geodesica01VECTORES

Geodésicas-I. La curvatura geodésica
Carlos S. Chinea
GEODÉSICAS-I
La curvatura geodésica
Mostramos en este artículo la idea de curvatura geodésica, de su carácter
de invariante por flexiones y asimismo la curvatura geodésica de las líneas
paramétricas, dejando para una próxima segunda parte el estudio de las
ecuaciones, de las coordenadas geodésicas y el carácter de curvas de
longitud mínima.
Curvatura, curvatura normal, curvatura geodésica
Analizando la curvatura que presenta una curva cualquiera contenida en una
superficie dada, encontramos que existen casos de curvas en las que el vector de
curvatura tiene dirección normal a la superficie que la contiene. Los tres vectores
del triedro de Frenet de una curva en un punto dado P de la misma, son, el vector

unitario tangente, t , que también es tangente a la superficie que contiene a la
curva en dicho punto, el vector de curvatura


k = K.n ,
perpendicular al anterior y
cuyo módulo K es lo que llamamos curvatura, y el vector unitario binormal
perpendicular a ambos.

b,
Si la curva está contenida en una superficie S, sabemos que en cada punto P, de

vector tangente a la curva t , podemos considerar también el triedro natural
formado por

t
(normal a
ya

t
y por los vectores normal

N ).


N a la superficie en P y binormal u

y contenida en S hay, pues,
t
dos triedros en los que coincide el vector tangente t . Uno es el triedro de Frenet



formado por t , el vector unitario n de dirección de la curvatura de C y el vector b
En cada punto P de la curva C con vector tangente
perpendicular a ambos, y el otro triedro es el triedro natural formado también por


a
N a la superficie en P y u perpendicular

ambos. Obviamente, el plano perpendicular al vector tangente común t contiene



siempre a los otros dos vectores de cada triedro ( n y b del triedro de Frenet, y N

y u del triedro natural).

t,
y ahora por los vectores normales
Cuando los vectores de ambos triedros, triedro natural y triedro de Frenet,

coinciden, es decir cuando la curvatura de la curva C tiene la misma dirección n

que la curvatura normal, de dirección N , a la superficie S que la contiene, es
cuando decimos que la curva C es geodésica, o que se trata de una línea geodésica
en la superficie S.
1
Geodésicas-I. La curvatura geodésica
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
Si consideramos el plano perpendicular al vector tangente t , se tiene la siguiente
figura en donde se visualiza la posición relativa de los otros dos vectores unitarios
en el caso de líneas no geodésicas y en el caso de líneas geodésicas en la superficie
S:
En el caso general de líneas no geodésicas los vectores unitarios de dirección de las


curvaturas, n (curva) y N (normal respecto a la superficie) forman un cierto
ángulo no nulo. En la figura se ha representado el complementario θ , esto es, el


ángulo que forman los vectores n y u .
Para estudiar las líneas geodésicas y sus propiedades hemos de tener en cuenta
algunas relaciones matemáticas entre los vectores tangentes, normal, la métrica y
los símbolos de Christoffel, lo cual permitirá probar fácilmente las propiedades
básicas y obtener las ecuaciones de las líneas geodésicas. Estas relaciones
matemáticas previas las mostramos en el Anexo, páginas 23-25 de este trabajo.
2
Geodésicas-I. La curvatura geodésica
Carlos S. Chinea
Si en cada punto P descomponemos el vector de curvatura de la curva C, contenida


en S, en las direcciones N (normal a la superficie) y u (binormal del triedro
natural), se tienen las componentes Kn y kg respectivamente.
En definitiva, se tiene:


 dt
- Vector curvatura de C en cada punto P: k = K .n =
ds
Las proyecciones ortogonales del módulo K de este vector sobre la dirección normal




N a la superficie y sobre el vector u binormal a N y a t son:

⎛ π
⎞    dt
K N = K . cos⎜ − θ ⎟ = N .k = N .
ds
⎝ 2
⎠

   dt
K g = K . cosθ = u.k = u.
ds
- Vector curvatura normal de C respecto a la superficie S:


k n = K n .N
Así, pues, se denomina vector de curvatura normal de una curva C en un punto
P, con respecto a la superficie S que la contiene, a la componente normal respecto
del triedro natural en dicha superficie, o, dicho de otro modo, a la proyección
ortogonal sobre el vector normal N, de la curvatura de C en dicho punto:
Vector de Curvatura normal:
El módulo de este vector es


k n = K n .N

   dt
K N = N .k = N . = K .senθ
ds
- Vector curvatura geodésica de C en la dirección binormal respecto a la superficie
S:


kg = K g .u
Así, pues, se denomina vector de curvatura geodésica de una curva C en un
punto P, con respecto a la superficie S que la contiene, a la componente binormal
respecto del triedro natural en dicha superficie, o, dicho de otro modo, a la
proyección ortogonal sobre el vector binormal u, de la curvatura de C en dicho
punto:
3
Geodésicas-I. La curvatura geodésica
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Vector de Curvatura geodésica:


kg = K g .u
El módulo de este vector es :

   dt
K g = u .k = u . = K . cosθ
ds
Teorema 01: La curvatura geodésica es un invariante por flexiones (isométrico), es
decir, depende únicamente de los coeficientes de la primera forma fundamental y
de sus derivadas.
Demostración:
     
 
k g = k .u = t '.u = t '.( N ∧ t ) = t , t ' , N
[
siendo:

 dt
, (t '=
, s parámetro longitud de arco)
ds
]



 dr ∂r du1 ∂r du 2  '  '
t =
=
+
= r1 .u1 + r2 .u 2
ds ∂u1 ds ∂u 2 ds
 d  '  '






t '=
r1 .u1 + r2 .u 2 = r11u1' + r12 u 2' u1' + r1u1" + r21u1' + r22 u 2' u1' + r2 u 2" =
ds
 2  ' '  2  "  "
= r11u '1 +2r12 u1u 2 + r22 u ' 2 + r1u1 + r2 u 2
(
) (
)
(
)
Entonces:
 
 
 
 
  
   ⎡(r1 ∧ r11 ).u '13 +(r2 ∧ r22 ).u '32 +(2r1 ∧ r12 + r2 ∧ r11 ).u '12 .u ' 2 + ⎤ 
k g = t , t ' , N = (t ∧ t ').N = ⎢
.N =
 
 
 
2
' "
' " ⎥
⎣⎢ + (2r2 ∧ r12 + r1 ∧ r22 ).u '1 .u ' 2 +(r1 ∧ r2 )(u1u 2 − u 2 u1 ) ⎦⎥
  
  
 
  
= (r1 ∧ r11 ).N .u '13 +(r2 ∧ r22 ).N .u '32 +(2r1 ∧ r12 + r2 ∧ r11 ).N .u '12 .u ' 2 +
 
  
  
+ (2r2 ∧ r12 + r1 ∧ r22 ) N .u '12 .u ' 2 +(r1 ∧ r2 ) N (u1' u 2" − u 2' u1" )
[
]
Sustituyendo la relaciones [A.1], [A.2] y [A.3] del Anexo, introducimos los símbolos
de Christoffel de 2ª especie:
1
k g = g .Γ112 .u '13 − g Γ22
.u '32 +(2 g Γ122 ´− g Γ111 ).u '12 .u ' 2 +(−2 g Γ121 + g Γ222 ).u '12 u ' 2 +
+ g (u '1 u 2" − u ' 2 u1" ) =
[
]
1
= Γ112 .u '13 −Γ22
.u '32 +(2Γ122 ´−Γ111 ).u '12 .u ' 2 +(−2Γ121 + Γ222 ).u '12 u ' 2 +(u '1 u 2" − u ' 2 u1" ) . g
[
1
k g = g Γ112 .u '13 −Γ22
.u '32 +(2Γ122 ´−Γ111 ).u '12 .u '2 +(−2Γ121 + Γ222 ).u '12 u '2 +(u '1 u2" − u '2 u1" )
]
[1.1]
4
Geodésicas-I. La curvatura geodésica
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Curvatura geodésica de las líneas paramétricas
Vamos a determinar la curvatura geodésica de aquellas líneas contenidas en la
superficie S, en las que u1 = cte y en las que u 2 = cte .
Sabemos que el cuadrado de la diferencial de la longitud de arco viene dado por
 
 2
 
dr dr
⎛ dr ⎞
ds = dr .dr → . = 1 → ⎜ ⎟ = 1,
ds ds
⎝ ds ⎠


dr  du1  du 2 
= r1 .
+ r2 .
= r1u '1 + r2 u ' 2
ds
ds
ds
2
y
llamando
Se tendrá entonces que
 2



⎛ dr ⎞
1 = ⎜ ⎟ = r1 r1u '12 + r2 r2 u ' 22 +2r1 r2 .u '1 u ' 2 = g11u '12 + g 22 u ' 22 + g12 .u '1 u ' 2
⎝ ds ⎠
para
u'1 = 0 : 1 = g 22 .u ' 22 → u ' 2 =
1
g 22
, y para
[1.2a]
u' 2 = 0 : 1 = g11 .u '12 → u '1 =
Veamos la curvatura geodésica de las curvas en las que es
u1 = cte
1
g11
y en las que
u2 = cte
-
Curvatura geodésica de la curva paramétrica
De la relación [1.1], se tiene, para
u1 = cte :
u1' = 0 :
3
1
22
(k g ) u1 =ct = −Γ
-
3
2
1
22
g .u ' = −Γ
⎛ 1 ⎞
g
1
⎟ = −Γ22
g .⎜
⎜ g ⎟
g 22 g 22
⎝ 22 ⎠
Curvatura geodésica de la curva paramétrica
De la relación [1.1], se tiene, para
u2 = cte :
u2' = 0 :
3
1
11
(k g ) u2 =ct = Γ
3
1
2
11
g .u ' = Γ
⎛ 1 ⎞
g
⎟ = Γ112
g .⎜
⎜ g ⎟
g11 g11
⎝ 11 ⎠
Curvatura geodésica de líneas paramétricas ortogonales:
En este caso los vectores de dirección de ambas líneas,
lo que es es

g12 = r1.r2 = 0 , por lo cual:
1
(k g ) u1 =ct = −Γ22
g
g 22 g 22
1
= −Γ22
g11 g 22
g 22 g 22
1
= −Γ22
g11
g 22
 
r1 y r2 son ortogonales, por
[1.2b]
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Geodésicas-I. La curvatura geodésica
(k g ) u2 =ct = Γ112
g
g11 g11
= Γ112
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g11 g 22
g11 g11
= Γ112
g 22
[1.2c]
g11
teniendo en cuenta las expresiones [A.5] del Anexo (páginas 24 y 25),
introducimos la métrica en sustitución del símbolo de Christoffel:
g11
1
(k g ) u1 =ct = −Γ22
(k g ) u2 =ct = Γ112
g 22
g 22
g11
⎡ 1 ⎛ ∂g 22 ⎞⎤ g11
1
⎜⎜
⎟⎟⎥
= − ⎢−
=
2 g 22 g11
⎣ 2 g11 ⎝ ∂u1 ⎠⎦ g 22
⎡
1
= ⎢−
⎣ 2 g 22
⎛ ∂g11 ⎞⎤ g 22
1
⎜⎜
⎟⎟⎥
=−
g11
2 g11 g 22
⎝ ∂u 2 ⎠⎦ [1.2d]
1 ⎛⎜ ∂ ( Ln g 22 ) ⎞⎟
⎟
∂u1
g11 ⎜⎝
⎠
⎛ ∂g 22 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ =
⎝ ∂u1 ⎠
⎛ ∂g11 ⎞
1
⎜⎜
⎟⎟ = −
g 22
⎝ ∂u 2 ⎠
⎛ ∂ ( Ln g11 ) ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
u
2
⎝
⎠
Si llamamos s1 y s2 a la longitud de arco tomado a lo largo de las curvas
paramétricas (u2 = cte y u1 = cte, respectivamente):
ds12 = g11du12
ds22 = g 22du22
→
ds1 = g11 du1
, y al sustituir, se obtiene finalmente:
ds2 = g 22 du2
1 ⎛⎜ ∂ ( Ln g 22 ) ⎞⎟ ⎛⎜ ∂ ( Ln g 22 ) ⎞⎟
=
⎟ ⎜
⎟
∂u1
∂s1
g 11 ⎜⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ ∂ ( Ln g 11 ) ⎞
1 ⎛⎜ ∂ ( Ln g 11 ) ⎞⎟
⎟
=−
= −⎜
⎟
⎜
⎟
∂u 2
∂
s
g 22 ⎜⎝
2
⎠
⎝
⎠
(k g ) u1 =ct =
(k g ) u2 =ct
[1.2e]
que es la fórmula que nos permite calcular la curvatura geodésica de las líneas
paramétricas cuando éstas son ortogonales.
Cálculo de la curvatura geodésica de una curva C a partir de la curvatura
geodésica de las líneas paramétricas ortogonales:
Sean
 
i1 y i2
los vectores unitarios tangentes a ambas líneas de curvatura
perpendiculares, u2=cte y u1=cte, respectivamente.
siendo, pues:
 r1
i1 = 
r1


 di1
i1 .i2 = 0,
i1 .
= 0,
ds


r2
i2 = 
r2

 di 2
i2 .
=0
ds
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y las curvaturas geodésicas son:

 dt
- De la curva C: k g = u .
(s: parámetro longitud de arco a lo largo de la curva C)
ds
- De las líneas de curvatura ortogonales:

 di1
(k g )u2 =cte = −i2 .
ds
1
 d i2
(k g )u1 =cte = i1 .
ds 2
(s1, s2: parámetro longitud de arco a lo largo de la curva u2=cte y u1=cte,
respectivamente)
Para relacionar estas curvaturas geodésicas veamos la relación entre los vectores
 
i1 y i2 a

vector binormal u
tangentes
las líneas de curvatura y el vector

t
tangente a la curva C y el
del triedro natural:



t = cosθ .i1 + senθ .i2



u = senθ .i1 − cosθ .i2





di1
d i2
di1
d i2
dt
dθ 
dθ 
= cosθ .
− senθ . .i1 + senθ .
+ cosθ .
i2 = cos θ .
+ senθ .
−
ds
ds
ds
ds
ds
ds
ds [1.3a]



 dθ
di1
d i 2  dθ
− (senθ .i1 − cosθ .i2 )
= cosθ .
+ senθ .
− u.
ds
ds
ds
ds
calculando por separado las derivadas:
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Geodésicas-I. La curvatura geodésica



di1 di1 ds1 di1
=
+
ds
ds
ds
ds2

1
di2 di2 ds1 di2
=
+
ds ds1 ds ds 2
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

ds 2 di1 ds1 di1
=
=
cosθ
ds
ds1 ds ds1
ds 2 di2 ds 2 di2
=
=
senθ
ds
ds 2 ds
ds 2
donde se ha hecho:

di1
= 0,
ds 2

di2
= 0,
ds1
Sustituyendo en [4.3a]:
ds1
= cosθ ,
ds
ds 2
= senθ
ds



di1
di2  dθ
dt
2
2
= cos θ .
+ sen θ .
− u.
ds
ds1
ds 2
ds
Finalmente:




 ⎛ 2 di1
 dt
 dθ
2 di2 ⎞
⎟⎟ − u 2 .
k g = u. = (senθ .i1 − cosθ .i2 ).⎜⎜ cos θ .
+ sen .
=
ds
ds1
ds 2 ⎠
ds
⎝




d
i
d
i
dθ
= sen 3θ .i1 . 2 − cos 3 θ .i2 . 1 −
ds 2
ds1 ds
Por tanto:
k g = (k g )u =cte . cos3 θ + (k g )u
1
2 = cte
.sen3θ −
dθ
ds
Bibliografía
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