Grado en Ingeniería Mecánica Teoría de Sistemas PROBLEMAS PROPUESTOS. TEMAS 1 A 4 Señales y sistemas. Transformada de Laplace. Función de transferencia continua. Modelado de sistemas continuos. PROBLEMA 1. Cálculo de transformada de Laplace Dada la señal x(t) representada en la figura 1, se pide calcular la transformada de Laplace X(s) por los dos métodos siguientes, comprobando que los resultados coinciden: a) Usando directamente la definición de transformada de Laplace. b) Descomponiendo la señal en escalones y rampas. Figura 1: Señal x(t) x(t) = 0 1 2 − t/T 0 t<0 0≤t<T T ≤ t < 2T t ≥ 2T PROBLEMA 2. Transformada inversa de Laplace Calcular la transformada inversa de Laplace de las funciones siguientes: F1 (s) = 1 s(s2 + 2s + 2) F2 (s) = 1 + 4) s(s2 F3 (s) = 1 6s + 3 s2 F4 (s) = 5s + 2 (s + 1)(s + 2)2 PROBLEMA 3. Linealización y obtención de la función de transferencia Dado el sistema definido por las ecuaciones diferenciales siguientes: 2 d w(t) 2 w(t) dw(t) = 40 − 20 · dt dt x(t) dy(t) y(t) = 5 · w(t) − 2 · y(t) · + 2 · v(t) dt donde las señales x y v son entradas y la señal y es de salida y el punto de funcionamiento sobre el que se trabajará viene dado por x(0) = 2; v(0) = 5. −3· Se pide: 1. Obtener la función de transferencia G1 (s) = Y (s)/X(s). 2. Obtener la función de transferencia G2 (s) = Y (s)/V (s). PROBLEMA 4. Linealización y obtención de la función de transferencia Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada e y(t) representa la salida: x2 (t) + dx(t) d2 y(t) dy(t) + 2 · x(t) · y(t) = + 3 · dt dt2 dt Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 2, se pide obtener la función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s). PROBLEMA 5. Linealización y obtención de la función de transferencia Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada e y(t) representa la salida: d3 y(t) d2 y(t) dy(t) dx(t) dx(t) + 2 · +5· +3· · y(t) + 2y(t) − 10 · − x2 (t) − 2 = 0 3 2 dt dt dt dt dt Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 2, se pide obtener la función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s). 2 PROBLEMA 6. Linealización y obtención de la función de transferencia Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada e y(t) representa la salida: x(t) + 2 · d3 y(t) d2 y(t) dx(t) dy(t) =2· + 3 · y 2 (t) + +5· 3 2 dt dt dt dt Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 300, se pide obtener la función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s). PROBLEMA 7. Linealización y obtención de la función de transferencia Sea el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la entrada e y(t) representa la salida: dy(t) dx(t) d2 y(t) 3 − 4y(t)x(t) + 5 · · x(t) − 2x (t) − + 40 = 0 dt2 dt dt Suponiendo que el punto de funcionaniento está definido por x(0) = 2, se pide obtener la función de transferencia del sistema G(s) = Y (s)/X(s). PROBLEMA 8. Modelado de un calentador eléctrico para líquidos La figura 2 representa un calentador eléctrico para líquidos cuyo contenido se calienta aplicando tensión a una resistencia R. Figura 2: Calentador eléctrico Las variables que intervienen en el sistema son las siguientes: 3 h(t): altura del líquido en el depósito v(t): tensión aplicada a la resistencia T (t): temperatura del líquido qe (t): caudal de entrada qs (t): caudal de salida Se pide: 1. Diagrama de bloques en el dominio de Laplace. 2. Funciones de transferencia M1 (s) y M2 (s): M1 (s) = T (s) QE (s) M2 (s) = T (s) V (s) Datos: Ecuaciones del sistema con los valores de las constantes sustituidos: 0, 25 · dh(t) = qe (t) − qs (t) dt −4 qs (t) = 5, 6 · 10 · q h(t) 125 · qe (t) + 4, 17 · 10−6 · v 2 (t) = = 4, 17 · qs (t) · T (t) + 520 · 10−6 · [T (t) − 20] · h(t)+ " dT (t) dh(t) + 1, 04 · h(t) · + T (t) · dt dt Punto de funcionamiento para el análisis: v(0) = 100 V qe (0) = 0, 5 · 10−3 m3 /s 4 # PROBLEMA 9. Modelado de un dique La figura 3 representa un dique de 15 m de altura pensado para evitar riadas en épocas lluviosas. Se considerarán como variables de entrada al sistema la intensidad de lluvia pl(t) y la apertura de la compuerta de desagüe vd (t); y como variable de salida la altura de agua en el dique h(t). También se utilizarán como variables intermedias el caudal de lluvia qpl (t) y el caudal de desagüe qd (t). Figura 3: Esquema de un dique Ecuaciones físicas del sistema: qpl (t) = pl(t) · A qd (t) = K · q h(t) · vd (t) dh(t) qpl (t) − qd (t) = dt A Valores de las constantes: A = 40000 m2 (área de la presa) K = 28 m1/2 /s (constante de vaciado) Se pide: 1. Representar las ecuaciones del sistema en el dominio de Laplace, linealizadas sobre el punto de equilibrio correspondiente a una intensidad de lluvia pl(0) = 5,2 l/m2 s (1 litro = 10−3 m3 ) y una apertura de la compuerta de desagüe vd (0) = 2,57 m2 . 2. Representar el diagrama de bloques del sistema completo. 3. Partiendo de la situación de equilibrio y sin variar la posición de la compuerta de desagüe, calcular la altura que alcanzará el agua en el dique si la intensidad de lluvia pasara a valer 5,7 l/m2 s. 4. Partiendo de la situación de equilibrio y sin variar la posición de la compuerta, calcular el tiempo que tardaría el nivel de agua en sobrepasar el dique si la intensidad de lluvia pasara a valer 8 l/m2 s. 5 5. Partiendo de la situación de equilibrio y suponiendo que la intensidad de lluvia no varía, calcular cuál sería la apertura de la compuerta necesaria para que la altura de agua en el dique bajara 1 m en una hora. 6. ¿Cómo afecta a la velocidad del sistema el área de la presa? Razonar la respuesta. PROBLEMA 10. Modelado del amortiguador de un vehículo En la figura 4 se muestra un modelo simplificado de una de las suspensiones de un vehículo. Se considera como variable de entrada el desplazamiento x(t) de la base del neumático respecto de una referencia de altitud absoluta y como salida el desplazamiento y(t) del chasis del vehículo respecto de la misma referencia. La ecuación que describe el sistema es: d2 y(t) dy(t) dx(t) − m· = mg − K · (y(t) − x(t)) − B · dt2 dt dt ! donde los valores de las constantes son: m = 1000 kg, B = 8000 Ns/m, K = 40000 N/m y g = 9,8 m/s2 Figura 4: Modelo simplificado de uno de los amortiguadores de un vehículo Suponiendo que se trabaja alrededor del punto de equilibrio dado por x(0) = 0, se pide: 1. Obtener la función de transferencia F (s) que relaciona la entrada x(t) con la salida y(t). 2. Si el vehículo está circulando por una superficie horizontal en régimen permanente y se encuentra de repente con un bordillo como el que se muestra en la figura 5, obtener la evolución de la posición del chasis del vehículo en función del tiempo (salida y(t)). Figura 5: Entrada para el apartado 2 del problema 10 6 PROBLEMA 11. Obtención de función de transferencia. Cálculo de salida de sistema realimentado Sobre un sistema con función de transferencia F (s) desconocida se ha aplicado como entrada un escalón unitario obteniendo como respuesta la señal siguiente: y(t) = 0,5 · 1 − e−2t , t≥0 Se pide: 1. Obtener la función de transferencia del sistema, F (s). 2. Si el sistema anterior se realimenta como se indica en la la figura 6, obtener la respuesta y(t) cuando la entrada x(t) es un escalón de amplitud 10. Figura 6: Sistema realimentado para el problema 11 PROBLEMA 12. Cálculos sobre un sistema usando la transformada directa e inversa de Laplace y el teorema del valor final El comportamiento de un sistema puede modelarse por la siguiente ecuación diferencial, donde x(t) representa la señal de entrada e y(t) la señal de salida: − d2 y(t) dx(t) dy(t) 2 + y(t) · − 5 · x (t) + y(t) · − 4 · y(t) = 0 dt2 dt dt Suponiendo que se trabaja alrededor del punto de equilibrio definido por x(0) = 2, se pide: 1. Obtener la función de transferencia F (s) que relaciona la entrada y la salida del sistema. 2. Si la señal de entrada x(t) pasa bruscamente a tomar un valor x(t) = 4 desde el punto de equilibrio, calcular los valores de la señal de salida y(t) en los instantes t = 0,5 y t = 2 segundos. 3. Sabiendo que el sistema es estable, calcular la amplitud necesaria del escalón de entrada para que el valor de la salida y(t) se incremente en 2 unidades en régimen permanente. 7 PROBLEMA 13. Respuesta de un sistema Sea el sistema representado por la ecuación diferencial siguiente, donde x(t) es la entrada e y(t) la salida: d2 y(t) dy(t) = x(t) + dt2 dt Suponiendo condiciones iniciales nulas (x(0) = y(0) = 0), se pide obtener la salida del sistema en el instante t = 3 segundos ante la entrada x(t) que se muestra en la figura 7. Figura 7: Señal de entrada x(t) para el problema 13 PROBLEMA 14. Respuesta de un sistema Sea el sistema representado por la ecuación diferencial siguiente, donde x(t) es la entrada e y(t) la salida: dy(t) d2 y(t) +2 + y(t) = x(t) 2 dt dt Suponiendo condiciones iniciales nulas (x(0) = y(0) = 0), se pide obtener la salida del sistema en el instante t = 4 segundos ante la entrada x(t) que se muestra en la figura 8. Figura 8: Señal de entrada x(t) para el problema 14 8 PROBLEMA 15. Simplificación de diagrama de bloques Dado el diagrama de bloques de la figura 9, se pide simplificarlo y obtener la función de transferencia Y (s)/X(s). Figura 9: Diagrama de bloques PROBLEMA 16. Dibujo de diagrama de bloques y simplificación Dadas las ecuaciones siguientes, expresadas en el dominio de Laplace, se pide representarlas en un diagrama de bloques y reducir el diagrama hasta obtener la función de transferencia M (s) que relaciona la entrada R(s) con la salida C(s): M (s) = C(s)/R(s). Ecuaciones: E(s) = R(s) − C(s)H3 (s) U1 (s) = E(s)G1 (s) U3 (s) = [U1 (s) − U2 (s)]G2 (s) U2 (s) = U4 (s)H2 (s) U4 (s) = [U3 (s) + U5 (s)]G3 (s) C(s) = U4 (s)G4 (s) U5 (s) = C(s)H1 (s) Nota: E(s), R(s), C(s) y U (s) son señales. Gi (s) y Hi (s) son funciones de transferencia. 9