DELTA – MASTER FORMULARIO DE ÁLGEBRA U.P.S.:

DELTA – MASTER
FORMACIÓN UNIVERSTARIA
C/ Gral. Ampudia, 16
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28003 MADRID
FORMULARIO DE ÁLGEBRA U.P.S.:
ESTRUCTURAS BÁSICAS EN ÁLGEBRA
Cuando un conjunto tiene una cp interna, se dice que es una estructura, algebraica según la f. Interno
y las diferentes propiedades denominaremos las estructuras.
1. SEMIGRUPO (C,*)
Un conjunto con una operación interna que sea: (N,+) CONMUTATICO EL NEUTRO
• cerrado
• asociativa
( puede tener elemento neutro → semig con el neutro
conmutatico
→ semig conmutativo
semig
2.GRUPO (c,*)
UN conjunto con una operación interna que sea : (z,+)GR.ABELIANO
• cerrado


• asociativa

(•) (puede tener conmutativa → grupo abeliano (+)
• elemento neutro 
• elemento simétrico
3. ANILLO (c,+,*)
(z,+,*), ANILLO CONMUTATIVO CON EL UNIDAD)
Un conjunto con dos opciones internas que sea:
• cerrado
• asociativa

+ G ABELIANO• elemento neutro
• elemento simetrico

• conmutativa
• cerrado
• SEMIGRUPO
• asociativa
La opción con menos propiedades :
. distributivo respecto +
. puede ser:
._ conmutativo → Anillo conmutativo
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.- el neutro → Anillo con el, unidad
4. CUERPO
• cerrado
• asociativa

+ c.r. ABELIANO• conmutativa
• elemento neutro

• elemento simetrico
• cerrado
• asociativo

• GRUPO 
• elemento neutro
• elemento simetrico
. Distributivo respecto +
Propiedades que puede sobrar:
. conmutativo → cuerpo conmutativo
ESPACIOS VECTORIALES
Sea un conjunto V, y dos operaciones: una ley de composición interna, que llamaremos “suma”
(V,+), y una ley de composición externa, que diremos “producto por un escalar” (V, .K).
Diremos que (V, +, .K) posee estructura de Espacio Vectorial cuando:
(V, +) es un Grupo Abeliano, es decir, cumple:
Asociativa: ∀u , v , w ∈V ⇒ (u + v ) + w = u + (v + w )
Conmutativa: ∀u , v ∈V ⇒ u + v = v + u
Elemento Neutro: ∃n ∈ V / ∀u ∈ V ⇒ u + n = u
Elemento Opuesto: ∀u ∈V , ∃u ' / u + u ' = n
(V, .K) el una Ley de Composición Interna, es decir: si u ∈V , α ∈ K ⇒ α .u ∈V y cumple:
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Si
α, β ∈ K,
u , v ∈V
α .(u + v ) = α .u + α .v
(α + β ).u = α .u + β .u
(αβ ).u = α .( β .u )
∃1∈ K/ 1.u = u
Cualquiera de los elementos del espacio vectorial, se le denomina vector.
Combinación lineal: Se denomina así a cualquier operación entre escalares y vectores de la forma:
α 1u1 + α 2 u 2 + ....... + α n u n ∈V
Dependencia lineal: Se dice que {u1 , u 2 ,......, u n } es un conjunto linealmente dependiente, si puede
hacerse α 1u1 + α 2 u 2 + ....... + α n u n = n , siendo al menos un escalar α i ≠ 0 .
También puede decirse que algún vector del conjunto puede ser expresado como combinación
lineal de los demás.
Independencia lineal: Se dice que
{u1 , u 2 ,......, u n }
es un conjunto linealmente independiente, si
para que α 1u1 + α 2 u 2 + ....... + α n u n = n , es necesario que α i = 0, ∀i.
Igualmente podremos decir que ninguno de los vectores del conjunto puede ser expresado
mediante combinación lineal de los demás.
Sistema Generador: Se dice que un conjunto de vectores {u1 , u 2 ,......, u m } forma un S.G. del espacio
vectorial V, si:
∀u ∈V
∃α 1 , α 2 ,..., α m ∈ K /
α 1u1 + α 2 u 2 + ....... + α m u m = u
Base de un espacio vectorial: Un conjunto
vectorial V, cuando:
{u1 , u 2 ,......, u n }
se dice que forma base de un espacio
a) Es linealmente independiente.
b) Forma Sistema Generador de V.
Dimensión de un espacio vectorial: Es el número de vectores que forma la base de V.
Coordenadas de un vector respecto de una base: Se dice coordenadas de u ∈ V respecto de la
base
B = {u1 , u 2 ,......, u n } al conjunto de escalares
α 1 , α 2 ,..., α n ∈ K /
α 1u1 + α 2 u 2 + ....... + α n u n = u . Y se escribe de la forma: u = (α 1 , α 2 ,..., α n ) B
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En consecuencia:
a) El número de coordenadas de un vector coincide con la dimensión del espacio vectorial.
b)
El máximo número de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial
coincide con la dimensión de éste.
c) En un espacio vectorial de dimensión “n”, si tenemos n vectores linealmente
independiente, automáticamente forman base en dicho espacio.
Cambio de base: Las coordenadas de un vector dependen de la base respecto de la cuál venga
expresado, con lo que podemos tener varios conjuntos de coordenadas.
Dadas
dos bases en un mismo espacio vectorial:
B = {u1 , u 2 ,......, u n } y
B' = {u1 ' , u 2 ' ,......, u n '}. Podremos expresar:
u = (α 1 , α 2 ,..., α n ) B = (α 1 ' , α 2 ' ,..., α n ' ) B '
Siempre que se cumpla:
α 1u1 + α 2 u 2 + ....... + α n u n = α 1 ' u1 '+α 2 ' u 2 '+....... + α n ' u n '
Al conjunto de ecuaciones que relaciona las coordenadas de los vectores en las dos bases dadas se les
denomina ecuaciones del cambio de base, y escribiendo éstas en forma matricial dan lugar a las
matrices de cambio de base, tanto de B a B’, como de B’ a B.
A partir de
( B)u B = ( B' )u B ' obtenemos
u B = ( M B '→ B )u B '
o bien
( M B → B ' )u B = u B '
EJERCICIO 1º :
Sean
de R4.
{ uv , ur
1
2
r r
,u3,u4
}= {(1,0,−1,0), (1,−1,1,0), (1,−1,1,−1), (1,1,1,1) }∈ R 4 ; demostrar que forman base
r r r r
Para que {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } forme base de ℜ 4 , es necesario que sean linealmente independientes y que
forme sistema generador . Ambas condiciones se cumplen, simultáneamente, si tenemos cuatro
vectores linealmente independientes en ℜ 4 .
Estudiamos por determinantes:
1
1
1
0 −1 −1
1
−1 1
0
0 −1
1
F3 + F1
1
=
1
1
1 1 1
0 -1 -1
0 2 2
0 0 1
1
-1 -1 1
1
= 1 2 2 2 = -4≠0
2
0 -1 1
1
Al ser el determinante distinto de cero podemos asegurar que son linealmente indepedientes y por
lo tanto forman base de ℜ 4
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EJERCICIO 2º: Dada f ( x, y, z ) = ( x − 2 y − z ,2 x − y + z ,−5 x + y − 4 z ,3 y + 3 z ) . Se pide:
a) Estudiar si es o no una aplicación lineal.
b) Calcular el núcleo y la imagen dando una base y la dimensión de cada uno.
c) Clasifica la aplicación.
f:
a)
1.
ℜ3 → ℜ4
( x, y, z ) → ( x − 2 y − z ,2 x − y + z ,−5 x + y − 4 z ,3 y + 3z )
1.f(u + v) = f(u) + f(u)
f es aplicación lineal ⇔ 
2.f(αu) = αf(u)
f (u + v ) = f ( x + x' , y + y ' , z + z ' ) =
( x + x'−2 y − 2 y '− z − z ' ,2 x + 2 x'− y − y '+ z + z ' ,−5 x − 5 x'+ y + y '−4 z − 4 z ' ;3 y + 3 y '+3z + 3 z ' ) =
= f ( x, y , z ) + f ( x ' , y ' , z ' )
2.
f (αu ) = f (αx, αy, αz ) = (αx − 2αy − αz ,2αx − αy + αz ,−5αx + αy + 4αz ,3αy + 3αz ) =
= αf ( x, y, z )
Con esto queda demostrado que f es aplicación lineal u homomorfismo.
b)
Calculamos en primer lugar el núcleo de f:
(x,yz) ∈ Ker f ⇔ f(x, y, z) = (0,0,0,0)
x - 2y - z = 0
2x - y + z = 0

Tenemos las ecuaciones 
de las cuales sólo dos son independientes.
5x
y
4z
0
+
=

3y + 3z = 0
x − 2 y − z = 0
son las ecs. inplícitas del ker f

2 x − y + z = 0
dim (ker f)= dim ℜ 3 -nº de ecs implícitas = 3-2= 1
y la base se obtiene a través de las ecuaciones paramétricas.
(x,y,z) = ( α , α ,−α ) = α (1,1,−1)
Base de ker f = {(1,1,−1)}
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En segundo lugar obtenemos la Imagen de f. Para ello obtenemos las imágenes de los vectores
de la base canónica de ℜ 3 , y estos formarán un sistema generador de Im f, y de ahí extraemos
una base de Im f , eliminando los vectores linealmente independientes.
f(1,0,0) = (1,2,-5,0)
f(0,1,0) = (-2,-1,1,3)
f(0,0,1) = (-1,1,-4,3)
El Sistema Generador de Im f: {(1,2,−5,0), (−2,−1,1,3), (−1,1,−4,3)}, de los que sólo los dos
primeros son linealmente independientes.
Base de Im f : {(1,2,−5,0), (−2,−1,1,3)}
Dim(Im f) = 2
c) Al ser dim(Ker f) = 1 ≠ 0, entonces f no es Inyectiva.
Y al ser dim(Im f) = 2 ≠ dim ℜ 4 = 4, tampoco es Sobreyectiva.
EJERCICIO 3º: Sea f una aplicación lineal cuya matriz es A.
a) Obtener los autovalores y autovectores.
b) Indicar si es o no diagonalizable, y en caso afirmativo obtener la correspondiente matriz
diagonal así como la matriz del cambio de base.
c) Calcular la matriz de la aplicación f 4.
2 −1 1 


A=  0 3 − 4 
 0 2 − 3


a) Para obtener los autovalores de f, utilizamos el polinomio característico.
A − λI =0, esto dá:
2 − λ −1
0
3−λ
0
2
1
−4
= (2 - λ ) [(3 - λ )(-3 - λ ) + 8] = 0
−3−λ
λ1 = 2 


(2 − λ )(λ 2 − 1) = 0 → λ =2 = 1  tres autovectores simples
λ = −1
 3

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Sabemos que f es diagonalizable, por tener todos sus autovalores simples. Pero debemos calcular los
autovectores resolviendo para cada valor ( A − λI )v = 0
λ1 = 2 → ¿ v1 ?
 1 - 1 1  x   0 

   
( A − λ , I )v1 = 0 ⇒  0 1 − 4  y  =  0 
 0 2 − 5  z   0 

   
Resolviendo : (x,y,z) = (λ ,0,0) = λ (1,0,0)
V1= lin {(1,0,0)}
λ2 = 1 → ¿ v2 ?
 1 − 1 1  x   0 

   
( A − λ 2 I )v 2 = 0 ⇒  0 2 − 4  y  =  0 
 0 2 − 4  z   0 

   
Resolviendo: (x,y,z) = β ,2 β , β ) = (1,2,1)
V2 = lin {(1,2,1)}
λ 3 = −1 → ¿ v 3 ?
 3 − 1 1  x   0 

   
( A − λ 3 I )v 3 = 0 ⇒  0 4 − 4  y  =  0 
 0 2 − 2  z   0 

   
Resolviendo: ( x, y, z ) = (0, λ , λ ) = λ (0,1,1)
V3 = lin {(0,1,1)}
b) Si formamos una base de autovectores B: {(1,0,0), (0,1,1)}; y referimos la matriz de la aplicación
a dicha base, utilizando la matriz de cambio P:
1 1 0


P=  0 2 1 
0 1 1


Resultará:
2 0 0 


D = P AP =  0 1 0 
 0 0 − 1


-1
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c) f 4 = f o f o f o f
La matriz de la composición se obtiene multiplicando las matrices, entonces:
Af4 = A ⋅ A ⋅ A ⋅ A = A4
Si referimos la aplicación a la base de autovectores resultará:
 24 0

D 4 =  0 14
0 0

0  16 0 0 
 

0  =  0 1 0
(−1) 4   0 0 1 
Si queremos escribirla en base canónica, mediante la matriz de paso y su inversa previamente
calculada:
 1 1 0  16 0 0   1 − 1 1 

 
 

A = P D P =  0 2 1   0 1 0   0 1 − 1
0 1 1  0 0 1 0 −1 2 

 
 

4
4
-1
16 − 15 15 


1
0
A =0
0
0
1 

4
r
ERCICIO 4º: Sea f: ℜ 3 → ℜ 3 , una aplicación lineal, tal que para cualquier vector v del
r
r
subespacio U1 = {(x, y, z)/x − 2y + z = 0}, f(v) = v ; y tal que f(1,0,0) = (-1,0,0). Se pide:
a)
b)
c)
Autovalores y autovectores de f.
Matriz de la aplicación f asociada la base canónica de ℜ 3
Núcleo e Imagen de f.
a) U1 = {(x, y, z, t)/x − 2 y + z = 0}lin {(1,0,-1), (0,1,2)}
Como f(1,0,-1) = (1,0,-1) y f(0,1,2) = (0,1,2), tenemos dos autovectores de f y sus autovalores
asociados serían en ambos casos λ = 1, ( que al menos ha de ser doble).Además si f(1,0,0) =
(-1,0,0) otro autovector de f será (1,0,0) y su autovalor asociado λ = -1.
Tenemos pues tres autovectores linealmente independientes y con ello podemos formar una base
de ℜ 3, con lo que f es diagonalizable.
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b) La representación matricial de
{(1,0,0), (1,0,−1), (10,1,2)} será
−1

D=  0
0

f referida a la base de autovectores elegida:
0 0

1 0
0 1 
Mientras que la matriz del cambio de base a canónica será:
1 1 0


P = 0 0 1
 0 − 1 2


Y su inversa, que podemos obtener mediante el método de Gauss:
 − 1 4 − 2


-1
P =0 1 0 
0 0 1 


Con lo que la matriz de la aplicación referida a la base canónica será:
 1 1 0  - 1 0 0  - 1 4 - 2

 
 

-1
A = PDP =  0 0 1   0 1 0   0 1 0 
0 − 1 2  0 0 1  0 0 1 

 
 

 − 1 4 − 2


A=  0 1 0 
0 0 1 


c) Al ser rg (A) = 3, tendremos: din Ker f = dim ℜ 3 - rg (A) = 3 – 3 = 0; con lo que:
Ker f = {0} y f será Inyectiva.
Además, dim(Im f) = rg (A) = 3 = dim ℜ 3 , con lo que:
Im f = ℜ 3 , y f será Sobreyectiva
Con todo f es una aplicación Biyectiva.
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