1 2 3 4 5 Año de la Un iversali za ción de la Salud ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA CARRERA PROFESIONAL DE CIENCIAS NATURALES Y AMBIENTALES Cátedra: CÁLCULO Docente: Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Ciclo: 2020 – I Semestre: III 6 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO UNIDAD I: Límites, continuidad y derivada de una función CAPACIDAD Conoce las bases matemáticas del cálculo geométrico y analítico del límites de una función, así como del análisis de continuidad y cálculo diferencial. INDICADOR DE DESEMPEÑO Determina el límite de una función de forma gráfica y analítica. 7 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Covid – 19 Una función logística describe de forma adecuada lo que realmente ocurre con seres vivos, poblaciones, desintegración de sustancias radiactivas, entre otros. La propagación del Covid-19 en el Perú puede ajustarse a una curva logística con los datos reales existentes. Más allá de la mera representación como una función y su respectiva gráfica, se puede realizar un análisis exhaustivo de mucha relevancia, por ejemplo para poder estimar cuál es el máximo número de infectados que puede tener el país o cada región en un momento dado, también se puede observar qué región está teniendo (o ha tenido) la mejor estrategia para hacer frente a este 𝑨 𝑷= 𝟏 + 𝑩𝒆−𝒌∙𝒕 virus. Ello sirve para la toma decisiones importantes a nivel 𝐴, 𝐵 y 𝑘 son constantes político, familiar, social, entre otros. 8 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Prerrequisitos • Productos notables. • Factorización de polinomios en ℚ. • Racionalización. • Ecuaciones exponenciales. • Ecuaciones logarítmicas. • Funciones. 9 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Introducción al Límite de una Función • D’ Alembert → Idea inicial e informal del concepto de límite. • Cauchy → Descripción pedagógica. • Heine → Definición formal del límite de una función. Ejercicio Sea la función ℎ, cuya regla de correspondencia está dada por ℎ 𝑡 = 96 2+94𝑒 −0.24𝑡 ; esta función expresa la altura (en 𝑚) de cierta especie de árbol, luego de 𝑡 años de haber iniciado un estudio. Fácilmente se podrá responder a las preguntas: a) ¿Qué altura tenía el árbol al inicio del estudio? b) ¿Qué altura aproximada tendrá dicho árbol a los 6 años? c) Si el árbol tiene 23 𝑚, ¿qué tiempo aproximado ha transcurrido desde el inicio del estudio? 10 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Introducción al Límite de una Función 96 ℎ 𝑡 = 2 + 94𝑒 −0.24𝑡 a) ¿Qué altura tenía el árbol al inicio del estudio? ℎ 0 =1𝑚 b) ¿Qué altura aproximada tendrá dicho árbol a los 6 años? ℎ 6 = 3.96 𝑚 c) Si el árbol tiene 23 𝑚, ¿qué tiempo aproximado ha transcurrido desde el inicio del estudio? Han transcurrido 15.7 años, ya que ℎ 15.7 = 23 𝑚 11 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Idea del Límite de una Función Con la misma regla de correspondencia ℎ 𝑡 = a) 96 2+94𝑒 −0.24𝑡 . Ahora responda a las siguientes interrogantes: Sin evaluar la función en 𝑡 = 19, ¿A qué altura se acerca el árbol cerca a los 19 años del inicio del estudio? b) ¿Qué altura como máximo alcanzará el árbol? Para el ítem (a) Para el ítem (b) 𝑡 ℎ(𝑡) 𝑡 ℎ(𝑡) 𝑡 ℎ(𝑡) 18.5 30.8799 19.5 33.4235 30 46.3728 18.8 31.6645 19.2 32.6826 40 47.8477 18.9 31.9221 19.1 32.4312 50 47.9861 18.99 32.1522 19.01 32.2031 60 47.9987 18.999 32.1751 19.001 32.1802 70 47.9999 18.9999 32.1774 19.0001 32.1779 80 47.9999 Se concluye que: lim ℎ 𝑡 = 32.1777 𝑡→19 ∧ lim ℎ 𝑡 = 48 𝑡→∞ 12 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Límite de una Función DEFINICIÓN DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN El límite de 𝑓(𝑥), conforme 𝑥 se aproxima a 𝑎, es 𝐿. Esto se escribe como: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑎 Si esta proposición es cierta, se cumplirá que: ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 / 𝑥 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 Interpretación Geométrica El límite 𝐿 de una función 𝑓 es el valor (número) al cual se aproxima la variable dependiente 𝑓(𝑥) , cuando la variable independiente 𝑥 se aproxima a un valor dado 𝑎. 𝛿 = 𝑚í𝑛 𝛿1 ; 𝛿2 13 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Ejercicio A continuación se muestra la gráfica de la función 𝑓 de variable 𝑥. Así, entonces: lim 𝑓(𝑥) = 𝟐 𝟏𝟎 e) lim 𝑓(𝑥) = 𝑥→4 𝟑 lim 𝑓(𝑥) = 𝟒 f) lim 𝑓(𝑥) = 𝟑 lim 𝑓(𝑥) = no existe g) 𝑥→2 lim 𝑓(𝑥) = 𝟎 lim 𝑓(𝑥) = no existe h) 𝑥→5 a) 𝑥→−5 b) 𝑥→−3 c) 𝑥→−2 d) 𝑥→−7 lim 𝑓(𝑥) = no existe 𝑥→0 Nota: • Observe que 𝑓(−3) no existe, pero la función si tiene límite en ese punto. • Observe que 𝑓(2) existe y es igual a 5, pero el límite en dicho punto no existe. 14 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Límites Laterales LÍMITE POR LA DERECHA: A partir de la gráfica del ejemplo anterior. Se da cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎, a partir de valores mayores a 𝑎. lim 𝑓(𝑥) = 𝐿1 𝑥→𝑎+ LÍMITE POR LA IZQUIERDA: Se da cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎, a partir de valores menores a 𝑎. lim 𝑓(𝑥) = 𝐿2 𝑥→𝑎− Se tendrá: Nota: a) Tenga en cuenta la importancia de la notación con los signos “+” y “−” en el superíndice de 𝑎. b) lim 𝑓(𝑥) = 𝟐 d) lim 𝑓(𝑥) = 𝟏 e) 𝑥→0+ 𝑥→0− lim 𝑓(𝑥) = no existe c) 𝑥→0 lim 𝑓(𝑥) = 𝟓 𝑥→2− lim 𝑓(𝑥) = 𝟐 𝑥→2+ lim 𝑓(𝑥) = no existe f) 𝑥→2 15 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Límites Laterales – Teoremas sobre Límites Teorema: El lim 𝑓(𝑥) existe y es 𝐿, si y sólo si lim+ 𝑓(𝑥) y lim− 𝑓(𝑥) existen y son iguales a 𝐿. 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 TEOREMAS SOBRE LÍMITES lim (𝑐) = 𝒄 01 𝑥→𝑎 Lím. de una función constante lim (𝑚𝑥 + 𝑏) = 𝒎𝒂 + 𝒃 02 𝑥→𝑎 Lím. de una función lineal lim 𝑥 = 𝒂 03 𝑥→𝑎 Lím. de la función identidad lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 y lim 𝑔 𝑥 = 𝑴, entonces lim 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 04 Si 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 y lim 𝑔 𝑥 = 𝑴, entonces lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 05 Si 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 y 𝑛 ∈ ℤ+ , entonces lim 𝑓 𝑥 06 Si 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝑛 = 𝑳𝒏 = 𝑳 + 𝑴 Lím. de una suma y diferencia =𝑳∙𝑴 Lím. del funciones producto de 2 Lím. de la n-ésima potencia 16 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Teoremas sobre Límites 𝑓 𝑥 𝑥→𝑎 𝑥 07 Si lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 y lim 𝑔 𝑥 = 𝑴, entonces lim 𝑔 𝑥→𝑎 08 𝑥→𝑎 Si lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 y 𝑛 ∈ ℤ+ , entonces lim 𝑥→𝑎 𝑛 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = = 𝒏 𝑳 𝑴 , si 𝑀 ≠ 0 𝑳 Lím. del cociente de 2 funciones Lím. de la raíz n-ésima de una función (si 𝑛 es par, 𝐿 > 0) lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 si y sólo si lim [𝑓 𝑥 − 𝑳] = 0 09 Si 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 lim 𝑓 𝑥 = 𝑳 si y sólo si lim 𝑓 𝑡 + 𝑎 = 𝑳 10 Si 𝑥→𝑎 𝑡→0 Ejemplos: A partir de los teoremas mostrados, se tendrán los siguientes resultados: a) b) lim (3𝑥 + 11) = 3 −2 + 11 = 𝟓 → T02 𝑥→−2 5 5 lim (𝑥 + 8) = lim 𝑥 + lim 8 = 𝑥→−1 𝑥→−1 𝑥→−1 4𝑥 3 3 lim lim 4 ∙ lim 4𝑥 𝑥→2 𝑥→2 𝑥→2 c) lim = = 𝑥→2 𝑥 + 2 lim (𝑥 + 2) 2+2 lim 𝑥 𝑥→−1 𝑥3 d) lim 𝑥→4 𝑥 𝑥 3 − = lim 𝑥 − lim = 𝑥→4 𝑥→4 2 2 + 8 = −1 4 ∙ lim 𝑥 𝑥→2 = 4 𝑥→2 𝑥3 5 lim 𝑥→4 𝑥3 4 − = 2 5 +8=𝟕 → T04, T06, T01, T03 =𝟖 → T07, T05, T02, T01, T06, T03 3 = 23 lim 𝑥 𝑥→4 3 −2= 43 − 2 = 𝟔 → T04, T08, T02, T06, T03 17 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Formas Indeterminadas En el proceso de calcular el límite de una función, aparecen expresiones como: 0 0 ∞−∞ 00 ∞0 ∞ 1 0∙∞ ∞ ∞ ∞∞ Todas estas expresiones se denominan expresiones indeterminadas. A continuación, veremos como se realiza el cálculo analítico del límite de una función, cuando se presenta la forma indeterminada 𝟎 𝟎 18 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Ejercicios Resueltos 9 − 𝑥2 1. Con el uso de los teoremas, antes mostrados, calcule: lim 𝑥→−3 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 • Al utilizar el T06, se tendrá: lim 9 − 𝑥 2 𝑥→−3 lim 𝑥 2 + 𝑥→−3 8𝑥 + 15 • Con los Teoremas correspondientes y los pasos aprendidos, se tendrá: 9 − −3 2 0 = −3 2 + 8 −3 + 15 0 • Se observa una de las formas indeterminadas (cero sobre cero). En este caso, para obtener el valor del límite, −(𝑥 − 3)(𝑥 + 3) 9 − 𝑥2 se procede de la siguiente manera: = lim lim 𝑥→−3 (𝑥 + 5)(𝑥 + 3) 𝑥→−3 𝑥 2 + 8𝑥 + 15 −(𝑥 − 3) = lim 𝑥→−3 𝑥 + 5 −(−3 − 3) = −3 + 5 =𝟑 19 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Ejercicios Resueltos 2. Calcule: lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥+1−2 • Al realizar una evaluación rápida, se tiene la forma indeterminada: • Al multiplicar por el conjugado del denominador: lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥+1−2 = lim 𝑥→1 ( 0 0 (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1 + 2) 𝑥 + 1 − 2)( 𝑥 + 1 + 2) (𝑥 − 1)( 𝑥 + 1 + 2) = lim 𝑥→1 𝑥−1 Por diferencia de cuadrados: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏 2 = lim ( 𝑥 + 1 + 2) 𝑥→1 = ( 1 + 1 + 2) = 𝟐+𝟐 20 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Metacognición 1. ¿A qué se entiende como límite de una función? 2. Respecto al límite de una función, ¿Es un valor numérico o puede ser cualquier otra expresión matemática? 3. Para realizar el cálculo del límite de una función 𝑓, cuando 𝑥 tiende a 𝑎, ¿la función 𝑓 debe estar definida en 𝑎? 4. ¿Siempre son iguales lim 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑎)? 𝑥→𝑎 5. Si lim 𝑓(𝑥) existe y 𝑓(𝑎) está definida, ¿El resultado de 𝑓 𝑎 − lim 𝑓(𝑥) será 0? 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 * Luego de resolver los ejercicios del manual de acompañamiento del curso, ¿qué actividades adicionales debe realizar para mejorar sus habilidades en la asignatura. 21 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Video Expositivo Cada estudiante debe enviar la resolución de dos ejercicios que corresponden al tópico de la semana. 1ro. Un ejercicio del manual de clase sobre el tema desarrollado. 2do. Un ejercicio propuesto de algún libro propuesto en las referencias del sílabo u otro texto de su preferencia. La resolución debe ser realizada de forma individual en un video en el que se muestre al inicio solo el enunciado del ejercicio y la referencia del libro utilizado (físico o virtual), de modo que el estudiante debe explicar su procedimiento a medida que lo va realizando (en vivo e indicando los Teoremas o propiedades que está utilizando), además se debe visualizar el rostro del expositor. Fecha de entrega máxima: domingo 10 de mayo. Los criterios a calificar son los siguientes: 1) Presentación formal del expositor y en la fecha prevista. De 0 a 4 puntos 2) Claridad de la explicación. De 0 a 4 puntos 3) Nitidez de los símbolos matemáticos en el video. De 0 a 4 puntos 4) Representación matemática en el procedimiento. De 0 a 4 puntos 5) Relación con un contexto cotidiano. De 0 a 4 puntos 22 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Trabajo escrito asignado Cada estudiante debe realizar en un cuaderno o en hojas A-4 (a mano) lo siguiente: 1ro. Un organizador del conocimiento sobre la parte teórica del tema desarrollado. 2do. La resolución de 5 ejercicios de distinto tipo del manual del curso del tema desarrollado en la semana. Las fotografías (lo más nítidas posibles) con nombre del estudiante (con lapicero) en la parte superior de cada hoja deben ser enviadas al correo del docente o al WhatsApp al término de cada semana. No se revisarán trabajos que muestren el uso de corrector. Fecha de entrega máxima: 10 de mayo. Los criterios a calificar son los siguientes: 1) El organizador debe presentar como mínimo la teoría mostrada en la diapositiva. De 0 a 4 puntos 2) El organizador debe estar realizado al menos con 2 diferentes tipos de lapicero. De 0 a 4 puntos 3) Los ejercicios desarrollados deben ser diferentes a los del video expositivo. De 0 a 4 puntos 4) La nitidez de los símbolos matemáticos en las fotografías. De 0 a 4 puntos 5) El uso correcto de los símbolos matemáticos. De 0 a 4 puntos 23 Mg. Jimmi DIAZ SOLANO Referencias Bibliográficas Kong, M. (2001). Cálculo diferencial. Lima – Perú: Fondo editorial Pontificia Universidad Católica. Larson, R. y Edward, B. (2011). Cálculo. 9na ed. México D.F., México: McGraw Hill. Leithold, L. (1999). El Cálculo. 7ma ed. Mexico, Oxford. Stewart, J. (1994). Cálculo. México D.F., México: Iberoamericana. www.//youtu.be/fEtKJPrkRfA 24
