Composición de funciones matemáticas

COMPOSICION DE FUNCIONES
Indicado por f  g que se lee “ f composición de g”, esta definida por:
( f  g )  x   f ( g ( x ))
es la funcion cuyo domonio es:
g
x
g(x)
f(g(x))
f
Dominio
D f  g  x  D g / g ( x )  D f 
D f  g  x / x  D g  g ( x )  D f 
Ejemplos
1.- Sean f  0 ,1 , 1, 2 ,  2 ,3 ,  4 ,3 , 5 , 2 
y g  6 , 7 , 5 , 4 ,  4 ,3 ,  2 , 4 , 1, 4 , 0 , 7 ,
Hallar: D f  g , D gof , f  g
g f
y
Solucion
Primero determinaremos el domonio, para lo cual se tiene:
a) D f  g  x / x  D g  g ( x )  D f 
Para lo cual nos ayudaremos con el siguiente diagrama:
6
5
4
2
1
0
x
g
D f  g  1, 2 ,5
7
4
3
4
4
7
5
4
g ( x ) 21
0
0
1
2
4
5
g(x)
5
74, 4 ,3, 4
2
1
0
Df 
f
1
2
3
3
2
5
4
24
1
0
f(g(x))
 0 ,1, 2 , 4 ,5   
b) Ahora hallemos ( f  g )( x )  f ( g ( x ))
donde los x  0 ,1,5
( f  g )( 0 )  f ( g ( 0 ))  f (1)  4
( f  g )(1)  f ( g (1))  f ( 4 )  3
( f  g )( 5 )  f ( g ( 5 ))  f ( 4 )  3
f  g  3 , 4 
c) D g  f  x / x  D f  f ( x )  D g 
Para lo cual nos ayudaremos con el siguiente diagrama de maquina:
0
1
2x
4
5
1
2
3
3
2
f
5
4
2
1
0
f
D f  g  0 ,1,5
g(x)
5
4
( x) 
2
1
0
6
5
4
2
1
0
g
7
4
3
4
4
7
5
4
1,22
1
0
D g  1, 2 ,3  0 ,1, 2 , 4 ,5  
g(f(x))

d) Ahora hallemos ( g  f )( x )  g ( f ( x ))
donde los x  0 ,1,5
( g  f )( 0 )  g ( f ( 0 ))  g (1)  4
( g  f )(1)  g ( f (1))  g ( 2 )  4
( g  f )( 5 )  g ( f ( 5 ))  g ( 4 )  5
g  f  4 ,5
2.- Si f y g son funciones
f x  
x 1
2
g   2 ,3 ,  4 ,5 ,   1,  2 ,   2 ,3 , 7 , 7 
Hallar: D f  g , D gof , f  g
y
g f
Solución
Primero determinaremos el domonio, para lo cual se tiene:
a) D f  g  x / x  D g  g ( x )  D f 
Para lo cual nos ayudaremos con el siguiente diagrama:
2
4
-1
-2
7
3
5
-2
3
7
g
x
8
3
5
-2
7
g(x)
24
f
3
f(g(x))
48
D f  x 2 1  0 ( x  1)  x  1   0  x   1  x  1
2
g ( x)  D f
5
 425 ,  2 ,3, 7  
 ,1  1,    5 ,  2 ,3, 7 
1
0
D f  g   1,  2 , 2 , 4 , 7 
b) Ahora hallemos ( f  g )( x )  f ( g ( x ))
donde los x   1,  2 , 2 , 4 , 7 
Del diagrama de maquina se tiene:





f  g  2 , 8 , 4 , 24 ,  1, 3 ,  2 , 8 , 7 , 48

c) D g  f  x / x  D f  f ( x )  D g 
Para lo cual nos ayudaremos con el siguiente diagrama llamado de maquina:
2
4
-1
-2
7
3
5
-2
3
7
g
x
8
3
5
-2
7
g(x)
24
f
3
f(g(x))
48
D f  x 2 1  0 ( x  1)  x  1   0  x   1  x  1
2
5
g ( x )  D f  425 ,  2 ,3, 7    ,1  1,    5 ,  2 ,3, 7 
1
0
D f  g   1,  2 , 2 , 4 , 7 
b) Ahora hallemos ( f  g )( x )  f ( g ( x ))
donde los x   1,  2 , 2 , 4 , 7 
Del diagrama de maquina se tiene:





f  g  2 , 8 , 4 , 24 ,  1, 3 ,  2 , 8 , 7 , 48
