Límite de una Función: Transición Intuitivo-Formal en Matemáticas

UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
GRUPO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
SEMINARIO I.
RAZONAMIENTO, LENGUAJE Y COMUNICACIÓN DE SABERES MATEMÁTICOS
Jimmy Alexander Uribe Carreño. Licenciado Jorge Enrique Galeano. 27 de Mayo de 2015
Límite de una función en la Educación Matemática: La transición de lo intuitivo hacía
lo formal en la formación inicial de profesores de Matemáticas
El concepto de límite funcional parte del concepto de función y por tanto, utiliza las
mismas representaciones que dicho concepto, además, el concepto de límite funcional hace
las veces de puente entre el conocimiento matemático de la educación básica y media con
el conocimiento matemático de la educación superior en Colombia1. Es con este concepto,
que se suele iniciar a los estudiantes en un trabajo orientado a procesos deductivos y
formales en las clases de matemáticas. Sin embargo, la noción formal de vecindad con la
que se introduce el límite es rápidamente dejada atrás en la mayoría de los cursos, con lo
que vale la pena repensar el papel de la noción formal de vecindad en la enseñanza del
concepto de límite, con el objetivo de propiciar una manera más clara de aproximar a los
estudiantes a la parte formal de los conceptos matemáticos, específicamente en la
formación inicial de profesores de matemáticas.
Es de resaltar, que si bien los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas del
Ministerio de educación nacional (2006) establecen que al finalizar grado undécimo los
estudiantes deberían conocer la noción de derivada, esto en los colegios difícilmente logra
cumplirse, llegando habitualmente, con gran esfuerzo a estudiar tan solo la noción de límite
de manera intuitiva en las últimas semanas del año escolar lo que da constancia de una
brecha entre el currículo propuesto y el ejecutado en el panorama nacional, pero también
configura un punto de partida para el análisis de la introducción de los procesos
demostrativos y formales en las clases de matemáticas.
Duval (1995) llama noesis a los actos cognitivos como la aprehensión conceptual de un
objeto, la discriminación de una diferencia o la comprensión de una inferencia, por su parte
se le llama semiosis a la aprehensión o producción de una representación semiótica, que es,
una producción constituida por el empleo de signos como lo son los enunciados en lenguaje
natural, fórmulas algebraicas, gráficos, figuras geométricas, etc. La importancia del uso de
representaciones en la educación matemática es fundamental, debido a que el acceso a los
objetos matemáticos tan solo puede realizarse mediante sus representaciones, sin embargo,
1
Por puente, se refiere a qué es el primer concepto nuevo que se trabaja en la educación superior con los
estudiantes de carreras afines al conocimiento matemático.
un objeto matemático no debe confundirse con su representación, esto configura lo que
Duval (2002) llama el carácter paradójico del conocimiento matemático.
Con el objetivo de analizar la introducción a la actividad matemática formal en las aulas, se
mencionara a continuación la definición formal de límite de una función y algunas posibles
implicaciones para su enseñanza y aprendizaje desde la propuesta de Duval (1995), en
particular desde las actividades cognitivas fundamentales de la representación ligadas a la
semiosis: la formación, tratamiento y conversión de representaciones semióticas.
La definición analítica de límite en matemáticas es
lim 𝑓(𝑥) = 𝐴 ↔ {∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 ∶ 𝑆𝑖 |𝑥 − 𝑝| < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐴| < 𝜀}
𝑥→𝑝
La extensión2 de la definición puede configurar la primera de las dificultades para la
formación de una representación semiótica de dicha noción, si bien es lo usual en las aulas
pensar que puede ser más sencillo recurrir a una representación gráfica para comprender la
definición de límite, Duval (2002) ha mostrado la necesidad de la formación de diferentes
representaciones de un mismo objeto matemático que puedan ser coordinadas para la
comprensión de quienes se encuentran en proceso de aprendizaje.
Centrando la mirada en la definición analítica, es notable que la formación de la
representación semiótica no presente dificultad puesto que la definición configura, como se
puede concluir desde la concepción del carácter paradójico antes mencionado, en sí misma
una representación, sin embargo, esta definición suele ser confusa para los estudiantes a
quienes se les presenta, debido a la puesta en juego simultanea de conceptos como valor
absoluto, implicaciones y los cuantificadores universal y existencial.
Y aún con la introducción de una segunda representación como puede ser una gráfica que
ilustre la relación, no suele ser clara la equivalencia entre dicha gráfica y el enunciado
analítico, problema que se trabajará un poco más adelante.
Estas dos representaciones, la gráfica y la analítica, son las más utilizadas para el estudio
del concepto de límite en las aulas universitarias, es por ello que lo esperable es que los
tratamientos en dichos sistemas de representación sean privilegiados, sin embargo, la
representación gráfica suele ser utilizada principalmente como ilustrador del concepto de
vecindad por los docentes de cálculo, y pocas veces la utilización de este pasa de allí si bien
la utilización de software de geometría dinámica pueden potenciar los procesos de
visualización en las representaciones gráficas (Hanna, 2000), lo que privilegia a futuro
próximo mayores exploraciones de dicha noción en este sistema de representación.
Con lo que la única representación privilegiada para el estudio de los tratamientos es la
analítica, la cual, cuando se pretende utilizar para realizar demostraciones suele ser confusa
2
Extensión entendida como lo larga de la definición, así como la cantidad de elementos que esta involucra.
para los estudiantes, al no entender qué se debe hacer, es decir, las transformaciones
necesarias para la adecuada solución de los problemas propuestos no son evidentes para un
aprendiz, tanto los tratamientos como las conversiones poseen, como lo muestra Duval,
dificultades propias e inherentes a los conceptos puestos en juego.
Un tratamiento en este sistema de representación requiere un previo manejo adecuado de la
noción de valor absoluto e inecuaciones dado que la escritura utilizada es algebraica, más
esto no garantiza el éxito en la demostración de los límites; una posible fuente para esta
incomprensión es la dificultad que pueden poseer los estudiantes para comprender la forma
analítica de escribir las vecindades mostradas en la representación gráfica comúnmente
mostrada.
El análisis de esta posible fuente de incomprensión lleva a identificar un problema de
conversión, más específicamente un problema de congruencia entre los dos tipos de
representación, para analizar dicho fenómeno, Duval (1995) propone tres criterios: La
posibilidad de una correspondencia “semántica” de los elementos significantes, es decir que
a cada unidad significante simple de una de las representaciones, se puede asociar una
unidad significante elemental. El segundo criterio es la univocidad “semántica” terminal, es
decir que a cada unidad significante elemental de la representación de partida, no le
corresponde más que una única unidad significante elemental en el registro de
representación de llegada. Y el último criterio es relativo al orden del arreglo de las
unidades que componen cada una de las dos representaciones.
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑥→𝑒
↔{
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 ∶
}
𝑆𝑖 |𝑥 − 𝑒| < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀
Figura 1: Análisis de congruencia entre las representaciones analítica y gráfica del concepto de
límite de una función.
Dada la naturaleza de ambas representaciones semióticas, es rápidamente descartado el
tercer criterio, la representación analítica debe ser leída en “orden”, es decir, de izquierda a
derecha y de arriba hacia abajo; por su parte la representación gráfica presenta toda la
información simultáneamente y permite una lectura no orientada de la misma, sin embargo,
a partir de los restantes criterios, puede realizarse un análisis como se sigue:
Es posible relacionar las desigualdades |𝑥 − 𝑒| < 𝛿 y |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 con los respectivos
límites inferiores y superiores que se marcan con los signos 𝛿 y 𝜀 del gráfico
respectivamente, teniendo en cuenta que dicha relación solo es posible mediante la
comprensión del concepto de valor absoluto. Sin embargo, la relación de implicación entre
ambas desigualdades no es apreciable en el gráfico, ya que en este puede llegar a inferirse
erróneamente como una equivalencia en lugar de una implicación; otro problema que se
encuentra es que los elementos de la representación analítica que expresan que tanto 𝜀
como 𝛿 deben ser mayores que cero ha de ser relacionada a las mismas variables visuales a
las que se relacionan los intervalos. Con lo anterior puede verse que ambas
representaciones no son congruentes, y por ende su puesta en coordinación para la
comprensión y aprehensión del concepto matemático de límite de una función dista
bastante de ser inmediata para los estudiantes.
Enfocando la mirada hacía la formación inicial de profesores de matemáticas, Freudenthal
(1981) señaló como lo natural que una vez que una idea ha sido aprendida, el que la
aprendió se olvida de proceso de aprendizaje, él habla de que las habilidades adquiridas por
discernimiento3 se perfeccionan con la práctica, sin embargo, las fuentes de discernimiento
que son obstaculizadas por rutinas adquiridas nunca más se vuelven a abrir. A partir de
estas ideas propone su cuarto problema mayor en educación matemática: ¿Cómo mantener
abiertas las fuentes de discernimiento durante el proceso de entrenamiento?
Las implicaciones de dicho problema para la formación de profesores de matemáticas son
resaltadas por el mismo Freudenthal más adelante en su conferencia, donde afirma “Saber
una parte de matemáticas demasiado bien puede ser un serio impedimento para enseñarla
decentemente en tanto que el profesor es inconsciente de los procesos de aprendizaje que
produjeron su excelencia”. Esta idea vislumbra una dificultad inherente a la enseñanza y el
aprendizaje de la noción de límite: Una vez los estudiantes para profesor han logrado
superar la transición hacía la matemática formal universitaria, empiezan a ignorar dicho
proceso transicional.
Por último, Freudenthal resalta otro gran problema en la formación de profesores, que es la
imposibilidad de observación de procesos de aprendizaje a largo plazo en un medio
ambiente escolar. En la práctica, todo conocimiento requiere no poca cantidad tiempo para
ser interiorizado y aprehendido en totalidad. Con relación al concepto de límite, su
enseñanza es usualmente pasada rápido en los currículos de los cursos de cálculo,
dejándola atrás para pasar rápidamente al concepto de continuidad y posteriormente al de
derivada, en esa transición los estudiantes están obligados a comprender prestamente, y por
lo menos de manera superficial el concepto de límite debido a las exigencias de tiempo y
temáticas de la academia.
3
Sin entrar a discutir acerca de la naturaleza del aprendizaje por discernimiento
En conclusión, la noesis del objeto matemático de límite de una función presenta una serie
de dificultades cognitivas que pasan desde la poca claridad en los tratamientos necesarios
durante la realización de un ejercicio, hasta la no congruencia de dos de sus
representaciones (analítica y gráfica) que son las más comúnmente utilizadas en las aulas.
Y una vez dichas dificultades han sido superadas, los docentes en formación suelen olvidar
su propio proceso de aprendizaje lo que los obliga a estudiar nuevamente y observar dichos
procesos en otros aprendices que aún no las hayan superado. A partir de lo cual pueden
formularse por lo menos dos propuestas para enfocar la formación de profesores: Un
enfoque en el que se enseñe primero lo matemático y luego lo didáctico; o un enfoque en el
que se busque realizar una sinergia entre ambos aspectos.
Referencias
1. Apostol, T. M. (1975). Calculus, Volume 1. One-variable calculus with an introduction to
linear algebra. Wiley, New York.
2. Artigue, M. (1999). Crucial Questions for Contemporary Research in Education. Notices of the
AMS, 46(11).
3. Duval, R. (2002). The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of
mathematics. En Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education. (pp. 1-16).
4. Duval, R. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales (2a. ed.). Peter Lang-Universidad del Valle. Cali. (Original francés publicado en
1995).
5. Freudenthal, H. (1981). Major problems of mathematics education. Educational studies in
mathematics, 12(2), 133-150.
6. Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational studies in
mathematics, 44(1-2), 5-23.
7. Ministerio de Educación Nacional de Colombia (2006). Estándares básicos de competencias en
matemáticas. Bogotá, Cundinamarca.