Sistema por unidad (p.u) En los sistemas de potencia, se tiene un problema considerable al momento de trabajar con las unidades de medida. Se tienen en algunas zonas solo algunos cientos de voltios, mientras que en otras son cientos de miles. El rango de voltajes y de corrientes que hay en los sistemas de generación, transmisión y distribución son considerablemente grandes. Esto dificulta el análisis de resultados al estudiar un sistema. Un voltaje determinado, ¿es muy pequeño? ¿es muy grande? Un voltaje de, por ejemplo, 115 kV en una planta generadora es una aberración total y es abusivamente grande, pero en una línea de transmisión se considera adecuado. Un voltaje de 480 V en una instalación de baja tensión es algo típico, pero en una línea de transmisión de distribución sería muy bajo. Además de esto, los sistemas interconectados para el transporte de energía eléctrica son trifásicos. Esto implica que hay que tomar en consideración el factor 3 o raíz de 3 según sea el caso. Para una red sencilla o pequeña esto no es difícil de realizar; sin embargo, en un sistema mucho más grande puede volverse complicado tener que trabajar con estos factores. Es por ello que los ingenieros de potencia emplean lo que se conoce como el sistema por unidad o p.u . El sistema por unidad consiste en una normalización de todas las cantidades eléctricas (voltajes, corrientes, potencias e impedancias) de una red. Permite eliminar el problema del manejo de las unidades de medida, así como también el de tener que emplear continuamente los factores 3 y raíz de 3. En esencia, consiste en elegir arbitrariamente un valor de referencia y comparar todos los otros valores con dicha referencia. 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝. 𝑢 = 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑜 𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 Por ejemplo, si en una red eléctrica elijo como voltaje base 100 kV y en una carga se da un voltaje de 10 kV, el voltaje de la carga en por unidad será: 𝑝. 𝑢 = 10𝑘𝑉 = 0.1 𝑝𝑢 100𝑘𝑉 Apreciamos que en el sistema p.u las cantidades son adimensionales. Con frecuencia los valores de impedancia interna de los dispositivos eléctricos como transformadores, generadores y motores se expresan en p.u. Sin embargo, un valor en por unidad no significa nada a menos que se especifique en que base se tiene. Por ejemplo, en una placa de un generador puede tenerse la siguiente información: 13.8 kV X= 0,2 pu 50 MVA Lo que esto significa es que la reactancia interna del generador es de 0,2 pu en la base del mismo, que está especificada por 13.8 kV y 50 MVA. En electricidad hay corrientes, voltajes, potencias e impedancias. Esto implica que todos estos parámetros tendrán valores base. Sin embargo, deben ser coherentes entre sí. Esto Instructor Jean-Fr. Duhé significa que no podemos elegir todos los 4 valores al azar. Lo que se hace para garantizar esto es que se eligen arbitrariamente dos valores base y los otros dos se derivan de los primeros. Es usual que los valores base elegidos arbitrariamente sean los de voltajes y de potencia aparente. Para el caso de sistemas monofásicos, tenemos tanto un voltaje base y una potencia aparente base escogidos arbitrariamente: 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 , 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 Derivamos corriente e impedancia de estos dos valores: 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 )2 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 Si el sistema es trifásico, lo que se hace es similar, pero hay que tomar en cuenta algunos detalles adicionales: - Los voltajes base que se escogen para sistemas trifásicos siempre serán voltajes de línea a línea. La potencia aparente base de un sistema se referirá a la potencia trifásica. Elegimos arbitrariamente un voltaje base y una potencia base y derivamos corriente e impedancia: 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 √3𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑉𝐿𝑁 (𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 )2 = = √3 = 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 √3𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 Ahora que ya se tienen las ecuaciones fundamentales, es oportuno plantearnos una duda. Supongamos que tenemos un sistema de potencia en el cual elegimos una base para el voltaje y para la potencia aparente. Sin embargo, uno de los elementos en nuestro sistema de potencia ya viene con su impedancia indicada en por unidad. Esta impedancia está referenciada a otra base que no es la que hemos elegido. En tal caso NO podemos simplemente tomar el valor p.u de la placa del dispositivo y emplearlo para hacer cálculos en nuestro diagrama. Para poder trabajar con un circuito en p.u, todos los valores deben estar referidos a una misma base. En este caso lo que hay que hacer es cambiar dicho valor de impedancia de la base en la cual está referido a la base que estamos utilizando. Instructor Jean-Fr. Duhé Digamos que tenemos la impedancia Z en una base 1: 𝑍𝑝𝑢 = 𝑍 ∗ 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒1 𝑍𝑝𝑢1 = 𝑍 ∗ 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒1 (𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒1 )2 𝑍𝑝𝑢2 = 𝑍 ∗ 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒2 (𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒2 )2 En una base nueva 2: Entonces: 𝑆 𝑍 ∗ 𝑏𝑎𝑠𝑒1 2 𝑍𝑝𝑢2 (𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒1 ) = 𝑆 𝑍𝑝𝑢1 𝑍 ∗ 𝑏𝑎𝑠𝑒2 2 (𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒2 ) 𝒁𝒑𝒖𝟐 = 𝒁𝒑𝒖𝟏 ∗ (𝑽𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏 )𝟐 𝑺𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐 ∗ (𝑽𝒃𝒂𝒔𝒆𝟐 )𝟐 𝑺𝒃𝒂𝒔𝒆𝟏 La última expresión a veces es denominada la fórmula del cambio de base y sirve para cambiar las bases de una impedancia dada. Ahora bien, en los sistemas de potencia existe un detalle adicional. Uno de los elementos que más comúnmente se emplean en estos sistemas son los transformadores. Los transformadores tienen como función la alteración de los niveles de voltaje en los sistemas. A través de un transformador, el voltaje base NO es el mismo. Estos dispositivos marcan un cambio en los niveles de voltaje base en base a sus relaciones de vueltas o de voltajes. Cada vez que encontremos un transformador en un sistema, dividiremos el sistema en secciones con bases de voltaje diferentes. Algo que los transformadores NO alteran es la potencia en los sistemas; por consiguiente, la base de potencia aparente siempre será común para todo el sistema que se esté analizando. La mejor manera de comprender el uso del sistema por unidad es ver como aplicamos estas expresiones a un sistema real. Observemos el siguiente sistema: Se nos proporciona la siguiente información: - Generador: 13.2 kV Transformador 1: delta-estrella, 13.2kV/132 kV, 5 MVA, X= 10% Transformador 2: estrella-delta, 138kV/69 kV, 10 MVA, X= 8% Impedancia de la línea: 10 + j100 Ω Impedancia de la carga: 300 Ω Instructor Jean-Fr. Duhé Es conveniente identificar los buses del sistema y enumerarlos: Elegimos primeramente la potencia aparente base: 𝑆𝑏𝑎𝑠𝑒 = 10 𝑀𝑉𝐴 Observamos que hay 2 transformadores, por lo cual en el sistema se darán 3 zonas con bases de voltaje distintos: Elegimos en la zona de generación un voltaje base de 13.2 kV. En esta zona, se nos dice que el voltaje terminal del generador es de 13.2 kV, por lo que el voltaje en pu será: 𝑉𝑝𝑢 = 13.2 𝑘𝑉 = 1 𝑝. 𝑢 13.2 𝑘𝑉 En la zona de generación también podemos calcular la reactancia del transformador 1. Como vemos, este transformador está dado en una base diferente a la que nosotros tenemos. En consecuencia, aplicamos la fórmula de transformación de base: 𝑋𝑇1 (13.2𝑘𝑉)2 10 𝑀𝑉𝐴 = 𝑗0.10 ∗ ∗ = 𝑗0.2 𝑝𝑢 (13.2𝑘𝑉)2 5 𝑀𝑉𝐴 En la zona de la línea de transmisión, se da un cambio de base de voltaje por la presencia del transformador 1: 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒−𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 = 13.2 𝑘𝑉 ∗ 132 𝑘𝑉 = 132 𝑘𝑉 13.2 𝑘𝑉 La impedancia base en esta zona será de: 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒 = (132𝑘𝑉)2 = 1742.4 Ω 10 𝑀𝑉𝐴 La impedancia de la línea en pu: 𝑍𝑙𝑖𝑛𝑒𝑝𝑢 = 10 + 𝑗100 = 0.0057 + 𝑗0.0573 1742.4 Instructor Jean-Fr. Duhé El transformador 2 se encuentra en esta zona y también tiene una impedancia pu en otra base, por lo cuál hay que hacer cambio de base: 138 𝑘𝑉 2 10 𝑀𝑉𝐴 𝑋𝑇2 = 𝑗0.08 ∗ ( ) ∗ = 𝑗0.087 132 𝑘𝑉 10 𝑀𝑉𝐴 En la zona de carga, la presencia del transformador 2 cambia nuevamente las bases de voltaje: 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒3 = 132 𝑘𝑉 ∗ 69 𝑘𝑉 = 66 𝑘𝑉 138 𝑘𝑉 La impedancia base en la zona de carga es: 𝑍𝑏𝑎𝑠𝑒3 = (66𝑘𝑉)2 = 435.6 Ω 10 𝑀𝑉𝐴 La impedancia de la carga en pu: 𝑍𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑝𝑢 = 300 = 0.6887 435.6 Confeccionamos ahora nuestro diagrama en sistema por unidad, también conocido como el diagrama de reactancias: Digamos que quiero conocer la magnitud de la corriente que fluye por la carga y su voltaje. Cabe mencionar que ambos parámetros se refieren a cantidades de línea. Podemos primero calcular la corriente en p.u que circula por todo el sistema a partir del diagrama de reactancias que acabamos de confeccionar: 𝐼𝑝𝑢 = 1∠0º = 1.2898∠ − 26.36 º 𝑝𝑢 (0.689 + 0.0057) + 𝑗(0.2 + 0.0573 + 0.087) De aquí podemos calcular el voltaje en por unidad en la carga: 𝑉𝑝𝑢 = 1.2898 ∗ 0.689 = 0.8881 𝑝𝑢 Instructor Jean-Fr. Duhé Ahora lo único que nos falta es pasar a cantidades reales estos valores. En la región de carga sabemos que: 𝑉𝑏𝑎𝑠𝑒 = 66 𝑘𝑉 Por lo que la magnitud de voltaje de línea en la carga es: 𝑉 = 66𝑘𝑉 ∗ 0.8881 = 58.66 𝑘𝑉 En la región de carga la corriente base es: 𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 = 10 𝑀𝑉𝐴 √3 ∗ 66 𝑘𝑉 = 87.477 𝐴 La magnitud de la corriente de línea en la carga: 𝐼 = 87.477 ∗ 1.2898 = 112.85 𝐴 Instructor Jean-Fr. Duhé