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Resolver la ecuación x3 y (3) 3x2 y (2) + 6xy (1) 6y = 0:
Noten que es una ecuación lineal homogénea con coe…cientes variables.
Sugerencia: Hay dos soluciones que se "puede adivinar". Ensayen un polinomio de grado 1 y uno de grado 2. Con esas soluciones conocidas, el orden de
la ecuación se puede reducir.
Solución:
Probemos primero un polinomio de grado 1, es decir, y1 (x) = ax + b. Si lo
sustituimos en la ecuación obtenemos
6x (a) 6 (ax + b) = 0
de donde
6ax 6ax b = 0
y por tanto necesariamente
b = 0 y a puede tomar cualquier valor. Por simplicidad hacemos a = 1.
Tenemos pues la primer solución
y1 (x) = x
Probemos ahora un polinomio de grado 2: y2 (x) = ax2 + bx + c y lo sustituimos en la ecuación,
d2
d
d3
ax2 + bx + c 6 ax2 + bx + c =
x3 3 ax2 + bx + c 3x2 2 ax2 + bx + c +6x
dx
dx
dx
6c
Por tanto, c = 0 y a; b son arbitrarios. Tomamos a = 1 y b = 0. Así que la
otra solución es
y2 (x) = x2
Podemos proponer ahora
y = xz
Tenemos
y (1) = z + xz (1)
y (2) = 2z (1) + xz (2)
y (3) = 3z (2) + xz (3)
así que
x3 y (3) 3x2 y (2) + 6xy (1) 6y = x3 3z (2) + xz (3)
6x z + xz (1)
6xz == x4 z 000
por tanto
x4 z 000 = 0
y
z (x) = c0 + c1 x + c2 x2
y …nalmente
y (x) = c0 x + c1 x2 + c2 x3
Comprobación:
d3
x3 3 c0 x + c1 x2 + c2 x3
dx
6 c0 x + c1 x2 + c2 x3 = 0
3x2
3x2 2z (1) + xz (2) +
d
d2
c0 x + c1 x2 + c2 x3 +6x
c0 x + c1 x2 + c2 x3
2
dx
dx
1