TRANSFORMADA DE LAPLACE Quispe Auccatinco, Nilson 17160059 Salazar Barrón Cristofer 17160225 Arango Moccho Samuel Rupay Andamayo Rubí 17160061 Limay Culqui Danny 17160073 Esquivel Ramos John E.A.P. Ingeniería de minas DEFINICIÓN La transformada de Laplace es un operador LINEAL muy ´útil para la resolución de ecuaciones diferenciales. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Sea f(t) definida en [0,∞) L[f(t) ] = ∞ 0 e𝑡𝑥 f(x)d𝑥 = F(t) PROPIEDADES DE LA T.L 1) Producto por una constante L[a.f(t) ] = a.L[f(t) ] L[7.sin(8t)] = 7[L.sin(8t)] 8 L[7.sin(8t)] = 7 [ 𝑡 2 +64 ] 2) Linealidad f(t),g(t) …… a, b = ctes L [a.f(t) ± b.f(t) ] = L [a.f(t) ] ± L [ b.f(t) ] L [a.f(t) ] ± L [ b.f(t) ]= a.L [f(t) ] ± b L[ f(t) ] 3) Propiedad de traslación L[𝑒 𝑎𝑡 f(t) ] = F(t-a) F (t)= L[f(t) ] 4) Propiedad de la derivada L[𝑡 𝑛 f(t) ] = (−1)𝑛 . F 𝑛𝑖 (t) F (t)= L[f(t) ] Resolver la EDO : 𝒚′′ + 𝟐𝒚′ + 𝒚 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒚 𝟎 = 𝒚𝟎 𝒆 𝒚′ 𝟎 = 𝒚′𝟎 Al igual que el problema anterior: 𝑨 ƪ[y]= 𝒕+𝟏 + 𝑩 (𝒕+𝟏)𝟐 Como antes tenemos ƪ[𝑒 𝑥 ]= 1/(t+1) y nos hace falta encontrar la F cuya transformada Sea ƪ[f]= 1/(𝒕 + 𝟏)𝟐 . Para hallar esta transformada haremos uso de una de las propiedades previamente mencionadas y la transformada ƪ[f]= 1/𝑡 2 , tenemos que: ƪ[𝑥𝑒 𝑎𝑥 ]= 1/(𝑡 − 𝑎)2 por tanto escogiendo a=-1 tenemos ƪ[𝒙𝒆𝒂𝒙 ]= 1/ 1/(𝒕 + 𝟏)𝟐 Y por tanto : ƪ[y]= 𝑨 𝒕+𝟏 + 𝑩 (𝒕+𝟏)𝟐 = A ƪ[𝒆−𝒙 ] + B ƪ[𝒙𝒆−𝒙]= ƪ[𝑨𝒆−𝒙 + B𝒙𝒆−𝒙 ] y(x)= 𝑨𝒆−𝒙 + B𝒙𝒆−𝒙 EJERCICIO 1: Encontrar la anti-transformada de : [t/(t+a)2+b2] EJERCICIO 2: Encontrar la anti-transformada de : EJERCICIO 3: Resolver EDO de : 𝒚′′ + 𝟑𝒚′ + 𝟐𝒚 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏 𝒚 𝟎 = 𝒚𝟎 𝒆 𝒚′ 𝟎 = 𝒚′𝟎 EJERCICIO 4