam ente correcto, ya que w actúa hacia aba­
jo. Advierta también que dM /dx = V, como era de esperarse.
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Estos diagra­
mas, m ostrados en la figura 6 -6 c, se obtienen graficando las ecuaciones
1 y 2. El punto de fuerza cortante nula puede encontrarse con la ecua­
ción 1 :
V = w[ - - x
1
=
0
L
X ~ ~2
En el diagrama de m omento vemos que este valor de x representa el
v punto sobre la viga donde se presenta el máximo m om ento. ya que se­
gún la ecuación 2, la pendiente V = 0 = dM /dx. De la ecuación 2 te­
nemos:
wL~
S e c c ió n
6.1
Diagramas de fuerza cortante
y
momento flexionante
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga mostrada en la figura 6-7a.
W
'O
WqL
2
WqL
c ^ t ííT lI
2
CÍE
- L-
Vt'oí. 2 I
(a)
(b)
Solución
Reacciones en los soportes. La carga distribuida está reemplazada
por su fuerza resultante y las reacciones se han determ inado como se
muestra en la figura 6-7b. .
l/^O*
\ L
2
WqL
2
Funciones de fuerza cortante y m omento flexionante. En la figura
6-7c se muestra un diagrama de cuerpo libre de un segmento de lon­
gitud .v de la viga. Note que la intensidad de la carga triangular en la
sección se encuentra por proporción, esto es, w /x = w0/L o w = wqx/L .
Conocida la intensidad de la carga, la resultante de la carga distribui­
da se determina por el área bajo el diagrama, figura 6-7c. Así,
+ T S £ V=
0
;
WqL
1 f W0x
X -
M
CÍE
(c)
V = 0
V
t+ S M . 0;
a f _
+
M = 7 t(-2 L
6 L
+ * _ „
3
^
+ 3L 2x - x 3)
Estos resultados pueden verificarse aplicando las ecuaciones 6-1 y
6 -2 ; así,
OK
OK
Diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante.
de las ecuaciones 1 y 2 se muestran en la figura 6-7d.
Las gráficas
w-
^
• 269
270
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga mostrada en la figura 6 -8 «.
Solución
6 klb/pie
2 klb/pic
Reacciones en los soportes. La carga distribuida se subdivide en una
componente triangular y en una componente rectangular de carga; lue­
go éstas se reemplazan por sus fuerzas resultantes. Las reacciones se
han determinado y se muestran sobre el diagrama de cuerpo'libre de
la viga, figura 6 -8 6 .
18 pies -
(a)
36 kib
36 k ib _____4 klb/pie
’
r
...........
f ----------- ----------i
^
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. En la figura
6 -8 c se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmento izquierdo.
Igual que antes, la carga trapezoidal se reemplaza por una distribución
rectangular y una triangular. Observe que la intensidad de la carga trianla fuerza y la posición resultantes de cada carga distribuida. Aplicando
las ecuaciones de equilibrio, tenemos:
l
-------9 p ie s ------- H
-------------- 18 pies
30 klb
42 klb
+ '\1 F y = 0; 30 klb - (2 klb/pie)* - ^ ( 4 klb/pie)
18 pie
x - V =0
(b)
V =
M ré )i 4(l^)klb/Pie
181
¡
rUi3 1J
L+ 2 M =
0
30 - 2x - —
klb
(1)
;
2 klb/pie
- 3 0 klb(jc) + (2 k l b / p i e ) * Q + | ( 4 klb/pie)^
\ )M
^
í
xi \
M = ( 30* - x 2 - — ) klb • pie
A'
^
30 klb
(C)
6 klb/pie
2 klb/pie
27/
+M= 0
(2)
La ecuación 2 puede verificarse considerando que dM /dx = V, esto es,
mediante la ecuación 1. También, w = —d V /d x = 2 + 2 x. Esta ecua­
ción se cumple, ya que cuando x = 0 , w = 2 klb/pie, y cuando x = 18
pies, w = 6 klb/pie, figura 6 -8 «.
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Las ecuacio­
nes 1 y 2 están graficadas en la figura 6 -8 d. Como en el punto de mo­
mento máximo d M /dx = V = 0, entonces, de la ecuación 1,
.v(pie)
V = 0 = 30 — 2* — —
y
Escogiendo la raíz positiva,
A/(klb-p¡e)
-4 2
= 163 klb-pie
x = 9.735 pies
Entonces, de la ecuación 2,
.v(pie)
2
Mmáx = 30(9.735) - (9.735) = 163 klb • pie
(9.735 ) 3
27
Diagramas de fuerza cortante
S e c c ió n 6 .1
y
momento flexionante
• 271
□
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para
la viga mostrada en la figura 6-9a.
C\
5 kN/m
80 kN-m
80 kN-m
:c
5- 5Wrrv
-------------
a .
-5 m-
5 in ■
F
M
i)
.v2 - 5 x 2 - 5
~^2
5.75 kN
5(.v2 —5)
±±z
80 kN m
15 kN
-5 m -
15 kN
“2~
5.75 kN
(c)
(b)
(a)
Solución
Reacciones en los soportes. Las reacciones en los soportes han sido
determinadas y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la viga,
figura 6-9d.
Funciones de fuerza cortante y momento flexionante. Como se tie­
ne una discontinuidad de carga distribuida y también una carga con­
centrada en el centro de la viga, deben considerarse dos regiones de x
para describir las funciones de fuerza cortante y momento flexionante pa­
ra toda la viga.
0 s x\ < 5 m, figura 6-9b:
+ | 2 F V= 0;
5.75 kN — V = 0
V = 5.75 kN
15 kN
i +S A/ = 0;
5 kN /m
-8 0 k N -m - 5.75 kN *j + M = 0
M = (5.75*i + 80) kN • m
5m <
*2
— 10 m' figura 6-9c:
+ | S F V= 0;
5.75 kN - 15 kN - 5 kN/m(.v 2 - 5 m) - V = 0
V
i+ 2 M = 0;
= (15.75 - 5.v2) kN
-8 0 k N -m - 5.75 kN
+ 5 kN /m ( *
2
* 2
+ 15 kN ( *
- 5 m)
2
- 5 m)
■í(m)
'x2 - 5 m
M = (-2.5*2 2 + 15.75*2 + 92.5) kN ■m
Estos resultados pueden verificarse aplicando iv = —d V /d x y V =
dM /dx. También, cuando X\ = 0, las ecuaciones 1 y 2 dan V = 5.75 kN
y M = 80 kN • m; cuando * 2 = 10 m, las ecuaciones 3 y 4 dan V =
-34.25 kN y M = 0. Estos valores concuerdan con las reacciones en
los soportes mostradas sobre el diagrama de cuerpo libre, figura 6-9d.
Diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.
nes 1 a 4 están graficadas en la figura 6-9d.
Las ecuacio­
A(m)
272
6.2
• CAPÍTULO 6 Flexión
Método gráfico para construir diagram as de fuerza
cortante y m omento flexionante
En los casos en que una viga está sometida a varias fuerzas y momentos
concentrados, así como a cargas distribuidas, la determinación de V y M
como funciones de x y el posterior trazo de esas ecuaciones puede resultar
muy tedioso. En esta sección veremos un método más simple para cons­
truir los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante que se basa
en dos relaciones diferenciales que existen entre la carga distribuida, la
fuerza cortante y el m omento flexionante.
Como se muestra, la falla de esta mesa ocu­
rrió en el soporte arriostrado del lado dere­
cho. El diagrama de momento flexionante
para la carga de la mesa indicaría que éste
es el punto de momento interno máximo.
Regiones de carga distribuida. Consideremos la viga mostrada en
la figura 6-10« que está sometida a una carga arbitraria. En la figura 6-10¿>
se muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeño segmento Ax de
la viga. Como este segmento se ha escogido en una posición x a lo largo
de la viga donde no existe una fuerza o un momento concentrado, los resul­
tados que se obtengan no serán aplicables en esos puntos de carga con­
centrada.
Advierta que todas las cargas mostradas sobre el segmento actúan en
sus direcciones positivas de acuerdo con la convención de signos estableci­
da, figura 6-3. Además, tanto la fuerza como el momento interno resultan­
te que actúan sobre la carga derecha del segmento deben incrementarse
por una pequeña cantidad finita para m antener el segmento en equilibrio.
La carga distribuida ha sido reemplazada por una fuerza resultante w(x)
A x que actúa a una distancia k(Ax) del extremo derecho, donde 0 < k < 1
[por ejemplo, si w(x) es uniforme, k = y], Aplicando las dos ecuaciones de
equilibrio al segmento, tenemos:
libre del segmento Ax
(a)
Fig. 6-10
transversal del segmento
S ecció n 6 .2
+ t 2 F v = 0;
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
V - w (x) A x - (V + A V ) = 0
Al/ = —w(x) Ax
ntos
yM
ultar
:onsbasa
la. la
la en
>-1 0 ó
de
largo
esulcon-
bleciiltanitarse
ibrio.
w(x)
k< 1
íes de
= 0;
—V A x — M + vv(jt) A.v[ft(Ax)] + (M + A M ) = 0
AM = V A x - H'(.r) k ( A x ) 2
Dividiendo entre A.v y tomando el límite cuando A.\: —> 0, se obtiene:
dV
dx = ~ w(x )
pendiente
= -in ten sid ad de
del diagrama
la carga
de fuerza cortante
distribuida en
en cada punto
cada punto
( 6- 1)
dM
-d ¿ = V
pendiente del
=
fuerza
cortante
diagrama de momento
flexionante en
en cada
cada punto
punto
( 6- 2 )
Estas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para trazar
rápidamente los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. La
ecuación 6 - 1 establece que en un punto la pendiente del diagrama de fuer­
za cortante es igual al negativo de la intensidad de la carga distribuida.
Por ejemplo, considere la viga en la figura 6-11«. La carga distribuida es
positiva y crece de cero a wB. Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortan­
te será una curva con pendiente negativa que crece de cero a -w B. En la
figura 6 -1 1 ¿> se muestran las pendientes específicas wA = 0 , - w c , - wD y
-w B.
De manera similar, la ecuación 6-2 establece que en un punto la pen­
diente del diagrama de momento flexionante es igual a la fuerza cortante.
Observe que el diagrama de fuerza cortante en la figura 6-116 comienza
en + VA. decrece a cero y luego se vuelve negativa, decreciendo a - V B. El
diagrama de m omento flexionante tendrá entonces una pendiente inicial
de + VA que decrece a cero, luego se vuelve negativa y decrece a -V B. Las
pendientes VA, Vc, VD, 0 y - V B se m uestran en la figura 6-1 le.
Fig. 6-11
• 273
274 • CAPÍTULO 6 Flexión
Las ecuaciones 6-1 y 6-2 pueden también reescribirse en la forma d V =
-w (x )d x y dM = V dx. Observando que w(x) d x y V d x representan áreas
diferenciales bajo los diagramas de carga distribuida y fuerza cortante,
respectivamente, podemos integrar esas áreas entre dos puntos cuales­
quiera C y D sobre la viga, figura 6-1 Id, y escribir:
A V = - j w ( x ) dx
cambio en
la fuerza
cortante
=
—área bajo
la carga
distribuida
(6-3)
A V = —J V(x) dx
área bajo el
cambio en =
diagrama de
el momento
fuerza cortante
flexionante
Fig. 6-11 (cont.)
(6-4)
La ecuación 6-3 establece que el cambio erífuerza cortante entre los pun­
tos C y D es igual al área (negativa) bajo la curva de carga distribuida
entre esos dos puntos, figura 6-1 Id. Similarmente, de la ecuación 6-4. el
cambio en m omento flexionante entre C y D, figura 6-11/, es igual al área
bajo el diagrama de fuerza cortante dentro de la región de C a D.
Como se indicó antes, las ecuaciones anteriores no se aplican en pun­
tos en donde actúa una fuerza o momento concentrado.
M + AM
Regiones de fuerza y momento concentrados. En la figura 6-12«
se muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeño segmento de la
viga en la figura 6-1 Oa tomado bajo una de las fuerzas. Puede verse aquí
que por equilibrio de fuerzas se requiere
+ Í 2 F„ =
0
;
V - F - (V + A V ) = 0
(6-5)
A V = —F
[ _ A . v - | V + AV
(a)
M + AM
i
• o
M0
V+ AV
— A.r — V
(b)
Fig. 6-12
Entonces, cuando F actúa hacia abajo sobre la viga, A V es negativa por lo
que la fuerza cortante “saltará” hacia abajo. De la misma manera, si F ac­
túa hacia arriba, el salto (AV) será hacia arriba.
De la figura 6-12b, el equilibrio por momentos requiere que el cambio
en momento sea
[¡+'ZM0 = 0;
M + A M - M0 - V A x - M = 0
Haciendo que Ax —»0, obtenemos
A M = M0
(6-6)
En este caso, si M 0 se aplica en sentido horario, AM es positivo por lo que
el diagrama de m omento “saltará” hacia arriba. Igualmente, cuando M 0
actúa en sentido antihorario, el salto (AM ) será hacia abajo.
S e c c ió n 6 .2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante
y
momento flexionante
• 275
La tabla 6-1 ilustra la aplicación de las ecuaciones 6-1,6-2,6-5 y 6 - 6 a
varios casos comunes de carga. Ninguno de esos resultados debería memorizarse sino estudiarse cuidadosamente para entender con claridad có­
mo se construyen los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionan­
te con base en el conocim iento de la variación de la pendiente en los
diagramas de carga y fuerza cortante, respectivamente. Valdría la pena el
esfuerzo y el tiempo invertido en com probar su entendimiento de estos
conceptos, cubriendo las columnas de los diagramas de fuerza cortante y
momento flexionante en la tabla y tratar de reconstruir esos diagramas
con base en el conocimiento de la carga.
TABLA 6-1
Diagrama de fuerza cortante
Carga
dV
= -w
Diagrama de momento llexionante
=V
iv = 0
Ai,
lp
J iv= 0
Ai,
V-,
Ai,
V
La fuerza P hacia abajo ocasiona
que V salte hacia abajo de Vt a V,.
M' A
Air,
M2
La pendiente constante cambia de V¡ a V2.
w= 0
Ai,
C‘
Ningún cambio en fuerza cortante ya
que la pendiente iv = 0.
Ai,
Pendiente constante positiva. Un M n antihorario
ocasiona que Ai salte hacia abajo.
V,
Ai,
c
Ai,
1)
V,
Ai,
V,
Pendiente negativa constante.
Ai,
Pendiente positiva que decrece de V, a VV
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
El siguiente procedimiento proporciona un método para construir los
diagramas de cortante y momento para una viga con base en las re­
laciones entre carga distribuida, fuerza cortante y m om ento flexio­
nante.
Reacciones en los soportes.
• Determ ine las reacciones en los soportes y resuelva las fuerzas
que actúan sobre la viga en componentes que sean perpendicu­
lares y paralelas al eje de la viga.
Diagrama de fuerza cortante.
• Establezca los ejes V y x y marque los valores conocidos de la
fuerza cortante en los dos extremos de la viga.
• Como d V /d x = -w , la pendiente del diagrama de fuerza cortan­
te en cualquier punto es igual a la intensidad (negativa) de la car­
ga distribuida en el punto. Note que w es positiva cuando actúa
hacia abajo.
• Si debe determ inarse el valor numérico de la fuerza cortante en
un punto, puede encontrarse este valor con el método de las sec­
ciones y la ecuación de equilibrio de fuerzas, o bien usando AV =
- | i v ( a ) dx, que establece que el cambio en la fuerza cortante en­
tre dos puntos cualesquiera es igual al valor (negativo) del área
bajo el diagrama de carga entre los dos puntos.
• Dado que w(x) debe integrarse para obtener W , si w(x) es una
curva de grado n, V(x) será una curva de grado n + 1; por ejem­
plo, si vv(.v) es uniforme, V(.r) será lineal.
Diagrama de momento flexionante.
• Establezca los ejes M y x y trace los valores conocidos del mo­
mento en los extremos de la viga.
• Como dM /dx = V, la pendiente del diagrama de momento en cual­
quier punto es igual a la fuerza cortante en el punto.
• En el punto en que la fuerza cortante es cero, dM /dx = 0, y por
tanto, éste será un punto de momento máximo o mínimo.
• Si va a determ inarse un valor numérico del m omento en el punto,
puede encontrarse este valor usando el método de las secciones
y la ecuación de equilibrio por momentos, o bien usando AM —
IK(.t) dx. que establece que el cambio en el momento entre dos
puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de fuerza
cortante entre los dos puntos.
• Como V(x) debe integrarse para obtener AM, si V(x) es una cur­
va de grado n, M (x) será una curva de grado n + 1; por ejemplo,
si V(x) es lineal, M (x) será parabólica.
S ección
6.2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
E J E M P L O
| ^
| ------------------------------------------------------
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionante para
la viga en la figura 6-13a.
p
(a)
1
Solución
Reacciones en el soporte. Las reacciones se muestran sobre un dia­
grama de cuerpo libre, figura 6-136.
p
\
(b)
Diagrama de fuerza cortante. De acuerdo con la convención de sig­
nos, figura 6-3, en x = 0, V — +P y en x = L , V = +P. Esos puntos es­
tán indicados en la figura 6-136. Como w = 0, figura 6-13«, la pendien­
te del diagrama de fuerza cortante será cero (d V /dx = —w = 0) en todo
punto, y por consiguiente una línea recta horizontal conecta los pun­
tos extremos.
v
,
p--------------------------------------
(c)
Diagrama de momento flexionante. En x = 0, M = —PL y en x - L,
M = 0. ñgura 6-13<r/. El diagrama de fuerza cortante indica que la fuerza
cortante es constante y positiva y por tanto la pendiente del diagrama de
momentos flexionantes será constante positiva, dM /dx = V = +P en todo
punto. Por consiguiente, los puntos extremos están conectados por una
línea recta de pendiente positiva como se muestra en la figura 6-13d.
M
(d)
Fig. 6-13
• 277
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para
la viga m ostrada en la figura 6-14«.
Solución
Reacciones en el soporte. La reacción en el em potramiento se mues­
tra en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-14b.
M°
( [ =
=
=
] ) Mo
h----------------- L------------------ 1 '
(b)
D iagram a de fuerza cortante. Se traza prim ero la fuerza cortante
V = 0 en ambos extremos, figura 6-14c. Como no existe ninguna carga
distribuida sobre la viga, el diagrama de fuerza cortante tendrá pen­
diente cero en todo punto. Por tanto, una línea horizontal conecta los
puntos extremos, lo que indica que la fuerza cortante es cero en toda
la viga.
v
------ -------------------
•— X
(C)
Diagrama de momento flexionante. El momento M0 en los puntos
extremos de la viga, x = 0 y x = L, se grafica primero en la figura 6-14c/.
El diagrama de la fuerza cortante indica que la pendiente del diagrama
de momentos será cero ya que V = 0. Por consiguiente, una línea hori­
zontal conecta los puntos extremos, como se muestra.
M
M0"
(d )
Fig. 6-14
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante
S e c c ió n 6 .2
6.9
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga mostrada en la figura 6-15a.
“o
(a)
Solución
Reacciones en el soporte. Las reacciones en el em potram iento se
muestran en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-15¿>.
“ 'o
'yo¿2
2
(b)
Diagrama de fuerza cortante. Se traza prim ero la fuerza cortante en
cada punto extremo, figura 6-15c. La carga distribuida sobre la viga es
constante positiva por lo que la pendiente del diagrama de cortante se­
rá constante negativa (dV /dx = -vv0). Esto requiere que una línea rec­
ta con pendiente negativa conecte los puntos extremos.
ivn L
Pendiente negativa constante = - if0
(c)
Diagrama de m om ento flexionante. Se traza prim ero el m omento
en cada punto extremo, figura 6-15<Y. El diagrama de cortante indica
que V es positiva y decrece de tv0L a cero, por lo que el diagrama de
momento debe comenzar con una pendiente positiva de tv0L y decre­
cer a cero. Específicamente, como el diagrama de cortante es una línea
recta inclinada, el diagrama de m omento será parabólico, con una pen­
diente decreciente como se muestra en la figura.
M
Pendiente decrecientemente positiva
u o L~
<d)
Fig. 6-15
y
momento flexionante
• 279
280
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
6.10
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga m ostrada en la figura 6-16a.
Solución
Reacciones en el soporte. Las reacciones en el em potramiento ya se
han calculado y se m uestran sobre el diagrama de cuerpo libre, figura
6-16 b.
Fig. 6-16
Diagrama de fuerza cortante. Se traza prim ero la fuerza cortante en
cada punto extremo, figura 6-16c. La carga distribuida sobre la viga es
positiva y linealmente decreciente. Por tanto la pendiente del diagrama
de fuerza cortante será decreciente negativamente. En x = 0, la pendien­
te empieza en -w 0 y llega a cero en .v = L. Como la carga es lineal, el
diagrama de fuerza cortante es una parábola con pendiente negativa­
mente decreciente.
''’de­
pendiente decrecientemente negativa
(c)
Diagram a de m om ento flexionante. Se traza prim ero el momento
en cada punto extremo, figura 6-16<7. Del diagrama de fuerza cortante,
V es positiva pero decrece de w0L /2 en x = 0 a cero en * = L. La cur­
va del diagrama de momento flexionante con este comportamiento de
su pendiente es una función cúbica de x, como se m uestra en la figura.
M
S ecció n 6 .2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
• 281
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga mostrada en la figura 6-17«.
2 klb/pie
2 klb/pie
(b )
V(klb)
Fig. 6-17
Pendiente = 0
Pendiente crecientemente negativa
Solución
Reacciones en los soportes. Las reacciones ya han sido determ ina­
das y se muestran en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-17¿>.
Diagrama de fuerza cortante. Se trazan prim ero los valores en los
puntos extremos x = 0. V = +15 y x = 45, V = -3 0 , figura 6-17c. Del
com portamiento de la carga distribuida, la pendiente del diagrama de
fuerza cortante variará de cero en x = 0 a - 2 en x = 45. Como resul­
tado. el diagrama de fuerza cortante es una parábola con la forma mos­
trada.
El punto de cortante cero puede encontrarse usando el método de
las secciones para un segmento de viga de longitud x, figura 6-17e. Se
requiere que V = 0, por lo que
M(klb
+ T2 Ft = 0 : 15 klb - ^
2
2
klb/pie
45 pies,
a: =
0;
-v(pic)
(c)
Pendiente decrecientemente positiva
Pendiente = 0
x = 26.0 pies
Pendiente
recientemente
negativa
Diagrama de momento flexionante. Se trazan primero los valores en
los puntos extremos x = 0, M = 0 y x = 45, M = 0, figura 6-17d. Del
comportamiento del diagrama de cortante, la pendiente del diagrama
de momento comienza en +15 y se com porta luego decrecientemente
positiva hasta que alcanza el valor cero en 26.0 pies. Luego se vuelve
crecientemente negativa hasta que alcanza el valor -3 0 en x = 45 pies.
El diagrama de m omento es una función cúbica de .y. ¿Por qué?
N ote que el m om ento máximo se presenta en x = 26.0, ya que
dM /dx = V = 0 en este punto. Del diagrama de cuerpo libre en la fi­
gura 6 - 1 le tenemos
t+ Z M =
0
Pendiente = - 2 \ _ - 30
v(pie)
iMsa* <é)
d C
;
-1 5 klb(26.0 pies) + -
2
klb/pie
26.0 pies'
26.0 pies'
+ M =0
(26.0 pies)
45 pies
M = 260 klb
pie
15 klb
(e)
.
1>
282
• CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga mostrada en la figura 6-18«.
8 kN
8 kN
I*-------6 m— —
1D
A
(a)
Solución
Reacciones en los soportes. Las reacciones están indicadas en el dia­
grama de cuerpo libre, figura 6-186.
8 kN 8 kN
-6 ni
(b)
— ^ -2
Diagrama de fuerza cortante. En x = 0, VA = +4.8 kN, y en x = 10,
VD = —11.2 kN, figura 6-18c. En puntos intermedios entre cada fuerza
la pendiente del diagrama de cortante será cero. ¿Por qué? Por consi­
guiente la fuerza cortante retiene su valor de +4.8 hasta el punto B. En
B la fuerza cortante es discontinua, ya que se tiene ahí una fuerza con­
centrada de 8 kN. El valor de la fuerza cortante justo a la derecha de
B puede encontrarse seccionando la viga en este punto, figura 6-18e,
donde por equilibrio V = -3 .2 kN. Use el método de las secciones y
dem uestre que el diagrama “salta” nuevamente en C, como se mues­
tra, y luego llega al valor de —11.2 kN en D.
Observe que con base en la ecuación 6-5, A V = —F, el diagrama de
cortante puede también construirse "siguiendo la carga” sobre el dia­
grama de cuerpo libre. Comenzando en A , la fuerza de 4.8 kN actúa
hacia arriba, por lo que VA = +4.8 kN. Ninguna carga distribuida ac­
túa entre A y B. por lo que la fuerza cortante perm anece constante
(dV /dx = 0). En B , la fuerza de 8 kN actúa hacia abajo, por lo que la
fuerza cortante salta hacia abajo 8 kN, de +4.8 kN a -3 .2 kN. De nue­
vo, la fuerza cortante es constante de B a C (ninguna carga distribui­
da); luego en C salta hacia abajo 8 kN hasta -1 1 .2 kN. Finalmente, sin
carga distribuida entre C y D, termina en —11.2 kN.
m^ - 2 m-j
f
t
1
11.2 kN
4.8 kN
V(kN)
(c)
4.8
-3.2
-
11.2
AÍ(kN-m)
28.8
(d)
•v(m)
8 kN
- 6 m ----(e)
A
f
i
28.8 kN-m
3.2 kN
4.8 kN
Fig. 6-18
Diagrama de momento flexionante. El m omento en cada extremo
de la viga es cero, figura 6-18d. La pendiente del diagrama de momen­
to de A a B es constante igual a +4.8. ¿Por qué? El valor del momento en
B puede determinarse usando la estática, figura 6-18c, o encontrando el
área bajo el diagrama de cortante entre A y B, esto es, AM AB = (4.8
kN ) ( 6 m) = 28.8 kN - m. Como MA = 0. entonces M B = MA + AMAB =
0 + 28.8 kN • m = 28.8 kN • m. Desde el punto B. la pendiente del dia­
grama de momentos es -3 .2 hasta que se alcanza el punto C. De nue­
vo, el valor del m omento se puede obtener por estática o encontrando
el área bajo el diagrama de cortante entre B y C, esto es, AM BC = (-3 .2
kN)(2 m) = -6 .4 kN • m, por lo que M c = 28.8 kN • m - 6.4 kN • m =
22.4 kN • m. Continuando de esta manera, verificamos que el diagrama
se cierra en D.
Sección
6 .2
Método gráfico para construir diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
•
283
E J E M P L O
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m omento flexionante para
la viga con voladizo mostrada en la figura 6-19«.
8 klb
2 klb/pic
— BD
j - 4 pies *[*— 6 pies —-(*4 pies-)
(a)
Solución
Reacciones en los soportes. El diagrama de cuerpo libre con las reac­
ciones calculadas se muestra en la figura 6-196.
Diagrama de fuerza cortante. Como siempre, comenzamos trazan­
do las fuerzas cortantes en los extremos VA = +4.40 klb y VD = 0, fi­
gura 6-19c. El diagrama de cortante tendrá pendiente nula de A a B.
En B. el diagrama salta hacia abajo 8 klb a -3 .6 0 klb. Luego tiene una
pendiente crecientemente negativa. La fuerza cortante en C puede de­
term inarse a partir del área bajo el diagram a de carga, Vc = VB +
A V BC = -3 .6 0 klb - (l/2 )(6 pies)(2 klb/pie) = -9 .6 0 klb. Salta luego
17.6 klb a 8 klb. Finalmente, de C a D, la pendiente del diagrama de
cortante será constante pero negativa, hasta que la fuerza cortante al­
canza el valor cero en D.
Diagrama de m omento flexionante. Se trazan primero los momen­
tos extremos MA = 0 y M D = 0, figura 6-19d. Estudie el diagrama y no­
te cómo las pendientes y las diversas curvas son establecidas median­
te el diagrama de cortante usando d M /dx - V. Verifique los valores
numéricos de los picos usando el método de las secciones y estática o
calculando las áreas apropiadas bajo el diagrama de cortante para en­
contrar el cambio en m omento entre dos puntos. En particular, el pun­
to de momento nulo puede determ inarse estableciendo M como una
función de donde, por así convenir, .v se extiende del punto B hacia
la región BC. figura 6-19e. Por tanto,
2 klb/pic
*4 pies
4.40 klb
B
AC
6 pies— 4 - 4 p ies17.6 klb
K(klb)
4.40
_A(pie)
(c)
-3.60
-9 .6 0
A í(klbpie)
17.6 Pendiente = -3.60
/
Á
? K\
Pendiente = 4.40
•v(pie)
(d)
1—3.94—1\
Pendiente = -9 .6 0 ^ Pendiente = 8
i+ZAÍ = 0;
-4 .4 0 k lb (4 pies -t- * )+
M =
8
klb(jr) + ~
^
+M =0
~ 3.60.V + 17.6^klb • pie = 0
x — 3.94 pies
Observando esos diagramas, vemos que por el proceso de integra­
ción para la región A B la carga es cero, la fuerza cortante es constante
y el momento es lineal; para la región BC la carga es lineal, la fuerza
cortante es parabólica y el m omento es cúbico; y para la región CD la
carga es constante, la fuerza cortante es lineal y el m omento es para­
bólico. Se recomienda que los ejemplos 6.1 al 6 . 6 sean resueltos tam ­
bién usando este método.
8 klb
(e)
4.40 klb
Fig. 6-19
284 • CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y B ejer­
cen sólo reacciones verticales sobre la flecha.
6-1.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga.
*6-4.
2 klb
E
2 klb
2 klb
2 klb
1 1 1 1
-------
i
|— 4 pies —)— 4 pies —j— 4 pies —|— 4 pies -
4 pies
A
Prob. 6-4
Prob. 6-1
24 kN
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la barra que está soportada por un pa­
sador en A y por una placa lisa en B. La placa se desliza
dentro de la ranura, por lo que no puede soportar una fuer­
za vertical, pero sí puede soportar un momento.
6-5.
El dispositivo mostrado se usa para soportar una car­
ga. Si la carga aplicada a la manija es de 50 Ib. determine
las tensiones T \ y T 2 en cada extremo de la cadena y lue­
go dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento fle­
xionante para el brazo ABC.
6-2.
15 kN
:
-2 m
-4 m
Prob. 6-5
-6 . Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en B
ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. Exprese
también la fuerza cortante y el momento flexionante en la
flecha en función de x dentro de la región 125 mm < x <
725 mm.
6
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la flecha. Las chumaceras en A y en D
ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha. La car­
ga está aplicada a las poleas en B, C y E.
6-3.
14 pulg ■
■20 pulg
-15 pulg-
1500 N
12 pulg
800 .N
Ü
B
-----
I
»7
cfl
801b
P ro b . 6-3
1101b
1
1
—
1
—
".’
—
n
l
600 mm
125 mm
75 mm
Prob. 6-6
Pr o blem a s
•
285
6-7. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
6-10. La grúa pescante se usa para soportar el motor que
tiene un peso de 1200 Ib. Dibuje los diagramas de fuerza
cortante y momento flexionante para el brazo A B C cuan­
do está en la posición horizontal mostrada.
*6-8. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para el tubo, uno de cuyos extremos está so­
metido a una fuerza horizontal de 5 kN. Sugerencia: las
reacciones en el pasador C deben reemplazarse por car­
gas equivalentes en el punto B sobre el eje del tubo.
P ro b . 6-10
6-11. Determ ine la distancia a en que debe colocarse el
soporte de rodillo para que el valor máximo absoluto del
momento sea mínimo. Dibuje los diagramas de fuerza cor­
tante y momento flexionante para esta condición.
P
P
a-------------- -|
P ro b . 6-8
P rob. 6-11
6-9. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga. Sugerencia: la carga de 20 klb
debe reemplazarse por cargas equivalentes en el punto C
sobre el eje de la viga.
*6-12. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga com puesta que está conectada
por un pasador en B.
6 klb
15 klb
¿
C -7
i“------------B
[------ 4 pies-------- - --------4 pies-------- --------4 pies--------
Prob. 6-9
4 pies —j----- 6 pies
Prob. 6-12
286 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-13. Las barras están conectadas por pasadores en C y
en D. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para el conjunto. Desprecie el efecto de la
carga axial.
*6-16. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga.
800 lb/pie
B
800 lb/pic
8 pies -
Prob. 6-13
Prob. 6-16
■6-14. Considere el problema general de una viga sim­
plem ente apoyada sometida a n cargas concentradas. Es­
criba un programa de com putadora que pueda usarse pa­
ra determ inar la fuerza cortante y el momento flexionante
en cualquier posición .v especificada a lo largo de la viga y
trace los diagramas correspondientes para la viga. Mues­
tre una aplicación del programa usando los valores P\ =
500 Ib, d \ = 5 pies, P2 = 800 Ib, d 2 = 15 pies, L\ = 10 pies.
L = 15 pies.
6-17. El hombre ce 150 Ib de peso está sentado en el cen­
tro de la lancha que tiene un ancho uniforme y un peso por
pie lineal de 3 Ib. Determine el momento flexionante má­
ximo ejercido sobre la lancha. Suponga que el agua ejerce
una carga uniforme distribuida hacia arriba sobre el fon­
do de la lancha.
P,
- 7.5 pies
-7.5 piss
Prob. 6-17
Prob. 6-14
6-15. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga. D eterm ine también la fuerza
cortante y el momento flexionante en la viga en función
de x , donde 3 pies < x £ 15 pies.
6-18. La zapata de cimentación soporta la carga transmi­
tida por las dos columnas. Dibuje los diagramas de fuerza
cortante y momento flexionante para la zapata si la reac­
ción de la presión del suelo sobre la zapata se supone uni­
forme.
14 klb
14 ktb
1.5 klb/pie
50 klb-pie
1
c
— 3 pies-
- 12 pies
-12 pies-
Prob. 6-15
P ro b . 6-18
- 6 pies —
PR08LEMAS
6-19. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga.
• 287
6-22. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga compuesta. Los tres segmentos
están conectados por pasadores en B y en E.
2 klb/pie
30 klb-pie
3kN
3kN
•
a -j
- 5 pies
±5 pies -
-------------- " M *
:
I
E
^
1
- 5 pies
Prob. 6-19
D
-2 m -
-2 m-
Im
1m
-2 m
1m
P ro b . 6-22
*6-20. El robot industrial se m antiene en la posición es­
tacionaria indicada. Dibuje los diagramas de fuerza cor­
tante y momento flexionante del brazo A B C que está co­
nectado en A por un pasador y un cilindro hidráulico BD
(miembro de dos fuerzas). Suponga que el brazo y las te­
nazas tienen un peso uniforme de 1.5 lb/pulg y que sopor­
tan la carga de 40 Ib en C.
6-23. La viga T está sometida a la carga mostrada. Dibu­
je los diagramas de fuerza cortante y momento flexionan­
te de la viga.
2 klb
100 lb/pie
..................
w
r
................. . ,,
,, ,,
18 pies
6 pi
1 pulg
b—H6 pulg
IT
10 pulg
1 pulg
P ro b . 6-23
P rob. 6-20
6-21. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga y determ ine la fuerza cortante
y el momento en la viga como funciones de x. para 4 pies
< x < 10 pies.
*6-24. La viga está soportada en A por un pasador y des­
cansa sobre un cojinete en B que ejerce una carga uniforme
distribuida sobre la viga en sus dos pies de longitud. Di­
buje los diagramas de fuerza cortante y mom ento flexionante para la viga si ésta soporta una carga uniforme de
2 klb/pie.
150 lb/pie
2 klb/pie
>
Ia
I
•
'l pie1
Prob. 6-21
Prob. 6-24
288 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-25. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga. Los dos segmentos están uni­
dos entre sí en B.
8 klb
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la barra de conexión. En los extremos
A y B sólo se presentan reacciones verticales.
*6-28.
3 k lb /p ie
lb/pulg
— 3 pies -
¡ pies •
-5 pies-
Prob. 6-25
Considere el problema general de una viga en vo­
ladizo sometida a n cargas concentradas y a una carga iv
uniformemente distribuida. Escriba un programa de compu­
tadora que pueda usarse para determ inar la fuerza cor­
tante y el momento flexionante en cualquier posición x es­
pecificada a lo largo de la viga: trace los diagram as de
fuerza cortante y de m om ento flexionante para la viga.
Aplique el programa usando los valores P\ = 4 kN, d x =
2 m, w = 800 N/m , = 2 m, a2 = 4 m, L = 4 m.
■6-26.
Prob. 6-28
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga.
6-29.
Prob. 6-26
Determine la distancia a en que debe colocarse el
soporte de rodillo de manera que el valor máximo abso­
luto del momento sea mínimo. Dibuje los diagramas de
fuerza cortante y m om ento flexionante para esta condi­
ción.
6-27.
Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la viga.
6-30.
nn
~b Z 3
Prob. 6-27
l
Prob. 6-30
P ro b lem a s
6-31. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y raomento flexionante para la viga.
•
289
6-34. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om en­
to flexionante para la viga y determ ine la fuerza cortante
y el momento en la viga como funciones de x.
TT rni
—
H
—
_
|B
— *
L
2
L
2
l
Prob. 6-31
Prob. 6-34
*6-32. El esquí soporta las 180 Ib de peso del hombre. Si
la carga de nieve sobre la superficie del fondo del esquí es
trapezoidal, como se muestra, determine la intensidad w y
luego dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento
flexionante para el esquí.
6-35. El pasador liso está soportado por dos silletas A y
B y está sometido a una carga de compresión de 0.4 kN /m
causada por la barra C. Determ ine la intensidad de la car­
ga distribuida iv0 de las silletas sobre el pasador y dibuje
los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante
para el pasador.
180 Ib
•— 1.5 pies
1.5 p ie s-
Prob. 6-32
6-33. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen
to flexionante para la viga.
20 mm 60 mm 20 miti
Prob. 6-35
*6-36. Dibuje los diagramas de fuerza corlante y momen­
to flexionante para la viga.
3 k ip /p ic
290 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-37. La viga compuesta consta de dos segmentos unidos
entre sí por un pasador en B. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga que sopor­
ta la carga distribuida mostrada.
*6-40. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para la viga.
w
te
11
I B
2/3 L ------------—
I •
1
c
1/3 L —
Prob. 6-37
Prob. 6-40
6-38. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om en­
to flexionante para la viga.
6-41. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y m om en­
to flexionante para la viga.
w
- 3 m
Prob. 6-38
6-39. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mom en­
to flexionante para la viga y determ ine la fuerza cortante
y el momento como funciones de x.
Prob. 6-39
6-42. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento
flexionante para la viga.
Prob. 6-42
6.3
6.3
Deformación por flexión de un miembro recto
• 291
Deformación por flexión de un miembro recto
En esta sección estudiaremos las deformaciones que ocurren cuando una
viga prismática recta hecha de material homogéneo está sometida a fle­
xión. E l análisis se limitará a vigas con secciones transversales simétricas
respecto a un eje y el momento flexionante se encuentra aplicado respec­
to a un eje perpendicular a este eje de simetría, como se muestra en la fi­
gura 6-20. E l comportamiento de miembros con secciones transversales
asimétricas o que están hechos de varios materiales se basa en considera­
ciones similares, y se estudiarán separadamente en secciones posteriores
de este capítulo.
Usando un material sumamente deformable como el hule, podemos ilus­
trar físicamente qué sucede cuando un miembro prismático recto está sometido a un momento flexionante. Consideremos, por ejemplo, la barra
no deformada en la figura 6-21a que tiene una sección transversal cuadra­
da y está marcada con una retícula formada por líneas longitudinales y
transversales. Al aplicar un momento flexionante, éste tiende a distorsio­
nar esas líneas según el patrón mostrado en la figura 6-216. Puede verse
aquí que las líneas longitudinales se curvan y que las líneas transversales
permanecen rectas pero sufren una rotación.
El comportamiento de cualquier barra deformable sometida a un mo­
mento flexionante es tal que el material en la porción inferior de la barra
se alarga y el material en la porción superior se comprime. En consecuen­
cia, entre esas dos regiones debe haber una superficie, llamada superficie
neutra, en la que las fibras longitudinales del material no experimentarán
un cambio de longitud, figura 6-20 .
Eje de
simetría
y
Superficie
neutra
Eje
longitudinal
Fig. 6-20
Las líneas horizontales
se vuelven curvas
Las líneas verticales
permanecen rectas, pero giran
Antes de la deformación
Después de la deformación
(a)
(b)
Fig. 6-21
292
CAPÍTULO 6 Flexión
Note la distorsión de las líneas debido a la
flexión de esta barra de hule. La línea supe­
rior se estira, la línea inferior se comprime,
y la línea central permanece con la misma
longitud. Las líneas verticales giran pero
permanecen rectas.
eje-^
longitudinal
Con base en estas observaciones haremos las siguientes tres hipótesis
relativas a la manera en que el esfuerzo deforma al material. La primera
es que el eje lo n g itu d in a l x , que se encuentra en la superficie neutra, figu­
ra 6-22a, no experimenta ningún ca m b io de longitud. E l momento tiende
a deformar la viga en forma tal que esta línea recta se vuelve u na línea cu r­
va contenida en el plano x -y de simetría, figura 6-22b. La segunda hipóte­
sis es que todas las secciones transversales de la viga permanecen planas
y perpendiculares al eje longitudinal durante la deformación. La tercera
hipótesis es que cualquier defo rm a ció n de la sección transversal dentro de
su propio plano será despreciada .figura 6-21 b. En particular, el eje z, con­
tenido en el plano de la sección transversal y respecto al cual gira la sec­
ción, se llama eje n e u tro , figura 6-22b. Su posición se determinará en la si­
guiente sección.
Para mostrar cómo esta distorsión deforma el material, aislaremos un
segmento de la viga localizado a una distancia x a lo largo de la longitud
de la viga y con un espesor no deformado Ax, figura 6-22a. Este elemen­
to. tomado de la viga, se muestra en vista de perfil en sus posiciones no
superficie
neutra
(b)
Fig. 6-22
6.3
Deformación por flexión de un miembro recto • 293
deformada y deformada en la figura 6-23."Note que cualquier segmento
de línea Ax, localizado sobre la superficie neutra, no cambia de longitud,
mientras que cualquier segmento de línea As, localizado a una distancia
arbitraria y arriba de la superficie neutra, se contraerá y tendrá la longi­
tud As' después que la deformación ha tenido lugar. Por definición.la de­
formación unitaria normal a lo largo de As se determina con la ecuación
2 -2 , esto es,
e =
, A i' - As
h m ------ — As-»0 A i
Representaremos ahora esta deformación unitaria en términos de la
posición y del segmento y del radio de curvatura p del eje longitudinal del
elemento. Antes de la deformación. As — Ax. figura 6-23«. Después de la
deformación Ax tiene un radio de curvatura p, con centro de curvatura en
el punto O', figura 6-23b. Como A# define el ángulo entre los lados de la
sección transversal del elemento, Ax = As = p A 6. De la misma manera,
la longitud deformada de As es As’ = (p - y) A6. Sustituyendo en la ecua­
ción anterior, obtenemos:
e = lím
(p — y) A6 — p Ad
p A0
y
e -- —
P
(6-7)
Este importante resultado indica que la deformación unitaria normal
longitudinal de cualquier elemento dentro de la viga depende de su locali-
294 • CAPÍTULO 6 Flexión
rfi
¿n
Y
/I
'
1
Distribución de la defcrmación unitaria normal
Fig. 6-24
zación y sobre la sección transversal y del radio de curvatura dei eje lon­
gitudinal de la viga en el punto. En otras palabras, para cualquier sección
transversal específica, la deformación unitaria normal longitudinal va­
riará linealmente con y desde el eje neutro. Una contracción (—e) ocu­
rrirá en fibras situadas arriba del eje neutro (+y). mientras que se presen­
tarán alargamientos (+e) en fibras localizadas debajo del eje (-y ). Esta
variación en la deformación unitaria sobre la sección transversal se mues­
tra en la figura 6-24. Aquí la deformación unitaria máxima ocurre en la fi­
bra extrema, situada a una distancia c del eje neutro. Usando la ecuación
6-7, como emáx = c/p, entonces por división,
e = -y/p
e máx
p
De manera que
( 6 -8 )
Esta deformación unitaria normal depende sólo de las hipótesis hechas
con respecto a la d efo rm a ció n . Si sólo se aplica un momento a la viga, es
entonces razonable suponer adicionalmente que este momento ocasiona
so la m en te u n esfu erzo n o rm a l en la dirección x ó longitudinal. Todas las
otras componentes de esfuerzo normal y cortante son cero, ya que la su­
perficie de la viga está libre de cualquier otra carga. Es este estado unia­
xial de esfuerzo el que provoca que el material tenga la componente de
deformación unitaria normal longitudinal ex, (ax = Eex), definida por la
ecuación 6-8 . Además, por la razón de Poisson, debe haber también com­
ponentes de deformación unitaria asociadas ev = - vex y ez = —vex. que
deforman el plano de la sección transversal, aunque aquí hemos despre­
ciado esas deformaciones. Sin embargo, tales deformaciones ocasionarán
que las d im e n s io n e s d e la secció n transversal se vuelvan más pequeñas
debajo del eje neutro y mayores arriba del eje neutro. Por ejemplo, si la
viga tiene una sección cuadrada, se deformará como se muestra en
la figura 6-25.
6.4
6.4
La fórmula de la flexión
• 295
La fórmula de la flexión
En esta sección desarrollaremos una ecuación que relaciona la distribu­
ción del esfuerzo longitudinal en una viga con el momento de flexión in­
terno resultante que actúa sobre la sección transversal de la viga. Para ha­
cer esto, supondremos que el material se comporta de manera elástica
lineal, por lo que es aplicable la ley de Hooke, esto es, u = ¿se. Una varia­
ción lineal de la deformación unitaria normal, figura 6-26a, debe ser en­
tonces la consecuencia de una variación lineal del esfuerzo normal, figu­
ra 6-26b. Por tanto, igual que la variación de la deformación unitaria
normal, a variará de cero en el eje neutro del miembro a un valor máximo
crm¡¡x en puntos a la distancia c máxima desde el eje neutro. Por triángulos
semejantes, figura 6-26b, o usando la ley de Hooke, a = Ee, y la ecuación
6-8 , podemos escribir
^ máx
Variación de la deformación
unitaria normal (vista lateral)
(a)
y
lon:ción
I va-
ocu:senEsta
íuesla fiición
( 6-8 )
¡chas
ta.es
;iona
is las
a suuniate de
or la
com. que
sprelarán
leñas
.si la
(6-9)
Esta ecuación representa la distribución del esfuerzo sobre la sección
transversal. La convención de signos establecida aquí es importante. Pa­
ra un M positivo actuando en la dirección + z, valores positivos de y dan
valores negativos para a. esto es, un esfuerzo de compresión ya que actúa
en la dirección negativa de x. Similarmente, valores negativos de y darán
valores positivos o de tensión para o. Si se selecciona un elemento de vo­
lumen de material en un punto específico sobre la sección transversal, sólo
esos esfuerzos normales de tensión o de compresión actuarán sobre él. Por
ejemplo, el elemento localizado en +y se muestra en la figura 6-26c.
Podemos localizar la posición del eje neutro sobre la sección transver­
sal satisfaciendo la condición de que la fuerza resultante producida por la
distribución del esfuerzo sobre la sección transversal debe ser igual a ce­
ro. Notando que la fuerza dF = a dA actúa sobre el elemento arbitrario
dA en la figura 6-26c, requerimos que:
Variación del esfuerzo
de flexión (vista lateral)
(b)
Fig. 6-26
Este espécimen de madera falló por flexión;
sus fibras superiores se aplastaron y sus fi­
bras inferiores se rompieron.
296 • CAPÍTULO 6 Flexión
La ;i
ción
la ec
gene
Aquj
Variación del esfuerzo de flexión
&—-X
(c)
Fig.
6-26 (cont.)
SI
Como <7-máx/c no es igual a cero, entonces
I
ydA = 0
(6-10)
En otras palabras, el momento estático de la sección transversal del miem­
bro respecto al eje neutro debe ser cero. Esta condición sólo puede ser sa­
tisfecha si el eje neutro es también el eje centro'ulal horizontal de la sec­
ción transversal.* En consecuencia, una vez determinado el centroide de
la sección transversal del miembro, se conoce también la posición del eje
neutro.
Podemos determinar el esfuerzo en la viga a partir del requisito de que
el momento interno resultante M debe ser igual al momento producido
por la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro. El momento de dF
en la figura 6-26c respecto al eje neutro es dM - y dF. Este momento es
positivo ya que, por la regla de la mano derecha, el pulgar está dirigido a
lo largo del eje positivo z cuando los dedos se curvan según el sentido de
rotación causado por í/M. Como dF = a dA , usando la ecuación 6-9, te­
nemos para la sección transversal total,
(M r ) z = SM .;
M = ^ y d F = J y {a d A ) =
j
y(j;<rmi^J d A
Ce
inter
6 - 12.
Ac
lose
a io
gativ
WA
la ß t
o
M = ^ ¡ r \ y ld A
(6-n )
^ R ecu erd e q u e la posición del cen tro id e y de la sección transversal se define p o r la ecu a­
ción y = i y d A / ¡ d A . Si Jy dA = 0. entonces y - 0, p o r lo q u e el cen tro id e se localiza
so b re el eje de referen cia (eje n e u tro ). Vea el apéndice A.
to cc
aplic
to qi
diseñ
norrr
base
sal re
longi
danw
La integral en esta ecuación representa el momento de inercia de la sec­
ción transversal de la viga respecto al eje neutro. Lo denotamos con I. De
la ecuación 6-11 podemos entonces despejar crmáx y escribirla en forma
general como
_ Me
^máx
j
(6- 12)
Aquí,
<7máx = esfuerzo normal máximo en el miembro que ocurre en el punto
de la sección transversal más alejado del eje neutro.
M = momento interno resultante, determinado con el método de las
secciones y las ecuaciones de equilibrio y se calcula con respecto
al eje neutro de la sección transversal.
I = momento de inercia de la sección transversal calculado respecto
al eje neutro.
c = distancia perpendicular del eje neutro al punto más alejado de es­
te eje y sobre el cual actúa £rmáx.
Como o-máx/c = ~cr/y, ecuación 6-9, el esfuerzo normal a la distancia y
intermedia puede determinarse con una ecuación similar a la ecuación
6-12. Tenemos:
My
a=
T
(6-13)
Advierta que el signo negativo es necesario ya que es consistente con
los ejes x, y, z establecidos. Por la regla de la mano derecha, M es positivo
a lo largo del eje
es positiva hacia arriba por lo que cr debe ser ne­
gativo (compresivo) ya que actúa en la dirección x negativa, figura 6-26c.
A cualesquiera de las dos ecuaciones anteriores se les llamafórm ula de
la flexión. Se usa para determinar el esfuerzo normal en un miembro rec­
to con sección transversal simétrica respecto a un eje si el momento es
aplicado perpendicularmente a este eje. No obstante que hemos supues­
to que el miembro es prismático, podemos en la mayoría de los casos de
diseño usar la fórmula de la flexión también para determinar el esfuerzo
normal en miembros que tienen un ligero ahusamiento. Por ejemplo, con
base en la teoría de la elasticidad, un miembro con una sección transver­
sal rectangular y un ahusamiento de 15° en sus lados superior e inferior
longitudinales, tendrá un esfuerzo normal máximo real que es aproxima­
d a m e n te 5.4% menor que el calculado usando la fórmula de la flexión.
298 • CAPÍTULO 6 Flexión
PUNTOS IMPORTANTES
• La sección transversal de una viga recta p erm a n e ce p la n a cuando la viga se deforma por flexión. Esto
causa esfuerzos de tensión en un lado de la viga y esfuerzos de compresión en el otro lado. El eje n eutro
está sometido a cero esfuerzo.
• Debido a la deformación, la d efo rm a ció n unitaria lo n g itu d in a l varía linealm ente de cero en el eje neutro
a un máximo en las fibras exteriores de la viga. Si el material es homogéneo y la ley de Hooke es apli­
cable. el esfuerzo también varía de manera lineal sobre la sección transversal.
• En un material elástico-lineal, el eje neutro pasa por el cen tro id e del área de la sección transversal. Esta
conclusión se basa en el hecho de que la fuerza normal resultante que actúa sobre la sección transversal
debe ser cero.
• La fórmula de la flexión se basa en el requisito de que el momento resultante sobre la sección transver­
sal es igual al momento producido por la distribución del esfuerzo normal lineal respecto al eje neutro.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Para aplicar la fórmula de la flexión, se sugiere el siguiente procedi­
miento.
Momento interno.
• Seccione el miembro en el punto en donde el esfuerzo de flexión
va a ser determinado, y obtenga el momento interno M en la sec­
ción. El eje neutro o centroidal de la sección transversa] debe ser
conocido, ya que M d eb e ser calculado respecto a este eje.
• Si el esfuerzo de flexión máximo absoluto va a ser determinado,
dibuje entonces el diagrama de momentos flexionantes para de­
terminar el momento máximo en la viga.
Propiedad de la sección.
• Calcule el momento de inercia de la sección transversal respecto
al eje neutro. Los métodos usados para efectuar este cálculo se
ven en el apéndice A, y en el forro interior de la cubierta se pre­
senta una tabla con valores de I para varios perfiles comunes.
Esfuerzo normal.
• Especifique la distancia y , medida perpendicularmente al eje neu­
tro, al punto donde va a determinarse el esfuerzo normal. Apli­
que luego la ecuación <x = -A/y// o, si va a calcularse el esfuer­
zo máximo de flexión, use <rmáx = M c /I. Al sustituir los valores
numéricos, asegúrese de que las unidades sean consistentes.
• El esfuerzo actúa en una dirección tal que la fuerza que él crea
en el punto genera un momento respecto al eje neutro que tiene
el mismo sentido que el momento interno M, figura 6-26c. De es­
ta manera, la distribución del esfuerzo que actúa sobre toda la
sección transversal puede esbozarse, o aislarse un elemento de
volumen del material para representar gráficamente el esfuerzo
normal que actúa en el punto.
6.4
La fòrmula de la flexión
• 299
E J E M P L
Una viga tiene una sección transversal rectangular y está sometida a la
distribución de esfuerzo mostrada en la figura 6-21 a. Determine el mo­
mento interno M en la sección causado por la distribución del esfuer­
zo (a) usando la fórmula de la flexión, (b) calculando la resultante de
la distribución del esfuerzo mediante principios básicos.
2 klb/pulg2
(a)
Fig. 6-27
Solución
Parte (a). La fórmula de la flexión es ermáx = Me/I. De la figura 6-27a,
c = 6 pulg y <rmáx = 2 klb/pulg2. El eje neutro se define como la línea
N A , porque el esfuerzo es cero a lo largo de esta línea. Como la sec­
ción transversal tiene una forma rectangular, el momento de inercia de
la sección respecto al NA se determina con la fórmula para un rectán­
gulo dado en el forro interior de este texto; esto es,
7 = Í 2hh3=
pulg^ 12 pulg)3 = 864 pulg4
Por tanto,
Me
áx
M (6 pulg)
r
M = 288 klb • pulg = 24 klb • pie
Resp.
Continúa
300 • CAPITULO 6 Flexión
Demostraremos primero que la fuerza resultante de la dis­
tribución del esfuerzo es cero. Como se muestra en la figura 6-27b, el
esfuerzo que actúa sobre la franja arbitraria d A = (6 pulg) d y. locali­
zada a una distancia y del eje neutro, es:
Parte (b).
-y
(2 klb/pulg2)
6 pulg
La fuerza generada por este esfuerzo es d F = a d A . y entonces, para la
sección transversal entera,
r 6 pulg
a dA =
F* =
A
J- 6 pulg
-y
A 6 pulg
(2 klb/pulg2) (6 pulg) d y
+ 6 pulg
= ( - 1 klb/pulg2) /
= 0
- 6 pu!g
El momento resultante de la distribución del esfuerzo respecto al eje
neutro (eje z) debe ser igual a M. Como la magnitud del momento de
dF respecto a este eje es d M = y d F , y d M es siem p re p o sitiva , figura
6-276, entonces para la sección entera,
6 pulg
M =
ydF =
- 6 pulg
y
6 pulg
(2 klb/pulg2 (6 pulg) d y
+6 pulg
—6 pulg
= 288 klb •pulg = 24 klb ■pie
Resp.
El resultado anterior puede tam bién determinarse sin integración. La
fuerza resultante para cada una de las dos distribuciones triangulares de
esfuerzo en la figura 6-27c es gráficamente equivalente al v o lu m e n
contenido dentro de cada distribución de esfuerzo. Así entonces, cada
volumen es:
(c)
Fig. 6-27
F
= - ( 6 pulg)(2 klb/pulg2)(6 pulg) = 36 klb
Esas fuerzas, que forman un par, actúan en el mismo sentido que los
esfuerzos dentro de cada distribución, figura 6-27c. Además, actúan
pasando por el cen tro id e de cada volumen, esto es, ~ (6 pulg) = 2 pulg
desde las partes superior e inferior de la viga. Por tanto, la distancia
entre ellas es de 8 pulg, tal como se muestra. E l momento del par es
entonces:
M = 36 klb (8 pulg) = 288 klb • pulg = 24 klb • pie
Resp.
6.4
'
e j e m p l o
La fórmula de la flexión
• 301
6.1S
La viga simplemente apoyada en la figura 6-28a tiene la sección trans­
versal mostrada en la figura 6-28b. Determine el esfuerzo máximo ab­
soluto de flexión en la viga y dibuje la distribución del esfuerzo en la
sección transversal en esta posición.
Solución
El momento interno máximo en la viga,
= 22.5 kN •m, ocurre en el centro del claro como se muestra en el
diagrama de momento flexionante, figura 6-28c. Vea el ejemplo 6.3.
Momento interno máximo.
M
Por razones de simetría, el centroide C y
el eje neutro pasan por la mitad de la altura de la viga, figura 6-28b. La
sección transversal se subdivide en las tres partes mostradas y el mo­
mento de inercia de cada parte se calcula respecto al eje neutro usan­
do el teorema de los ejes paralelos. (Vea la ecuación A-5 del apéndice
A.) Trabajando en metros, tenemos:
Propiedades de la sección.
U---B '
r
20 m m -
/ = 2(7 + A d 2)
= 2
1
12
(0.25 m)(0.020 m)3 + (0.25 m)(0.020 m)(0.160 m)2
(0.020 m)(0.300m)3
= 301.3(10“6) m4
"T
1
t
150 mm
150 mm
_L
l
O
20 mm
250 mili
(b)
Continúa
302 • CAPÍTULO 6 Flexión
12.7 MPa
11.2 MPa
M = 2 2 .5 kN-m
M= 22.5 kN-m
MPa
12.7 MPa
<d)
12.7 MPa
11.2 MPa
B
11.2 MPa
O
12.7 MPa
(e)
Aplicando la fórmula de la flexión, con c
170 mm, el esfuerzo máximo absoluto de flexión es:
Esfuerzo de flexión .
O"míÍY
22.5 kN •m(0.170 m)
(Tmíiv = --------------- ~ 2 ---- -----= 12.7 MPa
301.3(10 ) m4
Me
I ’
Resp.
En la figura 6-28d se muestran vistas bi y tridimensionales de la dis­
tribución del esfuerzo. Note cómo el esfuerzo en cada punto sobre la
sección transversal desarrolla una fuerza que contribuye con un mo­
mento
respecto al eje neutro que tiene el mismo sentido que M.
Específicamente, en el punto B ,y B - 150 mm, por lo que:
22.5 kN •m(0.150 m)
M ys
aB =
I
’
a B = ---------------^ ---- -7-1- = 11.2 MPa
301.3(10 ) m4
El esfuerzo normal que actúa sobre elementos de material localiza­
dos en los puntos B y D se muestra en la figura 6-28e.
6.4
La fórmula de la flexión
• 303
E J E M P L O
La viga mostrada en la figura 6-29a tiene una sección transversal en
forma de canal, figura 6-29b. Determine el esfuerzo máximo de flexión
que se presenta en la sección a-a de la viga.
2.6 kN
f
Solución
En este caso, las reacciones en el soporte de la vi­
ga no tienen que determinarse. Podemos usar, con el método de las sec­
ciones, el segmento a la izquierda de la sección a-a. figura 6-29c. En par­
ticular. advierta que la fuerza axial interna resultante N pasa por el
centroide de la sección transversal. Observe también que el m o m e n to
interno resultante d eb e calcularse respecto a l eje n eu tro de la viga en la
sección a-a.
Para encontrar la posición del eje neutro, la sección transversal se
subdivide en tres partes componentes, como se muestra en la figura
6-29b. Como el eje neutro pasa por el centroide, usando la ecuación A-2
del apéndice A, tenemos
Momento interno.
1m -
2 m-
(a)
2[0.100 m](0.200 m)(0.015 m) + [0.010 m](0.02m)(0.250 m)
2(0.200 m)(0.015m) + 0.020 m(0.250 m)
= 0.05909 m = 59.09 mm
Esta dimensión se muestra en la figura 6-29c.
Aplicando la ecuación de equilibrio por momentos respecto al eje
neutro, tenemos:
2yA
y ~ H
a
*—250 m m —*
L+SM au = 0:
24 kN(2 m) + 1.0 kN(0.05909 m) - M = 0
5;
M = 4.859 kN •m
Propiedades de la sección. El momento de inercia respecto al eje
neutro se determina usando el teorema de los ejes paralelos, aplicado
a cada una de las tres partes componentes de la sección transversal.
Trabajando en metros, tenemos:
/ =
+ 2
N
T
,20 mm
l )
-r t
A t
C
200 mm
15 m m —
—15 mm
(b)
-^(0.250 m)(0.020 m )3 + (0.250 m)(0.020 m)(0.05909 m - 0.010 m)
1
(0.015 m)(0.200 m)3 + (0.015 m)(0.200 m)(0.100 m - 0.05909 m )2
L1 2 '
= 42.26(10-6) m4
El esfuerzo máximo de flexión ocurre
en los puntos más alejados del eje neutro. En este caso, el punto más
alejado está en el fondo de la viga; c = 0.200 m - 0.05909m = 0.1409 m.
Entonces,
Me
4.859 kN-m(0.1409m)
< r^ = — =
42 26(10- 6)m,
= 16.2 MPa
R esp .
Esfuerzo máximo deflexión.
Muestre que en la parte superior de la viga el esfuerzo de flexión es
cr' = 6.79 MPa. Note que además de este efecto de flexión, la fuerza
normal de N = 1 kN y la fuerza cortante V = 2.4 kN contribuirán tam­
bién con esfuerzos adicionales sobre la sección transversal. La super­
posición de todos esos efectos se verá en un capítulo posterior.
2.4 kN
,1.0 kN
0.05909 m
____v
M
J
-2 m -------(c)
Fig. 6-29
J
304 • CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
El miembro con sección transversal rectangular, figura 6-30a, está dise­
ñado para resistir un momento de 40 N-m. Para aumentar su resistencia
y rigidez, se propone añadir dos pequeñas costillas en su fondo, figura
6-30b. Determine el esfuerzo normal máximo en el miembro para am­
bos casos.
S o lu c ió n
Es claro que el eje neutro se localiza en el centro de la
sección transversal, figura 6-30«, por lo que y = c = 15 mm = 0.015 m.
Así,
Sin costillas.
I = j-b r f =
(0.06 m)(0.03 m )3 = 0.135(10“6) m4
Por tanto, el esfuerzo normal máximo es:
Me
í r máx
(40N*m)(0.015 m)
= 4.44 MPa
0.135(10~6) m
Resp.
Con costillas. En la figura 6-306, segmentando la sección en el rec­
tángulo grande principal y en los dos rectángulos inferiores (costillas),
la posición del centroide y del eje neutro se determinan como sigue:
10 mm
_
10 mm
H ,yA
'Y
a
[0.015 m](0.030 m)(0.060 m) + 2[0.0325 m](0.005 m)(0.010 m)
(0.03 m)(0.060 m) + 2(0.005 m)(0.010m)
= 0.01592 m
Fig. 6-30
Este valor no representa a c. Más bien,
c = 0.035 m - 0.01592 m = 0.01908 m
Usando el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia res­
pecto al eje neutro es:
I =
^ (0.060 m)(0.030m)3 + (0.060 m)(0.030 m)(0.01592 m - 0.015 m)2
+ 2 ^ (0.010 m)(0.005 m)3 + (0.010 m)(0.005 m)(0.0325 m - 0.01592 m)2
= 0.1642(10“6) m4
Por lo tanto, el esfuerzo normal máximo es
Me
^máx
40 N •m(0.01908 m)
= 4.65 MPa
0.1642(10-6) m4
Resp.
Este sorprendente resultado indica que la adición de las costillas a la
sección transversal aumentará el esfuerzo normal en vez de disminuir­
lo, y por esta razón deben ser omitidas.
Pr o b lem a s
• 305
PROBLEMAS
6-43. Un miembro con las dimensiones m ostradas se usa
para resistir un m om ento flexionante interno M =
2 klb • pie. Determ ine el esfuerzo máximo en el miembro
si el momento se aplica (a) alrededor del eje z, (b) alrede­
dor del eje y. Esboce la distribución del esfuerzo para cada
caso.
U- 2 pulg
P robs. 6-45/46
6-47. La viga está hecha de tres tablones unidos entre sí
por medio de clavos. Si el momento que actúa sobre la sec­
ción transversal es M = 600 N • m, determ ine el esfuerzo
de flexión máximo en la viga. Esboce una vista tridim en­
sional de la distribución del esfuerzo que actúa sobre la
sección transversal.
*6-48. La viga está hecha de tres tablones unidos entre
sí por medio de clavos. Si el momento que actúa sobre la
sección transversal es M = 600 N • m, determ ine la fuerza
resultante que el esfuerzo de flexión ejerce sobre el tablón
superior.
*6-44. La barra de acero con diám etro de 1 pulg está so­
metida a un momento interno M = 300 Ib • pie. D eterm i­
ne el esfuerzo generado en los puntos A y B. Esboce tam ­
bién una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo
que actúa sobre la sección transversal.
20 mm
Probs. 6-47/48
6-49. Una viga tiene la sección transversal mostrada. Si
está hecha de acero con un esfuerzo permisible trperm =
2 klb/pulg2, determine el máximo momento interno que la
viga puede resistir si el momento se aplica (a) alrededor
del eje z, (b) alrededor del eje y.
y
6-45. Un miembro tiene la sección transversal triangular
mostrada. Determ ine el momento máximo interno M que
puede aplicarse a la sección sin exceder los esfuerzos per­
misibles de tensión y de compresión de (a-perm); = 22 k lb /
pulg 2 y (<xperm)f = 15 klb/pulg2, respectivamente.
6-46. U n miembro tiene la sección transversal triangular
mostrada. Si se aplica un m om ento M = 800 Ib • pie a la
sección, determ ine los esfuerzos máximos de tensión y de
compresión por flexión en el miembro. También, esboce
una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo que
actúa sobre la sección transversal.
306 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-50. La viga está som etida a un m om ento M = 40
kN • m. Determine el esfuerzo de flexión que actúa en los
puntos A y B. Esboce los resultados sobre un elemento de
volumen presente en cada uno de esos puntos.
6-53. Una viga está construida con cuatro tablones de
madera unidos entre sí con pegamento, como se muestra.
Si el m om ento que actúa sobre la sección transversal es
M = 450 N • m, determine la fuerza resultante que el es­
fuerzo de flexión produce sobre el tablón A superior y so­
bre el tablón B lateral.
P ro b . 6-50
P rob. 6-53
6-51. La pieza de aluminio de una máquina está som eti­
da a un momento M = 75 N • m. D eterm ine el esfuerzo de
flexión generado en los puntos B y C sobre la sección trans­
versal. Esboce los resultados sobre un elem ento de volu­
men localizado en cada uno de esos puntos.
6-54. La viga está sometida a un momento de 15 klb • pie.
D eterm ine la fuerza resultante que el esfuerzo de flexión
produce sobre el patín A superior y sobre el patín B infe­
rior. También, calcule el esfuerzo máximo de flexión de­
sarrollado en la viga.
*6-52. La pieza de aluminio de una de máquina está so­
metida a un memento M = 75 N • m. Determine los esfuer­
zos máximos de tensión y de compresión por flexión en la
parle.
6-55. La viga está sometida a un momento de 15 klb • pie.
D eterm ine el porcentaje de este momento que es resisti­
do por el alma D de la viga.
20 mm
Probs. 6-51/52
Probs. 6-54/55
P r o b le m a s
*6-56. La viga está construida con cuatro tablones como
se m uestra. Si está som etida a un m om ento M . =
16 klb ■pie, determ ine el esfuerzo en los puntos A y B.
Esboce una vista tridimensional de la distribución del es­
fuerzo.
•
307
6-59. La viga está sometida a un momento M = 30 Ib • pie.
Determine el esfuerzo de flexión que actúa en los puntos
A y B. También esboce una vista tridimensional de la dis­
tribución del esfuerzo que actúa sobre la sección transver­
sal entera.
6-57. La viga está construida con cuatro tablones como
se m uestra. Si está som etida a un m om ento M . =
16 klb • pie, determ ine la fuerza resultante que el esfuerzo
produce sobre el tablón C superior.
M - 30 lb-pie
P ro b . 6-59
*6-60. La pieza de fundición ahusada soporta la carga
mostrada. D eterm ine el esfuerzo de flexión en los puntos
A y B. La sección transversal en la sección a-a se da en la
figura.
1 pulg
P robs. 6-56/57
6-58. La palanca de control se usa en una segadora de
césped. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la sec­
ción a-a de la palanca si se aplica una fuerza de 20 Ib a la
manija. La palanca está soportada por un pasador en A y
por un alambre en B. La sección a-a es cuadrada de 0.25 x
0.25 pulgadas.
4
‘ pulgP ro b . 6-60
6-61. Si la flecha en el problem a 6-1 tiene un diámetro
de 100 mm, determine el esfuerzo máximo absoluto de fle­
xión en la flecha.
6-62. Si la flecha en el problem a 6-3 tiene un diámetro
de 1.5 pulg, determine el esfuerzo máximo absoluto de fle­
xión en la flecha.
6-63. Si la flecha en el problema 6-6 tiene un diám etro
de 50 mm, determine el esfuerzo máximo absoluto de fle­
xión en la flecha.
Prob. 6-58
*6-64. Si el tubo en el problem a 6-8 tiene un diám etro
exterior de 30 mm y un espesor de 10 mm, determine el es­
fuerzo máximo absoluto de flexión en la flecha.
308 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-65. La viga ACB en el problem a 6-9 tiene una sección
transversal cuadrada de 6 X 6 pulg. Determ ine el esfuer­
zo máximo absoluto de flexión en la viga.
6 -66 .
La pluma A B C de la grúa en el problem a 6-10 tie­
ne una sección transversal rectangular con base de 2.5 pulg;
determine su altura h requerida, al j pulg más cercano, para
que el esfuerzo permisible de flexión crpernl = 24 klb/pulg 2
no sea excedido.
*6-72. D eterm ine el esfuerzo máximo absoluto de fle­
xión en la flecha de 30 mm de diámetro sometida a las fuer­
zas concentradas indicadas. Las chumaceras en A y B so­
portan sólo fuerzas verticales.
6-73. Determine el diámetro permisible más pequeño pa­
ra la flecha sometida a las cargas concentradas mostradas.
Las chumaceras en A y B sólo soportan fuerzas verticales;
el esfuerzo permisible de flexión es <xperm = 160 MPa.
6-67. Si la pluma A B C de la grúa en el problem a 6-10 tie­
ne una sección transversal rectangular con base de 2 pulg
y altura de 3 pulg, determine el esfuerzo máximo absolu­
to de flexión en la pluma.
*6 -68 . D eterm ina el esfuerzo máximo absoluto de fle­
xión en la viga del problema 6-24. La sección transversal
es rectangular con base de 3 pulg y altura de 4 pulg.
Ü
6-69. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión
en la viga del problema 6-25. Cada segmento tiene una sec­
ción transversal rectangular con base de 4 pulg y altura de
8 pulg.
6-70. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión
en el pasador de 20 mm de diámetro en el problema 6-35.
Ü =J
1.2 m -
- 0.8 m
-j— 0.6 m
400 N
600 N
P ro b s. 6-72/73
6-71. El eje del vagón de ferrocarril está sometido a car­
gas de 20 klb en sus ruedas. Si el eje está soportado por dos
chumaceras en C y D. determ ine el esfuerzo máximo de
flexión generado en el centro del eje, donde el diám etro
es de 5.5 pulgadas
6-74. D eterm ine el esfuerzo máximo absoluto de flexión
en la flecha de 1.5 pulg de diám etro sometida a las fuerzas
concentradas indicadas. Las chumaceras en A y B sopor­
tan sólo fuerzas verticales.
6-75. Determine el diámetro permisible más pequeño pa­
ra la flecha sometida a las fuerzas concentradas indicadas.
Las chumaceras e n A y B soportan sólo fuerzas verticales
y el esfuerzo permisible de flexión es o-pcrm = 22 klb/pulg2.
400 Ib
20 klb
Prob. 6-71
P robs. 6-74/75
P r o b le m a s
*6-76. El brazo CD del poste de servicio soporta un ca­
ble del que pende un peso de 600 Ib. D eterm ine el esfuer­
zo máximo absoluto de flexión en el brazo si se supone que
A , B y C están articulados.
•
309
La flecha de acero tiene una sección transversal
circular con diám etro de 2 pulg. Está soportada sobre chu­
maceras lisas A y B. que ejercen sólo reacciones verticales
sobre la flecha. Determ ine el esfuerzo máximo absoluto
de flexión en la flecha cuando está sometida a las cargas
mostradas de las poleas.
6-79.
2 pulg
_H h-
£L
_ D5 pu|?
20 pulg 6001b
-
20 pulg —
500 Ib
■20 pulg
— 20 pulg —1
500 Ib
3001b
Prob. 6-79
Una porción del fémur puede modelarse como un
tubo con diámetro interior de 0.375 pulg y un diámetro ex­
terior de 1.25 pulg. Determ ine la máxima fuerza P elásti­
ca estática que puede aplicársele en su centro sin que se
produzca una falla. El diagrama cr-e para el material del
hueso se muestra en la figura y es el mismo en tensión y
en compresión.
6-77.
*6-80. Los soportes extremos de un andamio para per­
foradores usado en una mina de carbón consisten en un tu ­
bo con diám etro exterior de 4 pulg que enchufa con un
tubo de 3 pulg de diám etro exterior y longitud de 1.5 pies.
Cada tubo tiene un espesor de 0.25 pulg. Con las reaccio­
nes extremas de los tablones soportados dadas, determine
el esfuerzo máximo absoluto de flexión en cada tubo. Des­
precie el tam año de los tablones en los cálculos.
La silla está soportada por un brazo que está ar­
ticulado de modo que puede girar respecto al eje vertical
en A . La carga sobre la silla es de 180 Ib y el brazo es un
tubo hueco cuya sección transversal tiene las dimensiones
mostradas. Determ ine el esfuerzo máximo de flexión en la
sección a-a.
6-78.
Prob. 6-80
La viga está sometida a la carga P en su centro. D e­
term ine la posición a de los soportes de m anera que el
esfuerzo máximo absoluto de flexión en la viga sea tan
grande como sea posible. ¿Qué valor tiene este esfuerzo?
6-81.
180 Ib
-
------- a
|»— 8 pulg —H
--------)
1
O
r------a
------- -
□ IH
b
--------------- L / 2 -------------- - --------------- L /2 -----------------
Prob. 6-81
310 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-82. La armadura simplemente apoyada está sometida
a la carga central distribuida. Desprecie el efecto de la ce­
losía diagonal y determ ine el esfuerzo máximo absoluto
de flexión en la armadura. El miembro superior es un tu­
bo con diámetro exterior de 1 pulg y espesor de ¿ pulg; el
m iem bro inferior es una barra sólida con diám etro de I
pulgada.
•
•
“
H
P ro b s. 6-84/85
- 6 p ie s-------- ---------6 p ie s -------- - -------- 6 p ie s -------P ro b . 6-82
El pasador se usa para conectar los tres eslabones
entre sí. D ebido al desgaste, la carga se distribuye sobre la
parte superior e inferior del pasador como se muestra en
el diagrama de cuerpo libre. Si el diám etro del pasador es
de 0.40 pulg, determine el esfuerzo máximo de flexión so­
bre la sección transversal a-a central. Para obtener la solu­
ción es necesario primero determ inar las intensidades de
las cargas
y w2.
6-83.
IV 9
800 Ib
W
6 -86 .
La viga simplemente apoyada está hecha de cuatro
barras de 7 pulg de diámetro, dispuestas como se muestra.
D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en la viga debi­
do a la carga mostrada.
Resuelva el problem a 6-8 1si el arreglo se gira 45°
y se fija en los soportes.
6-87.
801b
80 Ib
i
L 2 pies —|-
- 2 pies -
---------6 pies —
P ro b s. 6-86/87
1 pulg
|i PulS-|
b
J j 0.40 pulg
*6 -88 . La viga de acero tiene la sección transversal mos­
trada. Determine la intensidad máxima de la carga iv dis­
tribuida que puede soportar la viga sin que el esfuerzo de
flexión exceda el valor crmáx = 22 klb/pulg2.
La viga de acero tiene la sección transversal mos­
trada. Si iv = 5 klb/pie. determ ine el esfuerzo máximo ab­
soluto de flexión en la viga.
6-89.
h l - 5 p u lg H
4001b
4001b
P ro b . 6-83
Una flecha está hecha de un polímero con sección
transversal elíptica. Si resiste un m om ento interno M =
50 N • m, determine el esfuerzo máximo de flexión genera­
do en el material (a) usando la fórmula de la flexión, donde
/, = j7r(0.08 m)(0.04 m )3, (b) usando integración. E sbo­
ce una vista tridimensional de la distribución del esfuerzo
que actúa sobre la sección transversal.
*6 -84 .
Resuelva el problema 6-84 considerando que el mo­
m ento M = 50 N • m está aplicado respecto al eje y y no
respecto al eje x. Aquí, /,. = j <7(0.04 m)(0.08 m)3.
h t
8 pulg
h— I
: 0.30 pulg
0.3 pulg-
j
10 pulg
0.30 pulg
6-85.
Probs. 6-88/89
Pr o b le m a s
6-90. La viga tiene la sección transversal rectangular mos­
trada. Determine la carga P máxima que puede soportar
sobre sus extremos volados si el esfuerzo de flexión no de­
be ser mayor que crmáx = 10 MPa.
6-91. La viga tiene la sección transversal rectangular mos­
trada. Si P = 12 kN, determ ine el esfuerzo máximo abso­
luto de flexión en la viga. Esboce la distribución de esfuer­
zo que actúa sobre la sección transversal.
■1.5 m -
•
311
La estructura A B D del ala de un avión ligero está
hecho de aluminio 2014-T6 y tiene una sección transver­
sal de 1.27 X 3 pulg (peralte) y un momento de inercia res­
pecto a su eje neutro de 2.68 pulg4. Determ ine el esfuerzo
máximo absoluto de flexión en la estructura para la carga
mostrada. Suponga que A, B y C son pasadores. La cone­
xión está hecha a lo largo del eje central longitudinal de la
estructura.
6-94.
-1.5 m -
— 1.5 m -
250 mm
H
150 mm
P ro b s. 6-90/91
*6-92. De un tronco de 2 pies de diám etro va a cortarse
una sección rectangular para usarse como viga simplemen­
te apoyada. Si el esfuerzo permisible de flexión para la ma­
dera es
= 8 klb/pulg2. determ ine el ancho b y la altu­
ra h requeridos por la viga para que ésta soporte la carga
máxima posible. ¿Q ué valor tiene esta carga?
P ro b . 6-94
6-93. De un tronco de 2 pies de diám etro va a cortarse
una sección rectangular para usarse como viga simplemen­
te apoyada. Si el esfuerzo permisible de flexión para la ma­
dera es crpem = 8 klb/pulg2. determ ine la máxima carga
P que podrá soportar si el ancho de la viga es b = 8 pul­
gadas.
6-95. La lancha tiene un peso de 2300 Ib y centro de gra­
vedad en G. Si se apoya en el soporte liso A del remolque
y puede considerarse soportada por un pasador en B , de­
termine el esfuerzo máximo absoluto de flexión desarro­
llado en la barra principal del rem olque. Considere que
esta barra es una viga en caja articulada en C y con las
dimensiones mostradas en la figura.
*1—
A
t
■V
V
.
i
-
2 pies —
8 pies -
8 pies
1.5 pulg
Probs. 6-92/93
Prob. 6-95
312 • CAPÍTULO 6 Flexión
*6-96. Una viga de madera tiene sección transversal cua­
drada como se muestra en la figura. D eterm ine qué orien­
tación de la viga da la mayor resistencia para soportar el
momento M. ¿Cuál es la diferencia en el esfuerzo máximo
resultante en ambos casos?
6-99. U na viga va a fabricarse a base de un plástico poIietileno y tendrá la sección transversal mostrada. D eter­
mine su altura máxima requerida para que soporte el ma­
yor m om ento M. ¿Q ué valor tiene este m om ento? Los
esfuerzos permisibles de tensión y de compresión por fle­
xión del material son (o-pe,,,,), = 10 klb/pulg 2 y (o-perm)c =
30 klb/pulg2, respectivamente.
(b)
Prob. 6-96
6-97. La viga en voladizo tiene un espesor de 4 pulg y un
peralte variable que puede describirse por la función y =
2 [(x + 2 ) /4 ]0'2, donde x está en pulgadas. D eterm ine el es­
fuerzo máximo de flexión en la viga en su centro.
*6-100. Una viga está hecha de un material que tiene mó­
dulos de elasticidad diferentes a tensión y a compresión.
Determ ine la posición c del eje neutro y obtenga una ex­
presión para el esfuerzo máximo de tensión en la viga con
las dimensiones mostradas si está sometida al m om ento
flexionante M.
Prob. 6-97
6-98. U na viga de madera tiene una sección transversal
que era originalmente cuadrada. Si está orientada como se
muestra,determ ine la altura h' para que resista el momen­
to máximo posible. ¿Qué tanto por ciento es este momento
mayor que el resistido por la viga sin sus extremos aplana­
dos?
Prob. 6-98
6-101. La viga tiene una sección transversal rectangular
y está sometida a un momento flexionante M. Si el m ate­
rial de que está hecha tiene módulos de elasticidad dife­
rentes a tensión y a compresión como se muestra, deter­
mine la posición c del eje neutro y el esfuerzo máximo de
compresión en la viga.
S ección 6.5
6.5
Flexión asimétrica
• 313
Flexión asimétrica
Cuando desarrollamos la fórmula de la flexión, impusimos la condición
de que la sección transversal fuese simétrica respecto a un eje perpendicu­
lar al eje neutro: además, el momento interno resultante M debía actuar
a lo largo del eje neutro. Tal es el caso para las secciones “T ” o en canal
mostradas en la figura 6-31. Sin embargo, esas condiciones son innecesa­
rias y en esta sección mostraremos que la fórmula de la flexión puede tam­
bién aplicarse a una viga con sección transversal de cualquier forma o a
una viga sometida a un momento interno resultante actuando en cual­
quier dirección.
Eje de simetría
neutro
Momento aplicado a lo largo de un eje principal. Consideremos
la sección transversal de la viga con la forma asimétrica mostrada en la fi­
gura 6-32a. Tal como lo hicimos en la sección 6.4, establecemos un siste­
ma coordenado derecho x, y, z con su origen localizado en el centroide C
de la sección transversal y el momento interno resultante M actuando a
lo largo del eje +z. Requerimos que la distribución del esfuerzo que ac­
túa sobre toda la sección transversal tenga una fuerza resultante cero, un
momento interno resultante respecto al eje y igual a cero y un momento
interno resultante respecto al eje z igual a M.* Estas tres condiciones pue­
den expresarse matemáticamente considerando la fuerza que actúa sobre
el elemento diferencial dA localizado en (0, y, z), figura 6-32«. Esta fuer­
za es dF = a d A , y por tanto tenemos:
(6-14)
0 = J «crr , dA
Fr = 2 F r;
Eje de simetría
Eje neutro
Fig. 6-31
J'a
A
(6-15)
0 = i z o - dA
( M R) y = 2 M V;
'a
M =
(.M r ) z = 1 M -
(6-16)
—y a dA
M
*L a condición de q u e los m om entos resp ecto al eje y sean iguales a cero no se consideró
en la sección 6.4, ya q u e la distribución del esfu erzo de flexión era sim étrica respecto al
eje y y tal d istribución del esfuerzo da au to m áticam en te un m o m en to cero respecto al eje
y. V ea la figura 6-26c.
G máx
1
M
f w
)
(a)
Distribución de la deformación
unitaria normal (vista lateral)
(b)
Fig. 6-32
Distribución del esfuerzo
de flexión (vista lateral)
(c)
314 • CAPÍTULO 6 Flexión
Como se mostró en la sección 6.4, la ecuación 6-14 se satisface ya que
el eje z pasa por el centroide de la sección transversal. Además, como el
eje z representa el eje neutro de la sección transversal, la deformación
unitaria normal variará linealmcnte de cero en el eje neutro a un máximo
en un punto con la máxima coordenada y , y = c, respecto al eje neutro,
figura 6-32b. Si el material se comporta de manera elástica lineal, la dis­
tribución del esfuerzo normal sobre la sección transversal es también li­
neal, por lo que o = - (y /c)o-mAx, figura 6-32c. Cuando esta ecuación se
sustituye en la ecuación 6-16 y se integra, se llega a la fórmula de la fle­
xión crmáx = Me¡I. Cuando se sustituye en la ecuación 6-15, obtenemos:
0 =
y z dA
lo que implica que
vz dA = 0
Esta integral se llama producto de inercia de la sección transversal. Co­
mo se indica en el apéndice A. será ciertamente igual a cero si los ejes y
y z se escogen como los ejes de inercia principales de la sección transver­
sal. Para una sección transversa] de forma arbitraria, la orientación de los
ejes principales siempre puede determinarse usando las ecuaciones de
transformación o bien el círculo de inercia de Mohr como se explica en el
apéndice A, secciones A.4 y A.5. Sin embargo, si la sección transversal tie­
ne un eje de simetría, los ejes principales pueden establecerse fácilmen­
te ya que ellos siempre están orientados a lo largo del eje de simetría y
perpendicularmente a éste.
En resumen, las ecuaciones 6-14 a la 6-16 siempre serán satisfechas si el
momento M se aplica respecto a uno de los ejes centroidales principales de
inercia. Por ejemplo, considere los miembros mostrados en la figura 6-33.
En cada uno de estos casos, y y z definen los ejes principales de inercia de la
sección transversal cuyo origen se localiza en el centroide del área. En las
figuras 6-33a y 6-33b. los ejes principales se localizan por simetría y en
las figuras 6-33c y 6-33d su orientación se determina usando los métodos
del apéndice A. Como M se aplica respecto a uno de los ejes principales
(eje z),la distribución del esfuerzo se determina con la fórmula de la fle­
xión, a = M y/Iz, y se muestra para cada caso.
S ección 6.5
Flexión asimétrica
• 315
Momento aplicado arbitrariamente. En ocasiones un miembro pue­
de estar cargado de modo tal que el momento interno resultante no ac­
túa respecto a uno de los ejes principales de inercia de la sección trans­
versal. Cuando éste es el caso, el momento debe primero descomponerse
en componentes dirigidas a lo largo de los ejes principales. La fórmula de
la flexión puede entonces usarse para determinar el esfuerzo normal cau­
sado por cada componente del momento. Finalmente, usando el principio
de superposición, el esfuerzo normal resultante en un punto puede deter­
minarse.
Para mostrar cómo se hace esto, considere la viga con sección transversal
rectangular sometida al momento M mostrada en la figura 6-34a. Aquí,
M forma un ángulo 6 con el eje principal z. Supondremos que 9 es posi­
tivo cuando está dirigido del eje + z hacia el eje +y, como se muestra.
Descomponiendo M en componentes a lo largo de los ejes z y y, tenemos
Mz = M eos 9 y M y ~ M sen 9, respectivamente. Cada una de esas com­
ponentes se muestra por separado sobre la sección transversal en las figu­
ras 6-346 y 6-34c. Las distribuciones de esfuerzo normal que producen M
y sus componentes M- y Mv se muestran en las figuras 6-34c/, 6-34e y 634/, respectivamente. Se supone aquí que (crv)máx > (o;v)máx. Por inspec­
ción. los esfuerzos máximos de tensión y de compresión [(<xv)máx + (? 0 máx]
se presentan en dos esquinas opuestas de la viga, figura 6-34d.
Aplicando la fórmula de la flexión a cada componente del momento en
las figuras 6-34b y 6-34c, podemos expresar el esfuerzo normal resultante
en cualquier punto sobre la sección transversal, figura 6-34¿/, en términos
generales como:
M ,y
MyZ
h
ly
(6-17)
<b)
+
donde
sen 9
ct = esfuerzo normal en el punto
y, z = coordenadas del punto medidas desde los ejes
z que tienen
su origen en el centroide de la sección transversal y forman un
sistema coordenado derecho. El eje x está dirigido saliendo de
la sección transversal y los ejes y y z representan respectiva­
mente los ejes principales de momentos de inercia mínimo y
máximo de la sección transversal.
My, M .
componentes del momento interno resultante dirigidas a lo
largo de los ejes principales y y Z . Ellas son positivas si están di­
rigidas a lo largo de los ejes +y y +z; de otra manera, son nega­
tivas. Dicho de otra manera, My = M sen 9 y M, = M eos 9,
donde 9 es positivo si se mide del eje +z hacia el eje +y.
•y, I. = momentos de inercia principales
calculados respecto a los ejes
y y z, respectivamente. Vea el apéndice A.
316
• CAPÍTULO 6 Flexión
y
Como mencionamos anteriormente, es muy importante que los ejes x,
y, z formen un sistema derecho y que se asignen los signos algebraicos
+ (°*)múx]
apropiados a las componentes del momento y a las coordenadas al apli­
car esta ecuación. El esfuerzo resultante será de tensión si es positivo y de
compresión si es negativo.
Orientación del eje neutro. El ángulo a del eje neutro en la figura
6-34d puede determinarse aplicando la ecuación 6-17 con a = 0,ya que por
definición, ningún esfuerzo normal actúa sobre el eje neutro.Tenemos:
+ (°*)m4x]
M yh
y
M zIy Z
Como Mz = M eos 6 y My = M sen 0, entonces
máx
y = ("Ttan 8
(6-18)
\Iy
Ésta es la ecuación de la línea que define el eje neutro de la sección trans­
versal. Como la pendiente de esta línea es tan a = y /z, entonces,
(6-19)
(e)
+
y
(^.Omdx
(0
Fig. 6-34 (cont.)
Puede verse aquí que para flexión asimétrica el ángulo 0. que define la di­
rección del momento M, figura 6-34«, no es igual a a, esto es, al ángulo
que define la inclinación del eje neutro, figura 6-34d, a menos que I. = 7V.
En cambio, si al igual que en la figura 6-34« el eje y se escoge como el eje
principal para el momento de inercia mínimo y el eje z se escoge como el
eje principal para el momento de inercia máximo , de modo que Iy < /.,
entonces de la ecuación 6-19 podemos concluir que el ángulo a, que se
mide positivamente desde el eje +z hacia el eje +y. se encontrará entre
la línea de acción de M y el eje y, esto e s 0 S f f < 90°.
PUNTOS IMPORTANTES
• La fórmula de la flexión puede aplicarse sólo cuando la flexión
ocurre respecto a ejes que representan los ejes principales de iner­
cia de la sección transversal. Esos ejes tienen su origen en el cen­
troide y están orientados a lo largo de un eje de simetría, si exis­
te uno, y el otro perpendicular a él.
• Si el momento se aplica respecto a un eje arbitrario, entonces el
momento debe resolverse en componentes a lo largo de cada uno
de los ejes principales, y el esfuerzo en un punto se determina por
superposición del esfuerzo causado por cada una de las compo­
nentes del momento.
S ecció n 6 .5
E J E M P L O
F le x ió n a s im é t r ic a
•
317
6.18
La sección transversal rectangular mostrada en la figura 6-35« está so­
metida a un momento flexionante de M = 12 kN •m. Determine el es­
fuerzo normal desarrollado en cada esquina de la sección, y especifi­
que la orientación del eje neutro.
Solución
Componentes del momento interno. Por inspección se ve que los ejes
y y z representan los ejes principales de inercia ya que ellos son ejes de
simetría para la sección transversal. Según se requiere, hemos estable­
cido el eje z como el eje principal para el momento de inercia máximo. 0.2 m
El momento se descompone en sus componentes y y z, donde
02m
= 12 kN-m
My — -| (1 2 k N -m ) = -9.60 K N -m
M\ = |(12kN -m ) = 7.20 kN-m
Propiedades de la sección.
ejes y y z son:
Los momentos de inercia respecto a los
(a)
Fig. 6-35
Iy = ^ (0 .4 m )(0 .2 m )3 = 0.2667(10“3) m4
12'
1
/. = ^ (0 .2 m )(0 .4 m )3 = 1.067(10“3) m4
Esfuerzos de flexión.
M .y
Se tiene entonces:
Myz
<7 =
7.20Í103) N •m(0.2 m)
-9.60(103) N •m (-0.1 m)
------ = 2.25 MPa
crn = ------------------- ;---- --------1---------------------- ^
1.067(10 ) m
0.2667(10-3) m
7.20(103) N •m(0.2 m)
-9.60(103) N •m(0.1 m)
o c = ------- — 4------------------- + -------
1.067(10"3) m4
+
7.20(103) N •m (-0.2 m)
"n = —
3.— 4-----= -4.95 MPa
7.20(103) N •m (—0.2 m)
' n0.2667(10-3)
^ n n - 3 ^ m4
J ------ = “ 2 ‘2 5 M P a
ResP■
-9.60(103) N •m (-0 .1 m)
„ 4 -------- h -------„ 4 ------------------------= 4.95 MPa
1.067(10“3) m4
Resp.
-9.60(103) N •m(0.1 m)
1.067(10~3) m4------- +
o-E = -------- 1
,
0.2667(10-3) m4
Resp.
*
+
0.2667(10-3) m4
La distribución resultante del esfuerzo normal está esbozada usan­
do estos valores en la figura 6-35b. Como el principio de superposición
es aplicable, la distribución es Lineal, como se muestra.
Resp.
Continúa
318 • CAPÍTULO 6 Flexión
M = 12 k N m
4.95 MPa
l
2.25 MPa
z
I
Ce)
(b)
Orientación del eje neutro. La posición z del eje neutro (N A), figura
6-35b, puede determinarse por proporción. A lo largo del borde BC se
requiere:
2.25 MPa
4.95 MPa
( 0.2 m - z)
0.450 - 2.25z = 4.95z
z = 0.0625 m
z
De la misma manera, ésta es también la distancia de D al eje neutro en
la figura 6-35b.
Podemos establecer también la orientación del N A usando la
ecuación 6-19, que se utiliza para determinar el ángulo a que el eje
forma con el eje z o eje principal máximo. De acuerdo con nuestra con­
vención de signos, ftdebc medirse desde el eje +z hacia el eje +y. Por
comparación, en la figura 6-35c, 6 = -tan^'j = —53.1° (o 6 = +306.9°).
Así,
tan oí = y tan 0
*■yv
a = -79.4°
Resp.
Este resultado se muestra en la figura 6-35c. Usando el valor calcu­
lado antes de z, verifique, usando la geometría de la sección transver­
sal, que se obtiene la misma respuesta.
S ección 6.5
E J E M P L O
Flexión asimétrica
• 319
6.19
Una viga T está sometida al momento flexionante de 15 kN •m, como
se muestra en la figura 6-36a. Determine el esfuerzo normal máximo
en la viga y la orientación del eje neutro.
30
15 kN-m
(a)
Solución
Componentes del momento interno. Los ejes y y z son ejes principa­
les de inercia. ¿Por qué? Según la figura 6-36a, ambas componentes del
momento son positivas. Tenemos:
M y = (15 kN •m) eos 30° = 12.99 kN •m
M, = (15 kN •m) sen 30° = 7.50 kN •m
Propiedades de la sección. Con referencia a la figura 6-366, traba­
jando con unidades en metros, tenemos:
0.02 m
0.02 m
[0.05 m](0.100 m)(0.04 m) + [0.115 m](0.03 m)(0.200 m)
(0.100 m)(0.04 m) + (0.03 m)(0.200 m)
2 /1
= 0.0890 m
0.03 ni
z =
2 zí 4
Usando el teorema de los ejes paralelos visto en el apéndice A, I = I
+ A d 2, los momentos de inercia principales son entonces:
o.ioo m
Iz = -^(0.100 m)(0.04m)3 + ^ (0 .0 3 m)(0.200 m )3 = 20.53(10~6) m4
h -
0.080 m
0.080 m
(0.04 m)(0.100 m )3 + (0.100 m)(0.04 m)(0.0890 m - 0.05 m)2
(b)
Fig. 6-36
^ (0 .2 0 0 m )(0.03 m )3 + (0.200 m)(0.03 m)(0.115 m - 0.0890 m )2
= 13.92(10-6) m4
Continúa
320 • CAPÍTULO 6 Flexión
Las componentes del momento se mues­
tran en la figura 6-36c. Por inspección, el esfuerzo máximo de tensión
ocurre en el punto B, ya que por superposición ambas componentes
del momento generan ahí un esfuerzo de tensión. De la misma mane­
ra, el esfuerzo máximo de co m p resió n ocurre en el punto C. Así,
Esfuerzo máximo de flexión.
Mzy
Myz
h
h
7.50 k N - m (-0.100 m)
12.99 k N • m (0.0410 m)
<XB ~
20.53(10~6) m4
13.92(10“6) m4
= 74.8 MPa
7.50 k N • m (0.020 m)
12.99 k N ■m (-0.0890 m)
„4
= ------- _
20.53(10"°) m 4
= —90.4
+
13.92(10-b ) m 4
MPa
Resp.
Por comparación, el esfuerzo normal máximo es de compresión y ocu­
rre en el punto C.
Orientación del eje neutro. A l aplicar la ecuación 6-19 es importan­
te definir correctamente los ángulos a y 9. Como se indicó antes,y de­
be representar el eje para el momento de inercia principal m ín im o y z
debe representar el eje para el momento de inercia principal m á xim o .
Esos ejes están aquí apropiadamente posicionados ya que Iy < L. Usan­
do este arreglo, 9 y a se miden positivamente del eje + z hacia el eje
+ y. Por tanto, de la Figura 6-36a, 6 - + 6 0 °. Entonces,
tan a =
/ 20.53(10-6) m4 ,
------------ 7---- 7 tan 60°
V 13.92(10 ) m ,
a = 6 8 .6 °
Resp.
El eje neutro se muestra en la figura 6-36d. Como era de esperarse, se
encuentra entre el eje y y la línea de acción de M.
S ección 6.5
E J E M P L O
La sección Z mostrada en la figura 6-37« está sometida al momento
M = 20 kN •m. Usando los métodos del apéndice A (vea el ejemplo
A.4 o el A.5), los ejes principales y y z se orientan como se muestra, de
manera que ellos representan los ejes para los momentos de inercia
principales mínimo y máximo,Iy = 0.960(10“ 3) m4e Iz = 7.54(10-3) m4,
respectivamente. Determine el esfuerzo normal en el punto P y la orien­
tación del eje neutro.
Solución
Para usar la ecuación 6-19, es importante que el eje z sea el eje prin­
cipal para el momento de inercia máximo, que efectivamente lo es ya
que la mayor parte del área de la sección está más alejada de este eje que
del eje y.
Componentes del momento interno.
100 mm
De la figura 6-37a,
400 mm
My = 20 kN •m sen 57.1° = 16.79 kN •m
Mz = 20 kN •m eos 57.1° = 10.86 kN •m
Esfuerzo de flexión. Las coordenadas y y z del punto P deben deter­
minarse primero. Observe que las coordenadas y', z' de P son (-0.2 m,
0.35 m). Usando los triángulos sombreados en la construcción mostra­
da en la figura 6-37b, tenemos:
yP = -0.35 sen 32.9° - 0.2 eos 32.9° = -0.3580 m
0.200
z P = 0.35 eos 32.9° - 0.2 sen 32.9° = 0.1852 m
Aplicando la ecuación 6-17, tenemos:
MzyP
o-P = —
+
MyZp
(10.86 kN-m )(-0.3580m ) + (16.79 kN •m)(0.1852 m)
7.54(10"3) m
0.960(10-3) m'
= 3.76 MPa
Orientación del eje neutro.
E l ángulo 6 = 57.1° se muestra en la fi­
gura 6-37a. Así,
tan a -
7.54(10"'3) m
tan 57.1°
.0.960(10”3) m4 J
a = 85.3°
Resp.
E l eje neutro está localizado como se muestra en la figura 6-37b.
Flexión asimétrica
• 321
322
• CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS
El miembro tiene una sección transversal cuadra­
da y está sometido a un momento resultante M = 850 N • m
como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo de fle­
xión en cada esquina y esboce la distribución de esfuerzo
producida por M. Considere 0 = 45°.
6-102.
La viga T está som etida al m om ento M =
150 klb* pulg con el sentido mostrado. D eterm ine el es­
fuerzo máximo de flexión en la viga y la orientación del
eje neutro. Determ ine también la posición a del centroi­
de C.
6-105.
El miembro tiene una sección transversal cuadra­
da y está sometido a un momento resultante M = 850 N • m
como se muestra en la figura. Determine el esfuerzo de fle­
xión en cada esquina y esboce la distribución de esfuerzo
producida por M. Considere 0 = 30°.
6-103.
M = 850 N-m
Prob. 6-105
Si el momento interno que actúa sobre la sección
transversal del puntal tiene una m agnitud de M =
800 N • m con el sentido mostrado en la figura, determine
el esfuerzo de flexión en los puntos A y B. D eterm ine tam ­
bién la posición z del centroide C de la sección transver­
sal del puntal, así como la orientación del eje neutro.
6-106.
Probs. 6-102/103
La viga tiene una sección transversal rectangu­
lar. Si está sometida a un momento M = 3500 N • m con el
sentido mostrado, determ ine el esfuerzo de flexión máxi­
mo en la viga y la orientación del eje neutro.
*6-104.
El momento resultante que actúa sobre la sección
transversal del puntal de aluminio tiene una magnitud de
M = 800 N • m y el sentido mostrado en la figura. Determi­
ne el esfuerzo máximo de flexión en el puntal. Determine
también la posición y del centroide C de la sección trans­
versal del puntal, así como la orientación del eje neutro.
6-107.
= 3500 N-m
z
Prob. 6-104
M
Probs. 6-106/107
P r o b le m a s
*6-108. La viga de acero de patín ancho en voladizo está
sometida a la fuerza P concentrada en su extremo. D eter­
mine la magnitud máxima de esta fuerza tal que el esfuerzo
de flexión generado en A no exceda el valor crperm = 180
MPa.
6-109. La viga de acero de patín ancho en voladizo está
sometica a la fuerza concentrada P = 600 N en su extre­
mo. Determ ine el esfuerzo máximo de flexión generado
en la sección A de la viga.
•
323
Considere el caso general de una viga prismática
sometida a las componentes de momento M v y ¡VI, como se
muestra, cuando los ejes x, y, z pasan por el centroide de la
sección transversal. Si el material es elástico-lineal, el es­
fuerzo normal en la viga es una función lineal de la posi­
ción tal que cr = a + by + cz- Usando las condiciones de
equilibrio 0 = 1^ u d A , My = jA zo-dA , M , = jA - ycrdA,
determ ine las constantes a, b y c y dem uestre que el es­
fuerzo normal puede determ inarse con la ecuación cr =
[ - ( M zI y I M y l yz) y + ( A /y /; + M J „ ) z ] / ( / / , - l yz2). Los
m om entos y productos de inercia están definidos en el
apéndice A.
6-111.
Prob. 6-111
El tablón se usa como vigueta de piso simplemen­
te apoyada. Si se aplica un mom ento M = 800 Ib • pie a 3o
del eje z, determ ine el esfuerzo de flexión generado en el
tablón en la esquina A . Com pare este esfuerzo con el ge­
nerado por el mismo momento aplicado a lo largo del eje
Z (0 = 0o). ¿Q ué valor tiene el ángulo a para el eje neutro
cuando 0 = 3°? Comentario: normalmente, las duelas del
piso se clavan a la parte superior de las viguetas de modo
que 0 a* 0 o y los altos esfuerzos debidos a la falta de ali­
neamiento no se presentan.
6-110.
*6-112. La viga en voladizo tiene la sección transversal
Z mostrada. Bajo la acción de las dos cargas, determ ine el
esfuerzo máximo de flexión en el punto A de la viga. Use
el resultado del problem a 6 -111 .
La viga en voladizo tiene la sección transversal Z
mostrada. Bajo la acción de las dos cargas, determine el es­
fuerzo máximo de flexión en el punto B de la viga. Use el
resultado del problem a 6 - 111 .
6-113.
50 Ib
Probs. 6-112/113
324 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-114. De acuerdo con los procedimientos delineados en
el apéndice A, ejemplo A.5 o A . 6 , la sección Z tiene los
m om entos de inercia principales Iv = 0.060(10~3) m 4e Iz =
0.471 (10-3) m4, respecto a los ejes principales de inercia y
y z, respectivamente. Si la sección está sometida a un mo­
m ento M = 250 N • m dirigido horizontalm ente como se
muestra, determine el esfuerzo de flexión generado en el
punto A . Resuelva el problem a usando la ecuación 6-17.
Resuelva el problem a 6-114 usando la ecuación
desarrollada en el problem a 6 - 111 .
6-115.
Según los procedimientos delineados en el apén­
dice A, ejemplo A.5 o A . 6 , la sección Z tiene los momentos
principales de inercia I v = 0.060(10-3) m4e /, = 0.47(10-3)
m4, calculados respecto a los ejes principales de inercia y y
z, respectivamente. Si la sección está sometida a un momen­
to M = 250 N • m dirigido horizontalmente como se mues­
tra, determine el esfuerzo de flexión generado en el punto
B. Resuelva el problema usando la ecuación 6-17.
*6-116.
Para la sección m o stra d a,// = 31.7(10~6) m \ /.■ =
114(10~6) m4, Iy¿ = 15.1(10~6) m4. Según los procedimien­
tos delineados en el apéndice A, la sección transversal del
miembro tiene los momentos de inercia Iv = 29.0(10 6) m 4
e / , = 117(10-6) m4, calculados respecto a los ejes princi­
pales de inercia y y z, respectivamente. Si la sección está
som etida a un momento M - 2500 N • m con el sentido
mostrado, determine el esfuerzo de flexión generado en el
punto A usando la ecuación 6-17.
6-117.
6-118. Resuelva el problem a 6-117 usando la ecuación
desarrollada en el problem a 6 -111 .
Probs. 6-117/118
r6.6 Vigas compuestas
Las vigas compuestas de dos o más materiales se denominan vigas com­
puestas. Ejemplos incluyen aquellas hechas de madera con cubreplacas
de acero en sus partes superior e inferior, figura 6-38a, o más comúnmen­
te, vigas de concreto reforzadas con barras de acero, figura 6-38b. Los in­
Barras de acero
de refuerzo
(b)
Fig. 6-38
genieros diseñan intencionalmente de esta manera las vigas para desarro­
llar un medio más eficiente de tomar las cargas aplicadas. Por ejemplo, se
mostró en la sección 3.3 que el concreto es excelente para resistir esfuer­
zos de compresión pero que es muy pobre en su capacidad de resistir es­
fuerzos de tensión. Por esto, las barras de acero de refuerzo mostradas en
la figura 6-38/? se han colocado en la zona de tensión de la sección trans­
versal de la viga, de manera que dichas barras resistan los esfuerzos de
tensión que genera el momento M.
Como la fórmula de la flexión se desarrolló para vigas cuyo material es
homogéneo, esta fórmula no puede aplicarse directamente para deter­
minar el esfuerzo normal en una viga compuesta. Sin embargo, en esta
sección desarrollaremos un método para modificar o “transformar” la sec­
ción transversal de la viga en otra hecha de un solo material. Una vez
hecho esto, la fórmula de la flexión puede entonces usarse para el análi­
sis de los esfuerzos.
S ección 6.6
Para explicar cómo aplicar el método de la sección transformada, con­
sideremos ia viga compuesta hecha de dos materiales, 1 y 2 , que tienen las
secciones transversales mostradas en la figura 6-39a. Si se aplica un mo­
mento flexionante a esta viga, entonces, como en el caso de una viga ho­
mogénea, la sección transversal total permanecerá plana después de la fle­
xión y por consiguiente las deformaciones unitarias normales variarán
linealmente de cero en el eje neutro a un valor máximo en el material más
alejado de este eje, figura 6-396. Si el material tiene un comportamiento
elástico lineal, la ley de Hooke es aplicable y en cualquier punto el esfuer­
zo normal en el material 1 se determina con la relación a = E\e. Igual­
mente, para el material 2 , la distribución del esfuerzo se encuentra con la
relación a = E2e. Es claro que si el material 1 es más rígido que el mate­
rial 2 , por ejemplo, acero versus hule, la mayor parte de la carga será toma­
da por el material 1, ya que Ex > E2■Suponiendo que éste es el caso, la
distribución del esfuerzo será como la mostrada en la figura 6-39c o 6-39d.
En particular, note el salto en el esfuerzo que ocurre donde se unen los
dos materiales. Aquí, la deformación unitaria es la misma, pero como el
módulo de elasticidad o rigidez de los materiales cambia bruscamente,
igualmente lo hace el esfuerzo. La localización del eje neutro y la deter­
minación del esfuerzo máximo en la viga, usando esta distribución del
esfuerzo, puede basarse en un procedimiento de tanteos. Esto requiere sa­
tisfacer las condiciones de que la distribución del esfuerzo genera una
fuerza resultante nula sobre la sección transversal y que el momento de
la distribución del esfuerzo respecto al eje neutro sea igual a M.
Una manera más simple de satisfacer esas dos condiciones es transfor­
mar la viga en otra hecha de un solo material. Por ejemplo, si imaginamos
que la viga consiste enteramente del material 2 menos rígido, entonces la
sección transversal se verá como la mostrada en la figura 6-39e. Aquí,
la altura h de la viga permanece igual, ya que la distribución de la deforma­
ción unitaria mostrada en la figura 6-396 debe preservarse. Sin embargo,
la porción superior de la viga debe ser ampliada para que tome una carga
equivalente a la que soporta el material 1 más rígido, figura 6-39d. El an­
cho necesario puede determinarse considerando la fuerza d¥ que actúa
sobre un área dA = dz dy de la viga en la figura 6-39«. Se tiene, dF = a
dA = (E\e) dz dy. Por otra parte, si el ancho de un elemento correspon­
diente de altura dy en la figura 6-39e es n dz, entonces dF' = & dA' =
( E2 e) n dz dy. Igualando esas fuerzas, de modo que ellas produzcan el
mismo momento respecto al eje z, tenemos
o
Vigas compuestas
Material
menos
(a)
.v
Variación de la deformación
unitaria normal (vista lateral)
(b)
y
Variación del esfuerzo
de flexión (vista lateral)
(c)
£je d z dy = E2en dz dy
Ei
”
E2
(6-20)
Este número n sin dimensiones se llamafactor de transformación. Indi­
ca que la sección transversal con ancho 6 en la viga original, figura 6-39«,
debe incrementarse en ancho a b2 = nb en la región donde el material 1
va ser transformado en material 2, figura 6-39e. De manera similar, si el
material 2 menos rígido va a transformarse en el material 1 más rígido, la
sección transversal se verá como la mostrada en la figura 6-39/. Aquí, el
ancho del material 2 se ha cambiado a by — n'b, donde n' = E2¡EV Ad­
Variación del esfuerzo
de flexión
(d)
Fig. 6-39
326
.
CAPÍTULO 6
F lexión
vierta que en este caso el factor de transformación n' debe ser menor que
> E2■En otras palabras, necesitamos menos del material
más rígido para soportar un momento dado.
Una vez que la viga ha sido transformada en otra hecha con un solo ma­
terial, la distribución del esfuerzo normal sobre la sección transformada
será lineal como se muestra en la figura 6-39g o 6-39h. En consecuencia,
el centroide (eje neutro) y el momento de inercia de la sección transforma­
da pueden determinarse y aplicarse la fórmula de flexión de la manera
usual para determinar el esfuerzo en cada punto de la viga transformada.
Observe que el esfuerzo en la viga transformada es equivalente al esfuerzo
en el mismo material de la viga real. Sin embargo, para el material trans­
form ado, el esfuerzo encontrado en la sección transformada tiene que ser
multiplicado por el factor de transformación n (o n'), ya que el área del
material transformado, d A ' = n dz dy, es n veces el área del material real
dA = dz dy. Esto es:
uno ya que
Viga transformada al m a te ria l©
(e)
dF = <rdA = a ' d A '
a dz dy — a 'n dz dy
a = na'
b\ = n'b
Viga transformada al material (7)
( 6-21 )
Los ejemplos 6-21 y 6-22 ilustran numéricamente la aplicación del mé­
todo de la sección transformada.
(f)
Variación del esfuerzo
de flexión para la viga
transformada al material (2)
(g)
Variación del esfuerzo
de flexión para la viga
transformada al material ®
(h)
Fig. 6-39 (cont.)
PUNTOS IMPORTANTES
• Las vigas compuestas están hechas de materiales diferentes para
tomar eficientemente una carga. La aplicación de la fórmula de
la flexión requiere que el material sea homogéneo, por lo que la
sección transversal de la viga debe ser transformada en un solo
material si esta fórmula va a usarse para calcular el esfuerzo de
flexión.
• El factor de transformación es la razón de los módulos de los di­
ferentes materiales de que está hecha la viga. Usado como un
multiplicador, éste convierte las dimensiones de la sección trans­
versal de la viga compuesta en una viga hecha de un solo mate­
rial de modo que esta viga tenga la misma resistencia que la vi­
ga compuesta. Un material rígido será reemplazado por más del
material menos rígido y viceversa.
• Una vez que el esfuerzo en la sección transformada se ha deter­
minado, éste debe multiplicarse por el factor de transformación
para obtener el esfuerzo en la viga real.
S ección 6.6
E J E M P L O
Vigas compuestas • 327
6.21
Una viga compuesta está hecha de madera y está reforzada con una
cubreplaca de acero localizada en el fondo de la viga. Tiene la sección
transversal mostrada en la figura 6-40«. Si la viga está sometida al mo­
mento flexionante M —2 kN •m, determine el esfuerzo normal en los
puntos B y C. Considere £ mad = 12 GPa y Eac = 200 GPa.
2 kN-m
(b)
Fig. 6-40
S o lu c ió n
Aunque la selección es arbitraria, trans­
formaremos aquí la sección en una hecha enteramente de acero. Co­
mo el acero tiene una mayor rigidez que la madera (£'ac > £ mad)-el an­
cho de la madera debe reducirse a un ancho equivalente de acero. Por
tanto.« debe ser menor que 1. Para que esto sea el caso, n = Emítd/E ac,
por lo que:
Propiedades de la sección.
12 GPa
bac = «¿mad = 200 GPa
mm^ = 9 mm
La sección transformada se muestra en la figura 6-40£>.
La posición del centroide (eje neutro), calculada respecto a un eje
de referencia situado en el fo n d o de la sección es:
Z yA
[0.01 m](0.02 m)(0.150 m) + [0.095 m](0.009 m)(0.150 m)
v = ------ = ----------------------------------------------------------------------- -------- = 0.03638 m
2/1
0.02 m(0.150 m) + 0.009 m(0.150m)
7
El momento de inercia respecto al eje neutro es entonces:
A
1
+
^(0.150 m)(0.02m )3 + (0.150 m)(0.02 m)(0.03638 m - 0.01 m)
^ (0.009 m)(0.150m)3 + (0.009 m)(0.150 m)(0.095 m - 0.03638 m )2
112 '
= 9.358(10-6) m4
Continúa
328 • CAPÍTULO 6 Flexión
kN-m
kN-m
Esfuerzo normal.
mal en B' y C es:
Aplicando la fórmula de la flexión, el esfuerzo nor­
2 kN •m(0.170 m - 0.03638 m)
9.358(10~6) m4
2 kN •m(0.03638 m)
_6 _ 4— = 7.78 MPa
9.358(l0~6) m4
<Jc — —
Resp.
La distribución del esfuerzo normal sobre la sección transformada (to­
da de acero) se muestra en la figura 6-40c.
El esfuerzo normal en la madera en B, figura 6-40a, se determina con
la ecuación 6 -21 ; así,
vB
=
n * B.
= 200GPa(28-56 MPa) = L?l MPa
R eSp ‘
Usando estos conceptos, demuestre que el esfuerzo normal en el
acero y en la madera en el punto en que están en contacto es <rac =
3.50 MPa y crmad = 0.210 MPa, respectivamente. La distribución del
esfuerzo normal en la viga real se muestra en la figura 6-40el.
S ección 6.6
E J E M P L O
Vigas compuestas • 329
-----------------------------------------------------------------------------------------
Para reforzar la viga de acero, se coloca un tablón de roble entre sus
patines como se muestra en la figura 6-41a. Si el esfuerzo normal per­
misible para el acero es (a -perm )ac = 24 klb/pulg2 y para la madera es
(operijmad = 3 klb/pulg2, determine el momento flexionante máximo
que la viga puede soportar con y sin el refuerzo de madera. Eac =
29(103) klb/pulg2, £ raad = 1.60(103) klb/pulg2. El momento de inercia
de la viga de acero es Iz = 20.3 pulg4, y el área de su sección transver­
sal es A = 8.79 pulg2.
0.6623 pulg
H IN
c
z
0.200 pulg
(b)
(a)
Fig. 6-41
S o lu c ió n
Aquí el eje neutro coincide con el eje z. La aplicación
directa de la fórmula de la flexión a la viga de acero nos da:
Sin madera.
Me
" h
24 klb/pulg2 =
M (4.200 pulg)
20.3 pulg 4
M = 116 klb-pulg
Resp.
Como ahora tenemos una viga compuesta, debemos
transformar la sección a un solo material. Será más fácil transformar
la madera a una cantidad equivalente de acero. Para hacer esto, n =
Emad/E ac. ¿Por qué? Así, el ancho de una cantidad equivalente de ace­
ro es:
Con madera.
^ac
^mad
1.60(103) klb/pulg2
(12 pulg) = 0.662 pulg
29(103) klb/pulg2
Continúa
330
• CAPÍTULO 6 Flexión
La sección transformada se muestra en la figura 6-416. E l eje neutro
está en:
T y A _ [0](8.79 pulg2) + [2.20 pulg](4 pulg)(0.662 pulg)
2A
= 0.5093 pulg
8.79 pulg2 + 4(0.662 pulg2)
E l momento de inercia respecto al eje neutro es:
/ = [20.3 pulg4 + (8.79 pulg2)(0.5093 pulg)2] +
~ (0.662 pulg)(4 pulg)3 + (0.662 pulg)(4 pulg)(2.200 pulg - 0.5093 pulg)2
= 33.68 pulg'.4
El esfuerzo normal máximo en el acero ocurrirá en el fondo de la vi­
ga, figura 6-416. Aquí, c — 4.200 pulg + 0.5093 pulg = 4.7093 pulg. El
momento máximo con base en el esfuerzo permisible del acero es por
tanto:
Me
( f r perm )ac
r
I
_ i t; f , A/(4.7093 pulg)
24 klb/pulg- =
— r ~4
33.68 pulg
M = 172 klb ■pulg
El esfuerzo normal máximo en la madera se presenta en la parte su­
perior de la viga, figura 6-416. Aquí, c' = 4.20 pulg - 0.5093 pulg =
3.6907 pulg. Como <rmad = na.dC, el momento máximo con base en el es­
fuerzo permisible de la madera es:
<
\ ad
(.^perm
/m
= ^1 M .'c '
3 klb/pulg2 =
1.60(103) klb/pulg2' M '(3.6907 pulg)
29(103) klb/pulg2 . 33.68 pulg4
M' = 496 klb-pulg
Por comparación, el momento máximo está regido por el esfuerzo
permisible en el acero. Así,
M = 172 klb •pulg
Resp.
Advierta también que al usar la madera como refuerzo, se proporcio­
na una capacidad adicional de 48% de momento para la viga.
S ección 6.7
Vigas de concreto reforzado
*6.7 Vigas de concreto reforzado
Todas las vigas sometidas a flexión pura deben resistir tanto esfuerzos de
tensión como de compresión. Sin embargo, el concreto es muy suscepti­
ble al agrietamiento cuando está tensionado, por lo que por sí mismo no
es apropiado para resistir un momento de flexión.* Para superar esta des­
ventaja, los ingenieros colocan barras de refuerzo de acero dentro de una
viga de concreto en lugares en que el concreto está a tensión, figura 6-42a.
Para que sean lo más efectiva posibles, esas barras se sitúan lo más lejos
posible del eje neutro de la viga, de manera que el momento generado
por las fuerzas desarrolladas en las barras sea máximo respecto al eje neu­
tro. Por otra parte, la barras deben tener un recubrimiento de concreto
que las proteja de la corrosión o de la pérdida de resistencia en caso de
un incendio. En el diseño de concreto reforzado, la capacidad del concre­
to para soportar cargas de tensión se desprecia ya que un posible agrieta­
miento del concreto es impredecible. En consecuencia, la distribución del
esfuerzo normal que actúa sobre la sección transversal de una viga de con­
creto reforzado se supone igual a la mostrada en la figura 6-42b.
E l análisis de esfuerzos requiere localizar el eje neutro y determinar el
esfuerzo máximo en el acero y en el concreto. Para hacer esto, el área de
acero A.áCse transforma primero en un área equivalente de concreto usan­
do el factor de transformación n = Eac/E conc. Esta relación, que da n > 1,
se escoge ya que una cantidad “mayor” de concreto es necesaria para
reemplazar al acero. El área transformada es nA.iC y la sección transfor­
mada se ve como la mostrada en la figura 6-42c. Aquí, d representa la dis­
tancia de la parte superior de la viga al acero (transformado), b el ancho
de la viga y h' la distancia aún no conocida de la parte superior de la vi­
ga al eje neutro. Podemos obtener h' usando el hecho de que el centroi­
de C de la sección transversal de la sección transformada se encuentra so­
bre el eje neutro, figura 6-42c. Por tanto, con referencia al eje neutro, el
momento de las dos áreas, XyA, debe ser cero, puesto que y = 1yA /1A =
0. Así,
Se supone que
el concreto está agrietado
en esta región
b h ' ( j ) - n A ac(d - h ' ) = 0
b ,
- h + n A ach ' — n A acd = 0
Una vez obtenida h' de esta ecuación cuadrática, la solución procede de
manera usual para la obtención del esfuerzo en la viga.
(c)
Fig. 6-42
*La inspección de su d iagram a particu lar de esfuerzo-deform ación u n itaria en la figura
3-11 revela q u e este co n creto es 12.5 veces m ás resisten te en com presión q u e en tensión.
• 331
332 • CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
La viga de concreto reforzado tiene la sección transversal mostrada
en la figura 6-43a. Si está sometida a un momento flexionante M =
60 klb •pie, determine el esfuerzo normal en cada una de las barras de
acero de refuerzo y el esfuerzo normal máximo en el concreto. Consi­
dere £ ac = 29(103) klb/pulg2 y E conc = 3.6(103) klb/ pulg2.
S o lu c ió n
Como la viga está hecha de concreto, en el siguiente análisis desprecia­
remos su resistencia para soportar esfuerzos de tensión.
60
Propiedades de la sección. El área total de acero, A.dC = 2[tt(0.5
pulg)2] = 1.571 pulg2 será transformada en un área equivalente de con­
creto, figura 6-43b. Aquí,
2 pulg
Barras de 1 pulg de diámetro
(a)
A ' = nA„c =
|-12 pulg—
i
h6
Ai-
Requerimos que el centroide se encuentre sobre el eje neutro. Enton­
ces, 2yA = 0 , o
16 pulg
-i------ A
29(103) klb/pulg2
(1.571 pulg ) = 12.65 pulg2
3.6(103) klb/pulg2
12 p u l g ( Z i ' ) _ 12.65 pulg2(16 pulg -/»') = 0
!
h'2 + 2.11h ' - 33.7 = 0
La raíz positiva es:
A = 12.65 pulg-
(b)
h' —4.85 pulg
Usando este valor de h ', el momento de inercia de la sección transfor­
mada respecto al eje neutro, es:
1 =
~r(12 pulg)(4.85 pulg)3 + 12 pulg(4.85 pul g)f 4’8
12
5
^ + 12.65 pulg2(16 pulg-4.85 pulg)2
= 2029 pulg4
Esfuerzo normal. Aplicando la fórmula de la flexión a la sección trans­
formada, el esfuerzo normal máximo en el concreto es:
( ° ’conc)máx
[60 klb •pie (12 pulg/pie)](4.85 pulg)
= 1.72 klb/pulg2
2029 pulg
Resp.
E l esfuerzo normal resistido por la franja de “concreto”, que reempla­
zó al acero, es:
o-,
31.9 klb/pulg'
Fig. 6-43
[60 klb •pie (12 pulg/pie)](16 pulg - 4.85 pulg)
= 3.96 klb/pulg2
2029 pulg¿
E l esfuerzo normal en cada una de las dos barras de refuerzo es por
tanto:
29(103) klb/pulg2
3.96 klb/pulg2 = 31.9 klb/pulg2 Resp.
3.6(103) klb/pulg:
La distribución del esfuerzo normal se muestra gráficamente en la figu­
ra 6-43c.
S ección 6.8
Vigas curvas • 333
*6.8 Vigas curvas
La fórmula de la flexión es aplicable a miembros prismáticos rectos, ya
que, como se mostró antes, para miembros rectos la deformación unitaria
normal varía linealmente desde el eje neutro. Sin embargo, si el miembro
es cu rvo esta hipótesis no es correcta, por lo que debemos desarrollar otra
ecuación que describa la distribución del esfuerzo. En esta sección consi­
deraremos el análisis de una viga curva, es decir, de un miembro con eje
curvo y sometido a flexión. Ejemplos típicos incluyen ganchos y eslabo­
nes de cadenas. En todos los casos, los miembros no son delgados pero
tienen una curva aguda y las dimensiones de sus secciones transversales
son grandes comparadas con sus radios de curvatura.
En el análisis se supone que la sección transversal es constante y tiene
un eje de simetría perpendicular a la dirección del momento aplicado M,
figura 6-44a. Se supone además que el material es homogéneo e isoirópico y que se comporta de manera elastoplástica cuando se aplica la carga.
Como en el caso de una viga recta, supondremos para una viga curva que
las seccio nes transversales del miembro p erm a n e ce n p la n a s después de
aplicado el momento. Además, cualquier distorsión de la sección trans­
versal dentro de su propio plano será despreciada.
Para efectuar el análisis, tres radios, medidos desde el centro de curva­
tura O' del miembro, se identifican en la figura 6-44a, y son: r, que define
la posición conocida del centroide de la sección transversal; R. que define la
posición aún no determinada del eje neutro, y r, que localiza un p u n to arbi­
trario o elemento de área d A sobre la sección transversal. Note que el eje
neutro se encuentra dentro de la sección transversal, ya que el momento
M genera compresión en las fibras superiores de la viga y tensión en sus
fibras inferiores, y por definición, el eje neutro es una línea de esfuerzo y
deformación unitaria nulos.
El esfuerzo de flexión en este gancho de
grúa puede ser estimado usando la fórmula
de la viga curva.
Centroide
-N-
JL
,
\dA
Fig. 6-44
Si aislamos un segmento diferencial de la viga, figura 6-44b, el esfuerzo
tiende a deformar el material en forma tal que cada sección transversal
girará un ángulo 5 0/2. La deformación unitaria € en la franja arbitraria de
material localizada en r estará ahora determinada. Esta franja tiene una
longitud original r dO, figura 6-44/?. Sin embargo, debido a las rotaciones
86/2, el cambio total en la longitud de la franja es 86(R — r). En conse­
cuencia,
6 6 (R - r)
e
r d6
Si definimos k = 8 8 /d 0, que es constante para cualquier elemento par­
ticular, tendremos:
A diferencia del caso de vigas rectas, podemos ver que aquí la deforma­
ción unitaria normal no es una función lineal de r sino que varía en fo r ­
ma hiperbólica. Esto ocurre aun cuando la sección transversal de la viga
permanece plana después de la deformación. Como el momento ocasio­
na que el material se comporte elásticamente, la ley de Hooke es aplica­
ble, por lo que el esfuerzo en función de la posición está dado por:
(6-22)
Esta variación es también hiperbólica y, como ya ha sido establecida, po­
demos determinar la posición del eje neutro y relacionar la distribución
del esfuerzo con el momento interno resultante M .
S ección 6.8
Para obtener la posición R del eje neutro, requerimos que la fuerza in­
terna resultante causada por la distribución del esfuerzo que actúa sobre
la sección transversal sea igual a cero, es decir,
a dA = 0
Fr = 2F r:
M ------ Ek\
}d A = 0
Como Ek y R son constantes, tenemos:
Despejando R , obtenemos:
JD
A
' dA
(6-23)
i
Aquí,
R = posición del eje neutro, medido desde el centro de curvatura O' del
miembro
A = área de la sección transversal del miembro
r = posición arbitraria del elemento de área dA sobre la sección trans­
versal, medida desde el centro de curvatura O' del miembro.
La integral en la ecuación 6-23 puede ser evaluada para varias geometrías
de sección transversales. Los resultados para algunas secciones comunes
se dan en la tabla 6 -2 .
TABLA
6 -:2
F o rm a
■
r
Á re a
í / f
b(r-> -r.)
r2
b In -=
r¡
1------r2------\
h - " >
T ~¡
ÏL 3 1
T
2b
-U S
ne2
ab
2 n ^ r - J T 2- c 2 j
Vigas curvas • 335
Para relacionar la distribución del esfuerzo con el momento flexionante resultante, requerimos que el momento interno resultante sea igual al
momento de la distribución del esfuerzo calculado respecto al eje neutro.
De la figura 6-44«, el esfuerzo <r, que actúa sobre el elemento de área dA
y que está localizado a una distancia y del eje neutro, genera una fuerza
dF = a d A sobre el elemento y un momento respecto al eje neutro dM =
y(crdA). Este momento es positivo, ya que por la regla de la mano dere­
cha está dirigido en la misma dirección que M. Para la sección transver­
sal entera, requerimos M = \ycrd A .
Como y = R - r, y a está definida por la ecuación 6-22, tenemos:
M =
{R - r ) E k ( ^ - j- ^ J dA
Desarrollando y tomando en cuenta que Ek y R son constantes, obte­
nemos:
\
f dA
í
R2 ------- 2R dA +
A r
'a
r
A
r dA
\
'
La primera integral es equivalente a A / R d e acuerdo con la ecuación 6-23,
y la segunda integral es simplemente el área A de la sección transversal.
Como la localización del centroide se determina con r = ¡ r d A/ A, la ter­
cera integral puede reemplazarse por JA. Así, podemos escribir:
M = EkA(jr - R)
Despejando Ek en la ecuación 6-22, sustituyendo tal valor en la ecuación
anterior y despejando cr, tenemos:
M {R - r)
cr =
A r(r - R)
(6-24)
Aquí,
cr = esfuerzo normal en el miembro
M = momento interno, determinado con el método de las secciones y las
A =
R =
r=
r=
ecuaciones de equilibrio y calculado respecto al eje neutro de la sec­
ción transversal. Este momento es positivo si tiende a incrementar
el radio de curvatura del miembro, esto es, si tiende a enderezar el
miembro
área de la sección transversal del miembro
distancia medida desde el centro de curvatura al eje neutro, deter­
minada con la ecuación 6-23
distancia medida desde el centro de curvatura al centroide de la sec­
ción transversal
distancia medida desde el centro de curvatura al punto en que va a
determinarse el esfuerzo u
S ección 6.8
Vigas curvas • 337
De la figura 6-44a, y = R — r o r = R - y. También, la distancia e =
es constante y normalmente pequeña. Si sustituimos esos resulta­
dos en la ecuación 6-24, podemos también escribir:
r —R
(6-25)
Estas dos últimas ecuaciones representan dos formas de la llamada
fó r m u la de la viga cu rva , que como la fórmula de la flexión puede usarse
para determinar la distribución del esfuerzo normal pero en un miembro
curvo. Esta distribución es, como se dijo antes, hiperbólica; un ejemplo se
muestra en las figuras 6-44c y 6-44d. Como el esfuerzo actúa en la direc­
ción de la circunferencia de la viga, se le llama a veces esfuerzo circunfe­
rencial. Sin embargo, debe ser claro que debido a la curvatura de la viga,
el esfuerzo circunferencial genera una correspondiente componente de
esfuerzo radial , así llamada ya que esta componente actúa en la dirección
radial. Para mostrar cómo se genera, consideremos el diagrama de cuer­
po libre mostrado en la figura 6-44e, que es un segmento de la parte su­
perior del elemento diferencial en la figura 6-446. Aquí, el esfuerzo radial
a r es necesario ya que genera la fuerza d F n que se requiere para equili­
brar las componentes de las fuerzas circunferenciales d F . que actúan a lo
largo de la línea O 'B .
En ocasiones, los esfuerzos radiales en miembros curvos pueden ser muy
importantes, especialmente si el miembro está construido a base de placas
delgadas y tiene, por ejemplo, la forma de una sección I. En este caso, el es­
fuerzo radial puede resultar tan grande como el esfuerzo circunferencial, por
lo que el miembro debe diseñarse para resistir ambos esfuerzos. Sin embar­
go, en la mayoría de los casos esos esfuerzos pueden despreciarse, sobre todo
si la sección transversal del miembro es una sección sólida. Aquí la fórmula
de la viga curva da resultados que concuerdan muy bien con los determi­
nados por medio de ensayos o por análisis basados en la teoría de la elas­
ticidad.
La fórmula de la viga curva suele usarse cuando la curvatura del miem­
bro es muy pronunciada, como en el caso de ganchos o anillos. Sin embar­
go, si el radio de curvatura es mayor que cinco veces el peralte del miem­
bro, la fó rm u la de la fle x ió n puede normalmente usarse para determinar
el esfuerzo. Específicamente, para secciones rectangulares en las que es­
ta razón es igual a 5, el esfuerzo normal máximo, determinado con la
fórmula de la flexión será aproximadamente 7% m e n o r que su valor de­
terminado con la fórmula de la viga curva. Este error se reduce más aun
cuando la razón radio de curvatura a peralte es mayor de 5.*
*Vea, p o r ejem plo. B oresi. A.P., y otros, A d va n ced M echanics o f M aterials. 3a. ed.. pág. 333.
1978. Jo h n Wiley & Sons. N ueva York.
Variación del esfuerzo
de flexión (visca lateral)
(c)
(d)
Fig. 6-44 (cont.)
PUNTOS IMPORTANTES
• La fórmula de la viga curva debe usarse para determinar el es­
fuerzo circunferencial en una viga cuando el radio de curvatura
es menor que cinco veces el peralte de la viga.
• Debido a la curvatura de la viga, la deformación unitaria normal
en la viga no varía linealmente con el peralte como en el caso de
una viga recta. En consecuencia, el eje neutro no pasa por el cen­
troide de la sección transversal.
• La componente de esfuerzo radial causada por flexión puede ge­
neralmente ser despreciada, especialmente si la sección transver­
sal es una sección sólida y no está hecha de placas delgadas.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Para aplicar la fórmula de la viga curva se sugiere usar el siguiente
procedimiento.
Propiedades de la sección.
• Determine el área A de la sección transversal y la localización del
centroide, r, medido desde el centro de curvatura.
• Calcule la localización del eje neutro, R, usando la ecuación 6-23
o la tabla 6-2. Si el área de la sección transversal consiste en n
partes “compuestas”, calcule I d A / r para cada parte. Entonces, de
la ecuación 6-23, para toda la sección, R = XA/2(j d A /r ) . En to­
dos los casos. R < r.
Esfuerzo normal.
• El esfuerzo normal localizado en un punto r desde el centro de
curvatura se determina con la ecuación 6-24. Si la distancia y al
punto se mide desde el eje neutro, entonces calcule e = r - R y
use la ecuación 6-25.
• Como r — R da generalmente un n ú m ero m u y p e q u e ñ o , es me­
jor calcular r y R con suficiente exactitud para que la resta dé un
número e con por lo menos tres cifras significativas.
• Si el esfuerzo es positivo, será de tensión; si es negativo, será de
compresión.
• La distribución del esfuerzo sobre toda la sección transversal pue­
de ser graficada, o un elemento de volumen del material puede
ser aislado y usado para representar el esfuerzo que actúa en el
punto de la sección transversal donde ha sido calculado.
S ección 6.8
Vigas curvas • 339
Una barra de acero con sección transversal rectangular tiene forma de
arco circular como se muestra en la figura 6-45a. Si el esfuerzo normal
permisible es crperm = 20 klb/pulg2, determine el momento flexionante máximo M que puede aplicarse a la barra. ¿Qué valor tendría este
momento si la barra fuese recta?
d r =?=
Fig. 6-45
S o lu c ió n
Momento interno. Como M tiende a incrementar el radio de curva­
tura de la barra, es positivo.
La posición del eje neutro se determina
usando la ecuación 6-23. De la figura 6-45a, tenemos:
Propiedades de la sección.
dA
r
A
f Upul8 (2 pulg) dr
- = (2 pulg) ln r
i
r
J9 pulg
11 pulg
= 0.40134 pulg
9 pulg
Este mismo resultado puede obtenerse directamente en la tabla 6-2.
Así,
A
(2 pulg)(2 pulg)
---- T--- = 9.9666 pulg
R = ~~r—TT = —
c dA
0.40134 pulg
Continúa
340 • CAPÍTULO 6 Flexión
Debe notarse que en todos los cálculos anteriores, R debe determinar­
se con varias cifras significativas para garantizar que (7 - R) sea exac­
ta por lo menos con tres cifras significativas.
No se sabe si el esfuerzo normal alcanza su máximo en la parte su­
perior o en la parte inferior de la barra, por lo que debemos calcular el
momento M en cada caso por separado. Como el esfuerzo normal en
la parte superior de la barra es de compresión, a = - 2 0 klb/pulg2,
M (R - r0)
cr =
Ara(r - R)
2 _________ M(9.9666 pulg —1.1 pulg)
-2 0 klb/pulg2 =
(2 pulg)(2 pulg)(11 pulg)(10 pulg - 9.9666 pulg)
M = 28.5 klb •pulg
Igualmente, en el fondo de la barra el esfuerzo normal es de tensión,
por lo que cr = +20 klb/pulg2. Por tanto,
cr =
2
20 klb/pulg2 =
M (R - r¡)
Ar¡(r — R)
M(9.9666 pulg - 9 pulg)
(2 pulg)(2 pulg)(9 pulg)(10 pulg - 9.9666 pulg)
M = 24.9 klb •pulg
17.5 k-ih/puig2
20 klb/pulg2
Resp.
Por comparación, el momento máximo que puede aplicarse es
24.9 klb •pulg y el esfuerzo normal máximo ocurre en el fondo de la
barra. E l esfuerzo de compresión en la parte superior de la barra es entonces:
a =
24.9 klb •pulg (9.9666 pulg - 11 pulg)
(2 pulg)(2 pulg)(ll pulg)(10 pulg -9.9666 pulg)
= -17.5 klb/pulg2
La distribución del esfuerzo se muestra en la figura 6-456.
Si la barra fuese recta, entonces
Me
a ~
I
M( 1 pulg)
20 klb/pulg2 = -r
12(2 pulg) (2 pulg)M = 26.7 klb •pulg
Resp.
Esto representa un error de aproximadamente 7% respecto al valor
más exacto determinado antes.
S ección 6.8
E J E M P L O
Vigas curvas • 341
6.25
La barra curva tiene la sección transversal mostrada en la figura 6-46«.
Si está sometida a momentos flexionantes de 4 kN •m, determine el es­
fuerzo normal máximo desarrollado en la barra.
200 mm r
50 mm
vU
1
50 mm
30 mm
(a)
Fig. 6-46
S o lu c ió n
Momento interno. Cada sección de la barra está sometida al mismo
momento interno resultante de 4 kN •m. Como este momento tiende
a disminuir el radio de curvatura de la barra, es negativo. Así, M =
—4 kN •m.
Consideraremos aquí que la sección trans­
versal consta de un rectángulo y de un triángulo. El área lutal de la sec­
ción transversal es:
Propiedades de la sección.
Si4 = (0.05 m)2 + |(0.05 m)(0.03 m) = 3.250(10-3) nr
La localización del centroide se determina con referencia al centro de
curvatura, punto O',figura 6-46«.
17A
'' ~ ~ 1 A
[0.225 m](0.05 m)(0.05 m) + [0.260 m]*(0.050 m)(0.030 m)
3.250(10“3) m2
= 0.23308 m
Continúa
342 • CAPÍTULO 6 Flexión
Podemos calcular ÍA dA ¡r para cada parte usando la tabla 6-2. Para el
rectángulo,
/, 0250 m\
= 0.05 m ln
V 0 200 m /
í dA
—
J, r
— ) = 0.011157 m
Para el triángulo,
m\
nn_
í dA
dA = (0.05 m)(0.280 m) / In 0.280
, _ —— — 0.05 m = 0.0028867 m
L r
(0.280 m - 0.250 m) V 0.250 m
La posición del eje neutro se determina entonces de acuerdo con:
7. A
3.250(10-3) m2
R ~ ~ T — - 0.011157 m + 0.0028867 „ ” ° 2 3 U 2 "'
S dA/ r
M
Observe que R < r como era de esperarse. Además, los cálculos se efec­
tuaron con suficiente exactitud, por lo que (r — R) = 0.23308 m 023142 m = 0.00166 m es ahora exacto con tres cifras significativas.
Esfuerzo normal. E l esfuerzo normal máximo se presenta en A o en
B. Aplicando la fórmula de la viga curva para calcular el esfuerzo nor­
mal en B, r¡¡ = 0.200 m, tenemos:
a8 =
M (R - rB) _
( - 4 kN ■m)(0.23142 m - 0.200 m)
ArB{r - R ) ~ 3.2500(10“3) m2(0.200 m)(0.00166 m)
= -116 MPa
En el punto A ,r A = 0.280 m y el esfuerzo normal es:
~ rA)
ArA(r - R)
( - 4 kN •m)(0.23142 m - 0.280 m)
3.2500(10“3) m2(0.280 m) (0.00166 m)
= 129 MPa
A
(b)
129 MPa
Resp.
Por comparación, el esfuerzo normal máximo se presenta en A. Una
representación bidimensional de la distribución del esfuerzo se mues­
tra en la figura 6-466.
S ección 6.9
6.9
Concentraciones de esfuerzos
La fórmula de la flexión, ormáx = Mc/I, puede usarse para determinar
la distribución del esfuerzo en regiones de un miembro en que el área de la
sección transversal es constante o es ligeramente ahusada. Si la sección
transversal cambia abruptamente, las distribuciones del esfuerzo normal
y de la deformación unitaria en la sección se vuelven no lineales y pueden
obtenerse sólo por medio de experimentos o, en algunos casos, por medio
de un análisis matemático usando la teoría de la elasticidad. Disconti­
nuidades comunes incluyen miembros con muescas en sus superficies, fi­
gura 6-47«, agujeros para el paso de sujetadores o de otros objetos, figu­
ra 6-47b, o cambios abruptos en las dimensiones externas de la sección
transversal del miembro, figura 6-47c. El esfuerzo normal máximo en ca­
da una de esas discontinuidades ocurre en la sección tomada a través del
área mínima de la sección transversal.
Para el diseño, es generalmente importante conocer el esfuerzo normal
máximo desarrollado en esas secciones, no la distribución real del esfuer­
zo mismo. Como en los casos anteriores de barras cargadas axialmente y
de flechas cargadas a torsión, podemos obtener el esfuerzo normal máxi­
mo debido a flexión usando un factor K de concentración de esfuerzos.
Por ejemplo, en la figura 6-48 se dan valores de K para una barra plana
que tiene un cambio en su sección transversal usando filetes. Para usar es­
ta gráfica, encuentre simplemente las razones geométricas w/ h y r/h y lue­
go encuentre el correspondiente valor de K para una geometría par-
Concentraciones de esfuerzos
• 343
344 • CAPÍTULO 6 Flexión
M
ticular. Una vez obtenido K. el esfuerzo de flexión máximo se determina
usando
Me
Fig. 6-49
Concentraciones de esfuerzos causados
por flexión se presentan en las esquinas agu­
das de este dintel de ventana y son respon­
sables de las grietas en las esquinas.
(6-26)
Aquí, la fórmula de la flexión se aplica al área más pequeña de la sección
transversal, ya que crmÁXocurre en la base del filete, figura 6-49. De la mis­
ma manera, la figura 6-50 puede usarse si la discontinuidad consiste en ra­
nuras o muescas circulares.
Como en el caso de carga axial y torsión, la concentración de esfuerzos
por flexión debe siempre considerarse al diseñar miembros hechos de ma­
teriales frágiles o que estén sometidos a fatiga o carga cíclica. Debe ser
claro que los factores de concentración de esfuerzos son aplicables sólo
cuando el material está sometido a un comportamiento elástico. Si el mo­
mento aplicado genera fluencia del material, como es el caso en los ma­
teriales dúctiles, el esfuerzo se redistribuye en todo el miembro y el es­
fuerzo máximo que resulta es inferior al determinado usando factores de
concentración de esfuerzos. Este fenómeno se analizará con mayor am­
plitud en la siguiente sección.
PUNTOS IMPORTANTES
• Las concentraciones de esfuerzo en miembros sometidos a flexión
ocurren en puntos de cambio de sección transversal, como en
ranuras y agujeros, porque aquí el esfuerzo y la deformación uni­
taria se vuelven no lineales. Entre más severo es el cambio, mayor
es la concentración del esfuerzo.
• Para el diseño o el análisis, no es necesario conocer la distribu­
ción exacta de los esfuerzos alrededor del cambio de la sección
transversal puesto que el esfuerzo normal máximo ocurre en el
área transversal más pequeña. Es posible obtener este esfuerzo
usando un factor K de concentración de esfuerzos, que ha sido
determinado experimentalmente y es sólo función de la geome­
tría del miembro.
• En general, la concentración de esfuerzos en un material dúctil
sometido a un momento estático no tiene que ser considerado en
el diseño; sin embargo, si el material es frágil, o está sometido a
cargas de fatiga, esas concentraciones de esfuerzo se vuelven im­
portantes.
S ección 6.9
E J E M P L O
Concentraciones de esfuerzos • 345
6.26
La transición en el área de la sección transversal de la barra de acero
se logra por medio de filetes como se muestra en la figura 6-5 la. Si la
barra está sometida a un momento flexionante de 5 kN •m. determine
el esfuerzo normal máximo desarrollado en el acero. El esfuerzo de
fluencia es ay = 500 MPa.
5 kN-m
5 kN-ra
$><
\
r = 16 mm
N.
5 kN m
20 mm
Fig. 6-51
S o lu c ió n
E l momento genera el máximo esfuerzo en la barra en la base del file­
te, donde el área de la sección transversal es mínima. El factor de con­
centración de esfuerzo puede determinarse usando la figura 6-48. De
la geometría de la barra, tenemos r = 16 mm. Ir = 80 mm, w = 120 mm.
Entonces,
r _ 16 mm _
h
80 mm
’
w _ 120 mm _ ^ ^
h
80 mm
Esos valores dan K = 1.45.
Aplicando la ecuación 6-26, tenemos
Me
(Tmáx
I
(5 kN •m)(0.04 m)
' ^ [¿(0.020 m)(0.08 m)
= 340 MPa
Este resultado indica que el acero permanece elástico ya que el esfuer­
zo tiene un valor inferior al de fluencia (500 MPa).
Sin embargo, por el principio de Saint-Venant, sección 4.1, esos es­
fuerzos localizados se suavizan y se vuelven lineales a una distancia
(aproximadamente) de 80 mm o más a la derecha de la transición. En
este caso, la fórmula de la flexión da crm&x = 234 MPa. figura 6-51c.Note
también que un filete de mayor radio reducirá considerablemente la
<rmáx, ya que al crecer r en la figura 6-48, K disminuye.
234 MPa
5 kN m
346
• CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS
La viga com puesta está hecha de acero (A) uni­
do a bronce (B) y tiene la sección transversal mostrada.
D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en el bronce y
en el acero cuando está som etida a un m om ento M =
6.5 kN • m. ¿Cuál es el esfuerzo en cada material en el lugar
en que están unidos entre sí? £ hr = 100 GPa y £ ac ~ 200 GPa.
6-119.
La viga compuesta está hecha de acero (/l) uni­
do a bronce (fí) y tiene la sección transversal mostrada. Si
el esfuerzo permisible a flexión para el acero es (crpcrm)a(; =
180 MPa y para el bronce es (o-pcrm)br = 60 MPa. determ i­
ne el momento máximo M que puede aplicarse a la viga.
£ br = 100 G Pa y £ ac = 200 GPa.
*6-120.
La viga “sándwich” se usa como puntal en un acua­
plano. Consiste en placas de aluminio situadas en las par­
tes superior e inferior de la viga y en un núcleo de resina
plástica. D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en el
aluminio y en el plástico cuando la viga está sometida a un
momento M = 6 Ib • pulg. £ al = 10 ( 10 3) klb/pulg 2 y £ pl =
2 ( 10 3) klb/pulg2.
6-122.
50 mm
La canal de acero se usa para reforzar la viga de
madera. D eterm ine el esfuerzo máximo de flexión en el
acero y en la madera si la viga está sometida a un momen­
to M = 850 Ib • pie. £ ac = 29(103) k lb /pulg2, £ mad =
1600 klb/pulg2.
6-123.
A/= 6.5 kN-m
175 mm
P ro b s. 6-119/120
Una viga de madera está reforzada con placas de
acero en sus partes superior e inferior como se muestra en
la figura. Determine el esfuerzo máximo de flexión gene­
rado en la madera y en el acero si la viga está sometida a
un momento flexionante M = 5 kN • m. Esboce la distri­
bución del esfuerzo que actúa sobre la sección transversal.
Considere £ mad = 11 GPa, £ ac = 200 GPa.
6-121.
0.5 pulg
15 pulg\
Ai = 850 lb pie
0.5 pulg:
Prob. 6-123
0.5 pulg
El miembro tiene un núcleo de bronce adherido
a un recubrim iento de acero. Si se aplica un m omento con­
centrado de 8 kN • m en su extremo, determ ine el esfuerzo
de flexión máximo en el miembro. £ br = 100 G Pa y £ ac =
200 GPa.
*6-124.
8 kN-m
20 mm,-L
_
_
100 mm t
20 mm
™
20 mm
Prob. 6-124
100 mm
20 mm
P r o b le m a s
• 347
6-125. La viga está hecha con tres tipos de plásticos con
sus módulos de elasticidad indicados en la figura. D eter­
mine el esfuerzo máximo de flexión en el PVC.
500 Ib
5001b
2
PVC EPVC = 450 klb/pulg2
Escon Eh: - 160 klb/pulg2
Barras de
Bakelite EH = 800 klb/pulg2
Prob. 6-127
4 pies
3 pies
3 pies
D eterm ine la máxima carga w0 uniform emente
distribuida que puede ser soportada por la viga de concre­
to reforzado si el esfuerzo permisible de tensión en el ace­
ro es OaJperm = 28 klb/pulg 2 y el esfuerzo permisible de
com presión en el concreto es (crconc)pernl = 3 klb/pulg2.
Suponga que el concreto no puede soportar esfuerzos de
tensión. C onsidere £ ac = 29(103) k lb /p u lg 2 y Econc =
3.6 ( 10 3) klb/pulg2.
*6-128.
1
1 pulg_
2 pulgl
2 pulgX
3 pulg
Prob. 6-125
La viga de concreto reforzado se usa para sopor­
tar la carga indicada. D eterm ine el esfuerzo máximo ab­
soluto normal en cada una de las barras de refuerzo de ace­
ro A-36 y el esfuerzo máximo absoluto de compresión en
el concreto. Suponga que el concreto tiene una alta resis­
tencia en compresión y desprecie su resistencia para so­
portar tensiones.
6-126.
Barras de 0.75 pulg de diámetro
«'o
...
y
.
TTI
20 pulg
2.5 pulg
-------- 8 oies--------- ------ 8 Dies----------
10 pulg
Prob. 6-128
lO klb
lO klb
8 pulg
O
15 pulg
W! 4 pies
8 pies
4 pies -»I
2 pulg
U na banda bim etálica está hecha de alum inio
2014-T6 y de latón rojo C83400,con la sección transversal
mostrada. Un incremento de tem peratura ocasiona que su
superficie neutra adquiera la forma de un arco circular con
radio de 16 pulg. Determ ine el momento que debe estar
actuando en su sección transversal debido al esfuerzo
térmico.
6-129.
A
barras de 1 pulg
de diámetro
Prob. 6-126
La viga de concreto reforzado tiene dos barras
de acero de refuerzo. El esfuerzo permisible de tensión pa­
ra el acero es (crac)pem) = 40 klb/pulg 2 y el esfuerzo per­
misible de com presión en el concreto es (a-conc)perm =
3 klb/pulg2. Determine el momento máximo M que puede
aplicarse a la sección. Suponga que el concreto no pue­
de soportar esfuerzos de tensión. £ ac = 29(103) klb/pulg 2
y / w = 3.8(103) klb/pulg2.
6-127.
pulg
0.3 nule
, 0.1 pulg
0.1 pulg
Aluminio
Prob. 6-129
348 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-130. La horquilla se usa como parte del tren de aterri­
zaje delantero de un avión. Si la reacción máxima de la rue­
da en el extremo de la horquilla es de 840 Ib. determine el
esfuerzo de flexión máximo en la sección a-a de la porción
curva de la horquilla. En ese lugar la sección transversal
es circular con 2 pulg de diámetro.
6-133. La viga curva está sometida a un momento M =
40 Ib • pie. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la
viga. Esboce en una vista bidimensional la distribución del
esfuerzo que actúa sobre la sección a-a.
6-134. La viga curva está hecha de un material que tiene
un esfuerzo de flexión crperm = 24 klb/pulg2. Determine el
momento máximo M que puede aplicarse a la viga.
M = 40 lb-pie
M = 40 lb'pie
Probs. 6-133/134
Prob. 6-130
El miembro curvo es simétrico y está sometido a
un momento M = 600 Ib • pie. Determine el esfuerzo de
flexión en los puntos A y B del miembro. Muestre el es­
fuerzo actuando sobre elementos de volumen localizados
en esos puntos.
6-131.
*6 -1 3 2 . El miembro curvo es simétrico y está sometido
a un momento M = 400 Ib • pie. Determine los esfuerzos
máximos de tensión y de compresión en el miembro. Com­
pare esos valores con los de un miembro recto que tenga
la misma sección transversal y esté cargado con el mismo
momento.
6-135. La barra curva usada en una máquina tiene una
sección transversal rectangular. Si la barra está sometida
a un par como se muestra, determine los esfuerzos máxi­
mos de tensión y compresión que actúan en la sección
a-a. Esboce la distribución del esfuerzo sobre la sección en
una vista tridimensional.
a
0:5 pulg
—1 H
A _ 2 PulS
1.5 pulg
Probs. 6-131/132
Prob. 6-135
Pro b lem a s
*6-136. El miembro curvo en caja es simétrico y está so­
metido a un momento M = 500 Ib • pie. Determine el es­
fuerzo de flexión en el miembro en los puntos A y tí. Mues­
tre el esfuerzo actuando sobre elem entos de volumen
localizados en esos puntos.
•
349
6-139. El codo de la tubería tiene un radio exterior de
0.75 pulg y un radio interior de 0.63 pulg. Si el conjunto es­
tá sometido a los momentos M = 25 Ib • pulg, determine el
esfuerzo máximo de flexión generado en la sección a-a.
6-137. El miembro curvo en caja es simétrico y está so­
metido a un momento M = 350 Ib • pie. Determine los es­
fuerzos máximos de tensión y compresión en el miembro.
Compare esos valores con los de un miembro recto que
tenga la misma sección transversal y esté cargado con el
mismo momento.
4pulg
M = 25 Ib-pulg
Prob. 6-139
Probs. 6-136/137
6-138. Durante el vuelo, la parte estructural curva en el
avión a reacción está sometida a un momento M = 16 N • m
en su sección transversal. Determine el esfuerzo máximo
de flexión en la sección curva de la estructura y esboce una
vista bidimensional de la distribución del esfuerzo.
*6-140. Una barra circular de 100 mm de diámetro está
doblada en forma de S. Si se somete a los momentos M =
125 N • m en sus extremos, determine los esfuerzos máxi­
mos de tensión y de compresión generados en la barra.
M = 125 N m
Prob. 6-138
Prob. 6-140
350 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-141. El miembro tiene una sección transversal elípti­
ca. Si se somete a un esfuerzo M = 50 N* m, determine el
esfuerzo de flexión en los puntos A y B. ¿Es el esfuerzo en
el punto A ', que está localizado sobre el miembro cerca de
la pared igual que el esfuerzo en A l Explíquelo.
6-145. La barra está sometida a un momento M =
15 N • m. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la
barra y esboce, en forma aproximada, cómo varía el esfuer­
zo sobre la sección crítica.
6-142. El miembro tiene una sección transversal elípti­
ca. Si el esfuerzo permisible de flexión es crperm = 125 MPa,
determine el momento máximo M que puede aplicarse al
miembro.
°perm = 175
6-146.
El esfuerzo permisible de flexión para la barra es
MPa. Determine el momento máximo M que
puede aplicarse a la barra.
60 mm
M■
6-147. La barra está sometida a cuatro momentos con­
centrados. Si está en equilibrio, determine las magnitudes
de los momentos máximos M y M ' que pueden aplicarse
sin exceder un esfuerzo permisible de flexión de t7-perm =
22 klb/pulg2.
Probs. 6-141/142
*6-148. La barra está sometida a cuatro momentos con­
centrados. Si M = 180 Ib ■pie y M' = 70 Ib • pie, determi­
ne el esfuerzo máximo de flexión generado en la barra.
6-143. La barra tiene un espesor de 0.25 pulg y está hecha
de un material que tiene un esfuerzo permisible de fle­
xión de crpem, = 18 klb/pulg2. Determine el momento máxi­
mo M que puede aplicársele.
*6-144. La barra tiene un espesor de 0.5 pulg y está so­
metida a un momento de 60 Ib • pie. Determine el esfuer­
zo máximo de flexión en la barra.
0 5 pulg 4.5 pulg
0.90 pulg 1.5 pulg
1
M
' ( ’f
lOlb-pie
lOOlb-pie
Probs. 6-147/148
6-149. Determine el esfuerzo máximo de flexión gene­
rado en la barra cuando está sometida a los momentos
concentrados mostrados. La barra tiene un espesor de
0.25 pulg.
4.5 pulg
3 pulg
1—
-L»K - T * .
160 Ibpulg
100 lb-pul
0.3 pulg
Probs. 6-143/144
1.5 pulg
Prob. 6-149
1.125 pulg 60 Ib pulg
P ro b le m as
6-150. Determine la longitud L de la porción central de
la barra de manera que el esfuerzo máximo de flexión en
A , B y C sea e! mismo. La barra tiene un espesor de 10 mm.
350 N
60 mm
40 mm
7 mm
I
,,
7 mm I
------- 1------ ---------C
B
u
S sssr
•
351
6-153. Si el radio de cada muesca sobre la placa es r =
0.5 pulg, determine el momento máximo que puede apli­
carse. El esfuerzo permisible de flexión para el material
es trperm = 18 klb/pulg2.
6-154. La placa simétricamente indentada está sometida
a flexión. Si el radio de cada muesca es r = 0.5 pulg y el
momento aplicado es M = 10 klb • pie, determine el esfuer­
zo máximo de flexión en la placa.
------- t ------- Á
1
L
2
14.5 pulg
Prob. 6-150
6-151. La barra está sometida aun momento M =
153 N • m. Determine el radio r mínimo de los filetes de
modo que el esfuerzo permisible de flexión
= 120
MPa no sea excedido.
Probs. 6-153/154
6-155. La barra indentada simplemente apoyada está so­
metida a dos fuerzas P. Determine la magnitud máxima de
P que puede aplicarse sin causar que el material fluya. El
material es acero A-36. Cada muesca tiene un radio
r — 0.125 pulg.
Prob. 6-151
*6-152. La barra está sometida a un momento M = 17.5
N • m. Si r = 6 mm determine el esfuerzo de flexión máxi­
mo en el material.
*6-156. La barra indentada simplemente apoyada está
sometida a dos cargas, cada una de magnitud P = 100 Ib.
Determine el esfuerzo máximo de flexión generado en la
barra y esboce la distribución del esfuerzo de flexión que
actúa sobre la sección transversal en el centro de la barra.
Cada muesca tiene un radio r = 0.125 pulg.
P
P
1
1_____. ^0J
T
1.25 pulg
J.
— 20 pulg— -— 20 pulg •]« 20 pulg—J ^ 2 0 pulg —
Prob. 6-152
Probs. 6-155/156
Pulg
!
1.75 pulg
»I
10
Flexión inelástica
Las ecuaciones previamente obtenidas para determ inar el esfuerzo nor­
mal por flexión son válidas sólo si el material se comporta de manera elás­
tica lineal. Si el m omento aplicado ocasiona que el material fluya, debe
entonces usarse un análisis plástico para determ inar la distribución del es­
fuerzo. Sin embargo, para los casos elástico y plástico de flexión de miem­
bros rectos, deben cumplirse tres condiciones.
Distribución lineal de la deformación unitaria normal. Con base
en consideraciones geométricas, se mostró en la sección 6.3 que las defor­
maciones unitarias normales que se desarrollan en el material siempre va­
rían linealmeníe desde cero en el eje neutro de la sección transversal has­
ta un máximo en el punto más alejado del eje neutro.
y
Fuerza resultante igual a cero. Como se tiene sólo un m omento in­
terno resultante actuando sobre la sección transversal, la fuerza resultan­
te causada por la distribución del esfuerzo debe ser igual a cero. Como <x
genera una fuerza sobre el área dA de dF = a dA, figura 6-52, entonces,
para el área entera A de la sección transversal, tenemos:
E sta ecuación proporciona un medio para obtener la posición del eje
neutro.
Fig. 6-52
Momento resultante. El momento resultante en la sección debe ser
equivalente al momento causado por la distribución del esfuerzo respec­
to al eje neutro. Como el m omento de la fuerza dF = a d A respecto al eje
neutro es dM = y (a d A ), si sumamos los resultados sobre toda la sección
transversal, figura 6-52, tenemos,
(M r )z = Z M ¿
M =
y (a d A )
(6-28)
A
Esas condiciones de geometría y carga se usarán ahora para mostrar cómo
determ inar la distribución del esfuerzo en una viga al estar ésta sometida
a un mom ento interno resultante que ocasiona fluencia del material. En
todo el análisis supondremos que el material tiene un diagrama esfuerzodeformación igual en tensión que en compresión. Por simplicidad, comen­
zaremos considerando que la viga tiene una sección transversal con dos
ejes de simetría, en este caso un rectángulo de altura h y ancho b, como
se muestra en la figura 6-53«. Consideraremos tres casos de carga que son
de especial interés.
"1
S ección
6.10 Flexión ¡nelástica
Momento elástico máximo. Suponga que el momento aplicado M =
M y es justam ente suficiente para producir deform aciones unitarias de
fluencia en las fibras superior e inferior de la viga, como se muestra en la
figura 6-53b. Como la distribución de la deformación unitaria es lineal,
podemos determ inar la correspondiente distribución del esfuerzo usan­
do el diagrama esfuerzo-deformación unitaria, figura 6-53c. Se ve aquí que
la deformación unitaria de fluencia eY genera el esfuerzo de fluencia ay,
y que las deformaciones unitarias intermedias e\ y e2 generan los esfuer­
zos cri y o?, respectivamente. Cuando esos esfuerzos, y otros similares, se
grafican en los puntos y = h¡2,y - y x,y = y2, etc., se obtiene la distribu­
ción del esfuerzo mostrada en las figuras 6-53d y 6-53e. La linealidad del
esfuerzo es, por supuesto, una consecuencia de la ley de Hooke.
Ahora que se ha establecido la distribución del esfuerzo, podemos com­
probar si la ecuación 6-27 se satisface. Para esto, calcularemos primero la
fuerza resultante en cada una de las dos porciones de la distribución del
esfuerzo en la figura 6-53e. Geom étricam ente esto es equivalente a en­
contrar los volúmenes bajo los dos bloques triangulares.Tal como se mues­
tra, la sección transversal superior del miembro está sometida a compre­
sión y la porción inferior está sometida a tensión. Tenemos:
T = C =
= \b h * y
Como T es igual pero opuesta a C, la ecuación 6-27 se satisface y el eje
neutro pasa por el centroide del área de la sección transversal.
El momento elástico máximo M Y se determ ina con la ecuación 6-28,
que establece que My es equivalente al momento de la distribución del es­
fuerzo respecto al eje neutro. Para aplicar esta ecuación geométricamen­
te, debemos determ inar los momentos generados por T y C en la figura
6-53e respecto al eje neutro. Como cada una de las fuerzas actúa a través
del centroide del volumen de su bloque triangular de esfuerzos asociado,
tenemos:
6
W)
Oy
a,
J
ét e 2 eY
(6-29)
Por supuesto, este mismo resultado puede obtenerse de m anera más di­
recta usando la fórmula de la flexión, esto es, oy = M y(h/2)/[bh3/l2] o
M Y = bhla Y/6.
Distribución del esfuerzo
(vista lateral)
(b)
7
D H M D t
= —b lr a Y
Distribución de la
deformación unitaria
(vista lateral)
Diagrama
esfuerzo-deformación unitaria
(región elástica)
(c)
Fig. 6-53
353
354 • CAPÍTULO 6 Flexión
Momento plástico. Algunos materiales, como el acero, tienden a ex­
hibir un com portam iento elástico-perfectamente plástico cuando el es­
fuerzo en el material excede el valor oy. Considere, por ejemplo, el miem­
bro en la figura 6-54a. Si el momento interno M > M y.e 1 material en las
fibras superior e inferior de la viga comenzará a fluir ocasionando una re­
distribución del esfuerzo sobre la sección transversal hasta que se desarro­
lle el momento interno M requerido. Si la distribución de la deformación
unitaria normal así producida es como se m uestra en la figura 6-54¿>, la
distribución del esfuerzo normal correspondiente se determina con el dia­
grama esfuerzo-deformación unitaria, de la misma m anera que en el caso
elástico. Usando el diagrama esfuerzo-deformación unitaria para el ma­
terial m ostrado en la figura 6-54c, las deformaciones unitarias eb eY, e2
corresponden a los esfuerzos erb a Y, crY, respectivamente. Cuando éstos y
otros esfuerzos se trazan sobre la sección transversal, obtenem os la dis­
tribución del esfuerzo mostrada en la figura 6-54*/ o 6-54e. Los “bloques”
de esfuerzos de tensión y compresión consisten cada uno en bloques com­
ponentes rectangulares y triangulares. Sus volúmenes son:
Ti = Cj = -yyo -yb
T, = C, =
i- >y
)o-Yb
Debido a la simetría, la ecuación 6-27 se satisface y el eje neutro pasa por
el centroide de la sección transversal, tal como se muestra. El m omento
aplicado M puede relacionarse con el esfuerzo de fluencia ay usando la
ecuación 6-28. En la figura 6-54e se requiere,
Distribución de la
deformación unitaria
(vista lateral)
M = J i( § 3 v ) + Cl(
+
t2
1
(b)
+ Q yy
¡yy
+
3V
(h
2
- - yY j o - y b
O usando la ecuación 6-29,
M =
(c)
(vista lateral)
(d)
Fig. 6-54
yy
+ 2( 2 - yy
= - b h 2a Y i _ í ñ .
4
3 h2
Diagrama esfuerzo-deformación
unitaria
(región elastoplástica)
2 \2
Fluencia
plástica
1
(h
jU
+ n-
S ección
6.10 Flexión ¡nelástica • 355
La inspección de la figura 6-54e revela que M produce dos zonas de
fluencia plástica y un núcleo elástico en el miembro. Los límites entre ellos
están localizados a la distancia ± y Y desde el eje neutro. Conforme M cre­
ce en magnitud, y y tiende a cero. Esto convertiría al material en totalmen­
te plástico y la distribución del esfuerzo se vería como se muestra en la fi­
gura 6-54f D e la ecuación 6-30 con y Y = 0, o encontrando los momentos
de los “bloques” de esfuerzos respecto al eje neutro, podemos escribir es­
te valor límite como:
(6-31)
Usando !a ecuación 6-29, tenemos:
Mp = ~ M y
(6-32)
Este momento se llama m om ento plástico. El valor obtenido aquí es
válido sólo para la sección rectangular mostrada en la figura 6-54/, ya que
en general su valor depende de la geometría de la sección transversal.
Las vigas usadas en edificios de acero se diseñan a veces para resistir
un momento plástico. Para tales casos, los códigos o m anuales incluyen
una propiedad de diseño de las vigas llamada factor de forma. El factor
de fo rm a se define como la razón,
Mp
(6-33)
k =
My
Momento plástico
(f)
Eje de simetría
Momento
conocido
Este valor especifica la capacidad adicional de m om ento que una viga
puede soportar más allá de su m om ento elástico máximo. Por ejemplo, se­
gún la ecuación 6-32. una viga con sección transversal rectangular tiene
un factor de forma k = 1.5. Por tanto, podem os concluir que esta sección
soportará 50% más de momento flexionante que su momento elástico má­
ximo cuando se plastifica totalmente.
Momento último. Consideremos ahora el caso más general de una vi­
ga con sección transversal simétrica sólo con respecto al eje vertical y el
momento aplicado respecto al eje horizontal, figura 6-55«. Supondremos
que el material exhibe endurecimiento por deformación y que sus diagra­
mas esfuerzo-deformación unitaria a tensión y compresión son diferen­
tes, figura 6-55b.
Si el momento M produce fluencia en la viga, surgen dificultades en la
determinación de la posición del eje neutro y de la deformación unitaria
máxima que se genera en la viga. Esto se debe a que la sección transver­
sal es asimétrica respecto al eje horizontal y el comportamiento esfuerzodeformación unitaria del material no es igual en tensión y en compresión.
Para resolver este problema, un procedimiento por tanteos requiere los
siguientes pasos:
1. Para un mom ento dado M, suponga la posición del eje neutro y la
pendiente de la distribución “lineal” de la deformación unitaria, fi­
gura 6-55c.
2.
Establezca gráficamente la distribución del esfuerzo sobre la sec­
ción transversal del miembro usando la curva a-e para trazar valo­
res del esfuerzo correspondientes a la deformación unitaria. La dis­
tribución resultante del esfuerzo, figura 6-55d, tendrá entonces la
misma forma que la curva cr-e.
Fig. 6-55
356 • CAPÍTULO 6 Flexión
Localización supuesta
del eje neutro
Pendiente supuesta
de la distribución de
la deformación unitaria
Distribución de la
deformación unitaria
(vista lateral)
(c)
,
3. Determ ine los volúmenes encerrados por los “bloques” de esfuer­
zos a tensión y a compresión. (Como aproximación, esto puede re­
querir la subdivisión de cada bloque en regiones componentes.)
Según la ecuación 6-27, los volúmenes de esos bloques deben ser
iguales, ya que ellos representan la fuerza resultante de tensión T y
la fuerza resultante de compresión C sobre la sección, figura 6-55e.
Si esas fuerzas no son iguales, debe hacerse un ajuste de la posición
del eje neutro (punto de deformación unitaria cero) y repetirse el
proceso hasta que la ecuación 6-27 (T = C) se cumpla.
4. Una vez que T = C, los momentos producidos por T y C pueden
calcularse respecto al eje neutro. Los brazos de momento para T y
C se miden desde el eje neutro hasta los centroides de los volúme­
nes definidos por las distribuciones del esfuerzo, figura 6-55e. La
ecuación 6-28 requiere que M = Ty' + Cy". Si esta ecuación no se
cumple, la pendiente de la distribución de la deformación unitaria
debe ajustarse y deben repetirse los cálculos para T y C y para los
momentos hasta que se obtenga una buena concordancia.
Este proceso de cálculo es obviamente muy tedioso pero afortunada­
mente no se requiere con frecuencia en la práctica de la ingeniería. La ma­
yoría de las vigas son simétricas respecto a dos ejes y se construyen con
materiales que tienen supuestamente diagramas esfuerzos-deformación
unitaria a tensión y a compresión similares. Siempre que esto se cumple,
el eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal, lo que sim­
plifica el proceso de relacionarla distribución del esfuerzo con el momen­
to resultante.
Distribución del esfuerzo
(vista lateral)
<d)
PUNTOS IMPORTANTES
• La distribución de la deformación unitaria normal sobre la sec­
ción transversal de una viga se basa sólo en consideraciones geo­
métricas y se ha encontrado que siempre permanece lineal, inde­
pendientem ente de la carga aplicada. Sin embargo, la distribución
del esfuerzo normal debe ser determ inada a partir del com porta­
miento del material, o del diagrama esfuerzo-deformación unita­
ria una vez que se ha establecido la distribución de la deforma­
ción unitaria.
• La localización del eje neutro se determ ina de la condición de que
la fuerza resultante sobre la sección transversal es cero.
(e)
Fig. 6-55 (cont.)
• El mom ento interno resultante sobre la sección transversal debe
ser igual al m omento de la distribución del esfuerzo respecto al
eje neutro.
• El comportamiento perfectamente plástico supone que la distri­
bución del esfuerzo normal es constante sobre la sección trans­
versal. y que la viga continúa flexionándose. sin incremento del
momento. Este momento se llama momento plástico.
S ección
6.10 Flexión inelástica • 357
E J E M P L O
La viga de patín ancho de acero tiene las dimensiones mostradas en la
figura 6-56a. Si está hecha de un material elastoplástico con esfuerzo
de fluencia, igual a tensión y a compresión, de a Y = 36 klb/pulg2, de­
termine el factor de forma para la viga.
Solución
Para determ inar el factor de forma, es necesario prim ero calcular el
momento elástico máximo M Y y el mom ento plástico Mp.
M omento elástico máximo. La distribución del esfuerzo normal pa­
ra el momento elástico máximo se m uestra en la figura 6-56b. El mo­
mento de inercia respecto al eje neutro es:
I = ^ ( 0 . 5 pulg)(9 pulg ) 3
1 (8 pulg)(0.5 pulg ) 3 +
8
pulg(0.5 pulg)(4.75 pulg ) 2
=
2 1 1 .0
pulg'
36 klb/pulg2
Aplicando la fórmula de la flexión, tenemos:
Me
36 klb/pulg 2 =
^máx
M y (5 pulg)
pulg 4
= 1519.5 klb • pulg
2 1 1 .0
My
•My
M omento plástico. El momento plástico ocasiona que el acero en to­
da la sección transversal de la viga fluya, por lo que la distribución del
esfuerzo normal es como se m uestra en la figura 6-56c. D ebido a la si­
metría de la sección transversal y como los diagramas de esfuerzo-de­
formación unitaria a tensión y a compresión son iguales, el eje neutro
pasa por el centroide de la sección transversal. Para determ inar el m o­
mento plástico, la distribución del esfuerzo se divide en cuatro “blo­
ques” rectangulares y la fuerza producida por cada “bloque” es igual
al volumen del bloque respectivo. Por consiguiente, tenemos:
Q = Ti = 36 klb/pulg 2 (0.5 pulg)(4.5 pulg) = 81 klb
C2 - T 2 = 36 klb/pulg 2 (0.5 pulg) ( 8 pulg) = 144 klb
Estas fuerzas actúan a través del centroide del volumen de cada blo­
que. Al calcular los momentos de estas fuerzas respecto al eje neutro,
obtenemos el m om ento plástico:
Mp = 2[(2.25 pulg)(81 klb)] + 2[(4.75 pulg)(144 klb)] = 1732.5 klb • pulg
Factor de form a. Aplicando la ecuación 6-33 se obtiene:
k =
Mp
1732.5 klb • pulg
M y ~ 1519.5 klb-pulg
= 1.14
Resp.
Este valor indica que una viga de patín ancho proporciona una sección
muy eficiente para resistir un momento elástico. La m ayor parte del
momento se genera en los patines, es decir, en los segmentos superior
e inferior, m ientras que el alma o segmento vertical contribuye muy
poco. En este caso particular, sólo 14% de m omento adicional puede
ser soportado por la viga más allá del que soporta elásticamente.
36 klb/pulg2
(b)
358
CAPÍTULO 6 Flexión
E J E M P L O
6.28
Una viga T tiene las dimensiones mostradas en la figura 6-57a. Si está
hecha de un material elástico perfectamente plástico con esfuerzo de
fluencia a tensión y a compresión de ay = 250 MPa, determ ine el mo­
mento plástico que puede resistir la viga.
(a)
(b)
Fig. 6-57
Solución
La distribución del esfuerzo “plástico” que actúa sobre la sección trans­
versal de la viga se muestra en la figura 6-576. En este caso, la sección
transversal no es simétrica con respecto a un eje horizontal, y en con­
secuencia, el eje neutro no pasa por el centroide de la sección transver­
sal. Para determ inar la posición d del eje neutro, requerimos que la dis­
tribución del esfuerzo genere una fuerza resultante cero sobre la sección
transversal. Suponiendo que d s 120 mm, tenemos:
a d A = 0;
T - C¡ - C2 = 0
4
250 MPa(0.015 m )(d) - 250 MPa(0.015 m)(0.120 m - d)
- 250 MPa(0.015 m)(0.100 m) = 0
d = 0.110 m < 0.120 m
OK
Usando este resultado, las fuerzas que actúan sobre cada segmento son:
T =
250 M N/m 2(0.015 m)(0.110 m) = 412.5 kN
Ct =
250 M N /m 2(0.015 m)(0.010 m) = 37.5 kN
C2 =
250 M N /m 2(0.015 m)(0.100 m) = 375 kN
Por tanto, el m omento plástico resultante respecto al eje neutro es:
M„ = 412.5 k
N
Í
^
+
3 7 .5
^
n
Í
+
3 7 5
kN ^0.01 m +
° ' ° 1 5
m
2
M p = 29.4 kN • m
Resp.
S ección
E J E M P L O
6.10 Flexión inelástica • 359
6.29
La viga en la figura 6-58« está hecha de una aleación de titanio que tie­
ne un diagrama esfuerzo-deformación que puede aproximarse en par­
te por dos líneas rectas. Si el com portamiento del material es el mismo
tanto a tensión como a compresión, determ ine el m omento flexionante que puede aplicarse a la viga que ocasionará que el material en las
partes superior e inferior de la viga quede sometido a una deformación
unitaria de 0.050 pulg/pulg.
CT(klb/pulg2)
0.010
0.050
(a)
Solución I
Por inspección del diagrama de esfuerzo-deformación unitaria, vemos
que el material exhibe un “com portamiento elastoplástico con endu­
recimiento por deformación". Como la sección transversal es simétri­
ca y los diagramas cr-e a tensión y a compresión son iguales, el eje neu­
tro debe pasar por el centroide de la sección transversal. La distribución
de la deformación unitaria, que es siempre lineal, se m uestra en la fi­
gura 6-58b. En particular, el punto en que ocurre la deformación uni­
taria elástica máxima ( 0 . 0 1 0 pulg/pulg) ha sido determ inado por pro­
porción, esto es 0.05/1.5 pulg = 0.010/y o y = 0.3 pulg.
La distribución correspondiente del esfuerzo normal que actúa so­
bre la sección transversal se muestra en la figura 6-58c. El momento
producido por esta distribución puede calcularse encontrando el “vo­
lumen” de los bloques de esfuerzo. Para hacerlo así, subdividimos esta
distribución en dos bloques triangulares y en un bloque rectangular en
las regiones de tensión y compresión, figura 6-58d. Como la viga tiene
2 pulg de ancho, las resultantes y sus posiciones se determinan como
sigue:
0.05
y =0.3 pulg
1.5 pulg
°-0107 =
0.05
Distribución de la
deformación unitaria
(b)
Fig. 6-58
Continúa
360 • CAPÍTULO 6 Flexión
7\ = Cj = -(1 .2 pulg)(40 klb/pulg2)(2 pulg) = 48 klb
y\ = 0.3 pulg + -(1 .2 pulg) = 1.10 pulg
T2 = C2 = (1.2 pulg)(150 klb/pulg2) (2 pulg) = 360 klb
190 klb/pulg1
y¿ = 0.3 pulg + |( 1 . 2 pulg) = 0.90 pulg
y= 0.3 pulg
r 3 = C3 = |( 0 . 3 pulg) (150 klb) ( 2 pulg) = 45 klb
Vl50 klb/pulg2
I
1.5 pulg
150 klb/pulg:
y3 = | (0.3 pulg) = 0.2 pulg
190 klb/pjlg2
El mom ento producido por esta distribución de esfuerzo normal res­
pecto al eje neutro es entonces:
Distribución del esfuerzo
M = 2[48 klb (1.10 pulg) + 360 klb (0.90 pulg) + 45 klb (0.2 pulg)]
772 klb • pulg
(c)
Resp.
Solución II
C' ^ \
y\\ c,_
1 -V2
1 13J
«—
. 0.3 pulg
1.2pulg
.1
. ..
/ 150 klb/pulg2
40 klb/pulg2
En vez de usar el procedimiento semigráfico anterior, es también po­
sible calcular el m om ento analíticamente. Para hacerlo así, debemos
expresar la distribución del esfuerzo en la figura 6-58c como una fun­
ción de la posición y a lo largo de la viga. Observe que a = /(e ) está
dada en la figura 6-58a. Además, de la figura 6-586, la deformación uni­
taria normal puede determ inarse como función de la posición y por
triángulos semejantes; esto es,
6
(d)
=
0.05
1.5 '
Sustituyendo este valor en las funciones a-e m ostradas en la figura
6-58fl se obtiene:
a = 500y
cr = 3333y + 140
0 s y < 0.3 pulg
0.3 pulg s j < 1 .5 pulg
(1)
(2 )
De acuerdo con la figura 6-58e, el momento causado por a actuan­
do sobre la franja dA = 2 dy es:
dM ~ y(<rdA) = ya{2 dy)
Usando las ecuaciones 1 y 2, el momento para la sección transversal
entera es entonces:
-
(e)
M = 2 2
r0.3
-1.5
500y2 d y + 2
J()
= 772 klb • pulg
(33.3y2 + 140y) dy
-
Resp.
S ecció n 6 .1 1
*6.11
Esfuerzo residual • 361
Esfuerzo residual
Si una viga se carga en forma tal que el material de que está hecha fluye,
entonces al retirar la carga se desarrollarán esfuerzos residuales en la vi­
ga. Como los esfuerzos residuales suelen ser importantes al considerar la
fatiga y otros tipos de com portamiento mecánico, estudiaremos un m éto­
do usado para su cálculo cuando un miembro está sometido a flexión.
Como en el caso de la torsión, podemos calcular la distribución del es­
fuerzo residual usando los principios de superposición y de recuperación
elástica. Para explicar cómo se hace esto, consideremos la viga mostrada
en la figura 6-59a, que tiene una sección transversal rectangular y está he­
cha de un material elástico-perfectamente plástico con el mismo diagra­
ma esfuerzo-deform ación unitaria a tensión que a com presión, figura
6-59b. La aplicación del m omento plástico Mp ocasiona una distribución
de esfuerzo en el miembro que idealizaremos como se muestra en la figu­
ra 6-59c. Según la ecuación 6-31, este mom ento es:
Si Mp ocasiona que en el material en la parte superior e inferior de la
viga se genere una deformación unitaria ( > > eY), como lo muestra el
punto B sobre la curva a-e en la figura 6-59b, entonces al retirar este
momento se ocasionará que el material recupere elásticamente parte de
esta deformación unitaria siguiendo la trayectoria punteada BC. Como es­
ta recuperación es elástica, podemos superponer, en la distribución del
(a)
Fig. 6-59
a
Carga
elastopláslica
oy -----
¡¡
£
- 0.5
/
Gy
V
- O y
C
(b)
Recuperación
elástica real
362 • CAPÍTULO 6 Flexión
esfuerzo en la figura 6-59c, una distribución lineal de esfuerzo causada
por la aplicación del m om ento plástico en sentido opuesto, figura 6-59d.
Aquí, el esfuerzo máximo, que es llamado m ódulo de ruptura por flexión,
oy, puede determinarse con la fórmula de la flexión cuando la viga está
cargada con el mom ento plástico. Tenemos:
Me
I-
a'
M p{\h )
(\b h 2* y ) ( \ h )
<¿M>)
(f2M3)
= 1.5(7Y
Advierta que es posible aquí la aplicación inversa del m omento plásti­
co usando una distribución lineal del esfuerzo, ya que la recuperación elás­
tica del material en las partes superior e inferior de la viga puede tener
una deformación unitaria máxima de recuperación de 2eY, como se mues­
tra en la figura 6-596. Esto correspondería a un esfuerzo máximo de 2oy
en las partes superior e inferior de la viga, que es mayor que el esfuerzo
requerido de 1.5oy como se calculó antes, figura 6-59d.
La superposición del mom ento plástico, figura 6-59c, y su remoción, fi­
gura 6-59d, da la distribución del esfuerzo residual mostrada en la figura
6-59e. Como ejercicio, use los “bloques” triangulares que representan es­
ta distribución de esfuerzo y dem uestre que generan una resultante de
fuerza cero y mom ento cero sobre el miembro, tal como debe ser.
El siguiente ejemplo ilustra numéricamente la aplicación de estos prin­
cipios.
aY
Momento plástico aplicado
que genera deformación unitaria plástica
Inversión del momento plástico
que genera deformación unitaria elástica
Distribución del esfuerzo
residual en la viga
(c)
(d)
<e)
Fig. 6-59 (cont.)
S ecció n 6 .1 1
da
)d.
>n,
itá
Esfuerzo residual •
E J E M P L O
La viga de patín ancho de acero mostrada en la figura 6-60« está some­
tida a un m omento plástico total de M,,. Si se retira este momento, de­
termine la distribución del esfuerzo residual en la viga. El material es
elástico perfectam ente plástico y tiene un esfuerzo de fluencia oy =
36 klb/pulg2.
Solución
stiásle r
es■o-y
La distribución del esfuerzo normal en la viga causado por M;, se mues­
tra en la figura 6-606. Cuando
se retira, el material responde elás­
ticamente. R etirar M p implica aplicar M p en sentido opuesto, lo que
conduce a una distribución elástica del esfuerzo, como se muestra en
la figura 6-60c. El módulo de ruptura <r,. se calcula con la fórmula de la
flexión. Usando Mp = 1732.5 klb-pulg e / = 211.0 pulg 4 del ejemplo
6-27, tenemos:
1732.5 klb • pulg (5 pulg)
Me
rzo
<Jr —
i ;
,fiura
esde
rin-
2 1 1 .0
pulg 4
= 41.1 klb/pulg 2
Como era de esperarse, ar < 2a Y.
La superposición de los esfuerzos da la distribución del esfuerzo re­
sidual mostrada en la figura 6-60d. Note que el punto cero de esfuerzo
normal se determ inó por proporción; es decir, en las figuras 6-606 y
6-60c se requiere que
41.1 klb/pulg 2 _ 36 klb/pulg 2
5 pulg
y
y = 4.38 pulg
.5
5.05 klb/pulg2
aT =41.1 klb/pulg2
36 klb/pulg2
<J y
---
5 pulg
.5 O y
Momento plástico aplicado
(vista lateral)
Momento plástico invertido
(vista lateral)
Distribución del esfuerzo residual
(b)
(c)
(d)
Fig. 6-60
363
364 • CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS
6-157. Una barra con ancho de 3 pulg y altura de 2 pulg
está hecha de un material elastoplástico cuyo ay =
36 klb/pulg\ Determine el momento respecto al eje hori­
zontal que ocasionará que la mitad de la barra fluya.
6-158. Determine el módulo plástico y el factor de for­
ma para la sección de la viga de patín ancho.
*6-160. Determine el factor de forma para la sección
transversal de la viga H.
6-161. La viga H está hecha de un material elastoplásti­
co cuyo cry = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en
la parte superior e inferior de la viga después de que se
aplica el momento plástico Mp y luego se retira.
D . , lco
Prob. 6-1S8
Probs. 6-160/161
6-159. La viga está hecha de un material elastoplástico
cuyo (7y = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en la
parte superior e inferior de la viga después de que se apli­
ca el momento plástico M„ y luego se retira.
6-162. La barra tiene una sección transversal circular. Es­
tá hecha de un material elastoplástico. Determine su fac­
tor de forma y su módulo de sección Z.
Prob. 6-159
6-163. La barra tiene una sección transversal circular. Es­
tá hecha de un material elastoplástico. Determine el mo­
mento elástico máximo y el momento plástico que puede
aplicarse a su sección transversal. Considere r = 3 pulg y
cry = 36 klb/pulg2.
Probs. 6-162/163
P r o b le m a s
*6-164. La viga T está hecha de un material elastoplástico. Determine el momento elástico máximo y el momento plástico que puede aplicarse a su sección transversal.
oy = 36 klb/pulg2.
•
365
6-167. Determine el momento plástico M/( que puede so­
portar una viga con la sección transversal mostrada, ay =
30 klb/pulg2.
6-165. Determine el módulo de sección plástico y el fac­
tor de forma para la sección transversal de la viga.
Prob. 6-167
Probs. 6-164/165
6-166. Determine el módulo de sección plástico y el factor de forma para la sección transversal de la viga.
*6-168. El tubo de pared gruesa está hecho de un material elastoplástico. Determine el factor de forma y el mó­
dulo de sección plástico Z.
Prob. 6-166
Prob. 6-168
366 • CAPITULO 6 Flexión
6-169. Determine el factor de forma y el módulo de sec­
ción plástico para la sección del miembro.
6-170. El miembro está hecho con un material elastoplástico. Determine el momento máximo elástico y el momento
máximo plástico que puede aplicarse a la sección transver­
sal. Considere b = 4 pulg, h = 6 pulg. ay = 36 klb/pulg2.
*6-172. La viga está hecha de un material elastoplástico
para el cual ay = 200 MPa. Si el momento máximo en la
viga se presenta dentro de la sección central a-a, determi­
ne la magnitud de cada fuerza P causantes de que este mo­
mento sea (a) el máximo momento elástico y (b) el máxi­
mo momento plástico.
I 200 mm
100 mm
Prob. 6-172
Probs. 6-169/170
6-171. El perfil de patín ancho está hecho de un material
elastoplástico. Determine su factor de forma y su módulo
plástico Z.
6-173. La viga está hecha de un material elastoplástico
cuyo try = 200 MPa. Si el momento máximo en la viga se
presenta en el empotramiento, determine la magnitud de
la fuerza P que ocasiona que este momento sea (a) el máxi­
mo momento elástico y (b) el máximo momento plástico.
8 ni
II
200 mm
150 111111
Prob. 6-171
Prob. 6-173
P r o b le m a s
6-174. La viga en caja está hecha de un material elastoplástico cuyo oy = 25 klb/pulg2. Si el momento máximo
en la viga se presenta en el centro del claro, determine la
intensidad de la carga w0 distribuida que hará que este mo­
mento sea (a) el máximo momento elástico y (b) el máxi­
mo momento plástico.
•
367
*6-176. La viga tiene una sección transversal rectangu­
lar y está hecha de un material elastoplástico cuyo diagra­
ma esfuerzo-deformación unitaria se muestra. Determine
la magnitud del momento M que debe aplicarse a la viga
para generar una deformación unitaria máxima en sus fi­
bras exteriores de emá. = 0.008.
icr(MPa)
8 pulg
12 pulg
H
16 pulg
h6 pulg
Prob. 6-174
Prob. 6-176
6-175. La viga está hecha de un material elastoplástico
cuyo oy = 30 klb/pulg2. Si el momento máximo en la viga
se presenta en la sección central a-a, determine la intensidad
de la carga w distribuida que ocasiona que este momento
sea (a) el momento máximo elástico y (b) el momento má­
ximo plástico.
-10 pies -
6-177. Una viga está hecha de plástico polipropileno cu­
yo diagrama esfuerzo-deformación unitaria puede aproxi­
marse por la curva mostrada. Si la viga está sometida a una
deformación unitaria de tensión y de compresión máximas
de e = 0.02 mm/mm. determine el momento máximo M.
10 pies — —
] fe Pulg
i—-H
8 pulg
Prob. 6-175
Prob. 6-177
368 • CAPÍTULO 6 Flexión
6-178. La barra está hecha de una aleación de aluminio
cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria puede apro­
ximarse por los segmentos rectos mostrados. Suponiendo
que este diagrama es el mismo para tensión y para com­
presión. determine el momento que la barra puede sopor­
tar si la deformación unitaria máxima en las fibras supe­
riores e inferiores de la viga es em¡íx. = 0.03.
±<r
6-179. La barra está hecha de una aleación de aluminio
cuyo diagrama esfuerzo-deformación unitaria puede apro­
ximarse por los segmentos rectos mostrados. Suponiendo
que este diagrama es el mismo para tensión y para com­
presión, determine el momento que la barra puede sopor­
tar si la deformación unitaria máxima en las fibras supe­
riores e inferiores de la viga es emáx = 0.05.
Prob. 6-180
6-181. Un material tiene un diagrama esfuerzo-deforma­
ción unitaria tal que dentro del rango elástico el esfuerzo
de tensión o de compresión puede relacionarse a la defor­
mación unitaria de tensión o de compresión por medio de
la ecuación a" = Ke, donde K y n son constantes. Si el ma­
terial está sometido a un momento flexionante M , obtenga
una expresión que relacione el esfuerzo máximo y el mo­
mento en el material. La sección transversal tiene un
momento de inercia I respecto a su eje neutro.
± a (klb/pulg2)
e (pulg/pulg)
a
Probs. 6-178/179
*6-180. Un miembro está hecho de un polímero cuyo dia­
grama esfuerzo-deformación unitaria se muestra. Si la cur­
va puede representarse por la ecuación a = 4.65(10)3e 135
klb/pulg2, determine la magnitud del momento M que pue­
de aplicársele sin que la deformación unitaria máxima en
el miembro exceda el valor emáx = 0.005 pulg/pulg.
Prob. 6-181
R ep a so
REPASO DEL CAPÍTULO
• Los diagramas de cortante y m omento son representaciones gráficas de la fuerza
cortante interna y del m omento flexionante interno de una viga. Ellos pueden
construirse seccionando la viga a una distancia arbitraria .r desde el extremo iz­
quierdo, hallando V y M como funciones de x, y luego graficando los resultados.
• También es posible trazar los diagramas de cortante y momento observando que
en cada punto la pendiente del diagrama de cortante es el negativo de la carga
distribuida, w = dV¡dx, y que la pendiente del diagrama de momento es la fuer­
za cortante, V = dM /dx. También, el área (negativa) bajo el diagrama de carga
representa el cambio en la fuerza cortante, A V = —J w dx\ y el área bajo el dia­
grama de cortante representa el cambio en momento, AM = j V dx. Los valores
de la fuerza cortante y del momento flexionante en cualquier punto pueden tam­
bién obtenerse usando el método de las secciones.
• Un m omento flexionante tiende a producir una variación lineal de la deform a­
ción unitaria normal dentro de una viga. Si el material es homogéneo, la ley de
Hooke es aplicable, y el m omento no genera fluencia del material, entonces el
equilibrio puede usarse para relacionar el m omento interno en la viga con la dis­
tribución del esfuerzo. El resultado es la fórmula de la flexión, a = M c/I, donde
/ y c se determ inan desde el eje neutro que pasa por el centroide de la sección
transversal.
• Si la sección transversal de la viga no es simétrica respecto a un eje perpendicu­
lar al eje neutro, se presenta entonces flexión asimétrica. El esfuerzo máximo
puede determ inarse con fórmulas, o el problema puede resolverse considerando
la superposición de la flexión respecto a dos ejes separados.
• Las vigas hechas de m ateriales compuestos pueden ser “transform adas” de mo­
do que sus secciones transversales se consideren hechas de un solo material. Para
hacer esto, se usa un factor de transformación, que es la razón de los módulos de
elasticidad de l o s materiales: n — EJE¿. Una vez hecho esto, l o s esfuerzos en la
viga pueden ser determinados de la m anera usual, usando la fórmula de la fle­
xión.
• Las vigas curvas se deforman en forma tal que la deformación unitaria normal no
varía linealmente desde el eje neutro. Si el material es homogéneo, elástico-lineal
y la sección transversal tiene un eje de simetría, entonces se puede usar la fórmula
de la viga curva para determ inar el esfuerzo de flexión, cr = M y/[Ae(R - _y)].
• Las concentraciones de esfuerzo ocurren en miembros que tienen cambios re­
pentinos en sus secciones transversales, como los generados por agujeros y mues­
cas. El esfuerzo flexionante máximo en esas localidades se determina usando un
factor K de concentración de esfuerzo que se encuentra en gráficas obtenidas ex­
perimentalmente, o-máx = K aprom.
• Si el m omento flexionante ocasiona que el material exceda su límite elástico, en­
tonces la deformación unitaria normal permanecerá lineal; sin embargo la distri­
bución del esfuerzo variará de acuerdo con el diagrama de deformación unitaria
axial y el balance de fuerzas y el equilibrio por momentos. De esta manera pue­
den determ inarse los momentos plásticos y últimos soportados por la viga.
• Si un m omento plástico o último es liberado, éste causará que el material res­
ponda elásticamente, induciendo así esfuerzos residuales en la viga.
d e l c a p it u lo
•
369
370 • CAPÍTULO 6 Flexión
PROBLEMAS
DE
REPASO
6-182. La viga compuesta consta de un núcleo de madera
y de dos placas de acero. Si el esfuerzo permisible de fle­
xión para la madera es (crpcrm)mad = 20 MPa y para el acero
es (crperm)ac = 130 MPa, determine el momento máximo
que puede aplicarse a la viga. £ mad = 11 GPa y E ac =
200 GPa.
6-185. Determine la distribución del esfuerzo de flexión
en la sección a-a de la viga. Esboce la distribución, en una
vista tridimensional, actuando sobre la sección transversal.
6-183. Resuelva el problema 6-182 si el momento está
aplicado respecto al eje y y no respecto al eje z como se
muestra.
SON
80 N
1
i
a
-— 400 mm — - — 300 mm — — 300 m m -* -— 400 mm— -
SON
80 N
15 mm
100 mm
n
15 mm
JL t i
75 mm
Prob. 6-185
Probs. 6-182/183
*6-184. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y mo­
mento flexionante para la viga y determine la fuerza cor­
tante y el momento en la viga en función de a1, para 0 £
x < 6 pies.
6-186. Determine el módulo plástico y el factor de forma
para la viga de patín ancho.
! klb
2 klb/pie
50 klb-pie
6 pies
4 pies -
Prob. 6-184
Prob. 6-186
P r o b le m a s
6-187. La viga está hecha con un material elastoplástico
cuyo oy = 250 MPa. Determine el esfuerzo residual en la
parte superior e inferior de la viga después de que se apli­
ca el momento plástico M;) y luego se retira.
de repa so
•
371
6-190. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momen­
to flexionante para la flecha sometida a las cargas vertica­
les de la banda, engrane y volante. Los cojinetes en A y en
B ejercen sólo reacciones verticales sobre la flecha.
300 N
Prob. 6-190
Prob. 6-187
*6-188. Para la viga curva en la figura 6-44«. demuestre
que cuando el radio de curvatura tiende a infinito, la fórmu­
la de la viga curva, ecuación 6-24, se reduce a la fórmula
de la flexión, ecuación 6-12.
6-191. Determine el esfuerzo máximo de flexión en la
sección a-a en la manija de la pinza cortadora de cable. Se
aplica una fuerza de 45 Ib a las manijas. La sección trans­
versal de éstas se muestra en la figura.
6-189. La viga curva está sometida a un momento flexio­
nante M = 85 N • m como se muestra. Determine el esfuer­
zo en los puntos A y B y muestre el esfuerzo sobre un
elemento de volumen localizado en esos puntos.
85 N-m
100 nini
* 1
□
20 mm
15 mm -
150 mm
3
Prob. 6-189
! 20 mm
Prob. 6-191
Los durmientes de ferrocarril actúan com o vigas que soportan cargas cortantes
transversales muy grandes. En consecuencia, los durmientes de madera tienden
a rajarse en sus extremos, donde las cargas cortantes son máximas.
capitulo
Esfuerzo cortante transversal
En este capítulo se expone un método para encontrar el esfuerzo cortante en una
viga con sección transversal prismática hecha de material homogéneo y de com­
portam iento elástico lineal. El método de análisis que explicaremos estará limi­
tado a casos especiales de la geometría de la sección transversal. No obstante, el
procedimiento tiene muchas aplicaciones en el diseño y análisis de ingeniería. Se
verá el concepto de flujo de cortante, junto con el de esfuerzo cortante en vigas y
miembros de pared delgada. El capítulo term ina con el análisis del centro de cor­
tante.
7.1
Esfuerzo cortante en miembros rectos
Esfuerzo cortante
transversal
Se mostró en la sección 6.1 que las vigas generalm ente soportan cargas de
cortante y momento. La fuerza cortante V es el resultado de una distribu­
ción de esfuerzo cortante transversal que actúa sobre la sección transver­
sal de la viga, vea la figura 7-1. Debido a la propiedad complementaria del
cortante, note que los esfuerzos cortantes longitudinales asociados actúan
también a lo largo de planos longitudinales de la viga. Por ejemplo, un ele­
mento típico retirado del punto interior sobre la sección transversal está
sometido a esfuerzos cortante transversal y longitudinal como se muestra
en la figura 7-1.
374
• CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
Los conectores de cortante son “soldados
por puntos” a este p;so metálico corrugado
de manera que cuando es colado el piso de
concreto, los conectores impedirán que la lo­
sa de concreto se deslice sobre la superficie
metálica. Así, los dos materiales actuarán co­
mo una losa compuesta.
Se puede ilustrar físicamente la razón por la cual se desarrolla el esfuer­
zo cortante en los planos longitudinales de una viga que soporta una car­
ga cortante interna, considerando que la viga se compone de tres tablo­
nes, figura l-2a. Si las superficies superior e inferior de cada uno de los
tablones son lisas, y éstos no están unidos entre sí, entonces la aplicación
de la carga P ocasionará que se deslicen uno con respecto al otro, y así la
viga se deflexionará como se muestra. Por otra parte, si las tablas están
unidas entre sí, entonces los esfuerzos cortantes longitudinales entre ellos
evitarán su deslizamiento relativo y, por consiguiente, la viga actuará co­
mo una sola unidad, vea la figura 7-25.
Como resultado del esfuerzo cortante interno, se desarrollarán deforma­
ciones cortantes que tenderán a distorsionar la sección transversal de mane­
ra un tanto compleja. Por ejemplo, considere una barra hecha de un m a­
terial altamente deformable y marcada con líneas reticulares horizontales
y verticales como se muestra en la figura 7-3a. Cuando se aplica la fuerza
cortante V, ésta tiende a deform ar las líneas de la manera mostrada en la
figura 7-3b. En general, la distribución de la deformación por cortante no
uniforme sobre la sección transversal ocasionará que ésta se alabee, es de­
cir, que no permanezca plana.
O"
(a) Antes de la deformación
|V
(b) Después de la deformación
Fig.7-3
S ección 7 .2
La fórmula del esfuerzo cortante • 375
Recuerde que al obtener la fórmula de la flexión, se supuso que las sec­
ciones transversales deben permanecer planas y perpendiculares al eje
longitudinal de la viga después de la deformación. Si bien estas suposicio­
nes se violan cuando la viga se somete tanto a flexión como a cortante, en
general se puede suponer que el alabeo de la sección transversal antes
descrito es suficientemente pequeño, de tal suerte que puede ser ignora­
do. Esta suposición es particularm ente cierta para el caso más común de
una viga delgada', es decir, una que tiene poco peralte comparado con su
longitud.
En los capítulos anteriores se desarrollaron las fórmulas de carga axial,
torsión y flexión determinando primero la distribución de la deformación uni­
taria, con base en suposiciones respecto a la deformación de la sección
transversal. Sin embargo, la distribución de la deformación cortante so­
bre todo el peralte de una viga no puede ser expresada m atemáticamen­
te con facilidad; por ejemplo, no es uniforme o lineal en el caso de seccio­
nes transversales rectangulares como ya se demostró. Por consiguiente, el
análisis del esfuerzo cortante se desarrollará de manera diferente a la que
se usó para estudiar las cargas antes mencionadas. Específicamente, de­
sarrollaremos una fórmula para el esfuerzo cortante indirectamente', esto
es. usando la fórmula de la flexión y la relación entre m omento y cortan­
te (V = dM /dx).
7 .2
La fórm ula del esfuerzo cortante
El desarrollo de una relación entre la distribución del esfuerzo cortante
que actúa sobre la sección transversal de una viga y la fuerza cortante re­
sultante en la sección, se basa en el estudio del esfuerzo cortante longitu­
dinal y los resultados de la ecuación 6-2, V = dM /dx. Para mostrar cómo
se establece esta relación, consideraremos el equilibrio de fuerzas hori­
zontales en una porción del elem ento tomado de la viga en la figura 7-4«
y mostrado en la figura 7-46. Un diagrama de cuerpo libre del elemento
que muestra sólo la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre él
se muestra en la figura 7-4c. Esta distribución es causada por los momen­
tos flexionantes M y M + dM. Hemos excluido los efectos de V, V + dV
y iv(x) sobre el diagrama de cuerpo libre ya que esas cargas son vertica­
les y no aparecen en la sumatoria de fuerzas horizontales. El elemento en
la figura 7-4c satisface la ecuación 1FX = 0 puesto que la distribución del
esfuerzo a cada lado del elemento forma sólo un par y por tanto se tiene
una fuerza resultante nula.
Se satisface TFX= 0
376 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
Consideremos ahora el segmento superior sombreado del elemento que
ha sido seleccionado a una distancia y ' desde el eje neutro, figura 7-46.
Este segmento tiene un ancho t en la sección y los lados transversales tie­
nen cada uno un área A '. Puesto que los momentos resultantes a cada lado
del elemento difieren en dM, puede verse en la figura 7-4d que ZFX = 0 no
será satisfecha a menos que actúe un esfuerzo cortante longitudinal r so­
bre la cara del fondo del segmento. En el siguiente análisis supondremos
que este esfuerzo cortante es constante a través del ancho t de la cara del fon­
do. Este esfuerzo actúa sobre el área t dx. Aplicando la ecuación del equi­
librio de fuerzas horizontales y usando la fórmula de la flexión, ecuación
6-13. tenemos:
XFr =
0
:
a 'd A —
A'
M + dM
y dA -
JJf)
Despejando
t.
a d A — r (t dx) = 0
A'
y dA -
t
(í
d x) = 0
y dA = r ( í dx)
(7-1)
O
obtenemos:
-
1
( dM
~ I t \ dx
y dA
A'
- -.
Esta ecuación puede simplificarse observando que V = dM /dx (ecua­
ción 6-2). La integral representa también el prim er momento del área A '
respecto al eje neutro. Denotaremos este momento con el símbolo Q. Como
la posición del centroide del área A ' se determ ina con y ' = JA-y dA ¡A'
podemos también escribir:
Q=
(7-2)
y d A = y 'A '
A'
A'
M
Vista tridimensional
(d)
Fig. 7-4 (cont.)
M+dM
Vista de perfil
S ección
que
■4b.
tieado
) no
r so­
mos
fonquición
7.2 La fórmula del esfuerzo cortante • 377
El resultado final es, por tanto,
T =
VQ
h
(7-3)
Aquí,
r = esfuerzo cortante en el miembro en un punto situado a una distan­
cia y ' del eje neutro, figura 7-4í>. Se supone que este esfuerzo es cons­
tante y por tanto promediado a través del ancho t del miembro, fi­
gura l-4d
V = fuerza cortante interna resultante, obtenida con el método de las sec­
ciones y las ecuaciones de equilibrio
I = momento de inercia de toda la sección transversal respecto al eje
neutro
7-1)
t = ancho de la sección transversal del miembro en el punto en que se
va a determ inar r
O = \A-ydA ' = y 'A '. donde A ' es la porción superior (oinferior) del área
transversal del miembro considerada desde la sección en que se mi­
de í, y y' es la distancia del centroide de A ' al eje neutro
ecuaea A '
Tomo
4 ¡A'
(7-2)
/ + ilM
1
A la ecuación anterior se le llama fórmula del cortante. Aunque en su
derivación consideramos sólo los esfuerzos cortantes que actúan sobre el
plano longitudinal de la viga, la fórmula se aplica igualmente para encon­
trar el esfuerzo cortante transversal sobre la sección transversal de la vi­
ga. Esto se debe a que los esfuerzos cortantes transversales y longitudina­
les son complementarios y numéricamente iguales.
Dado que la ecuación 7-3 se obtuvo a partir de la fórmula de la flexión,
es necesario que el material se comporte de manera elástico lineal y ten­
ga un módulo de elasticidad igual en tensión que en compresión. El es­
fuerzo cortante en miembros compuestos, es decir, aquellos con secciones
transversales de diferentes materiales, puede también obtenerse usando
la fórmula del cortante. Para hacerlo así, es necesario calcular Q e / en la
sección transformada del miembro como lo vimos en la sección 6 .6 . Sin
embargo, el ancho t en la fórmula sigue siendo el ancho real t de la sec­
ción transversal en el punto en que se va a calcular t .
378 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7.3
Esfuerzos cortantes en vigas
Con objeto de desarrollar alguna comprensión en cuanto al método de
aplicar la fórmula del cortante, y también ver algunas de sus limitaciones,
estudiaremos ahora las distribuciones del esfuerzo cortante en unos cuantos
tipos comunes de secciones transversales de vigas. Luego presentaremos apli­
caciones numéricas de la fórmula del cortante en los ejemplos siguientes.
Falla típica por cortante en esta viga de ma­
dera; la falla se presenta en la sección sobre
el soporte y a la mitad de la altura de la sec­
ción transversal.
Sección transversal rectangular. Consideremos que la viga tiene una
sección transversal rectangular de ancho b y altura h como se muestra en
la figura 7-5«. La distribución del esfuerzo cortante a través de la sección
transversal puede determinarse calculando el esfuerzo corlante en una al­
tura arbitraria y medida desde el eje neutro, figura 7-5b,y luego graficando esta función. El área con sombra oscura A ' se usará aquí para calcular
r * Entonces,
q
=y a' =
1
(h
+ 2 \2
Aplicando la fórmula del cortante, tenemos
VQ
It
V{¡)[(h2/ 4) - y 2]b
( n b^ ) b
o bien
6V f Ir
(7-4)
Este resultado indica que la distribución del esfuerzo cortante sobre la
sección transversal es parabólica. Como se muestra en la figura 7-5c, la in­
tensidad varía entre cero en la parte superior y el fondo, y = ± h ¡ 2 , y un
valor máximo al nivel del eje neutro, y = 0. Específicamente, puesto que
el área de la sección transversal es A = bh. tenemos entonces en y = 0, de
la sección 7-4,
(7-5)
*También puede usarse el área bajo y [A ' = b ( h f2 + y)], pero esto implica algo más de
manipulación algebraica.
S ección 7 .3
Esfuerzos cortantes en vigas • 379
Distribución del esfuerzo cortante
(c)
Este mismo resultado para rmáx puede obtenerse directamente con la
fórmula del cortante r = VQ /It, observando que rmáx se presenta donde
O es máxima, ya que V, I y t son constantes. Por inspección, Q será un má­
ximo cuando se considere toda el área arriba (o abajo) del eje neutro; es­
to es, A ' = bh/2 y y '= h /4. Así,
VQ
It
”má\
V {h/A ){bh/2)
V
A
Por comparación, rmáx es 50% mayor que el esfuerzo cortante promedio
determinado con la ecuación 1-7; es decir rmáx = V /A .
Es importante recordar que para toda rq u e actúa sobre la sección trans­
versal en la figura 7-5c, se tiene una correspondiente r actuando en la di­
rección longitudinal a lo largo de la viga. Por ejemplo, si la viga es seccio­
nada por un plano longitudinal a través de su eje neutro, entonces, como
se indicó anteriormente, el esfuerzo cortante máximo actúa sobre este pla­
no, figura l-5d. Este es el esfuerzo que ocasiona que falle una viga de ma­
dera según se muestra en la figura 7-6. Aquí la rajadura horizontal de la
m adera comienza al nivel del eje neutro en los extremos de la viga, ya que
las reacciones verticales la someten a grandes esfuerzos cortantes y la ma­
dera tiene una resistencia baja al cortante a lo largo de sus fibras, que es­
tán orientadas en dirección longitudinal.
Es instructivo m ostrar que cuando la distribución del esfuerzo cortan­
te, ecuación 7-4, se integra sobre toda la sección transversal, se obtiene la
fuerza cortante resultante V. Para hacerlo, se escoge una franja diferen­
cial de área dA = b dy, figura 7-5c, y como r tiene un valor constante so­
bre esta franja, tenemos:
r dA =
A
11/2 6V
—hjt bix'
6V 'h 2
h3
de
(L
4
F ig.7-5
y jb dy
h/2
-y
-h/2
6V h2 í h
h
1 ( h3
h3 T V 2 + 2 ) ~ 3
/23
= V
Fig. 7-6
380 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
Viga de patín ancho. U na viga de patín ancho se compone de dos “pa­
tines” (anchos) y un “alm a” como se m uestra en la figura 1-la. Con un
análisis similar al anterior se puede determinar la distribución del esfuerzo
cortante que actúa sobre su sección transversal. Los resultados se ilustran
gráficamente en la figura 7-7b y 7-7c. Como en el caso de la sección trans­
versal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente a lo largo
del peralte de la viga, ya que la sección puede ser tratada como la sección
rectangular, que primero tiene el ancho del patín superior, b, luego el es­
pesor del alma, ía|ma, y otra vez el ancho del patín inferior, b. En particu­
lar. adviértase que el esfuerzo cortante variará sólo ligeramente a través
del alma, y también, que el esfuerzo cortante experimenta un salto en la
unión de patín y alma, puesto que el espesor de la sección transversal cam­
bia en este punto, o en otras palabras, que t cambia en la fórmula del cor­
tante. En comparación, el alma soportará una cantidad significativamente
mayor de la fuerza cortante que los patines. Esto se ilustrará numérica­
m ente en el ejemplo 7-2.
Alma
Distribución del
esfuerzo cortante
Jmix
Parábola
Intensidad de la distribución
del esfuerzo cortante (vista de perfil)
(c)
Kig. 7-7
Limitantes en el uso de la fórmula del esfuerzo cortante. Una
de las principales suposiciones que se usaron en el desarrollo de la fórmu­
la del cortante es que el esfuerzo cortante está uniformemente distribui­
do sobre el ancho t de la sección donde se calcula. Es decir, el esfuerzo
cortante promedio se calcula a través del ancho. Se puede som eter a prue­
ba la exactitud de esta suposición comparándola con un análisis m atem á­
tico más exacto basado en la teoría de la elasticidad. A este respecto, si la
sección transversal de la viga es rectangular, la distribución real del es­
fuerzo cortante a través del eje neutro varía como se muestra en la figura
7-8. El valor máximo r'mÁX se presenta en los bordes de la sección trans­
v e rs a l^ su m agnitud depende de la relación b/h (ancho/peralte). Para
secciones con b/h = 0.5,
es sólo cerca de 3% mayor que el esfuerzo
cortante calculado con la fórmula del cortante, figura 7-8a. Sin embargo,
para secciones planas, digamos con b/h = 2, r'máx es casi 40% mayor que
Tm á x , figura 7-8b. El error se vuelve aún mayor a medida que la sección se
vuelve más plana, o a medida que se incrementa la relación b/h. Los erro­
res de esta magnitud son ciertamente intolerables si se utiliza la fórmula
del cortante para determinar el esfuerzo cortante en el patín de una viga de
patín ancho, según se indicó antes.
Asimismo, habrá que señalar que la fórmula del cortante no dará resul­
tados precisos cuando se utilice para determ inar el esfuerzo corlante en
la unión patín-alma de una viga de patín ancho, puesto que éste es un punto
de cambio repentino de la sección transversal y, por consiguiente, en este
lugar se presenta una concentración de esfuerzos. Además, las regiones in­
ternas de los patines son superficies libres, figura 7-7b, y en consecuencia,
el esfuerzo cortante sobre estas superficies debe ser cero. No obstante, si
se aplica la fórmula del cortante para determ inar los esfuerzos cortantes
en estas superficies, se obtiene un valor de r' que no es igual a cero, figura
7-7c. Afortunadamente, estas limitaciones para la aplicación de la fórmula
del cortante a los patines de una viga no son importantes en la práctica de
la ingeniería. Con mucha frecuencia los ingenieros sólo tienen que calcular
el esfuerzo cortante máximo promedio que se desarrolla en el eje neutro,
donde la razón b/h (ancho/peralte) es muy pequeña y, por consiguiente, el
resultado calculado se aproxima mucho al esfuerzo cortante máximo ver­
dadero tal como se explicó antes.
Sección 7 .3
>aun
zo
an
isgo
ón
es:u;és
la
in­
ór­
ate
caJna
nu>uirzo
uernási la
es­
cura
ins’ara
jrzo
rgo,
que
n se
rronula
;a de
;sule en
unto
este
:s inncia,
ite, si
intes
igura
muía
ca de
cular
:utro,
ite, el
3 ver-
Se puede señalar otra limitación im portante en el uso de la fórmula del
cortante con respecto a la figura 7-9a, la cual muestra una viga de sección
transversal irregular o no rectangular. Si se aplica la fórmula del cortan­
te para determ inar el esfuerzo cortante (promedio) r a lo largo de la lí­
nea A B , tendrá la dirección m ostrada en la figura 7-9b. Considérese aho­
ra un elemento de m aterial tom ado del punto limítrofe B, de tal modo
que una de sus caras se localice en la superficie externa de la viga, figura
7-9c. Aquí el esfuerzo cortante calculado r e n la cara frontal del elemen­
to se descompone en las componentes, r' y r". Por inspección, la compo­
nente r' debe ser igual a cero, puesto que su componente longitudinal co­
rrespondiente r'.q u e actúa sobre la superficie limítrofe libre de esfuerzo
debe ser cero. Por consiguiente, para satisfacer esta condición, el esfuer­
zo cortante que actúa sobre el elem ento en la superficie limítrofe debe
ser tangente a ésta. La distribución del esfuerzo cortante a lo largo de la
línea A B tendría entonces la dirección que se m uestra en la figura 7-9d.
Debido a la máxima inclinación de los esfuerzos cortantes en las superfi­
cies limítrofes, el esfuerzo cortante máximo ocurrirá en los puntos A y B.
Valores específicos del esfuerzo cortante se deben obtener mediante los
principios de la teoría de la elasticidad. Sin embargo, advierta que se pue­
de aplicar la fórmula del cortante para obtener el esfuerzo cortante que
actúa a través de cada una de las líneas marcadas en la figura 7-9a. Estas
líneas intersecan las tangentes a las fronteras de la sección transversal se­
gún ángulos rectos y, como se m uestra en la figura 7-9e, el esfuerzo cor­
tante transversal es vertical y constante a lo largo de cada línea.
Para resumir los puntos anteriores, la fórmula del cortante no da resul­
tados exactos cuando se aplica a miembros de sección transversal corta o
plana, o en puntos donde la sección transversal cambia repentinamente.
Tampoco se deberá aplicar a través de una sección que corte el contorno
del miembro con un ángulo diferente de 90°. Más bien, en estos casos se
deberá determ inar el esfuerzo cortante por medio de métodos más avan­
zados basados en la teoría de la elasticidad.
Esfuerzos cortantes en vigas • 381
(a)
Fig.7-8
Superficie exterior
libre de esfuerzos
Distribución del esfuerzo cortante
según la fórmula del cortante
Fig. 7-9
382 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PUNTOS IMPORTANTES
• Las fuerzas cortantes en vigas dan lugar a distribuciones no lineales de la deformación unitaria cortante
sobre la sección transversal, ocasionando que ésta se alabee.
• Debido a la propiedad complementaria del esfuerzo cortante, el esfuerzo cortante desarrollado en una
viga actúa tanto en la sección transversal como en planos longitudinales.
• La fórmula del cortante fue derivada considerando el equilibrio de las fuerzas horizontales del esfuerzo
cortante longitudinal y de las distribuciones del esfuerzo de flexión que actúan sobre una porción de un
segmento diferencial de la viga.
• La fórmula del cortante debe usarse en miembros prismáticos rectos hechos de material homogéneo con
comportamiento elástico lineal. Además, la fuerza cortante interna resultante debe estar dirigida a lo lar­
go de un eje de simetría de la sección transversal.
• Para una viga con sección transversal rectangular, el esfuerzo cortante varía parabólicamente con el pe­
ralte. El esfuerzo cortante máximo se presenta al nivel del eje neutro.
• La fórmula del cortante no debe usarse para determ inar el esfuerzo cortante en secciones transversales
que son cortas o planas, o en puntos de cambios abruptos de la sección transversal, o en un punto de una
frontera inclinada.
---
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
Para aplicar la fórmula del cortante, se sugiere el siguiente procedimiento.
Fuerza cortante interna.
• Seccione el miembro perpendicularm ente a su eje en el punto donde va a ser determ inado el esfuerzo
cortante, y obtenga la fuerza cortante interna V en la sección.
Propiedades de la sección.
• Determ ine la localización del eje neutro, y determ ine el m omento de inercia I de toda el área de la sec­
ción transversal respecto al eje neutro.
• Pase una sección horizontal imaginaria por el punto donde va a ser determinado el esfuerzo cortante. Mi­
da el ancho t del área en esta sección.
• La porción del área arriba o debajo de esta sección es A '. Determine O por integración, Q =
y dA ',
o usando Q = y 'A '. Aquí v' es la distancia al centroide de A ', medida desde el eje neutro. Puede ser de
ayuda darse cuenta que A ' es la porción del área de la sección transversal del miembro que está “unida
al miembro” por medio de los esfuerzos cortantes longitudinales, figura 7-4d.
Esfuerzo cortante.
• Usando un conjunto consistente de unidades, sustituya los datos en la fórmula del cortante y calcule el
esfuerzo cortante t .
• Se sugiere que la dirección apropiada del esfuerzo cortante transversal t sea establecida sobre un ele­
mento de volumen de material localizado en el punto donde está siendo calculado. Esto puede hacerse
teniendo en cuenta que r actúa sobre la sección transversal en la misma dirección que V. Con esto se
pueden establecer entonces los esfuerzos cortantes correspondientes que actúan en los otros tres planos
del elemento.
S í CCión 7 .3
Esfuerzos cortantes en vigas •
E J E M P L O
La viga m ostrada en la figura 7-10« es de madera y está sometida a una
fuerza cortante vertical interna resultante de V = 3 klb. (a) Determ i­
ne el esfuerzo cortante en la viga en el punto P, y (b) calcule el esfuer­
zo cortante máximo en la viga.
Solución
Parte (a).
Propiedades de la sección. El m omento de inercia del área de la sec­
ción transversal calculada respecto al eje neutro es
7 = i 2b^ = h .
pulg^ 5 pulg)3 = 41-7 pulg4
Se traza una línea horizontal por el punto P y el área parcial A ' se mues­
tra sombreada en la figura 7-106. Por consiguiente.
q
= y
a
1 = 0.5 pulg + - (2 pulg) (2 pulg) (4 pulg) = 12
Esfuerzo cortante. La fuerza cortante en la sección es V = 3
cando la fórmula del cortante, tenemos
tp
VQ
(3 klb)( 12 pulgJ)
, .2
= 0.216 klb/pulg
= —— —------------------------------------------------j--It
(41.7 pulg4) (4 pulg)
Como TP contribuye al valor de V, actúa hacia abajo en P sobre la sec­
ción transversal. En consecuencia, un elem ento de volumen del mate­
rial en este punto tendrá esfuerzos cortantes actuando sobre él como
se muestra en la figura 7-10c.
Parte (b).
Propiedades de la sección. El esfuerzo cortante máximo ocurre en
el eje neutro, ya que t es constante en toda la sección transversal y Q
es máximo para tal caso. Para el área A ’ som breada en la figura 7-10í/,
tenemos:
q
= y
a
1=
'2.5 pulg
(4 pulg) (2.5 pulg) = 12.5 pulg 3
(d)
Esfuerzo cortante.
nemos
Aplicando la fórmula del esfuerzo cortante obte­
Fig. 7-10
VQ
(3 klb)(12.5 pulg
Tmáx = — = /V. „ „ . o L , — ,-x = 0225 klb/pulg 2
It
(41.7 pulg4)(4 pulg)
Resp.
Note que esto es equivalente a
Tmáx =
máx
V
A
3 klb
—— —
4 pulg 5 pulg
L 5 - = 1 .5 - — —
= 0 .2 2 5
,
klb/pulg 2
F 5
Resp.
y
383
384 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
ia
Una viga de acero de patín ancho tiene las dimensiones mostradas en
la figura 7-11«. Si está sometida a una fuerza cortante V = 80 kN,(a)
grafique la distribución del esfuerzo cortante que actúa sobre la sec­
ción transversal de la viga y (b) determ ine la fuerza cortante que resis­
te el alma.
b\
Tr =
, = 22.6 MPa
Ú iP 2
| Tg = 25.2 MPa
22.6 MPa
1.13 MPa
(b)
Solución
0.02 m
Parte (a). La distribución del esfuerzo cortante es parabólica y varía
tal como se m uestra en la figura 7-116. Debido a la simetría, sólo los
esfuerzos cortantes en los puntos B ',B y C tienen que calcularse. Para
m ostrar cómo obtener esos valores, debemos prim ero determ inar el
momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro. En
unidades métricas, tenemos:
^ (0 .0 1 5 m )(0.200m ) 3
I =
4'
A
B
T .
B
t
0.100 m
1
+
^ ( 0 .3 0 0 m )(0.02 m ) 3 + (0.300 m)(0.02 m)(0.110 m)
2
= 155.6(10 ) m4
(C)
Fig. 7-11
Para el punto B ',t ‘B = 0.300 m, y A ' es el área sombreada mostrada
en la figura 7-1 le. Entonces,
q b. = y 'A '=
[0.110 m ](0.300m )(0.02m ) = 0.660(10-3) m 3
por lo que
TB' =
V Q fí.
80 kN(0.660(10 ) m
155.6(10“6) m4(0.300 m)
= 1.13 MPa
Para el punto B, tB = 0.015 m y QB = (2¿r, figura 7-1 le. Por consi­
guiente,
tb =
VQ b
80 kN(0.660(10-3) m3)
ltB
155.6(10-6) m4(0.015 m)
= 22.6 MPa
Sección
7.3 Esfuerzos cortantes en vigas • 385
Advierta que por lo visto en la sección de: “Limitantes en el uso de la
fórmula del esfuerzo cortante”, los valores calculados para r#< y t ,¡ se­
rán muy engañosos. ¿Por qué?
Para el punto C, tc = 0.015 m y A ' es el área som breada en la figura
7-11¿. Considerando esta área compuesta de dos rectángulos, tenemos
Qc = 'Z y 'A ' = [0.110 m](0.300 m)(0.02, m)
+ [0.05 m](0.015 m)(0.100 m)
= 0.735(10-3) m 3
Entonces,
VQC
TC
T máx
80 kN[0.735(10 ) m ]
7 í 7 “ 155.6(10~6) m4(0.015 m)
(d)
= 25.2 MPa
Parte (b). La fuerza cortante en el alma se determinará primero formu­
lando el esfuerzo cortante en la posición y arbitraria dentro del alma,
figura 7 -lle. Usando unidades de metros, tenemos
I = 155.6(10-6) m4
t = 0.015 m
A ' = (0.300 m )(0.02 m) + (0.015 m)(0.1 m -
y)
Q = I .y 'A ' = (0.11 m) (0.300 m) (0.02 m)
+ [y + |(0.1 m - _y)](0.015 m)(0.1 m — y)
= (0.735 - 7.50 y 2 )(10-3) m 3
de manera que
(e)
t
=
VQ _ 80 kN(0.735 - 7.50 y 2 )(10~3) m
It
(155.6(10~6) m4)(0.015m )
= (25.192 - 257.07 y2) MPa
Fig. 7-11
Este esfuerzo actúa sobre la franja de área dA = 0.015 dy m ostra­
da en la figura 7 -lle , y por tanto la fuerza cortante resistida por el
alma es
rO .l m
Vw =
(25.192 - 257.07 / ) ( 1 0 6)(0.015 m) dy
rd A =
-0.1 m
V„ = 73.0 kN
Resp.
El alma soporta entonces 91% de la fuerza cortante total (80 kN),y los
patines soportan el 9% restante. Trate de resolver este problema en­
contrando la fuerza en uno de los patines (3.496 kN) usando el mismo
método. Entonces Vw = V — 2 Vf = 80 kN — 2(3.496 kN) = 73 kN.
386
CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
La viga mostrada en la figura 7-12« está hecha con dos tablones. D e­
termine el esfuerzo cortante máximo en el pegamento, necesario para
m antener los tablones unidos. Los soportes en B y C ejercen sólo reac­
ciones verticales sobre la viga.
Solución
Fuerza cortante interna. Las reacciones en los soportes y el diagra­
ma de fuerza cortante se muestran en la figura 7-12¿>. Se ve que la fuer­
za cortante máxima en la viga es de 19.5 kN.
V(kN)
26 kN
6.5 kN
Propiedades de la sección. El centroide y el eje neutro se determ i­
narán con referencia al eje situado en el fondo de la sección transver­
sal, figura 7-12«. E n unidades métricas tenemos:
-V "
'ZyA
[0.075 m](0.150 m )(0.030 m) + [0.165 m](0.030 m)(0.150 m)
1.A
(0.150 m)(0.030 m) + (0.030 m )(0.150m )
"
'
m
El momento de inercia respecto al eje neutro, figura 7-12«, es entonces:
I =
^ ( 0 .0 3 0 m )(0.150m )3 + (0.150 m)(0.030 m)(0.120 m - 0.075 m ) 2
(0.150 m)(0.030 m ) 3 + (0.030 m)(0.150 m)(0.165 m - 0.120 m ) 2
= 27.0(10“6) m 4
El tablón (patín) superior se mantiene unido al tablón inferior (alma)
por medio del pegamento, que se aplica sobre el espesor t = 0.03 m. En
consecuencia, A ’ es el área del tablón superior, figura 7-12a. Tenemos:
Q = y 'A ' = [0.180 m - 0.015 m - 0.120 m](0.03 m)(0.150 m)
= 0.2025(10-3) m3
V = 19.5 kN
Plano cue contiene el pegamento
Esfuerzo cortante. Usando los datos anteriores y aplicando la fórmu­
la del cortante, obtenemos:
VQ _ 19.5 kN(0.2025(10 ) m 3)
4.88 MPa
~ m áx
It ~
27.0(10-6) m4(0.030 m)
= 4.88 MPa
Resp.
El esfuerzo cortante que actúa en la parte superior del tablón inferior
se m uestra en la figura 7-12c. Observe que la resistencia del pegamen­
to a este esfuerzo cortante horizontal o lateral es la que evita que los
tablones se deslicen en el soporte C.
P r o b lem a s
•
387
PROBLEMAS
7-1. Determine el esfuerzo cortante en los puntos A y B
del alma, cuando la viga está sometida a una fuerza cor­
tante V = 15 kN. Indique las componentes del esfuerzo
cortante sobre un elemento de volumen localizado en esos
puntos. Considere w = 125 mm. Demuestre que el eje neu­
tro está localizado en y = 0.1747 m desde la base y que
INA = 0.2182(10-3) m4.
7-6. Determine el esfuerzo cortante máximo en la viga T
cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V =
10 klb. Calcule también el cambio en el valor del esfuerzo
cortante en la unión A B del patín con el alma. Esboce
la variación de la intensidad del esfuerzo cortante so­
bre toda la sección transversal. Demuestre que INA =
532.04 pulg4.
7-2. Si la viga de patín ancho está sometida a una fuerza
cortante V = 30 kN, determine el esfuerzo cortante máxi­
mo en la viga. Considere w = 200 mm.
7-7. Determine la fuerza cortante vertical resistida por
el patín de la viga T cuando está sometida a una fuerza
cortante vertical V = 10 klb. D em uestre que INA =
532.04 pulg4.
7-3. Si la viga de patín ancho está sometida a una fuerza
cortante V = 30 kN, determine la fuerza cortante resisti­
da por el alma de la viga. Considere w = 200 mm.
Probs. 7-6/7
Probs. 7-1/2/3
*7-4. La viga está formada por tres placas de acero y es
sometida a una fuerza cortante V = 150 kN. Determine el
esfuerzo corlante en los puntos A y C donde se unen las
placas. Demuestre que y = 0.080196 m desde la base y que
I NA = 4.8646(10“6) m4.
7-5. La viga está formada por tres placas de acero y está
sometida a una fuerza cortante V = 150 kN. Determine la
fuerza cortante en el punto B donde las placas se unen.
Demuestre que y = 0.080196 m desde la base y que IyA =
4.8646(10“6) m4.
*7-8. Determine el esfuerzo cortante máximo en el pun­
tal sometido a una fuerza cortante V = 15 kN. Demuestre
que INA = 6.691(10-6) m4.
7-9. Determine la fuerza cortante máxima V que el pun­
tal puede soportar si el esfuerzo cortante permisible para
el material es rperm = 50 MPa. Demuestre que 1NA =
6.691 (10~6) m4.
7-10. Determine la intensidad del esfuerzo cortante dis­
tribuido sobre la sección transversal del puntal si éste es­
tá sometido a una fuerza cortante V = 12 kN. Demuestre
que INA = 6.691(10 “6) m4.
75 mm
>
-c
15 mm
Probs. 7-4/5
Probs. 7-8/9/10
388 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7-11. Esboce la intensidad de la distribución del esfuer­
zo cortante que actúa sobre la sección transversal de la vi­
ga y determine la fuerza cortante resultante que actúa so­
bre el segmento A B . La fuerza cortante que actúa en la
sección es V = 35 klb. Demuestre que JNA = 872.49 pulg4.
7-13. La barra de acero tiene un radio de 1.25 pulg. Si es­
tá sometida a una fuerza cortante V = 5 klb, determine el
esfuerzo cortante máximo.
35 klb
7-14. Determine la fuerza cortante V máxima que el
miembro puede soportar si el esfuerzo cortante permisi­
ble es rmáx = 8 klb/pulg2.
7-15. Si la fuerza cortante aplicada es V = 18 klb, deter­
mine el esfuerzo cortante máximo en el miembro.
Prob. 7-11
*7-12. El puntal está sometido a una fuerza cortante ver­
tical V = 130 kN. Trace la intensidad de la distribución del
esfuerzo cortante que actúa sobre la sección transversal y
calcule la fuerza cortante resultante desarrollada en el seg­
mento vertical AB.
Probs. 7-14/15
*7-16. La viga tiene una sección transversal cuadrada y
está hecha de madera con un esfuerzo cortante permisible
Tpern, = 1.4 klb/pulg2. Determine la dimensión a más pe­
queña de sus lados cuando está sometida a una fuerza cor­
tante V = 1.5 klb.
Prob. 7-12
Prob. 7-16
P r o b le m a s
7-17. La viga de madera tiene un esfuerzo cortante per­
misible rpcrm = 7 MPa. Determine la fuerza cortante má­
xima V que puede aplicarse a la sección transversal.
50 mm
•
389
*7-20. Desarrolle una expresión para la componente ver­
tical promedio del esfuerzo cortante que actúa sobre el
plano horizontal de la flecha, situado a una distancia y del
eje neutro.
50 mm
Prob. 7-20
7-18. La viga está hecha de un polímero y está sometida
a una fuerza cortante V = 7 klb. Determine el esfuerzo
cortante máximo en la viga y obtenga la distribución del
esfuerzo cortante sobre la sección transversal. Indique los
valores del esfuerzo cortante a cada 0.5 pulg del peralte
de la viga.
7-21. Un miembro tiene una sección transversal en for­
ma de un triángulo equilátero. Determine el esfuerzo cor­
tante máximo promedio en el miembro cuando está some­
tido a una fuerza corlante V. ¿Puede usarse la fórmula del
cortante para obtener este valor? Explíquelo.
- 4 pulg -
' pulg;
1 pulg-
6 pulg
1 pulg
Prob. 7-18
7-19. Grafique la distribución del esfuerzo cortante sobre
la sección transversal de la barra de radio c. ¿Cuántas veces
mayor es el esfuerzo cortante máximo que el esfuerzo cor­
tante promedio que actúa sobre la sección transversal?
Prob. 7-21
7-22. La viga está sometida a una carga uniforme w. De­
termine la posición a de los soportes de madera para que
el esfuerzo cortante en la viga sea tan pequeño como sea
posible. ¿Qué valor tiene este esfuerzo?
w
; 11
..
AX*
-i—y _ j_
P — a ----
*---a —"
—L —
Prob. 7-19
Prob. 7-22
m i'
y
390 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
La viga de madera va a ser rebajada en sus exiremos,
tal como se muestra. Cuando la viga soporta la carga mostra­
da, determine la profundidad d más pequeña de la viga en
el recorte si el esfuerzo cortante permisible Tperm = 4501b/pulg2. La viga tiene un ancho de 8 pulg.
7-23.
Determine la longitud de la viga en voladizo de
manera que el esfuerzo de flexión máximo en la viga sea
equivalente al esfuerzo cortante máximo. Comente sobre
la validez de sus resultados.
7-27.
5000 Ib
Prob. 7-27
La viga está hecha con tres tablones pegados en­
tre sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, de­
termine el esfuerzo cortante desarrollado en las juntas del
pegamento en la sección a-a. Los soportes e n C y D ejer­
cen sólo reacciones verticales sobre la viga.
*7-24.
La viga está hecha con tres tablones pegados entre
sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, determi­
ne el esfuerzo cortante máximo desarrollado en las juntas
unidas por el pegamento. Los soportes en C y D ejercen
sólo reacciones verticales sobre la viga.
7-25.
La viga está hecha con tres tablones pegados entre
sí en A y B. Si está sometida a la carga mostrada, determi­
ne la fuerza cortante vertical máxima resistida por el patín
superior de la viga. Los soportes en Cy D ejercen sólo reac­
ciones verticales sobre la viga.
7-26.
5 klb
5 klb
5 klb
1 ,1
*7-28. Los durmientes de ferrocarril deben diseñarse
para resistir grandes cargas cortantes. Si el durmiente está
sometido a las cargas de 34 klb y se supone una reacción uni­
formemente distribuida del suelo, determine la intensidad
w requerida por equilibrio y calcule el esfuerzo cortante
máximo en la sección a-a que se localiza justo a la izquier­
da del riel derecho.
34 klb
i
34 klb
---------------------------- — ------------------------- —
= â ïâ l8 Ç ;
.....
c
1
.
.. .. r
D
o
-— 4 pies — 1.5 pies 1.5 pies
4 pies — -
6 pulg
1.5 pulgj_
i—
r
8 pulg
i____í_
4
1
6 pulg
11*
3
— 2 pulg
"B
— 8 pulg —
1.5 pulg f
Probs. 7-24/25/26
Prob. 7-28
P ro b le m as
7-29. Determine el esfuerzo cortante en el punto B so­
bre el alma del puntal en voladizo en la sección a-a.
7-30. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa
en la sección a-a del puntal en voladizo.
7-31. La viga compuesta está construida de madera y es­
tá reforzada con placas de acero. Use el método de la sec­
ción 6.6 y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga
cuando está sometida a una fuerza cortante vertical V —
50 kN. Considere £ ac = 200 GPa y £ mad = 15 GPa.
*■7-32. La viga simplemente apoyada está sometida a la
carga concentrada P. Escriba un programa de computado­
ra que pueda usarse para determinar el esfuerzo cortante
y el de flexión en cualquier punto específico A(x, y, z) de
la sección transversal, excepto en los soportes y bajo la
carga. Aplique el programa con los siguientes datos: P =
600 N, d = 3 m. L = 4 m, h = 0.3 m. b = 0.2 m,.v = 2 m .)| =
0.1 m y z - 0.2 m.
•
391
■7-33. Escriba un programa de computadora que sirva
para determinar el esfuerzo cortante máximo en la viga con
la sección transversal mostrada y sometida a una carga dis­
tribuida iv específica constante y a una fuerza concentrada
P. Aplique el programa con los siguientes datos: L = 4 m, a
= 2 m, P = 1.5 kN, d x = 0, d2 = 2 m, w = 400 N/m , =
15 mm, t2 = 20 mm, b - 50 mm, y h = 150 mm.
7-34. La viga tiene una sección transversal rectangular y
está sometida a una carga P de una magnitud suficiente
para desarrollar un momento plástico total Mp = P L en el
empotramiento. Si el material es elastoplástico, entonces
a una distancia x < L, el momento M = Px genera una re­
gión de fluencia plástica con un núcleo elástico asociado
de altura 2 y'. Esta situación ha sido descrita por la ecua­
ción 6-30 y el momento M está distribuido sobre la sec­
ción transversal como se muestra en la figura 6-54e. D e­
muestre que el esfuerzo cortante máximo desarrollado en
la viga está dado por rmáx = i(/V/4'), donde/4' = 2 y 'b e s
el área de la sección transversal del núcleo elástico.
P
P
L ------------------------------
Prob. 7-32
7-35. La viga en la figura 6 -5 4 /está sometida a un mo­
mento plástico total M;). Demuestre que los esfuerzos cor­
tantes longitudinal y transversal en la viga son iguales a
cero. Sugerencia: considere un elemento de viga como se
muestra en la figura 7-4d.
392 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7.4
Flujo cortante en miembros com puestos
j
¡ -
A veces, en la práctica de la ingeniería los miembros se “arm an” con varias
partes a fin de lograr una mayor resistencia a las cargas. En la figura 7-13
se muestran algunos ejemplos. Si las cargas provocan que los miembros se
flexionen, probablem ente se requieran sujetadores tales como clavos, per­
nos, soldadura o pegamento, a fin de evitar que las partes componentes
se deslicen una con respecto a la otra, figura 7-2. Para diseñar estos suje­
tadores es necesario conocer la fuerza cortante que ha de ser resistida por
el sujetador a lo largo de la longitud del miembro. Esta carga, cuando se
mide como fuerza por unidad de longitud, se denomina flu jo cortante q *
La magnitud del flujo cortante a lo largo de cualquier sección longitu­
dinal de una viga se puede obtener mediante un desarrollo similar al que
se utilizó para hallar el esfuerzo cortante en la viga. Para mostrarlo, se
considerará la determinación del flujo cortante a lo largo de la junta don­
de la parte compuesta en la figura 7-14« se conecta al patín de la viga. Co­
mo se m uestra en la figura 7-146, tres fuerzas horizontales deben actuar
sobre esta parte. Dos de esas fuerzas, F y F + dF, son desarrolladas por
esfuerzos normales generados por los momentos M y M + dM, respectiva­
mente. La tercera, que por equilibrio es igual a dF, actúa en la junta y tie­
ne que ser soportada por el sujetador. Si se tiene en cuenta que dF es el
resultado de dM, entonces, del mismo modo que en el caso de la fórmula
del cortante, ecuación 7-1, tenemos:
dF =
dM
I
ydA '
A'
La integral representa a Q, es decir, el m omento del área som breada A '
en la figura 7-146 respecto al eje neutro de la sección transversal. Como
el segmento tiene una longitud dx, el flujo corlante, o fuerza por unidad
de longitud a lo largo de la viga, es q = dF/dx. Por consiguiente, dividiendo
ambos miembros por dx y viendo que V = dM /dx, ecuación 6-2, se pue­
de escribir:
Aquí,
q = flujo cortante, medido como fuerza por unidad de longitud a lo lar­
go de la viga
V = fuerza cortante interna resultante, determ inada con el método de las
secciones y las ecuaciones de equilibrio
I = m omento de inercia de toda la sección transversal calculado con res­
pecto al eje neutro
Q = ¡a ' y d A ' = y 'A ', donde A ' es el área de la sección transversal del
segmento conectado a la viga en la junta donde el flujo cortante ha
de ser calculado y y es la distancia del eje neutro al centroide de A '
*E1 significado de la palabra '“flujo” se entenderá plenamente cuando estudiemos la sección 7.5.
S ección
is
3
se
res
eor
se
.*
uue
se
>noaar
jor
vatieel
ula
A'
>mo
dad
ndo
Due-
7-6)
7.4 Flujo cortante en miembros compuestos • 393
dM
F+dF
ta)
Fig. 7-14
La aplicación de esta ecuación sigue el mismo “procedimiento de análi­
sis”, tal como se describió en la sección 7.3 para la fórmula del cortante. A
este respecto es muy im portante identificar correctamente el valor ade­
cuado de Q cuando se va a calcular el flujo cortante en una junta particu­
lar de la sección transversal. Unos cuantos ejemplos servirán para ilustrar
cómo se hace esto. Considere las secciones transversales de las vigas mos­
tradas en la figura 7-15. Las partes sombreadas están conectadas a la viga
por medio de sujetadores de tal modo que el flujo cortante necesario q de
la ecuación 7-6 se determ ina usando un valor de Q calculado por medio
de A ' y y tal como se indica en cada figura. Advierta que este valor de q
será resistido por un solo sujetador en las figuras 7-15« y 7-15b, por dos su­
jetadores en la figura 7-15c, y por tres sujetadores en la figura 7-15d. En
otras palabras, el sujetador en las figuras 7-15« y 7-15¿> soporta el valor
calculado de q y en las figuras 7-15c y 1-I5d, el valor calculado de q es di­
vidido entre 2 y 3, respectivamente.
PUNTOS IMPORTANTES
• El flujo cortante es una medida de la fuerza por unidad de longi­
tud a lo largo de un eje longitudinal de una viga. Este valor se halla
a partir de la fórmula del cortante y se usa para determinar la fuer­
za cortante desarrollada en sujetadores y pegamento que mantie­
nen unidos entre sí los varios segmentos de una viga.
lare las
res-
N-
del
ha
sA'
2
(b)
i sec­
(d)
394 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
O
La viga se va a construir con cuatro tablones pegados entre sí como se
muestra en la figura 7-16«. Si va a estar sometida a una fuerza cortan­
te V = 850kN ,determ ine el flujo de cortante e n f iy C q u e debe resis­
tir el pegamento.
Solución
Propiedades de la sección. El eje neutro (centroide) se localizará con
referencia al fondo de la viga, figura 7-16«. Con unidades métricas, te­
nemos:
y
-
Z,yA
2[0.15 m](0.3 m)(0.01 m) + [0.205 m](0.125 m)(0.01 m) + [0.305 m](0.250 m)(0.01 m)
7A
2(0.3 m)(0.01 m) + 0.125 m(0.01 m) + 0.250 m(0.01 m)
= 0.1968 m
El m omento de inercia calculado con respecto al eje neutro es:
7
10
=
2 ^ ( 0 .0 1 m)(0.3 m ) 3 + (0.01 m)(0.3 m)(0.1968 m - 0.150 m ) 2
mm
+ ^ (0 .1 2 5 m)(0.01 m ) 3 + (0.125 m)(0.01 m)(0.205 m - 0.1968 m ) 2
^(0.250 m)(0.01 m ) 3 + (0.250 m)(0.01 m)(0.305 m - 0.1968 m ) 2
= 87.52(10~6) m 4
Como el pegamento en B y B ' conecta el tablón superior a la viga,
figura 7-166, tenemos:
Q b = y B¿ B = [0.305 m - 0.1968 m](0.250m)(0.01 m)
= 0.270(10-3) m 3
De la misma manera, el pegamento en C y C' conecta el tablón inte­
rior a la viga, figura 7-166, por lo que:
Qc = ycA 'c = [0.205 m - 0.1968 m](0.125 m )( 0 . 0 1 m)
= 0.01025(10“3) m 3
Flujo de cortante.
VQB
c¡ b
=
Para B y B' tenemos:
850 kN (0.270(10“3) m3)
87.52(10 ) m
= 2.62 M N/m
Para C y C',
9c =
(b)
Fig. 7-16
VQ C
850 kN(0.01025(10 ) m3)
I
87.52(10"6) m 4
= 0.0995 MN/m
Como se usan dos juntas de pegamento para conectar cada tablón, el
pegamento por metro de longitud de viga en cada junta debe ser sufi­
cientemente fuerte para resistir la mitad de cada valor calculado de q '.
Entonces,
qB = 1.31 MN/m y qc = 0.0498 M N/m
Resp.
S ección
7.4 Flujo cortante en miembros compuestos • 395
O
E J E M P L O
U na viga en caja se construye con cuatro tablones clavados entre sí,
tal como se m uestra en la figura 7-17a. Si cada clavo puede soportar
una fuerza cortante de 30 Ib, determ ine la separación s máxima entre
clavos en B y C para que la viga pueda soportar la fuerza vertical de
80 Ib.
801b
Solución
Fuerza cortante interna. Si la viga se secciona en un punto arbitrario
a lo largo de su longitud, la fuerza cortante interna requerida por equi­
librio es siempre V = 80 Ib; el diagrama de fuerza cortante se muestra
en la figura 7-17/?.
i— H
1.5 pulg
' J1— 6 p ú lg H
Propiedades de la sección. El momento de inercia de la sección trans­
versal respecto al eje neutro puede evaluarse considerando un cuadra­
do de 7.5 X 7.5 pulg menos un cuadrado de 4.5 X 4.5 pulg.
^
6 pulg
1
1
I =
C
J— *-5 piilg
(
12
7 -5
Pu l §
) ( 7 -5
Pu l § ) 3 “
^
(
12
4 -5
Pu1g)(4.5 pulg ) 3 = 229.5 pulg'
1.5 pulg
El flujo de cortante en B se determ ina usando la Q B calculada con
el área de som breado oscuro m ostrada en la figura 7-17c. Es esta por­
ción “simétrica” de la viga la que debe “ligarse” al resto de la viga por
medio de clavos en el lado izquierdo y por las fibras del tablón en el la­
do derecho. Así,
(a)
V(lb)
Q b —y 'A ' = [3 pulg](7.5 pulg)(1.5 pulg) = 33.75 pulg 3
De la misma manera, el flujo de cortante en C puede evaluarse usan­
do el área “sim étrica” som breada m ostrada en la figura l- \ l d . Tene­
mos:
80
- x (pie)
Qc = y 'A ' = [3 pies](4.5 pies)(1.5 pies) = 20.25 piesJ
(b)
Flujo de cortante.
-7.5 pulg — j
VQb
<
■,IB
I
80 lb(33.75 pulg3)
229.5 pulg 4
VQ c _ 80 lb(20.25 pulg 3
Qc ~
229.5 pulg 4
\
-B
~B'
1
(c)
4.5 pulg
1.5pulg
HUI
3 pulg
-C'
N-
(d)
Fig. 7-17
Use Se = 8.5 pulg Resp.
ZD1.5pulg
*
= 7.059 lb/pulg
Estos valores representan la fuerza cortante por longitud unitaria de
la viga que debe ser resistida por los clavos en B y por las fibras en B ',
figura 7-17c, y por los clavos en C y las fibras en C , figura l-M d, res­
pectivamente. Como en cada caso el flujo de cortante es resistido en
dos superficies y cada clavo puede resistir 30 Ib, la separación para
B es:
30 Ib
S', * ( n . 7 6 / 2 ) l b / p u lg " 5 1 0 pulg U s e s * - 5 P“ ‘S
La separación para C es:
30 Ib
= 8.50 pulg
SC
(7.059/2) lb/pulg
■f
3 pulg
= 11.76 Ib/pulg
396 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
---------------------------------------------------Se usan clavos, con una resistencia total al cortante de 40 Ib, en una vi­
ga que puede construirse como en el caso I o como en el caso II, figu­
ra 7-18. Si los clavos están espaciados a 9 pulg, determine la fuerza cor­
tante vertical máxima que puede soportar la viga en cada caso sin que
ocurra la falla por cortante en los clavos.
0.5 pulg
4 pulg
Caso I
1-3pulg -|
Fig. 7-18
0.5 pulg
pulg pulg pulg
Solución
Dado que la geometría es la misma en ambos casos, el momento de
inercia respecto al eje neutro es:
1 =
^
( 3
pulg) (5 pulg) 3 - 2 Tj^(l pulg) (4 pulg) 3 = 20.58 pulg 4
Caso I. En este diseño, una simple hilera de clavos conecta cada pa­
tín al alma. Para uno de los patines,
Q = y 'A ' = [2.25 pulg](3 pulg(0.5 pulg)) = 3.375 pulg 3
por lo que
ve
q = ~T
401b_ = V(3.375 pulg3)
9 pulg
20.58 pulg 4
V = 27.1 Ib
Resp.
Caso II. Aquí, una simple hilera de clavos conecta uno de los tablo­
nes laterales al alma. Entonces,
Q = y 'A ' = [2.25 pulg](l pulg(0.5 pulg)) = 1.125 pulg 3
VQ
q =—
_40 l b__ V(l-125 pulg3)
9 pulg
20.58 pulg 4
V = 81.3 Ib
Resp.
P r o b le m a s
•
397
PROBLEMAS
*7.36. La viga está construida con tres tablones. Si está
sometida a una fuerza cortante V = 5 klb, determine la se­
paración s de los clavos usados para mantener los patines
superior e inferior unidos al alma. Cada clavo puede so­
portar una fuerza cortante de 500 Ib.
La viga en caja está hecha de cuatro piezas de plás­
tico pegadas, como se muestra. Si la fuerza cortante es
V - 2 klb, determine el esfuerzo cortante resistido por el
pegamento en cada una de las uniones.
7-39.
La viga está construida con tres tablones. Determi­
ne la fuerza cortante máxima V que puede soportar si el
esfuerzo cortante permisible para la madera es rpernl =
400 lb/pulg2. ¿Cuál es el espaciamiento requerido s de los
clavos si cada clavo puede resistir una fuerza cortante de
400 Ib?
7-37.
1.5 pulg
Prob. 7-39
le
1.5 pulg
*7-40. La viga está sometida a una fuerza cortante V =
800 N. Determine el esfuerzo cortante promedio desarro­
llado en los clavos a lo largo de los lados A y B cuando la
separación entre los clavos es s = 100 mm. Cada clavo tie­
ne un diámetro de 2 mm.
La viga está hecha de cuatro piezas de plástico pe­
gadas entre sí como se muestra. Si el pegamento tiene una
resistencia permisible de 400 lb/pulg2, determine la fuer­
za cortante máxima que la viga puede resistir.
7-38.
sp.
lo-
0.25 pulg
5.5 puls
0.25 pulg
__—
4.75 pulg
0.25 pulg
?sp.
Prob. 7-38
Prob. 7-40
398 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7-41. La viga doble T se fabrica soldando las tres placas
entre sí como se muestra. Determine el esfuerzo cortante
en la soldadura necesaria para soportar una fuerza cortan­
te V = 80 kN.
7-42. La viga doble T se fabrica soldando las tres placas
entre sí como se muestra. Si la soldadura puede resistir un
esfuerzo cortante Tpi;rm = 90 MPa, determine la fuerza cor­
tante máxima que puede aplicarse a la viga.
20 mm
7-45. La viga está hecha con tres tiras de poliestireno pe­
gadas entre sí como se muestra. Si el pegamento tiene una
resistencia al cortante de 80 kPa, determine la carga má­
xima P que puede aplicarse a la viga sin que el pegamen­
to pierda su adherencia.
30 mm
Prob. 7-45
Probs. 7-41/42
7-43. La trabe de doble alma se construye con dos hojas
de madera contrachapada unidas a miembros de madera
en sus partes superior e inferior. Si cada perno puede so­
portar 600 Ib en cortante simple, determine la separación s
requerida entre pernos para soportar la carga P = 3000 Ib.
Suponga que A es una articulación y B un rodillo.
7-46. Una viga se construye con tres tablones unidos en­
tre sí como se muestra. Determine la fuerza cortante de­
sarrollada en cada perno cuando la separación entre éstos
es s = 250 mm y la fuerza cortante aplicada V = 35 kN.
*7-44. La trabe de doble alma se construye con dos hojas
de madera contrachapada unidas a miembros de madera
en sus partes superior e inferior. El esfuerzo de flexión per­
misible para la madera es <rperm = 8 klb/pulg2 y el esfuer­
zo cortante permisible es rperm = 3 klb/pulg2. Si los pernos
están colocados a s = 6 pulg y cada uno puede soportar
600 Ib en cortante simple, determine la carga máxima P
que puede aplicarse a la viga.
t
2 pulg
-+
10 p
, 2 pulg
- 6 pulg H
0.5 pulg 0.5 pulg
Probs. 7-43/44
Prob. 7-46
P r o b le m a s
7-47. La viga en caja se construye con cuatro tablones
unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la vi­
ga cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cor­
tante de 50 Ib. determine la fuerza cortante máxima V que
puede aplicarse a la viga sin que fallen los clavos.
•
399
■7-49. La viga T de madera está sometida a una carga
que consiste en n fuerzas concentradas P„. Si se conoce la
fuerza cortante permisible VC|av0 para cada clavo, escriba
un programa de computadora que especifique la separa­
ción de los clavos entre cada carga. Aplique el programa
a los siguientes datos: L = 15 pies, at = 4 pies, P| = 600 Ib,
a2 = 8 pies, P 2 = 1500 Ib, b { = 1.5 pulg, h\ = 10 pulg,
¿>2 = 8 pulg, h2 = 1 pulg y Vclavo = 200 Ib.
Prob. 7-49
7-50. La viga en caja se construye con cuatro tablones
unidos por medio de clavos espaciados a lo largo de la vi­
ga cada 2 pulg. Si cada clavo puede resistir una fuerza cor­
tante de 50 Ib, determine la fuerza máxima P que puede
aplicarse a la viga sin que fallen los clavos.
*■7-48. Una viga de madera está hecha con n tablones,
cada uno con sección transversal rectangular. Escriba un
programa de computadora que sirva para determinar el
esfuerzo cortante máximo en la viga cuando está someti­
da a cualquier fuerza cortante V. Muestre la aplicación del
programa usando una sección transversal que consista en
una “T” y una caja (doble T cerrada).
7-51. La viga en caja se construye con cuatro tablones uni­
dos por medio de clavos espaciados a lo largo de la viga
cada 2 pulg. Si se aplica a la viga una fuerza P = 2 klb, deter­
mine la fuerza cortante resistida por cada clavo en A y B.
P
i'
Prob. 7-48
Probs. 7-50/51
400 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7-52. La viga está construida con tres tablones. Si está
sometida a las cargas P = 5 klb, determine la separación j
entre los clavos dentro de las regiones AC, CD y DB usa­
dos para conectar los patines superior e inferior al alma.
Cada clavo puede resistir una fuerza cortante de 500 Ib.
P
P
1
_____ 1
7-54. El miembro consiste en dos canales de plástico de
0.5 pulg de espesor, unidas entre sí en A y B. Si el pega­
mento puede soportar un esfuerzo cortante permisible
Tpcm> = 600 lb/pulg2, determine la intensidad w0 máxima
de la carga distribuida triangular que puede aplicarse al
miembro con base en la resistencia del pegamento.
6 p ies----- T — 6 p ies-------------------- r ---- 6 pies
1 6 pulg
Prob. 7-52
Prob. 7-54
La viga está construida con tres tablones. Determine
las cargas máximas P que puede soportar si el esfuerzo cor­
tante permisible para la madera es r(,erm = 400 Ib /pulg2.
¿Cuál es la separación j requerida entre clavos para co­
nectar los patines superior e inferior al alma si cada clavo
puede resistir una fuerza cortante de 400 Ib?
7-53.
7-55. La viga consiste en dos canales de plástico de
0.5 pulg de espesor, pegadas entre sí e n A y B . Si la carga
distribuida tiene una intensidad máxima iv0 = 3 klb/pie,
determine el esfuerzo cortante máximo resistido por el pe­
gamento.
w0
^ r r t T T U ......Í I í TT t ^
6 pies
pulg
pulg
Prob. 7-53
Prob. 7-55
6 pies
S ección
7.5
7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada • 401
Flujo cortante en miembros de pared delgada
E n la sección anterior desarrollamos la ecuación del flujo cortante, q =
VQ//, y mostramos cómo usarla para determinar el flujo cortante que actúa
a lo largo de cualquier plano longitudinal de un miembro. En esta sección
mostraremos cómo aplicar esta ecuación para encontrar la distribución
del flujo cortante a través de la sección transversal de un miembro. Su­
pondremos aquí que el miembro tiene paredes delgadas, es decir, que el
espesor de las paredes es pequeño en comparación con la altura o ancho
del miembro. Como veremos en la siguiente sección, este análisis tiene
im portantes aplicaciones en el diseño estructural y mecánico.
Antes de determ inar la distribución del flujo cortante sobre una sec­
ción transversal, mostraremos cómo el flujo cortante está relacionado con
el esfuerzo cortante. Consideremos el segmento dx de la viga de patín an­
cho en la figura 7-19a. En la figura 7-19b se muestra un diagrama de cuer­
po libre de una porción del patín. La fuerza dF es generada a lo largo de
la sección longitudinal sombreada para equilibrar las fuerzas normales F
y F + dF generadas por los momentos M y M + dM, respectivamente.
Como el segmento tiene una longitud dx, entonces el flujo cortante o fuer­
za por unidad de longitud a lo largo de la sección es q = dF/dx. Debido a
que la pared del patín es delgada, el esfuerzo cortante rn o variará mucho
sobre el espesor t de la sección; supondremos por ello que es constante.
De aquí, dF = r d A = t(í dx) = q dx, o
q=
(7-7)
Tt
Este mismo resultado puede obtenerse com parando la ecuación del flu­
jo cortante, q = V Q /I, con la fórmula del cortante r = VQ /lt.
Igual que el esfuerzo cortante, el flujo cortante también actúa tanto en
los planos longitudinales como transversales. Por ejemplo, si se aísla (figura
7-19c) el elemento de esquina situado en el punto B de la figura 7-196, el
flujo cortante actúa como se muestra sobre la cara lateral del elemento.
Aunque existe, despreciaremos la componente vertical transversal del flujo
cortante porque, como se m uestra en la figura 1-I9d, esta componente,
igual que el esfuerzo cortante, es aproximadamente cero a través del espe­
sor del elemento. Esto es debido a que las paredes se suponen delgadas y
a que las superficies superior e inferior están libres de esfuerzo. Para resu­
mir, sólo se considerará la componente del flujo cortante que actúa pa­
ralelamente a las paredes del miembro.
^ q ’ supuesta cero a través
^
y
t
q supuesto constante
a través del espesor
del patín
W)
Fig. 7-19
del espesor del patín ya
que la parte superior e inferior
de éste están libres de esfuerzo
402 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
(0
F+dF
(e)
M ediante un análisis similar, el aislamiento del segmento izquierdo del
patín superior, figura 7-19e, establecerá la dirección correcta del fluj o cor­
tante sobre el elemento C del segmento, figura 7-19/. Usando este método
dem uestre que el flujo cortante en los puntos B ' y C' correspondientes
en el patín inferior está dirigido según se m uestra en la figura 7-19g.
Este ejemplo ilustra cómo se puede establecer la dirección del flujo cor­
tante en cualquier punto de la sección transversal de la viga. M ediante la
fórmula del flujo cortante, q = VQ /I, en seguida se mostrará cómo se deter­
mina la distribución del flujo cortante en toda la sección transversal. Es
de esperar que esta fórmula dé resultados razonables para el flujo cortan­
te, puesto que, según lo expuesto en la sección 7.3, la precisión de esta
ecuación mejora en el caso de miembros con secciones rectangulares del­
gadas. No obstante, para cualquier aplicación, la fuerza cortante V debe
actuar a lo largo de un eje de simetría o eje centroidal principal de iner­
cia de la sección transversal.
En prim er lugar se determ inará la distribución del flujo cortante a lo
largo del patín superior derecho de la viga de patín ancho m ostrada en la
figura 7-20«. Para ello, considérese el flujo cortante q, que actúa sobre el
elemento más som breado localizado a una distancia arbitraria x de la lí­
nea central de la sección transversal, figura 7-20b. Se determ ina usando
la ecuación 7-6 con Q = y''A ' — [d¡2]( b /2 - x)t. Así,
VQ
(g)
Fig. 7-19 (cont.)
V [d/2\((b/2) - x)t
V td fb
21 V2
*
(7-8)
Por inspección, se ve que esta distribución es lineal y que varía desde q 0 en x = b/2 hasta {qmáx)f = Vt db/Al en x = 0. (La limitación de * = 0 es
factible en este caso, puesto que se supone que el miembro tiene “pare­
des delgadas” y, por consiguiente, se desprecia el espesor del alma.) Por
simetría, un análisis similar da la misma distribución de flujo cortante pa­
ra los otros patines; los resultados se muestran en la figura l-2i)d.
La fuerza total desarrollada en las porciones izquierda y derecha de un
patín se puede determ inar mediante integración. Como la fuerza sobre el
elemento más som breado en la figura 7-20b es dF = q dx, entonces
6/2 V t d f b
\ ,
V t db¿
— x I dx =
21 V2
16/
Ff = | q dx =
Asimismo, este resultado se puede determ inar calculando el área bajo el
triángulo en la figura 7-20d ya que q es una distribución de fuerza por uni­
dad de longitud. Por consiguiente,
„
f
1 ,x f b \
2
V td b 2
/ V2 /
16/
En la figura 7-20e se m uestran las cuatro fuerzas que actúan en los pati­
nes y por su dirección se deduce que se m antiene el equilibrio de las fuer­
zas horizontales en la sección transversal.
S ección
7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada • 403
fe
del
cortodo
ntes
3
h ~ 2-
(7-8)
iq =
=0 es
pare) Por
e pade un
Dre el
_Lt
1
~£L
cor­
te la
eter1. Es
rtanesta
deldebe
inera lo
en la
>re el
la li­
ando
i
X
N-
— ►
d
t
(c)
(b)
Para el alma se puede realizar un análisis similar, figura 7-20c. En este
caso se tiene Q = l y ' A ' = [d/2\(bt) + [y + (\/2 )(d /2 -y )] t(d /2 - y) =
bt d ¡2 + (d2/4 - y2), así que:
VQ
I
V t db
I 2
lid2
2\ 4
(7-9)
Para el alma, el flujo cortante, al igual que el esfuerzo cortante, varía de
manera parabólica, de q = 2(<?máx)/ = Vt db/2I en y = d/2 hasta un máxi­
mo de q = (<7 máx)aima = (V t d /I)(b /2 + d / 8 ) en y = 0 , figura 7-20d.
Para determinar la fuerza en el alma, Faima, hay que integrar la ecuación
7-9, es decir,
f d / 2 Vt db
^alma
| <7 d
y
—
J- d / 2 1
Y± db
1
J
+ 2 \ J ~ y
(d2
1
Y 3' + i { T y ~ l y
I
/ d1
1
,
-
=
^máxV
^máx \v
d /2
J
2
- d /2
Vtd
41
1
2
dy
^máxV
Distribución de flujo cortante
(d)
2
Si se desprecia el prim er término, en vista de que el espesor de los pati­
nes es pequeño, se obtiene:
.
; patii fuer-
dy
N-
Es posible una simplificación si se observa que el momento de inercia pa­
ra el área de la sección transversal es:
ajo el
r uni-
|—
1
IT i
—
t d2 (
“ TÍ,
Ff
Ff
1
=V
+ 3
Sustituyendo en la ecuación anterior, vemos que / 'aima = V, lo que era de
esperarse, figura 7-20e.
(e)
Fig. 7-20
404
CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
En el análisis anterior se observan tres puntos importantes. Primero, el
valor de q cambia a lo largo de la sección transversal, puesto que Q será
diferente para cada segmento de área A ' para el cual se calcula. En particu­
lar, q variará linealmente a lo largo de segmentos (patines) perpendicula­
res a la dirección de V, y parabólicamente a lo largo de segmentos (alma)
inclinados o paralelos a V. Segundo, q siempre actuará paralelamente a las
paredes del miembro, puesto que la sección en la cual se calcula q se escoge
perpendicular a las paredes. Y tercero, el sentido direccional de q es tal
que el cortante parece “fluir” a través de la sección transversal, hacia el
interior en el patín superior de la viga, “com binándose” y luego “fluyen­
do” hacia abajo por el alma, en vista de que debe contribuir a la fuerza
cortante V. y en seguida separándose y “fluyendo” hacia afuera en el pa­
tín inferior. Si se es capaz de “visualizar” este “flujo”, esto proporcionará
un método fácil para establecer no sólo la dirección de q, sino también la
dirección correspondiente de r. En la figura 7-21 se muestran otros ejem­
plos de cómo q se dirige a lo largo de segmentos de miembros de pared
delgada. En todos los casos, la simetría prevalece respecto a un eje colineal con V ,y en consecuencia, “fluye” en una dirección tal que propor­
cionará las componentes necesarias de fuerza vertical equivalentes a V y
además también cumplirá con los requisitos de equilibrio de fuerzas ho­
rizontales en la sección transversal.
r
Flujo corlante q
Fig. 7-21
PUNTOS IMPORTANTES
• Si un miembro está hecho con segmentos de pared delgada, sólo
el flujo cortante paralelo a las paredes del miembro es importante.
• El flujo cortante varía linealmente a lo largo de segmentos que
son perpendiculares a la dirección de la fuerza cortante V.
• El flujo cortante varía parabólicamente a lo largo de segmentos
que están inclinados o son paralelos a la dirección de la fuerza
cortante V.
• En la sección transversal, el cortante “fluye” a lo largo de los seg­
mentos de manera que él contribuye a la fuerza cortante V y sa­
tisface el equilibrio de fuerzas horizontales y verticales.
S ección
7.5 Flujo cortante en miembros de pared delgada
O
E J E M P L O
La viga en caja de pared delgada en la figura 7-22« está sometida a una
fuerza cortante de 10 klb. Determ ine la variación del flujo cortante en
la sección transversal.
Solución
Por simetría, el eje neutro pasa por el centro de la sección transversal.
El momento de inercia es:
I=
2
pulg ) ( 8 pulg ) 3 - - ^ ( 4 pulg ) ( 6 pulg ) 3 = 184 pulg 4
- ¿ ( 6
I2 , ,
Pu*8 pulg pulg Ipulg
(a)
Sólo tiene que determ inarse el flujo de cortante en los puntos B, C
y D. Para el punto B, el área A ' ~ 0, figura 7-22b, ya que puede conside­
rarse que está localizada totalm ente en el punto B. Alternativamente,
A ' puede también representar toda el área de la sección transversal, y
en este caso QB — y A ’ - 0, ya que y ' = 0. Puesto que QB = 0, enton­
ces:
qB = 0
Para el punto C, el área A ' se muestra con som breado más oscuro en
la figura 7-22c. A quí hemos usado las dimensiones medias, ya que el
punto C está sobre la línea central de cada segmento. Tenemos:
- A'
N-
(b)
I pulg| 5 pulg |
7
3.5 pulg
4
N-
Así.
a
4 pulg
Q c~ y 'A ' =(3.5 pulg)(5 pulg ) ( 1 pulg) = 17.5 pulg 3
T I—-----=T
1 pulg 4 pulg 1
(c)
VQ C _ 10 klb (17.5 pulg 3/ 2 )
<7c - '
184 pulg 4
= 0.951 klb/pulg
|J Pul§-_]
?. pulg
El flujo cortante en D se calcula usando los tres rectángulos oscuros
mostrados en la figura 7-22d. Tenemos:
Qd =
2
y 'A ' =
2 [2
pulg](l pulg) (4 pulg) + [3.5 pulg](4 pulg)(l pulg) - 30 pulg 3
(d)
de manera que
VQ d
I
d
~
10 klb(30 pulg 3 / 2 )
184 pulg 4
= 1.63 klb/pulg
Con estos resultados y aprovechando la simetría de la sección trans­
versal, graficamos la distribución del flujo de cortante que se muestra
en la figura 7-22e. Como se esperaba, la distribución es lineal a lo lar­
go de los segmentos horizontales (perpendicular a V) y parabólica a lo
largo de los segmentos verticales (paralela a V).
Fig. 7-22
• 405
406 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7.6
Centro de cortante
En la sección anterior se supuso que la fuerza cortante interna V estaba
aplicada a lo largo de un eje centroidal principal de inercia que también
representa un eje de simetría de la sección transversal. En esta sección se
considerará el efecto de aplicar la fuerza cortante a lo largo de un eje cen­
troidal principal que no es un eje de simetría. Como antes, se analizarán
sólo miembros de pared delgada, de modo que se usarán las dimensiones
de la línea central de las paredes de los miembros. Un ejemplo representa­
tivo de este caso es una canal en voladizo, m ostrada en la figura 7-23«, y
sometida a la fuerza P. Si esta fuerza se aplica a lo largo del eje inicialmen­
te vertical asimétrico que pasa por el centroide C de la sección transver­
sal, la canal no sólo se flexionará hacia abajo, sino que también se torcerá
en sentido horario como se muestra en la figura.
\ =
i
máx )j
Distribución del flujo de cortante
(b)
Fig. 7-23
Sección
|
en
se
n‘
an
ies
ta'
>y
nererá
I
I
I
I
I
7.6 Centro de cortante • 407
Para entender por qué se tuerce la canal, es necesario estudiar la distribu­
ción del flujo cortante a lo largo de los patines y el alma de la canal, figura
7-236. Cuando esta distribución se integra sobre las áreas de los patines y
alma, obtenemos fuerzas resultantes /y e n cada patín y una fuerza V = P
en el alma, figura 7-23c. Si se suman los momentos de esas fuerzas con respecto al punto A , puede verse que el par generado por las fuerzas en los
patines es responsable de la torsión del miembro. La torsión es horaria
cuando se observa desde el frente de la viga como se m uestra en la figura 7-23«,ya que las fuerzas Ff reactivas de “equilibrio” interno son las que
ocasionan la torsión. Para prevenir esta torsión es necesario, por tanto,
aplicar P en un punto O situado a una distancia e del alma de la canal, figura 7-23d. Se requiere que XM A = Ffd = Pe, lo que da
Ff d
e~ p
Con el método visto en la sección 7.5 se pueden evaluar las fuerzas /yen
términos de P ( = V) y de las dimensiones de los patines y del alma. Una vez
hecho esto, P se elimina después de sustituirla en la ecuación anterior y e
se puede expresar simplemente como una función de la posición de la geo­
m etría de la sección transversal y no como una función de P o de su po­
sición a lo largo de la longitud de la viga (vea el ejemplo 7-9). El punto O
así localizado se llama centro de cortante o centro de flexión. Cuando P
se aplica en el centro de cortante, la viga se flexionará sin torcerse, como se
m uestra en la figura 7-23e. Los manuales de diseño a menudo dan la po­
sición de este punto para una amplia variedad de vigas con secciones trans­
versales de pared delgada que son de uso común en la práctica.
Al efectuar este análisis, debe observarse que el centro de cortante siem­
pre quedará en un eje de simetría de la sección transversal del miembro.
Por ejemplo, si la canal en la figura 7-23« se gira 90° y P se aplica en A . fi­
gura 7-24«, no habrá torsión puesto que el flujo cortante en el alma y en
los patines es simétrico en este caso, y por consiguiente las fuerzas resul­
tantes en estos elementos no generarán mom ento con respecto a A , figu­
ra 7-246. Es claro que si un miembro tiene una sección transversal con dos
ejes de simetría, como en el caso de una viga de patín ancho, el centro de
cortante coincidirá entonces con la intersección de estos dos ejes (cen­
troide).
Demostración de cómo una viga en voladi­
zo se dcflexiona cuando se carga a través del
centroide (arriba) y a través del centro de cor­
tante (abajo).
P
(b)
Fig. 7-24
408 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PUNTOS IMPORTANTES
• E l centro de cortante es el punto a través del cual una fuerza pue­
de aplicarse y generar flexió n en una viga sin que se tuerza.
• E l centro de cortante se encuentra siempre sobre un eje de sim e­
tría de la sección transversal.
• L a posición del centro de cortante es sólo una función de la geo­
m etría de la sección transversal y no depende de la carga ap li­
cada.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
L a posición del centro de cortante para un miem bro de pared delga­
da para el cual el cortante interno está en la misma dirección que un
eje centroidal principal de la sección transversal puede ser determ i­
nada usando el siguiente procedim iento.
Resultantes del flu jo de cortante.
• Determ ine la dirección de los “ flujos” de cortante a través de los
diversos segmentos de la sección transversal e indique las fuerzas
resultantes en cada segmento de ésta. (V ea la figura 7-23c.) Como
el centro de cortante se determina considerando los momentos de
estas fuerzas resultantes respecto a un punto ( A ) , escoja este pun­
to en un lugar que elimine los momentos de tantas fuerzas resul­
tantes como sea posible.
• La s magnitudes de las fuerzas resultantes que generan un momen­
to respecto a A deben entonces calcularse. Para cualquier seg­
mento, esto se hace determinando el flujo de cortante q en un
punto arbitrario del mismo y luego integrando q a lo largo de su
longitud. R ecuerde que V genera una variación lineal del flujo de
cortante en segmentos perpendiculares a V y una variación pa ra ­
bólica en segmentos paralelos o inclinados con relación a V.
Centro de cortante.
• Sume los momentos de las resultantes del flujo cortante respec­
to al punto A e iguale este momento al momento de V respecto
a A . Resolviendo esta ecuación se puede determ inar la distancia
e del brazo de palanca, que localiza la línea de acción de V res­
pecto a A .
• Si la sección transversal tiene un eje de sim etría, el centro de cor­
tante queda en el punto donde este eje interseca la línea de ac­
ción de V. Sin embargo, si no se tienen ejes de sim etría, gire la
sección 90° y repita el proceso para obtener otra línea de acción
para V. E l centro de cortante queda entonces en el punto de in­
tersección de las dos líneas a 90°.
Sección 7.6
Centro de cortante
• 409
E J E M P L O
L a canal mostrada en la figura 7-23a está sometida a una fuerza cor­
tante de 20 kN. Determ ine el flujo de cortante en los puntos B, C y D y
trace la distribución del flujo cortante en la sección transversal. Calcu­
le también la fuerza resultante en cada región de la sección transver­
sal.
0.01 m ----------------- 0.4 m -------------------
(a)
'a ü
u
V
—11--
0.08 m
S o lu c ió n
Localizarem os prim ero el eje neutro y determinaremos el momento de
inercia de la sección transversal. Para esto, la sección transversal será
subdividida en tres rectángulos, figura 7-23b. U sando unidades m étri­
cas, la posición del eje neutro, medida desde la parte superior, es:
_ _
^
Iy A
ZA
_
(b)
[Q.005 m1(0.4 m )(0.01 m ) + 2 [[0.05 m1(0.08 m )(0.01 m)1 _ „
0.4 m(0.01 m ) + 2(0.08 m)(0.01 m)
m
E l momento de inercia respecto al eje neutro es entonces:
/ =
•^■(0.4 m )( 0.01 in )3
(0.4 m )(0.01 m )(0.01786 m - 0.005 m )2
+ 2 i( 0 .0 1 m ) ( 0 .0 8 m ) 3 + (0.08m )(0.01 m)(0.05 m - 0.001786 m )2
= 3.20(10-6) m 4
Como A ' = 0 para el punto B , figura 7-23a, entonces Q B = 0, y por
tanto:
qB = 0
Resp.
0.01786 m - 0.005 m = 0.01286 m
Para determ inar el flujo cortante en C , que está localizado sobre la
línea central del lado corto de la canal, usamos el área con sombra os­
cura mostrada en la figura 7-23c. Entonces,
N-
Q c = y'cA c = [0-085 m /2 - 0.01286 m](0.085 m )( 0.01 m)
1
ti
T
= 25.19(10-6) m 3
por lo que
0.085 m
(c)
Fig. 7-23
Continúa
410 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
0.2 m
D
157 kN/m
163 kN/m
A
0.01786 m
" E r ',
tr
(d)
fe)
Para el punto D , consideraremos el área A ' con sombra oscura en la
figura 7-23d como la suma de dos rectángulos. Para calcular Q D, asig­
namos un valo r negativo a y' del rectángulo vertical, ya que su centroi­
de está por debajo del eje neutro y asignamos un valor p o sitivo a y ' del
otro rectángulo, ya que la y ' de su centroide está por arriba de este eje.
A s í,
= 17VI' = - [0 .0 9
Qb
N-
A
t
m /2 - 0.01786 m ](0.09 m )( 0.01 m )
= + [0.01786 m - 0.005 m ](0.19 m )(0.01 m ) = 0
Por tanto,
0.07214m
<?£>-
(0
YQ
I
d
20 k N (0 )
_
3.20(10~ 6)m 4
E n la figura 7-23e se muestra el flujo de cortante en toda la sección
transversal, de acuerdo con la dirección de V . Com o dijim os antes, la
intensidad de q varía linealm ente a lo largo del segmento horizontal y
luego varía parabólicam ente a lo largo del segmento vertical. E l flujo
de cortante m áxim o se presenta al nivel del eje neutro y puede deter­
m inarse usando el área con sombra oscura mostrada en la figura 7-23/
Q = y ' A ' = [ ° n7?014 m V0.07214 m )(0.01 m ) = 2 6.02(10“ °) m 3
Por consiguiente,
VQ _
9máx
/
20 kN (23.02)(10~6) m3)
= 163 kN /m
3.20(10 b) m 4
Por equilibrio de la sección transversal, la fuerza en cada segmento
vertical debe ser:
15.4 kN
15.4 kN
F„ = y
10 kN
i
lil
(g)
= 10 kN
Resp.
10 kN
que es equivalente al área bajo la distribución parabólica de q. L a s fuer­
zas en cada segmento horizontal pueden determinarse por integración,
o de manera más directa, encontrando el área bajo la distribución trian­
gular de q , figura 7-23e. Tenemos:
F h = ^-(0.195 m)(157 kN /m ) = 15.4 kN
Estos resultados se muestran en la figura 7-23g.
Resp.
Sección 7.6
E J E M P L O
E
Centro de cortante
l
D eterm ine la posición del centro de cortante para la sección en canal
de pared delgada con las dimensiones mostradas en la figura l-25a.
b— b — -|
p
Th
máx)alma
- L n l
Distribución del flujo cortante
(b)
(a)
S o lu c ió n
R esu ltan tes d el f lu jo de cortante. U n a fuerza cortante V vertical ha­
cia abajo aplicada a la sección ocasiona que el cortante fluya a través
de los patines y alma según se muestra en la figura 7-256. E sto genera
fuerzas resultantes F f y V en los patines y alma como se muestra en la
figura 7-25c. Tom arem os momentos respecto al punto A de modo que
sólo tenga que determ inarse la fuerza /y e n el patín inferior.
E l área de la sección transversal puede subdividirse en tres rectán­
gulos com ponentes: un alm a y dos patines. Com o se supone que las
componentes son delgadas, el momento de inercia del área respecto al
eje neutro es:
th2 í h
bt
2 \6
1 _
A ,______ F
(c)
+ b
D e la figura l-2 5 d , q en la posición arb itraria x es:
VQ
V (h /2 )[ b - x]t
V{b - x)
I
(th 2/ 2 )[(h / 6 ) + b]
h [{h / 6 ) + b)
Por consiguiente, la fuerza /y es:
Ff =
| qdx =
V
h [ ( h / 6 ) + 6 ],
íb
( b - x )d x =
Vb2
N-
2 h [ (h /6 ) + b }
Este mismo resultado puede también obtenerse encontrando primero
(<7máx)/>figura 7-256, y luego determinando el área triangular
(qmix)f
= Ff’
C entro de cortante.
7-25 c, requerim os:
Sumando momentos respecto al punto A , figura
Ar—|í*^j
(d)
Fig. 7-25
V b 2h
V e = F rh =
f
2 h [(h /6 ) + 6 ]
Entonces,
e =
Resp.
[(6 /3 ) + 26]
De acuerdo con lo antes expuesto, e depende sólo de las dimensio­
nes de la sección transversal.
• 411
412 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
E J E M P L O
7.10
D eterm ine la posición del centro de cortante para el ángulo de lados
iguales, figura 7-26a. Calcule también la fuerza cortante interna resul­
tante en cada lado.
Distribución del flujo cortante
(b)
(c)
Fig. 7-26
S o lu c ió n
Cuando se aplica una fuerza cortante V vertical hacia abajo, el flujo de
cortante y las resultantes del flu jo cortante están dirigidas como se
muestra en las figuras 7-26b y 7-26c, respectivamente. A d vie rta que las
fuerzas F en cada lado deben ser iguales puesto que por equilibrio la
suma de sus componentes horizontales debe ser igual a cero. Adem ás,
las líneas de acción de ambas fuerzas intersecan el punto O ; por lo tan­
to, este punto debe ser el centro de cortante, ya que la suma de los mo­
mentos de esas fuerzas y de V respecto a O es cero, figura 7-26c.
L a magnitud de F puede determ inarse encontrando prim ero el flu ­
jo de cortante en una posición 5 arbitraria a lo largo del lado superior,
figura 7-26d. E n este caso,
Sección 7.6
E l momento de inercia del ángulo respecto al eje neutro debe obte­
nerse a partir de “ principios básicos” , ya que los lados están inclinados
respecto al eje neutro. Para el elemento de área dA = t ds, figura 7-26e,
tenemos:
f
I = | y 1dA = 2
rb
( b - s)
3
- V2
E l flujo cortante es entonces:
VO
V
k M ) 5'
(tb 3/ 3) - V 2
L a variació n de q es parabólica y alcanza un va lo r m áxim o cuan­
do s = b como se muestra en la figura 7-26b. L a fuerza F e s por consi­
guiente:
q ds =
3V
í* ( k
s '\
V 2 ¿3
(h
V 2¿>3 [ b 2
1 ,3
6S
Resp.
Este resultado puede verificarse fácilm ente, puesto que la suma de
las componentes verticales de la fuerza F en cada lado debe ser igual
a V y, de acuerdo con lo antes expuesto, la suma de las componentes
horizontales debe ser igual a cero.
Centro de cortante
• 413
414 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PROBLEMAS
*7-56. La viga H está som etida a una fuerza cortante
V = 80 kN. D eterm ine el flujo de cortante en el punto A.
7-57. La viga H está sometida a una fuerza cortante V =
80 kN. Esboce la distribución del esfuerzo cortante que ac­
túa a lo largo de uno de sus segmentos laterales. Indique
todos los valores pico.
*7-60. La viga está sometida a una fuerza cortante verti­
cal V = 7 klb. Determine el flujo cortante en los puntos A
y B y el flujo cortante máximo en la sección transversal.
0.5 pulg
Prob. 7-60
P ro b s. 7-56/57
7-58. La canal está som etida a una fuerza co rta n te
V - 75 kN. D eterm ine el flujo cortante desarrollado en
el punto A .
7-59. La canal está som etida a una fuerza co rtan te
V = 75 kN. D eterm ine el flujo cortante m áxim o en la
canal.
7-61. El puntal de aluminio tiene 10 mm de espesor y
tiene la sección transversal mostrada en la figura. Si está
sometido a una fuerza cortante V = 150 N, determ ine el
flujo cortante en los puntos A y B.
7-62. El puntal de aluminio tiene 10 mm de espesor y
tiene la sección transversal mostrada en la figura. Si está
sometido a una fuerza cortante V = 150 N, determ ine el
flujo cortante máximo en el puntal.
mm
10
10
H r ------ + r * h 4 0 i
30 mm \
10 mm
Probs. 7-58/59
n
m
J
10 mm
Probs. 7-61/62
* |
30 mm
P ro b le m as
7-63. La trabe en caja está sometida a una fuerza cortan­
te V = 15 kN. D eterm ine (a) el flujo corlante desarrolla­
do en el punto B y (b) el flujo cortante máximo en el alma
A B de la trabe.
•
415
7-66. La viga reforzada está construida con placas con
espesor de 0.25 pulg. Si está sometida a una fuerza cortan­
te V = 8 klb. determ ine la distribución del flujo cortante
en los segmentos A B y CD de la viga. ¿Cuál es la fuerza
cortante resultante soportada por esos segmentos? Tam­
bién, esboce cómo se distribuye el flujo cortante en la sec­
ción transversal. Las dimensiones verticales están referi­
das a la línea central de cada segmento horizontal.
nini
mm
P rob. 7-63
Prob. 7-66
*7-64. La viga está sometida a una fuerza corlante V =
5 klb. D eterm ine el flujo cortante en los puntos A y B.
7-65. La viga está formada por cuatro placas y está so­
metida a una fuerza cortante V = 5 klb. D eterm ine el flu­
jo cortante máximo en la sección transversal.
Probs. 7-64/65
7-67. Determ ine la variación del esfuerzo cortante sobre
la sección transversal del tubo de pared delgada en fun­
ción de la elevación y y dem uestre que rmás = 2 V /A , don­
de A = 2rrrt. Sugerencia: escoja un elemento diferencial de
área d A = R td d .C on dQ = y dA , exprese Q para una sec­
ción circular de 0 a (ir - 0) y dem uestre que Q =
2R 2t eos 0. donde eos 0 = \ / ( R 2 - y 2)]/2/R.
Prob. 7-67
416 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
*7-68. D eterm ine la localización e del centro de corlan­
te, punto O, para el miembro de pared delgada que tiene
la sección transversal mostrada, donde ¿>2 > b\. Los seg­
mentos del miembro tienen todos el mismo espesor r.
I—e—\
P ro b . 7-70
7-71. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O, para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada.Todos los segmentos del miem­
bro tienen el mismo espesor t.
P ro b . 7-68
7-69. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O , para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem­
bro tienen el mismo espesor t.
Tih
1
Piob. 7-71
|— 1.80 p u lg —*j
T
1 pulg
■f
1 pulg
h<
1 pulg
*7-72. D eterm ine la posición e del centro de cortante,
punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la
sección transversal mostrada, donde b2 > b ¡.Todos los seg­
mentos del miembro tienen el mismo espesor t.
+
1 pulg
P ro b . 7-69
7-70. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O, para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem­
bro tienen el mismo espesor t.
Prob. 7-72
P r o b le m a s
7-73. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O. para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem­
bro tienen el mismo espesor t.
•
417
j—100 m m -j
100 mm
100 mm
P ro b . 7-75
T
d_
9
•O
*7-76. D eterm ine la posición e del centro de cortante,
punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la
sección transversal m ostrada. Todos los segm entos del
miembro tienen el mismo espesor t.
P ro b . 7-73
7-74. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O, para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada. Todos los segmentos del miem­
bro tienen el mismo espesor /.
P ro b . 7-76
7-77. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O. para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada.
7-75. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O. para el miembro de pared delgada que tiene una ra­
nura a lo ancho de uno de sus lados.
Prob. 7-77
418 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
7-78. Si el ángulo tiene un espesor de 3 mm, una altura
h = 100 mm y está som etido a una fuerza cortante V =
50 N, determ ine el flujo de cortante en el punto A y el flu­
jo cortante máximo en el ángulo.
7-82. Determine la posición e del centro de cortante, pun­
to O , para el miembro de pared delgada que tiene la sec­
ción transversal mostrada.
7-79. El ángulo está som etido a una fuerza cortante
V = 2 klb. Esboce la distribución del flujo cortante a lo
largo del lado A B . Indique los valores numéricos de cada
pico. El espesor es de 0.25 pulg y los lados (A B ) son de 5
pulg.
P ro b s. 7-78/79
P ro b . 7-82
*7-80. D eterm ine la posición e en que debe colocarse la
fuerza P para que la viga se flexione hacia abajo sin tor­
cerse. Considere h = 200 mm.
7-81. Se aplica una fuerza P al alma de la viga, como se
muestra. Si e = 250 mm, determ ine la altura h del patín
derecho de manera que la viga se deflexione hacia abajo
sin torcerse. Los segmentos del miembro tienen el mismo
espesor t.
7-83. Determine la posición e del centro de cortante, punto O. para el miembro de pared delgada que tiene la sección transversal mostrada. El espesor es t.
300 mm
Probs. 7-80/81
Prob. 7-83
REPASO DEL CAPÍTULO
• E l esfuerzo cortante transversal en vigas se determina indirectamen­
te usando la fórmula de la flexión y la relación entre el momento y
la fuerza cortante ( V = d M /d x ). E l resultado es la fórm ula del
cortante r = V Q /lt. E n particular, el valo r de Q es el momento
del área A ' respecto al eje neutro. E sta área es la porción del área
transversal que está “ unida" a la viga arriba del espesor t donde
t va a ser determinado.
• Si la viga tiene una sección transversal rectangular, entonces la
distribución del esfuerzo cortante será parabólica y se obtiene un
valor máxim o al nivel del eje neutro.
• Se usan conectores, pegamentos o soldaduras para conectar las
partes de una sección “ com puesta” . L a resistencia de esos suje­
tadores se determ ina a partir del flujo de cortante, o fuerza por
unidad de longitud, que debe ser soportada por la viga. Tal fuer­
za unitaria es q = V Q / I.
• Si la viga tiene una sección transversal de pared delgada, enton­
ces el flujo de cortante en la sección puede determ inarse usando
q = V Q /I- E l flujo de cortante varía linealm ente a lo largo de seg­
mentos horizontales y parabólicam ente a lo largo de segmentos
inclinados o verticales.
• Si la distribución del esfuerzo cortante en cada elemento de una
sección de pared delgada se conoce, entonces, estableciendo el
equilibrio de momentos, la localización del centro de cortante pa­
ra la sección transversal puede ser determ inada. Cuando se apli­
ca una carga al miem bro a través de este punto, el miembro se
flexionará pero no se torcerá.
420 • CAPÍTULO 7 Esfuerzo cortante transversal
PROBLEMAS
DE
REPASO
*7-84. D eterm ine la posición e del centro de cortante,
punto O, para la viga que tiene la sección transversal mos­
trada. El espesor es t.
7-87. La viga está hecha con cuatro tablones clavados en­
tre sí, como se muestra. Si cada clavo puede soportar una
fuerza cortante de 100 Ib. determ ine las separaciones re­
queridas s' y s entre los clavos cuando la viga está som eti­
da a una fuerza cortante V = 700 Ib.
*7-88. La viga está hecha de cuatro tablones clavados en­
tre sí, como se muestra. Si la viga está sometida a una fuer­
za cortante V = 1200 Ib, determ ine la fuerza cortante en
cada clavo. La separación en los lados es s = 3 pulg y en la
parte superior, s' = 4.5 pulg.
Prob. 7-84
7-85. D eterm ine el esfuerzo cortante en los puntos B y
C sobre el alma de la viga, en la sección a-a.
7-86. Determine el esfuerzo cortante máximo que actúa
en la sección a-a de la viga.
7-89. La viga se compone de tres placas delgadas solda­
das como se muestra. Si se somete a una fuerza cortante
V = 48 kN, determine el flujo cortante en los puntos A y B.
Además, calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga.
8000 Ib
150 lb/pie
a
Ç
'
> \3 n
¥)
B
a
1.5 pies 1.5 pies
4 < 7 !í
0-75 pulg
1 _ L _ U
C6 pulg
0.5 pulg-
~n
4 pulg
Probs. 7-85/86
0.75 pulg
Prob. 7-89
P ro b le m as de repaso
7-90. La viga está som etida a una fuerza cortante V =
25 kN. D eterm ine el esfuerzo cortante en los puntos A
y B y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. Se
tiene una pequeña abertura en C.
•
421
*7-92. D eterm ine la posición e del centro de cortante,
punto O, para el miembro de pared delgada que tiene la
sección transversal mostrada.
P ro b . 7-90
7-91. La viga está som etida a una fuerza cortante V —
25 kN. D eterm ine el esfuerzo cortante en los puntos A y
B y calcule el esfuerzo cortante máximo en la viga. Supon­
ga cerrada la abertura en C de manera que la placa cen­
tral quede unida a la placa superior.
7-93. La viga T está som etida a una fuerza co rtan te
V = 150 kN. Determ ine la porción de esta fuerza que es
soportada por el alma B.
Prob. 7-91
Prob. 7-93
La columna excéntrica que soporta este letrero está sometida a las cargas
combinadas de fuerza normal, fuerza cortante, momentos flexionante y
torsionante.
capitulo
Cargas combinadas
Este capítulo sirve como repaso del análisis de esfuerzos expuesto en las capítulos
previos con respecto a carga axial, torsión, flexión y cortante. Veremos la solución
de problemas donde varias de esas cargas internas se presentan simultáneamente
sobré la sección transversal de un miembro. Sin embargo, antes de eso. el capítu­
lo comienza con el análisis del esfuerzo originado en recipientes a presión de pa­
red delgada.
8.1
Recipientes de presión de pared delgada
Los recipientes cilindricos o esféricos que sirven como calderas o tanques
son de uso común en la industria. Cuando se someten a presión, el material
del que están hechos soporta una carga desde todas las direcciones. Si bien
éste es el caso que estudiaremos aquí, el recipiente puede ser analizado
de manera simple siempre que tenga una pared delgada. En general, "pa­
red delgada " se refiere a un recipiente con una relación de radio interior
a espesor de pared de 10 o más (r/t > 10). Específicamente, cuando r/t = 10.
los resultados de un análisis de pared delgada predicen un esfuerzo que
es casi 4% menor que el esfuerzo máximo real en el recipiente. Para ra­
zones r/t mayores, este error será aún menor.
Cuando la pared del recipiente es "delgada", la distribución del esfuer­
zo a través de su espesor t no variará de manera significativa. V por tanto
se supondrá que es uniforme o comíante. Con esta suposición, se analizará
ahora el estado de esfuerzo en recipientes de presión cilindricos y esféri­
cos de pared delgada. En ambos casos se entiende que la presión dentro
del recipiente es la presión ntanométrica, ya que mide la presión por en­
cima de la presión atmosférica, la que se supone existe tanto en el inte­
rior como en el exterior de la pared del recipiente.
424 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
Recipientes cilindricos.
(a)
Considere que el recipienie cilindrico tiene
un espesor de pared / y un radio interior r como se muestra en la figura
8-l<7. D e n tro del recipiente, a causa de un gas o fluido de peso insignifican­
te, se desarrolla una presión manom ètrica p . D ebido a la uniform idad de
esta carga, un elem ento del recipiente suficientem ente alejado del extre­
mo y orientado como se m uestra, está sometido a los esfuerzos normales
(t j en la d ire cció n a n u la r o circu n feren cia l y cr2 en la dirección lon gitu ­
d in a l o a xia l. E s ta s dos componentes de esfuerzo ejercen tensión sobre
el m aterial. Q uerem os determ inar la magnitud de cada una de esas com ­
ponentes en térm inos de la geometría del recipiente y de la presión inter­
na. P ara hacer esto, usamos el método de las secciones y aplicam os las
ecuaciones de eq u ilib rio de fuerzas.
Para el esfuerzo anular, considere que el recipiente es seccionado por
los planos a ,b y c. E n la figura 8 -l/> se muestra un diagrama de cuerpo li­
bre del segmento posterior junto con el gas o fluido que contiene. E n es­
ta figura se m uestran sólo las cargas en la dirección x . Estas cargas se de­
sarrollan por el esfuerzo circunferencial uniform e trj, que actúa a través
de la pared del recipiente y la presión que actúa sobre la cara vertical del
gas o fluido seccionado. Para el equilibrio en la dirección x se requiere:
1 ^ = 0:
2[<rt( t d y ) ] - p ( 2 r d y ) = 0
pr
( 8 - 1)
Para obtener el esfuerzo longitudinal ¿^.consideraremos la porción iz­
quierda de la sección b del cilindro, figura 8 -la . Com o se muestra en la f i­
gura 8 -lc. <r2 actúa uniformemente a través de la pared y p actúa sobre la
sección de gas o fluido. Com o el radio medio es aproxim adam ente igual
al radio in terio r del recipiente, el equilibrio en la dirección y requiere:
LFv= 0;
<72( 27rrt) - p(7rr2) - 0
02 =
EL
2l
( 8 -2 )
E n las ecuaciones anteriores.
= esfuerzo norm al en las direcciones circunferencial y longitudi­
nal. respectivam ente. Se supone que son constantes a través de
la pared del cilindro y que someten el m aterial a tensión
p = presión m anom etrica interna desarrollada por el gas o fluido
contenido
<c)
r = radio in te rio r del cilindro
Fig.8.1
t = espesor de la pared (r/t ^ 10 )
Sección 8.1
Recipientes de presión de pared delgada
• 425
Com parando las ecuaciones 8-1 y 8-2, se ve que el esfuerzo circunferen­
cial o anular es dos veces más grande que el esfuerzo longitudinal o axial. E n
consecuencia, cuando se fabrican recipientes de presión con placas lam i­
nadas, las juntas longitudinales deben diseñarse para soportar dos veces
más esfuerzo que las juntas circunferenciales.
Recipientes esféricos. Podemos an aliza r un recipiente esférico a pre­
sión de m anera sim ilar. Por ejemplo, considere que el recipiente tiene un
espesor de pared /, un radio interno r y que va a estar sometido a una pre­
sión ¡) m anomètrica interna, figura 8-2«. Si el recipiente se divide en dos
usando la sección « .e l diagram a de cuerpo libre resultante se muestra en
la figura 8-2b. A l igual que el cilindro, el eq uilib rio en la dirección y re­
quiere:
1 F V = 0;
Se muestra el barril de una escopeta que se
atoró con basura ¡intes de ser disparada. La
presión del gas de la carga increm entó el es­
fuerzo circunferencial del barril lo que cau­
só la ruptura del mismo.
02(27377) - /?(7!T2) = O
(T-> = EL
2f
(8-3)
Por com paración, éste es el m ism o resultado que el obtenido para el es­
fuerzo longitudinal en el recipiente cilin d rico . Adem ás, de acuerdo con el
análisis, este esfuerzo será el mismo sea cu á l sea la orientación del diagra­
ma de cuerpo libre hem isférico. E n consecuencia, un elemento de mate­
ria l está sometido al estado de esfuerzo m ostrado en la figura 8-2a.
E l análisis anterior indica que un elem ento de m aterial tomado del re ci­
piente de presión cilindrico o del esférico queda sometido a esfuerzo b ia ­
x ia l. esto es. a un esfuerzo normal que exis.te en sólo dos direcciones. De
hecho, el m aterial del recipiente también está sometido a un esfuerzo ra ­
d ia l. (Tj, que actúa a lo largo de una línea radial. Este esfuerzo tiene un
valo r m áxim o igual a la presión p en la pared in terio r y decrece a través
de la pared hasta un valo r cero en la superficie exterior del recipiente, ya
que ah í la presión manom etrica es cero. S in embargo, para recipientes de
pared delgada despreciarem os la com ponente radial del esfuerzo, puesto
que la suposición lim itante, r/t = 10 . da por resultado que o 2 y &\ sean, res­
pectivamente. 5 y 10 veces m ayores q u z el esfuerzo radial m áxim o, (<r3) máx
= p. Finalm ente, téngase en cuenta que la s fórm ulas anteriores son v á li­
das sólo para recipientes sometidos a una presión m anomètrica interna.
Si el recipiente se somete a una presión externa, ésta puede ocasionar que
se vuelva inestable y pueda fa lla r a causa del pandeo.
(a)
426 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
E J E M P L O
U n recipiente a presión cilind rico tiene un diám etro interio r de 4 pies
y un espesor de i pulg. D eterm ine la presión interna máxim a que pue­
de soportar sin que sus componentes de esfuerzo circunferencial y lon­
gitudinal resulten mayores de 20 klb/pulg2. B a jo las mismas condicio­
nes, ¿cu ál es la presión interna m áxim a que un recipiente esférico del
mismo tam año puede soportar?
Solución
R e cip ie n te c ilin d ric o a presión . E l esfuerzo m áxim o se presenta en
la dirección circunferencial. D e la ecuación 8-1. tenemos:
pr
o-, = —
t
™
> /K24 Pu,g)
20 klb/pulg~ = — 7— ----¿pulg
p - 417 lb/pulg 2
Resp.
A d v ie rt a que cuando se alcanza esta p resió n, de acuerdo con la
ecuación 8 -2 . el esfuerzo en la dirección longitudinal será a 2 = 1(2 0 klb
/pulg2) = 10 klb/pulg2. Adem ás, el esfuerzo m áxim o en la dirección ra­
d ia l o curre sobre el m aterial en la pared in te rio r del recipiente y es
(tfjOmáx = P = 417 lb/pulg2. E ste valo r es 4S veces más pequeño que el
esfuerzo circunferencial (20 klb/pulg2) y. como se dijo antes, sus efec­
tos serán despreciados.
R e cip ie n te esférico. E l esfuerzo máxim o se presenta aquí en dos d i­
recciones perpendiculares cualesquiera sobre un elemento del recipien­
te. figura 8-2a. D e la ecuación 8-3. tenemos:
p = 833 lb/pulg 2
Resp.
Si bien es más difícil de fabricar, el recipiente a presión esférico re
siste el doble de presión interna que un recipiente cilindrico.
PR081EMAS
•
427
PROBLEMAS
8-1. Un tanque esférico para gas tiene un radio interno
r = 1.5 m. D etermine su espesor requerido al estar some­
tido a una presión interna p = 300 kPa. si el esfuerzo nor­
mal máximo no debe exceder de 12 MPa.
8-2. Un tanque esférico a presión va a fabricarse de ace­
ro con 0.5 pulg de espesor. Si va a estar som etido a una pre­
sión interna p = 200 lb/puJg2, determ ine su radio exterior
para que el esfuerzo normal máximo no exceda de 15 klb/
pulg2.
8-3. El tanque de una com presora de aire está sometido
a una presión interna de 90 Ib/pulg2. Si el diám etro interno
del tanque es de 22 pulg y el espesor de su pared es de 0.25
pulg. determ ine las com ponentes del esfuerzo que actúan
en un punto y muestre los resultados sobre el elemento.
*8-4. El cilindro de pared delgada puede ser soportado de
dos m aneras diferentes, tal como se m uestra. Determine el
estado de esfuerzo en la pared del cilindro en ambos casos si
el émbolo P genera una presión interna de 65 lb/pulg2. La
pared tiene un espesor de 0.25 pulg y el diám etro interior
del cilindro es de 8 pulg.
8 -6 .
La tubería de extremos abiertos de cloruro polivi­
nilico tiene un diám etro interior de 4 pulg y espesor de 0.2
pulg. D etermine el estado de esfuerzo en las paredes del
tubo cuando fluye en él agua con una presión de 60 Ib
/pulg2.
8-7. Si el flujo de agua en la tubería del problem a 8-6 se
detiene debido al cierre de una válvula, determ ine el es­
tado de esfuerzo en las paredes del tubo. Desprecie el peso
del agua. Suponga que los soportes sólo ejercen fuerzas
verticales sobre la tubería.
Ih
D
’B f
'I
Probs. 8-6/7
*8 -8 . La banda de acero A-36 de 2 pulg de ancho está fi­
ja alrededor del cilindro rígido liso. Si los pernos están
apretados con una tensión de 400 Ib. determine el esfuerzo
normal en la banda, la presión ejercida sobre el cilindro y
la distancia que se alarga la mitad de la banda.
<W
Prob. 8-4
Prob. 8-8
8-5. La tubería de gas está soportada cada 20 pies por si­
lletas de concreto que la mantienen fija al piso. Determine
el esfuerzo longitudinal y circunferencial en la tubería si
la temperatura se eleva 60" F respecto a la tem peratura a la
que fue instalada. El gas en la tubería está a una presión
de 600 lb/pulg2. La tubería tiene un diám etro interior de
20 pulg y espesor de 0.25 pulg. El material es accro A-36.
8-9. La tapa de un recipiente a presión se fabrica unien­
do con pegam ento la placa circular al extrem o del reci­
piente com o se muestra. Si en el recipiente se tiene una
presión interna de 450 kPa. determine el esfuerzo cortante
prom edio en el pegam ento y el estado de esfuerzo en la
pared del recipiente.
f— 450 nun H
IO inni
20 pies
Prob. 8-5
20 mm
Prob. 8-9
-
428 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-10. U n cincho de acero A-36 tiene diám etro interior
de 23.99 pulg. espesor de 0.25 pulg y ancho de 1 pulg. Si el
cincho y el cilindro rígido de 24 pulg de diám etro tienen
una tem peratura de 65° F. determine la tem peratura a la
que el cincho debe calentarse para que deslice apenas sobre
el cilindro. ¿Cuál es la presión que el cincho ejerce sobre el
cilindro y el esfuerzo de tensión en el cincho cuando éste
se enfría a su tem peratura original de 65° F?
Prob.
8-13. Para incrementar la resistencia del recipiente a pre­
sión se dispuso un em bobinado a base de filamentos del
mismo material alrededor de la circunferencia del recipien­
te como se muestra. Si la pretensión en el filamento es T y
el recipiente está som etido a una presión interna p. deter­
mine los esfuerzos circunferenciales en el filamento y en la
pared del recipiente. Use el diagrama de cuerpo libre mos­
trado y suponga que el em bobinado de los filamentos tiene
un espesor i' y ancho \v para toda longitud L del recipiente.
8-11. Las duelas o miembros verticales del barril de m a­
dera se mantienen unidas mediante aros semicirculares tic
0.5 pulg de espesor y 2 pulg de ancho. Determine el esfuerzo
normal en el aro A B cuando el tanque se somete a una pre­
sión manomé trica interna de 2 Ib/pulg2)' esta carga se trans­
mite directamente a losaros. Asimismo,si se utilizan pernos
de 0.25 pulg de diámetro para conectar los aros entre sí. d e ­
term ine el esfuerzo de tensión en cada perno A y B. S u ­
ponga que el aro A B soporta la carga de presión a lo largo
de una longitud de 12 pulg del barril como se muestra.
Prob. 8-13
Prob. 8-11
*8-12. Una caldera está construida con placas de acero
de 8 mm de espesor unidas entre sí a tope en sus extrem os
por medio de dos cubreplacas de S mm y remaches de 10 mm
de diám etro espaciados a 50 mm como se muestra. Si la
presión del vapor en la caldera es de 1.35 MPa, determ ine
(a) el esfuerzo circunferencial en la placa de la caldera a
un lado de la junta, (b) el esfuerzo circunferencial en la cubreplaca exterior a lo largo de la línea a-a de rem aches y
(c) el esfuerzo cortante en los remaches.
8-14. Un recipiente a presión de extrem os cerrados se
fabrica trenzando filamentos de fibra de vidrio sobre un
mandril, de manera que el espesor i del recipiente está com
puesto enteramente de filamento y de un pegamento epóxico como se muestra en la figura. Considere un segmento del
recipiente de ancho w y trenzado a un ángulo 0. Si el reci­
piente está sometido a un« presión interna /¿.demuestre que
la fuer/a en el segmento es Fs = (r0\vt, donde crn es el esfuer­
zo en los filamentos. Demuestre también que los esfuerzos
en las direcciones circunferenciales y longitudinales son
= </0 sen 20v oy = <rocos20.respectivamente. ¿Bajoqué ángu­
lo 0 deben trenzarse (ángulo óptimo de trenzado) los fila­
mentos para que los esfuerzos circunferenciales y longitudi­
nales sean equivalentes?
Prob. 8-14
Se cció n 8 .2
8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 4 2 9
Estado de esfuerzo causado por cargas com binadas
E n los capítulos anteriores desarrollam os métodos para determ inar las
distribuciones del esfuerzo en un miembro sometido a carga axial inter­
na. a fuerza cortante, a momento flexionante o a momento torsionante.
S in embargo, la sección transversal de un m iem bro suele estar sometida
simultáneamente a varios de esos tipos de carga y, en consecuencia, el mé­
todo de superposición, si es aplicable, puede usarse para determ inar la dis­
tribución resultante del esfuerzo causado por las cargas. E n aplicaciones
se determ ina prim ero la distribución del esfuerzo debido a cada carga y
luego se superponen esas distribuciones p ara determ inar la distribución
resultante del esfuerzo. Com o se estableció en la sección 4.3. el principio
de superposición puede usarse para este fin siempre que exista una relación
lineal entre el esfuerzo y las cargas. A dem ás, la geometría del miem bro no
debe experim entar cam bios significativos cuando se aplican las cargas. E s ­
to es necesario para garantizar que el esfuerzo generado por una carga no
esté relacionado con el esfuerzo generado por cualq uier otra carga. E l
análisis se confinará a los casos en que se cum plan esas dos hipótesis.
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS
E l siguiente procedim iento proporciona un medio general para de­
term inar las componentes norm al y cortante del esfuerzo en un pun­
to de un miem bro cuando éste está som etido a varios tipos diferen­
tes de cargas sim ultáneas Se supondrá que el m aterial es homogéneo
y que se com porta de m anera elástico-lineal. E l principio de SaintVenant requiere que el punto donde va a determ inarse el esfuerzo es­
té alejado de cualquier discontinuidad en la sección transversal o de
puntos de aplicación de carga.
C argas internas.
• Seccione el m iem bro perpendicularm ente a su eje en el punto en
que el esfuerzo va a ser determinado y obtenga las componentes
resultantes internas de fuerza norm al y cortante así como las com ­
ponentes de momento flexionante y torsionante.
• L a s componentes de fuerza deben pasar por el centroide de la
sección transversal y las com ponentes de momento deben calcu­
larse respecto a ejes centroidales, que representen los ejes princi­
pales de inercia en la sección transversal.
E sfu e rzo n o rm a l prom edio.
• C alcu le la componente de esfuerzo asociada con cada carga in­
terna. E n cada caso, represente el efecto, ya sea como una d istri­
bución del esfuerzo actuando sobre toda el área de la sección
transversal, o bien, m uestre el esfuerzo sobre un elem ento de
m aterial localizado en un punto específico sobre la sección trans­
versal.
Esta chim enea estáí som etida a la carga com­
binada de viento y peso propio. Es im pór­
tam e investigar el csfucr/o de tensión en la
chim enea ya que la m anipostería es débil en
tensión.
430 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
F u e rz a norm al.
L a fu erza norm al interna es generada por una distribución uniforme
del esfuerzo norm al determ inado por la ecuación a = P /A .
F u e rz a cortante.
L a fuerza cortante interna en un miem bro sometido a flexión es ge­
nerada por una distribución del esfuerzo cortante determ inado por
la fórm ula del cortante r = V Q /lt. Sin embargo, debe tenerse un cui­
dado especial al aplicar esta ecuación, como se hizo ver en la sección
7.3.
M o m en to fle xio n a n te .
E n m iem bros rectos, el momento flexionante interno es generado por
una distribución del esfuerzo norm al que varía linealm ente de cero
en e l eje neutro a un m áxim o en la superficie exterior del m iem bro.
L a distribución del esfuerzo es determinada por la fórm ula de la fle­
xión <r= - M y / l. Si el miem bro es cu rv o , la distribución del esfuerzo
no es lineal y es determ inada por cr = M y j\ A e {R - )*)].
M om ento torsionante.
E n flechas y tubos circulares el momento interno torsionante es gene­
rado por una distribución del esfuerzo cortante que varía linealmente
de cero en el eje central de la flecha a un máximo en la superficie exte­
rio r de la flecha. L a distribución del esfuerzo cortante es determinada
por la fórm ula de la torsión t = T p fJ . Si el miem bro es un tubo de pa­
red delgada cerrada, use r = T f2 A int.
R e cip ie n te s a p resió n de p a re d delgada.
Si el recipiente es un cilindro de pared delgada, la presión interior/?
ocasionará un estado biaxial de esfuerzo en el m aterial donde la com­
ponente circunferencial del esfuerzo es o-, = p r/t y la componente lon­
gitudinal del esfuerzo es tr2 = p r[2 t. S i el recipiente es una esfera de
pared delgada, entonces el estado biaxial de esfuerzo está represen­
tado por dos componentes equivalentes, cada una de magnitud <r2 =
p rflt.
Su p erp o sició n .
• U n a vez que se han calculado las componentes normal y cortante
del esfuerzo para cada caso de carga, use el principio de superpo­
sición y determine las componentes resultantes normal y cortante
del esfuerzo.
• Represente los resultados sobre un elemento de m aterial locali­
zad o en el punto o muestre los resultados como una distribución
d el esfuerzo actuando sobre la sección transversal del miembro.
Lo s problemas en esta sección, que im plican cargas combinadas, sirven
como un repaso básico de la aplicación de muchas de las importantes ecua­
ciones de esfuerzo estudiadas antes. U n pleno entendim iento de cómo se
aplican esas ecuaciones, tal como se indicó en los capítulos previos, es ne­
cesario para poder resolver con éxito los problemas al final de esta sec­
ción. L o s siguientes ejem plos deben estudiarse cuidadosamente antes de
proceder a resolver los problemas.
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 431
Se aplica una fuerza de 150 Ib al borde del miembro mostrado en la fi­
gura 8-3«. Desprecie el peso del m iem bro y determ ine el estado de es­
fuerzo en los punios B y C.
S o lu c ió n
C argas internas. E l miem bro se secciona por B y C . Por equilibrio
en la sección se debe tener una fuerza a x ia l de 150 Ib actuando a tra­
vés del centroide y un momento flexionante de 750 Ib • pulg respecto
al eje centroidal principal, figura 8-3b.
Com ponentes de esfuerzo.
Fu erza n o rm a l. L a distribución del esfuerzo norm al uniforme debi­
do a la fuerza norm al se muestra en la figura 8-3c. Por tanto,
(a)
P
150 Ib
„ „
,
17 ~ ^4 ~ (10 pulg) (4 pulg) =
lb/pulg
M om ento fle x io n a n te . L a distribución del esfuerzo norm al uniforme
debido al momento flexionante se m uestra en la figura 8-3d. E l esfuer­
zo m áxim o es
Me
* máx = t
I
750 Ib • pulg (5 pulg)
=
t t t .—
n ^ iL )
2
r r r : — r r ? r = 1L25 ib/puig-
[ 12.(4 Pulg)(10 pulg)3]
<b>
S u p erp osición . Si las distribuciones de esfuerzo norm al anteriores se
suman algebraicam ente, la distribución resultante del esfuerzo es co­
mo se muestra en la figura 8-3e. A unque no se requiere aquí, la posi­
ción de la línea de esfuerzo cero puede determ inarse por triángulos se­
mejantes, esto es.
7.5 lb/pulg 2
15 Ib/pulg 2
x
(10 p u l g - * )
Fig. 8-3
x = 3.33 pulg
Lo s elementos del m aterial en B y C están sometidos sólo a esfuer­
zo norm al o uniaxial, como se muestra en las figuras 8-3/ y 8-3/?. Por
tanto.
<tb = 7.5 lb/pulg 2 (tensió n)
Resp.
<rc = 15 lb/pulg 2
(com presión)
Resp.
t
c
ú w m n m 'p v
-------3.75 lb/pulg2
Fuerza normal
(c)
m
15 lb/pulg
b W 2 77.¿ib /p u tf
3 75 ih/pulg2
m
(n
I
pulg-.«)
((10
10 pulg
—Af)
Momento flexionante
Id)
(d)
Carga combinada
(e)
<e)
1
c ®
¥
l51b/Pu1^
, v
(í>
432 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
E J E M P L O
í = 0.5 pulg
2-Tpulg
E l tanque en la figura 8-4a tiene un radio interio r de 24 pulg y un es­
pesor de 0.5 pulg. E stá lleno hasta el borde superior con agua de peso
específico yw = 62.4 Ib /p ie' y está hecho de acero con peso específico
yac = 490 Ib /pie3. D eterm ine el estado de esfuerzo en el punto A . E l
tanque está abierto en su parte superior.
Solución
C a rg a s internas. E l diagrama de cuerpo libre de la sección del tan­
que y el agua arriba del punto A se muestra en la figura 8-4¿>. Observe
que e l peso del agua es soportado por la superficie del agua justo aba­
jo de \a sección, no por la s paiedes del tanque. E n \a dirección verticaL
las paredes sim plemente sostienen el peso del tanque. E ste peso es:
= y„clC = (490 Ib/pie’ )
(a)
P¡eS) ’ - W&
CS) '
(3 pies) =777.7 Ib
E l esfuerzo en la dirección circunferencial es desarrollado por la pre­
sión del agua en el nivel A . Para obtener esta presión debemos usar la
ley d e Pascal que establece que la presión en un punto situado a una
profundidad z en el agua es p = y wz . E n consecuencia, la presión sobre
el tanque en el nivel A es:
3 pies
= (62.4 lb/pie?)(3 pies) = 187.2 lb/pie 2 = 1.30 lb/pulg 2
p= y*
C om ponentes de esfuerzo.
E sfu e rz o circu n feren cia l. A p licando la ecuación 8-1 con el radio in­
te rio r r = 24 pulg, tenemos:
pr
10.2 lb/pulg
Ib
62.4 lb/pulg2
(c)
ai =
1.30 lb/pulg 2 (24 pulg)
(0.5 pulg)
= 62.4 lb/pulg 2
Resp.
E sfu e rz o lo n g itu d in a l. Com o el peso del tanque es soportado unifor­
memente por las paredes, tenemos:
(T2 =
777.7 Ib
A m.
7j-((24.5 pulg )2 - (24 pulg)2]
10.2 lb/pulg 2
Resp.
Fig. 8-4
N ote que la ecuación 8-2. <r2 = p r f í t , no es aplicable aquí, ya que el tan­
que está abierto en su parte superior y por tanto, como se dijo antes, el
agua no puede desarrollar una carga sobre las paredes en la dirección
longitudinal.
E l punto A está sometido entonces al esfuerzo biaxial mostrado en
la figura 8-4c.
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 433
E J E M P L O
E l miembro mostrado en la figura 8-5a tiene una sección transversal
rectangular. Determ ine el estado de esfuerzo que la carga produce en
el punto C .
C
A 250
Í_ L
-•* —
50 mm
F í r . 8-5
Solución
Cargas internas. La s reacciones en los soportes sobre el miem bro ya
se calcularon y se muestran en la figura 8-5b. S i se considera el segmen­
to A C izquierdo del miembro, figura 8-5t\ las cargas resultantes inter­
nas en el miem bro consisten en una fuerza norm al, una fuerza cortan­
te y un momento fiexionante. Resolviendo se obtiene
N = 16.45 kN
V = 2\ .93 kN
M = 32.89 kN • m
Continúa
434 • CAPITULO 8 Cargas combinadas
a c = 63.15 MPa
v=o
a c = 1.32 MPa
y
HT
:
ti
~ r\ -__
. >
M omento flcxionantc
Fuerza normal
<0
(e)
(d)
Fig. 8.5 (cont.)
Componentes de esfuerzo.
Fu erza n o rm al. L a distribución uniform e del esfuerzo norm al que
actúa sobre la sección transversal es producida por la fuerza norm al,
figura 8-5 d. E n el punto C .
P
16.45 kN
° C ~ ~ A ~ (0.050 m )(0 .25 0 m ) ~
Fu erza corta nte. E n este caso. A ' - ü. ya que el punto C está situado
en la parte sup erio r del m iem bro. A s í. Q = y A ' = 0 y para C , figura
8-5e,el esfuerzo cortante
T c= 0
M om ento fle x io n a n te . E l punto C está localizado en y = c = 125 mrn
desde el eje neutro, por lo que el esfuerzo norm al en C . figura 8-5/, es:
Me
(32.89 k N - m )(0 .1 2 5 m )
crc = —T” = T í ---------------------- 7T~ = 63.15 M Pa
l
[¿ (0 .0 5 0 m )(0 .2 5 0 )3]
Su p erpo sició n . E l esfuerzo cortante es cero. Sumando los esfuerzos
normales determinados antes, se obtiene un esfuerzo de compresión
en C que tiene un valo r de:
a c = 1.32 M Pa + 63.15 M Pa = 64.5 M Pa
64.5 MPa
<g>
Resp.
Este resultado, que actúa sobre un elemento en C , se muestra en la fi­
gura 8-5g.
Sección 8.2
E J E M P L O
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 435
8.5
L a barra sólida mostrada en la figura 8 -6 « tiene un radio de 0.75 pulg.
D eterm ine el estado de esfuerzo en el punto A al estar sometida a la
carga mostrada.
Fír. 8-6
Solución
Cargas internas. L a barra se secciona por el punto A . U sando el dia­
grama de cuerpo libre del segmento A B . figura 8 -6 b. las cargas resul­
tantes internas se pueden determ inar a partir de las seis ecuaciones de
equilibrio. Verifique esos resultados. L a fuerza normal (500 Ib) y la fuerza
cortante (800 Ib) deben pasar por el centroide de la sección transver­
sal y las componentes del momento flexio nante (8000 Ib • pulg y 7000
Ib • pulg) están aplicadas respecto a ejes centroidales (p rincip ales). P a­
ra “ visualizar” m ejor las distribuciones de esfuerzo debido a cada una
de esas cargas, considerarem os las resultantes iguales p e ro opuestas que
actúan sobre el segmento A C de la b arra, figura 8 -6c.
Continúa
436
• CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
7000 lb-pulg)
,T
8000 lb-pulg)
^ J P v ° ° ,b
|t2(X )|b pu|g) ' ^ ¿ 0 2 8 3 klb/pulg2 ^ j^ Q .604 klb/pulg2
8 0 ° Ib t
Carga combinada
Fuerza normal
(5001b)
Fuerza cortante
(8001b)
(d)
(e)
<c>
. 13 klb/pulg2
Momento flexionantc Momento flexionantc
(8000 lb-pulg)
(7000 lb-pulg)
(0
(g)
16.90 klb/pulg2
Momento torsionantc
< 112 0 0 lb-pulg)
(h)
Com ponentes (le esfuerzo.
Fu e rz o norm al. L a distribución del esfuerzo norm al se muestra en la
figura 8 -6d. Para el punto A tenemos:
0.604
U.OU klb/pulg' + 16.90 klb/pulg"
5001b
P
= 283 lb/pulg 2 = 0.283 klb/pulg 2
°‘a = T
=
A
tt(0.75 pulg)
0.283 klb/pulg2 + 21.13 klb/pulg:
, 17.5 klb/pulg'
Fu erza cortante. L a distribución del esfuerzo cortante se muestra en la
figura 8-6<?. Para el punto A . Q se determina con el área sombreada semi­
circular. Usando la tabla en el forro interior de la cubierta tenemos:
21.4 klb/pulg2
(i)
4(0.75 pulg)
c = y 'A' = J
Fig. 8-6 (cont.)
3
¿*■(0.75 pulg )2 = 0.2813 pulg 3
de m anera que
~A =
VQ
800 lb(0.2813 pulg3)
li
[jjr(0.7S pulg)‘*]2(0.75 pulg)
= 604 lb/pulg 2 = 0.604 klb/pulg 2
M om en to s fle x ió n antes. Para la componente de 8000 Ib • pulg, el pun­
to A se encuentra sobre el eje neutro, figura 8 -6/, por lo que el esfuer­
zo norm al es:
trA - 0
Para e l momento de 7000 Ib • pulg, c = 0.75 pulg. por lo que el esfuer­
zo norm al en el punto A . figura 8 -6g .e s:
M e _ 7000 Ib • pulg (0.75 pulg)
(Ta =
[¿«■(0.75
pulg)4]
= 21 126 lb/pulg 2 = 21.13 klb/pulg 2
M o m en to torsionante. E n el punto A . pA = c = 0.75 pulg, figura 8-6h.
E l esfuerzo cortante es entonces.
- .i =
Te
J
11 200 Ib - p u lg (0.75 pulg)
,
. ,
= -------y~.------------ — ;— — = 16 901 lb/pulg 2 = 16.90 klb/pulg 2
[1,7(0.75 pulg)4]
S u p e rp o sic ió n . Cuando los resultados anteriores se superponen, se
ve que un elemento de m aterial en A está sometido tanto a componen­
tes de esfuerzo normal como corlante, figura 8 -6/.
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 437
8.6
E J E M P L O
E l bloque rectangular de peso despreciable mostrado en la figura 8.7«
está sometido a una fuerza vertical de 40 k N . aplicada en una de sus es­
quinas. Determ ine la distribución del esfuerzo norm al que actúa sobre
una sección a través de ABCD.
40 kN
0.8 m
<b>
(a)
Fig. 8-7
Solución
C argas internas. Si consideramos el eq uilib rio del segmento inferior
del bloque, figura 8-7b, se ve que la fuerza de 40 kN debe pasar por el
centroide de la sección transversal y deben actuar también dos com ­
ponentes de momento fiexionante respecto a los ejes centroidales prin­
cipales de inercia de la sección. V erifiq u e esos resultados.
Com ponentes de esfuerzo.
Fu e rz a n o rm a l. L a distribución unifo rm e del esfuerzo norm al se
muestra en la figura 8-7c. Tenemos:
a
P
A
40 kN
(0 .8 m )(0 .4 m )
“3
M om en tos fle x io n a n te s . L a d istrib u ció n del esfuerzo norm al para
el momento de 8 kN • m se muestra en la figura 8-7d. E l esfuerzo má­
xim o es:
A4xCy
8 kN • m (0.2 m )
<rm..r = — — = —-------------------- IT = 375 kPa
[ ¿ ( 0 .8 m ) ( 0 .4 m ) 3]
Continúa
438 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
D e la m ism a m anera, para el momento de 16 kN • m. figura 8-7e. el
esfuerzo norm al m áxim o es:
Mycx
16 kN • m (0.4 m )
<rmí, = - f - = T i-----------'-------T í = 375 kPa
¡y
[ ¿ ( 0 .4 m ) ( 0 .8 m ) 3]
Fuerza normal
(40 kN)
(c)
Momento flexioname
( 8 kN-m)
Momento flexionantc
(lókN-m )
Carga combinada
(c)
(0
(d)
Fij». 8-7 (conl.)
S u p erp o sició n . E l esfuerzo norm al en cada esquina puede determ i­
narse por adición algebraica. Suponiendo que el esfuerzo de tensión es
positivo, tenemos:
aA =
- 1 2 5 kP a + 375 kP a + 375 kPa = 625 kPa
crB =
- 1 2 5 kP a -
ere =
- 1 2 5 kPa - 375 kP a - 375 kPa = -8 7 5 kPa
aD =
- 1 2 5 kPa + 375 kP a - 375 kPa = - 1 2 5 kPa
375 kP a + 375 kPa = - 1 2 5 kPa
Com o las distribuciones de esfuerzo debido al momento flexionante son lineales, la distribución resultante del esfuerzo es también lineal
y por lo tanto se ve como se muestra en la figura 8-7f L a línea de es­
fuerzo cero puede localizarse a lo largo de cada lado por triángulos se­
mejantes. D e acuerdo con la figura, se requiere:
(0.4 m — e )
625 kP a
c
*
125 kPa
c = 0.0667 m
y
( 0 .8 m - h )
625 k P a
¡i
'
125 kPa
h = 0.133 m
Sección 8.2
Estado de esfuerzo causado por cargas combinadas • 439
E J E M P L O
U n bloque rectangular tiene un peso despreciable y está sometido a
una fuerza vertical P. figura 8-8«. (a ) D eterm in e el intervalo de valo ­
res para la excentricidad c\. de la carga a lo largo del eje y de manera
que no se presente ningún esfuerzo de tensión en el bloque, (b ) E sp e ­
cifique la región sobre la sección transversal en que puede aplicarse P
sin que se presente un esfuerzo de tensión en el bloque.
Solución
P a rle (a ). Cuando P se mueve al centroide de la sección transversal,
figura 8-8b. es necesario agregar un momento concentrado M x = Pey
para mantener una carga estáticam ente equivalente. E l esfuerzo nor­
mal combinado en cualquier posición y sobre la sección transversal,
causado por esas dos cargas, es:
_ p _
( Pey)y
A
/,
p ( ,
(a)
. A eyy'
E l signo negativo indica aquí un esfuerzo de com presión. Para una ey
positiva, figura 8-8 «, el esfuerzo de com presión m ás pequeño se pre­
senta a lo largo del borde A B , donde y = - h f l . figura 8 -8¿>. (P o r ins­
pección. P genera compresión en tal lugar, pero Mv genera tensión.)
Por tanto.
P f
A e yh \
/ll
2lx )
E s te esfuerzo será negativo, es decir, de com presión, si el térm ino en
paréntesis es positivo; esto es
Fig. 8-8
l > A e yfl
2 ¡x
Com o A = b h e I x = — b / r . entonces
6ev
!> t
ey < 6 ^
Resp.
E n otras palabras, si -~h ^ ey < | / i.e l esfuerzo en el bloque a lo largo
de los bordes A B o C D será cero o de com presión. A esto se le llama
a veces “regla d el tercio m edio ". E s m uy importante m antener esta re­
gla en mente al cargar columnas o arcos con secciones rectangulares y
hechos de m aterial de piedra o concreto, que pueden soportar poco o
ningún esfuerzo de tensión.
Continúa
440
• CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
P arte (b) . Podemos extender el análisis anterior en dos direcciones
suponiendo que P actúa en el cuadrante positivo del plano x-y , figura
8-Sc. L a carga estática equivalente cuando P actúa en el centroide se
muestra en la figura &■$<!. E n cualquier punto coordenado a-, y sobre la
sección transversal, el esfuerzo norm al com binado debido a carga nor­
mal y de flexió n es:
C r~
P
P e yy
A
/,
P e xx
ly
Por inspección, figura S-8d , ambos momentos generan esfuerzos de ten­
sión en el punto A y la fuerza normal genera un esfuerzo de compresión.
Por consiguiente, el esfuerzo de compresión más pequeño se presenta
en el punto A . para el cual .v = -/>/2 y y = - h / 2 . A s í,
CTa '
P (
A e yh
A e xb \
¿V
~2IX
2 1 ,)
Igual que antes, el esfuerzo normal permanece negativo o de compre­
sión en el punto A . si los térm inos en paréntesis permanecen positivos,
esto es.
/
A e .Jí
A e xb \
0<('-ir-üf)
Sustituyendo A = bh , l x = ~2 b lr\ I v = ~ hb3, se obtiene:
E n consecuencia, independientemente de la magnitud de P, si ésta se
aplica en cualq uier punto dentro de los lím ites de la línea G i l m ostra­
da en la figura 8-8e, el esfuerzo norm al en el punto A será de com pre­
sión. D e m anera sim ilar, el esfuerzo normal en las otras esquinas de la
sección transversal será de compresión si P actúa dentro de los lím ites
de las líneas E G , F E y H F . A l paralelogram o sombreado así definido
se le llama núcleo central de la sección transversal. D e acuerdo con la
"regla del íe rcio m edio" vista en la parte (a ), las diagonales del para­
lelogramo tienen longitudes de bí3 y ht3.
Se ve aquí un ejemplo de dónde un esfuer­
zo combinado, axial y de flexión, se puede
presentar.
(c)
Fig. 8-8 (cont.)
Problem as
•
441
PROBLEMAS
8-15. El tom illo de la prensa ejerce una fuerza de com­
presión de 500 Ib sobre los bloques de madera. Determine
el esfuerzo normal máximo desarrollado en la sección a-a.
La sección transversal ahí es rectangular, de 0.75 pulg por
0.50 pulg.
8-19. La segueta tiene una hoja ajustable que se tensa
con una fuerza de 40 N. Determ ine el estado de esfuerzo
en los puntos A y B del marco.
"8-16. El tornillo de la prensa ejerce una fuerza de compre­
sión de 500 Ib sobre los bloques de madera. Esboce la dis­
tribución del esfuerzo en la sección a-a de la prensa. La
sección transversal ahí es rectangular, de 0.75 por 0.50 pulg.
$ mi»
4 pulg
Probs. 8-15/16
8-17. La prensa está formada por los m iembros A B y A C
conectados entre sí por un pasador en A . Si se ejerce una
fuerza de compresión en C y B de 180 N. determ ine el es­
fuerzo máximo de compresión en la sección a-a de la prensa.
El tornillo E F cstá sometido sólo a una fuerza de tensión
a lo largo de su eje.
8-18. La prensa está formada por los m iembros A B y A C
conectados entre sí por un pasador en A . Si se ejerce una
fuerza de compresión en C y B de 180 N, esboce la distri­
bución del esfuerzo que actúa sobre la sección a-a. El to r­
nillo E F c siá som etido sólo a una fuer/a de tensión a lo
largo de su eje.
T
i15 m m
i
I-— A
15 mm
*8-20. El eslabón excéntrico soporta la carga P = 30 kN.
Determino su ancho w requerido si el esfuerzo normal per­
misible es «/pero,= 73 MPa. El eslabón tiene un espesor de
40 mm.
8-21. El eslabón excéntrico tiene un ancho w = 200 mm
y un espesor de 40 mm. Si el esfuerzo normal permisible
es cTpem, = 75 MPa, determ ine la carga máxima P que pue­
de aplicarse a los cables.
P
180 N
180 N
Sección a- a
P
Probs. 8-17/18
Probs. 8-20/21
442
• CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-22. La junta está sometida a las fuerzas P = 80 Ib y F - 0 .
Esboce la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre
la sección a-a si el miembro tiene una sección transversal
rectangular de 2 pulg de ancho y 0.5 pulg de espesor.
8-23. La ju n ta está som etida a las fuerza P = 200 Ib y
F = 150 Ib. D etermine el estado de esfuerzo en los puntos
A y B y esboce los resultados sobre elementos diferencia­
les situados en esos puntos. El miembro tiene una sección
transversal rectangular de 0.75 pulg de ancho y 0.5 pulg de
espesor.
8-25. La fuerza vertical P actúa en el fondo de la placa
que tiene un peso despreciable. D etennine la distancia más
pequeña <1 al borde de la placa en que P puede aplicarse
para que no se generen esfuerzos de compresión sobre la
sección a-a de la placa. La placa tiene un espesor de 10 mm
y P actúa a lo largo de la línea central de este espesor.
200 mm H
500 mm
2 pulg
1.25 pulg
Probs. 8-22/23
“8-24. La góndola y los pasajeros pesan 1500 Ib y su centro
de gravedad está en G. E l brazo A E tiene una sección
transversal cuadrada de 1.5 pulg por 1.5 pulg y está conec­
tada por pasadores en sus extremos A y E. D eterm ine el
máximo esfuerzo de tensión generado en las regiones A B
y D C del brazo.
8-26. La barra tiene un diám etro de 40 mm. D etermine
las com ponentes de esfuerzo que actúan en el p u nto A
cuando está sometida a la fuerza de 800 N, como se mues­
tra. Exponga los resultados sobre un elem ento de volumen
localizado en esc punto.
8-27.
Resuelva el problema 8-26 para el punto B.
1.25 pies
Prob. 8-24
P robs. 8-26/27
Problemas
*8-28. El p o ste cilindrico, con d iám etro d e 40 m m , está
siendo ja la d o del su elo usando una cu erda d e esp eso r d es­
preciable. Si la c u erd a está som etida a una fuer/.a vertical
P = 500 N. determ ine el esfuerzo en los p u n to s A y B. M ues­
tre los resu ltad o s sobre un e lem en to de volum en situ ad o
en cada uno de eso s puntos.
•
443
*8-32. El so p o rte d e p asad o r está h echo de un a b arra de
acero que tiene un diám etro de 20 mm. D eterm ine las com ­
p o n e n te s d e esfuerzo en los p u n to s A y B y rep resen te los
resu ltad o s so b re un e le m e n to d e volum en localizado en
cad a un o d e estos puntos.
8-33.
R esuelva el p ro b lem a 8-32 p ara los p u n to s C y D.
8-29. D eterm in e la carga m áxim a P q u e p u e d e aplicarse
a la cuerd a, que tiene un esp eso r d esp reciab le, de m anera
q u e el e sfu erzo n orm al en el poste n o ex ced a de a
= 30
M Pa. El poste tiene un d iám etro d e 50 m m .
150 N
Probs. 8-32/33
Probs. 8-28/29
8-34. La viga de patín ancho está som etida a la carga m os­
trada. D eterm in e las com ponente« d e esfu erzo en los p u n ­
to s A y B y m u estre los resu ltad o s sobre un elem en to de
volum en en cada u n o de esos puntos. U se la fórm ula del
co rta n te p ara calcular el esfuerzo cortante.
8-30. El ancla de ' pulg de d iám etro está so m e tid a a una
carga F = 150 Ib. D eterm in e las c o m p o n e n te s d e esfuerzo
en el pu n to A del vástago. M u estre los resu lta d o s so b re un
elem en to d e volum en localizado en este p u nto.
8-31. El ancla d e j pulg de d iám etro está so m e tid a a una
carga F = 150 Ib. D eterm in e las c o m p o n en tes d e esfuerzo
en el p u n to B del vástago. M uestre los resul tad o s sobre un
e lem en to d e volum en localizado en este p u nto.
Probs. 8-30/31
Prob. 8-34
444
.
CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-35.
l,a viga en voladizo se usa p ara so p o rta r la carga de
8 kN. D eterm ine el estad o de esfuerzo en los p u n to s A y B
y esboce los resu ltad o s so b re elem en to s diferen ciales lo­
calizados en cad a u no de estos puntos.
El reso rte está so m etid o a una fuerza P. Si s u p o n e­
m os que el esfuerzo co rta n te causado p o r la fuerza co rtan ­
te en cu alq u ier sección vertical del alam b re d el resorte es
uniform e, d e m u estre que el esfuerzo c o rta n te m áxim o en
el reso rte es rniix = P/A + PRr/J, d o n d e J es el m o m ento
p o la r d e in e rc ia d e l a la m b re del re s o rte y A es su áre a
transversal.
8-37.
8 kN
P r o b .8-35
P r o b .8-37
*8-36. La m énsula so p o rta una carga d istrib u id a ce n tra l­
m ente aplicada de 1.8 k lb /p ie. D eterm in e el e sta d o de e s­
fuerzo en los p u n to s A y B del m iem b ro CD e in d iq u e los
resu ltad o s so b re un e lem e n to d e volum en lo calizad o en
cada uno d e esos puntos. L os p asad o res e n C y D están si­
tuados al nivel del eje n e u tro d e la sección transversal.
8-38. La b arra m etálica está som etida a una fuerza axial
P = 7 kN. Su sección transversal original va a ser a lterada
co rtan d o una ranura circular en un lad o de ella. D eterm ine
la distancia a q u e la ran u ra p u ed e p e n e tra r en la sección
transversa) d e m odo q u e el esfuerzo d e tensión n o exceda
el esfuerzo perm isible
= 175 M Pa. P roponga una m e­
jo r m an era d e rem o v er esta p ro fu n d id ad d e m aterial de
la sección transversal y calcule el esfuerzo d e tensión para
ese caso. D esprecie los efectos d e la concentración de es­
fuerzos.
mm
Prob. 8-36
Prob. K-38
Pro b lem a s
8-39. I-a p alanca d e co n tro l está so m e tid a a u n a fuerza
horizontal d e 20 Ib so b re la m anija. D e te rm in e el estad o
de esfuerzo e n los pu n to s A y B. E sboce lo s resultados so­
bre elem entos diferenciales localizados en c ad a uno d e esos
puntos. El conjunto está conectado por un pasador en C y
unido a un cable en D.
*8-40. L a palanca d e c o n tro l está so m etid a a una fuerza
horizontal d e 20 Ib sobre la m anija. D ete rm in e el estad o
de esfuerzo en los p u n to s E y F. E sboce lo s resu ltad o s s o ­
bre elem entos diferenciales localizados en c ad a un o d e esos
puntos. El co n ju n to está co n ectad o p o r un p asad o r en C y
unido a un cable e n D.
•
445
8-43. La estru ctu ra so p o rta la carga distribuida m o stra­
da. D eterm in e el estad o de esfuerzo q u e a ctú a en el p u n ­
to D. M uestre los resu ltad o s sobre un e lem en to d iferen ­
cial localizado e n este punto.
'8 -4 4 . La estru ctu ra so p o rta la carga d istribuida m o stra­
da. D eterm in e el e stad o d e esfuerzo que actúa en el p u n ­
to E. M uestre los resultados sobre un elem en to diferencial
localizado en este punto.
Probs. 8-43/44
8-41. El pasador soporta la carga de 700 Ib. D eterm ine las
com ponentes de esfuerzo en el m iem bro d e so p o rte en el
p u n to A. El soporte tiene 0.5 pulg de espesor.
8-45. Las pinzas constan de dos p artes de acero unidas en­
tre sí por un pasador en A Si un p erno liso se m antiene entre
las m ordazas y se aplica una fu er/a de apriete de 10 Ib en las
m anijas d e las pinzas,determ ine el estado de esfuerzo d esa­
rro llad o en los p u n to s B y C. L a sección transversal es rec­
tang u lar con las d im ensiones m ostradas en la figura.
8-46.
Resuelva el problem a 8-45 p ara los puntos D y E.
8-42. El pasador s o p o n a la carga de 700 Ib. D eterm ine las
com ponentes de esfuerzo en el m iem bro d e soporte en el
p unto B. El soporte tiene 0.5 pulg de espesor.
0.18 pulg
Probs. 8-41742
10 Ib
Probs. 8-45/46
446 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-47. El en g ran e cónico está s o m e tid o a las cargas m os­
tradas. D eterm ine las com ponentes d e esfu erzo q u e actúan
sobre la flecha en el punto A y m uestre lo s resultados sobre
un e lem en to d e volum en localizado en este punto. La fle­
cha tiene un d iám etro de 1 pulg y está e m p o tra d a en la p a­
red en C.
*8-48. El en g ran e cónico está so m etid o a las cargas m os­
tradas. D eterm in e las co m p o n en tes d e esfu erzo q u e aclúan
sobre la flecha en el p unto B y m uestre los resultados sobre
un e lem en to d e volum en localizado e n este punto. L a fle­
cha tiene un d iám etro d e 1 pulg y e stá e m p o tra d a en la p a ­
red en C.
8-51. La flecha d e ¿ pulg de d iám etro está som etida a la
carga m ostrada. D eterm ine las com ponentes de esfuerzo en
el p u n to A. E sboce los resu ltad o s so b re un e lem en to de
volum en localizado en este p unto. E l c o jinete de apoyo en
C p u ed e ejercer sólo co m p o n en tes d e fuerza C v y C ; sobre
la flecha y el co jinete d e em puje e n D p u ed e e jercer com ­
p o n en tes d e fu e r/a D „ D v y D ; sobre la flecha.
*8-52. R esuelva el p ro b lem a 8-51 p a ra las com ponentes
del esfuerzo en el p u n to B.
20 puls
Probs. 8-51/52
Probs. 8-47/48
8-49. E l le tre ro está so m etid o a la carg a d e v iento u n i­
form e m ostrada. D eterm ine las com ponentes de esfuerzo en
los p u n to s A y B so b re el p o ste d e 100 m m d e d iám etro
que lo soporta. M uestre los resultados so b re un elem ento de
volum en localizado en cad a u no d e eso s puntos.
8-50. E l letrero está so m etid o a la c a rg a d e v ien to u n i­
form e m ostrada. D eterm ine las com ponentes d e esfuerzo en
los p u n to s C y D sobre el p o ste d e 100 mm d e d iám etro
que lo soporta. M uestre los resultados so b re un elem ento de
volum en localizado en cad a u no d e eso s puntos.
Probs. 8-49/50
8-53. La flecha acodada está em p o tra d a en la p ared en
A. Si se aplica en B una fuerza F .d ete rm in e las com ponen­
tes d e esfuerzo en los p u n to s D y E. M uestre los resulta­
do s sobre un elem en to diferencial localizado en cada uno
de esos p untos. C on sid ere /r = 1 2 l b y 0 = O ° .
8-54.
L a flecha aco d ad a está em p o trad a en la p ared en
A. Si se aplica en B una fuerza F .d e te rm in e las com p o n en ­
tes d e esfuerzo en los pu n to s D y E. M uestre los resu lta­
dos so b re un elem en to diferencial localizado e n cada uno
d e esos puntos. C onsidere /•' = 12 Ib y 9 = 90°.
8-55. L a flecha aco d ad a está em p o tra d a en la p ared en
A. Si se aplica en B una fuerza F .d ete rm in e las com p o n en ­
tes d e esfu erzo en los pu n to s D y E. M uestre los resu lta­
d o s so b re un e lem en to diferencial localizado e n cada uno
d e esos puntos. C onsidere F = 12 Ib y 6 - 45°.
Probs. 8-53/54/55
F
Pro b lem a s
*8-56. La barra de 1 pulg de diám etro está som etida a las
cargas mostradas. D etermine el estado de esfuerzo en el
punto A y muestre los resultados sobre un elem ento dife­
rencial localizado en este punto.
8-57. La barra de 1 pulg de diám etro está som etida a las
cargas mostradas. D etermine el estado de esfuerzo en el
punto B y muestre los resultados sobre un elem ento dife­
rencial localizado en este punto.
•
447
8-59. El pilar de manipostería está som etido a la carga
de 800 kN. Determ ine la ecuación de la línea y = f[x) a lo
largo de la cual la carga puede colocarse sin que se gene­
ren esfuerzos de tensión en el pilar. Desprecie el peso del
pilar.
*8-60. El pilar de manipostería está som etido a la carga
de 800 kN. Si .v = 0.25 m y y = 0.5 m, determine el esfuerzo
normal en cada esquina A . B. C y D (no m ostrada) y trace
la distribución del esfuerzo sobre la sección transversal.
Desprecie el peso del pilar.
801b
P robs. 8-56/57
P robs. 8-59/60
8-58. El poste tiene una sección transversal circular de
radio c. Determine el máximo radio e en que la carga pue­
de aplicarse de manera que en ninguna parte del poste se
presente un esfuerzo de tensión. D esprecie el peso del
poste.
8-61. El gancho tiene las dimensiones mostradas. D eter­
mine el esfuerzo normal máximo en la sección a-a cuando
soporta una carga en el cable de 800 kN y esboce la distri­
bución del esfuerzo que actúa sobre la transversal.
800 Ib
800 Ib
Prob. 8-61
44» . CAPITULO 8 Cargas comb'madas
8-62. La prensa de tornillo en forma de C aplica un es­
fuerzo de com presión sobre la pieza cilindrica de 80 Ib/
pulg:. Determ ine el esfuerzo normal máximo generado en
la prensa.
8-63. La manivela de la prensa está sometida a una fuer­
za de 20 Ib. Debido al engranaje interno, esto ocasiona que
el bloque quede som etido a una fuerza de compresión de
80 Ib. D etermine el esfuerzo normal que actúa en puntos
a lo largo de los patines exteriores A y D. Use la fórmula
de la viga curva para calcular el esfuerzo de flexión.
0,75 pyij
P ro b . 8-62
P ro b . 8-63
REPASO DEL CAPÍTULO
• U n recipiente a presión se considera que tiene una pared
delgada si rft ^ 10. Para un recipiente c ilin d rico de pa­
red delgada, el esfuerzo circunferencial o esfuerzo anular es
cr\ = p rft. Este esfuerzo es el doble que el esfuerzo longitu­
d in a l.^ = pr/2t. L o s recipientes esféricos de pared delgada
tienen el mismo esfuerzo dentro de sus paredes en todas
direcciones por lo que d\ = ar2 = p r / lt .
• L a superposición de las componentes de esfuerzos se pue­
de usar para determ inar el esfuerzo norm al y cortante en
un punto de un miem bro sometido a carga com binada. Pa­
ra hacerlo, es necesario prim ero determ inar la fuerza resul­
tante axial y cortante y el momento resultante torsional y
flexionante en la sección donde está localizado el punto.
Luego se determ inan las componentes de esfuerzo debido
a cada una de esas cargas. L a s resultantes de los esfuerzos
norm al y cortante se determ inan entonces sumando alge­
braicamente las componentes del esfuerzo norm al y co r­
tante.
Problemas
PROBLEMAS
DE
oe repaso
•
449
REPASO
*8-64. El bloque está sometido a las tres cargas axiales mos­
8-67. La presión del aire en el cilindro se incrementa ejer­
tradas. Determine el esfuerzo normal generado en los pun­
tos A y fí. Desprecie el peso del bloque.
ciendo fuerzas P = 2 kNr sobre los dos pistones, cada uno de
los cuales tiene un radio de 45 mm. Si el cilindro tiene un es­
pesor de pared de 2 mm. determine el estado de esfuerzo en
la pared del cilindro.
100 Ib
*8 -68 . D etermine la fuerza máxima P que puede ejercer­
se sobre cada uno de los dos pistones de m anera que la
com ponente circunferencial del esfuerzo en el cilindro no
exceda de 3 MPa. Cada pistón tiene un radio de 45 mm y
el cilindro tiene un espesor de pared de 2 mm.
47 mm
Prob. 8-64
y
8-65. La estructura en forma de C se usa en una máquina
remachadora. Si la fuerza aplicada por el pistón sobre la
prensa en D es P = S kN. esboce la distribución del esfuer­
zo que actúa sobre la sección a-a.
8 -6 6 .
D eterm ine la fuerza máxima P q u e el m artinete
puede aplicar a la prensa en P si el esfuerzo normal per­
misible en el material es <rpcrm = 180 MPa.
P robs. 8-67/6«
8-69. 1.a silleta tiene un espesor de 0.25 pulg y se usa pa­
ra soportar las reacciones verticales de la viga cargada co­
m o se muestra. Si la carga se transfiere uniform emente a
cada placa lateral de la silleta, determine el estado de es­
fuerzo en los puntos C y D de la silleta en A . Suponga que
una reacción vertical F actúa en este extremo en el centro
y sobre el borde del soporte mostrado.
200 mm —!
10 mm
40 mm
60 mm b
t
'--lOm
m
Probs. 8-65/66
Prob. 8-69
450 • CAPÍTULO 8 Cargas combinadas
8-70. La silleta tiene un espesor de 0.25 pulg y se usa para
soportar las reacciones verticales de la viga cargada como
se exhibe. Si la carga se transfiere uniform em ente a cada
placa lateral de la silleta, determ ine el estado de esfuerzo
en los puntos C y D de la silleta en B. Suponga que una
reacción vertical F actúa en este extremo en el centro y so ­
bre el borde del soporte mostrado.
8-73. La tapa del tanque cilindrico está unida por pernos
al tanque a lo largo de sus rebordes. El tanque tiene un diá­
metro interno de 1.5 nt y un espesor de pared de 18 mm. Si
el esfuerzo normal máximo no debe exceder de 150 MPa,
determine la presión máxima que el tanque puede soportar.
Calcule también el número de pernos requeridos para unir
la tapa al tanque si cada perno tiene un diámetro de 20 mm.
El esfuerzo permisible en los pernos es (ít,*™)/, = 180 MPa.
8-74. La tapa del tanque cilindrico está unida por pernos
al tanque a lo largo de sus rebordes. El tanque tiene un diá­
metro interno de 1.5 m y un espesor de pared de 18 mm. Si
la presión en el tanque es p - 1.20 MPa, determine la fuer­
za en los 16 pernos que se usan para unir la lapa al tanque.
Especifique también el estado de esfuerzo en la pared del
tanque.
lO klb
P ro b . 8-7«
P robs. 8-7.V74
8-71. Una barra con sección transversal cuadrada ele 30
por 30 mm tiene 2 m de longitud y es m antenida verticalmente. Si la barra tiene una masa de 5 kg/m . determ ine el
mayor ángulo 0. medido desde la vertical, en que puede ser
soportada antes de quedar sometida a un esfuerzo de ten­
sión a lo largo de su eje cerca del agarre.
8-75. La palanca de pata de cabra se usa para extraer el
clavo en A . Si se requiere una fuerza de 8 Ib, determ ine las
com ponentes de esfuerzo en la palanca en los puntos D y
E. M uestre los resultados en un elem ento diferencial de
volumen localizado en cada uno de esos puntos. La palan­
ca tiene una sección transversal circular con diám etro de
0.5 pulg. No ocurre ningún deslizamiento en B.
"8-72. Resuelva el problem a 8-71 si la barra tiene una
sección transversal circular de 30 mm d e diámetro.
Pr o b lem a s
*8-76. La ménsula de acero se usa para coneclar los ex­
trem os de dos cables. Si la fuerza aplicada P = 500 Ib. d e­
termine el esfuerzo normal máximo en la ménsula; ésta tiene
un espesor de 0.5 pulg y un ancho de 0.75 pulg.
d e repa so
• 451
8-78. La prensa está hecha de los miembros A B y AC, que
están conectados por un pasador en A . Si la fuerza de com
presión en C y B es de 180 N. determine el estado de esfuer­
zo en el punto G e indique los resultados en un elemento
diferencial de volumen. El tornillo D E está sometido sólo a
una fuerza de tensión a lo largo de su eje.
0.75 pulg
■
2 pulg
P ro b . 8-76
8-77. La prensa está hecha de los miembros A B y A C que
están conectados por un pasador en A . Si la fuerza de com­
presión en C y B es de 180 N. determine el estado de esfuer­
zo en el punto F e indique los resultados en un elemento
diferencial de volumen. El tornillo D E está sometido sólo a
una fuerza de tensión a lo largo de su eje.
P ro b . 8-78
8-79. La viga de patín ancho está sometida a la carga mos­
trada. D etermine el estado de esfuerzo en los puntos A y
B. y muestre los resultados en un elem ento diferencial de
volumen localizado en cada uno de esos puntos.
Estos álabes de turbina están sometidos a una pauta compleja de esfuerzos,
que se wsualiza con las bandas de color que aparecen en las paletas cuando
se fabrican con un material transparente y se ven a la contraluz polarizada.
Para comprobar su diseño, los ingenieros deben poder determinar dónde se
presenta el esfuerzo máximo y qué dirección tiene.
(C o rte sía d e M e a s u re n te n ts G ro u p . Inc., R a leig h , N o n t i C a ro lin a 27 6 1 1 , E s ta d o s U n id o s .}
capirulo
Transformación de esfuerzo
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
E n este capítulo mostraremos cómo transformar los componentes del esfuerzo que
están asociados a determinado sistema de coordenadas» en componentes asociados
con un sistemas de coordenadas que tiene una orientación diferente. U na vez estable­
cidas las ecuaciones de transformación necesarias,podremos obtener el esfuerzo nor­
mal m áxim o y el esfuerzo cortante máximo, en un punto, y determinar la orientación
de los elementos sobre los que actúan. La transformación de esfuerzo plano se des­
cribirá en la primera parte del capítulo, porque esta condición es la más común en la
práctica do la ingeniería. A l final del capítulo describiremos un método para determi­
nar el esfuerzo cortante máximo absoluto en un punto, cuando el material se somete
a estados de esfuerzo tanto plano como tridimensional.
9.1
Transformación del esfuerzo plano
E n la sección 1.3 se demostró que el estado general de esfuerzo en un
punto se caracteriza por seis componentes independientes, de esfuerzo
norm al y cortante, que actúan sobre las caras de un elemento de m aterial
ubicado en el punto, figura 9-1«. Sin embargo, este estado de esfuerzo no
se encuentra con frecuencia en la práctica de la ingeniería. E n lugar de
e llo , los ingenieros hacen aproxim aciones o sim plificaciones.con frecuen­
c ia . de las cargas sobre un cuerpo, para que el esfuerzo producido en un
m iem bro estructural o un elemento mecánico se pueda analizar en un so ­
lo p la n o . Cuando se da este caso, se dice que el m áterial está sujeto a un
esfuerzo plano, figura 9-l/>. Por ejem plo, si no hay carga sobre la sup erfi­
cie de un cuerpo, entonces los componentes de esfuerzo normal y cortante
serán cero en la cara de un elemento que esté en la superficie. E n conse­
cuencia, los componentes de esfuerzo correspondientes, en la cara opues­
ta. tam bién serán cero, por lo que el m aterial en el punto estará sometido
a esfuerzo plano.
454
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
a.
<*r
Estado general de esfuerzo
Esfuerzo plano
Esfuerzo plano
(vista en dos dimensiones)
(•)
(b)
(c)
Fig. 9-1
y
0>
------- TX)
ib)
F ig .9 -2
Entonces, el estado general de esfuerzo p la n o se representa por una
com binación de dos componentes de esfuerzo norm al. <rx y cry. y un com ­
ponente de esfuerzo cortante. r xv, que actúan sobre cuatro caras del ele­
mento. Por comodidad, en este texto verem os este estado de esfuerzo en
el plano .v-y, figura 9.1c. Tenga en cuenta que si el estado de esfuerzo
en un punto se define con los tres componentes de esfuerzo que se mues­
tran en el elemento de la figura 9-2#, entonces un elemento que tenga una
orientación distinta, como el de la figura 9-2b, estará sujeto a tres compo­
nentes distintas de esfuerzo. E n otras palabras, el estado de esfuerzo plan o
en e l punto se representa en fo rm a única p o r tres componentes que actúan
so bre un elemento que tenga una orientación específica en e l punto.
E n esta sección, usando ejemplos numéricos, demostraremos cómo trans­
fo rm a r los componentes de esfuerzo de una orientación de elemento a un
elem ento que tenga orientación distinta. E sto es. si el estado de esfuerzo
se define por los componentes <rx, a y, rxy%orientados a lo largo de los ejes
.v. y . figura 9-2a , mostraremos cómo obtener los componentes trx•, oy, r e ­
orientados a lo largo de los ejesx \ y ', figura 9-2/>.de modo que representen
el m ism o estado de esfuerzo en el punto. E s como conocer dos compo­
nentes de fuerza, por ejemplo F , y F v, dirigidas a lo largo de los ejes y .
que producen una fuerza resultante F * . y tratar entonces de determ inar
los componentes de esa fuerza F v-y F v- con la dirección de los ejes x '. y '.
para que produzcan la mism a fuerza resultante. Sin embargo, la transfor­
m ación de componentes de esfuerzo es más d ifícil que la de componentes
de fuerza, porque para el esfuerzo la transform ación debe tener en cuen­
ta la magnitud y la dirección de cada componente de esfuerzo, y también
la orientación del área sobre la que actúa cada componente. E n el caso de la
fuerza, la transform ación sólo debe tener en cuenta la magnitud y la di­
rección de sus componentes.
Sección 9.1
Transformación del esfuerzo plano
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS
cr,
Si se conoce el estado de esfuerzo en un punto, para determinada
orientación de un elemento de m aterial, figura 9-3«, entonces se pue­
de determ inar el estado de esfuerzo p ara alguna otra orientación,
figura 9-3b, usando el siguiente procedim iento.
• Para determ inar los componentes de esfuerzo norm al y cortante
o y, r xy , que actúan sobre la cara x ' del elemento, figura 9-3b. se
corla el elemento de la figura 9-3« com o se ve en la figura 9-3c.
Si se supone que el área cortada de A / \ , entonces las áreas adya­
centes del segmento serán A A sen 0 y A A eos 0.
(a)
• Se traza el diagrama de cuerpo libre del segmento, para lo cual se
requiere m ostrar las fu e rza s que actúan sobre el elemento. Esto
se hace m ultiplicando los com ponentes de esfuerzo sobre cada
cara, por el área sobre la que actúan.
>r una
i comel c ie ­
rzo en
fuerzo
mues­
ca una
ompoplan o
ictúan
• Se aplican las ecuaciones de eq u ilib rio de fuerzas en direcciones
.y' y y ' para obtener los dos com ponentes desconocidos de esfuer­
zo. o y y t x Y .
• Si <rvs que actúa sobre la cara + y f del elemento en la figura
9-3b.se va a determ inar, entonces es necesario considerar un seg­
mento del elemento como el de la figura 9-3d , y seguir el mismo
procedim iento que acabamos de d escrib ir. E n este caso, sin em ­
bargo. el esfuerzo cortante r vy no habrá que ser determ inado, si
se calculó antes, porque es com plem entario: esto es, tiene la m is­
ma magnitud en cada una de las cuatro caras del elem ento, figu­
ra 9-3¿>.
»trans­
a n un
fuerzo
3s ejes
y> 7xVi
senten
ampoes x>y%
m inar
i x '.f.
tnsfornentes
icuenm bien
o de la
/ la di-
cr,
<d)
<c)
l ig. 9-3
\
•
455
Sección 9.1
Transformación del esfuerzo plano
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS
Si se conoce el estado de esfuerzo en un punto, para determinada
orientación de un elem ento de m aterial, figura 9-3«, entonces se pue­
de determ inar el estado de esfuerzo p ara alguna otra orientación,
figura 9-3b. usando el siguiente procedim iento.
• Para determ inar los componentes de esfuerzo normal y cortante
o y , Tvy , que actúan sobre la cara x ' del elemento, figura 9-3b. se
corta el elemento de la figura 9-3« com o se ve en la figura 9-3c.
Si se supone que el área cortada de A / l, entonces las áreas adya­
centes del segmento serán A z i sen 0 y A A eos 0.
• Se traza el diagrama de cuerpo libre del segmento, para lo cual se
requiere m ostrar las fu e rza s que actúan sobre el elemento. E sto
se hace m ultiplicando los componentes de esfuerzo sobre cada
cara, por el área sobre la que actúan.
i
>r una
i comel elerzo en
fuerzo
muesga una
ompoplan o
ic tú a n
• Se aplican las ecuaciones de equilib rio de fuerzas en direcciones
x ' y >■' para obtener los dos com ponentes desconocidos de esfuer­
zo. <
t x- y T ,y .
• Si o y , que actúa sobre la cara
del elem ento en la figura
9-3b, se va a determ inar, entonces es necesario considerar un seg­
mento del elem ento como el de la fig ura 9-3d . y seguir el mismo
procedim iento que acabamos de describ ir. E n este caso, sin em ­
bargo. el esfuerzo cortante r ry no habrá que ser determ inado, si
se calculó antes, porque es com plem entario; esto es, tiene la m is­
ma magnitud en cada una de las cuatro caras del elemento, figu­
ra 9-3b.
>trans­
ió a un
fuerzo
os ejes
y* Vv*
senten
ompoes x . y ,
rm inar
\x
insfornentes
i cuenunbién
;o de la
v la di-
(d)
(c)
Fig.9-3
\
•
455
456
•
CAPITULO 9 Transformación de esfuerzo
9.1
E J E M P L O
E l estado de esfuerzo plano en un punto de la superficie del fuselaje
de un avión se representa en el elemento orientado como se indica en
la figura 9-4a. Represente el estado de esfuerzos en el punto de un ele­
mento que está orientado a 30° en el sentido de las manecillas del reloj,
respecto a la posición indicada.
TOT
SO MPa
«a)
Solución
A/t
iíA sen 30°
t\A eos 30"
(b>
E l elem ento se corta con la línea a-a en la figura 9-4«, se quita el seg­
mento inferio r y. suponiendo que el plano cortado (inclinado ) tiene el
área A j4, entonces los planos horizontal y vertical tienen las áreas que
muestra la figura 9-4/>. E l diagrama de cuerpo libre del segmento se mues­
tra en la figura 9-4c. A l aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas
en direcciones .v' y y ’ para evitar una solución sim ultánea de las dos in­
cógnitas « y y r t V , entonces
+ /" I
« 0;
o y A A - (50 Azi eos 30°) eos 30°
+ (25 A A eos 30°) sen 30° + (80 A A sen 30°) sen 30°
+ (25 A A sen 30°) eos 30° = 0
= - 4 .1 5 MPa
R esp
+ ^ I / y = 0:
7xy A A - ( 5 0 A A eos 30°) sen 30°
- (25 A A eos 30°) eos 30° - (80 A A sen 30°) eos 30°
+(25 A A sen 30°) sen 30° = 0
r , y = 68.8 MPa
(c)
Fig. 9-4
R esp
Com o o y es negativo, actúa en dirección contraria que la que se indi­
ca en la figura 9-4c. L o s resultados se ven en la parte su p e rio r del ele­
m ento en lafigura 9-4d . ya que esta superficie es la que se considera
en la figura 9-4c.
Sección 9.1
Transformación del esfuerzo plano
A ho ra se debe repetir el procedimiento para obtener el esfuerzo en el
plano p e rp e n d icu la r b-b. A l cortar el elem ento de la figura 9-4« en
b-b, resulta un segmento cuyas caras laterales tienen las áreas que se
indican en la figura 9-4<?. S i el eje -hv' se orienta hacia afuera, perpend icular a la cara seccionada, el diagram a correspondiente de cuerpo
libre se ve en la figura 9-4/. Entonces.
^
a a eos 30
AA
<e>
+ \ I / y = 0:
<t x A - (25 \ A eos 30°) sen 30°
+ (8 0 A/4 eos 30°) eos 30° - (25 A A sen 30°) eos 30°
- (50 A/t sen 30°) sen 30° = 0
a y = -*25.8 M P a
Rcsp.
50 A/\ sen 30'
+ S I / y = 0; -
r vy A A + (25 A /l eos 30°) eos 30°
+(80 AA eos 30°) sen 30° - (25 A /l sen 30°) sen 30°
+ (50 A A sen 30°) eos 30° = 0
7 , v — 68.X M Pa
Resp.
Ya que « y es una cantidad negativa, actúa en sentido contrario a su d i­
rección que m uestra la figura 9-4/. Lo s com ponentes de esfuerzo se
muestran actuando en el lado derecho del elemento, en la figura 9-4J.
De acuerdo con este análisis podemos entonces llegar a la conclu­
sión que el estado de esfuerzo en el punto se puede representar eligien­
do un elem ento orientado com o m uestra la figura 9-4«. o bien uno
orientado como indica la figura 9-4d . E n otras palabras, los estados de
esfuerzo son equivalentes.
25 A A sen
25 A.A eos
80A A eos
rr A A
•
457
458
9.2
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
Ecuaciones generales de la transform ación de esfuerzo plano
A h o ra se desarrollará el método para transform ar los componentes de esfu e r/o norm al y cortante, en los ejes coordenados x , y , a los ejes coorde­
nados x ' , y \ en una forma general, y se expresará como un conjunto de
ecuaciones de transform ación de esfuerzo.
C o n v e n c ió n d e s ig n o s . A n te s de deducir las ecuaciones de transfor­
m ación, prim ero se debe establecer una convención de signos para los
componentes del esfuerzo. A q u í adoptaremos el que usamos en la sección
1.3. E n forma breve, una vez que se han establecido los ejes x , y o x \ y \
un componente de esfuerzo norm al o de esfuerzo cortante es p o sitivo si
actúa en la dirección de las coordenadas positivas sobre la cara positiva
del elemento, o si actúa en la dirección de las coordenadas negativas so­
bre la cara negativa del elemento, figura 9-5a. Por ejemplo. trx es positivo
porque actúa hacia la derecha sobre la cara vertical del lado derecho, y
actúa hacia la izquierda (dirección - x ) sobre la cara vertical negativa. E l
esfuerzo cortante en la figura 9-5« se muestra actuando en dirección po­
sitiv a sobre las cuatro caras del elemento. E n la cara derecha, rxy actúa ha­
cia arrib a (dirección + y ); sobre la cara inferio r. t x>, actúa hacia la izquier­
da (dirección —je), y así sucesivamente.
Todos los componentes de esfuerzo que se muestran en la figura 9-5«
mantienen el equilibrio del elemento, y por lo mismo, si se conoce la di­
rección de rxy sobre una cara del elemento, se define su dirección sobre
las otras tres caras. Por consiguiente, la convención de signos anterior tam­
bién se puede recordar sólo si se nota que e l esfuerzo n o rm a l p o sitiv o ac­
túa h a cia afuera so b re todas la s caras, y e l esfuerzo corta nte p o sitiv o
a ctú a h acia a rrib a so bre la cara derecha d e l elemento.
y
C onvención d e signos positivos
Fig. 9-5
Je esorde;to de
isforra los
¡cción
x\y\
tivo si
tsitiva
as so­
r t iv o
cho. y
va. E l
>n poúahaquier-
Sección 9 .2
Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano
Dado el estado de esfuerzo plano de la figura 9-5«, se definirá la orien­
tación del plano inclinado sobre el cual se van a determ inar los compo­
nentes de esfuerzo norm al y cortante, usando el ángulo 6. Para m ostrar
en forma adecuada este ángulo, prim ero es necesario establecer un eje .v'
positivo, dirigido hacia afuera, perpen dicu la r o norm al al plano, y un pla­
no y ' asociado, dirigido a lo largo del plano, figura 9-5h. O bserve que los
conjuntos de eje sin prim a y con prim a form an sendos conjuntos de ejes
coordenados derechos: esto es. que el eje z (o z ') positivo se determina
con la regla de la mano derecha. Encogiendo los dedos desde x ( o * ' ) ha­
cia y ( o y ') .e l pulgar indica la dirección del eje : ( o : ' ) positivo.que apun­
ta hacia afuera. E l ángulo Ose mide desde el eje x positivo hacia el eje .v'
positivo. E s p ositivo siempre que siga el enroscam iento de los dedos de la
mano derecha, es decir, tenga dirección co ntraria a la de las m anecillas
del reloj, como se ve en la figura 9-5h.
a 9-5«
: la d i­
sobre
r tam-
vo actsiíivo
(b)
(a)
Fíg. 9-6
Componentes de esfuerzo normal y cortante. A l usar la conven­
ción establecida de signos y cortar al elem ento de la figura 9-6« por el pla­
no inclinado.se aísla el segmento que m uestra la figura 9-6b. Suponiendo
que el corle tenga el área A A . las caras horizontal y vertical del segmen­
to tendrán un área A A sen Oy A A eos 6. respectivam ente.
E l diagrama de cuerpo libre que resulta, del segm ento.se ve en la figu­
ra 9-6c. Si se aplican las ecuaciones de eq u ilib rio de fuerzas para determ i­
nar los componentes de esfuerzo norm al y cortante desconocidos, a x y
rA.y • obtenemos
-/■ 2 /v = 0:
<7 A A - ( t av A A sen tì) cos tì — {<ry A A se n tì) sentì
- ( r xy A A cos tì) sentì - (<rx A A cos tì) cos tì = 0
o y = a x cos? tì
+ \ 2 F V. = 0 :
crv sen 2 tì + r rv(2 sentì cos tì)
xy A A + ( Txy A A se n tì) sentì - ( a y A A sentì) cos tì
- ( r xy A A cos tì) cos tì + (<rx A A cos tì) sen tì = 0
Tr v =
sen tì co stì + T j^ c o s2 # - s e n 2 tì)
(O
•
459
460
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
«*>
Fig. 9-6 (cnnt.)
E sta s dos ecuaciones se pueden sim p lificar con las identidades trigono­
m étricas sen 20 = 2 sen 0 cos & sen 20 = (1 - c o s 20 )/ 2 y c o s2tf = (1 + eos
20 ) / 2 , y en ese caso.
ít *
cr y
<t x
cr %
,
o y = ---- -— - + — - — '-eos 20 + 7xy sen 20
o\
Try = -
a
^
i
sen 20 + r xy eos 20
(9-1)
(9-2)
Si se necesita el esfuerzo normal que actúa en la dirección y ', se puede
o btener si sólo se sustituye (0 = 0 + 90°) en vez de 0 e n la ecuación 9-1.
figura 9-6d . D e ese modo se obtiene
<rx + orv
& v* =
<rx - (Tv
------- 1 — eos 20 - Txy sen 20
(9-3)
Si se calcula que o y es una cantidad positiva, eso indica que actúa en di­
rección de y ' positiva, como se ve en la figura 9-6d.
PROCEDIMIENTO PARA ANALISIS
P ara aplicar las ecuaciones de transform ación de esfuerzos. 9-1 y 9-2.
sólo se necesita sustituir en ellas los datos conocidos de crx, cr*, rxy y 0
de acuerdo con la convención establecida de signos, figura 9-5. Si al
calcu la r ax-y txy resultan cantidades positivas, esos esfuerzos actúan
en la dirección positiva de los ejes .v' y y \
Para m ayor comodidad, esas ecuaciones se pueden program ar con fa­
cilidad en una calculadora de bolsillo.
Seccíón 9.2
Ecuaciones generales de la transformación de esfuerzo plano
•
461
E J E M P L O
E l estado de esfuerzo plano en un punto se representa con el elem en­
to que muestra la figura 9-7a. D eterm in e el estado de esfuerzo en el
punto, sobre otro elemento orientado 30° en el sentido de las m aneci­
llas del reloj, respecto al prim er elemento.
50 MPa
S o lu c ió n
SO MPa
E l problema se resolvió en el ejemplo 9 .1 , usando los principios bási­
cos. A q u í aplicarem os las ecuaciones 9-1 y 9-2. De acuerdo con la con­
vención de signos establecida, figura 9-5, se ve que
crx = - 8 0 M Pa
cry = 50 M P a
rxy = - 2 5 M Pa
Plano CD.
Para obtener los com ponentes de esfuerzo sobre el p la­
no C D . figura 9-7/;, el eje a-' positivo se dirige hacia afuera, perpendicu­
la r a C D . y el eje y ’ asociado se dirige a lo largo de C D . E l ángulo m e­
dido desde el eje .v hasta el eje x ' es 6 = - 3 0 ° (e n sentid o de las
m anecillas del re lo j). A l aplicar las ecuaciones 9-1 y 9-2 se obtiene
o , + crv
(a)
cr, — crv
+
2
25 MPa
- 8 0 + 50
eos 26 + 7XV sen 20
2
- 8 0 - 50
+
2
eos 2 ( - 3 0 ° ) + ( - 2 5 ) sen 2 (- 3 0 ° )
= - 2 5 .8 M Pa
cr* - (T
7Vv' = —
sen 26 + r vv eos 20
Y
_ - 8 0 - 50
2
Resp.
sen 2 ( - 3 0 ° ) + ( - 2 5 ) eos 2 ( - 3 0 ° )
= - 68.8 M Pa
Resp.
Lo s signos negativos indican que crx• y r t v- actúan en las direcciones
negativas de .v' y y \ respectivamente. L o s resultados se muestran ac­
tuando sobre el elemento de la figura 9-7d.
Plano BC.
D e forma parecida, se obtienen los componentes de es­
fuerzo que actúan sobre la cara B C , figura 9-7c. usando 0 = 60fJ. A l apli­
car las ecuaciones 9-1 y 9-2’ se obtienen
- 8 0 + 50
ov =
- 8 0 - 50
= -4 .1 5 M Pa
- 8 0 - 50
T¿rV — —
= 68.8 M Pa
<c>
eos 2 (6 0 °) + ( - 2 5 ) sen 2(60°)
Resp.
4.15 MPa
sen 2 (6 0 °) + ( - 2 5 ) eos 2 (6 0°)
Resp.
A q u í se ha calculado dos veces r Ty , p ara tener una com probación. E l
signo negativo de ax■indica que este esfuerzo actúa en la dirección de
x ' negativo, figura 9-7c. L o s resultados se ven en el elemento de la f i­
gura 9-7d.
'A lternativam ente, podem os aplicar la ecuación 9-3 con 0 = -3 0 ° en lugar de la ecua­
ción 9-1.
F.g. 9-7
462
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.3 Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
D e acuerdo con las ecuaciones 9-1 y 9-2 se puede ver que crx• y r ty de­
penden del ángulo 0 de inclinación de los planos sobre los que actúan esos
esfuerzos. E n la práctica de ingeniería con frecuencia es im portante de­
term inar la orientación de los planos que causa que el esfuerzo normal
sea m áxim o y m ínim o, y la orientación de los planos que hace que el es­
fuerzo cortante sea máxim o. E n esta sección se exam inará cada uno de
esos problemas.
E s fu e r z o s p rin c ip a le s e n el p la n o . Para determ inar el esfuerzo n o r­
mal m áxim o y mínimo, se debe diferenciar la ecuación 9-1 con respecto a
0, e igualar a 0 el resultado. De este modo se obtiene
i(T r*
trs - <rv
■ = — — — (2 sen 20) + 2 r t v cos20 = 0
A l reso lver esta ecuación se obtiene la orientación 0 = 0p. de los planos
de esfuerzo norm al m áxim o y mínimo.
2en
•p ?)
r
Fíg.9-8
f
^1
T
tan 2 0n = 7
'
K
20,
Txy
(9-4)
- °> )/2
L a solución tiene dos raíces, oPi y ep2. E n forma específica, los valores de
20p1 y 2 Gp2 están a 180° entre sí. por lo que 0p\ y 0p2 forman 90°.
Lo s valores de 0pX y 0p2 deben sustituirse en la ecuación 9-1. para poder
obtener los esfuerzos norm ales que se requieren. Se puede obtener el se­
no y el coseno de 20/;1 y 2 0p2 con los triángulos sombreados de la figura
9-8. L a construcción de esos triángulos se basa en la ecuación 9-4, supo­
niendo que txv y (<r* - erv) son cantidades positivas o negativas, las dos.
Para 0p\ se tiene que
sen 20/)1 — T .y
eos 20 pl
y para 0p2,
+
f <r* ~ <Ty
\
2
7
*y
E z Æ
2
f
)
+T 2
Tsy
Sección 9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
Si se sustituye cualquiera de estos dos conjuntos de relaciones trigonomé­
tricas en la ecuación 9-1, y se sim plifica, se obtiene
(9-5)
Dependiendo del signo escogido, este resultado determ ina el esfuerzo
norm al m áxim o o m ínim o en el plano, que actúa en un punto, cuando
(j[ 5: cr2- Este conjunto particular de valores se llam an esfuerzos p rin c i­
p a le s en el plano, y los planos correspondientes sobre los que actúan se
llaman p la n o s p rin cip a le s de esfuerzo, figura 9-9/). Adem ás, si las relacio ­
nes trigonométricas para 0p\ y 0p2 se sustituyen en la ecuación 9-2, se po­
drá v e r que r l V - 0 : esto e n so b re lo s p la n o s p rin cip a le s no a ctúa e l es­
fu e rz o cortante.
•
463
Las Srielas en esta v¡£a de concreto fue­
ron causadas por esfuerzo de tensión, aun
cuando la viga estaba sometida a un mo­
mento interno y a una fuerza cortante, en
forma simultánea. Se pueden usar las
ecuaciones de transformación de esfuer­
zo para pronosticar la dirección de las
grietas, y los esfuerzos normales principa­
les que las causaron.
464
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E s fu e r z o c o rta n te m á x im o e n el p la n o . L a orientación de un ele­
mento que está sometido a esfuerzo cortante m áxim o en sus caras se pue­
de determ inar sacando la derivada de la ecuación 9-2 con respecto a 6 e
igualando a cero el resultado. A s í se obtiene
(9-6)
L a s dos raíces de esta ecuación. 8sl y 0& se pueden determ inar con los
triángulos sombreados de la figura 9-10. Com parando con la figura 9-8,
cada raíz de 20, está a 90° de 20p. A s í, las raíces 0, y 0p forman 45° entre
ellas, y e l resultado es que lo s p la n o s d e l esfuerzo cortante m áxim o se
pueden d e term in ar orien tando a un elemento a 4 5 ° con respecto a la p o ­
sició n de un elemento que d efin a lo s p la n o s d e l esfuerzo p rin cip a l.
Usando cualquiera de las raíces 6s[ o 0,?, se puede determ inar el esfuer­
zo cortante m áxim o sacando los valores trigonom étricos de sen 20* y eos
20s en la figura 9-10, y sustituyéndolos en la ecuación 9-2. E l resultado es
(9-7)
E l valor de r s f í ,^ calculado con la ecuación 9-7 se llama esfuerzo co rta n ­
te m á xim o en e l p la n o . porque actúa sobre el elemento en el plano x-y.
S i se sustituyen los valores de sen 20v y eos 20s en la ecuación 9-1, se ve
que tam bién hay un esfuerzo norm al sobre los planos de esfuerzo cortan­
te m áxim o en el plano. Se obtiene
crx + o y
(Tprom
(9-8)
Com o las ecuaciones de transform ación de esfuerzos, es conveniente
program ar las ecuaciones anteriores para poderlas usar en una calculado­
ra de bolsillo.
PUNTOS IMPORTANTES
• L o s esfuerzos principales representan el esfuerzo norm al m áxim o
y m ínim o en el punto.
• C uando se representa el estado de esfuerzo mediante los esfuer­
zos principales, sobre el elem ento no actúa esfuerzo cortante.
• E l estado de esfuerzo en el punto también se puede representar
en función del esfuerzo cortante m áxim o en el p la n o . E n este ca­
so. sobre el elemento también actuará un esfuerzo norm al p ro m e­
dio sobre el elemento.
• E l elem ento que representa el esfuerzo cortante m áxim o en el
piano, con el esfuerzo norm al prom edio correspondiente, está
orientado a 45° respecto al elemento que representa los esfuer­
zos principales.
Sección 9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
E J E M P L O
Cuando se aplica la carga de torsión T a la barra de la figura 9-11«. pro­
duce un estado de esfuerzo cortante p uro en el m aterial. D eterm inar
a) el esfuerzo cortante m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al pro­
medio asociado, y b) el esfuerzo principal.
Solución
D e acuerdo con la convención de signos que se ha establecido.
ax = 0
erv = 0
E sfu e rz o co rta n te m á xim o en e l p la n o .
9-7 y 9-8, para obtener
7" mi»
«flcip&ao
=
p
<rx + CTy
^prom
)
+ V
0 +
rxy — —r
Se aplican las ecuaciones
(a)
= V ( 0 ) 2 + ( - T ) 2 = ±T
0
Resp.
Resp.
= 0
A s í, como era de esperarse, el esfuerzo cortante m áxim o en el plano
está representado por el elemento de la figura 9-11«.
E n los experim entos se ha encontrado que los m ateriales que son
dúctiles fallan debido al esfuerzo cortante. E l resultado es que si se ap li­
ca un par de torsión a una barra de acero suave, el esfuerzo cortante
m áxim o en el plano hará que falle como se ve en la foto adjunta.
E sfu e rz o p rin c ip a l.
arx + CTy
^ 1.2 = -- Ô-- ±
A l aplicar las ecuaciones 9-4 y 9-5 se obtiene
CT* ~ (T. .\\ 22
- J + r xv2 — 0
±
\ /( 0 ) 2 + t 2 = ± t
Resp.
<b)
Y si ahora se aplica la ecuación 9-1, con 6p2 = 45°. entonces
eos 26 + r xv sen 20 = 0 + 0 + ( —r ) sen 90° = - r
A s í. a2 = - r actúa en 0p2 = 45° como se ve en la figura 9-11 b . y o-\ =
t actúa sobre la otra cara. dpX = 135*.
Lo s m ateriales que son frá giles fallan debido ai esfuerzo norm al. E s
la razón por la que cuando un m aterial frágil, como el hierro colado,
se sujeta a torsión, falla en tensión, con una inclinación de 45°, como se
ve en la foto adjunta.
Flg. 9-11
•
465
466
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
Cuando se aplica la carga axial P a la barra de la figura 9-12«. produce
un esfuerzo de tensión en el m aterial. D e term in ar a ) el esfuerzo p rin ­
cipal, y b) el esfuerzo cortante m áxim o en el plano, y el esfuerzo nor­
mal prom edio asociado.
Solución
De acuerdo con la convención de signos establecida.
V (a)
crT = cr
Txy = 0
Esfu erzo p rin c ip a l. Por observación visual, el elemento orientado co­
mo se ve en la figura 9-12« ilustra una condición de esfuerzo principal,
porque no hay esfuerzo cortante actuando sobre este elemento. Esto
también se puede dem ostrar por sustitución directa de los valores an­
teriores en las ecuaciones 9-4 y 9-5. A s í,
CT] =
R esp.
cr-> = 0
(T
Como se ha visto, con experim entos, que el esfuer/o normal hace que
fallen los m ateriales frágiles, entonces, si la barra está hecha de mate­
rial frá g il, como hierro colado, causará la falla que se ve en la foto ad­
junta.
E sfu e rz o co rta n te m á xim o en e l p la n o .
9-6,9-7 y 9-8, se obtiene
tan 20, =
-(< 7 , - cry) / 2
------ —
-
'x y
- l a - 0)/2
—-—
0
m ptinn
(b)
F ig.9-12
0t.
*1 = 45°, 0„ = 135*
- n \2
y mil
cr,prom
A l ap lica r las ecuaciones
CT
+
+ ( 0)¿ = ±
0
Resp.
Resp.
2
Para determ inar la orientación correcta del elemento, se aplica la ecua­
ción 9-2.
cr, - a v
-se n 20+
t x>,eos
20 =
sen 90°+ 0 =
Este esfuerzo cortante negativo actúa sobre la cara x ' . en la dirección
de y ' negativa, como se ve en la figura 9-126.
Si la barra se hace de un m aterial dú ctil, como acero suave, entonces
el esfuerzo cortante la hará fallar cuando se someta a tensión. E sto se
puede ver en la foto adjunta, donde en la región del encuellam iento.el
esfuerzo cortante ha causado ‘'deslizam ientos” a lo largo de las fronte­
ras cristalin as del acero, y causado una falla plana que ha formado un
cono alrededor de la barra, orientado a unos 45°. como se calculó arriba.
S ección 9.3
Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano
•
E J E M P L O
m
El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo se muestra
en el elemento de la figura 9-13«. Representar este estado de esfuerzo en
términos de los esfuerzos principales.
90 MPa
60 MPa
S o lu c ió n
De acuerdo con la convención de signos establecida.
20 MPa
a y = 90 MPa
a x~ -20 MPa
Orientación del elemento.
Tn.= 60 MPa
Al aplicar la ecuación 9-4. se obtiene
Txy
tan 20,,= ---------— —
f o r - <Ty)/2
60
( - 2 0 - 90)/2
Se despeja, y si se llama esta raíz 0P:. como se mostrará abajo, se ob­
tiene
(a)
0*= -23.7e
2ePz= "47.49e
Como la diferencia entre 2 0p< y 20p. es 180°. entonces
20pt = 180° + 20^ = 132.51°
0px = 66.3°
Recuérdese que 6 es positivo si se mide en sentido contrario a las ma­
necillas del relojsdesde el eje .t hasta la normal hacia afuera (eje.v') so­
bre la cara del elemento, por lo que los resultados se ven en la figura
9-13í>.
Se tiene que
Esfuerzos principales.
a y
< rr +
° '1-2 —
2
—
l/crx -
- V v— i — 7 ”
- 2 0 + 90
2
< rv \ z
'xy
lf -20 - 90 V
(b )
±
_ TV V- ) 2+ (60)
= 35.0 ± 81.4
<ri = 116 MPa
<72 — —46.4 MPa
Resp.
Resp.
El plano principal sobre el que actúa el esfuerzo normal se puede de­
terminar con la ecuación 9-1, por ejemplo con 0 = 0p¡ = -23.7°. En­
tonces.
CTJ + (Ty
O, = 116 MPa
— (Ty
oy = ---- r— ~ + ——- — -eos 26 + r x>, sen 20
-2 0 + 90
-20 - 90
^
= ----- -------H--------- -------cos2(—23.7 ) + 60 sen 2(-23.7°)
= -46.4 MPa
Por consiguiente, cr2 = -46.4 MPa actúa sobre el plano definido por
0P. = —23.7°, mientras que = 116 MPa actúa sobre el plano definido
por 0p = 66.3;. Los resultados se muest ran en el elemento de la figura
9-13c. Recuerde que sobre este elemento no actúa esfuerzo cortante.
(c)
Fig. 9-13
467
468
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O
El estado de esfuerzo plano en un punto de un cuerpo se representa
en el elemento de la figura 9-14«. Representar este estado de esfuerzo en
función del esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo normal
promedio asociado.
90 MPa
60 MPa
20 MPa
Solución
Como <rx = -2 0 MPa, crv = 90 MPa y rxx
= 60 MPa, al aplicar la ecuación 9.6 se tiene que
Orientación del elemento.
tan 20, =
- K
- cry)f 2
xy
2eS: = 42.5°
20,, = 180° + 20s
(a)
- ( - 2 0 - 90)/2
60
0S, = 21.3°
0„ = 111.3°
Obsérvese que esos ángulos, que se muestran en la figura 9-14/), están
a 45° de los pianos principales de esfuerzo, que se determinó en el ejem­
plo 9.5.
Esfuerzo corlante máximo en el plano.
Al usar la ecuación 9-7 se ob­
tiene
+ (60)2
T mi»
cnrlpbno
= 81.4 MPa
Resp.
La dirección correcta de t
sobre el elemento se puede determi­
nar si se considera que 0 = 0V;= 21.3°, y se aplica la ecuación 9-2. En­
tonces.
(b)
( V x ~ <rv\
r*y -
—
)
sen 20 + r xy eos 20
/ —20 - 90\
= - ( ----- -------J sen 2(21.3°) + 60 eos 2(21.3°)
= 81.4 MPa
Así. t
= Tj:y actúa en la dirección de y' positiva, sobre esta cara
(0 = 21.3°). como se ve en la figura 9-14¿>. Los esfuerzos cortantes sobre
las otras tres caras tienen las direcciones que muestra la figura 9-14c.
Esfuerzo normal promedio. Además del esfuerzo cortante máximo,
que se calculó arriba, el elemento también está sujeto a un esfuerzo
normal promedio, determinado con la ecuación 9-8; esto es.
crn
mm=
' prom
Fíg. 9-14
-2 0 + 90
^/}
= 35 MPa
Resp.
Es un esfuerzo de tensión. Los resultados se ven en la figura 9-l4c.
P r o b le m a s
•
469
PROBLEMAS
9-1. Demuestre que la suma de los esfuerzos normales.
crx + (Ty = ov + cry•es constante. Vea las figuras 9-2a y 9-2b.
9-2. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro
se indica sobre el elemento. Determine los componentes
de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Re­
suelva el problema usando el método de equilibro, que se
describió en la sección 9.1.
9-3. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro
se muestra en el elemento. Determine los componentes de
esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel­
va el problema usando el método de equilibrio, descrito
en la sección 9.1.
9-5. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro
se muestra en el elemento. Determine los componentes de
esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel­
va el problema usando el método de equilibrio, descrito
en la sección 9.1.
Prob. 9-5
9-6. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro
se muestra en el elemento. Determine los componentes de
esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel­
va el problema usando el método de equilibrio, descrito
en la sección 9.1.
65 MPa
Prob. 9-3
a
_e
"'9-4. El estado de esfuerzo en un punto de un miembro
se muestra en el elemento. Determine los componentes de
esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Resuel­
va el problema usando el método de equilibrio, descrito
en la sección 9.1.
Prob. 9-6
.
zo
10
9-7. Resuelva el problema 9-2 usando las ecuaciones de
transformación de esfuerzo deducidas en la sección 9.2.
sp.
*9-8. Resuelva el problema 9-4 usando las ecuaciones de
transformación de esfuerzo deducidas en la sección 9.2.
9-9. Resuelva el problema 9-6 usando las ecuaciones de
transformación de esfuerzo deducidas en la sección 9.2.
470
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
Determine el estado equivalente de esfuerzo sobre
un elemento, si está orientado a 30°. en el sentido de las
manecillas del reloj, del elemento que se muestra aquí. Use
las ecuaciones de transformación de esfuerzo.
9-10.
180 MPa
150 MPa
Prob. 9-14
300 lb/pulg-
El estado de esfuerzo en un punto se muestra en
el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el
esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor­
mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la
orientación del elemento.
9-15.
950 lb/pulg2
Prob. 9-10
30 klb/pulg2
Determine el estado equivalente de esfuerzo sobre
un elemento, si está orientado a 50° en sentido contrario
de las manecillas del reloj, del elemento que se muestra
aquí. Use las ecuaciones de transformación de esfuerzo.
9-11.
10 klb/pulg2
*9-16. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en
el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el
esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor­
mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la
orientación del elemento.
16 klb/pulg2
Prob. 9-11
12 klb/pulg*
Prob. 9-15
250 MPa
Resuelva el problema 9-6 usando las ecuaciones
de transformación de esfuerzo.
*9-12.
El estado de esfuerzo en un punto se muestra en
el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el
esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor­
mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la
orientación del elemento.
9-13.
Prob. 9-16
60 MPa
Un punto sobre una placa delgada se sujeta a los
dos estados sucesivos de esfuerzo que se ve en la figura.
Determine el estado resultante de esfuerzo, representado
en el elemento orientado como se ve a la derecha.
9-17.
30 MPa
45 MPa
Prob. 9-13
9-14. El estado de esfuerzo en un punto se muestra en
el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el
esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor­
mal promedio en el punto. Especifique, en cada caso, la
orientación del elemento.
Prob. 9-17
471
PR08LEMAS
9-18. Un pum o sobre una placa delgada se sujeta a los
dos estados sucesivos de esfuerzo que se ve en la figura.
D eterm ine el estado resultante de esfuerzo, representado
en el elem ento orientado como se ve a la derecha.
9-21. Se indica el esfuerzo que actúa sobre dos planos en
un punto. D eterm ine el esfuerzo normal <7/>y los esfuerzos
principales en el punto.
4 klb/putg2
/
J¡É_
■2 klb/pulg-
<?A
Prob. 9-18
Prob. 9-21
9-19. Se indica el esfuer/o a lo largo de dos planos, en un
punto. D eterm ine los esfuerzos norm ales sobre el plano
b b, y los esfuerzos principales.
Los siguientes problem as implican material cubierto en el
capítulo 8.
9-22. La viga de m adera está som etida a una carga de
12 kN. Si la orientación de las fibras (hilo) de la madera
de la viga, en el punto A . forman un ángulo de 25° con el
eje horizontal indicado, determ ine el esfuerzo norm al y
cortante que actúan perpendiculares a éstas, debido a la
carga.
9-23. La viga de madera se som ete a una carga distribui­
da. D etermine los esfuerzos principales en un punto A , y
especifique la orientación del elemento.
Prob. 9-19
1300 nun
'9-20. Se indica el esfuerzo que actúa en dos planos, en
un punto. Determ ine el esfuerzo corlante sobre el plano
a-a y los esfuerzos principales en el punto.
M " 1"
200 mm
Probs. 9-22/23
*9-24. Las fibras de la tabla forman un ángulo de 20° con
la horizontal, como se indica. Determ ine el esfuerzo nor­
mal y cortante que actúan perpendiculares a éstas, si la ta­
bla se som ete a una carga axial de 250 N.
Ttt
60 Rlb/pulg~
300 mm
f
160 nuil
250 N
250 N
20a
Prob. 9-20
Prob. 9-24
25 mm
A
472
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-25. El bloque de madera falla si el esfuerzo cortante
que actúa sobre las fibras es de 550 lb,/pulg2. Si el esfuer­
zo normal <rx = 400 lb/pulg2,determine el esfuerzo de com­
presión necesario, <rv, que causa la falla.
*9-28. La viga simplemente apoyada está sometida al es­
fuerzo de tracción r0 en su superficie superior (su “lecho
alio"). Determine los esfuerzos principales en los puntos
A y B.
^ To
J
/
A 58*
•<rx - 400 Ib/pulg2
y
-GmaBr
I----- L /2 ----- ----- L /2 ----- 1
_____ _____________
i'
b
Prob. 9-28
Prob. 9-25
9-26. La placa cuadrada de acero tiene 10 mm de espe­
sor, y está sometida a cargas en sus bordes, como se indi ca. Determine el esfuerzo cortante máximo en el plano, y
el esfuerzo normal promedio desarrollado en el acero.
9-29. El brazo articulado está sujeto en A, y sostenido
por un eslabón corto BC. Está sometido a 80 N de fuerza.
Determine los esfuerzos principales en a) el punto D y b)
el punto E. El brazo es de una placa de aluminio de 20 mm
de espesor.
50 N/m
200 mm
50 N/m
Prob. 9-29
Prob. 9-26
|---------- 200 mm—
*]
9-27. La placa cuadrada de acero tiene un espesor de
0.5 pulg y está sometido a cargas en sus bordes, como se
indica. Determine los esfuerzos principales que se desa­
rrollan en el acero.
.• 16 lb/pulg
9-30. La prensa oprime las superficies lisas en C y D,
cuando se aprieta la tuerca. Si la fuerza de tensión del tor­
nillo es 40 kN, determine los esfuerzos principales en los
puntos A y B, c indique los resultados en elementos ubi­
cados en cada uno de esos puntos. El área transversal en
A y B se indica en la figura adjunta.
-16 lb/pulg
4 pulg
25mmTÍ0I5Omm
30 mm
4 pulg
Prob. 9-27
Prob. 9-30
P r o b lem a s
9-31. La b arra rectan g u lar en voladizo está som etida a la
fuerza d e 5 klb. D eterm in e los esfuerzos prin cip ales en los
puntos A y B.
•
473
9-35. D eterm in e los esfuerzos principales q u e a ctúan en
el p u n to A del m arco d e soporte. M uestre los resultados
en un elem en to con orien tació n co rrecta, u bicado en este
punto.
•9-36. D eterm in e los esfuerzos prin cip ales qu e actúan
en el p u n to B , u bicado ju sto arrib a del alm a, y ab ajo del
seg m en to ho rizo n tal, en el co rte transversal. Indique los
resultados en un elem ento con orientación co rrecta, ubica­
d o en este punto. A unque no e s m uy exacto, use la fórm u­
la d el co rta n te para calcular el esfuerzo cortante.
I pulg
5 klb
Prob. 9-31
*9-32. Se form a un tu b o d e carto n cillo e n ro lla n d o una
banda d e cartoncillo en espiral, y pegando lo s lados, com o
se ve en la figura. D eterm ine el esfuerzo c o rta n te q u e ac­
tú a a lo largo d e la p eg ad u ra, q u e form a 30° con la v erti­
cal, cu a n d o el tu b o e stá so m e tid o a u n a fu e rz a axial d e
10 N. El cartoncillo tien e 1 m m d e esp e so r, y el d iám etro
ex tern o del tu b o e s 30 mm.
9-33. R esuelva el problem a 9-32. para el esfu erzo norm al
qu e actú a p erp en d icu lar a la pegadura.
30°,
ION
ION
30 mm
9-37. La viga tu b u la r c u a d ra d a se s u je ta a un a fu erza
de 26 kN q u e se aplica en el centro d e su ancho, a 75 mm de
c a d a la d o . D e te rm in e lo s e s fu e rz o s p rin c ip a le s e n el
p u n to / l . e indique los resu ltad o s en un e lem en to u bicado
en este p u nto. U se la fórm ula del co rta n te p ara calcular el
esfuerzo cortante.
Probs. 9-32/33
9-38.
R esuelva el problem a 9-37 para el p u n to B.
9-34. U n a varilla tiene sección transversal red o n d a , con
2 pulg d e diám etro. E stá so m etid a a un p a r d e 12 klb • pulg
y a un m om ento de flexión M. El esfuerzo principal m ayor
en el pu n to d e esfuerzo m áxim o de flexión e s 15 k lb /p u lg2
D eterm in e la m agnitud del m o m en to d e flexión.
26 kN
V.
2m
3m
130 inm
l7l
min
mm
130 mm
50 mm
150 mm
Prob. 9-31
Probs. 9-37/38
474
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-39. L a viga de p a tín a n c h o se so m ete a la fu e rz a de
50 kN. D eterm in e los esfuerzos principales en u n p u n to A
de esa viga, ubicado en el alma, en el lecho b ajo del p a tín
superior. A unque n o es m uy exacto, use la fórm ula del co r­
te p ara calcular el esfu erzo co rtan te.
*9-44. El eje m acizo se so m ete a un p a r d e to rsió n , un
m o m en to d e flexión y una fuerza co rtan te, co m o se ve en
la figura. D eterm in e los esfuerzos principales q u e se d esa­
rrollan en el p u n to A.
9-45.
R esuelva el p rob lem a 9-44 p ara el p u n to B.
*9-40. R esuelva el problem a 9-39 p a ra el p u n to li, ub i­
cado en el alma, en el lecho alto del patín inferior.
300 N m
10 mm
45 N m
800 N
P ro b s. 9-39/40
Probs. 9-44/45
9-41. El tornillo está fijo e n su so p o rte en C. Si se aplica
una fuerza de 1S Ib a la llave, p ara apretarlo , d ete rm in e los
esfuerzos principales que se d esarrollan en el v astag o del
tom illo en el punto A. R ep resen te los resultados en un ele­
m en to u b icado en esc punto. E l d iám etro d el v á stag o es
0.25 pulg.
9-42.
R esuelva el p ro b lem a 9-41 para el p u n to B.
9-46. Las cargas internas en un co rte transversal a través
del eje im pulsor, d e 6 pulg d e d iám etro , de una tu rb in a,
c o n siste n en una fu erza axial d e 2500 Ib. un m o m e n to
d e flex ió n d e 800 Ib • p ie y un m o m e n to d e to rsió n de
1500 Ib • pie. D eterm in e los esfu erzos prin cipales e n un
pu n to A .T am bién calcule el esfuerzo co rtan te m áxim o en
el plano, en este punto.
9-47. L as cargas in tern as en un co rte transversal a través
del eje im pulsor, d e 6 pulg d e d iám etro , d e una tu rb in a,
co n sisten en u n a fu e rz a axial d e 2500 Ib, un m o m e n to
d e flexión d e 800 Ib • p ie y un m o m e n to d e to rsió n de
1500 Ib • pie. D ete rm in e los esfuerzos p rin cip ales en un
p u n to B .T am bién calcule el esfuerzo co rta n te m áxim o en
el plano, en este punto.
Probs. 9-41/42
9-43. L a carretilla de p ro a del avión e stá som etida a una
carga de diseño d e 12 kN. D eterm in e los esfuerzos p rin ci­
pales qu e actúan sobre el so p o rte d e alum inio, en el p u n ­
to A.
20 mi
20 mm
Prob. 9-43
12kN
-175 mm
Probs. 9-46/47
*9-48. El eje im pulsor A B de 2 pulgadas d e diám etro, del
helicóptero, está su jeto a una tensión axial d e 10 000 Ib y
un p a r d e torsió n d e 300 Ib • pie. D eterm in e los esfuerzos
principales y el esfuerzo co rta n te m áxim o en el plano, que
actúan en un p u n to d e la superficie del eje.
P r o b le m a s
•
475
Prob. 9-48
9-49. La viga tubular cuadrada está sometida a la carga
que se indica. Determine los esfuerzos principales en la vi­
ga, en los puntos A y B.
1200 Ib
800 Ib
A'
Probs. 9-51/52/53
■9-54. La viga tiene un corte transversal rectangular, y
está sometida a las cargas que se indican. Escriba un pro­
grama de cómputo que se pueda usar para determinar los
esfuerzos principales en los puntos A, B, C y D. que se in­
dican. Demuestre una aplicación del programa, con los va­
lores h = 12 pulg. b = 8 pulg, Nx = 400 Ib. Vy = 300 Ib.
V. = 0. My = 0 y M. = -150 Ib • pie.
■
6 pulg I [IISd II
]
Prob. 9-49
500 N
N
, 88pulg
8 pul8
9-50. Una barra tiene sección transversal redonda, con
un diámetro de 1 pulg Se somete a un par de torsión y a un
momento de flexión. En el punto del esfuerzo máximo de
flexión, los esfuerzos principales son 2 0 klb/pulg2 y - 1 0
klb/pulg2. Determine el par y el momento de flexión.
9-51. Las cargas internas en una sección de una viga con­
sisten en una fuerza axial de 500 N, una fuerza cortante de
800 N y dos componentes de momento, de 30 N • m y
40 N • m. Calcule los esfuerzos principales en el punto A.
También calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano,
en ese punto.
Prob. 9-54
«9-55. El miembro tiene sección transversal rectangular
y está sometido a las cargas que se indican. Escriba un pro­
grama de cómputo que se pueda usar para determinar los
esfuerzos principales en los puntos A. B y C. Demuestre
una aplicación del programa con los valores b = 150 mm.
h = 200 mm. P = 1.5 kN,.r = 75 mm. z = -5 0 mm. Vx 300 N y V. = 600 N.
*9-52. Las cargas internas en una sección de una viga con­
sisten en una fuerza axial de 500 N, una fuerza cortante de
800 N y dos componentes de momento, de 30 N • m y
40 N • m. Calcule los esfuerzos principales en el punto B.
También calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano,
en ese punto.
9-53. Las cargas internas en una sección de una viga con­
sisten en una fuerza axial de 500 N. una fuerza cortante de
800 N y dos componentes de momento, de 30 N • m y
40 N • m. Calcule los esfuerzos principales en el punto C.
También calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano,
en ese punto.
Prob. 9-55
476
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.4 El círculo de Mohr (esfuerzo plano)
En esta sección explicaremos que las ecuaciones para transformación de
esfuerzo plano tienen una solución gráfica, que a m enudo conviene usar
y es fácil de recordar. Además, este m étodo nos permitirá “visualizar’*la
forma en que varían los componentes de esfuerzo normal y cortante, oy
y rxy cuando el plano sobre el que actúan se orienta en distintas direc­
ciones. figura 9-15a.
Las ecuaciones 9-1 y 9-2 se pueden escribir en la forma
( a x + a y\
o y -( — — J
T*y (a)
( < jt - <7y\
J ° ° s 2 0 + t xy sen 20
)
sen 20 + rxy eos 20
(9-9)
(9-10)
Se puede eliminar el parám etro 0. elevando al cuadrado cada ecuación y
sumando las ecuaciones. El resultado es
<r.x'
Para un problem a específico, ax, <rv y rxy son constantes conocidas. Así. la
ecuación anterior se puede escribir en forma más compacta como sigue:
(9-11)
donde.
(Tx + cry
^prom
(9-12)
Si se definen los ejes coordenados a positivo hacia la derecha y r positivo
hacia abajo, y se grafica la ecuación 9-11, se verá que esa ecuación
representa un círculo con radio R y centro en el eje o-en el punto C(crproni,0),
figura 9-156. Este círculo se llama círculo de Mohr. porque fue desarro­
llado por O tto Mohr. ingeniero alemán.
S ec c ió n 9 .4
n de
usar
r” la
irec-
9-9)
- 10)
ón y
sí. la
gue:
El circulo de Mohr (esfuerzo plano) •
Para trazar el círculo de M ohr es necesario establecer prim ero los ejes
<t y t. figura 9-16c. Como los componentes d e esfuerzo ax, tr^ rxy se cono­
cen, se puede graficar el centro del círculo. C(<rprom, 0). Para obtener el ra­
dio se necesita conocer cuando menos un punto del círculo. Imaginemos
el caso en que el eje x ’ coincide con el eje como se ve en la figura 9-16«.
Entonces. 0 = 0o y oy = crx.
= t^ . A ese punto se le llamará el “pun­
to de referencia'’ A y se grafican sus coordenadas /4(crv r v>.). figura 9-16c.
Al aplicar el teorema de Pitágoras al área triangular sombreada, se podrá
determ inar el radio R , que coincide con la ecuación 9-12. Conocidos los
puntos C y A . se puede trazar el círculo com o se indica.
A hora imaginemos que el eje x ' gira 90° en sentido contrario al de las
manecillas del reloj, figura 9-166. Entonces ¡ay = <*>■, V / = " Txy Estos va­
lores son las coordenadas del punto G(cry —txv) en el círculo, figura 9- 16c.
Por consiguiente, el radio CG está a 180°, en sentido contrario a las ma­
necillas del reloj, de la “línea de referencia” CA. En otras palabras, una
rotación 0 del eje a-' en el elemento, corresponderá a una rotación 20 en
el círculo, en la misma dirección.*
Una vez determinado, el círculo de M ohr se puede usar para determ i­
nar los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo en el plano, y
el esfuerzo promedio normal asociado, o bien el esfuerzo en cualquier pla­
no arbitrario. El m étodo para hacerlo se explica en el siguiente procedi­
miento para análisis.
•Si el eje r se construyera p o sitivo hacia arriba, entonces el ángulo 20 en el círculo se medi­
ría en la dirección opuesta a la orientación 0 del plano.
- 11)
Fig. 9-16
477
Trr = T , y
0 =0°
ay =0,
(a)
-A. .X
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS
Para trazar el círculo de Mohr se requieren los siguientes pasos:
Construcción del círculo.
• Establecer un sistema coordenado tal que las abscisas represen­
ten el esfuerzo normal cr. siendo positivo hacia la derecha, y las
ordenadas representen el esfuerzo cortante r, siendo positivo ha­
cia ahajo. figura 9-17«.*
• Usando la convención de signo positivo para o-„ cry y rxv que se
indica en la figura 9-176. graficar el centro del círculo C. ubicado
en el eje cr a la distancia <rprom = (crx + <rv) / 2 del origen, figura
9-17«.
• Graficar el “punto de referencia’*A cuyas coordenadas sean A(<r„
t v v ) . El punto representa los componentes de esfuerzo normal y
cortante sobre la cara vertical derecha del elemento, y como el
eje x ' coincide con el eje x , lo anterior representa 0 = 0o. figura
9-17¿>.
• Unir el punto A con el centro C del círculo, y determinar CA por
trigonometría. Esta distancia representa el radio R del círculo, fi­
gura 9-17«.
• Una vez determinado R, trazar el círculo.
Esfuerzos principales.
• Los esfuerzos principales y cr2 (cr, s cr2) se representan con los
dos puntos B y D donde el círculo corta al eje <r, es decir, donde
r = 0. figura 9-17«.
• Estos esfuerzos actúan sobre los planos definidos por los ángu­
los 0Px y 6p., figura 9-17c. Se representan en el círculo con los án­
gulos 20Pl (que se indica) y 20P: (no se indica), y se miden « partir
de la línea de referencia radial CA. hasta las líneas CB y CD. res­
pectivamente.
• Mediante trigonometría sólo se debe calcular uno de esos ángu­
los, a partir del círculo, ya que 0p¡ y 0p, están a 90° entre sí. Re­
cuerde que la dirección de rotación 20p en el circulo (en este caso,
en sentido contrario al de las manecillas del reloj), representa la
misma dirección de rotación 0p a partir del eje de referencia ( +.r)
hacia el plano principal í + x ' ). figura 9-17c.*
S ec c ió n 9 .4
El círculo de Mohr (esfuerzo plano)
°y
Esfuerzo cortante máximo en el plano.
• Los componentes de esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cor­
tante máximo en el plano se determ inan en el círculo, como coor­
denadas del punto E o del punto F, figura 9-17«.
li­
jas
fflse
do
ira
irx,
y
el
ira
»or
fi-
los
ide
• F.n este caso, los ángulos 0S} y 0 y. definen la orientación de los pla­
nos que contienen esos componentes, figura 9-l7d. F.1 ángulo 20K¡
se ve en la figura 9-17«. y se puede determ inar mediante trigono­
metría. En este caso, la rotación es en el sentido de las manecillas
del reloj, por lo que 0 Í( debe ser en el sentido de las manecillas del
reloj, en el elemento, figura 9-1I d *
Esfuerzos en un plano arbitrario.
• Los componentes de esfuerzo norm al y cortante, o y y r x y , que
actúan sobre determ inado plano definido por el ángulo 0 , figura
9-176'. se pueden obtener a partir del círculo, mediante trigono­
metría. para determ inar las coordenadas del punto P, figura
9-17«.
• Para ubicar a P el ángulo conocido 0 del plano (en este caso, en
sentido contrario al de las manecillas del reloj), figura 9-17e*. debe
medirse en el círculo en la misma dirección 2 0 (en sentido con­
trario a las manecillas del reloj), desde la línea de referencia ra­
dial CA. hacia la línea radial CP, figura 9-17«.*
♦Si el eje Tse construyera positivo hacia arriba, entonces el ángulo 20cn el círculo se mediría
en la dirección opuesta a la orientación 0 del plano.
guánrtir
es-uLe-
(«i»
50.
la
x)
T
(a)
F¡g. 9-17
•
479
480
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O
La carga axial P produce el estado de esfuerzos en el material, como
se indica en la figura 9-18a. Trazar el círculo de M ohr para este caso.
Solución
Construcción del círculo.
De la figura 9-18a,
<TX = (T (Ty = 0
Txy— 0
Se definen los ejes a y r e n la figura 9-186. El centro del círculo C está
en el eje a en
<a)
+
0
\.
ff +
0
a
^prom
Desde la cara derecha del elemento, figura 9-18«. el punto de referen­
cia para 0 = 0° tiene las coordenadas A{a. 0). Por consiguiente, el ra­
dio del círculo CA es R = a ¡2, figura 9-186.
F
Esfuerzos.
A y D.
\
RmQ
2
c
a
2
|/l<<7.0)
I
j
E
i
Observe que los esfuerzos principales están en los puntos
ir, = a
0 2
=
0
J
El elem ento de la figura 9-18« representa este estado de esfuerzos prin­
cipales.
El esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo normal pro­
medio asociado, se identifican en el círculo como el punto E o F. figu­
ra 9-186. En £ , sucede que
(b)
1
m *<
•n<1
=
cr
—
2
_ cr
^prom — -y
Por observación, el ángulo 2QSi = 90°. Por consiguiente, 0Si = 45°. por
lo que el eje x ' está orientado a 45°, en el sentido de las manecillas del
reloj, respecto al eje x, figura 9-18c. Ya que £ tiene coordenadas posi­
tivas. entonces rrprom y r
.. actúan en las direcciones x' y y ' positivas,
respectivamente.
S ec c ió n 9 .4
El círculo de Mohr (esfuerzo plano)
E J E M P L O
La carga de torsión T produce el estado d e esfuerzos en el eje. que se
representa en la figura 9-19«. Trazar el círculo de Mohr para este caso.
Solución
Construcción del círculo.
crx =
De acuerdo con la figura 9-19«,
CTy =
0
0
Try = - T
(a)
En la figura 9-19/? se han trazado los ejes o-y r. El centro del círculo C
está en el eje eren el lugar
^prom
A partir de la cara derecha del elem ento, figura 9-19«. el punto de re­
ferencia para 0 = 0o tiene las coordenadas A (0, - r ) , figura 9-19b. Por
consiguiente, el radio CA es R = r.
Esfuerzos. En este caso el punto A representa un punto de esfuerzo
normal prom edio y un esfuerzo cortante máximo en el plano, figura
9-196; entonces.
T
te il pbiHi
'p ro m
=
—T
=
0
(b)
Los esfuerzos principales se identifican con los puntos B y D en el
círculo. Así,
El ángulo de CA a CB. en sentido de las manecillas del reloj, es 20Px =
90°, por lo que 0Pi = 45°. Este ángulo en sentido de las manecillas del
reloj define la dirección de <r, (o del eje . r ' ). Los resultados se mues­
tran en la figura 9 -19c.
(c)
Fig. 9-19
•
481
482
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O
Debido a las cargas aplicadas, el elemento en el punto A del cilindro
macizo en la figura 9-20« está sometido al estado se esfuerzo que se
ilustra. D eterm inar los esfuerzos principales que actúan en este punto.
Solución
Construcción del círculo.
ax =
1 .2
De acuerdo con la figura 9-20«.
klb/pulg 2
cry =
rxy = —6 klb/pulg 2
0
El centro del círculo está en
12 klb/pulg2
+
-1 2
crrprom
0
=
- 6
klb/pulg 2
6 klb/pulg2
(a)
El punto inicial A ( - \ 2 . - 6 ) y el centro C ( - 6 ,0) se grafican en la figu­
ra 9-20b. El círculo SC traza con un radio de
R = V (1 2 -
6 ) 2
+ (6
) 2
= 8.49 klb/pulg 2
Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales se determinan con
las coordenadas de los puntos B y D. Para v¡ > a2. se tiene que
o (klb/pulg2)
o-! = 8.49 cr2 =
r (klb/pulg2)
(b)
- 6
6
= 2.49 klb/pulg 2
— 8.49 = -14.5 klb/pulg 2
Resp.
Resp.
Se puede determ inar la orientación del elem ento calculando el ángu­
lo 2$p. en sentido contrario « las manecillas del reloj en la figura 9-20b.
que define la dirección 0Pi de cr2 y su plano principal asociado. Enton­
ces,
6
** =
,a n “ 1
(1
2
^ )
= 45.0e
0 * = 22.5°
El elem ento está orientado de tal manera que el eje x' o <r2 e$tá dirigi­
do a 22.5® en sentido contrario a las manecillas del reloj, respecto a la
horizontal (eje .r). como se ve en la figura 9-20c.
Fij*. 9-20
S e c c ió n 9 .4
E J E M P L O
El
círculo de Mohr (esfuerzo piano)
•
483
9.10
El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento, en
la figura 9-21«. Determinar los esfuerzos cortantes máximos en el pla­
no, y la orientación del elemento sobre el que actúan.
90 MPa
60 MPa
S o lu c ió n
-------- 20 MPa
Construcción del círculo.
(Tx = -2 0 MPa
Según los datos del problema,
o y = 90 MPa
r xy = 60 MPa
Los ejes o, rse establecen en la figura 9-216. El centro C del círculo está en el eje eren el punto
^proin
(a)
-20+90
2
----- ------ = 35 M Pa
Se grafican el punto C y el punto de referencia /4(-20.60). Al apli­
car el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado, para determinar
el radio CA del círculo, se obtiene
<7(MPa)
R = V (6 0 )2 + (55)2 = 81.4 MPa
El esfuerzo cortante máxi­
mo en el plano y el esfuerzo normal promedio se identifican con el pun­
to E o F en el círculo. En particular, las coordenadas del punto £(35.
81.4) dan como resultado
Esfuerzo cortante máximo en el plano.
7 m»<
= 81.4 MPa
<7prom= 35 MPa
r(MPa)
(b )
Resp.
Resp.
El ángulo 0Xi contrario a las manecillas del reloj se puede determinar
a partir del círculo: se identifica como 2 0S¡ Entonces.
eSt = 21.3°
Resp.
El ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj define la direc­
ción del eje x \ figura 9-21c. Como el punto E tiene coordenadas posi­
tivas , el esfuerzo normal promedio y el esfuerzo cortante máximo en
el plano actúan, ambos, en las direcciones positivas de .v' y y ’, como se
indican.
fig. 9-21
484
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo-
E J E M P L O
El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elem ento de la
figura 9-22a. R epresentar este estado de esfuerzo sobre un elemento
orientado a 30° en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de la
posición que se muestra.
12 klb/pulg 2
S klb/pulg2
Solución
6 klb/pulg2
Construcción del circulo.
u x = —8 klb/pulg 2
(a)
Según los datos del problema.
<7V
= 1 2
klb/pulg 2
rxy
=
- 6
klb/pulg 2
Los ejes cry r s e establecen en la figura 9-22b. El centro del círculo C
está en el eje a a la distancia
<7prom
- 8 + 12
=
2
klb/pulg 2
El punto inicial para 0 = 0° tiene las coordenadas v4(-8. - 6 ). E nton­
ces. de acuerdo con el triángulo sombreado, el radio CA es
<T (klb/pulg2)
R = V ( 1 0 ) 2 + (6
) 2
=
1 1 .6 6
Esfuerzos sobre el elemento a 30°. Como se debe girar el elemento
30° en sentido contrario a las manecillas del reloj, se debe trazar un ra­
dio CP a 2(30°) = 60° en sentido contrario a ¡as manecillas del reloj ,
a partir de CA(0 = 0o). figura 9-22b. Ahora se deben obtener las co­
ordenadas del punto P(<rx-, rx y ). De acuerdo con la geom etría del
círculo.
4> =
5.66klb/pu!g: \
12.2 klb/pulg2'
¿ad
= 30.96°
•Jj = 60° - 30.96° = 29.04°
o y ** 2 - 11.66 eos 29.04° = -8.20 klb/pulg 2
Resp.
t xy = 1 1 .6 6 sen 29.04° = 5.66 klb/pulg 2
Resp.
Estos dos componentes de esfuerzo actúan sobre la cara BD del ele­
mento que se ve en la figura 9-22c, porque el eje x' para esta cara está
orientado a 30° del eje x, en sentido contrario al de las manecillas del
reloj.
Los com ponentes de esfuerzo que actúan sobre la cara DE adjunta,
del elem ento, que está a 60° del eje positivo X en sentido de las mane­
cillas del reloj, figura 9-22c. se representan por las coordenadas del punto
Q del círculo. Este punto está en el radio CQ , que está a 180° de CP.
Las coordenadas del punto Q son
<V = 2 + 11.66 eos 29.04° = 12.2 klb/pulg 2
(c)
Fig. 9-22
T jy — —(11.66 sen 29.04) = —5.66 klb/pulg 2
Resp.
(comprobar)
Observe que en este caso rxy actúa en dirección de - y ’.
S ección 9.5
Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión
•
485
9.5 Esfuerzos en ejes, debidos a carga axial y a torsión
A veces, los ejes redondos se sujetan a los efectos combinados de una car­
ga axial y una torsión, al mismo tiempo. Siempre que el material perm a­
nezca linealmente clástico y sólo se som eta a pequeñas deformaciones,
se puede usar el principio de la superposición para obtener el esfuerzo
resultante en el eje, debido a las dos cargas. A continuación se pueden
calcular los esfuerzos principales, usando las ecuaciones de transform a­
ción de esfuerzo o el círculo de Mohr.
E J E M P L O
900 N
Se aplican una fuerza axial de 900 N y un par de torsión de 2.50 N • m
al eje que muestra la figura 9-23«. Si el diám etro del eje es 40 mm,calcu­
lar los esfuerzos principales en un punto P de su superficie.
2.50 N-m
900 N
,50 N-m
Solución
Cargas internas. Las cargas internas consisten en el par de 2.50 N • m
y la carga axial de 900 N, figura 9-23b.
Componentes de esfuerzo.
son, en consecuencia.
r =
Te
2.50 N • m (0.02 m)
(a)
= 198.9 kPa
716.2 kPa
4M
(b)
767.7 kPa
198.9 kPa
900 N
tt( 0.02
*900 N
Los esfuerzos producidos en el punto P
^ ( 0 .0 2 m)4
A
' ^ ^ 2 .5 0 N r
mY
= 716.2 kPa
El estado de esfuerzo que definen esos dos componentes se ilustra en
el elemento, en P. en la figura 9-23c.
(c)
Esfuerzos principales. Se pueden determ inar los esfuerzos principa­
les con el círculo de Mohr, figura 9-23d. En este caso, el centro C del
círculo está en el punto
0 + 716.2
^prom
= 358.1 kPa
Al graficar C(358.1.0) y el punto de referencia A (0,198.9), se ve que
el radio del círculo es R = 409.7. Los esfuerzos principales se represen­
tan con los puntos B y D. En consecuencia.
cri = 358.1 + 409.7 = 767.8 kPa
<r2 = 358.1 - 409.7 = -5 1 .6 kPa
El ángulo 26p2, en sentido de las manecillas del reloj, se puede deter­
minar en el círculo. Es 10f,2 = 29.1°. El elemento está orientado de tal
manera que el eje x ' o a2 forma 0pl = 14.5° con el eje x , en sentido de
las manecillas del reloj, como se ve en la figura 9-23t?.
<r(kP»)
486
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.6 Variaciones de esfuerzos a través de una viga prismática
Z]
Distribución del
esfuerzo cortante
Distribución del
esfuerzo de flexión
(c)
H-
J&
0
Como las vigas resisten cargas tanto de cortante interno como de momen­
tos. el análisis de esfuerzos en una viga requiere aplicar las fórmulas de
cortante y de flexión. Aquí se describirán los resultados generales que se
obtienen al aplicar esas ecuaciones a varios puntos de una viga en voladi­
zo con sección transversal rectangular y que sostiene una carga P en su
extremo, figura 9-24«.
En general, en un corte arbitrario a-a en algún punto del eje x de la vi­
ga, figura 9-246, se desarrollan el cortante interno V y el momento M pa­
ra una distribución parabólica del esfuerzo cortante, y una distribución li­
neal del esfuerzo normal, figura 9-24c. El resultado es que los esfuerzos
que actúan sobre elementos ubicados en los puntos 1 a 5 sólo están suje­
tos al esfuerzo normal máximo, mientras que el elemento 3. que está en el
eje neutro, sólo está sujeto al esfuerzo cortante máximo. Los elementos in­
termedios 2 y 4 resisten esfuerzos normales y cortantes al mismo tiempo.
En cada caso, se puede transformar el estado de esfuerzos para cono­
cer los esfuerzos principales. usando ya sea las ecuaciones de transforma­
ción de esfuerzo o el círculo de Mohr. Los resultados se ven en la figura
9-24e. En este caso, cada elemento sucesivo, de 1 a 5. tiene una orienta­
ción contraria a las manecillas del reloj. En forma específica,y en relación
con el elemento 1 que se considera estar en la posición de 0o, el elemento
3 está orientado a 45°, y el elemento 5 está orientado a 90°. También, el
esfuerzo m áxim o ¿le tensión que actúa sobre las caras verticales del ele­
mento 1 se vuelve más pequeño que el que actúa sobre las caras corres­
pondientes de cada uno de los elementos siguientes, hasta que es cero en
las caras horizontales del elemento 5. En forma parecida, el esfuerzo m á­
xim o de compresión sobre las caras verticales del elemento 5 se reduce a
cero sobre las caras horizontales del elemento 1.
Si se amplía este análisis a muchos cortes verticales a lo largo de la vi­
ga, que no sean el a-a. un perfil de los resultados se puede representar por
las curvas llamadas trayectorias de esfuerzo. Cada una de esas curvas in­
dica la dirección de un esfuerzo principal, de magnitud constante. Para la
viga en voladizo de la figura 9-25 se han indicado algunas de esas trayec­
torias. Allí, las líneas llenas representan la dirección de los esfuerzos prin­
cipales de tensión, y las líneas interrumpidas representan la dirección de
los esfuerzos principales de compresión. Como era de esperarse, las líneas
cruzan al eje neutro formando ángulos de 45°, y las líneas llenas y las de
puntos siempre se cortan a 90° entre sí. ¿Por qué? Conocer la dirección
de esas líneas puede ser útil para ayudar a los ingenieros a decidir dónde
reforzar una viga, para que no se fracture o se vuelva inestable.
#
5
— ■ —
5
Componentes x -y del esfuerzo
(d)
Esfuerzos principales
<c)
Fíg. 9-24
■
m
Trayectorias de esfuerzo en
una viga en voladizo
Fig. 9-25
S e c c ió n
9.6 Variaciones de esfuerzos a través de una viga orismática
•
487
E J E M P L O
L a viga de la figura 9-26a está so m etida a la carga d istrib u id a
w = 120 kN /m . D eterm inar los esfuerzos principales en ella, en el pun­
to P en la parte superior del alm a. D esp recie el tamaño de los chafla­
nes y las concentraciones de esfuerzo en este punto. I = 67.4(10 ~6) m4.
15 mm
200 mm
¿ d b r- 10 mm
I'— H
15 mm 175 mm
iv = 120 kN/m
i in m r r n iT T
2
36 kN
0.15 m
ma
m
(n)
10.3 m
Solución
V=84 kN
120 kN
«»)
C argas internas. Se determ ina la reacción en el apoyo B de la viga, y
por el equilibrio del tramo de viga que se ve en la figura 9-26b , se ob­
tiene
V = 84 kN
Com ponentes de esfuerzo.
Af= 30.6 kN-m
35.2 MPa
M = 30.6 kN • m
45.4 MPa
E n el punto P .
(O
a =
T =
- M y _ 30.6(10*) N -m (O .lO O m )
- - 4 5 .4 M Pa
~ 67.4(10-6) mJ
VQ
84( 103) N [(0.1075 m ) ( 0 .175 m )(0.015 m )]
//
67.4(10-6) m4(0.010 m )
Resp.
a (MPa)
= 35.2 M Pa
Resp.
Estos resultados se indican en la figura 9-26c*.
E sfu e rz o s p rin cip a le s. Se pueden determ inar los esfuerzos principa­
les en P con el círculo de M ohr. Com o se ve en la figura 9-26d hel cen­
tro del círcu lo está a (- 4 5 .4 -I- 0 )/2 =
22.7. y las coordenadas del
punto A son (- 4 5 .4 , - 3 5 .2 ). E sto indica que el radio es/? = 41.9, y por
consiguiente
(rx = (41.9 - 22.7) = 19.2 M Pa
7 (MPa)
(d)
19.2 MPa
cr2 = - (2 2 .7 + 41.9) = - 6 4 .6 M Pa
E l ángulo en sentido contrario al de las m anecillas del reloj es 2$[>: =
57.2°. por lo que
6P; = 28.6°
En la figura 9-26e se indican estos resul tados.
(e)
Fig, 9-26
488
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
PROBLEMAS
*9-56.
Mohr.
R esuelva el problem a 9-4 usando el círculo de
9-57. Resuelva el problem a 9-2 usando el círculo de
Mohr.
9-58. R esuelva el problem a 9-3 usando el círculo de
Mohr.
*9-68. D etermine el estado equivalente de esfuerzo si un
elem ento está orientado a 30° en sentido de las manecillas
del reloj, respecto al elem ento siguiente:
230 MPa
9-59. Resuelva el problem a 9-10 usando el círculo de
Mohr.
*9-60.
Mohr.
9-61. Resuelva el problem a 9-11 usando el círculo de
Mohr.
9-62. Resuelva el problem a 9-13 usando el círculo de
Mohr.
9-63. Resuelva el problem a 9-14 usando el círculo de
Mohr.
*9-64.
Mohr.
350 MPa
Resuelva el problem a 9-6 usando el círculo de
Resuelva el problem a 9-16 usando el círculo de
480 MPa
P ro b . 9-68
9-69. Determ ine el estado equivalente de esfuerzo en un
elemento orientado a 25° en sentido contrario al de las ma­
necillas del reloj, respecto al elem ento siguiente:
9-65. Resuelva el problem a 9-15 usando el círculo de
Mohr.
9-66. Determ ine el estado equivalente de esfuerzo, si un
elem ento está orientado a 60°, en sentido de las maneci­
llas del reloj, respecto al elem ento siguiente:
65 klb/pulg2
550 MPa
Pro!». 9-69
:
Prob. 9-66
9-67. Determ ine el estado equivalente de esfue rzo si un
elem ento está orientado a 60° en sentido contrario al de
las manecillas del reloj, respecto al elem ento siguiente:
9-70. D eterm ine a) los esfuerzos principales y b) el es­
fuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal
promedio. Especifique la orientación del elem ento, en ca­
da caso.
800 Ib/pul* 2
450 lb/pulg7
150 MPa
750 Ib/pulg2
Prob. 9-67
Prob.9-70
P r o b le m a s
9-71. D eterm in e a) los esfuerzos p rin cip ales y b) el es­
fuerzo co rtan te m áxim o en el plano, y el esfu erzo norm al
prom edio. E specifique la orien tació n d el e lem en to , en ca­
da caso.
489
9-74. D eterm in e a ) los esfuerzos principales y b ) el es­
fuerzo c o rta n te m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al
prom edio. E specifique la orientación del elem ento, en c a­
d a caso.
30 MPa
10 klh/pulg2
8 klh/pulg2
45 MPa
15 klh/pulg2
;
50 MPa
Prob. 9-74
Prol». 9-71
*9-72. D eterm in e a ) los esfuerzos prin cip ales y b) el es­
fuerzo co rla n te m áxim o en el plano, y el e sfu erzo norm al
prom edio. E specifique la o rien tació n del elem en to , en c a ­
d a caso.
50 MPa
9-75. D eterm in e a) los e sfuerzos principales y b) el es­
fuerzo c o rta n te m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al
p rom edio. E specifique la orientación del elem ento, en ca­
da caso.
50 MPu
30 MPa
30 MPa
Prob. 9-72
Prob. 9-75
9-73. D eterm in e a ) los esfuerzos p rin cip ales y b) el es­
fuerzo co rtan te m áxim o en el plano, y el esfu erzo norm al
prom edio. E specifique la orientación del e lem en to , en ca­
da caso.
*9-76. D eterm in e a ) los esfuerzos principales y b ) el es­
fuerzo c o rta n te m áxim o en el plano, y el esfuerzo norm al
prom edio. E specifique la o rien tació n del elem ento, en ca­
d a caso.
120 lb/pulg 2
8 klb/pulg2
4 klb/pulg2
300 lb/pulg2
12 klb/pulg2
Prob. 9-73
Prob. 9-76
490
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-77. Trace el círculo de M ohr que describa cada uno de
los siguientes estados de esfuerzo.
200 lb/pulg2
*9-80. En la figura 9-15b se muestra el círculo de Mohr
para el estado de esfuerzos de la figura 9-15«. Demuestre
que al determ inar las coordenadas del punto P(orx-. rxy )
en el círculo se obtiene el mismo valor que las ecuaciones
de transformación de esfuerzo, las 9-1 y 9-2.
Los problem as que siguen incluyen material cubierto en
el capítulo 8.
3 klb/pulg2
0
100 Ib/pulg
9-81. Las fibras de la labia forman un ángulo de 20° con
la horizontal, como se indica. Determ ine el esfuerzo nor­
mal y cortante que actúan en dirección perpendicular y
paralela a estas, si la tabla está sujeta a una carga axial de
250 N.
»
P ro b . 9-77
9-78. Trace el circulo de M ohr que describa cada uno de
los siguientes estados de esfuerzo.
5 MPa
9-82. El poste tiene un área transversal cuadrada. Si se
fija soportándolo en su base, y se aplica una fuerza hori­
zontal en su extremo, como se indica, determ ine a) el es-
20 klb/pulg2
60 nun
250 N
fuerzo cortante máximo en el plano que se desarrolla en
A y b) los esfuerzos principales en A.
18 MPa
P ro b . 9-7«
<c>
9-79. Un punto de una placa delgada está sujeto a dos e s­
tados sucesivos de esfuerzo, como se indica. Determ ine el
estado resultante de esfuerzo,con referencia a un elem en­
to orientado como se indica a la derecha.
45 Ib/pulg2
18 Ib/pulg-2
I pulg
Prob. 9-79
Prob. 9-82
Pr o b l e m a s
La cortina de concreto descansa en un cimiento
anterior, y está sometida a las presiones h idrostáticas in­
dicadas. Si su ancho es 6 pies,determine los esfuerzos prin­
cipales que actúan sobre el concreto en el punto A. Indique
los resultados en un elemento orientado en forma adecua­
da en ese punto. El peso específico del concreto es
y - 150 Ib/pie3.
9-83.
•
491
Un recipiente esférico a presión tiene un radio in­
terior de 5 pies, y el espesor de su pared es 0.5 pulg. Trace
un círculo de Mohr para el estado de esfuerzo en un pun­
to del recipiente, y explique el significado del resultado. El
recipiente está sometido a una presión interna de 80 psi.
9-85.
El recipiente cilindrico a presión tiene un radio in­
terior de 1.25 m. y el espesor de su pared es 15 mm. El re­
cipiente fabricado con placas de acero soldadas en la unión
a 45°. Determine los componentes de esfuerzo normal y
cortante a lo largo de esta unión, si el recipiente está suje­
to a una presión interna de 8 MPa.
9-86.
I.2S m
Prob. 9-86
Pro!». 9-83
La escalera está apoyada sobre la superficie áspe­
ra en A, y en una pared lisa en B. Si un hombre de 150 Ib
de peso está parado en C. determine los esfuerzos princi­
pales en una de las alfardas (los laterales de la escalera)
en el punto D. Cada alfarda es de tabla de I pulg de espe­
sor y su sección transversal es rectangular. Suponga que el
peso total del hombre se ejerce verticalmente en el peldaño
en C, y se divide por igual en cada una de 3as dos alfardas
de la escalera. No tenga en cuenta el peso de la escalera,
ni las fuerzas desarrolladas por los brazos del hombre.
*9-84.
El poste tiene un área transversal cuadrada. Si es­
tá fijo y soportado en su base, y se aplican las cargas que
se indican en su extremo, determine a) el esfuerzo cortan­
te máximo en el plano desarrollado en A, y b) los esfuer­
zos principales en A.
9-87.
i
i
492
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9.7 Esfuerzo cortante máximo absoluto
(a)
(b)
Cuando un punto de un cuerpo está sometido a un estado general de es­
fuerzo tridimensional, un elem ento del material tiene un com ponente de
esfuerzo norm al y dos componentes de esfuerzo cortante que actúan so­
bre cada una d e sus caras, figuras 9-27«. Como el caso del esfuerzo plano,
es posible desarrollar ecuaciones de transformación de esfuerzo que se
pueden usar para calcular los com ponentes de esfuerzo normal y cortan­
te, cr y r, que actúan sobre cualquier plano inclinado del elemento, figura
9-276. Además, en el punto también es posible determ inar la orientación
única de un elem ento que sólo tenga esfuerzos principales actuando so­
bre sus caras. C om o se ve en la figura 9-27c, se supone que esos esfuerzos
principales tienen magnitudes de intensidad máxima, intermedia y míni­
ma, es decir. crmáx > ^inl - ^mínUna descripción de la transformación de esfuerzo en tres dimensiones
sale del alcance de este texto: sin em bargo.se describe en libros relacio­
nados con la teoría de la elasticidad. Para nuestros fines,supondremos que
se conocen la orientación del elem ento y los esfuerzos principales, figura
9-27c. Es una condición llamada esfuerzo triaxial. Si se ve este elem ento
en dos dimensiones, esto es, en los planos y '- z ^ x '- z ' y x '- y \ figuras 9-28«.
9-28b y 9-28c.se puede usar entonces el círculo de Mohr para determ inar
el esfuerzo cortante máximo en el plano para cada caso. Por ejemplo, el
diám etro del círculo de M ohr queda entre los esfuerzos principales ojm y
°mín Para el c a s 0 de
figura 9-28«. De acuerdo con este círculo, figura
9-28¿/, el esfuerzo cortante máximo en el plano es ( r v c )máx = (<r¡n, erm ¡ n ) / 2 y el esfuerzo promedio normal correspondiente es (crin, + crm(n) / 2 .
Como se ve en la figura 9-28e, el elemento que tiene esos componentes
de esfuerzo en él debe estar orientado a 45° de la posición mostrada en
la figura 9-28«. En la figura 9-28d se construyeron también los círculos de
Mohr para los elementos de las figuras 9-28/> y 9-28c. Los elementos co­
rrespondientes que tienen una orientación a 45° y están sujetos a com­
ponentes máximos cortantes en el plano y promedio normal se ven en las
figuras 9-28/y 9-28#. respectivamente.
\
esfuerzo u-iaxi.il
(c)
Fig. 9-27
<d)
S e c c ió n
es: de
soino,
; se
:an,ura
ión
9.7 Esfuerzo cortante máximo absoluto
Si se comparan los tres circuios de la fig U T a 9-28d . se ve que el esfuerzo
cortante m áxim o absoluto, t , •se define con el círculo que tiene el radio
mayor, que corresponde al elem ento de la figura 9-28b. En otras palabras,
el elem ento de la figura 9-28/está orientado por una rotación de 45° res­
pecto al eje y \ desde el elem ento de la figura 9-27b. Obsérvese que esta
condición también se puede determ inar directam ente, sólo escogiendo los
esfuerzos principales máximo y mínimo en la figura 9-27c, en cuyo caso
el esfuerzo cortante máximo absoluto será:
-------------------- ÿ
(a)
SO ­
T lt lt t
TO S
**
—
................-
(9-13)
2
ini>nes
cioque
jura
ínto
2Sa,
•
Y el esfuerzo normal promedio correspondiente será:
(9-14)
^prom
inar
x el
ím y
•ura
(b>
)/2.
ntes
i en
sd e
. coomi las
(C)
z‘
493
494
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
En el análisis sólo se consideraron tres componentes de esfuerzo que
actúan sobre elem entos ubicados en posiciones que se determ inan por
rotaciones respecto al eje x \ y ' o z'. Si hubiéramos usado las ecuaciones
tridimensionales de transformación de esfuerzos, de la teoría de la elasti­
cidad, para obtener valores de los componentes de esfuerzo normal y cor­
tante que actúan sobre cualquier plano inclinado en el punto, como en la
figura 9-27/?. se podría dem ostrar que. independientem ente de la orienta­
ción del plano, los valores específicos del esfuerzo cortante r sobre el pla­
no siempre serán menores que el esfuerzo cortante máximo absoluto que
se determ inó con la ecuación 9-13. Además, el esfuerzo normal rrque ac­
túa sobre cualquier plano, tendrá un valor entre los de los esfuerzos prin­
cipales máximo y mínimo; esto es. ¿rmix 2 : a > a min.
Los resultados anteriores tienen una implicación
im portante para el caso del esfuerzo plano, en especial cuando los esfuer­
zos principales en el plano tienen el mismo signo, es decir, ambos son de
tensión o am bos de compresión. Por ejemplo, imagine el material que se
va a som eter a un esfuerzo plano tal que los esfuerzos principales en el
plano se representan por trm!íx y <rm(n. en las direcciones x' y y ', respecti­
vamente. m ientras que el esfuerzo principal fuera del plano, en la direc­
ción z ‘ es <ymfn = 0. figura 9-29a. Los círculos de M ohr que describen este
estado de esfuerzo para orientaciones del elem ento respecto a cada uno
de los tres ejes coordenados se ven en la figura 9-2%. Se ve aquí que aun­
que el esfuerzo cortante máximo en el plano es ( r ty)máx =(crmáx - cr¡n,)/ 2 ,
este valor n o es el esfuerzo cortante máximo absoluto al que está sometido
el material. En lugar de ello, de acuerdo con la ecuación 9-13 o la figura
9-296,
E s f u e r z o s p la n o s .
(9-15)
Tr = (T*v)máx =
z'
o
f OiyJmáx
v'
x
Esfuerzo cortante
m áxim o absoluto
E sfuer/o plano x '-y '
r
(a)
Fig. 9.29
(b)
V
Esfuerzo cortante
máximo en el plano
S ecció n 9 .7
Esfuerzo cortante máximo absoluto
z‘
' Esfuerzo cortanle
máximo en pluno y esfuerzo
cortante máximo absoluto
(a)
0»)
Flg. 9-30
En el caso cuando uno de los esfuerzos principales en el plano tiene sig­
no contrario respecto al otro, entonces esos esfuerzos se representarán
por (7miíx y crmín, y el esfuerzo principal fuera del plano rrin, = 0 . figura
Los círculos de Mohr que describen este estado de esfuerzos, para
orientaciones de elemento respecto a cada eje coordenado, se ven en la
figura 9-30¿>. Es claro que en este caso
9-30«.
Tr
z
^
^mitN — ^min
= ( T*y)má* = -------^------
(9-16)
Es importante el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto, al di­
señar miembros hechos de materiales dúctiles, porque la resistencia del
material depende de su capacidad para resistir el esfuerzo cortante. Este
caso se seguirá describiendo en la sección 10.7.
PUNTOS IMPORTANTES
• El estado general de esfuerzo tridimensional en un punto se pue­
de representar por un elemento orientado de tal manera que só­
lo actúen sobre él tres esfuerzos principales.
• A partir de esta orientación, se puede obtener la orientación del
elemento que represente el esfuerzo cortante máximo absoluto,
girando 453 al elemento, respecto al eje que define la dirección
de <7int.
• Si los esfuerzos principales en el plano tienen ambos el mismo
signo, el esfuerzo cortante máximo absoluto estará hacia afuera
del plano y tiene un valor T y = (rmáxj 2.
• Si los esfuerzos principales en el plano tienen signos contrarios,
el esfuerzo cortante máximo absoluto es igual al esfuerzo cortan­
te máximo en el plano-, esto es, r = (<7mjix - a m i n ) / 2 -
•
495
496
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
E J E M P L O
Debido a la carga aplicada, el elem ento en el punto indicado en el m ar­
co de la figura 9-31«, está sometido al estado de esfuerzo plano que se
m uestra. D eterm inar los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante
máximo absoluto en el punto.
A_____
40
iK
20
1
a (lb/pulg2)
'7 « W 0 )
hó
\
V
— 20 —
20 lb/pulg 2
r (lb/pulg')
40 lb/pulg 2
<b)
(a)
Fig. 9-31
Solución
Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales en el plano se pue­
den determ inar con el círculo de Mohr. El centro del círculo está en el
eje o-en <rprom = ( - 2 0 + 0 )/2 = - 1 0 lb/pulg2. Al graficar el punto de
control A ( - 2 0 , -4 0 ), se puede trazar el círculo como el de la figura
9-31 b. El radio es
R = V (2 0 - 10) 2 + (40)2 = 41.2 lb/pulg 2
Los esfuerzos principales están en los puntos donde el círculo corta el
eje cr>es decir.
a mÁX = - 1 0 + 41.2 = 31.2 lb/pulg 2
*Wn = - 1 0 - 41.2 = -51.2 lb/pulg 2
S ección 9.7
Esfuerzo cortante máximo absoluto
En el círculo se ve que el ángulo 20. m edido en sentido contrario a las
manecillas del reloj desde CA hacia el eje —eres
20 = tan“
1
\ 2 0
-
1 0
/
76.0°
Así,
0 = 38.0°
Esta rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj define
la dirección del eje x ' para trmln y su plano principal correspondiente,
figura 9-3le. Como no hay esfuerzo principal sobre el elem ento en la
dirección z. se obtienen
0-máx = 31.2 lb/pulg 2
<riot = 0
(rmin = -51.2 lb/pulg2
Esfuerzo cortante m áxim o absoluto.
y 9-14 se obtienen
Resp.
Al aplicar las ecuaciones 9-13
(c)
r ~ = amix r
2
—
^prom—
=
3 1 ,2
i— iL2) = 41.2 Ib/ pulg2
2
^mfn _ 31.2 ~ 51.2
=
o
~
o
- 1 0
Resp.
lb/pulg 2
Estos mismos resultados tam bién se pueden obtener trazando el
círculo de Mohr para cada orientación de un elemento, respecto a los
ejes x \ y ' y z \ figura 9-31 d. Como rrmáx y crmfn tienen signos opuestos,
entonces el esfuerzo cortante máximo absoluto es igual al esfuerzo cor­
tante máximo en el plano. Esto se debe a una rotación de 45° del ele­
m ento de la figura 9-3le en torno al eje z \ por lo que el elem ento con
su orientación correcta se ve en la figura 9-3U'.
2 9 = 76.0°+ 90°= 166
o (lb/pulg2)
<7mXx= 3l.2 lb/pulg 2
-51.2 lb/pulg 2
Tmüx= 4 «-2 lb/pulg2*
r (lb/pulg2)
«l>
(e)
•
497
498
•
CAPÍTULO 9 T ra n s fo rm a c ió n d e e s fu e r z o
E J E M P L O
9.15
E l punto en la superficie del recipiente cilindrico a presión de la figu­
ra 9-32a está sometida a un estado de esfuerzo plano. D eterm inar el es­
fuerzo cortante m áxim o absoluto en ese punto.
S olució n
Lo s esfuerzos principales son crmáx = 32 M P a , <rln, = 16 M Pa y írmjn =
ü. Si esos esfuerzos se grafican en el eje <r,se pueden trazar tres círcu ­
los de M ohr que describen el estado de esfuerzo, visto en cada uno de los
planos perpendiculares, figura 9-32b. E l círculo m ayor tiene un radio
de 16 M P a , y describe el estado de esfuerzo en el plano que contiene a
Oniáx = 32 M Pa. y ermin = ü.q ue se ve sombreado en la figura 9-32«. U n a
orientación de un elemento a 45° dentro de este plano produce el es­
tado de esfuerzo cortante máxim o absoluto, y el esfuerzo norm al pro­
medio correspondiente, que son
= 16 M Pa
^prom
Resp.
16 M Pa
Esto s mismos resultados se pueden obtener con la aplicación direc­
ta de las ecuaciones 9-13 y 9-14. esto es
^mrix
^mín
32
r ib
m**
» = -------” -------= — -—
2
(Tprom
T (MPa)
^máx
0
2
°"mín
4/ w n .
= 16 M Pa
32 + 0
n .
Resp.
= 16 M Pa
(b )
H r . 9-32
Por com paración, puede determ inarse el esfuerzo cortante m áxim o
en el plano a partir del circulo de M ohr trazado entre <rmíx = 32 M Pa
y crml = 16 M P a. figura 9-32b. D e ese modo se obtienen los valores
T „,..
3 2 -1 6
= ----- -— = 8 M Pa
32 - 16
»■prom= 16 + ---- ----- = 24 M Pa
P r o b le m a s
•
499
PROBLEMAS
*9*88. Trace los tres círculos de Mohr qu e describen ca- 9-89.
da uno de los siguientes estados de esfuerzo.
TVace los tres círculos de M ohr que describen cada
uno de los siguientes estados de esfuerzo.
15 klb/pulg2
klb/pulg:
4 klb/pulg2
(a)
MPa
<b)
P ro b . 9-89
9-90. Los esfuerzos principales que actúan en un punto
de un cuerpo se ven a continuación.Trace los tres círculos de
Mohr que describen este estado de esfuerzo y calcule los
esfuerzos cortantes máximos en el plano y los esfuerzos
normales promedio en los planos x-y, y-z y x-z. Para cada
caso indique los resultados en el elem ento orientado en la
dirección adecuada.
500
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
9-91. El esfuerzo en un punto se indica sobre el elem en­
to. Determ ine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor­
tante máximo absoluto.
9-93. El estado de esfuerzo en un punto se indica sobre
el elemento. D etermine los esfuerzos principales y el es­
fuerzo cortante máximo absoluto.
2.5 klb/pulg2
5 klb/pulgi
60 MPa
Prob. 9-91
P ro b . 9-93
*9-92. El esfuerzo en un punto se indica sobre el elem en­
to. Determ ine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor­
tante máximo absoluto.
■ 9-94. Considere el caso general de esfuerzo plano que
se muestra. Escriba un programa de cómputo que haga una
gráfica de los tres círculos de M ohr para el elem ento y que
también calcule el esfuerzo cortante máximo en el plano,
y el esfuerzo cortante máximo absoluto.
Prob. 9-92
Prob. 9-94
Pro b lem a s
En los siguientes problem as se usa m aterial cubierto en
el capítulo 8.
9-95. El cilindro macizo que tiene un radio r se coloca en
un recipiente sellado sometido a una presión p. Calcule los
com ponentes de esfuerzo que actúan en el punió A . ubi­
cado en el eje central del cilindro. Trace círculos de M ohr
para el elem ento en esc punto.
P ro b . 9-97
Prob. 9-96
501
9-97. El marco está sometido a una fuerza horizontal y
al m omento de un par en su extremo. Determ ine los es­
fuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo absolu­
to en el punto A . El área transversal en ese punto se ve en
el detalle.
P ro b . 9-95
*9-96. La placa está som etida a una fuerza de tensión
P = 5 klb. Si tiene las dimensiones indicadas, determine
los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo ab­
soluto. Si el material es dúctil, fallará p o r cortante. Haga
un esquema de la placa, donde se indique cóm o aparece
ría esa falla. Si el material es frágil, la placa fallará debido
a los esfuerzos principales. Muestre cómo sucede esa falla.
•
502
•
CAPÍTULO 9 Transformación de esfuerzo
REPASO DEL CAPÍTULO
• El esfuer/o plano se presenta cuando un punto del material está sometido a dos componentes de es­
fuerzo normal. trx y <rv, y un esfuerzo cortante rxy. Cuando se conocen esos componentes, se pueden
determ inar los componentes de esfuerzo que actúan sobre un elem ento que tenga una orientación
distinta, usando las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas, o las ecuaciones de transformación de es­
fuerzo.
• Para el diseño es im portante determ inar las orientaciones del elem ento que produzcan los esfuerzos
normales principales máximos, y el esfuerzo cortante máximo en el plano. Al usar las ecuaciones de
transformación de esfuerzo se encuentra que no actúa esfuerzo cortante sobre los planos de esfuer­
zo principal. Los planos de esfuerzo cortante máximo en el plano están orientados a 45° del plano
de los esfuerzos principales, y sobre esos planos de corte hay un esfuerzo normal promedio corres­
pondiente de (oy + ory)f2.
• El círculo de M ohr es una ayuda semigráfica para determ inar el esfuerzo en cualquier plano, los es­
fuerzos normales principales y el esfuerzo cortante máximo en el plano. Para trazar el círculo, se de­
finen los ejes a y r. y se grafican el centro del círculo | (crx + ay) / 2 , 0 ], y el punto de control («r*, rAV).
El radio del círculo se extiende enlre esos dos puntos, y se determina por trigonometría.
• El esfuerzo cortante máximo absoluto será igual al esfuerzo cortante máximo en el plano, siempre
que los esfuerzos principales en el plano tengan signo contrario. Si tienen el mismo signo, el esfuer­
zo cortante máximo absoluto estará fuera del plano. Su valor es r nhVii =
- 0)/2.
PROBLEMAS
DE
REPASO
9-9S. Sobre el elemento se muestra el esfuer/.o en un pun­
to. Determ ine los esfuerzos principales y el esfuerzo cor­
tante máximo absoluto.
Con el pescante se sostiene la carga de 350 Ib. De
term ine los esfuerzos principales que actúan sobre la plu­
ma en los puntos A y li. El corte transversal es rectangu­
lar. con 6 pulg de ancho y 3 pulg de espesor.
9-99.
Ib/pulg1
70 Ib/pulg’
Prob. 9-9K
Prol». 9-99
Pr o b lem a s
Determine el estado equivalente de esfuerzo, si
un elemento se orienta a 40f. en sentido de las manecillas
del reloj, respecto al elemento que se muestra. Use el
círculo de Mohr.
*9-100.
•
503
El estado de esfuerzo en un punto se indica en
el elemento. Determine a) los esfuerzos principales y b) el
esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo nor­
mal promedio en el punto. En cada caso, especifique la
orientación del elemento.
9-103.
10 klb/pttlg2
60 MPn
6 klb/puig-
45 MPa
P ro b . 9-100
Prol». 9-103
La tabla de madera está sometida a las cargas in­
dicadas. Determine los esfuerzos principales que actúan
en el punto C.y especifique la orientación del elemento en
este punto. La viga está sostenida por un tornillo (pasa­
dor) en B y un soporte liso en A.
9-101.
La tabla de madera está sometida a la carga que
se muestra. Si las fibras de la madera en el punto C forman
un ángulo de 60° con la horizontal, como se indica, deter­
mine los esfuerzos normal y cortante que actúan en direc­
ciones perpendicular y paralela a las mismas, respectiva­
mente. debido a las cargas. La tabla está so-slenida por un
tornillo (pasador) en B y un soporte liso en A.
9-102.
50 N
50 N
í i
i
ID
-H h
25 mm
40 N
El estado de esfuerzo en un punto de un miem­
bro se indica en el elemento. Determine los componentes
de esfuerzo que actúan sobre el plano inclinado AB. Re­
suelva el problema empleando el método de equilibrio des­
crito en la sección 9.1.
*9-104.
40 N
:
r
B
A
50 mm
100 inni
100 mm
Probs. 9-101/102
Prob. 9-104
Los esfuerzos com plejos q u e se desarrollan en esta ala d e avión se analizan
a partir de datos obtenidos en galgas extensométricas
(Cortesía d e M easurem ents G roup, Inc.. Raleigh, N orth Carolina. 27611. Estuiios Unidos.)
C A P Í T U L O
10
Transformación de
deformación unitaria
OBJETIVOS DEL CAPÍTULO
La transformación de la deformación unitaria en un punto es similar a la transfor­
mación d e esfuerzo, y en consecuencia se aplicarán los m étodos del capítulo 9 en
este capítulo. A quí también describiremos varias formas de medir la deformación
y desarrollarem os algunas relaciones im portantes con las propiedades del m ate­
rial. incluyendo una forma generalizada de la ley de Hooke. Al final de este capí­
tulo se describirán algunas de las teorías que se usan para predecir la falla de un
material.
10.1
Deformación unitaria plana
C om o se describió en la sección 2.2. el estado general de la deformación
unitaria en un punto de un cuerpo se representa por una combinación de
tres componentes de deformación unitaria normal. ev e,, e:. y tres com­
ponentes de deformación unitaria cortante. yxy, y,., yy:. Estos seis com po­
nentes tienden a deformar cada cara de un elemento del material, y como
el esfuerzo, los componentes de deformación unitaria normal y cortante
en el punto varían de acuerdo con la orientación del elemento. Los com ­
ponentes de la deformación unitaria en un punto se determ inan con fre­
cuencia usando galgas extensométricas. que miden esos componentes en
.direcciones especificadas. Sin embargo, tanto para análisis como para di­
seño. a veces los ingenieros deben transform ar esos datos para obtener
los componentes de la deformación unitaria en otras direcciones.
505
506
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
y
y
y
2fv
2
r
t
i
/
i
----------------- -- - 1
i
■■
x
Deformación unitaria normal f
(a)
Deformación unitaria normal f v
(b )
*"7
/
i
i
i
/
- r ftv
1 2
Deformación unitaria cortante yJV
<c)
F lg . 10-1
El espécim en de hule está restringido
entre dos soportes fijos, por lo que su­
frirá deformación unitaria plana cuan­
do se le apliquen cargas en el plano
horizontal.
Para com prender cómo se hace primero confinaremos nuestra atención
en el estudio de la deformación unitaria plana. En forma específica, no
tendrem os en cuenta los efectos de los componentes ez, yxz y yyz. Enton­
ces en general, un elem ento deformado en un plano está sujeto a dos com­
ponentes de deformación unitaria normal, ev, ev, y a un componente de
deform ación unitaria cortante. yxy. Las deform aciones de un elemento,
causadas por cada una de esas deformaciones unitarias.se ven gráfica­
m ente en la figura 10-1. Observe que las deformaciones unitarias norm a­
les se producen por cambios de longitud del elemento en las direcciones
.v y v, y la deformación unitaria cortante se produce por la rotación rela­
tiva de clos lados adyacentes del elemento.
Aunque tanto la deformación unitaria plana como el esfuerzo plano tie­
nen tres componentes que están en el mismo plano.se debe tener en cuenta
que el esfuerzo plano no necesariamente causa la deformación unitaria
plana, o viceversa. La razón tiene que ver con el efecto de Poisson.
que se describió en la sección 3.6. Por ejemplo, si el elemento de la figura
1 0 - 2 se som ete a un esfuerzo plano ax y *xv, no sólo se producen las defor­
maciones unitarias normales ex y ev. sino también hay una deformación
unitaria normal correspondiente. Es obvio que ése no es el caso del es­
fuerzo plano. Entonces, en general, a menos que v = O.el efecto de Pois­
son evitii la ocurrencia simultánea de la deformación unitaria plana y el
esfuerzo plano. También se debe hacer notar que ya que el esfuerzo cor­
tante y la deformación unitaria cortante no son afectados por la relación
de Poisson. para la condición de r t. =
= 0 se requiere que yx : = yyz = 0.
S e c c ió n 1 0 .2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
•
El csfucrz-o plano, <y,. 0 V. no causa deformación unitaria plana
en el plano x-y ya que f. * 0.
Fig. 10-2
10.2
Ecuaciones generales de transform ación de deformación
unitaria plana
En el análisis de la deformación unitaria plana, es im portante establecer
ecuaciones de transformación para determ inar los componentes x \ y'de
la deformación unitaria normal y cortante en un punto, cuando se conoz­
can los componentes x, y de la deformación unitaria. En esencia este pro­
blema es de geom etría, y se requiere relacionar las deformaciones y las
rotaciones de segmentos diferenciales de línea, que representan los lados
de elem entos diferenciales que sean paralelos a cada conjunto de ejes.
A ntes de poder desarrollar las ecuaciones de
transformación de deformación unitaria, prim ero se debe establecer una
convención de signos de las deformaciones. Esa convención es igual a la
establecida en la sección 2 .2 .y las volveremos a mencionar aquí para la con­
dición de esfuerzo plano. Con referencia al elem ento diferencial de la fi­
gura 10-3«, las deformaciones unitarias normales ex y ey son positivas si
causan alargamiento a lo largo de los ejes x y y, respectivamente, y la de­
formación unitaria cortante yxy es positiva si el ángulo interno A O B se ha­
ce menor que 90°. Esta convención de signos también es consecuencia de
la correspondiente para el esfuerzo plano, figura 9-5a. esto es, los esfuer­
zos o\, cry y Txy positivos causan que el elem ento se deforme en las direc­
ciones positivas e„ ey y yvv. respectivamente.
En este caso, el problema será determ inar las deformaciones unitarias
normal y cortante en un punto. ev-, ev*y yAy , medidas en relación con los
ejes .v\ y ', si se conocen e„ ev y yxr medidas en relación con los ejes x, y.
Si el ángulo entre los ejes x y x ' es 0. entonces, como en el caso del esfuer­
zo plano, 0 será positivo si sigue el enroscam iento de los dedos de la ma­
no derecha, es decir, si es contrario al m ovimiento de las manecillas del
reloj, como se ve en la figura 10-3/>.
+ (ytiy T
C o n v e n c ió n d e s ig n o .
+€xd\
(b)
Convención de -signos positivos
F ig . 10-3
507
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
D e f o r m a c io n e s u n ita r ia s n o rm a l y c o r t a n t e . Para deducir la ecua­
ción de transformación de deformación unitaria para determ inar €x-. se
debe determ inar el alargamiento en un segmento de recta dx' que estó a
lo largo del eje .v' y esté sometido a los com ponentes de deformación uni­
taria €x. 6 V
, yxy. Como se ve en la figura 10-4«, los componentes de la rec­
ta d x ' a lo largo de los ejes .r y y son
v
d x = d x *eos tí
d y = rf.v'sen tí
Ames de la deformación
(a)
( 1 0 -1 )
C uando se presenta la deformación unitaria normal ex, figura 10-4Z). la
recia dx se alarga er dx. lo que hace que la recia dx' se alargue ex dx eos
tí. D e igual modo, cuando se presenta ev. figura 10-4c, la recta dy se alarga
ey d y , lo que hace que la recta dx' se alargue cy dy sen tí. Por último, supo­
niendo que dx permanezca fijo en su posición, la deformación cortante
yxv, que es el cambio del ángulo entre dx y dy, hace que la parte superior
de la recta dy se desplace yx>, dy hacia la derecha, como se ve en la figura
lü-4í/. Eslo hace que d.v 's e alargue y xy dy eos tí. Si se suman los tres alar­
gamientos, el alargamiento resultante de dx' es, entonces,
$ x f = ex d x eos 0 + ey d y sen tí + y xy d y eos 0
y
D e acuerdo con la ecuación 2-2, la deformación unitaria normal, a lo
largo de la recta d x ', es ex- = 8x‘/d x '. Entonces, usando la ecuación
1 0 - 1 , se obtiene
ex. = e r eos 2 0 + €y sen 2 tí + y xy sen 6 eos 0
( 1 0 -2 )
La ecuación de transformación de deformación unitaria para determ i­
nar yxy se puede deducir si se considera la cantidad de rotación que su­
fre cada uno de los segmentos de recta dx' y dy’ cuando se someten a los
com ponentes de deformación unitaria ex, ey yxv. Primero se examinará la
rotación de d x \ que se define por el ángulo a, en sentido contrario al de
las manecillas del reloj tal y como se ilustra en la figura 10-4<?. Se puede
determ inar a partir del desplazamiento 8 y \ usando a = 8y'/dx'. Para ob­
tener $y\ s e consideran los tres componentes siguientes de desplazamien­
to que actúan en la dirección y ': uno de ex, que es - € x dx sen tí. figura
10-46; otro de er que es ey dy eos 0, figura 10-4c. y el último de yxy, que es
“ 7ty dy sen 6. figura 10-4d. Así. 8 y resultado de los tres componentes de
deformación unitaria.es
8 y' = ~ e x d x sen 0 + e Yd y eos 0 - y xy d y sen 0
Usando la ecuación 10-1, con ct = 8y' /dx'. se obtiene
a = {—ex + ey) sen 0 eos 0 — y xy sen 2 0
Deformación unitaria normal e,
(c)
Fig. 10-4
(10-3)
C om o se ve en la figura 10-4e. la recta dy' gira una cantidad /3. Se pue­
de determ inar este ángulo con un análisis similar, o sólo sustituyendo tí
por 0 + 90° en la ecuación 10-3. Si se usan las identidades sen(0 + 90°) =
eos 0,cos(0 + 90°) = - s e n tí, se obtiene
fi = ( - € x + cy) sen(tí + 90°) cos(0 + 90°) - y xy sen2(tí + 90°)
= —’(—€ , + e v) eos tí sen tí - y xy eos2 tí
S ección 10.2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
(O
Defonnación unitaria cortante yxy
(d>
Fig. 10*4 (cont.)
Como (x y (3 representan la rotación de los lados dx' y dy' de un elem en­
to diferencial cuyos lados estaban orientados originalmente a lo largo de
los ejes x' y y ', y /3 tiene dirección contraria a a. figura 10-4í?. entonces el
elemento está sujeto a una deformación unitaria de
y ,y = a - 0 = - 2 ( e x - cy) sen 0 eos 0 + y ,y(cos 2 0 - sen 2 0) (10-4)
Si se usan las identidades trigonométricas sen 20 = 2 sen 0 eos 0. cos20 =
(1 + eos 20)¡2 y sen20 + cos20 = 1. las ecuaciones 10-2 y 10-4 se pueden
convertir en su forma final:
+ €y
€x ~ €v
yxy
€.■ - — - —- + — - — -eos 2 0 + — sen 20
2
2
2
m
2f
(10-5)
( 10-6 )
- - ( m
Estas ecuaciones de transformación de deform aciones unitarias repre­
sentan la deformación unitaria normal ex- en la dirección ,v' y la deform a­
ción unitaria cortante yxy de un elem ento orientado en un ángulo 0 , co­
mo se ve en la figura 10-5. De acuerdo con la convención de signos
establecida, si ex- es positiva, el elem ento se alarga en la dirección de x '
positiva, figura 10-5«. y si y ,y es positiva, el elem ento se deform a como
se ve en la figura 10-56. Observe que esas deformaciones se presentan co­
mo si sobre el elem ento actuaran el esfuerzo normal positivo <rx y el es­
fuerzo cortante positivo rv v-.
Si se necesita la deformación unitaria norm al en la dirección y ', se pue­
de obtener a partir de la ecuación 10-5 sólo sustituyendo 0 por (0 4- 90°).
El resultado es
€y =
“ «y
—
- —
_
7xv
---------- — eos ”2 0 — — sen
1
2 0
(10-7)
Se debe notar la semejanza entre las tres ecuaciones anteriores y las de
transformación del esfuerzo plano, ecuaciones 9-1,9-2 y 9-3. Por compa­
ración. <tx. o-y, arx -, oy corresponden a ex, e v, ex -, €v- y tx>„ txy corresponden
a J x y f 2 . yxy / 2 .
(b )
Fig. 10-5
•
509
510
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
D e fo rm a c io n e s u n ita ria s p rin c ip a le s. Como en el esfuerzo, se puede
determ inar la orientación de un elem ento en un punto tal que la deform a­
ción del elem ento se represente con deformaciones unitarias normales.
sin deformación unitaria cortante. Cuando eso sucede, las deformaciones
unitarias normales se llaman deformaciones unitarias principales. y si el
m aterial es isotrópico. los ejes a lo largo de los cuales se hacen esas defor­
maciones coinciden con los ejes que definen los planos de esfuerzos prin­
cipales.
De acuerdo con las ecuaciones 9-4 y 9-5. y con la correspondencia entre
esfuerzo y deformación unitaria que se indicó anteriormente, las direccio­
nes de los ejes, y los dos valores de las deformaciones unitarias principa­
les e, y e2. se determ inan con
tan 20p =
y*y
( 10-8)
<“»>
*1
L os esfu erzos com p lejos a m enud o se
desarrollan en las uniones donde los reci­
p ien tes se conectan . Los c síu c r /o s se
determinan al medir la deformación uni­
taria.
D e fo rm a c ió n u n ita r ia m á x im a e n e l p la n o . A l usar las ecuaciones
9-6.9-7 y 9-8. se determ inan la dirección de los ejes y la deformación uni­
taria máxima en el plano, así como la deformación unitaria normal pro­
medio. con las siguientes ecuaciones:
tan 20,
- m
ñ
( 10-10)
( 10- 11 )
e prom
( 10- 12 )
PUNTOS IMPORTANTES
• Debido al efecto de Poisson. el estado de deformación unitaria plana no es un estado de esfuerzo plano, y
viceversa.
• Un punto de un cuerpo se somete a esfuerzo plano cuando la superficie del cuerpo no tiene esfuerzos. Se
puede usar el análisis de deformación unitaria plana dentro del piano de los esfuerzos, para analizar los re­
sultados de las galgas extensométricas. R ecuérdese,sin embargo, que hay una deformación unitaria normal
que es perpendicular a los deformímetros o galgas.
• Cuando el estado de deformación unitaria se representa por las deformaciones unitarias principales, no ac­
túa deformación unitaria cortante sobre el elemento.
• El estado de deformación unitaria en el punto también se puede representar en función de la deformación
unitaria máxima en el plano. En este caso, sobre el elem ento también actuará la deformación unitaria nor­
mal promedio.
• El elemento que representa la deformación unitaria cortante máxima en el plano, y sus deformaciones unita­
rias normales promedio, forma 45° con el elem ento que representa las deformaciones unitarias principales.
S ec c ió n
10.2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
E J E M P L O
U n elemento diferencial de m aterial en un punto se sujeta a un estado
de deformación unitaria plana, <?, = 5()0( 10-6). ey = -ÍOOOO-6). y xy =
200(10 "6), que tiende a distorsionar al elem ento como muestra la figu­
ra 10-6<i. Determ ine las deform aciones unitarias equivalentes que ac­
túan sobre un elemento orientado en e l punto, a 30° en sentido de ¡as
manecillas del reloj, respecto a la posición original.
Solución
Se usarán las ecuaciones de transform ación de deformación unitaria,
ecuaciones 10-5 y 10-6. para resolver este problema. Y a que 0 e s posi­
tivo en el sentido contrario de las manecillas del reloj, entonces 0 = -30°
para este problema. A sí,
** +
C* - Cy
^
y.xy
e x = — - — - + — - — e o s 20 + — s e n 28
2
2
2
[500 + ( - 3 0 0 ) '
(10~6) c o s (2 (- 3 0 ° ))
2
+
'2 0 0 ( 1 0 -*) j
s e n (2 (-3 0 °))
Resp.
ex" = 213(10-6)
y.ry
f€X- €y\
7.xv
— = - y — - — J sen 20 + — eos 20
500 — ( - 3 0 0 ) 1 ,,__ _
________ 200(10
(10"6)s e n (2 (- 3 0 ° )) +
y * , = 793(10"6)
-6 \
co s(2 (—3 0 °))
Resp.
L a deformación unitaria en la dirección y ' se obtiene con la ecuación
10-7. con 0 = -30°. Sin embargo, tam bién se puede obtener 6V- usando
la ecuación 10-5 con 0 = 60° (0 = -3 0 ° + 90°), figura 10-6b. Si ev- sus­
tituye a ex-, entonces
+ €y
€x - e y
y xy
€y’ = — - —- + — ■ eos 20 + —^sen 26
500 + (-3 0 0 ) ,
-------- i —
J (( 11 00 "*) +
2 0 0
( 1 0 -6)
500 - (-3 0 0 )
(10~6) c o s(2 (6 0 °))
se n (2 (6 0 °))
= —13.4(10“* )
Resp.
D e acuerdo con estos resultados, el elem ento se tiende a distorsionar
como se ve en la figura 10-6c.
Fíg. 10-6
•
511
512
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
Un elemento diferencial de material en un punto está sometido a un
estado de deformación unitaria plana, definido por ex = -350(10-6),
€y = 2 0 0 ( 1 0 "6). yxy = 80(10~6), que tiende a distorsionar al elem ento
com o se indica en la figura 10-7«. Determ ine las deformaciones unita­
rias principales en el punto, y la orientación correspondiente del ele­
mento.
*2
«
Solución
r"
Orientación del elemento.
Según la ecuación 10-8,
y,y
dx
- * - J |
80(10"*)
€xdx
(-3 5 0 - 200)(10“*)
(a)
Así, 20, = -8.28°, y -8.28° + 180° = 172°. por lo que
0P = -4.14° y 85.9°
Resp.
C ada uno de esos ángulos se mide en dirección positiva , en contra de
las manecillas del reloj, a partir del eje x hacia las normales hacia afue­
ra sobre cada cara del elemento, figura 10-76.
Deformaciones unitarias principales. Las deformaciones unitarias
principales se determinan con la ecuación 10-9, como sigue:
«t
+
6,
«u =
(- 3 5 0 + 200) (10“*)
( f ) V ,
= -75.0(10“*) ± 277.9(10-6)
e, = 203(10“*)
Fig. 10-7
«e2
= -353(10"6)
Resp.
Al aplicar la ecuación 10-5. con 0 = -4.14° se puede determ inar cuál
de esas dos deformaciones unitarias deforma al elem ento en la direc­
ción x'. Entonces,
fy
Y.ÏV
— - — eos 20 + — sen 20
2
2
e,. = —353(10-6)
Por consiguiente, ex = 6 2 - Cuando se somete a las deformaciones unita­
rias principales.el elem entóse distorsiona como muestra la figura 10-76.
S ección 10.2
Ecuaciones generales de transformación de deformación unitaria plana
E J E M P L O
Un elem ento diferencial de material en un punto se som ete a un esta­
do de deformación unitaria plana, definido por ex — -350(10 -6), ey =
200(IÜ-6). yxy = 80(10"6),q u e tiende a distorsionar al elem ento como
se ve en la figura 10-8«. Determine la deform ación unitaria máxima en
el plano, en el punto, y la orientación correspondiente del elemento.
Solución
Orientación del elemento.
De acuerdo con la ecuación 10-10:
» -p e )-
tan
+€vdy X
( - 3 5 0 - 200)(10~6)
yxy )
80(10"6)
Así, 20s = 81.72° y 81.72° + 180° = 261.72°. por lo tanto.
$s = 40.9° y 130.9°
Nótese que esta orientación forma 45° con la que se muestra en la fi­
gura 10-76, en el ejemplo 10.2. como era de esperarse.
Deformación unitaria cortante máxima en el plano.
ción 10-11 y se obtiene
Se aplica la ecua­
Resp.
T S — " 556(10-6)
El signo correcto de y r s e obtiene aplicando la ecuación 10-6,
con 0S = 40.9°. Entonces,
yxy
e* - e v
y*v
— - —-sen 20 + —=-cos20
2
2
-3 5 0 - 200
- (
) ( l O ^ s e n 2(40.9°) +
80(10-6)
eos 2(40.9°)
y ,y = 556(10"6)
Así, y
tiende a distorsionar al elem ento de tal manera que dismi­
nuye el ángulo recto entre dx' y dy' (convención de signo positivo), fi­
gura 10-86.
También, hay deformaciones unitarias promedio asociadas en el ele­
m ento que se calculan con la ecuación 10-12:
Fig . 10-8
-3 5 0 + 200
-prom
2
2
(10”6) = -7 5 (1 0 “*)
Estas deformaciones tienden a hacer que se contraiga el elemento, fi­
gura 10-86.
•
513
514
•
*10.3
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Círculo de M ohr (deform ación unitaria plana)
Como Las ecuaciones para transformación de deformación unitaria plana
son matemáticamente parecidas a las de transformación de esfuerzo plano,
tam bién se pueden resolver problemas de transformación de deformacio­
nes unitarias usando el círculo de Mohr. Este m étodo tiene la ventaja de
posibili tar la apreciación gráfica de la forma en que varían los componentes
de la deformación unitaria normal y cortante en un punto, de una orien­
tación del elem ento respecto a otra.
Al igual que el caso del esfuerzo, el parám etro 0de las ecuaciones 10-5
y 10-6 se elimina, y el resultado se ordena en la forma siguiente:
siendo
ex + ey
e prom
La ecuación 10-13 representa la ecuación del círculo de M ohr para la de­
formación unitaria.Tiene un centro en el eje ee n el punto C(eplom,0) y un
radio R.
PROCEDIMIENTO PARA ANÁLISIS
El procedim iento para trazar el círculo de M ohr para deformación
unitaria es el mismo que se estableció para los esfuerzos.
Construcción del círculo.
• Definir un sistema de coordenadas tal que las abscisas represen­
ten la deformación unitaria normal e, positivo hacia la derecha, y
la ordenada represente la mitad del valor de la deformación cor­
tante. y/2 , siendo positivo hacia abajo. figura 10-9.
• Aplicar la convención de signo positivo a er, yxv, como se ve en
la figura 10-3, y determ inar el centro del círculo C, que está en el
eje e a una distancia eprom = (ex + ev) /2 del origen, figura 10-9.
• G raficar el punto de referencia A con coordenadas A(ex, yxy/2).
E ste punto representa el caso en el que el eje x 'coincide con el eje
x. Por consiguiente. 0 = 0o. figura 10-9.
• U nir el punto A con el centro C del círculo,y con el triángulo som­
breado determ inar el radio R del círculo, figura 10-9.
Fíg. 10-9
• U na vez determ inado R, trazar el círculo.
Sección 10.3
Círculo de Mohr (deformación unitaria plana)
Deformaciones unitarias principales.
• Las deformaciones unitarias y se determ inan con el círculo, y
son las coordenadas de los puntos B v D. esto es, donde y /2 = 0.
figura 10-10«.
• La orientación del plano sobre el que actúa 6j se determ ina en el
círculo, calculando 2 0lh m ediante trigonom etría. En este caso,
el ángulo se mide en sentido contrario al de las manecillas del re­
loj, desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CB. figura
10-10«. Recuerde que la rotación de 0p, debe tener esta misma di­
rección, desde el eje de referencia del elem ento .v hacia el eje x fi­
gura 10-106.*
• C uando se indica que 6] y
son positivos, com o en la figura
10-10«, el elem ento de la figura 10-106 se alarga en las direcciones
.v' y y ', com o indica el contorno en línea interrumpida.
y*
y
D efo rm ación u n ita ria cortante m áxim a en e l p la n o .
• La deformación unitaria normal prom edio, y la mitad de la defor­
mación unitaria cortante máxima se determ inan en el círculo, co­
mo las coordenadas de los puntos E y F. figura 10-10«.
• La orientación del plano sobre el cual actúan
y eproin se de­
term inan en el círculo.calculando20* m ediante trigonometría. En
este caso, el ángulo se mide en el sentido de las manecillas del re ­
loj, desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CE. figura
10-10«. Recuérdese que la rotación d e 0,, debe tener esta misma
dirección, desde el eje de referencia a- del elemento, hacia el eje x \
figura 10-ÍOc'.*
Deformaciones unitarias sobre un plano arbitrario.
• Los componentes de deformación unitaria normal y cortante, exy y*•>■’>P<‘ra un plano especificado que forma un ángulo 0, figura
lO-lOrf, se obtienen con el círculo y em pleando trigonom etría
para determ inar las coordenadas del punto P, figura 10-10«.
• Para localizar P. se mide el ángulo 0 conocido del eje x \ en el
círculo, como 20. Esta medición se hace desde la línea radial de re­
ferencia CA hacia la línea radial CP. R ecuérdese que las medicio­
nes de 20 en el círculo, deben tener la misma dirección que 0para
el eje
• Si se requiere el valor de ey-. se puede determ inar calculando la
coordenada edel punto Q, en la figura 10-10«. La línea CQ está a
180° de CP, así que representa una rotación de 90° del eje x'.
<d)
" Si el eje y /2 se construye positivo hacia arriba.cn tonces el ángulo 2#cn el circulo se medi­
ría en la dirección opuesta a la orientación tfdel plano.
Fíg . 1010
•
515
516
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
10.4
E J E M P L O
El estado de deformación unitaria plana en un punto se representa con
los componentes er = 250(10-6), ey = -150(10'6) y y xy = 120(10~6).
Determ inar las deformaciones unitarias principales y la orientación del
elemento.
Solución
Construcción del círculo. Se definen los ejes e y y /2 como en la figu­
ra 10-11«. Recuérdese que el eje positivo de y/2 debe estar dirigido ha­
cia abajo, para que las rotaciones contrarias al sentido de las maneci­
llas del reloj del elem ento correspondan a rotaciones contrarias al
sentido de las manecillas del reloj en tom o al círculo, y viceversa. El cen­
tro del círculo C está ubicado sobre el eje e en
Dí-íj.O)
fdO"6)
250 + (-1 5 0 )
(10"6) = 50(10"*)
C om o yAV/ 2 = 60(10~6). el punto de referencia A (0 - 0o) tiene las coor­
denadas ,4 (250(1(T D),60(10-6)). De acuerdo con el triángulo som brea­
do de la figura 10-11«. el radio del círculo es CA: esto es,
R = [V (2 5 0
50)2 + (60)2]( 10“6) = 208.8(10"6)
(a)
Deformaciones unitarias principales. Las coordenadas e de los pun­
tos B y D representan las deformaciones principales. Éstas son:
y
lJ
Resp.
é2 = (50 - 208.8)(10-6) = -159(10-6)
Resp.
La dirección de la deformación unitaria principal positiva ei se defi­
ne por el ángulo 26pi en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
m edido desde la línea radial de referencia CA hacia la línea CB.
Entonces,
---------- '
dy'
e, = (50 + 208.8) (10-6) = 259(10“6)
\
60
tan 2 6 =
p'
(250 - 50)
0pi = 8.35°
Resp.
^ — -dx'~
(b)
Fig. 10-11
Por consiguiente, el lado dx' del elem ento está orientado a 8.35° en sen­
tido contrario al de las manecillas del reloj. como se ve en la figura
10-11/). Esto también define la dirección de ej.También se muestra la
deformación del elem ento en esa figura.
S ección 10.3 Círculo de Mohr (deformación unitaria plana)
E J E M P L O
---------------------------------------------------------------
El estado de deformación unitaria plana se representa por los compo­
nentes ex = 250(10-6). €y = -150(10 6) y yxy = 120(10~6). Determine
las deformaciones unitarias máximas en el plano, y la orientación del
elemento.
Solución
El círculo se trazó en el ejemplo anterior, y se ve en la figura 10-1 la.
Deformación unitaria cortante m áxim a en el plano. La mitad de la
deformación unitaria cortante máxima en el olano. v la deformación
unitaria normal promc
to E o F e n el círculo.
Para orientar al elemento, se puede determ inar el ángulo 20u en sentido de las manecillas del reloj, en el círculo.
y_
2
(a)
26íy = 90° - 2(8.35°)
0Sl = 36.6°
Fig. 10-12
Resp.
El ángulo se muestra en la figura 10-12/>. Como la deformación unitaria
cortante definida en el punto E del círculo tiene un valor positivo, y la
deformación unitaria normal promedio también es positiva, corresponden
a esfuerzo cortante positivo y a esfuerzo normal promedio positivo.que
deforman al elem ento hacia la forma indicada con línea interrumpida
en la figura.
y
•
517
518
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
E l estado de deformación unitaria en un punto se representa en un ele­
mento que tiene com ponentes ex = - 3 0 0 (1 0 -6) . ey = —100(10-6) y
yxy = 100(10"6). D eterm ine el estado de deform ación unitaria sobre
un elem ento orientado a 20° en sentido de las m anecillas del relo j, res­
pecto a la posición original.
S o lu c ió n
Construcción del circulo.
L o s ejes e y y /2 se definen como en la figu­
ra 10-13«. E l centro del círculo está en el eje e en
- 3 0 0 - 100'
^prom
i
*
€ (10**)
E l p u m o de re fe re n cia A tiene las coordenadas /1 (-1 0 0 (1 0 ~ 6),
50(10 -6)) . E l radio C A determinado con el triángulo sombreado es, por
consiguiente.
R = [V (300 - 200)2 + (50)2](10-*) = lll.8(10“6)
Deformaciones unitarias sobre el elemento inclinado. Com o el e le­
mento se va a orientar a 20° en sentido de las manecillas del reloj, se
debe traza r una línea radial C P a 2(20°) = 40° en sentido de las mane­
cillas deJ reloj, medidos desde C A (0 = 0o). figura 10-13«. L a s coorde­
nadas d el punto P ( ex•. —yx y / 2) se obtienen con la geom etría del
círculo. O bsérvese que
Gs^W) -
<f> = tan-11
26-57*-
*-4<r-
26-5 r
-
,3 -43<
A sí.
= - (2 0 0 + 111.8 eos 13.43°) (10-6)
= —309( 10“6)
yxy
=
-(1 1 1 .8 sen 13.43°) (10"*)
y , y = -5 2 .0 (1 0 “ )
Fijj. 10-13
Resp.
Resp.
L a deform ación unitaria norm al cy- se determina a p artir de la coor­
denada € del punto Q del círculo, figura 10-13«. ¿Por qué?
e v = - (2 0 0 - 111.8 eos 13.43°)(10~6) = - 9 1 .3 (1 0 ^ )
Resp.
Com o resultado de esas deformaciones unitarias, el elemento se defor­
ma respecto a los ejes x', y ' como se indica en la figura 10-13/>.
P roblemas
•
519
PROBLEMAS
10*1. Demuestre que la suma de las deformaciones unita­
rias normales en direcciones perpendiculares es constante.
10-2. El estado de deformación unitaria en el punto de
la ménsula tiene componentes cx = -20()(10"6).
ey - -650(10"6). yvv = -175(10-6). Use las ecuaciones de
transformación de deformación unitaria para determinar
las deformaciones unitarias equivalentes en el plano, so­
bre un elemento orientado en un ángulo de 0 = 20°. en
sentido contrario a las manecillas del reloj, respecto a la
posición original. Trace el elemento deformado debido a
esas deformaciones unitarias en el plano x-y.
10-5. El estado de deformación unitaria de un punto de la
ménsula tiene componentes ex = 400(10 6)?ev = 250( 10 '6).
yx>. = 310( 10‘ 6). Use las ecuaciones de transformación de
deformación unitaria para determinar las deformaciones
unitarias equivalentes en el plano, de un elemento que for­
ma un ángulo de 0 = 30° en sentido de las manecillas del
reloj, respecto a la posición original.Tracc el elemento defor­
mado. debido a esas deformaciones unitarias, dentro del
plano x-y.
P rob .10-5
10-3. Un elemento diferencial del soporte se somete a
deformación unitaria plana, cuyos componentes son:
í , = 150(10“®). €y = 200(10 " 6), y ,v = - 7 0 0 ( 1 0 - 6). Use las
ecuaciones de transformación de deformación unitaria, y
determine las deformaciones unitarias equivalentes en el
plano, sobre un elemento orientado cu un ángulo de
ff = 60" en sentido contrario al de las manecillas del reloj,
respecto a la posición original.Trace el elemento deforma­
do en el plano x-y. debido a esas deformaciones unitarias.
*10-4. Resuelva el problema 10-3 para un elemento
orientado a 0 = 30° en sentido de las manecillas del reloj.
Probs. 10-3/4
10-6. El estado de deformación unitaria en un punto de una
Uavc tiene los componentes ex = 120(10 6),<sv= -180(10'6).
ytv = 150(10 6). Use las ecuaciones de transformación de
deformación unitaria para calcular (a) las deformaciones
unitarias principales en el plano, y (b) la deformación uni­
taria cortante máxima en el plano y la deformación unitaria
normal promedio. En cada caso, especifique la orientación
del elemento, c indique el modo en que este elemento
se deforma en el plano x-y.
10-7. El estado de deformación unitaria en un punto del
diente de un engranaje tiene los componentes c, = 850( 10 '*),
€v = 480(10“*), yxs = 650(10*6). Use las ecuaciones de
transformación de deformación unitaria para calcular (a)
las deformaciones unitarias principales en el plano, y (b)
la deformación unitaria cortante máxima en el plano y la
deformación unitaria normal promedio. En cada caso, es­
pecifique la orientación del elemento, e indique el modo
en que este elemento se deforma en el plano x-y.
Prob. 10-7
520
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
*10-8. El estado de deformación unitaria en un punto del
diente de un engranaje tiene los componentes ex = 520(10"6).
€y = -7 60(10 -6). yxv = -750(10 “6). Use las ecuaciones de
transformación de deformación unitaria para calcular (a)
las deformaciones unitarias principales en el plano, y (b) la
deformación unitaria cortante máxima en el plano y la de­
formación unitaria normal promedio. En cada caso, espe­
cifique la orientación del elemento, e indique el m odo en
que este elem ento se deform a en el plano x-y.
10-10. El estado de deformación unitaria en un punto del
brazo tiene los componentes ex = - 130(10"*), er = 280(10-6),
yxy = 75(10 6). Use las ecuaciones de transformación de
deformación unitaria para calcular (a) las deformaciones
unitarias principales en el plano.y (b) la deformación uni­
taria cortante máxima en el plano y la deformación unita­
ria normal promedio. En cada caso, especifique la orien­
tación del elem ento, e indique el m odo en que este
elem ento en el plano x-y.
Prob. 10-8
Prob. 10-10
10-9. El estado de deformación unitaria en un punto del
brazo tiene los componentes €, - 250(10"6).é), = -450(10~h),
yx> = -825(10-,>). Use las ecuaciones de transformación
de deformación unitaria para calcular (a) las deform acio­
nes unitarias principales en el plano, y (b) la deformación
unitaria cortante máxima en el plano y la deformación uni­
taria norm al prom edio. En cada caso, especifique la
orientación del elemento, c indique el modo en qu e este
elem ento se deform a en el plano x-y.
Prob. 10-9
10-11. El estado de deformación unitaria en un punto del
brazo de una grúa hidráulica tiene los com ponentes
é, = 250(10'*), €y = 300(10-6), yxy = - 180(10"6). Use las
ecuaciones de transformación de deformación unitaria pa­
ra calcular (a) las deformaciones unitarias principales en
el plano, y (b) la deformación unitaria cortante máxima
en el plano y la deformación unitaria normal promedio.
En cada caso, especifique la orientación del elemento, e in­
dique la forma en que se deforma el elem ento en el plano
x-y.
Prob. 10-11
}
P r o b lem a s
*10-12. U n a galga ex ten so m é trica es c e m e n ta d a en el
eje de a cero A-36 de 1 pulg d e diám etro , e n la form a que
se indica. C u an d o el eje gira con u n a velocidad an g u lar de
w = 1760 rpm ,co n un anillo deslizante p a ra la indicación.
€ = 800( 10“6). D eterm in e la p otencia del m o to r. S uponga
que el eje sólo está so m etid o a p a r d e to rsió n .
•
521
■ 10-14. E xam ine el caso gen eral d e d eform ación u n ita­
ria plana, d o n d e se conocen cx, ey y yxy. E scriba un p rog ra­
m a d e có m p u to para d eterm in a r la deform ación unitaria
norm al y co rtan te. ex - y y, y ■.en el p la n o d e un elem ento
o rie n ta d o a 0 g rad o s re sp e c to a la h o riz o n ta l. T am bién
calcule las d eform aciones unitarias principales y la o rien ­
tación del elem ento, a sí com o la d eform ación unitaria c o r­
tan te m áxim a en el plano, la d eform ación u nitaria norm al
pro m ed io y la orien tació n del elem ento.
10-15.
M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-2, u san do el círculo de
*10-16.
M ohr.
R esuelva el problem a 10-4, u san d o el círculo de
10-17.
M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-3. u san d o el círculo de
10-18.
M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-5. u san d o el círculo de
10-19.
M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-6, u san d o el círculo de
*10-20.
M ohr.
R esuelva el problem a 10-8, u san d o el círculo de
10-21.
Mohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-7, u sa n d o el círculo de
10-22.
M ohr.
R esuelva el p ro b lem a 10-9, u sa n d o el círculo de
Prob. 10-12
10-13. El estado de deform ación u n itaria en el p unto del
soporte tiene los com ponentes ex = 350(10_<5,),er = 400(10~6).
yx> = -675(10"6). U se las ecuaciones d e transform ación
de d eform ación u n itaria p a ra d eterm in ar (a) las d efo rm a ­
ciones unitarias principales en el plano y (b ) la deform ación
unitaria cortante m áxim a en el plano, y la deform ación n o r­
m al prom edio. E n cad a caso especifique la o rientación del
e le m e n to , c in d iq u e có m o las d e fo rm a c io n e s u n ita ria s
defo rm an al e lem en to en el p lan o x-y.
/ .
Prob. 10-13
522
•
*10.4
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Deformación unitaria cortante máxima absoluta
(l +
(a)
E n la sección 9.7 se hizo notar que. en tres dimensiones, el estado de es­
fuerzo en un punto se puede representar por un elemento orientado en
una dirección específica tal que el elemento sólo está sujeto a esfuerzos
principales cuyos valores m áxim o, interm edio y m ínim o son írmáx, <rin, y
crm(n. E sto s esfuerzos someten al m aterial a las deformaciones unitarias
principales emáx, ein, y emín.Tam b ién, si el m aterial es homogéneo e isotrópico a la vez. el elemento no estará sometido a deform aciones unitarias
cortantes, porque el esfuerzo cortante en los planos principales es cero.
Supongamos que las tres deform aciones unitarias principales causan
alargam ientos a lo largo de los ejes x \ y ' y z \ com o se ve en la figura
10-14«. Si el elemento se ve en dos dimensiones,esto es. en los planos.v' - y \
x' - z r y y' - z'. figuras 10-146.10-14cy 10-\4d, entonces se puede usar
el círcu lo de M ohr para determ inar la deformación unitaria cortante má­
xima en el plano para cada caso. Por ejem plo, a p artir de la vista del ele­
m ento en el plano .v'-v\ figura 10-146. el diám etro del círculo de M ohr se
extiende entre 6m;ix y ein„ figura 10-I4e. E ste círculo define los componen­
tes de deformación unitaria normal y cortante en cada elemento orientado
respecto al eje z'. D e igual modo, los círculos de M ohr para cada elem en­
to orientado respecto a los ejes y ' y z ‘ se muestran también en la figura
10-14*.
E n estos tres círculos se ve que la deformación unitaria cortante má­
xim a absoluta se determina con el círculo que tenga m ayor diámetro. E s ­
tá en e l elemento orientado a 45° respecto al eje y ' a p artir del elemento
que se muestra en su posición original, figura 10-14« o 10-14t\ Para esta
condición.
Y “ ‘ = e mAx -
e max
f prom
Fig . 10-14
(c)
6 min
e mín
(10-14)
(10-15)
S ección 10.4
esen
ios
ii y
¡as
ro­
ías
o.
;an
jra
/.
sar
ná;lerse
enido
enura
ná-
Esnto
;sta
-14)
-15)
Deformación unitaria cortante máxima absoluta
D e fo rm a c ió n u n ita r ia p la n a . Como en el caso del esfuerzo plano, el
análisis anterior tiene una implicación im portante cuando el material está
sometido a deform ación unitaria plana , e n especial cuando las deform a­
ciones unitarias principales tienen el m ism o sign o, es decir, ambas causan
alargamiento, o ambas causan contracción. Por ejemplo, si las deform a­
ciones unitarias principales en el plano son em4x y eim, mientras que la de­
formación unitaria principal fuera del plano es emin = 0. figura 10-15«. en­
tonces los tres círculos de M ohr que describen los com ponentes de
deformación unitaria normal y cortante para los elem entos orientados
respecto a los ejes x ’ , y f y z' son los que m uestra la figura 10-15/). Por ins­
pección. el círculo mayor tiene un radio R = (yxy)m¿xP-. Por consiguiente.
A-
x'~ y'dcíorm ación unitaria plana
(a)
F¡g. 10-15
^mín
Por consiguiente, se pueden resumir los puntos anteriores como sigue.
Si las deformaciones unitarias principales en el plano tienen ambas el m is­
m o signo, la deform ación unitaria cortante m áxim a absoluta estará fuera
del p la n o , y su valor es y ü ,= «máx- Sin embargo, si las deformaciones uni­
tarias principales en el plano tienen signos opuestos, entonces la deform a­
ción unitaria cortante máxima absoluta es igual a la deformación unitaria
cortante máxima en el plano.
PUNTOS IMPORTANTES
• El estado general tridimensional de deformación unitaria en un
punto se puede representar por un elem ento orientado de tal mo­
do que sólo actúen sobre él tres deform aciones unitarias princi­
pales.
523
(1 +íin.)rf/S5r< (l +fn*u)¿v' y
Este valor representa la deform ación unitaria cortante m áxim a absoluta
para el material. Nótese que es m ayor que la deformación unitaria cor­
tante máxima en el plano, que es (yTr')máS = em¡¡x - ejnl.
Por otra parte, si una de las deform aciones unitarias principales en el
plano tiene signo opuesto a la otra deform ación unitaria principal en
el plano, entonces
causa alargamiento. emin causa contracción,)' la de­
formación unitaria principal fuera del plano es e,nl = 0. figura 10-16«. Los
círculos de Mohr que describen las deformaciones unitarias en cada orien­
tación del elem ento.respectoa los ejes.v'. y ' , z ' . se ven en la figura 10-166.
En este caso,
('Vjr'yOmáx —
•
x ’- >•’ deformación unitaria plana
(a)
• A partir de esta orientación, el elem ento que representa la defor­
mación unitaria cortante máxima absoluta se puede obtener ha­
ciendo girar 45c al elem ento respecto al eje que define la direc­
ción de einl.
• La deformación unitaria cortante máxima absoluta será mayor
que la deformación unitaria cortante máxima en el plano cuan­
do las deformaciones unitarias principales en el plano tienen el
mismo signo. Cuando eso sucede, la deformación unitaria cortan­
te máxima absoluta actúa fuera del plano.
Fig . 10-16
524
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
El estado de deformación unitaria plana en un punto se representa por
los com ponentes de deform ación unitaria ex = - 4 0 0 (1 0 -6 ) , ey =
200(10 “ 6) , Tty = 150(10 ' 6). Determine la deformación unitaria cortan­
te máxima en el plano, y la deformación unitaria cortante máxima.
Solución
Deformación unitaria máxima en el plano. Resolveremos este pro­
blem a usando el círculo de Mohr. De acuerdo con los componentes de
deformación unitaria, el centro del círculo está en el eje e en
-4 0 0 + 200
sproni
(IO-6) = -100(10“*)
Ya que yxy/2 = 75( 10-6), el punto de referencia tiene las coordena­
das y4(-40Ó(10- *).75(10- *)). Como se ve en la figura 10-17. el radio
del círculo es. entonces.
R = [V (4 0 0 - 100)2 + (75)2](10~6) = 309(10“*)
Al calcular las deformaciones unitarias principales en el plano, resulta
«máx = (" 1 0 0 + 309)(10~*) = 209(10"6)
«mín = (-1 0 0 - 309)(10"*) = -409(10”6)
Según el círculo, la deformación unitaria cortante máxima en el plano es
em¡u -
= [209 - ( —409)](10~6) = 618(KT‘ )
Resp.
Deformación unitaria cortante máxima absoluta. De acuerdo con
los resultados anteriores, emáx = 209(10' *),
= 0, emín = -4 0 9 ( 10"6).
También se muestran en la figura 10-17 los tres círculos de Mohr. para
las orientaciones del elem ento respecto a cada uno de los ejes x \ y \ z '.
Se ve que como las deformaciones unitarias principales en el plano tienen
signos opuestos, la deformación unitaria cortante máxima en el plano tam­
bién es la deformación unitaria cortante máxima absoluta: es decir.
72*
= 618(10“*)
Resp.
S ecció n
10.5 Rosetas de deformación
•
525
10.5 Rosetas de deform ación
Se mencionó en la sección 3.1 que la deformación unitaria normal en un
espécimen de prueba de tensión se mide usando una galga extensométrica de resistencia eléctrica, que consiste en una red de alambre, o una pie­
za de hoja metálica pegada al espécimen. Sin embargo, para cargas gene­
rales sobre un cuerpo, con frecuencia se determ inan las deformaciones
unitarias normales en un punto de su superficie libre, con un conjunto de
tres galgas extensométricas de resistencia eléctrica, arregladas en una for­
ma especificada. A esa forma se le llama roseta de deformación. y una vez
que se determinan las lecturas de deformación en las tres galgas, éstas pue­
den emplearse para determ inar el estado de deformación unitaria en el
punto. Sin embargo, se debe hacer notar que estas deformaciones unita­
rias sólo se miden en el plano de las galgas, y como el cuerpo no tiene es­
fuerzos en su superficie, los medidores pueden estar sometidos a esfuer­
zo plano, pero no a deformación plana. A este respecto, la línea normal a
la superficie libre es un eje principal de deformación, por lo que la defor­
mación unitaria normal principal, a lo largo de ese eje,no la mide la rose­
ta de deformación. Lo importante aquí es que el desplazamiento fuera del
plano, causado por esta deformación unitaria principal,no afectará las me­
didas en el plano, hechas con las galgas.
En el caso general, los ejes de las tres galgas se arreglan en los ángulos
0a, %, 0ft como se ve en la figura 10-18«. Si se toman las indicaciones eu,
ef„ €c, se pueden determ inar los com ponentes ex, ev, yxv en el punto, apli­
cando la ecuación 10-2, de transformación de deformación unitaria, a ca­
da galga. Entonces.
€„ = € x eos2 0a + ey sen20„
+
Rósela de deform udón de 45°
(b)
y xv sen 6„ eos 0a
= c x eos2 0¡t + €y sen20b + y XY se n 0b eos 0,,
ec - €x eos2 0C + €y sen20f
+
yAvsen 0 c cos0(.(10-16)
Los valores de ex. ev y yv>.se determ inan resolviendo estas tres ecuaciones
simultáneas.
Con frecuencia, las rosetas de deformación se disponen en arreglos de
45° o 60°. En el caso de la roseta de deformación de 45° o ‘'rectangular",
que muestra la figura 10*186. 0a = 0o. 0t) = 45° y 9C = 90°. por lo que la
ecuación 10-16 da como resultado
Roseta de deformación de 60°
(c)
Fig. 10-18
y xy = 2eb - (ea + €c)
y para la roseta de deformación de 60° de la figura 10-18c. 0„ = 0o, 0(, =
60°, 0C = 120°, y en este caso la ecuación 10-16 da como resultado
e y = - { 2 e b + 2 e c - ea)
yxy = -^ (« /> - O
(10-17)
Una vez determ inadas e„ ey y yx>, se usan entonces las ecuaciones de
transformación de la sección 10-2 o el círculo de Mohr para determ inar
las deformaciones unitarias principales en el plano, y la deformación uni­
taria cortante máxima en el plano, en el punto.
R oseta de deformación de 4 5 a base de re-
s is te ig g p f« !^ * .-
**• - v ' ÁPTTrnfe
526
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
El estado de deform ación unitaria en el punto A del soporte en la
figura 10-19« se mide con la roseta de deformación que se ve en la fi­
gura 10-19/). D ebido a las cargas, las lecturas en las galgas son etJ =
60(10~6), eb = 135(10 6) y €c = 264(10“°). Determine las deformaciones
unitarias principales en el plano, en el punto, y las direcciones en las
que actúan.
Solución
U sarem os la ecuación 10-16 para obtener la solución. Definiendo un
eje .v com o se ve en la figura 10-196, y midiendo los ángulos en senti­
do contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje x hacia las
líneas de centro de cada galga.se tiene que 9a = 0o. 6h - 60° y 0C= 120°.
Al sus tituir esos resultados, junto con los datos del problem a,en la ecua­
ción 10-16, se obtiene
60( 10“fi) = é v eos" 0o + 6 v sen2 0o + y xy sen 0o eos 0o
(1)
135(10 6) = e r cos2 60° + e vsen260° + y xysen 60° eos 60c
(2 )
= 0.25er + 0.75ev + 0.433y,v
264(10~6) = €t eos2 120° + €,. sen2 120° + y x>. sen 120° eos 120°
= 0.25ct + 0.75c,. - 0.433yt>.
(3)
Se aplica la ecuación 1. y se resuelven simultáneamente las ecuaciones
2 y 3, y los resultados son
f(IO) *
K»l«<
€ ,* 6 0 (1 0 " * )
ey = 246(10-*)
y xy = -1 4 9 (1 0”6)
Se pueden obtener estos mismos resultados, en forma más directa, con
la ecuación 10-17.
Las deform aciones unitarias principales en el plano se determ inan
usando el círculo de Mohr. El punto de referencia en el círculo está en
/4(60(10~6). -7 4 .5 (1 0 "6)) y el centro del círculo, C. está en el eje e
en eproni = 153(10 -6), figura 10-19c. Según el triángulo sombreado, el
radio es
(10-*)
(O
R = [V (1 5 3 - 60)2 + (74.5)2](10-6) = 119.2(10"^)
Entonces, las deformaciones unitarias principales en el plano son
€X = 153(10^) + 119.2(10"^) = 272(10-*)
Resp.
€Z = 153(10"«) - 119.2(10“^) = 33.8(10"*)
Resp.
74 5
20P,
.: '
= 38.7e
'Pi = tan"1—
(153 - 60)
eP) = 19.3°
<d)
Fig. 10-19
Resp.
El elem ento deform ado se indica con línea interrum pida en la figura
10-19rf. Se debe observar que, debido al efecto de Poisson,el elemento
también está sujeto a una deformación unitaria fuera del plano, es de­
cir, en la dirección z, aunque ese valor no influye sobre los resultados
calculados.
P r o b le m a s
•
527
PROBLEMAS
1 0 -2 3 .
La deformación unitaria en el pum o A del soporte
tiene com ponentes et = 300(10"6). ey = 550(10 6). y xy =
-650(10 -6). í. = 0. Determ ine (a) las deform aciones uni­
tarias principales en A (b) la deformación unitaria cortante
máxima en el p lano x -y y (c) la defo rm ació n u n itaria
cortante máxima absoluta.
P ro b .10-25
Prob. 10-23
' 1 0 -2 4 . La deformación unitaria en el punto A de una vi­
ga tiene com ponentes cx = 4 5 0 (I0 -6), ey = 825(10~6).
yt) = 275(10~6), f . = 0. D eterm ine (a) las deformaciones
unitarias principales en A , (b) la deformación unitaria cor­
tante máxima en el plano .v-y y (c) la deform ación unita­
ria cortante máxima absoluta.
1 0 -2 5 .
La deformación unitaria en el punto A de la pared
del recipiente a presión tiene com ponentes ex = 480(10' 6).
(y = 720(10-6). y,, * 650(10 6).e. = 0. D eterm ine (a) las
deformaciones unitarias principales en /!. (b) la deform a­
ción unitaria co rtante m áxim a en el p lan o x-y y (c) la
deformación unitaria cortante máxima absoluta.
10*26.
La deformación unitaria en el punto A del patín
del ángulo tiene com ponentes ex = -140(10~ 6). ey =
180(10-<i). yvl, = -1 2 5 (1 0 "6),e. = 0. Determine (a) las de­
formaciones unitarias principales en A , (b) la deformación
unitaria cortante máxima en el plano x-y y (c) la deform a­
ción unitaria cortante máxima absoluta.
528
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
10-27. La barra de acero está sometida a la carga de te n ­
sión de 500 Ib. Si tiene 0.5 pulg de espesor, determ ine la
deform ación u nitaria co rtan te m áxim a absoluta. E
29(103) klb/pulg2. v = 0.3.
10-29. La roseta de deformación de 45° se m onta en la
articulación de una retroexcavadora. En cada galga se tienen
las siguientes lecturas: e„ = 650(10
e,, = -3 0 0 (1 0 ’*),
cr = 480(10 -6). D eterm ine (a) las deform aciones u ni­
ta ria s p rin c ip a le s en el p lan o , y (b ) la d efo rm ació n
unitaria co rtan te máxima en el plano, con la deform a­
ción unitaria normal prom edio correspondiente.
2 pulg
5001b
5<X) Ib
•15 pulg
P ro b .10-27
Prob. 10-29
La roseta de deformación de 45: se m onta en un
elem ento de una máquina. En cada galga se tienen las si­
guientes lecturas: cít = 650(10~6),
= -3 0 0 (1 0 -6). ec =
480( 10“6). Determine (a) las deformaciones unitarias prin­
cipales en el plano, y (b) la deformación unitaria cortante
máxima en el plano, con la deformación unitaria normal
prom edio correspondiente. En cada caso muestre el e le­
m ento deform ado debido a esas deformaciones unitarias.
* 1 0 -2 8 .
Prob. 10-28
10*30.
La roseta de deformación de 60° se m onta en una
viga. En cada galga se tienen las siguientes lecturas: ea =
250(10 -6). = -400(10 ^
= 280(10“6). Determine (a)
las deform aciones unitarias principales en el plano y su
orientación (b) la deformación unitaria cortante máxima
en el plano, con la deformación unitaria normal promedio
correspondiente. En cada caso muestre el elem ento defor­
mado debido a esas deformaciones unitarias.
P rob .10-30
P r o b le m a s
1 0 *3 1 .
La roseta de deformación de 60° se m onta en la
superficie de una placa de aluminio. En cada galga se tie­
nen las siguientes lecturas: = 950( 10“6), = 380( 10-6),
et ~ -220(10 6). D etermine las deformaciones unitarias
principales en el plano, y su orientación.
Prob. 10-31
/
Prob. 10-32
529
Para la orientación general de los tres galgas cxtensométricas ilustrada en la figura, escriba un programa
de cóm puto que se pueda usar para determ inar las defor
(naciones unitarias principales en el plano, y la deformación
unitaria cortante máxima en el plano, en el punto. Demues­
tre una aplicación del programa con los valores siguientes:
0„ = 40", = I60(10~h). 0,, = 125r. €h = 100(10 6). 0C =
■ 1 0 -3 3 .
220°. ef = 80(10“h).
* 1 0 -3 2 .
La roseta de deformación de 4 5 ° está montada
en un eje de acero. Las lecturas de deformación registra­
das por cada galga son: é„ = 800( 10~6). = 520(10 ). et =
-450(10~6). D etermine las deformaciones unitarias prin­
cipales en el plano, y su orientación.
•
Prob. 10-33
530
•
10.6
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Relaciones de propiedades de los m ateriales
A h o ra que se han presentado los principios generales del esfuerzo y de­
formación m ultiaxiales, se usarán esos principios para deducir algunas re­
laciones importantes acerca de las propiedades de los materiales. Para ha­
cerlo, se supondrá que el m aterial es homogéneo e isotrópico, y que se
comporta en form a elástica lineal.
L e y d e H o o k e g e n e r a liz a d a . Si el m aterial en un punto se somete a
un estado de esfuerzo tria xia l o\, <rv, a z, figura 10 -20 a, en el m aterial se de­
sarrollan las deformaciones unitarias normales correspondientes ex, ey, e,.
Lo s esfuerzos se pueden relacionar con las deform aciones aplicando el
principio de superposición, la relación de Poisson, ela, = - veiong, y la ley
de H ooke, aplicada en dirección u niaxial, e = c r / E . Para indicar cómo se
hace, prim ero se exam inará la deformación unitaria norm al del elem en­
to en la dirección x , causada por la aplicación separada de cada esfuerzo
norm al. Cuando se aplica erv, figura 10-20£>,el elemento se alarga en la di­
rección x y la deformación unitaria ex~es
L a aplicación de cry hace que se contraiga el elemento, con una deform a­
ción unitaria eÁ'en la dirección x , figura 10-20c. E n este caso,
D e igual m anera, la aplicación de crv figura 10-2Od, causa una contracción
en la dirección x tal que
1
Orx ~ v((Ty + 0-z)
t*l|
¡t
II
Cuando se sobreponen esas deform aciones unitarias norm ales, la de­
formación unitaria norm al ex se determina para el estado de esfuerzos de
la figura 10-20«. Pueden desarrollarse ecuaciones sim ilares para las defor­
maciones unitarias normales en las direcciones y y z. E l resultado final se
escribe como sigue:
i '
(Ty
1
€z ~ E
- v{(Tx + cr,)
(10-18)
•
(Tz
-
v {(T x
+
(T y )
E stas tres ecuaciones expresan la ley de H oo ke en una form a general,
para un estado de esfuerzo triaxial. Com o se hizo notar en la deducción
sólo son válidas si se aplica el principio de la superposición, para lo cual
se requiere una respuesta lineal-elástica del m aterial, y la aplicación de
deformaciones unitarias que no alteren mucho la form a del m aterial; esdecir, se requiere que las deformaciones sean pequeñas. Cuando se apli­
can estas ecuaciones se debe observar que los esfuerzos de tensión se con­
sideran cantidades positivas, y los esfuerzos de compresión son negativos.
Si una deformación unitaria norm al resultante es positiva, indica que el
m aterial se alarga, m ientras que una deform ación unitaria norm al negati­
va indica que el m aterial se contrae.
Como el m aterial es isotrópico, el elemento de la figura 10-20« seguirá
siendo un bloque rectangular cuando se someta a esfuerzos normales, es
decir, en el m aterial no se producirán deform aciones unitarias cortantes.
Si ahora se aplica un esfuerzo cortante rxy al elemento, figura 10-21«, las
observaciones experim entales indican que el m aterial sólo se deformará
a causa de una deformación unitaria cortante yxy\esto es, t xv no causará otras
deformaciones unitarias en el m aterial. De igual m anera, Tyz y txz sólo cau­
sarán deformaciones unitarias cortantes y vz y ysz, respectivam ente. L a ley
de H ooke para el esfuerzo cortante y la deform ación unitaria cortante se
puede escribir, por consiguiente, en la forma
1
y.fy ~ Q r xy
1
Tyz - Q Tyz
1
y.xz = Q T.xz
(10-19)
Fig. 10-21
>
532
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
R e la c ió n d o n d e in t e r v ie n e n E, v y G. E n la sección 3.7 dijim os que
el módulo de elasticidad E se relaciona con el módulo G de cortante por
la ecuación 3-11, es decir.
( 10-20)
U n a form a de deducir esta ecuación es considerar un elemento del ma­
terial que se somete a cortante puro (crv = o y = a . = 0 ). figura 10-22«. A l
aplicar la ecuación 9-5 para obtener los esfuerzos principales se obtiene
crmáx = TXy y crmin = - r vv. D e acuerdo con la ecuación 9-4, el elemento de­
be estar orientado a
= 45° en sentido contrario al de las m anecillas del
reloj respecto al eje .v, para definir la dirección del plano sobre el cual ac­
túa
figura 10-22/?. Si los tres esfuerzos principales <rmáx = Txy> a¡nt =
0 y ermfn = —tx>, se sustituyen en la prim era de las ecuaciones 10-18, se
puede relacionar la deformación unitaria principal emáx con el esfuerzo
cortante rAV. E l resultado es
(a)
^máx
■
vy ,1
E
,
-,
( 10-21 )
Esta deformación unitaria del elemento a lo largo del e je .r' también se
puede relacionar con la deformación unitaria cortante yxy usando las ecua­
ciones de transform ación de esfuerzos, o el círculo de M ohr para defor­
m ación u n ita ria . P ara h acerlo se debe notar p rim ero que, com o a x =
<rv = crz = 0, entonces, según la ecuación 10-18, ex = ev = 0. Sustituyendo
estos resultados en la ecuación de transform ación, ecuación 10-9, se ob­
tiene
_
^1
<7 • =
v'nnn
emí¡.\
Tfxy
2
De acuerdo con la ley de Hooke. yxy = txJ G . así que emáx = txy/ 2 G . Esto se
sustituye en la ecuación 10 -2 1 . se reordenan los términos y se obtiene el re­
sultado final, la ecuación 10 -20 .
— T*vv
D ila ta c ió n y m ó d u lo d e v o lu m e n . Cuando un m aterial elástico se
somete a esfuerzo norm al su volumen cambia. Para calcular este cambio
se considera un elemento de volumen que está sometido a los esfuerzos
principales ax, <rv, a .. Lo s lados del elemento son dx, dy y d z , originalm en­
te, figura 10-23«: sin embargo, después de aplicar los esfuerzos se trans­
forman en (1 + ex) d x , (1 + ev) dy y (1 + e; ) d z. respectivam ente, figura
10-23£>. E l cambio de volumen del elemento es, entonces.
(b)
SV = (1 + e v) ( l + ev) ( l + e, ) d x d y d z — d x d y d z
Fig. 10-22
Sin tener en cuenta los productos de las deformaciones unitarias, por ser
éstas muy pequeñas, se obtiene
S V = ( e v + ey + e ,) d x d y dz
A l cambio de volum en por unidad de volum en se le llam a “ deform a­
ción unitaria volum étrica” o dilata ció n , e. Se puede expresar como sigue:
e =
5K
dV
e.v + e v + e .
( 10-22)
E n comparación, las deformaciones unitarias cortantes no cambian el volu­
men del elemento: más bien sólo cambian su forma rectangular.
S ección 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales
}ue
Dor
Si se usa la ley de H ooke generalizada definida por la ecuación 10-18,
se puede escribir la dilatación en función del esfuerzo aplicado. Entonces,
e =
20)
na,A1
:ne
dedel
act=
. se
rzo
21)
i se
ua:or-
r—
ido
ob-
3 se
re) se
bio
■zos
eninsura
ser
1 - 2v
o-, + o- + crz)
d;
(10-23)
Cuando se somete un volum en de m aterial a la presión uniforme p de
un líquido, la presión sobre el cuerpo es igual en todas direcciones, y siem­
pre es normal a cualquier superficie sobre la que actúa. Lo s esfuerzos cor­
tantes no existen, porque la resistencia de un líquido al corte es cero. Este
estado de carga "hidro stática” requiere que los esfuerzos normales sean
iguales en todas y cada una de las direcciones, y en consecuencia el ele­
mento del cuerpo está sujeto a los esfuerzos principales crY = cry = a z =
—p , figura 10-24. A l sustituir en la ecuación 10-23 y reordenar los términos se obtiene
(10-24)
e
3(1 - 2»)
E l térm ino de la derecha só lo consiste en las propiedades E y v del
m aterial. E s igual a la relación del esfuerzo norm al uniform e p entre la
dilatación o “ deform ación unitaria volum étrica” . Com o esta relación se
parece a la relación del esfuerzo elástico lineal entre la deformación uni­
taria, que define a E , es decir, a/e = E , a los térm inos de la derecha se les
llam a m ódulo volum étrico de elasticidad, o m ódu lo de volum en (también
m ódulo de com presión y m ódulo h id ro stá tico ).T ien e las mismas unidades
que el esfuerzo, y se representa por la letra k\ esto es,
k =
3(1 - 2v)
Fig. 10-23
(10-25)
Nótese que para la m ayor parte de los metales v ~ - . y entonces k = £ .
Si existiera un m aterial que no cam biara de volum en, entonces SV = 0 y
k sería infinito. D e acuerdo con la ecuación 10-25. el valo r m áxim o teóri­
co de la relación de Poisson es.entonces. v = 0.5.Tam bién, durante la fluen­
cia. no se observa un cambio real en el volumen por lo que se usa v = 0.5
cuando se presenta la fluencia plástica.
PUNTOS IMPORTANTES
• Cuando un material homogéneo e isotrópico se somete a un estado
de esfuerzo triaxial, la deformación unitaria en una de las direccio­
nes de esfuerzo es afectada por las deformaciones unitarias que pro­
ducen todos los esfuerzos. Esto es consecuencia del efecto de Pois­
son. y tiene como consecuencia una ley de Hooke generalizada.
o .= p
• U n esfuerzo cortante aplicado a un m aterial homogéneo e isotró­
pico sólo produce deformación unitaria en el mismo plano.
• Las constantes E , G y v de un m aterial están relacionadas mate­
máticamente.
maiue:
-22 )
olu-
• L a dilatación, o deformación unitaria volumétrica, sólo la causa la de­
formación unitaria normal, y no la deformación unitaria cortante.
• E l m ódulo de volumen es una medida de la rigidez de un volumen
del m aterial. E sta propiedad del m aterial define un lím ite superior
de la relación de Poisson, de v = 0.5, que permanece en este valor
mientras se produce la fluencia plástica.
Fig. 10-24
•
533
534
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
10.9
E l soporte del ejem plo 10-8, figura 10-25a, es de acero para el que
E s = 200 G P a , vs = 0.3. D e te rm in e los esfuerzos p rin cip a le s en el
punto A .
S olución I
D el ejemplo 10.8. se determ inaron las siguientes deformaciones unita­
rias principales:
e t = 272(10~6)
e2 = 33.8(10“ 6)
Como el punto A está sobre la superficie del soporte, donde no hay car­
ga, el esfuerzo en la superficie es cero, por lo que el punto A está suje­
to a esfuerzo plano. Se aplica la ley de H oo ke con 0-3 = 0, y se obtiene
(T1
V
€' = ~ Ë ~ E * *
272(10
) =
cri
0.3
2 0 0 (1 09)
2 0 0 (1 0 )
a2
54.4(106) = o-, - 0.3ct2
cr2
v
33.8(101-6 )\
<x2
=
( 1)
0.3
2 0 0(10 )
200(10'
(2)
6.76(106) = <r2 - 0.3o-!
A l resolver sim ultáneamente las ecuaciones 1 y 2, los resultados son
o-! = 62.0 M Pa
Resp.
a 2 = 25.4 M Pa
Resp.
S olución II
Tam bién es posible resolver el problema usando el dato del estado de
deformación unitaria:
e , = 60(10"
6y = 2 4 6 ( 1 0
)
y xy = - 1 4 9 ( 1 0
)
que se especificó en el ejemplo 10.8. Se aplica la ley de H oo ke en el
plano x-y para obtener
S ección 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales
(b )
0.3o-.,
v
E
60(10-6) =
I a ?'
246(10~6) =
ax
- 29.4 M Pa
200(10 ) Pa
200(10 ) Pa
200(10 ) Pa
200(10 ) Pa
a y — 58.0 M Pa
E l esfuerzo cortante se determina aplicando la ley de H oo ke para cor­
tante. Sin embargo, prim ero hay que calcular G .
G =
200 G P a
2(1 + v )
2(1 + 0.3)
= 76.9 G P a
A sí,
Txy
=
Tx y
G y Xy,
= 76.9( 109) [ —149( 10-6)] = -1 1 .4 6 M Pa
E l círculo de M ohr para este estado de esfuerzo plano tiene el punto de
referencia A (29.4 M Pa, -11.46 M P a), y el centro está en <7prom = 43.7 M Pa,
figura 10-25¿>. E l radio se determina con el triángulo sombreado.
R = V (43.7 - 29.4)2 + (1 1 .4 6 )2 = 18.3 M Pa
Por consiguiente,
a ¡ = 43.7 M Pa + 18.3 M Pa = 62.0 M Pa
Resp.
a 2 = 43.7 M Pa - 18.3 M Pa = 25.4 M Pa
Resp.
O bserve que cada una de estas soluciones es vá lid a siem pre que
el m aterial sea tanto linealm ente elástico como isotrópico. porque en­
tonces coinciden los planos principales de esfuerzo y deformación un i­
taria.
•
535
536
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
10.10
L a barra de cobre de la figura 10-26 está sometida a una carga uniforme
en sus orillas, como se ve en la figura. Si su longitud es a = 300 mm, an­
cho b = 50 mm y espesor t = 20 mm antes de aplicar la carga, deter­
mine su nueva longitud, ancho y espesor después de aplicar la carga.
Suponer que E cu = 120 G P a , vcu = 0.34.
500 MPa
*, í
'i ‘I '! '! ■
! 'I 'I ‘i -
800 MPa
800 MPa
500 MPa
Fig. 10-26
Solución
Por inspección se ve que la barra está sometida a un estado de esfuer­
zo plano. Con los datos de la carga se calcula lo siguiente:
crv = 800 M Pa
cry = —500 M Pa
Txy = 0
az = 0
L a s deformaciones unitarias normales correspondientes se determinan
con la ley de H oo ke generalizada, ecuación 10-18, esto es,
cr,
E ~ ¿ K
800 M Pa
0.34
120(10 ) M Pa
120(103) M Pa
u
- ~ ^ { a x + Vz)
-5 0 0 M Pa
0.34
120(10 ) M Pa
120(10 ) M Pa
£Z = - f -
0
(- 5 0 0 M P a ) = 0.00808
V
V
e.v = -j
=
+ «O
(800 M Pa + 0) = -0.00643
+ (Ty)
0.34
-
120( 103) M Pa
(800 M Pa - 500 M P a ) = -0.000850
E n consecuencia, las nuevas dimensiones de la barra son:
a ' = 300 mm + 0.00808(300 m m ) = 302.4 mm
Resp.
b ' = 50 mm + (-0 .0 0 6 4 3 )(5 0 m m ) = 49.68 mm
Resp.
t ' = 20 mm + (-0 .0 0 0 8 5 0 )(2 0 m m ) = 19.98 mm
Resp.
S ección 10.6 Relaciones de propiedades de los materiales
E J E M P L O
10.11
Si el bloque rectangular de la figura 10-27 se somete a una presión uni­
forme de p = 20 lb/pulg2. determ inar la dilatación y el cambio de lon­
gitud de cada lado. Suponer que E = 600 lb/pulg2. v = 0.45.
pulg
Fig. 10-27
S olución
D ila ta ció n . L a dilatación se puede determ inar con la ecuación 10-23
con o;T = <rv = a . = - 2 0 lb/pulg2. Entonces,
1 - 2v
e = — - — (<r, + a y + a z)
1 - 2(0.45)
’ 6 ¡ ) M
^ [3<' 2 0 2 0 1 b /p U lg )1
= -0 .0 1 pulg 1 /pulg '1
Resp.
C am bio de longitud. L a deformación unitaria norm al en cada lado
se determina con la ley de H ooke. ecuación 10-18; esto es
e = jW x -
+ o-:)]
= 60 0 1 b /p u l ° 2 l ~ 20 lb /P ul§2 “ (0 .4 5 ) ( —20 lb /p ulg 2 — 20 lb/pulg2 )] = -0.00333 pulg/pulg
A s í, el cambio de longitud de cada lado es
5a =
-0 .0 0 3 3 3 (4 pulg) = -0 .0 1 33 pulg
Resp.
8b = -0 .0 0 3 3 3 (2 pulg) = -0.00667 pulg
Resp.
8c = -0 .0 0 33 3 (3 pulg) = -0 .0 1 0 0 pu\g
Resp.
Lo s signos negativos indican que cada dimensión disminuye.
•
537
538
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
PROBLEMAS
10-34. Para el caso del esfuerzo plano, dem ostrar que la
ley de H ooke se puede escribir en la siguiente forma:
*10-40. La barra de cloruro de polivinilo (PVC) se so­
mete a una fuerza axial de 900 Ib. Si sus dimensiones ori­
ginales son las que se indican, determ ine el cambio en el
ángulo 9 después de que se aplica la carga. Epvc = 800(103)
lb/pulg2. i'pvc = 0.20.
E
E
v* = -------- 2 ^(e.x + W ,), <Ty = —------ 2" ( e v + vex)
(1 - v )
(1 - " )
10-35. Use la ley de Hooke, ecuación 10-18, para dedu­
cir las ecuaciones de transformación de deformación uni­
taria. ecuaciones 10-5 y 10-6. a partir de las ecuaciones de
transformación de esfuerzo, ecuaciones 9-1 y 9-2.
10-41. La barra de cloruro de polivinilo se somete a una
fuerza axial de 900 Ib. Si tiene las dimensiones originales
que se indican en la figura, determ ine el valor de la rela­
ción de Poisson,si el ángulo 6 disminuye en A6 = 0.01° des­
pués de aplicar la carga. £ pvc = 800(103) lb/pulg2.
*10-36. U na barra de aleación de cobre se carga en una
m áquina de tensión, y se determ ina que ex = 940(10 6), y
ax = 14 klb/pulg2, (Ty = 0. £r; = 0. Determ ine el módulo de
elasticidad Eco, y la dilatación eco del cobre. Dato: vco =
0.35.
10-37. Los esfuerzos principales en el plano, y las defor­
maciones unitarias correspondientes en el plano, para un
punto, son <t\ = 36 klb/pulg2, a 2 = 16 k lb/pulg2, ej =
1.02(10-3), e2 = 0.180(10 -1). Determine el módulo de elas­
ticidad y la relación de Poisson.
10-38. D eterm ine el módulo volumétrico para cada uno
de los materiales siguientes: (a) hule, Er = 0.4 klb/pulg2,
vr = 0.48 y (b) vidrio. Eg = 8(103) klb/pulg2, vg = 0.24.
10-39. Las deformaciones unitarias principales en un pun­
to sobre el fuselaje de aluminio de un avión a chorro son
e! = 780(10-6) y e2 = 400(10 6). D eterm ine los esfuerzos
principales asociados, en el punto del mismo avión. £ ai =
10(103) klb/pulg2, i^i = 0.33. Sugerencia: vea el problema
10-34.
Probs. 10-40/41
10-42. U na varilla tiene 10 mm de radio. Si se som ete a
una carga axial de 15 N tal que la deform ación unitaria
axial en la varilla es ex = 2.75(10-6), determ ine el módulo
de elasticidad £ y el cambio en su diámetro. Para el m ate­
rial, v = 0.23.
10-43. Las deformaciones unitarias principales en un pun­
to de la superficie de alum inio en un tan q u e son
e] = 630(10~6) y e2 = 350(10'6). Si éste es un caso de es­
fuerzo plano, determine los esfuerzos principales corres­
pondientes en el punto del mismo plano. £ a( = 10(103)
klb/pulg2, vai = 0-33. Sugerencia: vea el problem a 10-34.
P r o b lem a s
*10-44. U na galga extensom étrica es colocada sobre la
superficie de una caldera con pared delgada de acero, co­
mo se muestra. Si ésta tiene 0.5 pulg de longitud, determ i­
ne la presión en la caldera cuando la galga se alarga
0.2(10-3) pulg. El espesor de la pared es 0.5 pulg, y el diá­
metro interno es 60 pulg.También, determ ine la deform a­
ción unitaria corlante máxima en el plano x,y. del material.
Eac = 29(103) klb/pulg2, v3C = 0.3.
•
539
El eje tiene 15 mm de radio, y es de acero para he­
rramientas L2. Determ ine las deformaciones unitarias en
las direcciones .r 'y y ', si al eje se le aplica un par de tor­
sión T = 2 kN • m.
10-46.
P ro b . 10-44
10-45. El eje de acero tiene un radio de 15 mm. D eter­
mine el par de torsión T en el eje, si las dos galgas extensométricas cementadas sobre la superficie indican que las
deform aciones unitarias son ev- = —80(10-6) y ev< =
80(10-6). También calcule las deformaciones unitarias en
las direcciones x y y. £ ac = 200 GPa, v3C = 0.3.
10-47. El corte transversal de la viga rectangular se so­
mete al momento de flexión M. Deduzca una ecuación del
aum ento de longitud de las líneas A B y CD. El material
tiene módulo de elasticidad E y relación de Poisson v.
540
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
*10-48. Se mide la deformación unitaria en dirección .r,
en un punto A de la viga de acero, y resulta ser ex =
-100(10~ 6). D eterm ine ia carga aplicada P. ¿Cuál es la
deformación unitaria cortante yvv en el punto A l E ac =
29(103) klb/pulg2. vM = 0.3.
ir
i
3 pulg
i___
1— 3 pi<
pics -
- 4 pies -
-7 pies-
3 pulg
v_r
0.5 pul
0.5 pulg
8 pulg
P q T 0.5 pulg
P ro b . 10-52
6 pulg
P ro b . 10-48
10-49. Se mide la deformación unitaria en la direcciónx,
en el punto A de la viga de acero estructural A-36, y resul­
ta ser ex = 100(10~6). Determine la carga aplicada P. ¿Cuál
es la deformación unitaria cortante yxy en el punto A l
10-50. Se mide la deformación unitaria en la dirección x,
en el punto A de la viga de acero estructural A-36, y resul­
ta ser ex = 200(10 ' 6). Determine la carga aplicada P. ¿Cuál
es la deformación unitaria cortante yxr en el punto A l
10-53. Los esfuerzos principales en un punto se indican
en la figura. El m aterial es aluminio, para el que E a| =
10( 103) klb/pulg2 y í/ai = 0.33. D eterm ine las deformacio­
nes unitarias principales.
26 klb/pulg2
10-51. Si se aplica una carga P = 3 klb a la viga de acero
estructural A-36. determine las deformaciones unitarias ex
y yxy en el punto A .
2 pulg
I 2 pulg
T a U ^ J l 2 pulg
■
fl—I I -3 pies-
4 pies
6 pulg
P robs. 10-49/50/51
*10-52. Un material se somete a los esfuerzos principa­
les o\. y crv. Determine la orientación 6 a la cual debe ser
cem entada una galga extensométrica para que su lectura
de deformación unitaria normal sólo responda a crv y no a
<7V. Las constantes del m aterial son E y v.
10-54. Un recipiente a presión cilindrico con paredes del­
gadas tiene radio interior r, espesor t y longitud L. Si se le
somete a una presión interna p. demuestre que el aumento
en su radio interior es d r = re\ = p r 2{1 — i v )/E t, y el
aumento de su longitud es AL = p L r{\ — v)/Et. Con estos
resultados demuestre que el cambio de volumen interno
es d V = 7rr2(l + ej )2(1 + )L — n r 2L. Como e¡ y e2 son
cantidades pequeñas, dem uestre entonces que el cambio
de volumen por unidad de volumen, llamado deformación
unitaria volumétrica, se puede representar por d V /V =
pr (2.5 - 2v)/Et.
P ro b le m as
10-55. El recipiente cilindrico a presión se fabrica con ta­
pas hemisféricas para reducir el esfuerzo de flexión que
habría si las tapas fueran planas. Los esfuerzos de flexión
en la unión donde llegan las tapas se puede eliminar con
una elección adecuada de los espesores ih y tc de las tapas
y el cilindro, respectivamente. Para esto se requiere que la
expansión radial sea igual para los hemisferios y para el ci­
lindro. D em uestre que esta relación es tc/th = (2 - v)¡
(1 - v ) . Suponga que el tanque está hecho del mismo ma­
terial. y que tanto el cilindro como los hemisferios tienen
el mismo radio interno. Si el cilindro debe tener un espe­
sor de 0.5 pulg, ¿cuál es el espesor necesario de los hemis­
ferios? Suponga que v = 0.3.
P ro b . 10-55
•
541
10-59. El recipiente cilindrico a presión, con paredes del­
gadas. de radio interior r y espesor de pared t. se somete a
una presión interna p. Si las constantes del material son E
y v, determine las deformaciones unitarias en las direccio­
nes circunferencial y longitudinal. Con estos resultados
calcule el aum ento tanto del diám etro como de la longi­
tud de un tanque de acero a presión, lleno de aire con una
presión manomètrica interna de 15 MPa. El tanque tiene
3 m de longitud, su diámetro interno es 0.5 m y el espesor
de su pared es de 10 mm. Además. E ac = 200 GPa, vac = 0.3.
*10-60. Estime el aum ento en el volumen del tanque de!
problema 10-59. Sugerencia: use los resultados del proble­
ma 10-54 para comprobar.
P robs. 10-59/60
*10-56. U n recipiente cilindrico a presión, con paredes
delgadas, tiene radio interior r, espesor de pared t y está
sometido a una presión interna p. Si las constantes del ma­
terial son E y v, determ ine la deformación unitaria en di­
rección circunferencial, en función de los parámetros men
donados.
10-61. Un m aterial suave se pone dentro de un cilindro
rígido que descansa sobre un soporte rígido. Suponiendo
que ex = 0, ev = 0, determ ine el factor en el que se aum en­
ta el módulo de elasticidad cuando se aplica una carga, si
v = 0.3 para el material.
10-57. Se bombea aire al interior de un recipiente a pre­
sión de acero, con paredes delgadas, en C. Si los extremos
del recipiente se cierran con dos pistones unidos con un
vástago A B . determine el aum ento del diám etro del reci­
piente cuando la presión manométrica interna es 5 MPa.
También, ¿cuál es el esfuerzo de tensión en el vástago A B ,
si su diám etro es 100 mm? El radio interno del recipiente
es 400 mm, y su espesor de pared es 10 mm. Eac = 200 GPa
y í'ac = 0.3.
z
10-58. D eterm ine el aum ento de diám etro del recipien­
te en el problem a 10-57, si los pistones se sustituyen por
paredes unidas a los extremos del recipiente.
P ro b . 10-61
400 mm
P robs. 10-57/58
10-62. Un recipiente esférico a presión, de pared delga­
da, tiene radio interior r y espesor de pared t; se somete a
una presión interna p. D em uestre que el aum ento de vo­
lumen interno del recipiente es
= (2pn>A/ E t)(l - u).
Use un análisis de deformación unitaria pequeña.
542
•
*10.7
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Teorías de la falla
Líneas de Lüder en una
banda d escero suave
Cuando un ingeniero se encuentra con el problem a de diseñar usando un
m aterial específico, adquiere importancia establecer un lím ite superior pa­
ra el estado de esfuerzo que define la falla del m aterial. Si el m aterial es
dúctil, la falla se suele especificar por el inicio de la fluencia o cedencia,
m ientras que si el m aterial es frá g il, se especifica por la fra ctu ra . Eso s mo­
dos de falla se definen con facilidad si el miem bro se somete a un estado
de esfuerzo u niaxial, como en el caso de la tensión sim ple; sin embargo, si
el m iem bro se somete a esfuerzos biaxiales o triaxiales, es más difícil es­
tablecer el criterio de falla.
E n esta sección describirem os cuatro teorías que se usan con frecuen­
cia en la práctica de la ingeniería, para predecir la falla de un m aterial su­
jeto a un estado de esfuerzo m ultiaxial. Esa s teorías, y otras como ellas,
también se usan para determ inar los esfuerzos admisibles que aparecen
en muchos códigos de diseño. Sin embargo no hay una sola teoría de fa­
lla que se pueda aplicar siem p re a un m aterial específico, porque un m a­
terial se puede com portar ya sea de form a dúctil o frágil dependiendo de
la tem peratura, rapidez de carga, ambiente quím ico o de la form a en que
se moldea o form a el m aterial. Cuando se usa determ inada teoría de fa ­
lla, prim ero es necesario calcular los componentes del esfuerzo norm al y
cortante en puntos donde son máximos en el miembro. E s o se puede ha­
cer usando los fundam entos de la m ecánica de m ateriales, y aplicando
factores por concentración de esfuerzos donde sea necesario, o en situa­
ciones com plejas,se pueden calcular los componentes m áxim os de esfuer­
zos usando un análisis matem ático basado en la teoría de la elasticidad, o
mediante una técnica experim ental adecuada. E n cualquier caso, una vez
establecido este estado de esfuerzo, se determinan entonces los esfu erzo s
principales en esos puntos críticos, ya que cada una de las teorías que va ­
mos a describir se basa en el conocimiento del esfuerzo principal.
M a t e r ia le s d ú c tile s
Fig. 10-28
T e o ría d e esfu e rz o c o rta n te m áxim o. L a causa más común de la flu e n ­
cia de un m a teria l d ú ctil, como el acero, es el d esliza m ien to , que sucede a
lo largo de los planos de contacto de cristales ordenados al azar, que fo r­
man el m aterial. E s e d esliza m ie n to se debe al esfu erzo cortante, y si un espécimen se trabaja para que quede una tira delgada pulida, y se sujeta a
una prueba de tensión sim ple, se puede ver cómo hace que el m aterial flu ­
ya , figura 10-28. L a s orillas de los planos de deslizamiento, tal como apa­
recen en la superficie de la banda, se llam an líneas d e L ü d er. E sa s líneas
indican con claridad los planos de deslizamiento en la banda, que form an
aproxim adamente 45° con el eje de esa banda.
A h o ra imagine un elemento del m aterial tomado de un espécimen de
tensión, que sólo se somete al esfuerzo de fluencia ay, figura 10-29«. E l
esfuerzo cortante m áxim o se calcula trazando el círculo de M ohr para el
elemento, figura 10-2% . L o s resultados indican que
S ección 10.7
)-26)
Q
II
Q
A(0, 0)
90^
--- Gy
Tmáx ” 2
(b)
Por otra parte, si los esfuerzos principales en el plano tienen signos contra­
rios, la falla se presenta en el plano, y según la ecuación 9-16,
^mín
Si se usan esas ecuaciones junto con la 10-26, la teoría del esfuerzo cor­
tante máximo, para el esfu erzo p la n o , se puede expresar para dos esfuer­
zos principales en el plano cualquiera, como crx y cr2, mediante los siguientes
criterios:
k l | = (Ty
W i\ = o y ,
n de
2. E l
ra el
(a)
_cY
^prom“ "2"
í7máx
^máx
lende a
forí es:ta a
flu apaneas
man
Tensión axial
h
o
ensulas.
cen
fana>de
que
faal y
haid o
:uaíerd ,o
vez
-zo s
va-
•
II
,9
un
paes
:ia,
noido
), si
es-
Adem ás, este esfuerzo cortante actúa sobre planos a 45° de los planos de
esfuerzo principal, figura 10-29c, y esos planos coin cid en con la dirección
de las líneas de Lü d e r que aparecen en el espécimen, e indican que en rea­
lidad la falla sucede por cortante.
A l usar esta idea, que los m ateriales dúctiles fallan por cortante, H e n ri
Tresca propuso, en 1868, la teoría d e l esfuerzo cortante m áxim o o el c ri­
terio de Tresca. E sta teoría se usa para predecir el esfuerzo de falla de un
m aterial dúctil sometido a cualquier clase de carga. L a teoría de esfuerzo
cortante máxim o indica que la fluencia del m aterial se inicia cuando el es­
fuerzo cortante m áxim o absoluto en el m aterial llega al esfuerzo cortan­
te que hace que fluya el mismo m aterial cuando só lo está sujeto a tensión
axial. E n consecuencia, para evitar la falla de acuerdo con la teoría del es­
fuerzo corlante m áxim a, r i¡£ en el m aterial debe ser menor o igual a o y / 2 ,
donde u Y se determ ina en una prueba sim ple de tensión.
E n las aplicaciones, expresaremos el esfuerzo cortante m áxim o absolu­
to en función de los esfu erzo s principales. E l procedim iento para hacerlo
se describió en la sección 9.7, para una condición de esfu erzo p la n o , esto
es, donde el esfuerzo principal fuera del plano es cero. Si los dos esfuer­
zos principales en el plano tienen el m ism o signo, es decir, si ambos son
de tensión o ambos son de com presión, la falla se presentará hacia a fu e ­
ra d e l p la n o , y según la ecuación 9-15,
Teorías de la falla
W\ ~ 0 2 1 = ° v }
Fig. 10-29
o-], o 2 tienen signo igual
ab
a2 tienen signos opuestos
(10-27)
E n la figura 10-30 se muestra una gráfica de estas ecuaciones. E s claro
que, si algún punto del m aterial se somete a esfuerzo plano, y si sus esfuer­
zos principales en el plano se representan con las coordenadas (o j, cr2)
graficada en la fro n te ra o fu e ra del área hexagonal sombreada en esta fi­
gura, el m aterial fluye en el punto, y se dice que sucede la falla.
Fig. 10-30
543
544
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
Teo ría de la energía m áxim a de distorsión.
Se dijo en la sección 3.5 que
cuando se deform a un m aterial debido a carga externa, tiende a alm ace­
nar energía internamente en todo su volum en. La energía por unidad de
volum en de un m aterial se llama densidad de energía de deform ación u ni­
ta ria , y si el m aterial se som ete a un esfuerzo a uniaxial, la densidad de
energía de deform ación unitaria, definida po r la ecuación 3-6, se puede
expresar com o sigue:
u = ^cre
Ca)
II
(10-28)
Es posible form ular un criterio de falla basado en las distorsiones cau­
sadas p o r la energía de deform ación unitaria. Sin em bargo, antes necesi­
tam os determ inar la densidad de energía de deform ación unitaria en un
elem ento de volum en de un m aterial som etido a los tres esfuerzos prin­
cipales O], cr2 y er3. figura 10-31«.E n este caso, cada esfuerzo principal apor­
ta una parte de la densidad total de energía de deform ación unitaria, por
lo que
1
w=
1
1
+ 2 a i í l + 2 0’3e3
Si el m aterial se com porta en forma lineal elástica, se aplica la ley de H ooke. E n consecuencia, al sustituir la ecuación 10-18 en la ecuación an terior
y simplificar, se obtiene
u = — .[a 2 + <
t 2 + o 2 — 2 v ( a \a 2 + cr\0-$ + cr3cr,)] (10-29)
2E
(b)
+
Fig. 10-31
Se puede considerar que esta densidad de energía de deform ación uni­
taria es la sum a de dos partes, una que representa la energía necesaria p a­
ra causar un cam bio de volumen del elem ento, sin cam bio de form a, y la
o tra p a rte que rep resen ta la energía necesaria para distorsionar al ele­
m ento. E n form a específica, la energía alm acenada en el elem ento com o
resultado de su cam bio de volum en se debe a la aplicación del esfuerzo
principal prom edio. erprom = (c^ + cr2 + <73)/3 , ya que este esfuerzo causa
deform aciones unitarias principales iguales en el m aterial, figura 10-316.
La p arte restante del esfuerzo, (o-j - Oprom), (a 2 - <rpiom), (03 - <7prom), es
la que causa la energía de distorsión, figura 10-31c.
Con pruebas experim entales se ha dem ostrado que los m ateriales no
fluyen cuando se som eten a un esfuerzo uniform e (hidrostático), com o
<jprom que se describió arriba. En consecuencia, M. H uber propuso en 1904
que la fluencia en un m aterial dúctil se presen ta cuando la energía de dis­
torsión por unidad de volum en del m aterial es igual o m ayor que la en e r­
gía de distorsión po r unidad de volum en del m ism o m aterial som etido a
fluencia, en una p rueba de tensión simple. E sta teoría se llam a teoría de
la energía de disto rsió n m áxim a, y com o después fue redefinida po r R.
von M ises y H. H encky, en form a independiente, a veces se le conoce con
esos apellidos.
P ara o b ten e r la energía de distorsión po r unidad de volum en, se susti­
tuyen los esfuerzos (01 - <rprom), (er2 - crprom) y ( a 3 - crpro[n) p or crh cr2 y
03 . respectivam ente, en la ecuación 10-29, teniendo en cuenta que CT-prom =
(<X] + cr2 + ct-3)/3 . A l desarrollar y sim plificar se obtiene
ud
=
“
^ í)2 +
(cr2 -
r r 3) 2 + (o-3 -
a r f]
S ección 10.7
Teorías de la falla
•
545
E n el caso del esfuerzo plano, cr3 = 0, y la ecuación se reduce a
ud =
1 + v
3E
' (< T i
—
( T i<72
+
CT2
P ara una p ru eb a de tensión uniaxial, a \ — a Y, cr2 — cr3 = 0, así que
/ \
1 + v
M r = —
<ry
Ya que en la teoría de energía m áxim a de distorsión se requiere que ut¡ (U/i) y , entonces, p ara el caso del esfuerzo de plano o biaxial,
CF\
—
(7\(72
+
a 2 = a Y2
(10-30)
E sta ecuación represen ta una elipse, figura 10-32. Así, si se som ete a es­
fuerzo un pu n to en el m aterial hasta que las coordenadas del esfuerzo (crb
ct?) queden fuera del contorno, o fuera del área som breada, se dice que el
m aterial falla.
En la figura 10-33 se ve una com paración de los dos criterios de falla
anteriores. O bserve que am bas teorías dan los mismos resultados cuando
los esfuerzos principales son iguales, es decir, de acuerdo con las ecuacio­
nes 10-27 y 10-30, cr¡ = cr2 = ay, o cuando uno de los esfuerzos principa­
les es cero, y el otro tiene la m agnitud ay. Por otra parte, si el m aterial se
sujeta a c o rta n te puro r,e n to n c e s las teorías tienen la m áxima discrepan­
cia en su predicción de la falla. Las coordenadas de esfuerzo de estos putos
en las curvas fueron determ inadas para el elem ento que se ve en la figura
10-34«. De acuerdo con el círculo de M ohr correspondiente a este estado
de esfuerzo, figura 10-34¿>, se obtienen los esfuerzos principales crl = r y
a 2 = - 7. Al aplicar las ecuaciones 10-27 y 10-30, la teoría del esfuerzo cor­
tante m áxim o y la de la energía m áxim a de distorsión dan los resultados
o-] = (7y/2 y cr, = c ry /V 3 . respectivam ente, figura 10-33.
Las p ru e b a s de to rsió n re a l, q u e se usan p a ra te n e r u na condición
de cortante p uro en un espécim en dúctil, han dem ostrado que la teoría de
energía de distorsión m áxim a produce resultados más exactos para la falla
po r cortante puro, que la teo ría del esfuerzo cortante máximo. De hecho,
ya que (crY/ V 3 )/(< ry /2 ) = 1.15, el esfuerzo cortante para que el m aterial
fluya, determ inado con la teo ría de energía de distorsión m áxim a, es 15%
más exacta que cuando se d eterm ina con la teoría del esfuerzo cortante
máximo.
Teoría de la energía de distorsión máxima
Fig. 10-32
Fig. 10-33
546
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
i
•■
.(S&SN"
Falla de tn material frágil
por tensión
(a)
i!)
<«
M a te r ia le s fr á g ile s Teoría del esfuerzo norm al máxim o. A ntes in­
dicam os que los m ateriales frágiles, com o el hierro colado gris, tienden a
fallar repentinam ente po r fractura, sin que haya fluencia aparente. En una
p ru eb a d e te n sió n , la fractura se presenta cuando el esfuerzo norm al lle­
ga al esfuerzo últim o crÚU, figura 10-35«. Tam bién, en una p r u e b a de to r­
sión se presenta fractura frágil debida a e sfu erzo m á x im o de te n sió n , ya
que el plano de fractura de un elem ento form a 45° con la dirección de cor­
te, figura 10-35¿>. La superficie de la fractura es helicoidal, por consiguiente,
com o se indica en la figura.* Los experim entos han dem ostrado adem ás
que d u ran te la torsión, la resistencia del m aterial casi n o se afecta po r la
presencia del esfuerzo correspondiente de com presión, que form a ángu­
lo recto con el esfuerzo principal de tensión. E n consecuencia, el esfuer­
zo de tensión necesario para fracturar un espécim en d urante una prueba
de torsión es aproxim adam ente igual al necesario para fractu rar un espé­
cim en en tensión simple. D ebido a esto, la teoría del esfuerzo n o rm a l m á ­
x im o establece que un m aterial frágil falla cuando el esfuerzo principal
m áxim o
en el m aterial llega a un valor límite, que es igual al esfuerzo
norm al últim o que puede resistir el m aterial cuando se le som ete a te n ­
sión simple.
Si el m aterial está som etido a esfu erzo p la n o se requiere que
l° " il ~ ° \ in
K 2 I = ° ú lt
Falla de un material
frágil por torsión
(b)
(10-31)
Estas ecuaciones se representan gráficam ente en la figura 10-36. E n este
caso se ve que si las coordenadas de esfuerzo
cr2) en un punto en el
m aterial quedan en el lím ite del área som breada, o fuera de ella, se dice
que el material se fractura. Esta teoría se suele acreditar a W. Rankine, quien
la propuso a m ediados de los años 1800. Se ha determ inado experim en­
talm ente que concuerda bien con el com portam iento de m ateriales frá­
giles que tienen diagram as de esfuerzo-deform ación u n itaria p a re cid o s
tan to en tensión com o en com presión.
Fig. 10-35
C riterio de falla de M ohr. E n algunos m ateriales frágiles, las p ropieda­
des en tensión y en com presión son diferentes. C uando eso sucede se usa
un criterio basado en el uso del círculo de M ohr, para predecir la falla del
m aterial. E ste m étodo fue desarrollado por O tto M ohr, y a veces se le llama
criterio de falla de M ohr. P ara aplicarlo, p rim ero se hacen tres p ru e b a s
al m aterial. U na prueba de tensión uniaxial y o tra de com presión uniaxial
se usan para d eterm inar los esfuerzos últim os de tensión y com presión,
(ova,), y (o-últ)c, respectivam ente. Tam bién se hace una p rueba de torsión
p ara d eterm inar el esfuerzo cortante últim o r ü|t en el m aterial. E ntonces
se grafica el círculo de M ohr para cada una de esas condiciones de esfuer­
zo, com o se ve en la figura 10-37. El círculo A representa la condición de
esfuerzo
— a 2 = 0, <73 = —(trúlt)c; el círculo B representa las condicio­
nes de esfuerzo o-j = (£rúlt)„ <x2 = tr3 = 0, y el círculo C representa la con-
Fig. 10-36
♦Un trozo de gis falla de esta manera al retorcer sus extremos con los dedos.
S ecció n 1 0 .7
dición de esfuerzo co rtan te p uro causado p o r
E stos tres círculos es­
tán dentro de una “envolvente de falla” definida por la curva extrapola­
da tangente a los tres círculos. Si una condición de esfuerzo plano en un
pu n to se rep resen ta con un círculo que quede dentro de la envolvente, se
dice que el m aterial no falla. Sin em bargo, si el círculo tiene un punto de
tangencia con la envolvente, o si se sale del contorno de la envolvente, se
dice que se p resen ta la falla.
Tam bién se puede re p re se n ta r este criterio en una gráfica de esfuerzos
principales
y cr2 (03 = 0). E so se ve en la figura 10-38. E n este caso, la
falla se presenta cuando el valor absoluto de cualquiera de los esfuerzos
principales llega a ser igual o m ayor que (orü|t), o a (c7ú|t)c, o en general, si
el estado de esfuerzo en un p un to definido p or las coordenadas de esfuer­
zo (o j, a2), cae en el límite, o fuera del área som breada.
Se puede usar cualesquiera de los dos criterios, en la práctica, para p re ­
decir la falla de un m aterial frágil. Sin em bargo se debe te n er en cuenta
que su utilidad es bastan te lim itada. U n a falla p or tensión se presenta en
form a muy repentina, y en general su inicio depende de concentraciones
de esfuerzo desarrolladas en im perfecciones m icroscópicas del m aterial,
com o inclusiones o lagunas, penetraciones en superficie y grietas pequeñas.
C om o cada una de esas irregularidades varía de un espécim en a otro, es
difícil especificar la falla con base en una sola prueba. Por otra parte, las grie­
tas y o tras irre g u la rid a d e s tie n d e n a c e rra rse cu a n d o el espécim en
se com prim e, y en consecuencia no form an puntos de falla, com o sucede
cuando el espécim en se sujeta a la tensión.
Teorías de la falla
•
547
Fig. 10-37
Criterios de falla de Mohr
Fig. 10-38
PUNTOS IMPORTANTES
• Si un m aterial es dúctil, la falla se especifica p o r el inicio de 1afluencia. m ientras que si es frágil se especifi­
ca por la fractura.
• La fractura dúctil se pu ed e definir cuando se presenta deslizam iento en tre los cristales que form an el m a­
terial. E ste deslizam iento se debe al esfuerzo cortante y la teoría del esfuerzo cortante m áxim o se basa en
esta idea.
• E n un m aterial se alm acena energía de deform ación cuando se som ete a esfuerzo norm al. La teoría de la
energía de distorsión m áxim a depende de la energía de deformación unitaria que distorsiona al m aterial, y
no de la parte que aum enta su volumen.
• La fractura de un material frágil sólo se debe al esfuerzo m áxim o de tensión en el m aterial, y no al esfuer­
zo de com presión. E so es la base de la teoría del esfuerzo norm al m á xim o , y se aplica si el diagram a de es­
fuerzo-deform ación unitaria es sim ilar en tensión y en com presión.
• Si un material frágil tiene un diagram a de esfuerzo-deform ación distinto en tensión y en com presión, en ­
tonces se pued e aplicar el criterio de falla de M ohr para predecir la falla.
• A causa de las im perfecciones del m aterial, la fractura p o r tensión de un m aterial frágil es difícil de prede­
cir. p o r lo que se deben usar con precaución las teorías de falla en m ateriales frágiles.
548
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
---------------------------------------------------El tub o de acero de la figura 10-39« tiene 60 mm de diám etro interno,
y 80 m m de diám etro externo. Si se som ete a un m om ento de torsión
de 8 kN • m y a un m om ento de flexión de 3.5 kN • m, determ ine si esas
cargas causan la falla definida por la teoría de la energía de distorsión
máxima. El esfuerzo de fluencia del acero, determ inado en una p ru e­
ba de tensión, es a Y = 250 MPa.
Solución
Para resolver este problem a se debe investigar un punto en el tubo que
esté som etido a un estado de esfuerzo crítico máximo. Los m om entos
de torsión y de flexión son uniform es en toda la longitud del tubo. En
el corte arbitrario «-«, figura 10-39«. esas cargas producen las distribu­
ciones de esfuerzo que se ven en las figuras 10-39b y 10-39c. Por ins­
pección se ve que los puntos A y B están som etidos al mismo estado
de esfuerzo crítico. Investigarem os el estado de esfuerzo en A . E n ­
tonces,
3.5 kN m
(a)
ta
=
(b)
(8000 N • m )(0.04 m)
J
(7r/2)[(0.04 m )4 - (0.03 m )4]
Me
(3 5 0 0 N -m )(0 .0 4 m )
= 116.4 MPa
= 101.9 M Pa
(ir/4 )[(0 .04 m )4 - (0.03 m )4]
Estos resultados se indican en una vista tridim ensional de un elem en­
to de m aterial en el punto A , figura 10-39d. y tam bién, com o el m ate­
rial está som etido a esfuerzo plano, se ve en dos dim ensiones en la fi­
gura 10-39e.
El círculo de M ohr para este estado de esfuerzo plano tiene el cen­
tro en
o-a =
(c)
Te
I
(7prom
0 - 101.9
= -5 0 .9 M Pa
Se grafica el punto de referencia A (0, —116.4 M Pa) y se traza el círcu­
lo, figura 10-39/. A q u í ya se calculó el radio con el triángulo som brea­
do, resultando R — 127.1, por lo que los esfuerzos principales en el pla­
no son
o-, = -5 0 .9 + 127.1 = 76.2 M Pa
exj = -5 0 .9 - 127.1 = -1 7 8 .0 M Pa
A l usar la ecuación 10-30 se requiere que
( o -] 2 —
CT jC T 2 +
(T2~)
—
o -y2
[(76.2)2 - (7 6 .2 )(-178.0) + (-1 7 8 .0 )2] ¿ (250)2
r (MPa)
Fig. 10-39
51 100 < 62 500 OK
C om o se ha satisfecho el criterio, el m aterial en el tubo no fluirá (“fa­
llará” ), de acuerdo con la teoría de energía m áxim a de distorsión.
S ección 10.7
E J E M P L O
10.13
El eje macizo de hierro colado de la figura 10-40a está som etido a un
p ar de torsión de T = 400 Ib • pie. D eterm in ar su radio m ínimo para
que no falle, de acuerdo con la teoría del esfuerzo norm al máximo. U n
espécim en de hierro colado, p ro b ad o en tensión, tiene esfuerzo último
(oúit)/ = 20 k lb /p u lg 2.
7= 400 Ib-pie
(b)
Fig. 10-40
Solución
El esfuerzo crítico o máxim o está en un punto ubicado sobre la super­
ficie del eje. Suponiendo que el eje tenga radio r ,e 1esfuerzo cortante es
Tc_ _ (400 Ib • p ie ) (12 p u lg /p ie ) r _ 3055.8 Ib • pulg
( tt/ 2 ) ia
~
r3
El círculo de M ohr p ara este estado de esfuerzo (cortante puro) se ve
en la figura 10-406. C om o R = r máx, entonces
3055.8 Ib • pulg
La teoría del esfuerzo norm al m áximo, ecuación 10-31, requiere que
k t I -
3055.8 Ib • pulg
CTúlt
s 20 000 lb/pulg-
Así, el radio m ínim o del eje se calcula con
3055.8 Ib • pulg _
20 000 lb/pulg 2
r = 0.535 pulg
Resp.
Teorías de la falla
•
549
550
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
E J E M P L O
E l eje macizo de la figura 10-41« tiene 0.5 pulg de radio, y es de acero
con esfuerzo de fluencia a Y = 36 klb/pulg2. D eterm in ar si las cargas
hacen fallar al eje. de acuerdo con la teoría del esfuerzo cortante m á­
ximo, y con la teo ría de la energía de distorsión máxima.
S olución
0.5 p u V
El estado de esfuerzo en el eje se dehe a la fuerza axial y al par de to r­
sión. C om o el esfuerzo cortante máximo causado por el par de torsión
está en la superficie externa del m aterial,
3 2 5 klb ' pulg
(a)
16.55 k lb /p u lg 2
m e n i o u e r n a L e ria i e n u n p u m u s í , c u la íi g u r u
c u
vez. u c u s a r
el círculo de M ohr, tam bién se pueden ob ten er los esfuerzos principa­
les con las ecuaciones de transform ación de esfuerzo, ecuación 9-5.
Fig. 10-41
= -9 .5 5 ± 19.11
a } = 9.56 k lb /p u lg 2
cr, ——28.66 k lb /p u lg 2
Teoría d e l esfuerzo cortante m áxim o. Com o los esfuerzos principa­
les tienen signos contrarios, entonces, según la sección 9.7, el esfuerzo
co rtan te m áxim o absoluto estará en el plano y así, aplicando la segun­
da de las ecuaciones 10-27, se obtiene
\cri - cr21 :£
cty
19.56 - (-28.66)1 I 36
38.2 > 36
E ntonces, de acuerdo con esta teoría, habrá falla del m aterial por cor­
tante.
Teoría de ¡a energía de d isto rsió n m áxim a.
A l aplicar la ecuación
10-30, se obtiene
(ctj2 — 0
^ 2
+ cr2 ~) ^ a Y
[(9.56)2 - (9 .5 6 )(-2 8 .6 6 ) - (-2 S .6 6 )2] ¿ (36)2
1187 < 1296
Si se usa esta teoría no h abrá falla.
P ro b le m as
•
551
PROBLEMAS
10-63. Un material se somete a esfuerzo plano. Exprese
la teoría de energía de distorsión, para la falla, en térm i­
nos de <7V, (Ty y Tyy.
*10-64. Un material se somete a esfuerzo plano. Exprese
la teoría de energía de distorsión, para la falla, en térm i­
nos de cr„ cry y rxy. Suponga que los esfuerzos principales
tienen distintos signos algebraicos.
10-65. La placa es de cobre duro, con fluencia a cry =
105 klb/pulg2. Con la teoría del esfuerzo cortante máximo
determine el esfuerzo de tensión o\ que se puede aplicar
a la placa, si también se aplica un esfuerzo de tensión crv =
0.5<rv.
10-66. Resuelva el problem a 10-65 usando la teoría de la
energía máxima de distorsión.
10-71. El esfuerzo de fluencia para un m aterial plástico
es oy = 110 MPa. Si este material se somete a esfuerzo pla­
no y se presenta falla elástica cuando un esfuerzo princi­
pal es 120 MPa, ¿cuál es la magnitud mínima del otro es­
fuerzo principal? Use la teoría de la energía de distorsión
máxima.
*10-72. Resuelva el problema 10-71 usando la teoría del
esfuerzo cortante máximo. Los dos esfuerzos principales
tienen el mismo signo.
10-73. La figura muestra el estado de esfuerzo plano en
un punto crítico de un soporte de acero para máquina. Si
el esfuerzo de fluencia del acero es a Y = 36 klb/pulg2, de­
termine si hay fluencia, usando la teoría de la energía de
distorsión máxima.
10-74. Resuelva el problem a 10-73 con la teoría del es­
fuerzo cortante máximo.
0-,. = 0.5o-,
12 klb/pulg2
'
*"18 klb/pulg2
20 klb/pulg2
Probs. 10-65/66
P robs. 10-73/74
10-67. El esfuerzo cortante de una aleación de zirconiomagnesio es oy = 15.3 klb/pulg2. Si una parte de máquina
es de este material y tiene un punto crítico que se somete
a esfuerzos principales
y a 2 = -0.5o-! en el plano,
determ ine la m agnitud de cr\ que causa la fluencia, de
acuerdo con la teoría del esfuerzo cortante máximo.
*10-68. Resuelva el problema 10-67 usando la teoría de
energía de distorsión máxima.
10-69. Si un eje es de un m aterial para el que a Y =
50 klb/pulg2. determ ine el esfuerzo máximo cortante de
torsión que se requiere para causar la fluencia, usando la
teoría de la energía máxima de distorsión.
10-70. Resuelva el problem a 10-69 con la teoría del es­
fuerzo cortante máximo.
10-75. En un eje de transmisión macizo se usa aleación
de aluminio 6061-T6. y transm ite 40 hp a 2400 rpm. Con­
siderando un factor de seguridad de 2 con respecto a la
fluencia, determ ine el eje de diám etro mínimo que se pue­
de seleccionar, con base en la teoría del esfuerzo cortante
máximo.
*10-76. Resuelva el problem a 10-75 con la teoría de la
energía de distorsión máxima.
10-77. Se va a usar una aleación de aluminio para un eje
motriz tal que transm ita 25 hp a 1500 rpm. Considerando
un factor de seguridad de 2.5 con respecto a la fluencia,
determine el mínimo diámetro del eje que se pueda selec­
cionar con base en la teoría de la energía de distorsión má­
xima. cry = 3.5 klb/pulg2.
552
•
CAPÍTULO 10 Transformación de deformación unitaria
10-78. Una barra redonda es de acero A-36. Si la barra
se somete a un par de torsión de 16 klb • pulg, y a un mo­
m ento de flexión de 20 klb • pulg, determ ine el diámetro
necesario de la misma, de acuerdo con la teoría de la ener­
gía de distorsión máxima. Use un factor de seguridad de 2
con respecto a la fluencia.
10-82. La figura m uestra el estado de esfuerzo que actúa
en un punto crítico de un elemento de máquina. D eterm i­
ne el esfuerzo de fluencia mínimo para un acero que se
pueda seleccionar para fabricar la parte, con base en la teo­
ría del esfuerzo cortante máximo.
10-79. Resuelva el problema 10-78 usando la teoría del
esfuerzo cortante máximo.
*10-80. El hierro colado, cuando se prueba en tensión y
en compresión, tiene resistencia última (erÚIt), = 280 MPa,
y (o'üiJc = 420 MPa, respectivamente. También, cuando se
somete a torsión pura, puede sostener un esfuerzo cortan­
te último de t ü1, = 168 MPa. Trace los círculos de M ohr
para cada caso y determine la envolvente de falla. Si una
parte hecha con ese material se somete al estado de esfuer­
zo plano de la figura, determ ine si falla de acuerdo con el
criterio de falla de Mohr.
10 klb/pulg2
4 klb/pulg2
------► 8 klb/pulg2
P ro b . 10-82
10-83. El esfuerzo de fluencia de una aleación de uranio
es oy = 160 MPa. Si se fabrica una parte de máquina con
este material, y un punto crítico de la misma se somete a
esfuerzo plano tal que los esfuerzos principales sean cri y
<j2 = 0.250-,. determ ine la-m agnitud de cr, que cause la
fluencia, de acuerdo con la teoría de la energía de distor­
sión máxima.
120 MPa
*10-84. Resuelva el problema 10-83 usando la teoría del
esfuerzo corlante máximo.
P ro b . 10-80
10-81. Los esfuerzos en el plano principal que actúan so­
bre un elemento diferencial se ven en la figura. Si el m a­
terial es acero de máquina con esfuerzo de fluencia crY =
700 MPa, determine el factor de seguridad con respecto a
la fluencia, si se considera la teoría del esfuerzo cortante
máximo.
50 MPa
10-85. Una aleación de aluminio se va a usar para un eje
de transmisión macizo que transm ite 30 hp a 1200 rpm.
Considerando un factor de seguridad de 2.5 con respecto
a la fluencia,determine el eje con diám etro mínimo que se
puede seleccionar, con base en la teoría del esfuerzo cor­
tante máximo, a y = 10 klb/pulg2.
10-86. El elemento está bajo los esfuerzos indicados en
la figura. Si crY = 36 klb/pulg2, determ ine el factor de se­
guridad para la carga, considerando la teoría del esfuerzo
cortante máximo.
10-87. Resuelva el problem a 10-86 con la teoría de la
energía de distorsión máxima.
12 klb/pulg2
80 MPa
4 klb/pulg2
8 klb/pulg2
Prob. 10-81
Probs. 10-86/87
P ro b lem a s
•
553
*10-88. Si un eje macizo de diámetro d se somete a un par
de torsión T y a un momento M, dem ostrar que, de acuer­
do con la teoría del esfuerzo cortante máximo, el esfuerzo
cortante máximo admisible es radm = (16/jk/3) V M 2 + T1.
Suponga que los esfuerzos principales tienen signo alge­
braico contrario.
10-94. El cilindro de acero inoxidable 304 tiene un diá­
metro interior de 4 pulg, y un espesor de pared de 0.1 pulg.
Si se somete a una presión interna p = 80 Ib/pulg2. una carga
axial de 500 Ib y un m om ento de torsión de 70 Ib • pie,
determ ine si hay fluencia, de acuerdo con la teoría de la
energía de distorsión máxima.
10-89. Deduzca una ecuación para determ inar un par de
torsión equivalente Te, que cuando se aplica sólo a una ba­
rra redonda maciza causa la misma energía de distorsión
que la combinación de un momento de flexión M y un mo­
mento de torsión T.
10-95. El cilindro de acero inoxidable 304 tiene un diá­
metro interior de 4 pulg, y un espesor de pared de 0.1 pulg.
Si se somete a una presión interna p = 80 lb/pulg2. una carga
axial de 500 Ib y un m om ento de torsión de 70 Ib • pie,
determ ine si hay fluencia, de acuerdo con la teoría del
esfuerzo cortante máximo.
10-90. Deduzca una ecuación para determ inar un m o­
mento de flexión equivalente, M e, que si se aplica sólo a
una barra redonda maciza, causa el mismo esfuerzo cor­
lante máximo que la combinación de un momento aplica­
do M y un par de torsión T. Suponga que los esfuerzos prin­
cipales tienen signos algebraicos contrarios.
70 Ib-pie
500 Ib
5001b
70 lb-pie
10-91. Deduzca una ecuación para determ inar un mo­
mento de flexión equivalente M e, que si se aplica sólo a
una barra redonda maciza, produce la misma energía de
distorsión que la combinación de un momento de flexión
M y un momento de torsión T.
*■10-92. Si las cargas internas en una sección crítica de
un eje motriz de acero, en un barco, vienen dadas por un
par de torsión de 2300 Ib • pie. un momento de flexión de
1500 Ib • pie y un empuje axial de 2500 Ib y considerando
que la fluencia para tensión y co rtan te es Ty = 100
klb/pulg2 y Ty = 50 klb/pulg2. respectivamente, calcule el
diámetro necesario del eje, aplicando la teoría del esfuer­
zo cortante máximo.
P ro b s. 10-94/95
*10-96. El cilindro corto de concreto, de 50 mm de diá­
metro, se somete a un par de 500 N • M y a una fuerza de
compresión axial de 2 kN. Determ ine si falla de acuerdo
con la teoría del esfuerzo normal máximo. El esfuerzo úl­
timo del concreto es o-ü|, = 28 MPa.
2 kN
■ 10-93. Si las cargas internas en una sección crítica del
eje motriz de acero en un barco vienen dadas por un par
de torsión de 2300 Ib • pie, y un m om ento de flexión de
1500 Ib • pie, y un empuje axial de 2500 Ib. Considerando
que los puntos de fluencia para tensión y cortante son oy
- 100klb/pulg2y xy = 50 klb/pulg2, respectivamente, calcu­
le el diám etro n