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INTERVALOS LIMITADOS
Entre dos puntos de la recta numérica correspondientes a dos números reales diferentes, existen otros infinitos
números reales.
Esto hace que pensemos en subconjuntos de R que en adelante llamaremos INTERVALOS.
Un INTERVALO en la recta numérica podemos graficarlo así:
...-4
-3
-2
-1
0
+1
+2
+3
+4
+5...
¿Cuántos números naturales existen entre –1 y + 4
Observa que los extremos a y b están resaltados con
incluyendo a éstos últimos?....................
puntos negros lo cual significa que se incluye a los
¿Cuántos números enteros existen entre –2
y + 5
incluyendo a éstos últimos? .....................
Pero... ¿cuántos números reales existen entre –2 y + 5
incluyendo a éstos últimos? ... ..........
Estos infinitos números reales pertenecen a un
subconjunto
de
R
llamado
INTERVALO,
cuyos
extremos son –2 y +4.
Un
INTERVALO puede o no incluir a los extremos;
como también, un INTERVALO puede incluir sólo a un
extremo; según esto podemos tener entonces diversos
tipos de intervalos que luego pasaremos a estudiar;
pero antes generalicemos la idea de INTERVALO:
extremos.
Representación simbólica : x a ; b
Como conjunto:
P = x R / a x b
Ejemplo:
Representar el intervalo de números reales x
comprendido entre – 5 y +1 incluyendo a estos extremos.
Gráficamente:
Un INTERVALO es un subconjunto de R, cuyos
elementos
x
están
comprendidos
entre
los
EXTREMOS a y b que también son números reales
que pueden o no estar incluidos en el intervalo.
-5
Representación simbólica :
Como conjunto:
TIPOS DE INTERVALOS
Puede ser limitados o ilimitados.
1. INTERVALOS LIMITADOS.
a.
Si incluimos a los extremos el INTERVALO es
CERRADO. Gráficamente
a
x
b
donde x representa a cualquiera de los elementos
del intervalo.
0
b.
+1
x - 5 ; 1
P = x R / -5 x 1
Si no incluimos a los extremos, el INTERVALO es
ABIERTO.
Gráficamente:
a
x
b
En este caso como los extremos a y b no pertenecen al
intervalo, éstos se representan en la recta numérica
por dos círculos pequeños.
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Representación simbólica :
Como conjunto:
x a ; b
PROBLEMAS RESUELTOS
P = x R / a < x < b
1.
Ejemplo:
Dados los intervalos :
A = -7 ; 2
Representar el intervalo de números reales x
comprendido entre – 7 y – 2 sin incluir a estos
extremos.
Hallar
yB=-5;7.
a) A B
b) A B
Solución:
Gráficamente:
Un intervalo es un conjunto. En este caso es
posible el cálculo de
-7
-2
c.
y
A B
recordando que un elemento de la UNIÓN
0
pertenece a A, o a B, o a ambos, y un elemento de
Representación simbólica: x - 7 ; - 2
Como conjunto:
A B
P = x R / – 7 < x < – 2
la INTERSECCIÓN pertenece a ambos conjuntos.
Graficando los intervalos dados en la recta numérica:
Si incluimos sólo a uno de los extremos, el
INTERVALO es SEMIABIERTO.
-7
Abierto por la izquierda, cerrado por la
derecha.-
Gráficamente:
a
x
b
Aquí, sólo b pertenece al intervalo, no así el
extremo a.
Representación simbólica :
Como conjunto:
xa;b
P = x R / a < x b
Abierto por la derecha, cerrado por la
izquierda.-
-5
0
2
7
Del gráfico se nota que:
a)
AB
= -7 ; 7
b)
A B = -5 ; 2
2.
Dados los intervalos :
A = -3 ; 12 y B = 5 ; 8 . Hallar :
a) A - B
b) B – A
Solución:
Recordemos que los elementos que pertenecen a la
diferencia A – B, pertenecen a A
pero no
pertenecen a B. Asimismo, los elementos que
pertenecen a
B – A, pertenecen a B pero no
pertenecen a A.
Gráficamente:
Graficando los intervalos dados en la recta
numérica:
a
x
b
En este caso, sólo a pertenece al intervalo, no
así el extremo b.
Representación simbólica :
Como conjunto:
xa;b[
P = x R / a x < b
-3
0
5
8
Del gráfico se nota que:
a)
A–B
= -3 ; 5 8 ; 12
b)
B–A
=
12
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
A.
Completa el siguiente cuadro, graficando en la
recta numérica cada intervalo dado:
Representación simbólica
del intervalo
Intervalo como conjunto
x - 15 ; 3
x R / - 15 x 3
TAREA DOMICILIARIA Nº 6
A) Dados los siguientes intervalos efectuar las
operaciones indicadas.
A =–3,2
C =–5;–2
E =0;2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
x R / - 8 < x 7
x]5;9[
x R / - 2 x 4
x–4;0[
x R / - 8 x < – 3
x – 12 ; – 3 ]
;
;
;
AB
AB
A–B
B–A
AC
AC
A–C
C–A
AD
AD
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Desarrolla cada uno de los problemas propuestos:
1.
En la siguiente recta numérica se representan dos
intervalos A y B. Encontrar el intervalo A
B.
A
x]–3;1[
x R / – 5 < x – 1
-2
a) 2
d) -2 ; 6
Dados los siguientes intervalos efectuar las
operaciones indicadas:
A = ] -7 ; 4
B=2;8
C=-1;6
D=–3;7
(1) A B
(4) A B
(2) B – A
(5) B C
(3) (A – C) D
2.
3.
(10) A – D
(13) D – A
(16) A – B
(8) C D
(11) B D
(14) B – D
(17) C D
(9) (A – C) – B
6
c) –2 ; 2
c) – 2 ; 6 ]
Del problema uno calcular A – B
b) – 2 , 6
e)
c) –2 ; 6
¿Cuántos números enteros existen en el intervalo
-7; 7
b) 7
e) N.A.
c) 14
5.
Sabiendo que : A = – 7 , 11
B=–2,8
y C = – 3 , 12
Hallar (A – C) (B – A )
6.
Representa
conjuntos:
(15) ( A B) – C
(18) (A D) C
b) – 2 , 2
e)
a) 5
d) 13
(12) B ( C A)
2
Del problema anterior calcular A B
a) - 2
d) 2 ; 6
(6) (C – A ) B
B
b) – 2 , 2
e)
a) 2
d) -2 ; 6
4.
(7) A D
AF
F–E
(E C) – A
(B D) – C
(A E) – (A C)
(B – A) (A – B)
B A
(E–F)D
(A D) – ( C B )
(A – B) C ] D
B)
x R / 3 < x < 7
B.
B= –4;1
D = 3, 5
F=–1;4
los
siguientes
intervalos
como
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a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
x
x
x
x
x
x
x
x
–7,0
–3,1
– 14 , + 14
–5,4
– 10 , – 9
+3 ;+5
– 1 ; 12
0 , 11
E.
En la siguientes rectas numéricas se representan
dos intervalos A y B. Encontrar los siguientes
intervalos en cada uno de ellos:
a) A B
b) A B
d) A B
e) B – A
15.
7.
A
Si “ n “ no es mayor que 10 y “ n” no es menor que
4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones no es
verdadera?
a) n = 10
d) n < 10
Si x – 2 ; 3
8.
;
B
–3
b) n = 5
c) n > 5
e) 4 < n < 10
c) A – B
+5
+2
0
16.
A
y –1;4
B
a) ¿Cuál es el máximo valor de x + y?
–9
b) ¿Cuál es el mínimo valor de x + y?
–4
+7
+1
c) ¿Cuál es el máximo valor de x – y ?
17.
d) ¿Cuál es el mínimo valor de x – y ?
A
B
Si x – 3 ; 4 ]
9.
C.
;
y –2;6]
a)
¿Cuál es el máximo valor de x . y?
b)
¿Cuál es el mínimo valor de x . y?
–5
F.
En los problemas del 10 al 14, escribir el intervalo
correspondiente a la figura propuesta
–1
Representación simbólica
del intervalo
10.
x]–5;2
–4
–3
– 2– 1-1 – 0
+1
+2
+3
+6
Completa el siguiente cuadro, graficando en la
recta numérica cada intervalo dado:
D.
–5
+3
+4
Intervalo como conjunto
x R / – 1 < x 4
x [ 3 ; 11 ]
11.
–5
–4
–3
– 2– 1 -1 – 0
+1
+2
+3
+4
x R / 0 x < 7
x [– 3 ; 0 [
12.
–4
–5
–3
– 2–1-1
–0
+1
+2
x R / – 5 < x < – 1
+3 +4
x]–4;3[
13.
x R / 2 x < 8
–5
–4
–3
– 2– 1 -1 – 0
+1
+2
+3
+4
x[–7;–2
x R / – 7 x – 3
14.
–5
–4
–3
– 2 –1-1 – 0
+1
+2
+3
+4
18. Elabore un mapa conceptual de acuerdo al tema
tratado.
0
