informe_lab_2_2013. - U

Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Laboratorio de Fluidodinámica y Procesos
INFORME DE LABORATORIO Nº 2
Presiones en un Líquido
CI3101 – Mecánica de Fluidos
Nota Informe Preliminar:
Nota Informe Final:
Observaciones:
Sección:
1
Nombres:
Marco Dreyse
Mauricio Rey
Ayudante encargado:
Rodrigo Pérez
Fecha de realización:
Fecha de entrega:
09/04/2012
16/04/2012
1. Introducción
En este laboratorio se experimentó con las fuerzas de presión que un fluido sometido a un
campo gravitacional es capaz de ejercer sobre un objeto, y junto con ello el torque que este
fluido realiza cuando esta fuerza es aplicada con un cierto brazo tal como se hace en el
laboratorio gracias a que el contenedor puede girar en torno a un eje rotacional cuya
inclinación se puede ajustar según se requiera.
El laboratorio consistió en tomar una cantidad específica de agua, verterla dentro de un
contenedor y posteriormente balancear el sistema con unas pesas como contrapeso apoyadas
sobre una regla para medir el “brazo” de las pesas.
En este laboratorio se busca corroborar la Ley Hidrostática de Presiones y a lo largo del
siguiente informe se calcularán fuerzas de presión sobre caras planas tanto rectas como
inclinadas como también los torques ejercidos por estas fuerzas, como también se explicará de
forma matemática los fenómenos observados empíricamente.
Imagen 1
2. Objetivos
Los objetivos de esta experiencia son los siguientes
 Comprobar la Ley Hidrostática de Presiones.
 Demostrar que el ¨brazo de aplicación del momento del peso del líquido donde se
aplica la fuerza de presión es el centro de gravedad del volumen del líquido
asociado al plano.
 Demostrar teórica e empíricamente que la momento ejercido por el líquido
corresponde solo a la fuerza que se aplica a la superficie plana.
3. Metodología
Como primer paso se equilibró el sistema sin agua ni peso alguno de manera que las
mediciones posteriores fuesen fidedignas.
Posteriormente el laboratorio exigía tomar una cierta cantidad de agua, verterla en el
recipiente para posteriormente equilibrar el sistema poniendo pesos en la regla del otro
extremo, proceso que se hizo 4 veces.
Primero se comenzaba a llenar la probeta con agua hasta alcanzar la cantidad de agua
requerida y después se echaba el agua en el contenedor. Las primeras dos mediciones se
realizaron con el contenedor en el ángulo 0 (cero), llegando el agua la primera medición hasta
menos de los 10 cm que es alto total de la cara plana mientras que la segunda vez el agua
tenía que superar este nivel y llegar así a tocar la cara curva superior del recipiente. Este
proceso se volvió a repetir pero ahora con el recipiente en 30°.
El depósito de agua que se ve en la imagen tiene el tamaño de un cuarto de círculo cuya
cara radial interior tiene un radio igual a 10cm y la exterior 20cm. La cara plana del fondo tiene
7,5.
El sistema posee un porta pesas en el cual se ponen los pesos para equilibrar el sistema.
Esta porta pesas tiene un peso conocido de 126,7 gramos lo que en Newtons equivale a 1.242
N, mientras que por ejemplo la pesa de 1N tiene una masa igual a 102 gramos, todo esto
usando g=9.8m/s².
4. Datos
Los resultados obtenidos se presentan en la siguiente tabla:
Volumen
500mL
1200mL
Ángulo
0°
0°
Distancia ubicación
Peso
pesos
porta pesas (126,7 gr)
22cm
3N+126,7gr
21cm
Altura de agua
68 mm
128mm
300mL
800mL
30°
30°
porta pesas (126,7 gr)
2N+126,7gr
Tabla 1
26,1cm
28cm
95mm
149mm
5. Desarrollo del laboratorio.
Con los datos que se presentan anteriormente y usando la siguiente ecuación se puede
obtener la fuerza de presión que ejerce el agua sobre el recipiente.
𝐹=
𝑎𝑏(𝛾𝐻 + 𝛾(𝐻 + 𝑏𝑠𝑒𝑛(𝜃))
2
Donde
a = ancho de la cara plana (7.5 [cm]).
b = largo de la cara plana.
γ = peso específico del fluido usando g = 9.81 [m/s2].
θ = π –α.
Si además usamos la siguiente ecuación para el torque que ejerce el agua.
𝑇 =𝑟𝐹
Donde
r = brazo de aplicación del momento del agua.
F = fuerza de presión.
Ahora como sabemos los pesos que usamos para equilibrar el sistema podemos saber el
brazo de aplicación del momento asociado al peso del agua si utilizamos la fórmula anterior
igualando la sumatoria de torques a cero, o sea que el torque ejercido por el agua sea igual al
torque ejercido por la portapesas más las masas obtenemos lo siguiente.
𝑔𝜌𝑉𝑋 = 𝑔𝑚𝑏 ⟹ 𝜌𝑉𝑋 = 𝑚𝑏
Donde
𝜌 = densidad del agua (1gr/ml)
V=volumen del agua
X=brazo de aplicación del momento del agua
m=masa contrapesos
b=brazo contrapesos
g=aceleración de gravedad
Medición 1: Para nuestro primer caso tenemos lo siguiente:
V=500ml, 𝜌 = 1, X=incógnita, m=126.7gr y b=22cm
Usando la fórmula () obtenemos que X= 5.57cm
Medición 2: En este caso tenemos:
V=1200ml, 𝜌 = 1, X=incógnita, m=432.7gr y b=21cm
Por lo que usando de nuevo la fórmula () obtenemos X=7.57cm
Medición 3: Análogamente a las mediciones anteriores:
V=300ml, 𝜌 = 1, X=incógnita, m=126.7gr y b=26.1cm
Por lo que usando de nuevo la fórmula () obtenemos X=11.02cm
Medición 4: Por último se tiene:
V=800ml, 𝜌 = 1, X=incógnita, m=330.7gr y b=28cm
Por lo que usando de nuevo la fórmula () obtenemos X=11.57cm
Las mediciones 3 y 4 fueron hechas con el depósito de agua inclinado en 30°, lo que
claramente tiene una incidencia en los brazos, pero que no se aplica directamente en la
fórmula anteriormente usada para obtener los brazos ejercidos por el momento del agua.
Ahora se analizarán los casos teóricamente:
Medición 1 con α = 0º y H ≤ 10[cm] (el agua no toca la cara circular interior)
Aquí como el agua no llega a la cara circular interior de radio = 10 cm, no se toma en
cuenta su acción por lo que tendremos que el radio de acción del agua en el eje “y” será 𝑦 ∈
[𝑟2 − 𝐻, 𝑟2 ] y en el eje “x” será x ∈ [0, √𝑟22 − 𝑦 2 ]
Sabemos del apunte que las coordenadas del centro de masas en un líquido vendrán dadas
por
1
1
𝑟𝑐𝑚 =
∫ 𝑟 ∙ 𝜌𝑑𝑉 = ∫ 𝑟 ∙ 𝑑𝑉
𝜌𝑉
𝑉
Por lo que en este caso obtenemos:
1
1
𝑋𝐺 = ∫ 𝑥 ∙ 𝑑𝑉 ; 𝑌𝐺 = ∫ 𝑦 ∙ 𝑑𝑉
𝑉
𝑉
De donde se puede calcular en el eje “x”:
2
2
√𝑟2 −𝑦
1 𝑏 𝑟2
1
𝑋𝐶𝐺 = ∫ ∫ ∫
𝑥 ∙ 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑏 ∙ ℎ(ℎ2 − 3 ∙ ℎ ∙ 𝑟2 )
𝑉 0 𝑟2 −ℎ 0
6𝑉
Siendo “b” el ancho de la cara plana del depósito.
Análogamente para el eje “y”:
𝑟2
𝑏
𝑌𝐶𝐺 =
√𝑟22 −𝑦 2
1
∫ ∫
𝑉
∫
0 𝑟2 −ℎ
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
0
𝑏
(2ℎ𝑟2 − ℎ2 )3⁄2
3𝑉
Entonces si se reemplazan los valores con sus dimensiones definitivas obtenemos 𝑋𝐶𝐺 =
6.14𝑐𝑚.
El valor obtenido experimentalmente fue 𝑋𝐶𝐺 = 5.57𝑐𝑚.
Ahora para el caso: α = 0º y H ≥ 10[cm]
Aquí la situación es similar a la del caso 1 pero ahora el agua si toca la cara circular interior de
radio 10cm por lo que hay que considerar la altura de agua sobre esta cara.
Entonces como hay que considerar la cara circular interior en el cálculo, se tiene que realizar
una resta de volúmenes para poder obtener la ubicación del punto de aplicación del momento
del agua.
𝑏
𝑌𝐶𝐺 =
𝑟2
1
∫ ∫
𝑉
0 𝑟2 −ℎ
Que es igual a:
√𝑟22 −𝑦 2
∫
0
𝑏
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 −
𝑟1
1
∫ ∫
𝑉
0 𝑟2 −ℎ
√𝑟12 −𝑦 2
∫
0
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
𝑌𝐶𝐺 =
𝑏
((2𝑟2 ℎ − ℎ2 )3⁄2 − (𝑟12 − 𝑟22 + 2ℎ𝑟2 − ℎ2 )3⁄2 )
3𝑉
Análogamente:
𝑋𝐶𝐺
√𝑟2
1 𝑏 𝑟2
= ∫ ∫ ∫
𝑉 0 𝑟2 −ℎ 0
2 −𝑦 2
√𝑟1
1 𝑏 𝑟1
𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 − ∫ ∫ ∫
𝑉 0 𝑟2 −ℎ 0
2 −𝑦 2
𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Que es igual a:
𝑋𝐺 =
𝑏
2
(𝑟2 − ℎ)3
2
(𝑟2 − ℎ)3
(( 𝑟2 3 − (𝑟2 − ℎ)𝑟2 2 +
) − ( 𝑟1 3 − (𝑟2 − ℎ)𝑟1 2 +
))
2𝑉 3
3
3
3
Por lo que reemplazando los valores con sus dimensiones definitivas obtenemos 𝑋𝐶𝐺 =
7.83𝑐𝑚.
El valor obtenido experimentalmente fue 𝑋𝐶𝐺 = 7.57𝑐𝑚.
Caso con las caras planas inclinadas.
Aquí la ecuación para resolver el problema es la siguiente:
2
0
−5.1 √400−𝑦
1
𝑋𝐶𝐺 =
∫ ∫
∫
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
800 7,5 −20 0
Lo que da como resultado 𝑋𝐶𝐺 = 15.645𝑐𝑚.
El valor obtenido experimentalmente fue 𝑋𝐶𝐺 = 11.57𝑐𝑚.
Porqué a la hora de calcular el momento solo se toma en cuenta la cara plana?
Ahora se procederá a demostrar porque el momento que ejerce el líquido queda determinado
solo por la fuerza que este ejerce sobre la cara plana y no las caras curvas concéntricas.
Siguiendo la indicación, para definir las superficies curvas usaremos coordenadas cilíndricas
cuyo centro será el eje de giro del recipiente (el punto “cero” de los radios concéntricos iguales a
10 y 20 centímetros). Las coordenadas son las siguientes:
𝑑𝑆⃑ = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑟̂ + 𝑑𝑟𝑑𝑧𝜃̂ + 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑘̂
Ahora como el eje de giro que define el radio de las curvas está en la dirección 𝑟̂ , y el radio es
constante es fácil ver que 𝑑𝑟 = 0, lo que nos deja con la ecuación antes presentada de las
coordenadas de la siguiente forma 𝑑𝑆⃑ = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑟̂ .
Esto es fácil de explicar, como las caras curvas del recipiente son concéntricas con respecto al
eje de giro, la fuerza que ejerce el fluido sobre estas caras va en la dirección de sus radios, y como
para que exista momento necesitamos que la fuerza esté ejercida en un brazo determinado, al
estar el fluido ejerciendo una fuerza en la misma dirección del eje de giro este brazo se podría
decir que no existe por lo que las fuerzas sobre las caras curvas no afectan en el total del
momento ejercido por el fluido, por lo que para definir el momento solo nos queda la cara plana
del por estudiar.
El caso de la cara plana también es sencillo. La fuerza que el fluido ejercerá sobre esta cara
vendrá dada directamente por la altura que alcance el fluido sobre esta, y su centro de aplicación
será el centro de gravedad de la cara, el que puede variar dependiendo de que tan alto llegue el
fluido con respecto a la cara (si el fluido tapa la cara el centro de gravedad pasa a mantenerse
constante) y esta fuerza tendrá dirección 𝜃̂ con lo que queda claro que si tendrá capacidad para
ejercer momento sobre el sistema.
Por todo lo antes presentado podemos dar por demostrado que el momento sobre el
recipiente viene dado solo por las fuerzas ejercidas en la cara plana del depósito.
6. Análisis de resultados y Conclusiones
Durante la experiencia se pudo notar, tal como muestran los datos, que la fuerza de
presión que ejerce el líquido sobre el recipiente aumenta considerablemente cuando este se
inclina ya que a pesar de tener volúmenes de agua similares se requería de un brazo mayor
para poder equilibrar el sistema. Esto se debe a que al inclinar el depósito, el fluido que hay
dentro a pesar de mantener un volumen constante aumenta su altura y como se sabe de la
materia de estática de fluidos la presión sobre una superficie aumenta acorde aumenta la
altura de fluido sobre esta. Otro factor que ayuda a que el momento ejercido por el agua sea
mayor es que al inclina el depósito este se corre más hacia la derecha aumentando su
dimensión “X”, por lo que el fluido aplica su fuerza en un brazo mayor comparado con el
depósito en su posición normal.
A continuación se presentan los resultados de las diferentes fuerzas que ejerce el fluido
sobre el sistema.
Volumen
500mL
1200mL
300mL
800mL
Ángulo
0°
0°
30°
30°
Peso
porta pesas (126,7 gr)
3N+126,7gr
porta pesas (126,7 gr)
2N+126,7gr
Distancia ubicación pesos
22cm
21cm
26,1cm
28cm
Altura de agua
0,068
0,128
0,095
0,149
Fuerza[N]
1,699
4,704
3,351
7,320
Los resultados coinciden con la teoría ya que se nota un aumento en la fuerza a la hora de
aumentar el nivel de agua y la inclinación del recipiente.
Otro punto a desarrollar es el de los centros de gravedad y el cómo difieren sus valores
teóricos como experimentales. Tal como se pudo ver en el punto 5 del informe, los resultados
obtenidos de forma teórica son parecidos pero no iguales a los obtenidos empíricamente, lo
que se debe a varios factores como la imprecisión a la hora de medir los volúmenes, asumir
valores ideales de propiedades como la densidad o la aceleración de gravedad, y quizás
también a algún error a la hora de calcular o tomar datos por parte de los integrantes del
grupo.
Como conclusión principal de este laboratorio podemos decir que lo que se aprende en
clases se ajusta mucho a la realidad ya que se ha podido prever lo que ocurrirá en el
laboratorio con mucha exactitud. También es importante ver que los fluidos son muy
importantes como herramientas para trabajos de fuerza, y que después de realizar este
laboratorio se pudo ver que se les podría sacar mucho provecho si se conociese bien las
propiedades de estos ya que se podría multiplicar la fuerza ejercida por el fluido, solo
realizando pequeñas modificaciones a su ubicación, posición, etc.