Sistemas de Propulsión Duración: 50 minutos Ingenieros

Sistemas de Propulsión
Duración: 50 minutos
DNI
Ingenieros Aeronáuticos
Escuela Superior de
Ingenieros
Universidad de Sevilla
Curso 07/08
1er Apellido
13/06/08
2do Apellido
Nombre
Problema 2
Valor total: 2 puntos.
Se dispone de un motor cohete con las siguientes caracterı́sticas:
Presión de cámara: pc = 15 · 105 Pa
Temperatura de cámara: Tc = 2500 K
Relación de presiones entre la salida y la cámara de combustión:
ps
pc
= 0,0601
Área de garganta: Ag = 0,01 m2
Se supone que dicho motor opera de forma ideal, mostrándose a continuación las constantes caracterı́sticas del propulsante:
γ = 1,3
J
R = 380 kgK
Γ(γ) = 0,6673
Se está analizando la posibilidad de equipar con dicho motor cohete a un misil aire-aire de medio
alcance. Para ello, se exige que el misil sea lanzado desde un avión de caza volando a una velocidad
de 800 km/h y sea capaz de derribar una aeronave enemiga situada a 15000 m de distancia (en el
instante de lanzamiento), la cual describe un movimiento rectilı́neo uniforme a una velocidad de
800 km/h (con la misma dirección y sentido que el misil).
El misil tiene una masa inicial m0 = 200 kg y una masa final mf = 50 kg
Se pide:
1. Calcular el empuje en función de la presión exterior.
2. Plantear las ecuaciones del movimiento del misil:
ecuación dinámica (ecuación de fuerzas en la dirección del movimiento)
ecuación cinemática (variación de la posición con el tiempo)
3. Si el avión que lanza el misil vuela a 500 m de altura y a 800 km/h, calcular la velocidad
(absoluta) que alcanza el misil al finalizar la combustión del motor. (Dato: p(h = 500 m) =
0,9552 · 105 Pa)
4. Comprobar si el misil puede cumplir la misión requerida a esa altura de vuelo.
NOTAS:
La resistencia aerodinámica no es despreciable.
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Se supone que el misil describe en todo momento un movimiento rectilı́neo a altura constante. Para ello, genera en cada instante la sustentación necesaria para vencer su peso y poder
mantener el nivel de vuelo.
Se supone que la eficiencia aerodinámica del misil permanece constante en todo momento:
Λ=
CL
L
=
= 18
D
CD
En caso de ser necesario, utilı́cense las siguientes expresiones:
As
Γ(γ)
s
=
1/γ
1− γ1 Ag
2γ
ps
1 − ppsc
pc
γ−1
v
"
u
1− γ1 #
u 2γ
ps
Vs = t
RTc 1 −
γ−1
pc
pc Ag
ṁ = Γ(γ) √
RTc
Z
1
1
1
1
dt = ln
t − ln
+t
ln
1 − at
1 − at
a
1 − at
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SOLUCIÓN
1 Calcular el empuje en fución de la presión exterior
La ecuación del empuje de un motor cohete viene dada por la expresión:
E = ṁVs + As (ps − p0 )
(1)
Para constestar a este apartado, hay que calcular:
El gasto de propulsante (ṁ)
La velocidad de salida (Vs )
El área de salida (As )
La presión de salida (ps )
Comenzando con la presión de salida, su cálculo resulta trivial una vez que se ha proporcionado la
presión de cámara (pc ) y la relación de presiones entre la salida y la cámara de combustión (ps /pc ).
ps
(2)
ps = pc = 90150 Pa
pc
En cuanto a la velocidad de salida, en el enunciado se proporciona la expresión que permite su cálculo
en función de las caracterı́sticas del gas (γ y R), de la temperatura de cámara Tc y de la relación de
presiones (ps /pc ):
v
"
u
1− γ1 #
u 2γ
ps
Vs = t
RTc 1 −
= 1982,5 m/s
(3)
γ−1
pc
Del mismo modo, para el cálculo del gasto de propulsante, en el enunciado también se proporciona
una expresión que permite su cálculo en función de datos conocidos del problema:
pc Ag
ṁ = Γ(γ) √
= 10,27 kg/s
RTc
(4)
Por último, es necesario determinar el área de salida. Ésta la podemos calcular en función de la
relación de expansión y del área de garganta:
As =
As
Ag
Ag
(5)
Además, hay que tener en cuenta que la relación de expansión depende únicamente de las caracterı́sticas del gas y de la relación de presiones, mediante la siguiente expresión:
As
Γ(γ)
s
= 2,853
=
1/γ
1− γ1 Ag
ps
2γ
1 − ppsc
pc
γ−1
(6)
Con esto, el área de salida queda:
As =
As
Ag = 0,0285 m2
Ag
(7)
Ya se tienen determinados todos los parámetros que intervienen en la ecuación 1. Introduciendo valores numéricos, el empuje se puede expresar en función de la presión exterior de la siguiente forma:
E = 22929 − 0,0285p0 [N]
(8)
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2 Ecuaciones del movimiento del misil
De forma general, la ecuación de fuerzas de un vehı́culo cohete en la dirección del movimiento viene
dada por:
dV
= E − D − mg sin θ
(9)
m
dt
donde E es el empuje, D es la resistencia, y θ es el ángulo de asiento de la velocidad. En este caso,
puesto que el misil describe en todo momento un vuelo horizontal, se cumple que θ = 0, y por tanto
la ecuación anterior queda reducida a:
m
dV
=E −D
dt
(10)
Por otra parte, hay que tener en cuenta que para realizar un vuelo horizontal es necesario que las
fuerzas verticales estén equilibradas, por lo que ha de cumplirse:
L = mg
(11)
Por último, la ecuación cinemática (ecuación diferencial que permite calcular la posición en función
del tiempo) viene dada por:
dx
=V
(12)
dt
En resumen, el problema del movimiento del misil se puede modelar mediante las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones dinámicas : m dV
dt
0
dx
Ecuación cinemática :
dt
= E−D
= L − mg
=
V
(13)
3 Velocidad absoluta alcanzada por el misil al finalizar la combustión
La solución a este apartado pasa por integrar la ecuación 10:
E(t) D(t)
dV
=
−
dt
m(t) m(t)
Z tb
Z tb
E(t)
D(t)
Vf inal − Vinicial =
dt −
dt
0 m(t)
0 m(t)
(14)
En primer lugar, hay que tener en cuenta que conocida la altura de vuelo del misil (y a su vez la presión
a esa altura), el empuje está totalmente determinado por la ecuación 8, permaneciendo constante en
todo momento:
E(p0 = 0,9552 · 105 ) = 20209,9N
Por otra parte, puesto que en el enunciado se dice que el misil vuela a eficiencia aerodinámica constante, es posible determinar la resisitencia de la siguiente forma:
Λ=
L(t)
m(t)g
m(t)g
=
⇒ D(t) =
D(t)
D(t)
Λ
(15)
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Por último, para poder integrar la ecuación 14, es necesario conocer la variación de la masa con el
tiempo, ası́ como el tiempo final de combustión (tb ). Para ello, hay que tener en cuenta que en el
primer apartado se calculó el gasto de propulsante (el cual permanece constante):
dm
= −ṁ ⇒ m(t) = m0 − ṁt
dt
m(tb ) = m0 − ṁtb = mf ⇒ tb =
(16)
m0 − mf
= 14,606 s
ṁ
(17)
Con todo esto, la ecuación 14 queda:
Vf inal − Vinicial = E
Vf inal =
Z
0
tb
dt
−
m0 − ṁt
Z
tb
0
g
dt
Λ
(18)
E m0
g
+ tb + Vinicial
ln
ṁ mf
Λ
(19)
donde Vinicial es la velocidad del avión que lanza el misil.
Sustituyendo valores numéricos, la velocidad final del misil viene dada por:
Vf inal = 2941,9 m/s
(20)
4 Comprobar si el misil es capaz de alzancar el objetivo
Para resolver este problema, hay que calcular la distancia recorrida por el misil hasta que se agota el
combustible. Si esa distancia es mayor que la distancia inicial que separa al misil del objetivo, más la
distancia recorrida por el objetivo hasta que se agota el combustible del misil, el misil será capaz de
cumplir su misión.
Si xfmisil ≥ 15000 + Vobjetivo tb ⇒ Se cumple la misión
(21)
Para calcular la distancia recorrida por el misil, hay que hacer uso de la ecuación cinemática:
Z tb
dx
V (t)dt
= V (t) ⇒ xf =
dt
0
(22)
Además, se necesita conocer la evolución de la velocidad en función del tiempo. Para ello, no hay
más que acudir a la ecuación 18, sólo que en este caso, las el tiempo final de integración no es tb , sino
un tiempo genérico t:
Z t
Z t
dτ
g
V (t) = E
−
dτ + Vinicial
(23)
0 m0 − ṁτ
0 Λ
m0
g
E
− t + Vinicial
(24)
V (t) = ln
ṁ m0 − ṁt Λ
Introduciendo 24 en 22:
tb
E
m0
g
ln
− τ + Vinicial dτ
ṁ m0 − ṁτ
Λ
0
Z
1
E tb
g t2b
ln
+ Vinicial tb +
dτ
xf = −
Λ2
ṁ 0
1 − mṁ0 τ
"
!
!
#
2
m0
E
1
1
gt
ln
tb −
+ tb
ln
xf = − b + Vinicial tb +
ṁ
Λ2
ṁ
ṁ
1 − m0 tb
1 − mṁ0 tb
dx
= V (t) ⇒ xf =
dt
Z
(25)
(26)
(27)
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Haciendo aplicación numérica, el alcance del misil queda:
xf = 18650 m
(28)
La distancia necesaria para cumplir la misión es:
xnecesaria = 15000 + Vobjetivo tb = 18245 m
(29)
Por tanto se puede concluir que el misil es capaz de cumplir su misión.
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