Examen Álgebra Lineal: Transformaciones, Determinantes y Espacios Vectoriales

Algebra Lineal Parcial 2, MATE-1105, Octubre 11 2007.
1) Sea T : R2 → R2 la reflección en la linea l = {(x, y); y = 2x}. Calcule la
matriz de T en la base estandard e1 , e2 de R2 .
2) Sea v el espacio vectorial de todos polinomios. Son los vectores v1 = 2,
v2 = x − 1, v3 = x2 . v3 = x3 − 1 y v5 = 1 + x + x2 + x3 linealmente
independiente?
3) Compute el determinante de la matriz

1 2 3
 2 3 4

A=
 0 2 3
 0 0 2
0 0 0
SUERTE!
1
5
5
4
3
2
5
6
5
4
3






II EXAMEN PARCIAL
MATE1105-ALGEBRA LINEAL
Marzo 29 de 2007
⎛1 ⎞
Z x Z = {( x, y ) | x, y ∈Z} . Por ejemplo (−5,8) ∈ Z x Z pero ⎜ ,3 ⎟ ∉ Z x Z
⎝2 ⎠
2
Determinar si Z x Z es un subespacio vectorial de \ Justificar plenamente su respuesta.
I. a) Sea
b) Encontrar la inversa de la siguiente matriz con entradas en los complejos:
3 ⎞
⎛2−i
C =⎜
⎟
2+i⎠
⎝ 1
II. a) Mostrar que el conjunto de las matrices simétricas de 2 x 2
S 2 (\) = {A ∈ M 2 (\) | A T = A}
es un subespacio vectorial de M 2 ( \ ) .
b) Determinar la dimensión de S 2 (\) , exhibiendo explícitamente una base.
c) Definir explícitamente un isomorfismo T entre S 2 (\) y el espacio de matrices triangulares
⎧⎛ a b ⎞
⎫
T2 (\) = ⎨⎜
⎟ | a,b,c ∈ \ ⎬ .
⎩⎝ 0 c ⎠
⎭
superiores de 2 x 2
III. Considere la matriz
a. Calcular
det ( A 4 ) .
⎛ 1 2 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜2 1 1 ⎟
⎜ 3 −1 5 ⎟
⎝
⎠
b. ¿Es A invertible? Justifique su respuesta.
IV. Utilizar la regla de Cramer para solucionar el siguiente sistema de ecuaciones:
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 0
⎪
⎨2 x1 + x2 + x3 = 0
⎪3x − x + 5 x = 0
2
3
⎩ 1
V. (En este punto puede usar cálculos elaborados en puntos anteriores).
B = { 1 + 2 x + 3x 2 , 2 + x − x 2 , − 1 x + 5 x 2
Sea
}
a) Mostrar que B es una base para P2.
b) Encontrar el vector de coordenadas del polinomio p(x) = x2 con respecto a la base B (es
decir,
[P(x )]B ).
c) Sea S : \ → P2 la transformación lineal definida por:
3
⎛⎛a⎞⎞
⎜⎜ ⎟⎟
S ⎜ ⎜ b ⎟ ⎟ = a + bx + cx 2 .
⎜⎜c⎟⎟
⎝⎝ ⎠⎠
[ ]BB , la matriz asociada a la transformación S con respecto a la base canónica
B' = {e1 , e2 , e3 } en \ 3 y a la base B en P .
Encontrar S
2
Suerte!
Parcial 1, Álgebra lineal (B)
Jueves 18 de Octubre de 2007
1. Sea T : R3 → P2 una transformación lineal tal que
 
a
T  b  = a + (b + c)x + (a + b + c)x2
c
Considere además la base canónica B para R3 y la base B 0 = {x2 , x2 +x, x2 +x+1}
para P2 .
a. Encuentre la matriz de la transformación T con respecto a las bases B,B 0 .
b. Halle T (3, 6, 4) directamente de la definición y usando la matriz de la transformación de la parte a. Verifique que el resultado es el mismo.
c. Halle bases para el kernel y la imagen de T , además diga cual es la nulidad y
el rango.
d. Es T inyectiva?, es T sobreyectiva?. Justifique su respuesta.
2. Determine cuales de los siguientes conjuntos son dependientes o independientes,
determine una base para el espacio generado por ellos y diga cual es la dimensión:
a. {5x2 − x + 3, x2 + 1, x2 + x + 1, 1 + x}
b. {sin(x), sin(2x), cos(x), cos(2x)}
c. {sin2 (x), cos(2x), cos2 (x), exp(x)}
3. ¿Son los puntos (1, 1, 0), (0, 1, 1), (2, −1, 1), (4, 5, −7) coplanares?. Justificar plenamente su respuesta.
Parcial II – Álgebra Lineal
Marzo 26 de 2007
(6 Puntos) I. Responda falso o verdadero, justificando (con un contraejemplo o una
prueba, respectivamente) su respuesta.
(i) Los puntos (0, 0, 0), (1, 4, 3), (2, 5, 8) y (−1, 2, −5) están en el mismo plano.
(ii) La transformación lineal

 

x1
−x2
T  x2  =  x1 
x3
x3
no cambia el volumen de una caja en R3 .
(iii) Si A = −AT entonces det A = 0.
(3 Puntos) II. Resuelva uno de los dos puntos siguientes:
(i) Encuentre las cuatro raices cuartas de −16.
i 1+i
(ii) Encuentre la inversa de la matriz A =
.
1
i
(3 Puntos) III. Use la regla de Cramer para solucionar el siguiente sistema de ecuaciones
x1 − x2 − x3
x1 + x2
x1
+ x3
=
=
=
2
0
1.
(4 Puntos) IV. Sea S2 (R) = {A ∈ M2 (R) | AT = A} el conjunto de matrices simétricas
2 × 2. Diga cuál de las siguientes transformaciones lineales
T : R3 → S2 (R)
es un isomorfismo (explique su respuesta):


x1
x1 + x3 x1 + 2x2


x2
(i) T
=
.
x1 + 2x2 x1 − x3
x3


x1
x1 − x3
(ii) T  x2  =
x1 + 2x2
x3
x1 + 2x2
x1 − x3
.
Parcial II – Álgebra Lineal
Octubre 16 de 2007
(4 Puntos) I. Responda falso o verdadero, justificando (con un contraejemplo o una
prueba, respectivamente) su respuesta.
1 a
(i) El conjunto
∈ M2 (R) | a, b ∈ R es un subespacio vectorial de M2 (R)
b 1
con las operaciones usuales.
(ii) Sea P2 [x] = {p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 | a0 , a1 , a2 ∈ R}, el espacio vectorial de polinomios de grado dos con coeficientes reales, entonces la dimensión de P2 [x] es 2.
(6 Puntos) II. En (i) y (ii) demuestre que los siguientes conjuntos de vectores son una
base para los respectivos espacios vectoriales:
(i) BP2 [x] = 1, 1 − x, 1 + x + x2 para P2 [x].
1 0
1 1
1 1
1 1
(ii) BM2 (R) =
,
,
,
para M2 (R).
0 0
0 0
1 0
1 1
(iii) Si p1 (x) = 1 + 2x + 3x2 , encuentre [p1 (x)]BP2 [x] .
1 2
(iii) Si M1 =
, encuentre [M1 ]BM2 (R) .
3 4
(6 Puntos) III. Considere la aplicación T : P2 [x] → M2 (R) dada por
2a0 + a1
a2
T (a0 + a1 x + a2 x2 ) =
.
a2
a1 − 2a0
(i) Demuestre que tal aplicación es una transformación lineal.
(ii) Encuentre el nucleo (espacio nulo) y el rango (espacio imagen) de la transformación.
(iii) Encuentre las dimensiones del nucleo y el rango.
(iv) Encuentre la matriz de la transformación lineal respecto a las bases BP2 [x] y BM2 (R)
del punto antereior.
Parcial 1, Álgebra lineal (A)
Jueves 18 de Octubre de 2007
1. Sea T : R3 → P2 una transformación lineal tal que
 
a
T  b  = (a + b + c) + (b + c)x + cx2
c
Considere además la base canónica B para R3 y la base B 0 = {x2 , x2 +x, x2 +x+1}
para P2 .
a. Encuentre la matriz de la transformación T con respecto a las bases B,B 0 .
b. Halle T (3, 6, 4) directamente de la definición y usando la matriz de la transformación de la parte a. Verifique que el resultado es el mismo.
c. Halle bases para el kernel y la imagen de T , además diga cual es la nulidad y
el rango.
d. Es T inyectiva?, es T sobreyectiva?. Justifique su respuesta.
2. Determine cuales de los siguientes conjuntos son dependientes o independientes,
determine una base para el espacio generado por ellos y diga cual es la dimensión:
a. {1 + x, x2 + 1, x2 + x + 1, 5x2 − x + 3}
b. {cos(x), cos(2x), sin(x), sin(2x)}
c. {cos2 (x), cos(2x), sin2 (x), exp(x)}
3. Use determinantes para hallar el volumen del tetraedro con vértices en
(2, 2, 2), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1).
Álgebra Lineal
Examen 2
Septiembre 28 de 2007
1.
Sea M2×2 el espacio vectorial de todas las matrices de 2 × 2, y sea
β=
1 2
0 0
0 0
1 0
3 4
,
,
,
.
2 1
2 0
0 −1
¿Es β una base para el espacio M2×2 ? Justifique plenamente su respuesta.
2.
Sea W = {A2×2 : la suma de la diagonal de
A
4
antidiagonal de A}. Por ejemplo, la matriz
2
esigual al doble de la suma de la
3
∈ W.
6
(a) Demuestre que W M2×2 .
(b) Encuentre una base α para W y calcule n = Dim(W ) =“tamaño de α”.
11 1
4 3
. Calcule [A + B]α , las coordenadas de A + B
,B=
(c) Sean A =
7 5
2 6
según α.
(d) Sea C ∈ W tal que [C]α = (1, 2, 3). Calcule C.
3.
Sea T : R2 → R2 la transformación lineal tal que
T (1, 2) = (7, 7) y T (2, 5) = (17, 17).
(a) Calcule AT , la matriz canónica asociada a T .
(b) Encuentre Ker(T ), νT , Im(T ) y ρT .
(c) Haga un dibujo de casillas (“edificios”) para T .
(d) Transforme los puntos de la siguiente figura según T :
No utilizar calculadora. Cada punto vale 1.6. Buena suerte -Andrés.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Segundo Parcial de Algebra Lineal
Marzo 9 de 2007.
Justifique en forma clara y matemáticamente cada una de sus respuestas.
1.
Conteste falso (F) o verdadero (V) según sea el caso. Si es verdadero justifique matemáticamente usando la teorı́a. En caso contrario puede usar la teorı́a o justificar mediante un
ejemplo.
a) El polinimio en P≤2 cuyas coordenadas relativas a la base B = x + x2 , x − x2 , 1 + x
son [3, 1, 2] es 2x2 − 7x + 3.
b)
Todo espacio vectorial V es isomorfo a Rn para algún entero positivo n.
c)
Si los vectores ~v , w
~ son linealmente independientes en V y T : V → V 0 una transformación lineal inyectiva. Entonces los vectores T (~v ) y T (w)
~ son linealmente indepen0
dientes en V .
d)
El número complejo 1 + i es una raı́z cúbica del número −2 + 2i.
Si z + z = 2z entonces z es un número real.
a
b
Sea H =
: a, b ∈ R .
2b −a
e)
2.
3.
a)
Muestre que H es un subespacio de las matrices 2 × 2.
b)
Halle una base para H y determine su dimensión.
Sea V =gen{1, senx, cosx} y T la transformación T : V → V definida por T (f (x)) = f 0 (x).
a)
Encuentre la matriz de representación de T .
b)
Encuentre la imagen y el núcleo.
No olvide apagar su celular!1
1
* Recuerde el juramento del Uniandino:”Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma universidad”.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
Algebra Lineal.
Segundo Examen Parcial.
Marzo 2007.
1. En cada una de las siguientes afirmaciones, determine si son verdaderas o falsas.
Justifique su respuesta.
• Sean V y W dos espacios vectoriales sobre R. Sea T : V −→ W una transformación lineal, entonces T (0) = 0.
• Sea V un espacio vectorial tal que dim(V) = n. Sea B = {v1 , . . . , vn } un
subconjunto linealmente independiente de vectores de V entonces B es una
base para V.
• Sea V un espacio vectorial tal que dim(V) = 5. Sea B = {v1 , v2 , v3 } un
subconjunto de vectores de V linealmente independientes, entonces B es una
base de V.
• Sea T : V −→ W una transformacion lineal inyectiva y sobreyectiva, entonces
V y W son isomorfos.


1 −2 2 1
2. Sea T : R4 −→ R3 lineal tal que [T ] =  −3 6 1 10 . Encontrar Ker(T ),
1 −2 −4 −7
Im(T ), Rango(T ) y Nulidad(T ).
3. Sea T : R3 −→ R3 lineal dada por T (x, y, z) = (3x + z, −2x + y, −x + 2y + 4z). Sea
B la base canónica de R3 y sea B 0 = {(1, 0, 1), (−1, 2, 1), (2, 1, 1)} otra base para
R3 . Encontrar [T ]BB 0
¯µ
¶ µ
¶ µ
¶ µ
¶°
0 1
0 −1
1 −1
0 1
4. Determinar si el conjunto W =
,
,
,
1 0
0 0
0 3
0 1
es linealmente independiente o linealmente dependiente en M2 (R).
5. Sea W = {A ∈ M2 (R) : A = −At }. Demostrar que W es un subespacio de M2 (R).
1
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Segundo Parcial de Algebra Lineal
Marzo 8 de 2007
Justifique en forma clara y matemáticamente cada una de sus respuestas.
1.
a)
Encuentre las ecuaciones paramétricas del plano en R3 que pasa por los puntos
(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1).
b)
Encuentre una ecuación lineal simple en tres variables cuyo conjunto solución sea
exactamente el plano dado en el inciso a).
2. Considere el conjunto H = {(x, y, z) : (x, y, z) = (t, −3t, t) : T ∈ R} .
3.
a)
Muestre que H es un subespacio vectorial de R3 .
b)
Encuentre una base y la dimensión de H.
c)
Represente geométricamente el espacio H.
Considere la transformación T : P≤2 → P≤2 definida por T (p(x)) = [xp(x)]0 . Sean
B = {1, 1 + x, 1 + x2 } y B 0 = {1, 1 + 2x, x2 } bases del espacio de salida y del espacio de
llegada respectivamente.
a)
Encuentre la matriz de representación de T respecto a las bases B, B 0 .
b)
Utilice la matriz anterior para encontrar la imagen de q(x) = x2 − x.
No olvide apagar su celular!1
1
* Recuerde el juramento del Uniandino:”Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma universidad”.
Universidad de los Andes
Segundo Parcial Álgebra Lineal, Marzo de 2007
Departamento de Matemáticas
Nombre ________________________________________ Código________
1. Halle las raíces cuartas de i y ubíquelas gráficamente.
2. Demuestre que:
a) Si z = a + ib:
z = z si y sólo si z es un número real.
b) Si {v, w} es base del espacio vectorial V, entonces {v-w, v + w} es también base de V
3. Sea T una transformación lineal de V en U, espacios vectoriales y {v1, v2, …, vm} una base de V. Muestre
que si T(v1) = T(v2) = …= T(vn) = 0U entonces T(w) = 0U para todo w∈V. (0U simboliza el cero del
espacio U)
-x
4. Sea V = gen{1, e } .
a) Muestre que la función T:V→V tal que T(f) = f´, es una transformación lineal.
-x
b) Considerando {1, e } como la base de V, halle la matriz de la transformación.
c) Halle una base para el núcleo y una para la imagen de la transformación.
Segundo Examen Parcial
Algebra Lineal
cod: MATE 1105
8 de marzo de 2007
Tiempo: 50 minutos
1. (Valor: 1 pto) Sea u un vector fijo en R3 . Considere el siguiente conjunto
W = {v ∈ R3 /u · v = 0}.
Demuestre que W es un subespacio de R3 .
2. (Valor: 1 pto c/u) Sea Pn el espacio vectorial formado por todos los
polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n. Se define
la siguiente función
T : P3 → P4
d
p(x) + x p(x).
p(x) →
dx
a- Demuestre que T es una transformación lineal.
b- Encuentre la matriz de la transformación T identificando las bases
{1, x, x2 , x3 } de P3 y {1, x, x2 , x3 , x4 } de P4 con las bases canónicas
de R4 y R5 .
c- Usando la matriz anterior, encuentre la imagen del polinomio 1 +
4x + 6x2 − x3 .
3. (Valor: 1 pto) Encuentre la inversa de la siguiente matriz
µ
¶
i 1+i
.
1
0
*
Recuerde el juramento del uniandino: ”Juro solemnemente abstenerme de copiar o de
incurrir en actos que puedan conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier acto que perjudique la integridad de mis compañeros o de la misma
universidad”
1
Partial 2. Linear Algebra.
1) Find the nullity of A and

1 3
0
 0 −2 4
A=
 3 11 −4
2 5
3
the vector that generates it



−1 2
2 3
1

−2 0 
3 .
; B= 1 2
−1 6 
0 −1 −5
−4 0
2) Let u = [−1, 2] , v = [3, −5] , T : R2 → R3 be a linear transformation such
that T (u) = [−2, 1, 0] , T (v) = [5, −7, 1] . Find the associate matrix A of T and
compute
T ([−4, 3]) =?
©
ª
3) Determine if S = 1 − x, 2 − 4x2 , x + 3x2 is a basis for the polynomials
with degree 2, i.e. P2 .
4) Determine if (V, ¦) is a vectorial space,
(x, y) ¦ (a, b) = (x + a + 3, y + b) .
5) Find the KerT for T : R3 → R2 , T (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 2x2 ; x1 + 3x3 ) .
6) Determine T : R2 → R3 , T (e1 ) = (2, 1, 3) ; T (e2 ) = (3, −2, 1) . Compute
the associate matrix A and T (2, 1) =?
7) Determine whether T is linear transformation:
T
:
F → R, T (f ) = f (−3) ,
T
T
:
:
F → R, T (f ) = (f (4)) ,
D∞ → D∞ , T (f ) = f 00 + f 0 .
2
The first 3 subjects are compulsory. Additionally, one should solve two more
subjects.
1
Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
Segundo Parcial de Algebra Lineal.
Septiembre de 2007.
1. En R3 se consideran las bases:
     
     
−1
1 
1
1 
 1
 2
B1 = 0 ,  1  , −1 , B2 = 1 ,  1  , −1 , calcule las coordenadas




1
1
0
1
1,
1
 
3
en la base B2 del vector cuyas coordenadas en la base B1 son −2 .
2
1 2
2. Sea A =
una matriz en el espacio de las matrices de orden 2, M2×2 (R).
3 x
a) Mostrar que el conjunto F = { B ∈ M2×2 (R) : AB = 0} es un subespacio vectorial de
M2×2 (R).
b) Calcule la dimensión de F.
n
o
3. Sea V el subespacio generado por sinxcosx, sin2 x, cos2 x del espacio vectorial de todas
las funciones diferenciables de R en R. Sea T : V → V el operador diferencial. Encontrar la
matriz de representación A de T relativa a las bases B, B0 . Use la matriz A para calcular la
derivada de la función f ( x ) = 3senxcosx − 5 sin2 x + 7 cos2 x.
U NIVERSIDAD
DE LOS
A NDES
D EPARTAMENTO DE M ATEM ÁTICAS
Mate1105–Álgebra Lineal
Parcial 2 — (20/09/2007)
1. Sea A una matriz 2 × 2 tal que ( A T ) A = I. Pruebe que la transformación
lineal TA preserva producto punto, longuitudes y ángulos (Ayuda: recuerde
que u · v = u T v).
Z 1
2. Determine si H = p( x ) ∈ P2 |
p( x ) = 0 es un subespacio, en caso de
0
serlo encuentre su dimensión y halle una base para H.
3. Para la transformación lineal T
:
2
T [ a, b] = ( a + b) + ( a − b) x + bx , halle
R2
→
P2 definida por
a) La matriz
a las bases ordenadas B = {[1, 1], [−1, 2]}
asociada con respecto
0
2
y B = 1, 1 + 2x, (1 + x )
b) bases para el núcleo y la imagen. Nulidad y rango.
4. Determine si la afirmación es verdadera o falsa, si es verdadera justifique
matemáticamente y en caso contrario construya un contraejemplo.
.Toda transformación lineal T : V → V 0 envia el cero del espacio
a) .
vectorial V en el cero del espacio vectorial V 0
.Si V = gen{v, v2 , . . . , vn }, entonces el conjunto {v, v2 , . . . , vn } es
b) .
una base de V.
.Si v1 , v2 son vectores linealmente independientes, entonce los vecc) .
tores w= v1 + v2 y w2 = v1 − v2 son linealmente independientes.
.Si T : V → W es una tranformación lineal uno a uno y dim V =
d) .
dim W, entonces T es un isomorfismo.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
Segundo Parcial de Algebra Lineal. Junio 27 de 2007.
1.
Conteste falso (F) o verdadero según sea el caso. En caso ser falso puede justificar mediante un
ejemplo. En caso verdadero justifique mediante algun procedimento matemático que involucre la
teorı́a (NO USE EJEMPLOS !).
a)
Si T y T 0 son transformaciones lineales diferentes, de Rn en Rm , entonces puede suceder que
T (ei ) = T 0 (ei ) para todo vector ei de la base canónica de Rn .
b)
Si {v1 , v2 , ..., vn } generan al espacio V , entonces este conjunto de vectores es linealmente independiente.
c)
Si cada vector en el espacio V se escribe de manera única como combinación lineal de los
vectores {v1 , v2 , ..., vn }, entonces este conjunto de vectores es linealmente independiente.
d)
Todo espacio vectorial V es isomorfo a Rn , para algún entero positivo n.
e)
Si el ángulo entre dos vectores ~u y ~v en R3 es
π
4,
entonces k~u × ~v k = |~u · ~v |.
Sean ~v y w
~ vectores independientes en V , y sea T : V → V 0 una transformación lineal uno a uno.
Probar que T (v) y T (w) son linealmente independientes en V 0 .
 

 x

3. Considere el subespacio W =  y  : 2x + y − z = 0, 3x − 2y + 4z = 0 .


z
2.
4.
a)
Halle una base para el subespacio W .
b)
Escriba las coordenadas del vector ~v = [22, 22, −26] relativas a la base hallada en el inciso a).
c)
Haga un dibujo del subespacio W .
Sea T : R2 → R2 la trasformación lineal definida por T
−1
2
B0 =
,
dos bases dde R2 .
1
−1
1
2x
1
1
=
y B=
,
,
1
−y
1
2
a)
Hallar la matriz de representación de T relativa a las bases B, B 0 .
b)
¿Es T invertible? Justifique. En caso afirmativo escriba una fórmula explicita para T −1
c)
Halle el rango y la nulidad de T .
x
.
y
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
PARCIAL 2, MATE 1105 ALGEBRA LINEAL
Junio 27 de 2007
1. (valor: 1.8) Considere los puntos A(1, 2, 1), B(-1, 2, 3), C(2, 1, 4) y D(1, -7, 1). Halle:
a. La ecuación vectorial del plano  que pasa por los puntos A, B y C.
b. La ecuación cartesiana del plano  hallado en el inciso anterior.
c. La ecuación de la recta L que pasa por D y es perpendicular al plano .
d. El punto P en que se interceptan la recta L y el plano .
e. La distancia del punto D al plano .
f. El volumen del paralelepípedo generado por los vectores OA, OB y OC.
2. (valor: 1.0) Sea V un espacio vectorial tal que B = {v1, v2, v3} es una base de V.
a. Pruebe que el conjunto C = {v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3} es también una base de V.
b. Pruebe que los vectores w1 = v1 + v2, w2 = v2 + v3 y w3 = v1 - v3 no generan a V.
3. (valor: 1.2) Considere la función T: R  R definida por T [x, y] = [x –y, 2x + y, y]
a. Muestre que T es una transformación lineal.
2
3
b. Sean B = ( [2,1], [1,2] ) y B’ = ( [1, -1, 0], [0, 2, 0], [0, 2, 1] ) bases ordenadas de R y R
respectivamente. Halle la matriz que representa a T respecto a estas bases.
c. Si ( v )B = [1, -4]’ , utilice la matriz hallada en el inciso anterior para encontrar T( v ).
2
3
4. (valor: 1.0) Determine si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justifique su
respuesta.
2
a. Una matriz A de orden n x n es idempotente si A = A, entonces su determinante es 1 o 0.
b. Sean A y B matrices de orden 3 x 3 y tales que | A | = 2 y | B | = 3, entonces | 3AB | = 18.
Tiempo: 1:20
Bono: Por medio de la reducción gaussiana demuestre que
1
a
a2
1
b
b2
1
c  (b  a)(c  a)(c  b)
c2