Ω IR - Departamento de Informática

Universidad Técnica Federico Santa María
Universidad Técnica Federico Santa María
Variables Aleatorias
Departamento de Informática
ILI-280
Función que asigna a cada punto del espacio
muestral un número real
Capítulo 4:
Variables Aleatorias
Distribuciones
X :Ω → ℜ
ºEjemplo N°1:
Estadística Computacional
1º Semestre 2003
Ω ={ falla , no falla }
X({ no falla }) = 0
X({ falla }) = 1
Profesor :Héctor Allende
Página
: www.inf.utfsm.cl/~hallende
e-mail
: [email protected]
Diseño de las Diapositivas:
H. Allende, S. Ahumada y R. Salas
Variables Aleatorias
Ω
Espacio Muestral
no falla
Variables Aleatorias
A cada s ∈ Ω
le corresponde
exactamente
un valor X(s)
falla
Ω
X(s) = b; s ∈ Ω
sk
X(s) = a
RX
X({no falla}) = 0
X({falla}) = 1
a
IR Conjunto
Números
−∞
0
+∞
1
X:Ω
Reales
ℑ
• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
• El espacio muestral original
si
• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX
Familia de eventos elementales
Función de Probabilidad
El concepto de Probabilidad de ocurrencia
de eventos en el espacio muestral Ω se
puede aplicar a eventos en RX.
X(s) = b; s ∈ Ω
sk
X(s) = a
RX
a
(
(
[
[
(
a<x<b
a<x≤b
a≤x<b
a≤x≤b
x<b
x≤b
x>a
(
x≥a
-∞
-∞
Profesor: Rodrigo Salas
Ω “induce” un espacio muestra Rx asociado a
la Variable Aleatoria X
Variables Aleatorias
A
b
• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral
Rx ∈ IR
X-1(]-∞, x]) ∈
Nótese que
para cada
par de
números
reales a y b
existen los
siguientes
conjuntos
si
A
0 ≤ P(X(s) = x ) = f(x) ≤ 1
f(x)
1
b
)
]
)
]
)
]
Ω
f: R
[0, 1]
RX
0
X(s) = x
s
∞
∞
X: Ω
RX
1
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Variable Aleatoria
Variable Aleatoria Discreta
X :Ω →ℜ
Sea X una variable aleatoria.
Si el número de posibles valores de X (esto es su
RX).
ºEs finito (contable) o.
ºEs contablemente infinito (denumerable).
Entonces llamamos a X una variable aleatoria
discreta.
Esto es, los posibles valores de X pueden ser
listados. x1, x2, x3, ...., xn, ..…
ºEn el caso contable la lista es finita.
ºEn el caso denumerable la lista es infinita
contable
X −1 (] − ∞, x]) ∈ ℑ
Variable Aleatoria Discreta
Sea C ∈ ℑ (con C ⊆ Ω) Soporte contable
f:C → ℜ
C = {ci : i ∈ I ⊆ N }
i) f (ci ) ≥ 0
ii)
∑ f (c ) = 1
i
i∈I
Usando la transformacion X
Profesor: H. Allende R. Salas
7
Variable Aleatoria Discreta
Sea C ∈ ℑ
IR
X: C
A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi)
Conjunto de eventos elementales de una
familia de eventos del espacio muestra; C ⊆ Ω
llamado la probabilidad de xi
X es una función definida sobre el Espacio Muestral,
que mapea en el conjunto de los Números Reales los
eventos elementales definidos en C = { ci: i ∈ Ι ⊆ N }
En algunos textos se utiliza la letra f
para acentuar que la variable aleatoria
discreta es una fución
tal que
Función de Probabilidad v.a. Discreta
Los f(xi) deben satisfacer
f(xi)
i) p(ci) = Pr (ci)≥ 0
•
0 ≤ f(xi) ≤ 1; i = 1, 2, 3, ... , n
•
Σ f(xi) = 1
∀i
El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le
denomina Función de Probabilidad
o Cuantia.
Sea A el evento tal los eventos elementales ci∈C pertnezcan también a A,
esto es ci ∈ C ∩ A. Usando la transformación X
X(ci) = xi
P(A) =
x
∑
p(c i ) =
i ∈{i :ci ∈ C Ι A}
X(ci) = xi
∑
{
P(A) =
j∈ i:ci ∈C Ι A}
∑ P (X = x )
x1
x2
x3
x4
i
i
Propiedades función de cuantia:
1. P ( X = xi ) ≥ 0
x6
xn
P(X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa”
Función de Frecuencia
i
f(c j ) = ∑ P ( x = xi )
x5
Esperanza de una v.a. X
E [ X ] = ∑ xi P ( X = xi )
i
2. Σ P ( X = xi ) = 1
Varianza de una v.a. X
3. Función de Distribución:
V [ X ] = ∑ ( xi − E [ X ]) 2 P ( X = xi )
i
P ( X = xi ) = xΣ
f ( xi )
F(x) = xΣ
≤x
≤x
i
Profesor: Rodrigo Salas
i
i
2
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Distribuciones Discretas Especiales
Función de Distribución v.a. Discreta
Consideremos un solo experimento ε
sea A un evento asociado con tal experimento.
supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p
1. Distribución Bernoulli
X:Ω
R
Sea la v.a. X(A ) = 1
P(X(ω)=0) = 1 – p
P(X(ω)=1) = p
P(X = 1) = p
P(X = 0) = 1 – p
X(Ac) = 0
f(x)
p = 0,7
E [X] = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p
V [X] = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p = p ( 1 - p )
Entonces su función de
cuantía es
f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x
x
0
0
X = 0, 1
0<p<1
1
Distribuciones Discretas Especiales
E [X] = np
V [X] = np (1-p)
2. Distribución Binomial
Supongamos que de una línea de producción se
extraen n piezas con reemplazo, las cuales
pueden ser defectuosas o no con una
probabilidad “p”.
X: N° de piezas defectuosas en las n
extracciones
n
P( X = k ) =   p k (1 − p ) n − k
 k  k = 0, 1, 2,......,n
Entonces
Función de Distribución v.a. Discreta
• Sean n repeticiones independientes del experimento
• Ω consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an},
donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac.
• Existen 2n de tales secuencias
Sea la variable aleatoria
X := número de veces que
ocurre el evento A
sus posibles valores son:
0, 1, 2, 3 , ....., n
f(x)
0,300
0,200
n = 16
p = 0,2
n
f(x) = P(X = x) =
px (1 –p)n-x
x
0,100
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Profesor: Rodrigo Salas
9
x
Notación: X ∼ B( n , p )
•Se utiliza en el muestreo de una población
finita con reemplazo.
•También cuando la población es muy grande,
con o sin reemplazo, ya que “p” se hace
relativamente constante.
Distribuciones Discretas Especiales
3. Distribución Hipergeométrica
Surge en poblaciones que contienen elementos
clasificables en 2 estratos ( con defectos: D ; sin
defectos: N - D ).
Consideremos un lote de tamaño N. Se extrae
una muestra de tamaño n sin reemplazo.
X: N° de artículos defectuosos en la muestra
x = 0, 1, 2,......,n
0<p<1
3
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D
 
k
P( X = k ) =  
Distribuciones Discretas Especiales
 N − D


 n−k 
N
 
n
4. Distribución de Poisson
k =0,1,2,.....,min{ n , D }
E[X ] = n
D
N
V [X ] = n
D( N − D)( N − n)
N 2 ( N − 1)
Es aplicable al muestrear lotes de tamaño
pequeño en relación al tamaño de la muestra
( N ≤ 10 n ).
Supongamos que tenemos una muestra de
tamaño grande, para lo cual la probabilidad de
encontrar un artículo defectuoso es pequeño
“p”, y por lo tanto “np” el número total de
artículos defectuosos en la muestra. Sea λ = np.
Entonces
P( X = k ) =
λk e − λ
k!
k = 0, 1, 2,.......
Construcción de un Modelo Probabilístico
E [X] = λ
V [X] = λ
• Las piezas a la salida de una línea de producción se clasifican
en defectuosas (D) o no defectuosas (N).
• Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de acuerdo
Caso límite: X ∼ B( n , p )
k
 n  λ   λ 
P( X = k ) =    1 − 
 k  n   n 
con n ∞
a este esquema. El Ω para este experimento es:
Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
n−k
I (k )
{
}
0 ,1, 2 ,.... , n
• La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no
cambia. Eso implica que si la población es finita, las
observaciones se hacen con reemplazo
p≈0
P( X = k ) =
λk
k!
• Interesa el número de piezas D y no el orden en que salen.
e −λ I ( k )
• Se define una v.a. X igual al número de piezas defectuosas;
luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))
N0
Creando un Modelo Probabilístico
Función de Distribución v.a. Discreta
F(x)
f(x)
0,5
0,4
F(x) = 0
x < x1
1
1
3(1-p)2p
=
(1-p)3
=
3(1-p) p2
0,3
0,2
p3
0,1
1
2
x1 ≤ x < x2
Σ f( xi )
x2 ≤ x < x3
Σ
x3 ≤ x < x4
i=1
2
i=1
3
= i = 1 f( xi )
x
4
0
0
Σ f( xi )
=
3
Σ f( xi )
i=1
x4 ≤ x < x5
0
P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa”
Función de Frecuencia
Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
X(NND)= 1
X(NDN)= 1
X(DNN)= 1
Profesor: Rodrigo Salas
x
3 P(N) P(N) P(D)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
xn
4
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Variables Aleatorias Continuas
• Cuando el experimento ε se realiza sobre un espacio muestral
Ω que está relacionado con escalas intevalares (tales como
mediciones de distancias, volúmenes, pesos, tiempos, velocidad, voltajes,
intensidad, caudal, temperatura etc.)
• Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b,
son infinitos - no enumerables - no podemos hablar del
i-ésimo valor de X = xi; En tales casos se habla se Variables
Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto
de intervalos; entonces existe una función continua especial
f: R
Variables Aleatorias Continuas
Sea X una variable
aleatoria continua. La
función densidad de
probabilidad (pdf) es
una función que
satisface:
f(x) > 0;
f(x)
A: un evento
a
∀ x ∈ Rx ∈ −∞, +∞
x
b
A: { x| a < x ≤ b)
R
P(x < X < x + h)
f(x) = lim h Æ 0
h
∫ f(x) dx = 1
>0
b
P(A) = P(a < x < b) =
Rx
Distribuciones de Probabilidad Continuas
Están definidas por una densidad de v. a. X
f : R R se dice densidad de probabilidad
a
Observaciones
b
∫
1. P ( a ≤ x ≤ b) = f ( x )dx
a
2. F ( x) = P ( X ≤ x ) =
x
∫ f (t )dt
−∞
3. F (-∞) = 0 ; F (∞) = 1
Propiedades:
b
A = ∫ f ( x)dx
f(x)
4. Fx es no decreciente
1. f (x) ≥ 0
5. E [ X ] =
∞
∫
2. f( x )dx = 1
∫ f( x ) dx
a
∫ xf ( x)dx
a
b
x
|R
-∞
6. V [ X ] = ( x − E [ X ]) f ( x )dx
∫
2
R
Función de Distribución Acumulada
Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución Acumulada
mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de valores:
F(x) = P(X ≤ x)
Si X es una v.a. Discreta
F(x) =
Σ
Si X es una v.a. Continua
x
f(xi)
∀ i ∃ xi ≤ x
Donde la suma es
tomada sobre todos los
índices i que satifacen
xi ≤ x
Profesor: Rodrigo Salas
F(x) =
∫ f(t) dt
-∞
Donde la sumatoria es
reemplazada por una
integración para todos los
valores de t ≤ x
Construcción de Modelos de Probabilidad
II) Sea F : R
R,
Fu Distribución, entonces:
i) F es no decreciente
ii) F es continua por la derecha
iii) lim F(x) = 0 ∧ lim F(x) = 1
Luego P(] -∞ , x ]) = F(x) define una Probabilidad
Además: P( ]a,b] ) = F(b) - F(a)
P( [a,b] ) = F(b) - F(a-)
P( ]a,b[ ) = F(b-) - F(a)
P( [a,b[ ) = F(b-) - F(a-)
5
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Distribuciones Continuas Especiales
Variables Aleatorias Continuas
Sea X una variable aleatoria
continua que puede tomar
cuarquier valor entre a ≤ x ≤ b;
cuya pdf es:
f (x) =
1
b−a
1. Distribución Uniforme: Dada la función de
densidad
1
a≤ x≤b
f ( x) =
f(x)
Sea a = 3; b = 12
0,2
a< x<b
b−a
La función de Distribución es
A: el evento { 4 < x < 7 }
0,1
Entonces:
0,0
7
x
2
3 4
5
6
7
8
P(A) = P(4 < x < 7)
9 10 11 12
a
b
min
máx
P(A) =
=
1
∫
1
9
dx
F ( x) =
4
3
0
x≤a
x−a
b−a
a< x<b
1
x≥b
Distribuciones Continuas Especiales
E[X ] =
a+b
2
V [X ] =
(b − a ) 2
12
2. Distribución Normal
f ( x) =
Notación: X ∼ U( a , b )
1
2π σ
e
1  x−µ 
− 

2 σ 
2
, x∈R
F(x) : No tiene expresión analítica
Distribuciones Continuas Especiales
V [X ] = σ 2
E[X ] = µ
3. Distribución Rayleigh
Notación: X ∼ N( µ , σ2 )
f X ( x) =
Estandarización
Haciendo
Z=
se tiene que:
X −µ
σ
∼ N( 0 , 1 )
y FZ(z) se obtiene de tablas !
Profesor: Rodrigo Salas
α2
e
−
x2
2α 2
FX ( x) = 1 − e
1
1 − 2 z2
f z ( z) =
e
2π
x
,z∈R
E[X ] =
α 2π
2
−
si
x2
2α 2
x≥0
x≥0
π
V [ X ] = ( 2 − )α 2
2
6
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Distribuciones Continuas Especiales
Función Densidad de Probabilidades
4. Distribución Gamma
f X ( x, α , β ) =
−
α −1
x
β
x e
I R + ( x)
Γ(α ) β α
x
FX ( x) = P ( X ≤ x) =
∫ f (t ,α , β )dt
−∞
V [ X ] = αβ 2
E [ X ] = αβ
38
Profesor: H. Allende R. Salas
Distribuciones Continuas Especiales
5. Distribución Chi-Cuadrado
6. Distribución Beta
Evaluando en Gamma
f X ( x, α =
X∼β(r,s)
n
x
−1 −
2
2
n
x e
, β = 2) =
I ( x)
n R+
2
n 2
Γ( )2
2
Se llega a que X ∼ χ2(n) ≡ Γ ( n/2 , 2 )
E[X ] = n
Distribuciones Continuas Especiales
V [ X ] = 2n
f X ( x, r , s ) =
ssi
Γ( r + s ) r −1
x (1 − x ) s −1
Γ( r )Γ( s )
I[ ]( x)
0 ,1
1
β ( r , s ) = ∫ x r −1 (1 − x ) s −1 dx
∞
0
Γ( n ) = ∫ y e dy
n −1 − y
n>0
0
Función Densidad de Probabilidades
Γ( r )Γ( s )
β (r , s ) =
Γ( r + s )
E [X ] =
r
r+s
[ ]
E Xµ =
V [X ] =
rs
( r + s ) ( r + s + 1)
2
Γ( r + s )Γ( r + u )
Γ( r )Γ( r + s + u )
x
FX ( x ) = P( X ≤ x ) =
∫ f (u , r , s )du
−∞
Profesor: Rodrigo Salas
7