CONICAS y cuadricas 13

Álgebra y Geometría Analítica.
Prof.: Gisela Saslavsky
LOS EJERCICIOS DEBEN RESOLVERSE TAMBIÉN USANDO SOFTWARE
MATEMÁTICO. LAS ECUACIONES PEDIDAS SON, EN TODOS LOS CASOS,
LAS CANÓNICAS Y LAS PARAMÉTRICAS.
I) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO
1. Determinar y graficar el conjunto de puntos del plano que equidistan de los puntos A(0, 2)
y B(2, 4).
2. Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a C(0, 2) es 2
3. Analizar las simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen de coordenadas de los
lugares geométricos definidos por a) x . y = 4 ; b ) x 2 + 2 x + 3 y 2 = 0
4. Demostrar las ecuaciones de transformación de la traslación de un sistema de coordenadas
cartesiano. Considerar que el origen del sistema XY se traslada al punto (h,k)
5. Mostrar que la distancia entre dos puntos es invariante frente a traslación del sistema de
coordenadas.
6. El sistema OXY se ha trasladado al punto O´(1,-2). En un gráfico que muestre ambos
sistemas (OXY y O´X´Y´), dibujar los lugares geométricos definidos por las siguientes
ecuaciones:
a) x+3y-4=0; b) y=x2-2; c) x'2+y'2=4
Dar en cada caso las ecuaciones respecto del otro sistema.
SECCIONES CÓNICAS
(1)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta
y−1=0
(2)Encontrar las coordenadas del vértice y del foco, la ecuación de la directriz, calcular la cuerda
y trazar la gráfica de las siguientes parábolas:
2
2
2
2
2
−2x = y ;( x+1) =4y ; y=x +4x−16 ; x = y +4x +6 ;−x +6x−4y−9=0
(3)Completar el siguiente cuadro sobre las características de la PARÁBOLA:
Ecuación
Vértice
Eje
Foco
Directriz La gráfica se extiende hacia
x2=4cy
(O, O)
arriba si c >0; ............. si c<0
y = 0 (c,0)
x = -c
............. si c >0; izquierda si c<0
x = x0 (x0, y0+c) y = y0-c
........... si c >0; abajo si c <0
(y-y0)2 = 4c(x-x0) (x0, y0)
derecha si c >0; ............ si c <0
(4)Hallar una ecuación de la parábola que satisfaga las siguientes condiciones:
a) Vértice en (0, 0), eje x=0, pasa por (-1, 4)
b) Vértice en (0, 0), foco (-2, 0)
c) Eje y=0, pasa por (2, 1) y vértice en (0, 0)
d) Foco en (3, -1); directriz x= ½
e) Eje paralelo al eje X, vértice en (1, 3) y que pasa por (-1, -1)
f) Cuya directriz es y + 2 = 0 y los extremos del lado recto son los puntos A(0, 2) y B(8, 2)
(5)Analizar las simetrías respecto de los ejes coordenados y del origen de coordenadas de una
parábola horizontal con vértice en el origen.
(6)Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de sus distancias a F(0, 2) y
F´(0,-2) es igual a 10.
(7)Obtener las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos de la elipse cuya ecuación se
da a continuación. Calcular además su excentricidad, lado recto y trazar su gráfica.
( x , y )=(5sen (t),3cos (t )) con t∈[0,2 pi] ;
4x 2+7y 2=28 ;
2
2
5y +9x −30y+18x+9=0
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(8)Encontrar la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones:
a) Centro en (0,0), vértices en (5,0) y (0,-2)
b) Vértices en (4,0) y (-4,0) y (0, ±2)
c) Vértices en (0, ±4), focos en (0, ±2)
d) Vértices en (-1, 2), (-7, 2) y eje menor de longitud igual a 2.
e) Vértices en (3, -2), (13, -2) y focos en (4, -2), (12, -2)
f) Centro en (2, 1), eje mayor paralelo al eje X y que pasa por los puntos (6, 1) y (2, 3)
g) Focos en F1(-4, 3) y F2(2, 3) y el perímetro del triángulo cuyos vértices son los focos y un
punto de la elipse es igual a 16.
(9)Para qué valores reales de k la ecuación x 2+ y 2+6kx−4y+13k=0 es una circunferencia,
puntos o ningún lugar geométrico.
(10)Para qué valores reales de k la ecuación 2x 2+ y 2 +kx +2=0 es una elipse, puntos o ningún
lugar geométrico.
(11)Hallar la ecuación y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a
los puntos F(0, 3) y F´(0,-3) es igual a 4.
(12)Obtener las coordenadas de los vértices y de los focos, dar las ecuaciones de las asíntotas,
calcular su excentricidad y lado recto y graficar las hipérbolas cuyas ecuaciones respectivas son:
a) y 2− x 2=9
b) 2x 2− y 2 =4
2
2
c) y /16− x /9=1
d) (x , y )=( 2sec(t) , tan(t))con t ∈[− pi , pi]
2
2
e) x − y +2y+2x=4
f) 25y 2−250y−4x 2−16x+509=0
(13)Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que verifican las siguientes condiciones:
a) Centro en (0,0), vértices (±3,0), un foco en (5,0)
b) Focos en (0, ±3), un vértice en (0,1)
c) Centro en (-1, 4), un foco en (-1, 2), y un vértice en (-1, 3)
d) Centro en (2, -3), eje transverso paralelo a uno de los ejes coordenados y que pase por los
puntos (3, -1) y (-1, 0)
e) Las ecuaciones de sus asíntotas son 2x + y = 0 y 2x – y = 0, y pasa por (3, -5)
(14)La distancia entre dos soportes verticales de un puente colgante es de 100m y la flecha del
cable es de 15m.
a) Si el cable tiene forma de parábola, obtener su ecuación. Suponer que el vértice está en el punto
medio, el más bajo, del cable.
b) Hallar la altura del cable a 30m del centro.
(15)Determinar el vértice y el foco de una parábola cuya ecuación es y=ax 2 +bx+c , a≠0
(16)Hallar la ecuación de una parábola sabiendo que: a) su foco coincide con el centro de la
elipse 3 x² + 8y² – 12y = 18; b) es paralela a los ejes coordenados; c) tiene por directriz a la recta
y + 6 = 0. Graficar.
(17)Hallar la ecuación de una parábola sabiendo que: a) su vértice coincide con el centro de la
hipérbola 3x² – 24x – 3y² + 4y + 44 = 0; b) es paralela a los ejes coordenados; c) su foco se
encuentra sobre la recta x – 8 = 0. Graficar.
(18)Un satélite es puesto en órbita elíptica alrededor de la Tierra. El radio terrestre es de 6000 km
aproximadamente y su centro está en uno de los focos de la órbita. Utilizando los datos de la
figura, hallar una ecuación para la órbita satelital. Indicar, además, cuál es la altura del punto P.
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(19)Demostrar que la hipérbola tiene simetría central.
(20)Definir y deducir la fórmula para calcular el lado recto (o cuerda focal normal) de cada una
de las secciones cónicas.
(21)Enunciar las propiedades ópticas de las secciones cónicas. Demostrar la propiedad referida a
la parábola.
(22) Para cada una de las siguientes ecuaciones, indicar qué gráfica es y trazarla. Obtener las
coordenadas o la ecuación de vértices, focos, ejes, asíntotas, directriz, etc., según corresponda.
(a )−4y+ x 2+4x=5 ;(b)( x , y)=( 2sen (t) ,cos (t)) , 0≤t<2pi
(c )( x , y )=(t ,3 t 2 ),t ∈ℝ ; (d )3x 2+2y 2−12x+8y+19=0
(e) 4x2 −4xy+7y 2+12x+6y=9 ;( f )1/ 4 y 2−2 /3 y+1/ 4 x 2−1/4 x=199/144
( g )( x , y )=( 2 tan (t ),3 sec(t)) ,− pi ≤t< pi
ROTACIÓN
1.Demostrar las ecuaciones de transformación de la rotación de un sistema de coordenadas
cartesiano. Considerar que el eje X rota un ángulo θ
2.Mostrar que la distancia entre dos puntos es invariante frente a rotación del sistema de
coordenadas.
3.El sistema OXY se ha rotado 60º. En un gráfico que muestre ambos sistemas (OXY y OX´Y´),
dibujar los lugares geométricos definidos por las siguientes ecuaciones:
a) x+3y-4=0; b) y=x2-2; c) x'2+y'2=4
Dar en cada caso las ecuaciones respecto del otro sistema.
4.Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de F(0, 2) y de la recta
2y− x+1=0
5.Determinar y graficar el lugar geométrico de los puntos cuya suma de sus distancias a F(2, 2) y
F´(-2,-2) es igual a 10.
6.Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los puntos
situados en (√2, √2) y (-√2, -√2) es igual a 2√2. Hallar también la ecuación en un sistema de ejes
X’Y’ rotado en 45º y calcular a partir de allí la excentricidad de la hipérbola.
II) GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO: SUPERFICIES CUÁDRICAS
(1)Hallar el centro y el radio de la superficie esférica cuya ecuación es
9x 2+9y 2+9z 2−36x+12y−18z+13=0
(2)Hallar la ecuación de la superficie esférica cuyo centro está sobre el eje X y que pasa por los
puntos (3, -4, 2) y (6, 2, -1)
∣ P⃗ − P⃗∣=r
0
(3)Probar que si r > 0 la ecuación
representa una esfera de centro P0y radio r
⃗
⃗
⃗
⃗
(4)Probar que la ecuación ( P − P 0 ).( P − P1 ) representa una esfera cuyo diámetro es la recta
que une P0 y P1.
(5)Hallar la ecuación de la superficie cilíndrica generada por las rectas indicadas y las directrices
dadas:
2
directriz: x −3z=0 generatrices paralelas al eje Y
y=0
x 2− y 2=1
z=0
directriz:
generatrices paralelas al vector (0, 2, -1)
4x 2+ z 2+ z=0
y=0
directriz:
generatrices paralelas al vector (4, 1, 0)
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(6)Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de manera tal que su
distancia al plano XY es siempre igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje Y. Construir
la superficie.
(7) Encontrar la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen dada la directriz:
y=x 2 +1
y 2+ x 2=1
x 2−4z 2=4
a)
b)
c)
z=1
z=2
y=3
(8) Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan del punto
(0,0,2) y de la recta ( x , y, z ) = t ( 1 , 1 , 0 ) y graficarlo
(9)Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada al hacer girar la curva dada en torno
al eje indicado:
z 2 =2y
yz=1
4z 2=4−x 2
x=0 eje Y
x=0 eje Z
a)
eje X
b)
c)
y=0
(10)Esquematizar la gráfica de las siguientes superficies haciendo un estudio completo.
Nombrarlas
(a)4x 2+4y2 =z
( d ) 2x 2−4y 2−3z 2−24=0
( b) x 2+2z 2= y 2 (e )16y=x 2 +4z 2
2
2
2
2
2
(c)2x +4y +3z −24=0 ( f ) z − y −x=0
(11)Identificar la superficie y situar su centro de simetría:
(a) x 2−4y2 +2z 2+16y−4z−21=0 ( c)9x 2−4y 2−36z2 =36
(b)− x 2+ y 2+z 2+2x+4y=4 (d )x 2 +2y 2−3z 2−2x+4y−12z+9=0
(12)El lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (2, -1, 3) es dos veces su distancia
al plano XY es una superficie cuádrica. Hallar la ecuación de esta superficie, nombrarla y situar
su centro de simetría.
(13)Identificar la superficie cuádrica 9y 2=4x2 +144z . Definir la curva intersección de esta
superficie con cada uno de los planos: z = 0, z = -1, x = 3.
(14)Reconocer y graficar en forma aproximada los siguientes lugares geométricos, señalando las
superficies cilíndricas, cónicas y de revolución:
(a )z =x+ y (b)8x2 +4y 2+ z 2=16 (c) x 2 −x 2− y 2 =1 (d ) 25x 2−225y 2+9z 2=225
(e )16y= x 2+4z 2 ( f ) x 2− y 2 =1 ( g ) y 2+2z 2− x 2=1 (h) x 2−6y 2=2z
(i) y 2=16x ( j) y 2=4x ; z =0 (k ) y 2+ z 2=9 (l) y 2+z 2=9 ; x=0
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CLASIFICACIÓN DE LAS CUÁDRICAS •
R
>0
=0
S
>0
=0
1) CUÁDRICAS CON CENTRO: MX2+NY2+PZ2 = R
M, N, P
lugar geométrico
todos positivos
elipsoide
todos negativos
ninguno
dos positivos, uno negativo
hiperboloide de una hoja
uno positivo, dos negativos
hiperboloide de dos hojas
uno cero, dos positivos
cilindro elíptico (o circular)
recto
uno cero, dos negativos
ninguno
uno cero, uno positivo, uno
cilindro hiperbólico recto
negativo
dos cero, uno positivo
dos planos paralelos
diferentes
dos cero, uno negativo
ninguno
todos del mismo signo
el origen
dos positivos, uno negativo
cono recto
uno cero, dos del mismo
eje coordenado
signo
uno cero, dos de signos
dos planos que se cortan
contrarios
dos cero
un plano coordenado
2) CUÁDRICAS SIN CENTRO: MX2+NY2 = SZ
M, N
lugar geométrico
del mismo signo
paraboloide elíptico
signos contrarios
paraboloide hiperbólico
uno cero
cilindro parabólico recto
del mismo signo
eje coordenado
signos opuestos
dos planos que se cortan
uno cero
un plano coordenado
• Extraído de Lehmann, Charles H.: Geometría analítica. Ed. Limusa. Noriega editores.