Práctica 3 - Unican.es

PRÁCTICA
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
CURSO 2015-2016
CÁLCULO II
Prácticas Matlab
Práctica 3 (23/02/2016)
Objetivos
o
Estudiar los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas. o
Definir regiones de  3 en coordenadas cilíndricas y esféricas, para el planteamiento de integrales triples. o
Calcular integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas. Coordenadas cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas se obtienen utilizando coordenadas polares en uno de los planos coordenados y manteniendo la tercera variable. 
Paso de cilíndricas a cartesianas:  x = r cos 

 y = r sen  z = z


Paso de cartesianas a cilíndricas: r  x 2  y 2 ;   arctg
y
; z  z x
(     , signo   signo y )
Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas cilíndricas son: • r = a . Es el cilindro de eje 0Z y radio a ; •  = b . Es el semiplano que contiene al eje 0Z y forma ángulo b con el plano XZ ( x > 0 ); • z = c . Es un plano perpendicular al eje 0 Z . PÁGINA 2
MATLAB: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
Coordenadas esféricas

Paso de esféricas a cartesianas:  x =  sen  cos 

 y =  sen  sen   z =  cos 


Paso de cartesianas a esféricas:   x 2  y 2  z 2 ;   arctg
  arctg
y
; x
x2  y 2
z
Las superficies de ecuación más sencilla en coordenadas esféricas son: •  = a . Es la esfera de centro el origen y radio a ; •  = b . Es el semiplano que contiene al eje 0Z y forma ángulo b con el plano XZ , ( x > 0 ); •  = c . Es un semicono de eje 0Z . Ejercicios
a) Dibuja, utilizando Matlab o Dpgraph la porción del cilindro x 2  y 2 = 2 x entre z = 3 y z = 3 y sobre la misma figura una 1 porción del cilindro parabólico z 2 = 2 x . b) Calcula, utilizando el paquete simbólico de Matlab, el volumen del sólido H limitado entre las dos hojas de z 2 = 2 x (una hoja se produce con z negativo y la otra con z positivo) y el cilindro x 2  y 2 = 2 x . Indicaciones a) La representación del sólido se muestra en la figura de la derecha MATLAB: PRÁCTICA 3
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b) Expresa el sólido H utilizando coordenadas cartesianas H
 x, y, z  / 0  x  2
,  2x  x2  y  2x  x2 ,

 2x  z  2x Teniendo en cuenta las simetrías respecto a y=0 y z=0, se tendrá que el volumen de H es 4 veces el volumen del primer octante 2
2 x  x2
2x
0
0
0
volumen H  4
 
2
2 x  x2
0
0
dzdydx  

2 x dydx Escribe el código Matlab para calcular el volumen del sólido en coordenadas cartesianas >>syms x y z
>>volumen=4*int(int(int(1,z,0,sqrt(2*x)),y,0,sqrt(2*xx^2)),x,0,2)
Escribe el volumen del sólido en coordenadas polares y las órdenes Matlab para obtener su valor  /2 2cos
volumen H  4 
0

0
2 r cos

0
 / 2 2cos
r dz dr d  4 
0

2r cos  dr d 0
>>syms r theta
z
>>volumen=4*int(int(int(r,z,0,sqrt(2*r*cos(theta))),r,0,2*cos
(theta)),theta,0,pi/2)
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MATLAB: COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS
2 Intentar calcular con Matlab, utilizando coordenadas polares, el volumen del sólido limitado por x 2  y 2 = x entre las dos hojas de  x 2  y 2  z 2 = 1 . Nota: Este es el ejercicio propuesto número 8.
2 4

Solución: 
3 3
2
 1  cos 
2
3/ 2
d
0
La representación del sólido se muestra en la figura de la derecha Se considera el sólido H que ocupa la región limitada inferiormente por z = x 2  y 2 y superiormente por z = 2  x 2  y 2 . Cada punto de H está a una temperatura dada por 3 Solución: T ( x, y, z ) = x 2  y 2  ( z  1) 2 Prepara un fichero con el código en Matlab necesario para: a)
Dibujar las porciones de paraboloides que delimitan H . b)
Calcular el volumen del sólido H . c)
Calcular la temperatura media del sólido. d)
Dibujar el lugar geométrico de los puntos donde se alcanza esa temperatura media. Nota: Este es el ejercicio propuesto número 19 Volumen =  Temperatura media=1/2 4 a) Halla mediante una integral triple en coordenadas esféricas el volumen del sólido del primer octante limitado por los planos coordenados, por el MATLAB: PRÁCTICA 3
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cono z 2 = x 2  y 2 y por la esfera x 2  y 2  z 2 = 8 . Representa el sólido con Matlab o con DpGraph. b) Calcula la densidad media de dicho sólido, sabiendo que su densidad de masa viene dada por la función   x, y , z  =
z
x  y2
2
Indicaciones (a) La representación del sólido se muestra en la figura de la derecha Escribe en coordenadas esféricas: 
Ecuaciones del cono. 

, 0    2 4
 2 2  Ecuaciones de la esfera. El sólido H en coordenadas esféricas se expresa 



H    ,  ,   / 0   
, 0    , 0    2 2 2
4


Escribe la expresión que permitiría obtener el volumen del sólido utilizando coordenadas esféricas y el código Matlab para obtenerlo  / 2 2 2  /4
volumen H 
  
0
0
0
2
sen d d  d PÁGINA 6
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>>syms rho theta phi
>>volumen=int(int(int(rho^2*sin(phi),phi,0,pi/4),rho,0,2*sqrt(
2)),theta,0,pi/2)
Nota: También podría calcularse utilizando coordenadas cilíndricas  /2 2 8 r 2
volumen H 
  
0
0
r dz dr d r
c) Escribe la expresión que permitiría calcular la densidad media densidad media 
   x, y, z  dV
H
volumen H
Expresar la función densidad en coordenadas esféricas   x, y , z  
cos 
sen 
Escribir el código Matlab para calcular la densidad media >>densidad=int(int(int(cos(phi)*rho^2,phi,0,pi/4),rho,0,2*
sqrt(2)),theta,0,pi/2)
>>densidadMedia=densidad/volumen
Sea el sólido H que está limitado superiormente por una esfera e
inferiormente por la hoja del cono cuyas ecuaciones son
respectivamente:
5 z
x 2  y 2  z 2  16
3x 2  3 y 2
Utilizar coordenadas esféricas para hallar la masa de dicho sólido
sabiendo que su densidad de masa viene dada por la función,
f  x, y , z  
z
x2  y 2
Nota: Este ejercicio es el propuesto número 15