Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario

Análisis Matemático I – Ingeniería en Sistemas de Información
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional Rosario
Modelización con funciones reales de una variable real
1) Modelado con funciones lineales
a) El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de $2,20, mientras que fabricar 20
bolsas del mismo tipo cuesta $ 3,80. Suponiendo que se trate de un modelo de costo
lineal, determine la fórmula correspondiente a producir x bolsitas de papel en el día y
construya su gráfica.
b) Una empresa adquiere una máquina por $12000. El valor de depreciación anual de la
máquina es $2000.
i) Modele una función que describa el comportamiento del precio de la máquina al
cabo de “t” años.
ii) Utilice la función para determinar cuándo el valor de la máquina será $0.
2) Modelado con funciones polinómicas
a) Una compañía fabrica cajas rectangulares de cartón. Compra un cargamento de piezas
de cartón precortado de 20 cm. por 10 cm. Ahora quiere fabricar cajas cortando
cuadrado de “x” cm de lado cada esquina, doblando los lados, para luego pegarlas con
cinta adhesiva. Escriba la ley de una función que modele el volumen de la caja así
construida.
b) Ninguna función puede adecuadamente modelar la concentración de alcohol en el flujo
sanguíneo a través del tiempo; sin embargo, una función que es una aproximación real
después de la ingesta de un vaso de vino es f ( x)  0.0015 x 3  0.1058 x ; donde “x”
es el número de horas transcurridas desde la ingestión de la bebida alcohólica y el valor
de la función es la concentración de alcohol en sangre medido en tanto por mil. Indique
la concentración de alcohol en sangre que tendrá una persona al cabo de dos horas de
una ingesta alcohólica.
3) Modelado con funciones potencia
a) Los envases Tetra Brik son mundialmente utilizados para almacenar productos larga
vida. Un determinado producto requiere que los envases tengan base cuadrada y la
altura se igual al doble del lado de la base. Escriba la ley de una función que modele el
volumen de los envases así construidos.
b) En un laboratorio se realizaron mediciones sobre el volumen de aire contenido en una
columna de base cuadrada; obteniendo la siguiente tabla de valores.
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Arista
basal (x)
Volumen de
aire (y)
0
0
1
0,09
2
0,8
3
4,05
4
18,54
5
27,54
6
74,25
7
112,45
8
198,34
La representación gráfica de los datos obtenidos de las mediciones realizadas se observa a
continuación.
y
200
150
100
50
2
4
6
8
x
El gráfico nos ayuda a visualizar que el volumen (y) con la arista basal (x), se puede relacionar con
una función del tipo y = axn.
Determine los valores de “a” y “n” utilizando las observaciones correspondientes a x=2 y a x=3.
Escriba la ley de la función.
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4) Modelado con funciones racionales
a) La ley de Boyle dice que cuando una muestra de gas se comprime a una temperatura
constante, la presión del gas es inversamente proporcional al volumen del mismo. (i)
De una función que modele la ley de Boyle. (ii) Construya la gráfica considerando que
k=1 (iii) Qué ocurre cuando el volumen aumenta?
b) Una región rectangular tiene un área de 160 metros cuadrados. Exprese su perímetro
como función de la longitud de uno de sus lados.
c) Una caja de caras laterales rectangulares sin tapa tiene su base cuadrada y un
volumen de 2 metros cúbicos. Exprese el área de la caja como función de uno de los
lados de la base.
5) Modelado con funciones trigonométricas
a) Para el estudio de las variaciones de la temperatura en una ciudad de realizaron
mediciones desde el mes de enero de 2012 hasta el mes de enero de 2013.
Se obtuvieron las siguientes mediciones:
Mes
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
Noviembre
Diciembre
Enero
Temperatura promedio
(°F)
40
43.1
51.5
63
74.5
82.9
86
82.9
74.5
63
51.5
43.1
40
Suponiendo que la temperatura promedio es una función sinusoidal en función del tiempo
expresado en meses y de período 12 meses. Escriba la ley que modela este comportamiento.
b) Un resorte suspendido en el techo, oscila verticalmente. La siguiente tabla muestra la
altura de una partícula en el resorte, por segundo a partir de iniciado el movimiento:
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Tiempo
(s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Altura
(cm)
7
8
7
3
-1
-2
-1
3
7
8
7
3
-1
-2
Suponiendo que la altura de la partícula es una función sinusoidal en función del tiempo
expresado segundos y de período 8 segundos. Escriba la ley que modela este comportamiento.
6) Modelado con funciones exponenciales
a) Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.
(i)¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de
aves? (ii) ¿Cuántas aves hay después de 4 años? (iii) ¿Después de cuánto tiempo la
población de aves será de 1000 individuos?
b) Se administra 50 miligramos de cierto medicamento a un paciente. La cantidad de
miligramos restantes en el torrente sanguíneo del paciente disminuye a la tercera
parte cada 5 horas. (i) ¿Cuál es la fórmula de la función que representa la cantidad del
medicamento restante en el torrente sanguíneo del paciente? (ii) ¿Cuántos miligramos
del medicamento quedan en el torrente sanguíneo del paciente después de 3 horas?
(iii) ¿Después de cuánto tiempo quedará solo 1 miligramo del medicamento del
torrente sanguíneo del paciente?
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