40ªOlimpiada Internacional de Física. 2009

1
Problemas de
Las Olimpiadas
Internacionales
De
Física
José Luis Hernández Pérez
Madrid 2009
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
2
XL.- OLIMPIADA INTERNACIONAL DE FÍSICA. MEXICO. 2009
PROBLEMA 1
EVOLUCIÓN DEL SISTEMA TIERRA-LUNA
Los científicos pueden determinar la distancia entre la Tierra y la Luna
con gran precisión. Esto se hace enviando un haz de luz láser hacia unos
espejos depositados en la superficie de la Luna por unos astronautas en
1969. Para ello se mide el tiempo del recorrido de la luz.
Fig.1.- Un haz de láser enviado desde un laboratorio se utiliza para medir con
exactitud la distancia entre la Tierra y la Luna.
A partir de estas observaciones han determinado que la Luna se aleja
lentamente de la Tierra. Esto es, que la distancia Tierra-Luna aumenta
con el paso del tiempo. La causa se debe a que los momentos de las
mareas en la Tierra transfieren momento angular a la Luna (ver figura
2).
En este problema obtendrá los parámetros básicos del fenómeno.
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
3
Fig.2
La gravedad lunar produce “abultamientos” en la Tierra. A causa de la rotación
de la Tierra la línea que une los abultamientos no esta alineada con la línea que
une la Tierra con la Luna. Este hecho produce un momento que transfiere
momento angular desde la rotación terrestre a la traslación lunar.
1.-Conservación del momento angular
Se designa con L1 el momento angular del sistema Tierra-Luna. Se
hacen las siguientes suposiciones:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
L1 es la suma de la rotación de la Tierra alrededor de su eje y la
traslación de la Luna alrededor de la Tierra.
La órbita de la Luna es circular y puede considerarse como una
masa puntual
Los ejes de rotación de la Tierra y de revolución de la Luna son
paralelos.
Con la finalidad de simplificar los cálculos los movimientos se
realizan respecto del centro de la Tierra y no del centro de
masas. Además los momentos de inercia, los momentos de las
fuerzas y los momentos angulares están definidos alrededor del
eje terrestre.
Se desprecia la influencia del Sol.
1a) Escribir la ecuación del momento angular actual del sistema TierraLuna con la siguiente notación: IE momento de inercia de la Tierra, E1
frecuencia angular de rotación actual de la Tierra, I M1 momento de
inercia actual de la Luna respecto del eje de la Tierra, M1 frecuencia
angular actual de la Luna en su orbita.
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
4
Teniendo en cuenta la suposición i) la contribución de la Tierra es: I E ω E1 .Para calcular
la contribución de la Luna recordemos que el módulo del momento es el producto de la
cantidad de movimiento de la luna por la distancia al eje de la Tierra
Masa de la Luna *velocidad*distancia T-L=M*v*D=M**D*D=MD2*

L1  I E ω E1  I M1ω M1 
El proceso de transferencia angular finalizará cuando el periodo de
rotación de la Tierra y el periodo de revolución de la Luna alrededor de
la Tierra tengan la misma duración. Al llegar este momento los
abultamientos producidos por la Luna sobre la Tierra estarán alineados
con el eje que une la Tierra y la Luna y el momento desaparecerá.
1b) Sea L2 el momento angular final del sistema Tierra-Luna. Con las
mismas suposiciones anteriores escribir la ecuación de L2 con la
notación: IE momento de inercia de la Tierra ,2 frecuencia angular de
la Tierra y de revolución de la Luna, IM2 momento de inercia final de la
Luna
Siguiendo a la ecuación (1),
L 2  I E ω 2 I M2 ω 2 (2)
1c) Despreciando la contribución de la rotación de la Tierra al momento
angular final, escribir la ecuación que exprese la conservación angular
en este problema.
Igualando la ecuación (1) y (2) y despreciando en esta última el término I E ω 2 , resulta:
L1  I E ω E1  I M1ω M1  I M2 ω 2 
2.-Separación final y frecuencia angular final del sistema Tierra-Luna
Suponga que la ecuación gravitacional para una órbita circular ( la de la
Luna alrededor de la Tierra) es siempre válida. Desprecie la contribución
de la rotación de la Tierra al momento angular final.
2a) Escriba la ecuación gravitacional para la órbita de la Luna alrededor
de la Tierra en el estado final en función de ME , 2 , D2 distancia final
Tierra-Luna y la constante de gravitación universal G.
La fuerza centrípeta que actúa sobre la Luna es la fuerza de atracción gravitatoria entre
la Luna y la Tierra
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
5
M M ω 22 D 2  G
MEMM
D 22

ω 22 D 32  GM E
(4)
2b) Escriba la ecuación de la separación final D2 entre la Tierra y la
Luna en función de L1 , ME , MM y la constante de gravitación universal
G.
En la ecuación (3) sustituimos 2 de la ecuación (4)
GM E
I 2M2 G M E M 2M D 42 G M E
2
L1  I M2 
 L1 


D 32
D 32
D 32
L21
D2 
(5)
G M 2M M E
2c) Escriba la ecuación para la frecuencia angular final 2 en función de
L1 , ME , MM y G.
Sustituimos D2 de la ecuación (5) en la (4).
ω2 
G ME

L61
G 3 M 6M M 3E
G 4 M 6M M 4E G 2 M 3M M 2E

L61
L31
(6)
Después deberá calcular los valores numéricos de D2 y 2, pero antes
debe deducir el momento de inercia de la Tierra.
2d) Escriba la ecuación del momento de inercia de la Tierra IE,
suponiendo que es una esfera con densidad interior i desde el centro
hasta un radio i y una capa exterior de densidad o desde el radio ri
hasta la superficie de radio ro ( ver figura 3)
Fig.3
La Tierra es una esfera con dos densidades i y o
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
6
Recordemos la ecuación del momento de inercia de una esfera
2
mR 2
5
Esfera interior
2
2
2 4
8
m i ri2  Vi ρ i ri2   π ri3 ρ i ri2  π ρ i ri5
5
5
5 3
15
Capa superior

2
2
2 4
2 4
8
VT ρ o ro2  Vi ρ o ri2   π ρ o ro5   π ρ o ri5  π ρ o ro5  ri5
5
5
5 3
5 3
15
IE 






8
8
π ρ i ri5  ρ o ro5  ri5  π ρ o ro5  ri5 ρ i  ρ o  (7)
15
15
Determinar los valores numéricos requeridos expresados con dos cigfras
significativas
2e) Evaluar el momento de inercia de la Tierra, siendo:
ρ  1,3.104 kg  m 3 ; r  3,5.106 m; ρo  4,0.103 kg  m 3 y ro  6,4.106 m
i
i
IE 




 
5
8
8
π ρ o ro5  ri5 ρ i  ρ o   π 4,0.10 3  6,4.10 6  3,5.10 6
15
15
I E  8,0.10 37 kg  m 2

5

 0,9.10 4 
Las masas de la Tierra y de la Luna son ME= 6,0.1024 kg y MM= 7,3.1022
kg, respectivamente. La separación actual entre la Tierra y la Luna
D1=3,8.108 m. La frecuencia angular de rotación actual de la Tierra
E1=7,3.10-5 s-1. La frecuencia angular actual de la rotación de la Luna
alrededor de la Tierra M1=2,7.10-6 s-1 y la constante de Gravitación
universal G=6,7.10-11 m3 kg-1 s-2.
2f ) Evaluar el momento angular total del sistema L1.
Ecuación (1)

L1  I E ω E1  I M1 ω M1  8,0.10 37  7,3.10 5  7,3.10 22 3,8.10 8

2
 2,7.10 6 
L1  3,4.10 34 kg m 2 s 1
2g ) Encontrar la separación final D2 en metros y en unidades de la
separación actual D1.
Ecuación (5)
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
7
D2 




2
L21
D 2 5,4.10 8
3,4.10 34
8


5,4.10
m


 1,4
D1 3,8.10 8
G M 2M M E 6,7.10 11  7,3.10 22 2  6,0.10 24
2h) Encontrar la frecuencia angular final 2 y la duración del día final
en unidades del día actual

 

2

3
G 2 M 3M M 2E
6,7.10 11  7,3.10 22 6,0.10 24
ω2 

3
L31
3,4.10 34
2π
1
T

 46 días
ω 2 86400


2
 1,6.10 6 s 1

Verificar que la suposición de no considerar la contribución de la Tierra
al momento angular final está justificada obteniendo que la relación
entre el momento angular final de la Tierra al de la Luna es una
cantidad pequeña.
x
I E ω 2 8,0.10 37
8,0.10 37


I M ω2
M M D 22
7,3.10 22  5,4.10 8


2
 0,0038
3.-¿Cuánto se separa la Luna cada año?
Ahora debe encontrar cuánto se separa la Luna de la Tierra cada año.
Para ello necesitar conocer el momento que actúa ahora sobre la Luna.
Se supone que los abultamientos se pueden aproximar por dos masas
puntuales , cada una de valor m, localizadas en la superficie de la
Tierra( ver figura 4). Sea  el ángulo entre la línea que une los
abultamientos y la que une el centro de la Tierra con el centro de la
Luna.
Fig.4
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8
Esquema válido para calcular el momento producido sobre la Luna por las masas
m situadas sobre la Tierra. El dibujo no está hecho a escala.
3a) Encontrar Fc, el módulo de la fuerza producido sobre la Luna por la
masa puntual más cercana.
Fig.5
En la figura 5, FC representa la fuerza de atracción gravitatoria entre la Luna y mc. La
distancia xc se obtiene aplicando el teorema del coseno: ro2  D12  2 ro D1cosθ
FC  G
MMm
MMm
G 2
(8)
2
2
xC
ro  D1  2 ro D1cosθ
3b) Encontrar Ff, el módulo de la fuerza producido sobre la Luna por la
masa puntual más lejana.
Ff  G
MMm
MMm
MMm
G 2
G 2
(9)
2
2
2
xf
ro  D1  2 ro D1cosδ
ro  D1  2 ro D1cosθ
Ahora puede evaluar los momentos producidos por las masas puntuales.
3c) Encontrar el módulo de C , que es el momento producido por la masa
más cercana.
Observando la figura 5 se deduce que Fc tiene una componente vertical dirigida en el
movimiento de la Luna de módulo FC sen 

τ C  FC sen β  D1 
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
9
En el triángulo O mC L aplicamos el teorema de los senos
sen θ sen β

 sen β 
xC
ro
τ C  FC sen β  D1  G
ro sen θ
ro2  D12  2 ro D1 cos θ
ro sen θ D1
M M m D1

2
r  D1  2 ro D1cos θ ro2  D12  2 ro D1cosθ
2
o
 τC 
GM M mro D1 sen θ
r
2
o
 D  2 ro D1cos θ
2
1



(10)
3
2

3d) Encontrar el módulo de f , que es el momento producido por la masa
más lejana.
Observando la figura 4 se deduce que Ff tiene una componente vertical dirigida en el
movimiento de la Luna (sentido contrario a la anterior) de módulo Ff sen 

τ f  Ff sen   D1 
En el triángulo O mf L aplicamos el teorema de los senos
sen  sen 

xf
ro
ro sen δ
 sen  
τ f  Ff sen   D1  G
ro2  D12  2 ro D1 cos θ

ro sen θ
ro2  D12  2 ro D1 cos θ
ro sen θ D1
M M m D1

2
r  D1  2 ro D1cos θ ro2  D12  2 ro D1cosθ
2
o
 τf 
GM M mro D1 sen θ
r
2
o
 D  2 ro D1cos θ
2
1

3
2

(11)
3e) Encontrar el módulo del momento total  producido por las dos
masas. Puesto que ro<<D1 debe aproximar su expresión y además
utilizar la relación (1  x)a  1  ax , si x<<1.
Como las fuerzas en el sentido del movimiento de la Luna tienen direcciones opuestas
lo mismo ocurrirá con sus momentos.

1
τ  τ C  τ f  GM M m ro D1 sen θ 
 2
2
 ro  D1  2 ro D1cosθ




3 
ro2  D12  2 ro D1cosθ 2 
1
 
3
2
Teniendo en cuenta que ro  D1 , hacemos la aproximación
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009

ro2  D12  D12
10

1
τ  τ C  τ f  GM M m ro D1 sen θ 
 2
 D1  2 ro D1cosθ




3 
D12  2 ro D1cosθ 2 
1
 
3
2



1
1

 τ  GM M m ro D1 sen θ 

3
3


 D1 D1  2 ro cos θ  2 D1 D1  2 ro cos θ  2 


GM M m ro D1 sen θ 
1
1

τ

3
3
3


2
D1
 D1  2 ro cos θ  2 D1  2 ro cos θ  2 
Los términos

1
D1  2 ro cos θ 
3
2
D1

3
2

  2 ro cos θ  
1   
 
 

D
1




1
D1  2 ro cos θ 
3
2


3
2
3
2

3
2
D1
D1

3 r cos θ
3 2 r cos θ
1  o
1  o
2
D1
D1
3
2

3
2
D1
D1

3 r cos θ
3 2 r cos θ
1  o
1  o
2
D1
D1
Los llevamos a .
τ
3
2

3
2
GM M m ro D1 sen θ  D1
D


3
2
1
GM M m ro D1 sen θ  D1
3
D12




1
1



3 ro cos θ 
 3ro cos θ
1
1 

D1
D1 

 6 ro cos θ 


D1


2
2 

9 r cos θ
1 o 2



D1


En la última ecuación
9 r02 cos 2 θ
1
1
D12
Finalmente el momento vale
τ
6 GM M m ro2 senθ cos θ 3 GM M m ro2 sen 2θ

D13
D13
3f) Calcule el valor numérico del momento total , tomando  =3º y
m=3,6.1016 kg (observe que esta masa es del orden 10-8 de la masa de la
Tierra)
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
11


2
3 GM M m ro2 sen 2θ 3  6,7.10 11  7,3.10 22  3,6.1016  6,4.10 6  sen 6º
τ

 4,1.1016 N m
3
3
8
D1
3,8.10


3g) Puesto que el momento está relacionado con el momento angular,
calcular el aumento de la distancia Tierra-Luna a lo largo de un año.
Expresar el momento angular de la Luna en función de MM , ME , D1, y
G.
Igualamos la fuerza centrípeta actual con la fuerza de atracción gravitatoria
M M ω12 D1  G
MEMM

D12
ω12 
GM E
D13
El momento angular actual de la Luna es:
L M  M M v L D1  M M ω1D1   D1  M M D12
GM E
 M M GM E D1
D13
1 dD
dL M
dD1  2
1

τ
 M M GM E 
 M M GM E  D1  2  1
dt
dt
2
dt
1

2 τ D1
2  4,1.1016  3,8.10 8
dD1


 1,09.10 9 m por cada segundo
22
11
24
dt
M M GM E 7,3.10   6,7.10  6.10
Al cabo de un año
ΔD  1,09.10 9  365  86400  0,034 m  3,4 cm
Finalmente determinar el aumento que experimenta un día cuando
transcurre un año.
3h) Encontrar la disminución de E1 por año y el alargamiento de un día
actual cuando transcurre un año.
En el apartado 3g se deduce que la Luna se aleja de la Tierra cada año aumentando su
momento angular, como en el sistema Tierra-Luna el momento debe conservarse, es
necesario que la Tierra pierda momento angular.
τ
d
4,1.1016
I E ω E1   I E dω E1  dω E1   τ  
2
dt
dt
dt
IE
 6,0.10 24  6,4.10 6
5
 22
Δω E1  4,2.10  365  86400  1,3.10 14s 1

José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009

2
 4,2.10  22 
12
τ  I E

dω E1
d  2π 
d 1 
1 dT
  2π I E1 
  2π I E1 2  E1 
 I E 
dt
dt  TE1 
dt  TE1 
TE1 dt
2
dTE1
τ TE1


dt
2π I E1
2
2
τ TE1
4,1.1016  24  3600

2
2
2π  M E ro2 2π   6,0.10 24  6,4.10 6
5
5


 5.10 13
2
ΔTE1  5,0.10 13  365  86400  1,6.10 5 s
¿Dónde va la energía?
En contraste con el momento angular que se conserva, la energía total
del sistema (rotacional más gravitacional) no lo hace.
4a) Escribir la ecuación de la energía total E en función de IE, E1, MM,
ME, D1 y G.
E  G
MEMM 1
M M
1
1
1
 I E ω 2E1  I M ω 2L1  G E M  I E ω 2E1  M M D12 ω 2M1
D1
2
2
D1
2
2
Igualamos la fuerza centrípeta de la Luna con la fuerza de atracción gravitatoria
MEMM
GM E
 ω 2M1 
2
D1
D13
GM E
M M
1
1
1
 I E ω 2E1  M M D12
 G E M  I E ω 2E1
3
2
2
2 D1
2
D1
M M ω 2M1 D1  G
E  G
MEMM
D1
4b) Escribir la ecuación para el cambio de E en función de los cambios
en D1 y E1. Calcular el valor numérico del cambio de E, E, a lo largo
de un año, utilizando los valores de los cambios de D1 y E1 obtenidos en
los apartados 3g y 3h.
M M d 1  1 d 2
GM E M M dD1
dω E1
dE
 G E M    I E
ω E1 
 I E ω E1
2
dt
2 D1 dt  D1  2 dt
dt
dt
2 D1
 
2
dE 6,7.10 11  6,0.10 24  7,3.10 22
2

1,09.10 9  6,0.10 24 6,4.10 6  7,3.10 5   4,2.10 22
2
dt
5
2 3,8.108




dE
J
 0,11.1012  3,0.1012  2,9.1012
dt
s
ΔE  2,9.1012  365  86400  9,1.1019 J
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009


13
Comprobar que esta pérdida de energía está de acuerdo con una
estimación de la energía, en forma de calor, en las mareas producidas
por la Luna sobre la Tierra. Se supone que la elevación promedio de las
mareas es de 0,5 m sobre una capa de agua de profundidad h=0,5 m que
cubre de forma uniforme toda la superficie de la Tierra (esto es una
simplificación del problema). Las mareas ocurren dos veces cada día.
Además se supone que el 10% de la energía gravitacional se disipa en
forma de calor cuando el nivel de la marea desciende.
Densidad del agua  =103 kg m-3 g = 9,8 m s-2.
4c) ¿Cuál es la masa de la capa de agua?
El volumen del agua es V  4ππo2 h

La masa de agua M agua  Vρ  4 π ro2 h ρ  4 π  6,4.10 6

2
 0,5  10 3  2,6.1017 kg
4d) Calcula la energía disipada en un año. Compare el valor encontrado
con la energía perdida por año por el sistema actual Tierra-Luna.
Energía potencial adquirida por el agua en la pleamar
E  M aguagh  2,6.1017  9,8  0,5  2  365  9,3.10.10 20 J
El 10% de la energía anterior aparece en forma de calor.
E calor  9,3.1019 J
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14
PROBLEMA 2
ENFRIAMIENTO CON LÁSER Y MELAZA ÓPTICA
El objetivo de este problema es desarrollar un teoría sencilla para
entender el denominado “enfriamiento láser” y “melaza óptica”. El tema
es el enfriamiento de un haz de átomos neutros, en general alcalinos, por
haces de láser con la misma frecuencia. Esto forma parte del premio
Nobel de Física otorgado a S. Chu, P. Phillips y C. Cohen-Tannoudji en
1997.
La imagen superior muestra un átomo de sodio (la mancha brillante del
centro) atrapada en la intersección de tres pares de láseres ortogonales
opuestos. La región de confinamiento se denomina “melaza óptica” a
causa de que la fuerza óptica disipativa se parece al rozamiento viscoso
de un cuerpo que se mueva a través de una melaza.
En este problema analizará los fundamentos del fenómeno de la
interacción entre un fotón incidente sobre un átomo y las bases del
mecanismo disipativo en una dimensión.
Parte I.-Fundamento básico del enfriamiento por láser
Considerar un átomo de masa m desplazándose por el eje x positivo con
una velocidad v. Por sencillez, solamente consideramos el problema en
una dimensión, ignoramos las direcciones y , z (ver figura 1). El átomo
posee dos niveles de energía, el estado más bajo se considera con valor
h
cero y el estado excitado con energía h ωo , siendo h 
. El átomo se
2π
encuentra inicialmente en su estado más bajo de energía.
Un haz de láser con frecuencia L en el laboratorio moviéndose en
dirección –x incide sobre un átomo. El láser se compone de un gran
número de fotones de energía h ωL y momento - h q . Un átomo absorbe
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
15
un fotón y después lo emite de forma espontánea; esta emisión ocurre
con la misma probabilidad en el sentido +x que –x.
Dado que el átomo se desplaza con velocidad no relativista v/c<<1,
emplear solamente los términos de grado 1 para esta cantidad.
h q
Considerar también que
 1 , esto significa que el momento del
mv
átomo es mucho mayor que el momento de un único fotón.
Fig.1.- Esquema de un átomo de masa m con velocidad v en sentido +x
colisionando con un fotón de energía h
 ωL y momento - h q . El átomo posee dos
 ωo .
niveles de energía con una diferencia entre ellos de h
Suponer que la frecuencia del láser L es sintonizada de modo que vista
desde el átomo en movimiento esté en resonancia con la transición
interna del átomo.
1.-Absorción
1a) Escribir la condición de resonancia para la absorción del fotón.
La condición de resonancia supone que la frecuencia del fotón vista desde el átomo en
movimiento sea igual a o. Nos encontramos en la situación de que el observador se
acerca a la fuente y el efecto Doppler relativista es:
1
1 β 2

ω 0  ω L 
1 β 
; β
v
c
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
16
Si el receptor se acerca a la fuente, como es el caso,  es negativo .El desarrollo en
serie de la función anterior y limitándonos a potencias de primer grado conduce a
 v
ω o  ω L 1  
 c
1b) Escribir el momento pat del átomo después de la absorción visto desde
el laboratorio.
La cantidad de movimiento del sistema átomo-fotón antes de la absorción es igual a la
cantidad de movimiento del átomo después de la absorción
ω
h q
mv  h q  p at  mv  h L  m´v´ mv´  v´ v 
(1)
c
m
m0
Como m 
y no se consideran más que términos de primer grado m =mo y por
v2
1 2
c
lo mismo m =m´=mo.
1c) Escribir la energía total del átomo at después de la absorción visto
desde el laboratorio.
Según el principio de conservación de la energía
1
mv 2  h ω L  ε at
2
2.-Emisión espontánea de un fotón en el sentido –x
Un tiempo después de la absorción del fotón incidente, el átomo puede
emitir un fotón en la dirección x y sentido –x.
2a) Escribir la energía del fotón emitido ft después del proceso de
emisión en el sentido –x, visto desde el laboratorio.
Dado que el fotón se mueve en sentido –x.
h q 

 v

 v´ 
m  ω 1  v 1  v  h q 
ω ft  ω o 1    ω o 1 
c
c 
c  c mc 


L




h q
h q
 1 según el enunciado y dado que v<<c , resulta que
 1 es un término
Si
mv
mc
despreciable y por consiguiente:

ω ft  ω L 1 

 v2 
v  v 

 1    ω L 1  2   ω L  ε ft  h ω L
c  c 
 c 
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17
2b) Escribir el momento del fotón emitido pft después del proceso de
emisión en el sentido –x, visto desde el laboratorio.
El momento del fotón es igual a su energía divida por c.
h ω L
p -ft  
c
2c) Escribir el momento del átomo pat después del proceso de emisión en
el sentido –x, visto desde el laboratorio.
Conservación del momento
mv´ p -at 
h ω L
h ω L
h q 

 m v 

  p at 
c
m
c

p -at  mv  h q  h
ωL
 mv
c
2d) Escribir la energía del átomo at después del proceso de emisión en el
sentido –x, visto desde el laboratorio.
Como la cantidad de movimiento del átomo es pat =mv , su energía vale
p at2
1
ε 
 mv 2
2m 2
at
3.-Emisión espontánea de un fotón en el sentido +x
Un tiempo después de la absorción del fotón incidente, el átomo puede
emitir un fotón en la dirección x y sentido +x.
3a) Escribir la energía del fotón emitido ft después del proceso de
emisión en el sentido +x, visto desde el laboratorio.
Dado que el fotón se mueve en sentido +x.
h q 

 v

v´


m  ω 1  v 1  v  h q 
ω ft  ω o 1    ω o 1 
c
c 
c  c mc 


L




h q
h q
Si
 1 según el enunciado y dado que v<<c, resulta que
 1 es un término
mv
mc
despreciable y por consiguiente

v v2 
v
 v  v 

ω ft  ω L 1   1    ω L 1  2  2   ω L 1  2  
c c 
c
 c  c 


José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
v

ε ft  h ω L 1  2 
c

18
3b) Escribir el momento del fotón emitido pft después del proceso de
emisión en el sentido +x, visto desde el laboratorio.
El momento del fotón es igual a su energía divida por c.
p ft 
h ω L 
v
1  2 
c 
c
3c) Escribir el momento del átomo pat después del proceso de emisión en
el sentido +x, visto desde el laboratorio.
Conservación del momento
mv´ p at 
h ω L
h ω L
h q 


 m v 

  p at 
c
m
c

p at  mv  h q  h
ωL
 mv - 2 h q
c
3d) Escribir la energía del átomo at después del proceso de emisión en el
sentido +x, visto desde el laboratorio.
Como la cantidad de movimiento del átomo es p at =mv  2 h q , su energía vale:
ε at 
p at2
mv  2 h q 2  m 2 v 2  4h 2 q 2  4mvh q  1 mv 2  2vh q

2m
2m
2m
2
4.-Emisión promedio después de la absorción
La emisión espontánea de un fotón en los sentidos –x y +x ocurren con la
misma probabilidad
4a) Escribir la energía promedio de un fotón emitido después del proceso
de emisión.
v

h ω L  h ω L 1  2 
ε ε
v
c


ε ft 

 h ω L  h ω L  h ω L 1 
2
2
c


ft

ft
4b) Escribir el momento promedio de un fotón emitido
proceso de emisión.
p ft 

ft

ft
p p

2
4c) Escribir la energía
emisión.

h ω L h ω L

c
c
2
v

c
después del
v

1  2 
c  h ω L v


0
c2
promedio del átomo después del proceso de
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
19
ε at 


ε att
 ε att
2
4d) Escribir el momento
emisión.
p
mv 2 mv 2

 2 v h q
mv 2
2
2


 v h q
2
2
promedio del átomo después del proceso de
p at  p at m v  m v  2 h q

 m v  h q
2
2
5.-Transferencia de energía y momento.
Suponiendo solamente un proceso completo de absorción –emisión, tal
como se ha descrito, existe un momento promedio neto y una energía
transferida entre la radiación láser y el átomo.
5a) Escribir el cambio promedio de energía  del átomo después de un
proceso completo de absorción-emisión de un fotón.
1
mv 2
2
La energía promedio del átomo después de la absorción-emisión de un fotón es, tal
1
como se ha calculado en el apartado 4c: mv 2  vh q .
2
ω
1
1
Δε  mv 2  vh q  mv 2   vh q   vh L
2
2
c
La energía del átomo en un principio antes de absorber el fotón es:
5b) Escribir el cambio promedio del momento p del átomo después de
un proceso completo de emisión-absorción de un fotón.
El momento del átomo en principio es: p = mv
El momento promedio del átomo después de la absorción-emisión es:, según lo
calculado en 4d: mv  h q .
ω
Δp  mv  h q  mv  h q  h L
c
6.-Energía y momento transferido por un haz de láser que se desplaza
en la dirección x y sentido +x.
Considerar ahora que un haz de láser de frecuencia ω L, incide sobre un
átomo a lo largo del sentido +x, mientras que el átomo se desplaza en el
sentido +x con una velocidad v. Suponiendo la condición de resonancia
entre la transición interna del átomo y el haz de láser visto desde el
átomo.
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
20
Vamos a hacer todos los cálculos anteriores pero con el fotón incidiendo en el sentido
+x. Al lado de cada cálculo aparece una numeración con prima para poder comparar
cuando el fotón incide de izquierda a derecha con cuando lo hace de derecha a izquierda
 v
1a)´ Resonancia: ω o  ω 'L 1  
 c
h q´
1b)´ Momento del átomo mv  h q´ p at  mV´  V´ v 
m
1
1c)´ Energía del átomo mv 2  h ω 'L  ε at
2
Emisión del fotón eje –x
2a)´ Energía del fotón :
´
 V´ 
 v   v  h q 
 v  v 
 2v 
  ω´L 1   1    ω´L 1  
  ω´L 1   1 
ω ft  ω o 1 
c 
c 
c 
 c 
 c  c 


v

ε ft  h ω´L 1  2 
c

v

h ω´L 1  2 
c  h ω´L

2b)´ Momento del fotón: p ft  

c
c
2c)´ Momento del átomo

h ω´L
h ω´L
h q ´ 
  p at 
 m v 

c
m 
c

2d)´ Energía del átomo
mV ´  p at 
ε at 
p 
 2
at
2m

m2v2
4
2m
h
2
ω 
´´ 2
L
2
c
2m
p at  mv  2
h ω´L
c
ω´L
m v h
´
c  1 mv 2  2h q v
4
2m
2
Emisión del fotón eje +x
3a)´ Energía del fotón
´
 V´ 
 v   v  h q 
 v 
  ω´L 1   1 
  ω´L 1   1 
ω ft  ω o 1 
c 
c 
 c 
 c 


´
ε ft  h ω L
3b)´ Momento del fotón: p ft 
h ω´L
c
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
v
v2
´ 


ω
1


L
2
c
 c

  ω´L

21
3c)´ Momento del átomo
mV ´  p at 

h ω´L
h q ´ 
  h q ´  p at 
 m v 
c
m 

3d)´ Energía del átomo: ε at
p 

 2
at
2m

p at  m v
m2v2 1
 m v2
2m
2
Energía promedio después de la absorción
4a)´ Energías promedio de un fotón:
 2v 
h ω´L 1    h ω´L
ε ε
c 
 v

ε ft 

 h ω´L 1  
2
2
 c
4b)´ Momento promedio del fotón

ft

ft
p ft 

ft

ft
p p

2
 h
ω´´L
ω´
 h L
c
c 0
2
4c)´ Energía promedio del átomo.
ε at 

at
ε ε
2

at
1
1
mv 2  2h q ´ v  mv 2
1
2
 2
 mv 2  h q ´ v
2
2
4d)´ Momento promedio del átomo
p at 
p at  p at mv  2h q ´  mv

 mv  h q ´
2
2
6a) Escribir el cambio promedio de energía  del átomo después de un
proceso completo de absorción-emisión de un fotón.
1
mv 2
2
La energía promedio del átomo después de la absorción-emisión de un fotón es, tal
1
como se ha calculado en el apartado (4c)´: mv 2  h q´v .
2
ω,
1
1
Δε  mv 2  h q´v  mv 2   h q´v   h L v
2
2
c
La energía del átomo en un principio antes de absorber el fotón es:
6b) Escribir el cambio promedio del momento p del átomo después de
un proceso completo de emisión-absorción de un fotón.
El momento del átomo en principio es: p = mv
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
22
El momento promedio del átomo después de la absorción-emisión es:, según lo
calculado en (4d)´: mv  h q ´ .
Δp  mv  h q,  mv   h q,   h
ω,L
c
Parte II.-Disipación y los fundamentos de la melaza óptica
La Naturaleza impone una inherente incertidumbre a los procesos
cuánticos. Así el hecho de que el átomo pueda emitir un fotón de forma
espontánea un tiempo finito después de la absorción, conlleva que la
condición de resonancia no se verifique exactamente como se ha hecho
en los apartados anteriores. Esto significa que la frecuencia de los haces
de láser ωL y ωL, puedan tener cualquier valor y aún así el proceso de
absorción-emisión puede verificarse. Esto sucede con diferentes
probabilidades y tal como se esperaba, la máxima probabilidad sucede
cuando se verifica la condición de resonancia. El tiempo promedio entre
un único proceso de absorción y consiguiente emisión se denomina vida
media del estado excitado y se designa por Γ 1 .
Considerar un colectivo de átomos en reposo en el sistema de referencia
del laboratorio y un haz de láser de frecuencia ωL que incide sobre ellos.
Los átomos absorben y emiten fotones de forma continua, pero existe un
promedio Nexc de átomos en estado excitado ( y por consiguiente N-Nexc,
de átomos en el estado fundamental). Los cálculos de la mecánica
cuántica llegan al siguiente resultado
N exc  N
Ω R2
2
ωo  ωL   Γ4
 2 Ω R2
Donde ωo es la frecuencia de resonancia de la transición entre los dos
niveles de los átomos, Ω R es la llamada frecuencia de Rabi; Ω R2 es
proporcional a la intensidad del haz de láser. Tal como se ha indicado
anteriormente el número de átomos excitados es distinto de cero aun
cuando ωo sea diferente de ωL .Un camino para expresar el número de
procesos de absorción-emisión por unidad de tiempo es N exc Γ .
Considerar la situación de la figura 2 en la cual dos haces de láser, en
contrapropagación con la misma pero con cualquier frecuencia ωL ,
inciden sobre un gas de N átomos los cuales se desplazan con velocidad
v en la dirección x y sentido +x.
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
23
Fig.2.- Dos haces de láser con la misma pero con cualquiera frecuencia ωL
inciden sobre un gas de N átomos que se mueven en sentido +x con una velocidad
v.
7.- Fuerza sobre los átomos por los láseres
7a) Con la información dada encontrar la fuerza con que los láseres
ejercen sobre el conjunto de los átomos.
Recodemos que la fuerza está relacionada con la variación de la cantidad de
Δp
movimiento: F 
.
Δt
Aplicamos al haz de láser que viene de derecha a izquierda.
F(  x) 
N exc  Δp
Γ
Para los átomos la frecuencia que “ven” es, de acuerdo con el efecto Doppler,
v
 v
ω L 1    ω L  ω L . Sustituimos el valor de Nexc. Y de p (ver 5a).
c
 c
F(  x)  N
Ω 2R
2
v
Γ

 2 Ω 2R
 ωo  ωL  ωL  
c
4

2
ω 

   h L   Γ
c 

Aplicamos al haz de láser que viene de izquierda a derecha
F(  x) 
N exc  Δp
Γ
Para los átomos la frecuencia que “ven” es, de acuerdo con el efecto Doppler
v
 v
ω L 1    ω L  ω L . Sustituimos el valor de Nexc y de p (ver 6b).
c
 c
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
24
F(  x)  N
Ω 2R
2
v
Γ

 2 Ω 2R
 ωo  ωL  ωL  
c
4

2
ω

   h L
c


Γ

La fuerza neta es:
Fneta


1
1

2
 N Ω R h q Γ

2
2
2
2
  ω  ω  ω v   Γ  2 Ω 2  ω  ω  ω v   Γ  2 Ω 2
L
L
R
o
L
L
R
 o
c
4
c
4









7.- Límite a baja velocidad
Suponer ahora una velocidad suficientemente pequeña con el fin de
obtener la fuerza en función de la primera potencia de v.
8a) Encontrar el valor de la fuerza neta con esta condición
Para manejar con mayor comodidad la ecuación anterior hacemos:
ωo  ωL  B ;
Γ2
 2 Ω 2R  A
4




1
1
2


Fneta  N Ω R h q Γ

2
2


v
v

 B  ωL   A  B  ωL   A 
c
c
 


2
2
 
 

v
v
  B  ω L   A    B  ω L   A  
c
c
 
 
 
 Fneta  N Ω 2R h q Γ  

2
2




v
v




 Bω

  A   B  ω L   A  
L
 
c
c


 
 
 


2
2
 B 2  ω 2 v  2B ω v  B 2  ω 2 v  2 B ω v 
L
L
L
L

c
c
c2
c2
 Fneta  N Ω 2R h q Γ 

2
2

 

v
v


 B  ω L   A   B  ω L   A 


c
c



 



 Fneta


v


 4 B ωL


c
 N Ω 2R h q Γ 

2
2
  B  ω v   A   B  ω v   A  


 

L
L
 
c
c





 


El denominador de la ecuación anterior
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
25
 2

 
v2
v
v2
v
v
v


 B  ω 2L 2  2ω L  A   B 2  ω 2L 2  2ω L  A    B 2  2ω L  A   B 2  2ω L  A 
c
c
c
c
c
c




 
2
Hacemos B  A  P
2


2
v 
v
Γ2

2
2
2 v
2
2


P

2
ω
P

2
ω

P

4
ω

P

B

A

ω

ω

 2 Ω 2R 



L
L
L
L
 0
2
c 
c
4
c



Llevando lo a la Fneta.
v
 4 N Ω 2R h q Γ Bω L
 4 N Ω 2R h q 2 Γ  ω o  ω L  v
c
Fneta 

2
2


Γ2
Γ2
2
2
2 
2 
 2ΩR 
 2ΩR 
ω o  ω L  
ω o  ω L  
4
4






Utilizando le resultado anterior se pueden encontrar las condiciones de
aumentar la velocidad, disminuirla o no modificarla de los átomos por
acción del haz de luz láser.
8b) Expresar la condición para obtener fuerza positiva, esto es, aumentar
la velocidad.
El signo de a ecuación anterior está determinado por ω o  ω L .Para aumentar la
velocidad la Fneta debe ser positiva, por tanto, la condición es ω L  ω o .
8c) Expresar la condición para obtener fuerza cero
ωo  ω L  0  ωo  ω L
8d) Expresar la condición para obtener fuerza negativa, esto es,
aumentar la velocidad
ωo  ωL
8e) Considerar que los átomos se mueven con velocidad –v ( en el
sentido –x). Escribir la condición para obtener una fuerza que disminuya
la velocidad de los átomos.
Para el haz de láser que se desplaza desde la izquierda hacia la derecha, la frecuencia
v
 v
que “ven” los átomos es: ω L 1    ω L  ω L
c
 c
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
2
26
Para el haz de láser que se desplaza desde la derecha hacia la izquierda la frecuencia
v
 v
que “ven” los átomos es : ω L 1    ω L  ω L
c
 c
Si comparamos con los cálculos anteriores nos encontramos en la misma situación, por
tanto, la condición es la misma que en 8d): ω o  ω L
9.- Melaza óptica
En el caso de una fuerza negativa se obtiene una fuerza disipativas por
fricción. Suponer que inicialmente t=0, el gas de átomos posee una
velocidad vo.
9a) En el límite de bajas velocidades encontrar la velocidad de los átomos
después de que el haz de láser haya actuado un tiempo .
La ecuación del apartado 8a se puede escribir como:
Fneta 
 4 N Ω 2R h q 2 Γ  ω o  ω L  v
2
 β v  m


Γ2
2


ω

ω

 2 Ω 2R 
L
 o
4


τ
v
β
dv
β
v
   dt  
  τ  ln
m
vo
o m
vo v
dv
dt
 
 v  v0 e
β
dv
dt 

m
v
β
m
9b) Admitir que el gas de átomos se encuentra en equilibrio térmico a
una temperatura To. Encontrar la temperatura T después de que el haz de
láser haya actuado un tiempo .
Aplicando el principio de equipartición de la energía en una sola dimensión
kT
1
1
1
1
kT
kTo  mv 02  v o2  o ; kT  mv 2  v 2 
2
2
m
2
2
m
Llevando estos valores a la ecuación de la velocidad del apartado 9a.
kT

m
β
2 β τ
kTo  m τ
e
 T  To e m
m
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
27
PROBLEMA 3
¿POR QUÉ LAS ESTRELLAS SON TAN GRANDES?
Las estrellas son esferas de gas caliente. la mayoría de ellas brillan a
causa de que fusionan el hidrógeno en helio en sus partes centrales. En
este problema se utilizaran conceptos tanto de la mecánica clásica como
de la cuántica y también de la electrostática y termodinámica con el fin
de entender por qué las estrellas han de tener un tamaño suficientemente
grande para lograr el proceso de fusión y además para obtener la masa y
el radio de las estrellas más pequeñas que pueden fusionar el hidrógeno.
Fig.1.- Nuestro Sol, como la mayoría de las estrellas, brilla debido a que en sus
partes centrales se verifica a la fusión termonuclear del hidrógeno en helio.
Constantes útiles
Constante de Gravitación Universal: G = 6,7.10-11 m3 kg-1 s2.
Constante de Boltzmann: k=1,4.10-23 JK-1
Constante de Planck: h= 6,6.10-34 m2kg s-1
Masa del protón: mp= 1,7.10-27 kg
Masa del electrón: me=9,1.10-31 kg
Unidad de carga eléctrica:q=,6.10-19 C
Permitividad del vacío: o=8,9.10-12 C2N-1 m-2
Radio del Sol: RS=7,0.108 m
Masa del Sol: MS=2,0.1030 kg
1.- Estimación clásica de la temperatura del centro de las estrellas
Suponer que el gas que forma las estrellas es hidrógeno totalmente
ionizado (el mismo número de electrones que protones) y que se
comporta como si fuese un gas ideal. Desde el punto de vista clásico para
lograr la fusión de dos protones se necesita que estén a una distancia de
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
28
10-15 m para que a esta distancia aparezcan fuerzas nucleares atractivas
que superen a las repulsivas. Para llegar a esa distancia es preciso
vencer la fuerza de repulsión de Coulomb. Suponer que los dos protones
son masas puntuales y que se desplazan uno al encuentro del otro con
una velocidad vrms , la velocidad cuadrática media, en una colisión
frontal unidimensional.
1a) Determinar la temperatura del gas, Tc , para que la distancia de
aproximación entre los dos protones dc sea igual a 10-15 m. Dar el
resultado con dos cifras significativas.
Los dos protones cuando se encuentran muy alejados poseen cada uno la energía
1
cinética m p v 2rms , a medida que se acercan su energía cinética disminuye pues aparece
2
energía potencial eléctrica, el máximo acercamiento supone que desaparece la energía
potencial convertida en potencial eléctrica
1
1 q2
2  m p v 2rma 
2
4 π εo dc
De acuerdo con la teoría cinética
3
1
3
1 q2
kTC  m p v 2rms  2  kTC 

2
2
2
4 π εo dc


2
q2
1,6.10 19
TC 

 5,4.10 9 K
12 π k ε o d c 12 π 1,4.10  23  8,9.10 12  10 15
2.- Comprobando que la temperatura anterior está equivocada.
La comprobación de si la temperatura anterior es correcta, se necesita un
método independiente para deducir la temperatura de la estrella. La
estructura de las estrellas es muy complicada pero podemos acercarnos a
Comprenderla haciendo algunas suposiciones. Las estrellas están en
equilibrio no se expanden ni se contraen debido a que la fuerza
gravitatoria actuando hacia dentro está equilibrada con la fuerza de
presión hacia fuera (ver figura 2). Para una corteza de gas la ecuación
de equilibrio hidrostático a una distancia r del centro de la estrella está
dada por la siguiente ecuación
G M r ρr
ΔP

Δr
r2
P es la presión del gas, G la constante de Gravitación, Mr masa de la
estrella dentro de una esfera de radio r, y r la densidad del gas en la
corteza.
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
29
Fig.2.- Las estrellas están en equilibrio hidrostático con las diferencias de presión
equilibrando la gravedad.
Un orden de magnitud de la temperatura de la estrella se puede calcular
utilizando los parámetros del centro y superficie de la estrella haciendo
las siguientes aproximaciones:
ΔP  Po  Pc , Pc y Po son las presiones en el centro y en la superficie de
la estrella, dado que Pc>>Po se puede suponer que ΔP   Pc
Con igual aproximación  r =R, R es el radio total de la estrella
M r  M  M, M masa de la estrella
R
ρr  ρc , la densidad se considera la del centro.
Se supone que la presión es la de un gas ideal.
2a) Encontrar la ecuación de la temperatura en el centro de la estrella Tc
en función del radio y masa de la estrella y de las constantes físicas.
En la ecuación hacemos las aproximaciones del enunciado.
P
G Mρ
G Mρ
G Mr ρr
ΔP
c 
c (1)

  c 
P 
c
Δr
R
R
r2
R2
En la estrella existen el mismo número de protones que de electrones y.XP es el número
de protones. La teoría cinética establece para la presión de un gas ideal:
pV  N kT
N es el número total de partículas, N=2 XP
Pc V  2 X P k Tc 
Pc  2 k
X P Tc
V
La densidad es igual a:
ρc 
X p mP  X P me X p mP
masa



volumen
V
V
ρ
XP
 c
V
mp
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
30
De las dos últimas ecuaciones
Pc  2 k
ρ c Tc
(2)
mp
Llevando (2) a (1)
2k
ρ c Tc G M ρ c


mp
R
Tc 
G M mp
2k R
(3)
2b) Utilizando la ecuación encontrada en 2a escribir la razón M/R
esperada para una estrella en función de las constantes físicas y Tc.
De la ecuación (3) resulta:
M 2 k Tc

R G mp
2c) Con el valor de Tc hallado en el apartado 1a) encontrar el valor M/R
de una estrella
M 2 k Tc 2  1,4.10 23  5,4.10 9
kg


 1,3.10 24
11
 27
R G mp
m
6,7.10  1,7.10
2d) Calcular la relación MSol/RadioSol y verificar que este valor es mucho
más pequeño que el hallado en el apartado 2c).
30
M Sol 2,0.10
kg

 2,9.10 21

8
R Sol
m
7,0.10
M Sol
R Sol
2,9.10 21

 2,2.10 3
24
M
1,3.10
R
3.- Una estimación mecanocuántica de la temperatura del centro de las
estrellas.
La amplia discrepancia encontrada en 2d) sugiere que la estimación
clásica obtenida para Tc en 1a) no es correcta. La solución a esta
discrepancia
se
encuentra
cuando
consideramos
efectos
mecanocuánticos que nos dicen que los protones se comportan como
ondas y que un único protón es de un tamaño del orden de p que es la
longitud de onda de De Broglie. Esto implica que d c , la distancia de
máxima aproximación de los protones, es del orden de p y que los
protones en su aspecto mecanocuántico se solapan y pueden fusionarse.
3a) Suponiendo que d c 
λp
es la condición que permite la fusión,
2
encontrar la ecuación para Tc en función de las constantes físicas.
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
31
Recordemos que la longitud de onda asociada a una partícula es: λ 
h
, aplicada al
mv
protón en las condiciones del problema
h
m p v rms
Según el principio de equipartición de la energía
λp 
3 k Tc
λ
3
1
kTc  m p v 2rms  v 2rms 
 dc  P 
2
2
mp
2
h
2 m p v rms

h mp
2 m p 3 k Tc
En el apartado 1a) hemos visto que
Tc 
q 2 2 m p 3kTc
q 4 6 m 2p k Tc
q4mp
q2

 TC22 

T

c
12 π ε o k d c
144 π 2 ε o2 k 2 h 2 m p
24 π 2 ε o2 k h 2
12 π ε o k h m p
3b) Calcular el valor numérico de Tc obtenido en el apartado 2a)
Tc 
q 4mp
24 π 2 ε o2 k h 2
4

1,6.10 19   1,7.10 27

 9,7.10 6 K
2
2
24 π 2  8,9.10 12   1,4.10 23  6,6.10 34 
3c) Con el valor de Tc del apartado 2a) encontrar el valor numérico de
M/R de una estrella, utilizando la formula obtenida en 2b).Verificar que
este valor es similar a la razón MSol/RadioSol.
M 2 k Tc 2  1,4.10 23  9,7.10 6
kg


 2,4.10 21
11
 27
R G mp
m
6,7.10  1,7.10
30
M Sol 2,0.10
kg

 2,9.10 21

8
R Sol
m
7,0.10
M Sol
R Sol
2,9.10 21

 1,2
M
2,4.10 21
R
De hecho las estrellas de la denominada secuencia principal (las que
fusionan hidrógeno) aproximadamente siguen la relación anterior para
un elevado rango de masas.
4.- La relación entre la masa y el radio de las estrellas
Los resultados anteriores sugieren que el tratamiento mecanocuántico
para estimar la temperatura del centro de las estrellas es correcto.
4a) Utilizando los resultado obtenidos anteriormente demostrar que para
las estrellas que fusionan hidrógeno la relación entre la masa M y el
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
32
radio R, depende únicamente de constantes físicas. Encontrar la
ecuación M/R para las estrellas que fusionan hidrógeno.
En la primera de las siguientes ecuaciones
Tc 
q4mp
24 π ε k h
2 2
o
2
;
M 2 k Tc

R G mp
4
Despejamos
Tc
q
y lo sustituimos en la segunda:

2 2
m p 24 π ε o k h 2
M 2k
q4
q4


R
G 24 π 2 ε o2 k h 2 12 π 2 G ε o2 h 2
5.- La masa y el radio de las estrellas más pequeñas
El resultado encontrado en 4a) sugiere que pueden existir estrellas de
cualquier masa con tal de que cumplan la relación anterior y esto no es
cierto.
El gas interior de las estrellas normales que fusionan hidrógeno se
comporta aproximadamente como un gas perfecto. Esto significa que d e ,
la separación entre electrones, es en promedio mayor que e, su longitud
de onda de De Broglie. Con mayor detalle los electrones podrían estaren
un estado llamado degenerado y las estrellas podrían comportarse de
manera muy diferente. Observe la distinta manera de tratar los
protones y electrones dentro de la estrella. Para los protones sus ondas de
De Broglie podrían solaparse y dar lugar a fusionarse mientras que
para los electrones su onda de De Broglie no deben solaparse para
seguir comportándose como un gas ideal.
La densidad de las estrellas aumenta a medida que disminuye el radio.
Sin embargo para estas magnitudes estimadas se supone que la densidad
es uniforme. Debe tener en cuenta que mp>> me.
5a) Encontrar una ecuación para ne, densidad promedio de los electrones
dentro de la estrella.
En el apartado 2a) hemos designado con Xp el número de protones de una estrella que a
su vez es el número de electrones. La masa de la estrella es:
M  X P mp  X P me  X P mp
La densidad promedio de los electrones es:
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
33
Xp
ne 
V

Xp
4
π R3
3

M
4
π R 3m p
3
5b) Encontrar una ecuación para de, la separación entre los electrones
dentro de la estrella.
Imaginemos que un electrón se encuentra en el centro de un cubo de lado de pegado a él
existe otro cubo con un electrón en su centro la distancia entre los electrones es de. El
volumen de cada cubo es d 3e , como existen Xp electrones
de
4
πR 3
V
1
1
V  X p d 3e  d 3e 
 3



M
M
Xp
ne
4
mp
πR 3 m p
3
de  3
1
ne
λ
5c) Utilice la condición d e  e para encontrar la ecuación del radio
2
de las estrellas normales más pequeñas. Considere la temperatura del
centro de la estrella como típica para todo el interior estelar.
Calculamos el radio más pequeño, utilizando la relación d e 
λe
2
De acuerdo con De Broglie λ e 
3
1
kTc  m e v e2 
2
2
h
me ve
d e2 

3 k Tc
v 
me
.
λ
h2
 2 2
2 me ve
2
e
h2
h2
d 

6 m e2 k Tc
2 3 k Tc
2m e
me

2
e
1
2
2
e
En 5b) hemos deducido
1
de  3
1

ne
1
M
3
4
π R 3m p
3

1
M
1
3
2
1
 4 3 3
  π R m p3
3

d e2 
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
2
2
 43 3 2 3
  π R mp
3
M
2
3
34
2 k Tc R
M 2 k Tc

M
R G mp
G mp
De la ecuación

2
3
2
3
2
3
2
3
c
2 k T R
M 
2
2
3
2
G 3 m p3
A partir de las tres últimas ecuaciones
2
2
2
2
2
2
 4 3 3 2 3 3 3
  π R mp G mp
3
2
3
2
3
2
3
c
2
3
2 k T R
2
4
3
h2

6 m e k Tc

1
2 3 h 2 Tc 3 k
R 
2
3
2
3

1
3
4
3
p
2
4

2
2
3
22 h 2 k
R
2
3
1


1
h 2 Tc 3 k

6 me
2
3
1

4
 43 3 3 3 3
  π R mp G
3

1
3

1
4
4
 4 2
6  π m G me
6 4   π 2 m p G 2 m e4 Tc4
3
3
En la última ecuación sustituimos Tc obtenida en el apartado 3a).
3
1
1
3
1
1
Tc 
1
1
q4 mp
R
1
2

24 π 2 ε o2 k h 2
3
24 4  2 2 h 2 k

1
4
1
1
2
T 
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
e
1
1
24 4  2 2
h 2 ε o2
1
π 2 ε o2 k 4 h 2
1
2
q m p4
24 4 π 2 ε o2 k 4 h 2
4
6   π mp G m q m
3
3
4
1
4
c
 R
4
6  
3
1
4
p
3
4
1
2

3
4
e
5
4
p
qm m G
1
2
Vamos a reducir el factor numérico
1
1
24 4  2 2
4
64  
3
3
1
2
1

1
1
1
2 4  34  4 4  2 2
3
4
3
4
1
2
2 3 4 3
1

2
1 1 3
 
2 4
 24
1 3 1
 
4 2
 34
1 1

2
 44
4

1
4

1
2
1
h 2 ε o2
R
3
4
e
5
4
p
2qm m G
1
2
El valor de R anterior es el de la estrella más pequeña.
5d) Encontrar el valor numérico del radio de la estrella normal más
pequeña posible, expresando el resultado en metros y en unidades del
radio del Sol.
1
R
h 2 ε o2
3
4
e
5
4
p
2qm m G
1
2
6,6.10   8,9.10 
 9,1.10   1,7.10   6,7.10 
34 2

2  1,6.10 19
R  6,9.10 7 m 
3
31 4
1
12 2
5
 27 4
R Sol
 0,1 R Sol
7,0.108 m
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
1
11 2
 6,9.10 7 m
35
5e) Encontrar el valor numérico de la masa de la estrella normal más
pequeña posible, expresando el resultado en kg y en unidades de masas
del Sol.
q4mp
M 2 k Tc

En la ecuación
, sustituimos el valor de Tc 
R G mp
24 π 2 ε o2 k h 2



4
q4mp
2k
M
q4
1,6.10 19



R G m p 24 π 2 ε o2 k h 2 12 π 2 ε o2 G h 2 12 π 2 8,9.10 12 2  6,7.10 11  6,6.10 34



2

M
kg
kg
 2,4.10 21
 M  2,4.10 21
 6,9.10 7 m  1,7.10 29 kg
R
m
m
M
M
Sol
 1,7.10 29 kg 
 0,09 M Sol
R
2,0.10 30 kg
6.- La fusión de núcleos de helio en las estrellas más viejas
Una estrella es vieja cuando ha convertido la mayoría de su hidrógeno
del núcleo en helio. La estrella para seguir brillando ha de convertir el
helio en elementos más pesados. Un núcleo de helio tiene dos protones y
dos neutrones, por tanto, su carga es doble de la del protón y su masa
cuatro veces mayor. Hermos visto que la condición para fusionarse los
λp
protones es: d c 
.
2
6a) Con una condición equivalente para el helio, encontrar la v rsm del
helio y la THe para que ocurra su fusión.
d He 
λ He
2
h

2 m He v He
h

h

3 k THe
6 m He k THe
m He
Cuando dos núcleos de helio se acerquen a la distancia de su energía cinética se ha
convertido en potencial eléctrica.
2 m He
2
2
1 q 2He
1 4q p
1 q p 2 m He v He
1

2 m He v 2He  


π εo
h
2
 4 π ε o d He 4 π ε o d He
v He 
2 q 2p
π εoh


2 1,6.10 19
π  8,9.10
12


2
 6,6.10
34
 2,0.10 6

v He 
π εoh
m
s
4 m p v 2He 4  1,7.10 27  2,0.10 6
m v2
3
1
kTHe  m He v 2He  THe  He He 

2
2
3k
3k
3  1,4.10 23
José Luis Hernández Pérez, Madrid 2009
2 q 2p

2
 6,5.10 8 K