APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

APLICACIONES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA
ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
1.
4.
dy
 6  3x 2
dx
dy
 xx
dx
yy
2.
5.
7.
dy Sec2 x

dx tan 2 y
8.
10.
d2y
 2x  3  0
dx 2
11.
dy
5 y  0
dx
2
dy 3 x 1  y

dx
y
dy Cos 2 x

0
dx Sen3 y
x dy   Sen
y dx 
16.
y  3 dy
xy  3  y  3 x

x  4 dx xy  8  2 x  4 y


6.
x  y  Sen

dy
 3 x y2
dx
dy x 2 x3  3

0
dx
y2
d2y
 5 x2  1
2
dx
dy Cos3 x
12.

dx Sen3 y
9.
d2y
 Sen3 x  Cos3 x
dx 2
13. ySec (3 x  1) dy  Csc (1  y 2 ) dx  0
15.
3.
14. x 2 y 2 dy 
y 3  1 dx  0

x  y  Cos y

17.
dy

dx
3
2 x 
2 y
4)
4y
3
2
y2
R ESPU E ST AS
1)
5)
8)
1 1)
1 3)
16)
17)
y  6 x  x3  c
2)
y 
5x  c
2
3)
y 
2
3x2  c
y  3y2  4x
x  3x2  c
(3 x 2  c ) 2  4
2
6) y3 
( x 3  3) 3  c 7 ) T g ( y )  y  T g ( x )  c
2
3
3
5 4 1 2
1
C o s (3 y )   S en ( 2 x )  c 9 ) y 
x  x  c1 x  c 2 1 0 ) y 
(2 x  3) 5 2  c1 x  c 2
2
12
2
15
1
y   ( S en 3 x  co s 3 x )  c1 x  c 2 1 2 ) C o s (3 y )   S en (3 x )  c
9
2
3
C o s (1  y 2 )   S e n (3 x  1)  c 1 4 )
y3  1 
 c 1 5) T g y   2 C o s x  c
3
2x
2
2
( y  3) 3 2  1 0 ( y  3)1 2  ( x  4 ) 3 2  1 0 ( x  4 )1 2  c
3
3
3
3
4 3
4 3
( y  2)
 2 x  (2  x)
c
4
4
y 
EJERCICIOS DE CONDICION INICIAL
1. Determine la familia de curvas cuya pendiente en un punto dado sea igual y de signo
contrario al triple de la abscisa en dicho punto. En particular determine la curva que pasa
por el origen.
2. Obtenga la ecuación de la curva cuya derivada es 2 x - 5 y que pasa por (5,4).
3. Hallar la ecuación de la curva que en el punto (1,1) tiene una recta tangente de ecuación
x+y=1, si se sabe que en cualquier punto de ella se verifica que y’’=x.
4. Determine la ecuación de la curva para la cual y   4 / x 3 y que es tangente a la recta
2x + y = 5 en el punto (1,3).
5. Para una función F cuya derivada es 2 x + 3 , determine el valor de F(5) si se sabe que
cuando x=2 se tiene que y=3.
6. Obtenga una función de tal manera que f ( x )  1/ x y que F(9)=1.
7. Obtenga una función f tal que f’’(x) = 1, f ’(-1) = 2 y f(-1) = 0.
8. Determine la ecuación de la curva para la cual Y’’’ = 2 y que tiene en el punto de inflexión
(1,3), una recta tangente paralela a y + 2x – 1 = 0.
9. En cada punto de una curva y   3 / x  3 . Hallar la ecuación de la curva si se sabe que
en el punto (1,1) tiene una recta tangente que forma con el eje X un ángulo de 45 grados.
10. Obtenga la ecuación de la curva y  f ( x ) si se sabe que f      ; f  2    2 8 y
f ( x)  1  2 Sen(2 x) .
11. Determine la ecuación de la curva para la cual y   6 x 2 y que pasa por (0,2) y (1,3).
12. Obtenga la ecuación de la curva que en el punto (1,2) tiene una recta tangente que corta
al eje de las ordenadas en -1/2, si se sabe que en cualquier punto de la curva se cumple
que y  x .
13. Determine la ecuación de la curva que pasa por (2,6) y cuya pendiente en cualquiera de
sus puntos es igual a un tercio del cuadrado de su coordenada Y.
14. Si dp dx  1
2a x siendo p  2a cuando x  1 2  a3 . Determine el valor de p
cuando x  2 a 3 .
15. Obtenga la ecuación de la curva que tiene en (0,0) y (1,-1) dos puntos de inflexión, si
para todo punto de la curva se cumple que y IV  26 .
16. Halle la ecuación de la curva que tiene en (-1,5) y (0,0) un máximo y un mínimo,
respectivamente, si se sabe que en todo punto de la curva y IV  72 .
Danilo B.
Respuestas:
1)
4)
8)
10)
13)
16)
3
3
1
3
7
y   x2  c ; y   x2
2) y  x 2  5 x  4 3) y  x 3  x 
2
2
6
2
3
x2
1
5
y
5) f (5)  33 6) y  2 x  5 7) y  x 2  3 x 
x
2
2
1
14
y  x3  x 2  x 
9) y  4 ( x  3)3  11x  20
3
3
1
1

1
1
1
1
y  x 2  Sen(2 x)  x 
11) y  x 4  x  2 12) y  x3  2 x 
2
2
2
2
2
6
6
9
13
13
1
y
14) p  3a 15) y  x 4  x3  x
3x  7
12
6
12
48
y  3 x 4  x3  18 x 2
3