NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA
TELEMATICA 4.1
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
El teorema del valor medio afirma que si una función es continua en un
intervalo cerrado [a, b] y derivable en su interior, intervalo (a, b), entonces
debe existir al menos un punto c de (a, b) en el que la tangente sea paralela a
la cuerda. Físicamente quiere decir que en algún momento la variación
instantánea debe coincidir con la variación media. En cálculo diferencial,
el teorema de valor medio (de Lagrange), teorema de los incrementos
finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una
propiedad de
las
funciones
derivables
en un intervalo.
Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del
cálculo. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema
de Taylor y el teorema de Rolle, ya que ambos son un caso especial.
Este teorema lo formuló Lagrange.
El teorema del valor medio de Lagrange, de hecho, es una generalización
del teorema de Rolle, que dice que si una función es definida y continua
[a, b], diferenciable en el intervalo abierto (a, b), y toma valores iguales en
los extremos del intervalo – en otras palabras, f(a) = f(b) – entonces existe al
menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva
en c es horizontal, es decir f'(c) = 0.
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TELEMATICA 4.1
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
En análisis matemático el teorema del valor intermedio es un teorema
sobre funciones
continuas
reales definidas
sobre
un intervalo.
Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un
intervalo, entonces toma todos los intermedios comprendidos entre los
extremos del intervalo.
Sea
una función continua en el intervalo
(cerrado) y sea un
número entre
y
. Entonces, existe un número en el
intervalo
(es decir,
) que satisface:
.
En otras palabras, una función continua toma todos los valores
entre
y
cuando los valores de cambian desde hasta . La
siguiente gráfica muestra esto de una manera más clara:
Cuando el valor va subiendo, los valores de van moviéndose hacia la
derecha (para la gráfica de la función mostrada) y cuando va bajando sobre
el eje , los valores de van moviéndose hacia la izquierda. Ejemplo:
Demuestra que la función:
tiene una raíz en el intervalo
.
Para eso vamos a aplicar el teorema del valor intermedio. Como la función
es polinomial es continua en todo el conjunto de los números reales.
Si
para algún que está en el intervalo
,
hacemos
,y
, y evaluamos la función en esos puntos:
Por lo que satisface con la condición de que
. Entonces, por
la continuidad de la función, debe existir un número en el
intervalo
tal que
.
NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA
TELEMATICA 4.1
TEOREMA DE TAYLOR
Sean, una función f(x) y una función polinómica P(x), donde:
f(a) = P(a)
son n derivables en x = a y se verifica:
f’(a) = P’(a); f’’(a) = P’’(a); f’’’(a) = P’’’(a);........f n(a) = P n(a).
Entonces P(x) es una aproximación local de f(x) en x = a.
Tenemos que f(x)-P(x)
cuando
Si comparamos f(x)-P(x) con (x-a); con (x-a)2; con (x-a)3;.......; con (x-a)n ;
se dice que P(x) en una aproximación de f(x) de primer orden, de segundo
orden, ...., de orden n, para
si se verifica, respectivamente que:
Resumiendo:
Dada una función f(x), se dice que otra función P(x) es una aproximación
local de orden n de f(x) cerca de un punto x = a si se cumple:
NEXAR OSWALDO PINCAY MOREIRA
TELEMATICA 4.1
ERROR DE REDONDEO
Un error de redondeo es la diferencia entre la aproximación calculada de un
número y su valor matemático exacto debida al redondeo. Este es una forma
de error de cuantificación. Uno de los objetivos del análisis
numérico es estimar errores en los cálculos, incluyendo el error de redondeo,
cuando se utiliza ecuaciones o algoritmos de aproximación, especialmente
cuando se utiliza un número finito de dígitos para representar números reales
(que en teoría tiene un número infinito de dígitos). Cuando se realiza una
secuencia de cálculos sujetos a error de redondeo, los errores pueden
acumularse, a veces dominando el cálculo. En problemas mal
condicionados, se puede acumular un error significativo.
Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un
número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras
realizan esta función de maneras diferentes; esta técnica de retener solo los
primeros siete términos se llamó “truncamiento” en el ambiente de
computación. De preferencia se llamara de corte, para distinguirlo de los
errores de truncamiento. Un corte ignora los términos restantes de la
representación decimal completa.
ARITMETICA COMPUTACIONAL
La Matemática Computacional e s una herramienta básica para un ingeniero
o un científico, porque le permite solucionar de forma aproximada,
problemas prácticos que no podrían resolverse de manera analítica. Puede
decirse que la matemática computacional (Métodos Numéricos) es la
matemática más elemental que existe, ya que para solucionar problemas, solo
hacen uso de operaciones aritméticas. Sin embargo es ahí donde radica su
fuerza, porque es a través de ella que se modelan y resuelven muchos
problemas de la realidad, que es cambiante, compleja y variada.
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