Distribución de Probabilidad: Variables Discretas

Distribución de Probabilidad
Variables discretas
Álvaro José Flórez
1 Escuela
de Ingeniería Industrial y Estadística
Facultad de Ingenierías
Febrero - Junio 2012
Modelos probabilísticos
Un modelo es una traducción de la realidad para poder aplicar los
instrumentos y técnicas de las teorías matemáticas para estudiar el
comportamiento de sistemas complejos. Simplificación de la realidad.
Determinista: Se conoce de manera puntual la forma del resultado
ya que no hay incertidumbre.
Estocástico (probabilístico): No se conoce el resultado puntual,
sino su probabilidad y existe por tanto incertidumbre. Tiene como
objetivo estudiar los resultados de un experimento aleatorio y
predecir su comportamiento futuro, cuando se realiza bajo las mismas
condiciones dadas inicialmente.
Algunos conceptos
Variable aleatoria:
Sea S un espacio muestral sobre el que se encuentra definida una
función de probabilidad. Sea X una función de valor real definida
sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos
sobre la recta de los reales. Se dice entonces que X es una variable
aleatoria.
Variable aleatoria discreta:
Se dice que una variable aleatoria X es discreta si el númerica de
valores que pueden tomar es contable (ya sea finito o infinito).
Variables aleatoria continua:
Se dice que una variable aleatoria X es continua si sus valores
consisten en uno o más intervalos de la recta de los reales.
Distribución de probabilidad
Si una v.a toma valores x1 , x2 , . . . , xn la regla que asocia a cada
uno de ellos las probabilidades p1 , p2 , . . . , pn respectivamente, se
denomina función de probabilidad.
Ejemplo:
En un proceso de inspección de elementos fabricados por una
máquina se observan 3 elementos para determinar si se puede
clasificar como correcto o defectuoso. Suponiendo que la probabilidad
de que el elemento sea defectuoso es de 0.05. Sea la variable aleatoria
X el número de piezas que están defectuosas. Determine la función
de probabilidad de X
Distribución de probabilidad
Definición:
para una variable aleatoria X con posibles valores x1 , x2 , . . . , xn , la
función de probabilidad es una función f (x) tal que:
1
2
3
f (xi ) ≥ 0
Pn
i=1 f (xi ) = 1
f (xi ) = P (X = xi )
Definición:
La distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria
discreta X, se denota como F (x), está determinada como:
F (x) = P (X ≤ x) =
X
xi ≤X
Esta función debe satisfacer:
1
2
0 ≤ F (x) ≤ 1
Si xi ≤ xj , entonces F (xi ) ≤ F (xj )
f (xi )
Valor Esperado y Varianza
La esperanza (Valor esperado) de una variable aleatoria tiene sus orígenes
en los juegos de azar. En este sentido, el valor esperado representa la
cantidad de dinero promedio que el jugador está dispuesto a ganar o perder
después de un número grande de apuestas. Este valor, que representa
centralidad, al igual que la varianza, que describe dispersión, sirven de
medidas que resumen una distribución de probabilidad
La media o valor esperado de una variable discreta X, se denota como µ
o E(X), es:
E(X) =
n
X
xi f (xi )
i=1
La varianza de X, se denota como σ 2 o V (X), es:
V (X) =
n
X
i=1
2
(xi − E(X)) f (xi )
Ejemplo
Suponga que se tiene tres oportunidades para lanzar una moneda
hasta que aparezca una cara. El juego termina en el momento en el
que cae una cara o después de los tres intentos.
Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara, el
jugador recibe $500, $1000, $2000
Si no cae cara en ninguno de los lanzamientos el jugador pierde $5000
¿Estaría usted dispuesto a jugar?
Propiedades
Para cualquier constante a y b se cumple que:
E(aX) = aE(X)
E(X + b) = E(X) + b
E(aX + b) = aE(X) + b
V (aX) = a2 V (X)
V (X + b) = V (X)
V (aX + b) = a2 V (X)
Ejemplo
Una compañía proveedora de productos químicos tiene en existencia
100 libras de un producto que vende a los clientes en lotes de 5 libras.
Sea X = número de lotes que pide un cliente seleccionado al azar y
suponga que X tiene la siguiente función de probabilidad:
X
f (X)
1
0.2
2
0.4
3
0.3
4
0.1
1
Calcule E(X) y V (X)
2
Calcule el número esperado, y la varianza, de libras sobrantes
después que se envía el pedido al cliente.
Distribuciones de probabilidad
Existen varias distribuciones especificas de probabilidad que se ha
demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos problemas
prácticos. La elección de la distribución de probabilidad para representar
un fenómeno de interés debe ser motivada tanto por la comprensión de
la naturaleza del fenómeno, como por la verificación de la distribución
seleccionada a través de la evidencia empírica.
En el caso discreto algunas de estas distribuciones son:
• Binomial
• Poisson
• Hipergeométrica
Distribuciones de probabilidad
Proceso Bernoulli
Un experimento Bernoulli debe tener las siguientes propiedades:
• El experimento consiste en n intentos repetidos.
• Los resultados de cada uno de los intentos pueden clasificarse
como un éxito o como un fracaso.
• La probabilidad de éxito (p), permanece constante para todos
los intentos.
• Los experimentos son independientes. Saber el resultado de
una observación no te indica nada sobre las restantes
observaciones
Distribución Binomial
Definición:
Un experimento Bernoulli puede resultar en un éxito con una
probabilidad p y un fracaso con una probabilidad 1 − p. Entonces
la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial X,
que determina el número de éxitos en n ensayos independientes, es:
n
f (x) =
px (1 − p)n−x
x = 0, 1, . . . , n
x
Donde 0 ≤ p ≤ 1.
E(X) = np
V (X) = np(1 − p)
Distribución Binomial
Fig: Representación gráfica
Binomial(N=10,p=0.3)
0.20
0.15
0.0
0.00
0.05
0.1
0.10
Y
0.2
Y
0.3
0.25
0.4
Binomial(N=10,p=0.1)
2
4
6
8
10
0
2
4
6
Número de éxitos
Número de éxitos
Binomial(N=10,p=0.5)
Binomial(N=10,p=0.8)
8
10
8
10
0.15
Y
0.00
0.00
0.05
0.05
0.10
0.10
Y
0.15
0.20
0.20
0.25
0.30
0.25
0
0
2
4
6
Número de éxitos
8
10
0
2
4
6
Número de éxitos
Ejemplos
Un examen de estadística consta de 5 preguntas cada una de ellas con
cuatro respuestas de las cuales una sola es correcta. Un alumno responde
al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las preguntas). ¿Cuál es la
probabilidad de que resuelva bien a 3 o más preguntas?
Ejemplos
Un examen de estadística consta de 5 preguntas cada una de ellas con
cuatro respuestas de las cuales una sola es correcta. Un alumno responde
al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las preguntas). ¿Cuál es la
probabilidad de que resuelva bien a 3 o más preguntas?
Un catador de vinos afirma que el 90 % de las veces puede distinguir entre
un vino fino y uno corriente con sólo degustar un sorbo. Para comprobar
su afirmación, se le aplicará una pequeña prueba: degustar 9 muestras de
vino y decidir en cada caso si se trata de vino fino o corriente. El criterio
para aceptar su afirmación es que si acierta por lo menos en 6 muestras se
aceptará su afirmación, y en caso contrario se rechazará como falsa.
Determine la probabilidad de si el sujeto no conoce nada de vinos y sólo
está adivinando, logre pasar esa prueba.
Calcule la probabilidad de aun suponiendo que es cierto lo que afirma (que
es capaz de acertar el 90 % de las veces), no logre pasar la prueba.
Distribución Hipergeométrica
Sea N el número total de objetos en una población finita, de manera tal
que k de éstos es de un tipo y N − k de otros. Si se selecciona una muestra
aleatoria de la población constituida por n objetos de la probabilidad de
que x sea de un tipo exactamente y n − x sea del otro, está dada por la
función de probabilidad hipergeométrica:
k
N −k
x
n−x
,
x = 0, 1, . . . , n;
f (x) =
N
n
x ≤ k, n − x ≤ N − k, N, n, k enteros positivos. El valor esperado y la
varianza quedan definidos como:
nk
N −n
V (X) = np(1 − p)
E(X) =
N −1
N
Ejemplo
La policía sospecha que en un camión cargado con 40 bultos de arroz
se han camuflado paquetes de cocaína. Para confirmar su sospecha,
la policía escoge al azar 5 bultos para inspeccionarlos. Si en efecto, de
los 40 bultos de arroz, que contiene el camión, 10 tienen camufladas
cocaína, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los
bultos de la muestra contenga cocaína?
Ejemplo
La policía sospecha que en un camión cargado con 40 bultos de arroz
se han camuflado paquetes de cocaína. Para confirmar su sospecha,
la policía escoge al azar 5 bultos para inspeccionarlos. Si en efecto, de
los 40 bultos de arroz, que contiene el camión, 10 tienen camufladas
cocaína, ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los
bultos de la muestra contenga cocaína?
Cinco individuos de una población animal se cree está cerca de la
extinción en cierta región, fueron capturados, marcados y liberados
para mezclarse con la población. Después que tuvieron la oportunidad
de mezclarse, se seleccionó una muestra aleatoria de 10 de estos
animales. Si en realidad hay 25 animales de este tipo en la región,
¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren más de 2 animales
marcados?
Distribución Poisson
Distribución muy útil en la que la variable aleatoria representa el
número de eventos independientes que ocurren a una velocidad
constante en el tiempo o espacio. Algunos ejemplos comunes son:
• Número de fallas que presenta una máquina por día
• Número de defectos por metro de cable.
• Cantidad de fracturas por km2 en la superficie de una caldera.
• Número de hormigas de una cierta especie por m3 de tierra.
Proceso Poisson
Algunas condiciones que se deben cumplir en un proceso poisson son:
• El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo
o región específico es independiente del número que ocurre en
cualquier otro intervalo disjunto de tiempo o región del espacio
disjunto.
• La probabilidad de que un resultado sencillo ocurra en un
intervalo de tiempo muy corto o una región pequeña es
proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño
de la región.
Distribución Poisson
Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos
aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre
el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria X
tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad:
λx −λ
e , x = 0, 1, 2, . . .
x!
Para λ > 0. La media y la varianza son:
f (X) =
E(X) = λ
V (X) = λ
Distribución Poisson
Fig: Representación gráfica
Poisson(λ=3)
Y
0.0
0.00
0.05
0.10
0.2
0.1
Y
0.15
0.3
0.20
Poisson(λ=1)
5
10
15
20
0
5
10
Número de eventos por intervalo
Número de eventos por intervalo
Poisson(λ=5)
Poisson(λ=10)
15
20
15
20
Y
0.06
0.00
0.00
0.02
0.05
0.04
Y
0.10
0.08
0.10
0.15
0.12
0
0
5
10
Número de eventos por intervalo
15
20
0
5
10
Número de eventos por intervalo
Ejemplo
El número de grietas en un tramo de una autopista que son lo
suficientemente importantes como para requerir reparación sigue una
distribución Poisson con una media de 1.2 grietas por kilometro ¿Cuál
es la probabilidad de que se requiera reparar máximo 2 grietas en un
tramo de 1 kilometro?
¿Cuál es la probabilidad de que en trayecto de 5 kilómetros no se
encuentre ninguna grieta?
Se puede emplear un proceso Poisson para representar la ocurrencia
de cargas estructurales con el tiempo. Suponga que el tiempo
promedio entre ocurrencias de cargas es medio año.
¿Cuántas cargas se espera que ocurran durante dos años?
¿Cuál es la probabilidad de que ocurran más de cinco cargas durante
dos años?
Otras distribuciones de probabilidad
Algunas otras distribuciones de probabilidad discretas son:
• Uniforme.
• Geométrica
• Binomial Negativa.
• Multinomial
Bibliografía
Canavos, G. (1988). Probabilidad y Estadística: Aplicaciones y
métodos. Mc Graw Hill, México, vol. 1 edition.
Devore, J. L. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y
ciencias. Thomson Paraninfo, México, vol. 7 edition.
Montgomery, D. and Runger, G. (2004). Probabilidad y estadística
aplicadas la ingeniería. Limusa-Wiley, México, 2 edition.