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MATRICES
1. Determinar la matriz transpuesta de cada una de las siguientes;
−1
3
A= 
 0
7
2 
 0 −1 6 
 −1 1 5 6 8

−1
 , B=  − 2 − 4 2  , C=  4 − 3 0 1 6 




7

 5 1 − 1
− 3 − 5 4 1 7
4 
2. Efectúa la siguiente operación con matrices y calcula A
 − 6 0 3 
 1 − 5 − 6   6 3 − 1   1 0 0 



  

 
2 ⋅ A − 3⋅ 2 3
1  =  2 3 1  − 5 ⋅  0 1 1  − 2 ⋅  1
0 2 
 − 1 − 2 0 
4 5
3   4 3 2    0 0 1 



a)
b)
c)
d)
 0 0 − 1
 −1 3 2
 −1 2 5






3. Sean A =  4 1 8  , B =  2 1 4  y C =  3 0 2  determinar:
0 1 6 
 −1 0 3
 6 −1 2






At+6B+3C
(A-C)t+7B−6Bt
7A-2C+3(6At-2B)
A-At-3(B+C)
4. Dadas las siguientes matrices A =
−1
1

 − 3 1 5


,
B
=

 4 1 0 y C =
2 5
 0 0 1


2 3
Calcular:
a) A·B·C
b) A·(B+C)
c) B·C·At
d) (7B-6C)·At
5. Calcular A·B y B·A siendo A y B las matrices:
 3 
 
 1 
A = (1 3 2 −1) ; B =  
−2
 
 2 
 
4

5
− 1

6. Dada la matriz A =  − 3 − 4 1  , calcular A², A3 y A428
− 3 − 4

0
7. Sea la matriz  0

0
0 
1 0

0 1 determinar A², A3 y An

0 0
1
0 1

0
0 1
8. Sea A =  0 1 0  . Hallar An para todo n natural.

9. Probar que An = 2n-1·A, siendo A =
 1 1
 1 1
 
 −1 0 1


 3 0 2
 −1 1 5


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1
1 1

1
1 1
10. Calcular An siendo A =  1 1 1  .

a 1

n
11. Hallar las matrices A y B siendo A =  0 1
 0 0

n
n
1 
n
0  yB=
1 

 cos α
 senα

− senα 
cos α


a b
 1 1
 y V = 
 siendo a, b ∈ ℜ
12. Se consideran matrices M = 
0
a


 0 1
a) Calcular Mn, n = 1,2,...
b) Hallar todas las matrices de M tales que M100 = V.
2 − 1
2
1 0 0




13. Dadas las matrices A =  − 1 − 1 1  e I =  0 1 0 
 −1 − 2 2 
0 0 1




a) calcular la matriz (A−I)²
b) haciendo uso del apartado anterior determinar A4.
14. Se consideran las matrices A =
1
0

0
1 0

1 1 yB=

0 1
0
0

0
1 0

0 1 , calcular B3 y A4 (Sugerencia:

0 0
A=B+I)
4 
0 3


15. Siendo A =  1 − 4 − 5  .
Calcular:
−1 3

4


a) Demostrar A3+I3=0
b) Teniendo en cuenta el apartado anterior calcular A10.
16. Demostrar (A+B)t=At+Bt
17. Demostrar que cualquier matriz cuadrada puede escribir como suma de una matriz simétrica
y otra antisimétrica.
18. Calcular la matriz inversa de
 2
− 2

− 1
3
 y comprobar que lo es multiplicándola por la dada.

1 4 4


19. Hallar la matriz inversa de 0 2 4


0 0 1
20. Dada la matriz
1
0

4
Calcular la inversa para m = 2.
0
m
1
−1 

3 averiguar, para qué valores del parámetro m tiene inversa.

− m
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 1
 2

− 2
21. Dadas las matrices A =
2


3
yB=
5
7

− 4 − 5
 3
− 4

 2
− 2 − 1
1
0

− 1 , demostrar que A es inversa

1 
de B.
22. Sea A =
a + b
 2a

b
 . Calcular para que valores de a y b existe A−1. Calcular la inversa de

a + b
A en función de a y b.
 3x
23. Determinar para que valores de x tiene inversa la matriz  0

0
x
x
3x − x
0
x

 y calcularla en


función de x.
24. Sean las matrices A =
−1
1

2
0
−2
3

 y B = − 2
 0



1
0
 , obtener si procede (B·A)
 0
 7
25. Se sabe (no es necesario que lo compruebe) que la matriz A = 
 − 9
 2
igualdad
−1
− 1 2
3
4
−2
5
A² = A + I, siendo I la matriz identidad. Calcular A−1 y A4.
2 −1

1 −6
 verifica la
1 7

3 − 3
26. Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices
1
1

−1 2

0 2
− 4
 3

 − 1
 4
0
0
27. Sea A = 
 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
3

2
1
1
2
1
1
2
3
5
 − 1 2  − 1 2
 1 5  1 4


  1 6  0 0
5 

 2 1  3 2
 − 3 1 5 2
2 

1 0 1 2


2 
  3 1 0 0
1
 0 0 0 0 
1 
 1 2 1 1


1 2

1 6
2 1

1 3
1
1
−1
2

3  4
2

1

3

0
1
−1

 0
4
1
3
0
1
1
1
2
2
3

5

1

1
0

0
 , se pide:
1

0
a) Calcular el rango de A
b) Hallar A12
28. Sean las matrices A =
1
4

3
 yB=
2
2
5

1
 . Calcular una matriz X para que se cumpla la
3
igualdad; A = X · B
− k
− k
29. Hallar los valores de k para los cuales la matriz 
 − k
− k
a)
no tiene inversa
4
5
6 

1
2
3

− k 0 −1

− k − k − 1
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b) tiene rango 3
30. Determinar una matriz cuadrada A de orden 2 tal que A + At = 2I, y det(A) = 2, siendo I la
matriz identidad, y At la transpuesta de la matriz A.
0
−1

1
31. Dada la matriz A =
−1 − 2

− 2 , determinar, si es posible, un valor de k para el que la

3 
0
1
matriz (A − k · I)² sea la matriz nula.
32. Dada la matriz A =
2
1

3
1
 , hallar una matriz X tal que A · X · A = C, siendo C =  2

2
1
.
3
33. Resolver la ecuación matricial: A · B · X – C · X = 2C siendo:
A=
34. Sea A =
B = P−1·A·P.
35. Sea A =
1
2

0
4
3

− 6
1
0

2
2

1 ,B=

1
4
yB= 

− 5
6
0
yB= 

1
1
3
2

1
1

− 1 1
y
C=
1
−1

1
1
0

2 1 .

− 1 1
− 3
 encontrar una matriz simétrica P no singular tal que
− 5
1
 . Hallar una matriz X, tal que A·X + B = A

− 1
36. Determinar los valores de x, y, z para que se verifique la igualdad
37. Dada la matriz A =
3
2

− 4
a
 encontrar las matrices B =  0

− 3
1
x

y
1
 · y

z
x
5
 =0

0

z
5
b
 tales que A·B = −B·A.
c
38. Hallar una matriz de 2x2, distinta de I y de −I, cuya inversa coincida con su transpuesta
siendo I la matriz identidad.
39. Sean A y B matrices de orden n. Demostrar que si A y B son invertibles, A·B también lo es y
que se verifica (A·B)−1 = B−1·A−1.
1
3
40. Comprobar que A² = 2A − I siendo A= 
0
1
 e I=  0

1
0
−1
8
 . Determinar A y la matriz A .
1
41. Sea A una matriz cuadrada. Si A² + 2A + I = 0 donde I es la matriz unidad, comprobar que A
es invertible.
42. Si A es una matriz cuadrada de orden nxn, tal que A² = A, e I es la matriz unidad de orden
nxn, ¿Qué matriz es B², sí B = 2A − I?
2
b
43. Determinar todas las matrices A = 
a
1
 tales que su inversa sea 2I−A, donde I =  0

c
t
5
44. Calcular los valores del parámetro t para que la inversa de la matriz A= 
con su opuesta.
− 2
0

1
 , coincida
−t
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1
0

1

1
45. Siendo las matrices A =  0 1  y B =
1
0

1 1
t
t
t
 . Comprobar la igualdad: (A·B) = B ·A
1 1
−2 −2 4 

− 5 − 6 12 
verifica A2 = A (no es preciso comprobarlo),
−3 −2 6 

− 3 − 3 7 
determinar un valor no nulo del número real λ tal que (λA − I)2 = I, siendo I la matriz identidad.
3

6
46. Sabiendo que la matriz A = 
3

3

47. Para cada numero entero n, se considera la matriz:
 cos nx sen nx 
 , x ∈ ℜ
A = 
 − sen nx cos nx 
a) Compruébese que A n · A m = A n+ m.
b) Como aplicación de lo anterior, calcúlese An−1.
a)
48.
Determinar los valores del parámetro real λ para los que tiene solución única la ecuación matricial
0 1 2
1 1 0 




AX = B, siendo A =  λ 1 − 1 y B =  1 0 1 
 1 −1 0 
 0 2 − 1




b) Resolver dicha ecuación matricial para λ = 0.
49. Hallar todos los valores del parámetro real a para los cuales la matriz A no tiene inversa.
a a a


A =  a 2 a  . Calcular A−1 para a = 1, si existe.
 a a 3


50. Estudiar el rango de la matriz A, según los valores de los parámetros a y b.
1 1 a 1 


A = 2 − b 4 2 
 b −1 1 − 3


3 12 6 
 a


1 4 2
51. Discutir razonadamente en función de a y b el rango de la matriz A =  b
 a + b 4 16 8 


2
1 
− 2 4


2
1 − 2
 4
52. Dada la matriz A= 
: Calcular A² y A−1.
2
1 −2 4 


 1 −2 4
2 

53. Siendo A una matriz cuadrada de tercer orden y At su transpuesta, demostrar que A+At es
1 2 1


t
una matriz simétrica. Obtener la matriz inversa de (A+A ) donde A =  0 1 0 
 2 0 3


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 1 0 2


54. Hallar la matriz X que satisface la ecuación AX = BA, siendo A =  0 1 1  y
 −1 0 1 


 0 1 − 1


B= 1 0 2 
 −1 0 2 


55. ¿Tiene inversa siempre una matriz diagonal de orden 4?. Justifica la respuesta. ¿Tiene
inversa la matriz B? En caso de que la tenga calcúlese.
1 0 0 0


 0 a 0 0
B=
: a , b, c ∈ ℜ
0 0 b 0


0 0 0 c


 2a b 1 


56. Calcula la inversa de la matriz A en función de a y b. A =  2 ab 1 
 2 b a


a −1 a −1 3 


0 a − 2 − 2 1 
57. Estudiar el rango de la matriz A = 
según los valores de a.
0
1
a + 3 − 1


0 − a
0
a 

0 2

58. Dada la matriz A =  0 0
0 0

unidad de orden 3, entonces I + A + A²
− 1

1  demostrar que A3 es la matriz nula, y que si I es la matriz
0 
es la inversa de la matriz I−A.
 −1 0 0 


59. Sea A =  − 1 − 1 5  . Compruebe que (A+I)²=0, siendo I la matriz identidad y 0 la matriz
 0 0 − 1


nula. Justifica que A es invertible y obtener A−1 y A² en función de A.
a b
60. Sea A = 
 , con a, b, c y d pertenecientes a ℜ y que la matriz A cumple las propiedades
c d
A·A = I y det(A) = 1, siendo I la matriz identidad, calcular los coeficientes de la matriz A.
61. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea A una matriz cuadrada y sea I la matriz unidad.
Pruébese que sí A2 + 5A = I, entonces A es una matriz regular. Recuérdese que A es regular si admite
función inversa o si tiene determinante no nulo)
0 r 
 , siendo r y s dos números reales tales que
62. Calificación máxima: 2 puntos. Sea M = 
 s 0
r·s ≠ 1. Calcular M2, M3, M4, y M2 k para k ∈ N.
a)
63. Calificación máxima: 2 puntos.
Hallar razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa.
0
0 
p


A = 1 p +1 1 
1
0
p − 1

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b) Hallar la inversa para p = 2