Universidad Simón Bolívar
TF6332 – Procesos de Separación (Postgrado)
TEMA 2
Cascadas: Procesos de Separación de
múltiples etapas
Parte III: Grados de libertad y especificaciones para
cascadas a contracorriente
Carlos A. Castillo
Octubre de 2006
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD
La regla de las fases de Gibbs
La descripción de un sistema de una etapa en equilibrio
físico involucra variables intensivas y extensivas. El
número de variables independientes es la varianza o
número de grados de libertad F del sistema.
Si C es el número de componentes, y P el número de fases
en equilibrio, el número de variables intensivas es:
V = (CP + 2)
Ya que CP es el número total de fracciones molares para
los C componentes distribuidos en P fases. El número 2 se
refiere a la presión y la temperatura.
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#2
1
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.)
El número de ecuaciones que relacionan las variables
intensivas es
E = P + C(P – 1)
El primer término P refiere al requerimiento de que la
suma de las fracciones molares en cada fase debe sumar
1; y el segundo término C(P-1) al número de ecuaciones
para K (coeficiente de partición).
Por tanto, los grados de libertad (el número de variables
intensivas, V, menos el número de ecuaciones, E) es:
F = V – E = (CP+2) – [P + C(P – 1)]= C – P + 2
Cuando se especifican F variables intensivas, las restantes
P+C(P–1) variables se determinan de las P+C(P–1)
ecuaciones.
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#3
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.)
Por ejemplo, para el caso de equilibrio líquido-vapor
(P=2):
yi
Ecuaciones independientes:
C
i
=1
∑x
i
=1
Ki =
yi
xi
∑y
T, P
i =1
C
i =1
xi
para i = 1 a C
Si se tienen tres componentes (C=3), la ecuación da:
(F=3-2-2): F=3 grados de libertad. Las variables
intensivas son: T, P, x1, x2, x3, y1, y2, y3. Si se especifica T,
P y una fracción molar, se pueden calcular las fracciones
molares restantes.
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#4
2
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.)
La regla de las fases es limitada porque no maneja las
corrientes enviadas a la etapa de equilibrio ni las
variables extensivas usadas cuando se diseñan o analizan
operaciones de separación.
La regla se puede extender para aplicaciones de procesos
agregando la alimentación y las variables extensivas, y
ecuaciones independientes adicionales.
V
yi
F
zi
TF
PF
Ecuaciones independientes:
•Las mismas de antes más:
T, P
•Fzi = Vyi + Lxi ,
i=1 a C
•FhF + Q = VhV+ LhL
Q
L
xi
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#5
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD (Cont.)
Las variables adicionales son: zi, TF, PF, F, Q, V, L , un total
de C+6 nuevas variables. En general, para P fases las
variables adicionales son C+P+4.
Las ecuaciones independientes adicionales son los C
balances de masa de los componentes, y el balance de
energía, para un total de C+1 ecuaciones.
Para el análisis general de grados de libertad con C
componentes P fases y una alimentación de una fase, la
ecuación se ajusta con los nuevos valores de E y V:
V = (CP + 2) + (C + P + 4)
E = P + C(P – 1) + (C + 1) = P + CP + 1
F=V–E= C+ 5
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#6
3
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD: UNA ETAPA
Consideremos el caso de una etapa simple no adiabática:
Variables:
Etapa con 4 corrientes
y adición de calor
Lin
Vout
C composiciones para cada corriente
T y P para cada corriente (4x2=8)
Flujo total para cada corriente
Transferencia de calor en la etapa
TOTAL
Etapa
Q
4C
8
4
1
-----------------NV = 4C+13
Ecuaciones:
Lout
Vin
C-1 porque también
contamos el balance global
Igualdad de presiones en salidas
1
Igualdad de temperatura en salidas
1
Equilibrio de fase entre corrientes de salida C
Balance de masa para cada componente
C-1
Balance de masa total
1
Balance de energía
1
Restricción de fracción molar, cada corriente 4
----------------TOTAL
NE = 2C+7
El número de grados de libertad es el número de variables menos el
número de ecuaciones:
ND = (4C + 13) - (2C - 7) = 2C + 6
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#7
ANÁLISIS DE GRADOS DE LIBERTAD: UNA ETAPA (Cont.)
Para este caso se deben especificar 2C+6 variables de
diseño. Son posibles varios conjuntos de datos. Un
conjunto típico incluye la especificación completa de las
corriente de entrada así como la presión y la transferencia
de calor:
Especificación:
Etapa con 4 corrientes
y adición de calor
Lin
Q
Vout
Etapa
Lout
Fracciones molares en Lin
Flujo total Lin
Fracciones molares en Vin
Flujo total Vin
Temperatura y presión de Lin
Temperatura y presión de Vin
Presión de la etapa (PVin o PVout)
Transferencia de calor en la etapa
Vin
TOTAL
C-1
1
C-1
1
2
2
1
1
-----------------ND = 2C+6
La especificación de estas 2C+6 variables permite el
cálculo de las restantes variables.
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#8
4
GRADOS DE LIBERTAD EN CASCADA A CONTRACORRIENTE
Consideremos el caso de una cascada de N etapas a
contracorriente de una sóla sección. Las variables:
Variables totales:
Lin
Qi-1
Vout
Etapa i–1
Lout
Vin
Lin
Qi
Vout
Etapa i
Lout
Vin
Lin
Qi+1
Vout
Etapa i +1
Lout
C composiciones para cada corriente
T y P para cada corriente (4x2=8)
Flujo total para cada corriente
Transferencia de calor en la etapa
Número de etapas
Vin
TOTAL
4C
8
4
1
1
-----------------N(4C+13)+1
Variables redundantes:
C comp. para cada corriente redundante
CNR
T y P para cada corriente redundante
2NR
Flujo total para cada corriente redundante
NR
-----------------TOTAL
NR(C+3)
NV=N(4C-13) – NR(C+3) + 1
Corrientes redundantes:
Por cada par de etapas conectadas, dos corrientes
son redundantes. Como hay N-1 pares de etapas
conectadas, el número de corrientes redundantes es
NR = 2(N – 1). Entonces:
NV = 7N + 2NC + 2C + 7
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#9
GRADOS DE LIBERTAD EN CASCADA A CONTRACORRIENTE
Las ecuaciones (cascada de N etapas a contracorriente de
una sóla sección):
Ecuaciones (para cada etapa):
Lin
Qi-1
Etapa i–1
Lout
Lin
Qi
Vin
Vout
Etapa i
Igualdad de presiones en salidas
1
Igualdad de temperatura en salidas
1
Equilibrio de fase entre corrientes de salida C
Balance de masa para cada componente
C-1
Balance de masa total
1
Balance de energía
1
Restricción de fracción molar, cada corriente 4
---------------TOTAL
N(2C+7)
Ecuaciones redundantes:
Lout
Lin
Qi+1
Vout
Vin
Vout
Balance para cada corriente redundante
NR
NE = N(2C+7) – NR = 5N + 2NC + 2
Etapa i +1
Grados de libertad:
Lout
Vin
ND = NV – NE = (7N + 2NC + 2C + 7) - (5N + 2NC + 2)
ND = 2N + 2C + 5
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#10
5
GRADOS DE LIBERTAD EN CASCADA A CONTRACORRIENTE
Para esta cascada se deben especificar
variables de diseño. Una posibilidad es:
Lin
Lout
Vout
Vin
2N+2C+6
Especificación:
Fracciones molares en Lin
C-1
Flujo total Lin
1
Temperatura y presión de Lin
2
Fracciones molares en Vin
C-1
Flujo total Vin
1
Temperatura y presión de Vin
2
Presión de cada etapa
N
Transferencia de calor en cada etapa
N
Número de etapas
1
-----------------TOTAL
2N+2C+5
La especificación de estas 2N+2C+5 variables permite el
cálculo de las restantes variables.
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#11
CASCADA A CONTRACORRIENTE DE DOS SECCIONES
Para cascadas a contracorriente de dos secciones puede
haber no sólo elementos de etapas (como los
presentados), sino también otros tipos de elementos,
tales
como:
rehervidores
parciales
y
totales,
condensadores parciales y totales, etapas con salidas
laterales, mezcladores y divisores.
Estos diferentes elementos pueden combinarse en
cualquier cascada compleja aplicando las mismas técnicas
que vimos antes, teniendo en cuenta que habrá NR
corrientes redundantes. Esto da para la unidad:
(NV)u = Σ(NV)e - NR(C+3) + 1
(NE)u = Σ (NE)e - NR
(ND)u = (NV)u - (NE)u
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#12
6
ELEMENTOS PARA OPERACIONES DE SEPARACIÓN
Grados de libertad para elementos y unidades de operaciones
de separación (Tabla 5.1 de S-H). Parte 1 (de 2)
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#13
ELEMENTOS PARA OPERACIONES DE SEPARACIÓN (Cont.)
Grados de libertad para elementos y unidades de operaciones
de separación (Tabla 5.1 de S-H). Parte 2 (de 2)
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#14
7
ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS
Especificaciones de variables típicas para caso de diseño.
(Tabla 5.2 de S-H). Parte 1 (de 4)
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#15
ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS (Cont.)
Especificaciones de variables típicas para caso de diseño.
(Tabla 5.2 de S-H). Parte 2 (de 4)
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#16
8
ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS (Cont.)
Especificaciones de variables típicas para caso de diseño.
(Tabla 5.2 de S-H). Parte 3 (de 4)
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#17
ESPECIFICACIONES DE VARIABLES TÍPICAS (Cont.)
Especificaciones de variables típicas para caso de diseño.
(Tabla 5.2 de S-H). Parte 4 (de 4)
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#18
9
EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE
Ejemplo 5.5 (S-H)
Consideremos la columna
de
destilación
de
la
figura.
Tiene
una
alimentación, una salida
lateral, un condensador
total y un rehervidor
parcial.
Se desea determinar el
número de grados de
libertad y un conjunto
razonable
de
especificaciones.
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#19
EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.)
EL separador se ensambla a partir de los elementos y
unidades marcados con círculos punteados, los cuales están
todos en las tablas presentadas antes.
Las variables totales se determinan sumando las variables
(NV)e de cada elemento de la tabla, y luego se le restan las
variables redundantes debidas a flujos de interconexión.
También las ecuaciones redundantes (de suma de
fracciones molares) se restan del valor encontrado para la
suma de los elementos, (NE)e.
En la página siguiente
se muestran las variables y
ecuaciones para los elementos. Luego se calcula el número
de grados de libertad.
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#20
10
EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.)
Elemento
(NV)e
(NE)e
Condensador total
2C+7
C+3
Divisor reflujo
3C+10
2C+5
(N-S) etapas
7(N-S)+2(N-S)C+2C+7
Etapa salida lateral
Etapas (S-1)-F
Etapa alimentación
Etapas (F-1)-1
Rehervidor parcial
5(N-S)+2(N-S)C+2
5C+16
3C+9
7(S-1-F)+2(S-1-F)C+2C+7
5C+16
7(F-2)+2(F-2)C+2C+7
3C+10
5(S-1-F)+2(S-1-F)C+2
2C+8
5(F-2)+2(F-2)C+2
2C+6
------------------------------------------------------------
Σ(NV)e= 7N+2NC+18C+59
Σ(NE)e= 5N+2NC+4C+22
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#21
EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.)
Para la unidad (restando C+3 variables redundantes para
13 corrientes de interconexión), el número de variables
es:
(NV)u =(7N+2NC+18C+59) – 13(C+3) = 7N+2NC+5C+20
Y el número de ecuaciones para la unidad se consigue
restando las 13 ecuaciones redundantes:
(NE)u = (5N+2NC+4C+22) – 13 = 5N+2NC+4C+9
Por lo tanto el número de grados de libertad son:
ND = (7N+2NC+5C+20) – (5N+2NC+4C+9) = 2N+C+11
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#22
11
EJEMPLO DE CASCADA A CONTRACORRIENTE (Cont.)
Un conjunto de posibles especificaciones de variables de diseño es:
Especificación:
Variables
1. Presión en cada etapa, incluyendo en rehervidor)
N
2. Presión salida divisor de reflujo
1
3. Presión a la salida del condensado total
1
4. Transferencia de calor en cada etapa
N-1
5. Transferencia de calor para divisor
1
6. Frac. molar de alimentación y flujo de alimentación C
7. Temperatura de alimentación
1
8. Presión de alimentación
1
9. Temperatura del condensado
1
10. Número total de etapas
1
11. Ubicación de la alimentación
1
12. Ubicación de la salida lateral
1
13. Flujo total de la salida lateral
1
14. Flujo total de destilado
1
15. Flujo del reflujo o relación de reflujo
1
----------TOTAL
ND= 2N+C+11
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#23
RESUMEN
Hoy hemos visto:
Regla de las fases de Gibbs.
Grados de libertad para una etapa.
Grados de libertad para una cascada a contracorriente de una sola sección.
Grados de libertad para cascada a contracorriente
de dos secciones.
Grados de libertad para elementos de operaciones
de separación.
Ejemplo de determinación de grados de libertad
para cascadas a contracorriente con más de una
sección.
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