16/02/2012
Teoría de Conjuntos:
Producto Cartesiano y Relaciones
COMP 2502: Estructuras Computacionales Discretas II
Dra. Madeline Ortiz Rodríguez
1
Repaso sobre Conjuntos
Los elementos de un conjunto pueden organizarse en
cualquier orden.
En un conjunto bien definido no existen elementos
repetidos.
Cuando un conjunto se define en términos de sus elementos,
éstos pueden ser números, variables u otros conjuntos.
Un conjunto puede definirse en términos de una proposición
o expresión algebraica.
2
1
16/02/2012
Producto Cartesiano - Definición
Dados dos conjuntos, se define el Producto Cartesiano como
una multiplicación de conjuntos.
Notación para Producto Cartesiano: X x Y
Notación para un elemento del conjunto: (x,y)
Esto significa que los elementos de X serán el dominio (el
primer elemento del par ordenado) y que Y será el alcance (el
segundo elemento en el par ordenado).
El orden de los elementos en el par ordenado es importante.
El orden de los elementos puede distinguir un par ordenado
de otro: (x,y) no es igual a (y,x).
3
Producto Cartesiano para 2 conjuntos
Si tenemos dos conjuntos, los elementos del producto
cartesiano se establecerán como pares ordenados.
Cada elemento ES un par ordenado.
Veamos como se construye un producto cartesiano para dos
conjuntos finitos:
X = {2, 4, 6}
Y = {7, 8}
X x Y = {(2,7), (2,8), (4,7), (4,8), (6,7), (6,8)}
Toma el primer elemento de X y combínalo con cada elemento de Y.
Luego, repite el mismo procedimiento con cada elemento de X.
4
2
16/02/2012
Uso de diagramas para construir el
Producto Cartesiano para 2 conjuntos
A = {1,2,3}
B = {4,5,6}
A x B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)}
Imagen obtenida de: http://www.proyectosalonhogar.com/matem/01carteok.html
5
Ver el siguiente vídeo
Producto Cartesiano
http://www.youtube.com/watch?v=vgledj-7XQ4
Excelente explicación sobre la construcción del producto
cartesiano de dos conjuntos y su relación con la cardinalidad de
cada conjunto.
6
3
16/02/2012
Cardinalidad del Conjunto
Recordemos – la cardinalidad de un conjunto es el número
total de elementos en el conjunto
Por ejemplo: F = {3,4,6,8,9}
Cardinalidad: |F| = 5
Interpretación: El conjunto F tiene 5 elementos.
7
Cardinalidad de:
el Conjunto “Producto Cartesiano”
Dados los conjuntos X y Y, definidos como:
X = {1,2,3,4}
Y = {p, q}
|X| = 4
|Y| = 2
La cardinalidad del Producto Cartesiano:
|X x Y| = |X| x |Y| =4 x 2 = 8
Interpretación: El conjunto del Producto Cartesiano
tendrá 6 elementos. Veamos:
X x Y = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)}
8
4
16/02/2012
Veamos un ejemplo conocido: el Plano Cartesiano.
Éste trabaja con conjuntos infinitos.
9
Imagen obtenida de:
http://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system
Plano Cartesiano (1-4)
Este producto combina los elementos de dos o más conjuntos
en pares ordenados.
Has estudiado el Plano Cartesiano en Álgebra y localizado
puntos en sus cuadrantes.
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
10
5
16/02/2012
Plano Cartesiano (2-4)
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
Los puntos son pares ordenados de números reales.
En el Cuadrante I, se dibujan los puntos para x>0 y y>0, lo
que nos da números positivos (+,+).
En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x<0 y y>0, lo
que nos da dos tipos de números (+,--)
11
Plano Cartesiano (3-4)
Cuadrante II
Cuadrante III
Cuadrante I
Cuadrante IV
Completa la información para los Cuadrantes III y IV:
En el Cuadrante III, se dibujan los puntos para x___ y y ___
lo que nos da números positivos (____).
En el Cuadrante II, tenemos los puntos para x___ y y y ___
lo que nos da dos tipos de números (____)
12
6
16/02/2012
Plano Cartesiano (4-4)
Para concluir, el Plano Cartesiano presenta un caso de pares
ordenados infinitos.
Tanto los valores de X como los valores de Y pertenecen al
conjunto de los Números Reales.
Sin embargo, en este curso se trabaja con conjuntos finitos.
13
Producto Cartesiano para 3 conjuntos
Si tenemos tres conjuntos, entonces hablaremos de “tuplos”
ordenados, los que se componen de tres elementos cada uno.
La cardinalidad se calculará de la misma manera que se hizo
anteriormente, para dos conjuntos.
Un ejemplo de este caso sería:
X = {2, 4, 6}
Y = {7, 8}
Z = {a}
|X x Y x Z| = |X| x |Y| x |Z| = 3 x 2 x 1 = 6
X x Y x Z = {(2,7,a), (2,8,a), (4,7,a), (4,8,a), (6,7,a), (6,8,a)}
14
7
16/02/2012
Relaciones en
Productos Cartesianos
15
Relaciones: Definición
Dada una regla específica, una relación se establece entre dos
o más conjuntos,
calculando el producto cartesiano y
seleccionando aquellos pares ordenados que cumplen con la
regla dada.
Una Relación es un subconjunto del Producto Cartesiano.
16
8
16/02/2012
Relaciones: Procedimiento
En la mayoría de los casos se trabaja con conjuntos definidos
en términos de proposiciones, los que hay que convertir a
una lista de elementos.
Luego se calcula el Producto Cartesiano.
Si fuera un solo conjunto:Y x Y= Y2
Dos conjuntos: X x Y
Finalmente, se aplica la regla que estable la relación.
17
Relaciones: Representación
El conjunto de la Relación (R) puede presentarse en forma
de una tabla o un conjunto de pares ordenados:
Por ejemplo, en forma de tabla sería:
Dominio
Imagen o
Rango
3
4
5
6
7
8
En forma de conjunto sería:
R = {(3,4), (5,6), (7,8)}
18
9
16/02/2012
Tipos de Relaciones
Una relación (R) incluye aquellos elementos que cumplen
con la regla dada. Por ejemplo:
Regla: El elemento x divide al elemento y.
Esto es: x divide a y,
quiere decir que cuando se divide y/x, el residuo es 0
Por ejemplo, 2 divide a 10,
por que 10 dividido por 2 = 5 y el residuo es 0.
19
Tipos de relaciones
Por otra parte, la relación inversa incluye aquellos elementos
del Producto Cartesiano que no pertenecen a la Relación.
Esta idea se relaciona con el Conjunto Universal, que en este
caso viene a ser el Producto Cartesiano.
Ejemplo:
Si A x B = {(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p), (4,q)}
Si se define R = {(1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q), (4,p)}
Entonces R-1 = lo que le falta a R para completar A x B, esto es:
R-1 = {(1,p), (4,q)}
20
10
16/02/2012
Tarea:
Estudia la sección 3.1 del texto, págs. 116-123.
Ejercicios 1-8
Define:
Relación reflexiva
Relación simétirica
Relación antisimétrica
Relación transitiva
21
Tarea opcional: Ver el Vídeo
Relaciones y grafos:
http://www.youtube.com/watch?v=Xmu11trcUL0
Dados dos conjuntos, encuentra los elementos de una relación
tomando en cuenta la regla que los define. Incluye dos tipos de
diagramas: sagital y cartesiano.
Duración: 6:30 minutos.
Presentado por el Lic. Henry Chero Valdivieso de la
Universidad Los Ángeles Chimbote en Perú (ULADECH),
http://www.uladech.edu.pe/
22
11
0
