EL TEOREMA DEL PUNTO FIJO Y APLICACIONES SEGUNDA PARTE Alberto E. J. Manacorda* *Ingeniero Geografo Profesor Titular de Analisis Matematico II Facultad de Ciencias Economicas y Estadistica Universidad Nacional de Rosario 5.- Aplicaciones 5.1.- Teorema de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial de primer orden. Sea f ( x, y ) una función acotada y continua en un dominio D del plano ( 0; x, y ) que satisface la condición de Lipschitz respecto de “ y ” en D : f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ h y1 − y2 Indiquemos con ( x0 , y0 ) un punto arbitrario de D . Entonces existe un entorno N ( x0 ) y una única función y = ϕ ( x ) tal que: ( ) a) ϕ ( x ) está definida en N ( x0 ) y ∀x ∈ N ( x0 ) es x, ϕ ( x ) ∈ D . b) y0 = ϕ ( x0 ) . c) ϕ ( x ) es solución única de la ecuación y′ = f ( x, y ) en N ( x0 ) , verificándose la identidad ϕ ′ ( x ) ≡ f ⎣⎡ x, ϕ ( x ) ⎦⎤ ∀x ∈ N ( x0 ) . Demostración: la ecuación y′ = f ( x, y ) junto con la condición inicial y0 = ϕ ( x0 ) es equivalente a la ecuación integral x y ( x ) = y0 + ∫ f ⎡⎣t , y ( t ) ⎤⎦dt (1) x0 Por ser f acotada en D , es f ( x, y ) ≤ M ∀ ( x, y ) ∈ D . Escojamos ahora un número δ > 0 de manera que se cumplan las condiciones : x − x0 ≤ δ , y − y0 ≤ M δ contenido en D , • • hδ < 1. Designemos mediante C el espacio de funciones continuas ϕ definidas sobre el segmento x − x0 ≤ δ y tales que ϕ ( x ) − y0 ≤ M δ , con la métrica d (ϕ1 , ϕ2 ) = ϕ1 − ϕ2 . El espacio C es completo sobre [ x0 − δ , x0 + δ ] . Consideremos el operador T definido por la expresión: T (ϕ )( x ) = y0 + x ∫ f ⎡⎣t , ϕ ( t )⎤⎦dt x0 donde x − x0 ≤ δ . Este operador transforma el espacio completo C en si mismo y es una contracción en él. En efecto, sea ϕ ∈ C y x − x0 ≤ δ . En este caso T (ϕ )( x ) − y0 = x ∫ f ⎡⎣t ,ϕ ( t )⎤⎦dt ≤ M δ x0 Entonces T : C → C . Además T (ϕ1 )( x ) − T (ϕ 2 )( x ) ≤ x ∫ f ( t , ϕ ( t ) ) − f ( t , ϕ ( t ) ) dt ≤ 1 2 x0 ≤ hδ max ϕ1 ( x ) − ϕ2 ( x ) = hδ ϕ1 − ϕ 2 x Puesto que hδ < 1, T es un operador de contracción. Por tanto, existe ϕ único tal que ϕ ( x ) = T (ϕ ) = y0 + x ∫ f ⎡⎣t , ϕ ( t )⎤⎦dt . x0 5.2.- Un teorema de existencia de la función implícita. Sea f una función definida en una banda B : B = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b; −∞ < y < +∞} Admitamos que existe la derivada parcial con respecto a “ y ” que satisface la desigualdad 0 < m ≤ f y ( x, y ) ≤ M ∀ ( x, y ) ∈ B (1) donde m y M son constantes tales que m ≤ M . Supongamos además que para cada función ϕ continua en [ a, b ] la función compuesta g ( x ) = f ⎡⎣ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ es continua en [ a, b ] . Entonces existe una y sólo una función y = y ( x ) continua en [ a, b ] tal que: f ⎡⎣ x, y ( x ) ⎤⎦ ≡ 0 ∀x en [ a, b ] (2) Demostración: Designemos con C el espacio lineal de las funciones continuas en [ a, b ] y definamos un operador T : C → C mediante la expresión: 1 T (ϕ )( x ) = ϕ ( x ) − f ⎡ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ M ⎣ para cada x de [ a, b ] . T (ϕ ) ∈ C siempre que ϕ ∈ C . Vamos a demostrar que T es una contracción y luego deduciremos que T tiene un único punto fijo “ y ” en C . Para esta función “ y ” tendremos y = T ( y ) lo que significa: y ( x) = y ( x) − 1 f ⎡ x, y ( x ) ⎤⎦ M ⎣ lo que nos proporcionará (2). Comenzamos escribiendo la diferencia T (ϕ )( x ) − T (ψ )( x ) = ϕ ( x ) −ψ ( x ) − ∀x ∈ [ a, b ] f ⎡⎣ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ − f ⎡⎣ x,ψ ( x ) ⎤⎦ M Por el teorema del valor medio, tenemos: f ⎡⎣ x, ϕ ( x ) ⎤⎦ − f ⎡⎣ x,ψ ( x ) ⎤⎦ = ⎡⎣ϕ ( x ) −ψ ( x ) ⎤⎦ f y ⎡⎣ x,η ( x ) ⎤⎦ donde η ( x ) está situada entre ϕ ( x ) y ψ ( x ) . (3) Reemplazando en (3), resulta: ⎛ f y ⎡ x,η ( x ) ⎤⎦ ⎞ (4) T (ϕ )( x ) − T (ψ )( x ) = ⎡⎣ϕ ( x ) −ψ ( x ) ⎤⎦ ⎜1 − ⎣ ⎟ ⎜ ⎟ M ⎝ ⎠ De (1) se obtiene: m f y ⎡⎣ x,η ( x ) ⎤⎦ 0< ≤ ≤1 M M f y ⎡ x,η ( x ) ⎤⎦ m <0 −1 ≤ − ⎣ ≤− M M f y ⎡ x,η ( x ) ⎤⎦ m <1 0 ≤ 1− ⎣ ≤ 1− M M En consecuencia (4) proporciona: m⎞ ⎛ T (ϕ )( x ) − T (ψ )( x ) ≤ ϕ ( x ) −ψ ( x ) ⎜ 1 − ⎟ ≤ k ϕ −ψ (5) ⎝ M⎠ m donde k = 1 − <1 M La desigualdad (5) es válida ∀x ∈ [ a, b ] . Luego T es un operador de contracción. Entonces T tiene un punto fijo único: Así que siendo y ( x ) = T ( y ) = y ( x ) − resulta f ⎡⎣ x, y ( x ) ⎤⎦ ≡ 0 . y = T ( y) 1 f ⎡ x, y ( x ) ⎤⎦ M ⎣ ∀x ∈ [ a, b ] 5.3.- Teorema de existencia para ecuaciones integrales. Sea la ecuación integral lineal no homogénea de Fredholm de segunda especie: b f ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, y ) f ( y ) dy (1) a donde K (llamada núcleo) y ϕ son funciones dadas, f la función incógnita y λ un parámetro arbitrario. Mostraremos que el método es aplicable para valores suficientemente pequeños del parámetro λ . Supongamos que K ( x, y ) y ϕ ( x ) son continuas en a ≤ x ≤ b , a ≤ y ≤ b ; por consiguiente K ( x, y ) ≤ M > 0. Consideremos el operador T del espacio completo C[a ,b] en sí mismo, definido por: b T ( f )( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, y ) f ( y ) dy a Llamamos solución de (1) a la función f ( x ) que, al ser sustituida en dicha ecuación, la transforma en una identidad (respecto a x ). La demostración se basa en probar que T es un operador de contracción. Para esto tomemos en C dos funciones cualesquiera f1 y f 2 y hagamos la diferencia. b T ( f1 )( x ) − T ( f 2 )( x ) ≤ λ M ∫ f1 ( y ) − f 2 ( y ) dy ≤ λ M f1 − f 2 a b ∫ dy = a = λ M ( b − a ) f1 − f 2 = k f1 − f 2 siendo k = λ M ( b − a ) . Por tanto, T es una contracción si 0 < k < 1, o sea cuando 1 (2) M (b − a ) Luego ∀λ que verifique (2), la ecuación de Fredholm tiene una solución continua única en C[a ,b] . λ < Las aproximaciones sucesivas f 0 , f1 ,..., f n ... de esta solución tienen la forma: b f n ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, y ) f n −1 ( y ) dy a 6.- Generalización Presentamos ahora una generalización para operadores de contracción. 6.1.- Teorema: Sea A una aplicación continua del espacio métrico completo E en sí mismo tal que la aplicación An = T es una contracción para algún n ; en este caso la ecuación: A( x) = x tiene una solución y sólo una. En efecto, tomemos un punto arbitrario x0 ∈ E sucesión: x0 , x1 = A ( x0 ) = T ( x0 ) , x2 = A ( x1 ) = T ( x1 ) = A n xp = A pn n 2n y consideremos ( x0 ) = T ( x0 ) ,... es 2 la decir ( x0 ) = T ( x0 ) ( p = 0,1, 2,3,...) . p Repitiendo la parte correspondiente de la demostración del teorema 4.2., podemos probar que esta sucesión converge. Pongamos: x = lim A pn ( x0 ) = lim T p ( x0 ) (1) p →∞ p →∞ y queremos probar que A ( x ) = x . En efecto, debido a la continuidad de A , tenemos ( ) A ( x ) = A lim T p ( x0 ) = lim T p ( A ( x0 ) ) p →∞ p →∞ (2) Puesto que An = T es un operador de contracción d ⎡⎣ A pn ( A ( x0 ) ) , A pn ( x0 ) ⎤⎦ = d ⎡⎣T p ( A ( x0 ) ) , T p ( x0 ) ⎤⎦ ≤ kd ⎡⎣T p −1 ( A ( x0 ) ) , T p −1 ( x0 ) ⎤⎦ ≤ ≤ ... ≤ k p d ⎡⎣ A ( x0 ) , x0 ⎤⎦ . Entonces: lim d ⎡⎣ A pn ( A ( x0 ) ) , A pn ( x0 ) ⎤⎦ = lim d ⎡⎣T p ( A ( x0 ) ) , T p ( x0 ) ⎤⎦ ≤ lim k p d ⎡⎣( A ( x0 ) ) , x0 ⎤⎦ = 0 p →∞ p →∞ p →∞ pues k → 0 cuando p → ∞ , ya que k < 1. Entonces, por la continuidad de la distancia p d , de (1) y (2), se tiene: d ⎡⎣ A ( x ) , x ⎤⎦ = 0 ∴ A ( x ) = x . La unicidad surge de que, como todo punto fijo respecto a A , también será fijo respecto al operador An = T que es de contracción, este punto fijo es único. 6.2.- Teorema de existencia para la ecuación integral de Volterra de segunda especie. Esta ecuación es de la forma: x f ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) f ( t ) dt a que se diferencia de la ecuación de Fredholm por tener en el extremo superior de la integral la variable x . Aplicaremos en este caso el teorema 6.1. Probaremos que cierta potencia del operador x A ( f )( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, t ) f ( t ) dt a es una contracción. Sean f1 y f 2 dos funciones continuas sobre [ a, b ] . Entonces: x A ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) = λ ∫ K ( x, t ) ⎡⎣ f1 ( t ) − f 2 ( t ) ⎤⎦ dt ≤ λ M ( x − a ) f1 − f 2 . a Aquí hemos llamado con M = max K ( x, t ) . De la desigualdad anterior (ver apéndice 7.5.), se tiene: A 2 ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ 2 2 M 2 ( x − a) 2 f1 − f 2 2 y en general ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ ( x − a) n (b − a ) n f1 − f 2 ≤ λ M f1 − f 2 n! n! Entonces, cualquiera que sea el valor de λ , podemos escoger n tan grande de modo que A n n n M n λ M n (b − a ) n n <1 n! es decir, el operador An es de contracción para n suficientemente grande. Por consiguiente la ecuación de Volterra de segunda especie, tiene solución única, cualquiera que sea λ . n n 7.- Apéndice 7.1.- Relación entre las ecuaciones diferenciales lineales y las ecuaciones integrales de Volterra. La resolución de la ecuación diferencial lineal y ( n ) + a1 ( x ) y ( n −1) + ... + an ( x ) y = b ( x ) con coeficientes continuos ai ( x ) y ( 0 ) = C0 , y′ ( 0 ) = C1 ,..., y ( n −1) ( i = 1, 2,..., n ) y condiciones iniciales: ( 0 ) = Cn−1 puede ser reducida a la solución de cierta ecuación integral de Volterra de segunda especie. Demostraremos esto para la ecuación diferencial lineal de segundo orden: y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = b ( x ) (1) y ( 0 ) = C0 Hagamos , y′′ = ϕ ( x ) x Por tanto ∫ ϕ ( t ) dt = y′ ( x ) − y′ ( 0 ) = y′ ( x ) − C1 0 y′ ( 0 ) = C1 (2) x ∴ y′ ( x ) = ∫ ϕ ( t ) dt + C1 (3) 0 Análogamente x t ⎡ ⎤ y ( x ) = ∫ ⎢ ∫ ϕ ( z ) dz + C1 ⎥ dt + C0 0 ⎣0 ⎦ x t x t ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∫0 ⎢⎣ ∫0 ϕ ( z ) dz + C1 ⎥⎦ dt =∫0 ⎢⎣ ∫0 ϕ ( z ) dz ⎥⎦dt + C1 x Vamos a integrar por partes. (4) t Llamemos: u = ∫ ϕ ( z )dz y ∴ dv = dt v=t−x 0 Considerando − x como una constante aditiva. x t x ⎡t ⎤ Así resulta: ∫ ⎢ ∫ ϕ ( z ) dz ⎥ dt = ( t − x ) ∫ ϕ ( z ) dz − ∫ ( t − x ) ϕ ( t ) dt 0 ⎣0 0 0 ⎦ 0 x t x ⎡ ⎤ Reemplazando en (4) ∫ ⎢ ∫ ϕ ( z ) dz ⎥ dt + C1 x = ∫ ( x − t )ϕ ( t ) dt + C1 x 0 ⎣0 0 ⎦ En consecuencia: x x y ( x ) = ∫ ( x − t )ϕ ( t ) dt + C1 x + C0 (5) 0 Reemplazando (2), (3) y (5) en (1), nos queda: x x 0 0 ϕ ( x ) + a1 ( x ) ∫ ϕ ( t ) dt + a1 ( x ) C1 + a2 ( x ) ∫ ( x − t ) ϕ ( t ) dt + a2 ( x ) C1 x + a2 ( x ) C0 = b ( x ) x ϕ ( x ) + ∫ ⎡⎣ a1 ( x ) + a2 ( x )( x − t ) ⎤⎦ϕ ( t ) dt = b ( x ) − C1 ⎡⎣ a1 ( x ) + xa2 ( x ) ⎤⎦ − C0 a2 ( x ) 0 Llamando: K ( x, t ) = − ⎡⎣ a1 ( x ) + a2 ( x )( x − t ) ⎤⎦ (6) f ( x ) = bx − C1a1 ( x ) − C1 xa2 ( x ) − C0 a2 ( x ) nos queda: x ϕ ( x ) = ∫ K ( x, t ) ϕ ( t )dt + f ( x ) (7) 0 que es una ecuación de segunda especie de Volterra. La existencia de la solución única de (7) se desprende del teorema demostrado en 6.2., ya que K ( x, t ) y f ( x ) son funciones continuas. Resolviendo la ecuación (7) con K y f dados por (6) y sustituyendo la expresión obtenida para ϕ ( x ) en (5), se tiene la solución única de la ecuación (1) que satisface las condiciones iniciales dadas. Cabe también acotar, que la existencia y unicidad de (7) se desprende de la existencia y unicidad de la solución del problema de Cauchy para la ecuación diferencial lineal con coeficientes continuos en un entorno de x = 0 . 7.2.- Continuidad de la distancia. Teorema: La función numérica ( x , y ) → d ( x, y ) definida sobre E × E es continua sobre E × E . Basta demostrar que en el espacio métrico ( E , d ) , si ( xn , yn ) tiende a ( x0 , y0 ) .según la distancia definida sobre E × E , entonces d ( xn , yn ) .tiende a d ( x0 , y0 ) . De la desigualdad triangular, cualesquiera que sean: x, z1 , z2 ,..., zn −1 , zn , y ∈ E d ( x, y ) ≤ d ( x, z1 ) + d ( z1 , z2 ) + ... + d ( zn , y ) Por lo tanto, para x, y, x′, y′, será: d ( x, y ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( x′, y′ ) + d ( y′, y ) d ( x′, y′ ) ≤ d ( x′, x ) + d ( x, y ) + d ( y, y′ ) y como: d ( x, x′ ) = d ( x′, x ) se tienen: y d ( y, y′ ) = d ( y′, y ) d ( x, y ) − d ( x′, y′ ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( y, y′ ) d ( x′, y′ ) − d ( x, y ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( y, y′ ) Luego: d ( x, y ) − d ( x′, y′ ) ≤ d ( x, x′ ) + d ( y, y′ ) (1) Entonces, llamando x = xn , y = yn , x′ = x0 , y′ = y0 , y reemplazando en la desigualdad anterior (1) nos queda la expresión: d ( xn , yn ) − d ( x0 , y0 ) ≤ d ( xn , x0 ) + d ( yn , y0 ) que completa la demostración. 7.3.- Nota: Cabe destacar que la desigualdad (1) prueba que la distancia d es uniformemente continua sobre E × E ( E lineal). 7.4.- En un espacio métrico se usan en numerosas cuestiones sucesiones convergentes. Por tal motivo, hacemos notar que para que una sucesión { xn } converja a un punto x ∈ E , es necesario y suficiente que d ( x, xn ) tienda a cero. Pues si xn converge hacia x , toda bola abierta con centro x y radio ε contiene todos los xn , salvo los que corresponden a un número finito de índices, por tanto, sea cual sea ε > 0, se verifica d ( x, xn ) < ε salvo para un número finito de valores de n . Inversamente, si d ( x, xn ) → 0 , para cualquier ε > 0, la bola abierta de centro x y radio ε contiene todos los xn tales que d ( x, xn ) < ε y por tanto, los contiene todos, salvo un número finito. 7.5.- Trataremos en este punto, con más detalle la demostración del teorema 6.2. Habíamos probado que: A ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ M ( x − a ) f1 − f 2 Entonces, siendo x A2 ( f )( x ) = A ( A ( f ) ) ( x ) = ϕ ( x ) + λ ∫ K ( x, t )A ( f )( t ) dt a x A2 ( f1 )( x ) − A2 ( f 2 )( x ) = λ ∫ K ( x, t ) ⎡⎣ A ( f1 )( t ) − A ( f 2 )( t ) ⎤⎦dt a Por tanto: A2 ( f1 )( x ) − A2 ( f 2 )( x ) ≤ λ x ∫ K ( x, t ) A ( f )( t ) − A ( f )( t ) dt ≤ 1 2 a ≤λ M 2 x 2 ∫ ( t − a ) dt f1 − f 2 a y como: x ∫ (t − a ) a (t − a ) dt = 2 x 2 ( x − a) = 2 2 a Luego: A 2 ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ 2 2 M 2 M n ( x − a) 2 f1 − f 2 2 y en general, por inducción: A n ( f1 )( x ) − A ( f 2 )( x ) ≤ λ n n (b − a ) pues x ∈ [ a, b ] . n! n f1 − f 2 BIBLIOGRAFÍA APOSTOL, Tom. “Análisis Matemático”. Ed. Rverté S.A. Barcelona. 1982. APOSTOL, Tom. “Calculus”. Ed. Reverté S.A. Barcelona. 1992. DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de análisis moderno”. Ed. Reverté S.A. Barcelona.1966. KOLMOGOROV, A.N. y FOMIN, S.V. “Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional”. Editorial MIR. 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