Números Pseudoaleatorios: Pruebas Estadísticas y Simulación

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
Instituto Tecnológico de Tuxtepec
UNIDAD N° II
NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
E X AMEN: 2 2 D E M A RZO 2 0 19
SISTEMAS Y COMPUTACIÓN: SIMULACIÓN
L.I. MARIA ELENA AGUILAR ESPEJO
I.
S.
C.
ENERO-JUNIO 2019
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NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Y SUS MÉTODOS
Casi todos los métodos de simulación se basan en la posibilidad de generar números
aleatorios con distribución U(0,1). Hasta el gran desarrollo de los ordenadores los
números aleatorios se obtenían por procedimientos experimentales (Loterías, Ruletas,
Etc.) y se almacenaban en tablas. En la actualidad estos números son generados por
computadoras los cuales se denominan “Pseudoaleatorios”, ya que, en realidad, todos
los números de la sucesión que se generan son predecibles a partir del primero,
llamado “Semilla”.
En cualquier caso, todo generador de números Pseudoaleatorios mínimamente
aceptable debe comportarse como si se tratase de una muestra genuina de datos
independientes de una U(0,1).
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NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS Y SUS MÉTODOS
CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
Para utilizar un generador de Números Pseudoaleatorios éste debe satisfacer los
contrastes estadísticos más habituales, tales como:
a)
b)
c)
d)
Producir muestras según una Distribución Uniforme U(0,1)
Pasar los contrastes de aleatoriedad e independencia más habituales.
Que la sucesión generada sea reproducible a partir de la semilla.
Deberán tener una longitud de ciclo tan grande como se desee (Sin
repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión).
e) Generar los valores a alta velocidad.
f) Generarlos a través de un método que ocupe poca memoria.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
PRUEBAS ESTADISTICAS.
Puesto que cualquier variable aleatoria no uniforme, es obtenida a partir de
números uniformes (0, 1), el principal énfasis en pruebas estadísticas es con
respecto al generador de números pseudoaleatorio, ya que cualquier
deficiencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no-uniforme,
se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador.
Uniformidad e Independencia o Aleatoriedad , Características necesarias para
que estos números sean aptos en la simulación.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
PRUEBAS PARA LA UNIFORMIDAD:
Bondad de Ajuste o Ji – Cuadrada: X2
Bondad de Ajuste Kolmogorov-Smirnov
PRUEBAS PARA LA ALEATORIEDAD O INDEPENDENCIA:
Corridas por Arriba y por Abajo del Promedio.
Corridas Ascendentes y Descendentes.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
Uniformidad: Números con la misma probabilidad de aparecer entre el intervalo
(0,1)
PRUEBAS PARA LA UNIFORMIDAD:
BONDAD DE AJUSTE O JI – CUADRADA: X2
Procedimiento:
1. Generar la muestra de números aleatorios de Tamaño N.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
2. Subdividir el intervalo [0 – 1] en K subintervalos.
En este caso, definiremos:
K=5
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3. Para cada subintervalo contar la frecuencia observada F.O. y calcular la
frecuencia esperada F.E. de números aleatorios, la cual se obtiene
dividiendo N/K.
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FO: Que es lo que realmente sucede, es decir: cuantos números se
encuentran en cada subintervalo.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
INTERVALO: 0.00 – 0.20
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
INTERVALO: 0.21 – 0.40
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
INTERVALO: 0.41 – 0.60
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
INTERVALO: 0.61 – 0.80
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
INTERVALO: 0.81 – 1.00
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
2
(
FE

FO
)
i
i
x02  
FEi
i 1
k
4. Calcular el Estadístico de Prueba:
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2
(
FE

FO
)
i
i
x02  
FEi
i 1
k
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5. Comparar el valor calculado Xo2 contra el tabulado de la distribución X2, con
(n-1) grados de libertad y una significancia de alfa=5%. Si Xo2 es menor que
X2(n-1), alfa=5%. Entonces no se puede rechazar la uniformidad de los
números obtenidos.
Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V=1. El valor en tablas de la
distribución Ji cuadrada es:
X24.5% = 9.4877
Como: Xo2 es < que X24.5%
Es decir; 2.00 < 9.4877 entonces no se puede rechazar la uniformidad de los
números.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
BONDAD DE AJUSTE DE KOLMOGOROV-SMIRNOV
Procedimiento:
1. Generar la muestra de
números aleatorios de
Tamaño N.
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2. Ordenar los números en orden
Ascendente.
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3. Calcular la distribución acumulada de los números generados con la
siguiente expresión:
i
FN ( x) 
N
Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector
ordenado obtenido en el paso anterior.
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4.
Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov, con la sig. Exp.:
DN = máx ⃒ FN ( Xi ) - Xi ⃒ para toda Xi
Es decir: El Máximo del Valor Absoluto para todas las RNDi
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DN = Max |RNDi - F(RNDi )|= 0.0930
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5.
Si DN es menor que dalfa,n entonces no se puede rechazar la
hipótesis de que los números generados provienen de una
distribución uniforme. La distribución de DN ha sido tabulada
como una función de n y alfa.
Se compara el valor de DN (calculado) contra el valor en tablas de
la distribución Kolmogorov-Smirnov con n=50 y un nivel de
significancia alfa=5%, el cual es de d50,5% = 0.18841 como 0.0930 es
menor que 0.18841, entonces, no se puede rechazar la uniformidad
de los números pseudoaleatorios.
0.0930 < d50.5% = 0.18841
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Aleatoriedad: Números que no dependen del numero anterior para visualizarse.
PRUEBAS DE INDEPENDENCIA - ALEATORIEDAD:
Para comprobar la independencia de los números de un conjunto xi , es necesario
formular las siguientes hipótesis:
H0: Los números del conjunto xi son Independientes.
H1: Los números del conjunto xi no son Independientes.
CORRIDAS ARRIBA Y ABAJO DEL PROMEDIO
Esta prueba consiste en determinar una secuencia de números binarios de acuerdo
con una comparación entre los números del conjunto xi y 0.5
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Procedimiento:
1. Generar la muestra de números aleatorios de Tamaño N.
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2. Con base en esta muestra, obtener una nueva sucesión binaria, según el
criterio siguiente:
a) Si xi es menor o igual a 0.50 entonces asignarle a xi el símbolo “0”
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b) Si xi es mayor a 0.50 entonces asignarle a xi el símbolo “1”
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( N  1) Instituto Tecnológico de Tuxtepec

E(Tcorridas)
2
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3. Determinar el número de Corridas observadas, Co, y los valores de n0 y n1.
Corridas Observadas (C0) = 21
Números 0’s (n0) = 28
Números 1’s (n1) = 22
n0 + n1 = 50
4. Valor Esperado: c0 
μc0 
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2n0 n1 1

n
2
(2x28x22) 1
  25.14
50
2
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5. Varianza del Número de Corridas (Error Estándar):
 2c0 
2n0n1 (2n0n1  n)
n2 (n  1)
 2c0 
(2 x 28 x22)(2 x28 x22  50)
 11.89
2
(50 )(50  1)
6. Estandarización Estadístico Z0:
Z0 
Z0 
C0  c0
 2c0
21  25.14
 1.2008
11.89
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Nivel de Significancia α=5%
Zα/2 =0.025
El valor de Z0 entra dentro del Intervalo -1.96 ≤ Z0 = -1.2008 ≤ 1.96, por lo tanto no se puede
rechazar la serie de números Pseudoaleatorios, ya que son independientes con un nivel de confianza
del 95%, de acuerdo con lo anterior, este conjunto de números se pueden utilizar en un estudio de
simulación.
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PRUEBAS ESTADÍSTICAS PARA NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS
PRUEBA DE CORRIDAS ARRIBA Y ABAJO
Esta prueba consiste en determinar una secuencia de números
binarios de acuerdo con una comparación entre xi y xi+1
Si
xi < xi+1 = 0
Si no
xi > xi+1 = 1
Se determinará: Las corridas observadas, Valor esperado, la varianza
del número de corridas y el Estadístico Z0.
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PRUEBA DE CORRIDAS ARRIBA Y ABAJO
Procedimiento:
1. Generar la muestra de
números aleatorios de
Tamaño N.
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2. Comparar cada numero generado, tomando en cuenta el criterio anterior:
Si: xi < xi+1 = 0
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Si no: xi > xi+1 = 1
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3. Obtener las Corridas Observadas: CO = 36 y α = 5%
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4. Obtener el Valor Esperado:
c0 
2n  1
3
μc0 
(2x50)  1
 33
3
5. Obtener la Varianza del número de corridas:
 2c0 
16n  29
90
 2c0 
(16 x50)  29
 8.5667
90
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6. Obtener Estadístico Z0
Z0 
C0  c0
 2c0
Z0 
36  33
 1.0250
8.5667
En el presente análisis, se observa que el Z0 menor que el valor de la tabla de la
Normal para:
Zα/2 = Z5%/2 = 1.96
Por lo tanto se concluye que no se puede rechazar que los números del
conjunto xi son independientes, aptos para usarse en simulación.
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