Hidrostática: Introducción para Ingeniería Civil

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL
ESTADO DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
LICENCIATURA EN INGENIERÍA CIVIL
UNIDAD DE APRENDIZAJE: HIDRÁULICA 1 (créditos: 9)
“Hidrostática: primera parte ”
Por: Laura Ramírez Revueltas
octubre 2015
Guión Explicativo
El presente documento expone un tema fundamental en la
formación del ingeniero civil, siendo parte del curso de
Hidráulica 1, dicho tema proporciona la teoría básica de la
Hidrostática y su aplicación.
El propósito de esta unidad de competencia es que el
alumno sea capaz de aplicar la ecuación fundamental de
hidrostática en la solución de problemas de fluidos en
reposo. Explicar y usar el principio de Pascal en la solución
de problemas.
La aplicación de la fórmula referida se hará por medio de
exposición presencial de ejercicios teórico-prácticos con la
finalidad de que el alumno adquiera los conocimientos
significativos de dicho tema.
Finalmente se comprobará la adquisición de conocimiento,
correspondientes a la primera parte del curso de
hidrostática, mediante ejercicios caseros y exámenes
parciales.
Hidrostática
Es la parte de la Hidráulica que estudia las leyes del
equilibrio de los líquidos en reposo, principalmente del
agua.
Las fuerzas que desarrollan los líquidos en reposo sobre
las paredes que los confinan y en el seno de ellos se
llaman presiones hidrostáticas, y son efecto de su acción
molecular, que es una modalidad de la energía que
contienen.
No existen esfuerzos cortantes en los fluidos en reposo, por
lo que solamente están presentes las fuerzas normales de
presión. Las fuerzas normales producidas por los fluidos en
reposo son a menudo muy importantes. Por ejemplo,
tienden a reventar presas de hormigón, recipientes a presión
y romper las compuertas de las esclusas en los canales.
Evidentemente para diseñar semejantes instalaciones, se
necesita calcular la magnitud y la posición de las fuerzas
normales de presión.
Figura 1. Los empujes hidrostáticos se presentan en depósito
que contengan algún líquido, como es el caso de esta alberca.
La Presa está conformada por una enorme cortina de
concreto y rocas con una altura de 187 metros. Las aguas que
forman su embalse alcanzan un volumen de 6,950 millones
de metros cúbicos que se extiende a lo largo de 50
kilómetros sobre el río Santiago y 20 kilómetros sobre el río
Huaynamota.
La fuerza hidráulica de estos
ríos impulsa tres gigantescas
turbinas con una potencia de
960 megawatts que generan
2,131 kw/h medios anuales,
siendo de las más importantes
del país en cuanto a
producción
de
energía
eléctrica.
Existe
un
Figura 2. Presa Hidroeléctrica de
embarcadero de acceso libre
Aguamilpa (Tepic, México)
desde el cual puede internarse
en sus aguas.
Presa Chicoasen, situada en
Chiapas,
México.
Allí
se
encuentra una enorme planta
hidroeléctrica que usa la fuerza
motriz de agua para la
generación de energía eléctrica.
Su nombre competo es Presa
Manuel
Moreno
Torres
“Chicoasen”, y se sitúa al final
del Parque Nacional Cañón del
Sumidero, con una espectacular
cortina de 262 metros de altura.
Figura 3. Presa hidroeléctrica de
Chicoasen está considerada
dentro de las 10 más grandes del
mundo
La intensidad media de la presión p se define como
la fuerza ejercida sobre una unidad de área.
Si F representa la fuerza de presión normal total
sobre una unidad de área finita A, mientras que dF
representa la fuerza sobre un área infinitesimal dA,
la presión viene dada por
𝑑𝐹
𝑝=
𝑑𝐴
Si la presión es uniforme sobre todo el área, entonces
𝐹
𝑝=
𝐴
En el sistema internacional (SI) la unidad de presión que se
utiliza comúnmente
es
el
pascal (Pa = N/m2).
Anteriormente, en el sistema métrico, se utilizaban los
bares y milibares para medir la presión;
1mbar = lOOPa.
Presión en un punto igual en todas
direcciones
Las únicas fuerzas entre superficies adyacentes son las
fuerzas de presión normales a las superficies. Por tanto,
el valor de la presión en cualquier punto en un fluido en
reposo es igual en todas direcciones.
Esto se puede comprobar
examinando la figura 4, que
representa un elemento muy
pequeño de fluido en reposo
con forma de cuña cuyo
espesor normal al plano del
papel es constante e igual a
dy. Se llamará p a la presión
media en cualquier dirección
en el plano del papel, 
tendrá el significado indicado
en la figura, px y pz serán las
presiones medias en las
direcciones
horizontal
y
vertical.
Figura 4. Elemento de fluido
Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido, con
excepción de aquellas en la dirección y en las dos caras
paralelas al plano del papel, se han representado en la
figura. No es preciso tener en cuenta las fuerzas en la
dirección y porque se cancelan mutuamente. Debido a que
el fluido está en reposo, no están implicadas fuerzas
tangenciales. Como ésta es una condición de equilibrio, la
suma de las componentes de fuerza en el elemento en una
dirección dada debe ser igual a cero.
Escribiendo la ecuación para los componentes en la
dirección x,
𝑝𝑑𝑙𝑑𝑦𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑝𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0
Como
𝑑𝑧 = 𝑑𝑙𝑐𝑜𝑠𝛼
Entonces
𝑝𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑝𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 = 0
Por lo que:
𝑝 = 𝑝𝑥
De la misma manera, sumando las fuerzas en la dirección z
obtenemos
El tercer término es de orden superior a los otros dos
términos por lo que se puede despreciar. Se deduce de esto
que
Se puede demostrar también que
considerando un caso tridimensional. Los resultados son
independientes de , siendo la presión en cualquier punto
de un fluido en reposo igual en todas direcciones.
Presión absoluta y presión manométrica
La presión hidrostática se clasifica en:
Absoluta: es la suma de la presión atmosférica mas
la relativa, la cual se utiliza en investigación.
Relativa: es la presión debida a las capas de líquido
que se encuentran sobre el punto en cuestión; también
se conoce como presión manométrica. En ingeniería se
le llama presión hidrostática.
Presión unitaria y total
Unitaria: cuando su intensidad se refiere a la unidad de
área.
La presión hidrostática unitaria se mide en unidades de
fuerza entre unidades de área (N/m2)
Total: cuando se refiere a toda una superficie y
representa el empuje hidrostático.
La presión hidrostática total o empuje hidrostático se
mide en unidades de fuerza (N).
Presión manométrica
Presión absoluta
Succión (presión
manométrica negativa
Presión absoluta
Presión atmosférica
a nivel del mar
1atm
760 mm de mercurio
10.34 m de agua
101.325 kPa
Cero absoluto
Figura 5. Unidades y escalas para la medición de presiones
Variación de la presión en un fluido en
reposo
Si un fluido está en equilibrio, cada porción del fluido
está en equilibrio. Es decir tanto la fuerza neta como el
momento neto sobre cada elemento del fluido debe ser
cero. Se considera un pequeño elemento de volumen
de fluido sumergido dentro del cuerpo del fluido,
además se propone que este elemento tenga la forma
de un disco delgado y esté a una distancia y arriba de
algún nivel de referencia.
(p+dp)A
pA
Área A
dy
Espesor
dy
(p+dp)A
pA
y
Nivel de referencia
y=0
(dm)g
(dm)g
(a)
(b)
(c)
Figura 6. Elemento de volumen de fluido sumergido dentro
del cuerpo del fluido
El espesor del disco es dy y cada cara tiene un área
A.
La masa de este elemento es:
𝑑𝑚 = 𝜌𝑑∀= 𝜌𝐴𝑑𝑦
Su peso es
𝑑𝑚 𝑔 = 𝜌𝑔𝐴𝑑𝑦
Las fuerzas ejercidas sobre el elemento por el fluido que
lo rodea son perpendiculares a su superficie en cada
punto (fig. 6b).
La fuerza horizontal resultante es cero porque el
elemento no tiene aceleración horizontal. Las fuerzas
horizontales se deben únicamente a la presión del fluido y
por simetría la presión debe ser la misma en todos los
puntos comprendidos en un plano horizontal en y.
El elemento del fluido no estará acelerado en dirección
vertical, de modo que la fuerza vertical resultante sobre él
debe ser cero. En la figura (6c) se muestra un diagrama de
cuerpo libre del elemento de fluido. Las fuerzas verticales
son debidas no sólo a la presión del fluido que lo rodea en
sus caras, sino también al peso del elemento.
Si se toma a p como la presión en la cara inferior y p+dp
como la presión en su cara superior, la fuerza hacia arriba es
pA, y las fuerzas hacia abajo son (p+dp)A y el peso del
elemento (dm)g=gAdy . De aquí que el equilibrio vertical,
𝐹𝑦 = 𝑝𝐴 − 𝑝 + 𝑑𝑝 𝐴 − 𝜌𝑔𝐴𝑑𝑦 = 0
de donde se obtiene
𝑑𝑝
𝑑𝑦
= −𝜌𝑔
(1)
Esta ecuación muestra cómo varía la presión con la
elevación sobre cierto nivel de referencia en un fluido en
equilibrio estático. Al aumentar la elevación (dy positiva), la
presión disminuye (dp negativa); La causa de la variación de
esta presión es el peso por unidad de área de la sección
transversal de las capas del fluido que están entre los
puntos cuya diferencia de presión está siendo medida.
Si p1 es la presión en la elevación y1 y p2 es la presión
en la elevación y2 sobre algún nivel de referencia la
integración de la ecuación 1 resulta
𝑝2
𝑑𝑝
𝑝1
=
𝑦2
−𝜌𝑔𝑑𝑦
𝑦1
O sea
𝑝2 − 𝑝1 =
𝑦2
−𝜌𝑔𝑑𝑦
𝑦1
(2)
En los líquidos que son casi incompresibles,  es
prácticamente constante, y las diferencias de nivel
raramente son tan grandes que haya de considerarse algún
cambio en g. Así, tomando a  y a g como constantes, se
obtiene
𝑝1 − 𝑝2 = −𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )
para un líquido homogéneo.
(3)
Si un líquido tiene una superficie libre, ésta es el nivel
natural desde el cual se miden las distancias (fig. 7). Sea y2
la elevación de la superficie, en cuyo punto la presión p2 que
actúa sobre el fluido es usualmente la ejercida por la
atmósfera de la tierra p0. Se considera que y1 está en
cualquier nivel del fluido, y se representa a la presión de ese
lugar como p. Entonces,
𝑝0 − 𝑝 = −𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1 )
(3)
po
SLA
Nivel de referencia
h = y2 - y1
y2
p
y1
Figura 7. El nivel natural desde el cual se miden las
distancias para calcular las presiones manométricas
es la superficie libre del agua
Pero y2-y1, es la profundidad h bajo la superficie en la cual la
presión es p (fig. 7), de modo que
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
(4)
Esto demuestra claramente que en un líquido la presión
aumenta con la profundidad, pero es la misma en todos los
puntos situados a la misma profundidad. El segundo
término a la derecha de la ecuación (4) da la contribución
en un punto del líquido debida al peso del fluido de altura h
sobre ese punto.
Dispositivos para medición de presiones
hidrostáticas
Se han utilizado varios dispositivos para la medición de las
presiones producidas por un líquido en reposo en base en
la ecuación (4).
Manómetros simples
Dentro de estos se encuentran
el barómetro
 el tubo piezométrico.
 Barómetro
Este es un dispositivo para medir la presión
atmosférica local
Figura 8. Barómetro
La presión atmosférica, ejercida sobre la superficie del
mercurio en el recipiente, la fuerza a elevarse dentro del
tubo hasta alcanzar la columna una altura h que equilibra
la presión atmosférica, expresándose de la siguiente
manera
𝑝𝑎 = 𝛾𝐻𝑔 ℎ
(5)
 Tubo piezométrico
El tubo piezométrico (fig. 9) se utiliza para medir
presiones estáticas moderadas de un líquido que fluye
dentro de una tubería.
Tubo piezométrico
Figura 9. Tubo piezométrico
Manómetros diferenciales
El manómetro diferencial abierto consiste en un tubo
transparente en forma de U, parcialmente lleno de un
líquido pesado (comúnmente mercurio). Uno de sus
extremos conecta de manera perpendicular a la pared
que confina el flujo del recipiente que lo contiene. El otro
extremo puede estar abierto a la atmósfera o bien
conectado con otro punto de la pared, en cuyo caso el
manómetro mide la diferencia de presiones entre los dos
puntos. La diferencia de niveles de la columna del líquido
en el manómetro diferencial indica la diferencia de las
cargas de presión ejercidas sobre los extremos de la
columna.
Figura 10. Manómetro diferencial abierto
Siendo pA la presión manométrica en el punto A del
recipiente, la presión en la sección de contacto B de
los líquidos es:
𝑝𝐵 = 𝑝𝐴 + 𝛾𝑧1
(6)
además
𝑝𝐵 = 𝛾2 𝑧2
(7)
igualando las dos expresiones anteriores
𝑝𝐴 + 𝛾𝑧1 = 𝛾2 𝑧2
entonces
𝑝𝐴 = 𝛾2 𝑧2 − 𝛾𝑧1
(8)
Manómetros cerrados
Los manómetros cerrados son aparatos comerciales
provistos de un sistema mecánico de aguja y carátula
graduada donde se leen directamente las presiones.
Figura 11. manómetros comerciales
EJERCICIOS
1. Despreciando la presión sobre la superficie y la
compresibilidad del agua. ¿Cuál es la presión en KPa a
4Km por debajo de la superficie del océano? El peso
específico del agua del océano bajo condiciones
normales es 10.05 kN/m3.
2. La lectura de un medidor de presión es 63 kN/m2,
estando situado a una profundidad de 4m en el lado
de un depósito industrial que contiene un líquido. La
lectura en otro medidor de presión a una profundidad
de 7.5m es 90.2 kN/m2. Calcule el peso específico y
densidad del líquido
3. Si la presión atmosférica es 860 mbar y un medidor
conectado a un depósito señala una lectura de 370
mm Hg de vacío. ¿Cuál es la presión absoluta dentro
del depósito?
4. Se mide la diferencia de presión entre un tubo de
aceite y uno de agua con un manómetro de doble
fluido, como se muestra en la figura. Para las alturas y
las densidades relativas dadas de los fluidos calcule la
diferencia de presión pB-pA en kPa, en m de agua y en
m de mercurio.
Figura 12. Manómetro diferencial de
mercurio
5. Dos recipientes están conectados a un
manómetro diferencial de mercurio
(s
= 13.56), estando el tubo de conexión lleno de
agua, el recipiente de mayor presión tiene una
elevación 1.5m menor que el otro. La
temperatura es la temperatura ambiente. Si la
lectura de mercurio es 100 mm a) ¿Cuál es la
diferencia de presión en m de agua y en kPa?
B) Si se utilizase tetracloruro de carbono (DR =
1.59) en lugar de mercurio, ¿cuál sería la
lectura del manómetro para la misma
diferencia de presión?
Principio de Pascal
"La presión aplicada a un fluido confinado se transmite
íntegramente a todas las partes del fluido y a las paredes
que lo contienen“
Es decir si se aumenta en un lugar la presión sobre un
fluido en una cantidad p, cualquier otra parte del fluido
experimenta el mismo aumento de presión.
El principio de Pascal es la base de la operación de todos
los mecanismos transmisores de fuerza hidráulica, tales
como los que podrían encontrarse en la maquinaria para
movimiento de tierras o en el sistema de frenos de un
automóvil. Ello permite amplificar una fuerza aplicada
relativamente pequeña para elevar un peso mucho más
grande (como en la plataforma de elevación de
automóviles o en la silla del dentista) y para transmitir
fuerzas a grandes distancias de los alerones que se usan
en los aeroplanos).
Figura 13. Mecanismos que hacen uso
del Principio de Pascal
F
pext
h
P
p
Figura 14. Depósito que confina un líquido y al que se le aplica una fuerza externa
Suponiendo que la presión externa aumenta en una
cantidad ∆p, quizá por haber añadido algo de más peso
sobre el émbolo. Como se está trabajando con un líquido
incompresible su densidad  permanece constante. El
cambio en la presión del fluido que se deduce de la
ecuación (9):
p  pext   gh
(9)
p  pext     gh 
(10)
puesto que el líquido es incompresible, la densidad es
constante, y el segundo término a la derecha de la ecuación
(10) es igual a cero. En este caso se obtiene:
p  pext
(11)
El cambio de presión en cualquier punto del fluido es
sencillamente igual al cambio de la presión externa
aplicada. Este resultado confirma el principio de Pascal y
demuestra que se deduce directamente de la consideración
previa de la presión estática en un fluido.
El principio de Pascal se cumple en todos los casos de
fluidos reales (compresibles), ya sean gases o líquidos.
Empuje Hidrostático; sobre superficies
planas
En la figura 9, LM representa una superficie plana sumergida
que al prolongarse corta a la superficie libre en O bajo un
ángulo . Considerando O como origen y OM como el eje de
las y, la fuerza de la presión dP sobre un área elemental dA
es:
dP  hdA  ysendA
M
M
Figura 15. Empuje hidrostático sobre una superficie plana
La fuerza total de la presión o empuje que obra sobre el
área LM, es entonces:
P  sen  ydA
Si y es la distancia del centro de gravedad de la superficie
a O,
ydA

A
y

y
P  yAsen
y con
h  ysen
𝑃 =(12)𝛾ℎ𝐴
Centro de presión
Es el punto de la superficie sumergida en que actúa la
resultante de la presión. Como la intensidad de la presión
aumenta con la profundidad, el centro de presión se
encuentra debajo del centro de gravedad. La distancia yP,
desde O a la proyección sobre OM del centro de presión,
paralelamente a la superficie libre, se halla partiendo de la
suma de los momentos de las fuerzas elementales,
respecto a dicho eje, como sigue:
Py p   ydP
yP
ydP


(13)
P
La cual, por lo anterior, puede escribirse de la forma
yP 
 sen  y 2 dA
 sen  ydA

2
y
 dA
 ydA
(14)
El numerador de la fracción anterior es el momento de
inercia de la superficie LM respecto al eje perpendicular al
plano del dibujo que pasa por O. Este momento de inercia
es igual a Ak2+Ay2, siendo k el radio de giro de la
superficie. El denominador es igual a Ay. Sustituyendo
estos valores en la ecuación (14) y reduciendo,
𝑘2
𝑦𝑝 = 𝑦 +
𝑦
(15)
Figura 16. Centros de
gravedad,
área
y
radios de giro de las
figuras más usuales
Fuente: Hidráulica
general. Sotelo
Figura 17. Empuje hidrostático sobre superficies planas: vertical y horizontal
Figura 18. Empuje hidrostático absoluta sobre superficie
plana vertical; en el inciso b solo se calcula la presión
hidrostática
Figura 18. Empuje hidrostático absoluta sobre superficie plana inclinada
Figura 19. Cuña o prisma de presiones
Ejercicios
1. Calcule la fuerza que actúa en una tronera de 30cm
de diámetro de un barco si el centro de aquélla se
encuentra 10m por debajo del nivel del agua.
45°
60°
4m
4m
2. Una piscina se llena con 2m de agua. Su fondo es
cuadrado y mide 4m por lado. Dos lados
opuestos son verticales; un extremo está a 45° y
el otro forma un ángulo de 60° con la horizontal.
Calcule la fuerza del agua en: El fondo, el
extremo a 45°, un lado vertical y el extremo a
60°.
3. La parte superior de las compuertas mostradas en la
figura queda a 4m por debajo de la superficie del
agua. Halle la ubicación y magnitud de la fuerza que
actúa en una cara suponiendo una orientación
vertical.
4. La compuerta rectangular mostrada en la figura
es de 3m de ancho. Calcular la fuerza P necesaria
para mantenerla en la posición mostrada
5. Un automóvil pesado se sumergió en un lago por
accidente y quedó sobre sus ruedas. La puerta mide
1.2m de altura y 1m de ancho, y el borde superior de
la misma está 8m por debajo de la superficie libre de
agua. Determine la fuerza hidrostática sobre la
puerta y la ubicación del centro de presión, y
determine si el conductor puede abrir la puerta, si se
considera que una persona puede levantar 100kg
(alrededor de 1kN de peso)
Bibliografía
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México. 2001.
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