teoría de la Práctica 2

Aplicación de los sistemas lineales a la resolución
aproximada de ecuaciones diferenciales.
1. Objetivos y ejemplos.
• Ilustrar cómo en la práctica pueden surgir grandes sistemas de ecuaciones lineales.
• Observar las propiedades especiales que tienen algunas de las matrices de coeficientes
asociadas a tales sistemas.
Ejemplo 1.
Vamos a realizar un estudio de la variación de temperatura en una varilla sometida a una
fuente de calor q(x) con los extremos fijos a 0.
Modelización del problema
Consideramos x ∈ [0, 1], sea q(x) una función dada que representa la fuente de calor, sea
t(x) la función que representa la temperatura y t(0) = t(1) = 0 las condiciones iniciales.
Empı́ricamente, es conocida la relación entre la temperatura y el calor, concretamente
−
d2 t(x)
= q(x).
dx2
Ası́, tenemos un problema, llamado de valores frontera en dos puntos, que puede ponerse
(
d2 t(x)
= q(x),
dx2
t(0) = t(1) = 0.
−
(1)
Este problema es una ecuación diferencial, de 2 orden y no homogénea. Su solución será
una función t(x) verificando la ecuación y las condiciones iniciales. En lugar de hallar
t(x) para todo valor de x ∈ [0, 1], calcularemos de forma aproximada un número finito de
valores t(x1 ), . . . , t(xn ), con x1 , . . . , xn elegidos adecuadamente. Veremos que estos valores
podrán obtenerse como solución de un sistema lineal.
Aproximaciones de la primera derivada
dt(x)
t(x + h) − t(x)
t(x + h) − t(x)
= lim
≈
,
h→0
dx
h
h
dt(x)
t(x) − t(x − h)
t(x) − t(x − h)
= lim
≈
,
h→0
dx
h
h
dt(x)
t(x + h) − t(x − h)
t(x + h) − t(x − h)
= lim
≈
.
h→0
dx
2h
2h
1
(2)
(3)
(4)
Aproximaciones de la segunda derivada
d
d2 t(x)
=
2
dx
dx
µ
dt(x)
dx
Si definimos la función
f (x) :=
¶
d
≈
dx
µ
t(x + h) − t(x)
h
¶
.
t(x + h) − t(x)
,
h
entonces podemos poner
d2 t(x)
df (x)
f (x) − f (x − h)
≈
=
=
2
dx
dx
h
=
t(x + h) − t(x) t(x) − t(x − h)
−
h
h
=
h
t(x + h) − 2t(x) + t(x − h)
.
h2
(5)
Aproximación de la ecuación diferencial
Se obtiene sustituyendo (5) en (1), de manera que tenemos
−t(x + h) + 2t(x) − t(x − h)
= q(x),
h2
o, equivalentemente,
−t(x + h) + 2t(x) − t(x − h) = h2 q(x).
(6)
Discretización
Fijo ahora tres puntos equidistantes en [0, 1], por ejemplo
x1 =
1
,
4
x2 =
2
,
4
x3 =
3
.
4
1
Tomo h = , que es la distancia entre dos puntos consecutivos cualesquiera. Notar que h
4
es constante debido a la equidistancia de los puntos. Como h y los valores de x elegidos
han de verificar la ecuación (6), sustituyo para obtener
µ ¶
µ ¶
µ ¶
1
2
1
1
1
Para x = x1 = : − t
+ 2t
− t(0) =
q
,
4
4
4
16
4
µ ¶
µ ¶
µ ¶
µ ¶
2
3
2
1
1
2
Para x = x2 = : − t
+ 2t
−t
=
q
,
4
4
4
4
16
4
µ ¶
µ ¶
µ ¶
3
3
2
1
3
Para x = x3 = : − t(1) + 2t
−t
=
q
.
4
4
4
16
4
2
(7)
Sustituyendo en (7) las condiciones iniciales t(0) = t(1) = 0, tenemos un sistema lineal con
tres ecuaciones e incógnitas t(x1 ), t(x2 ), t(x3 ), que expresado en forma matricial queda

2 −1
 −1
2
0 −1


 1 
q( 14 )
t( 4 )
0
1  2 


−1   t( 24 )  =
 q( 4 )  .
16
3
2
t( 4 )
q( 34 )
(8)
Una vez resuelto, obtendremos el valor aproximado de la temperatura de la varilla en los
puntos x1 , x2 , x3 , elegidos en el intervalo [0,1].
Notas 2.
• Cuanto menor es h, más próximo está de 0 y mejores son las aproximaciones de las
derivadas sucesivas. Ası́, a menor h, mayor número de puntos y mayor exactitud, por lo
cual ésta es una aplicación donde aparecen grandes sistemas de ecuaciones lineales.
• Si h disminuye, aumenta el número de incógnitas pero la matriz de coeficientes del
1
sistema mantiene su estructura. Si en el ejemplo anterior tomamos h = , el sistema (8)
8
queda
 1 
 1 
q( 8 )

 t( 8 )
2 −1
0
0
0
0
0  2 

2 
t( 8 ) 
 q( 8 ) 
2 −1
0
0
0
0
 −1
 3 
  t( 3 ) 


 q( 8 ) 
2 −1
0
0
0
 0 −1
8


1 


4

 q( 4 ) 

0 −1
2 −1
0
0   t( 8 )  =
 0

8


64  5 

5 
0
0 −1
2 −1
0
 0
t( 8 ) 
 q( 8 ) 



 6 
0
0
0
0 −1
2 −1 
 q( ) 
 t( 6 ) 
8
8
0
0
0
0
0 −1
2
t( 78 )
q( 78 )
• En este tipo de problema ha aparecido una matriz de coeficientes tridiagonal, que es un
caso particular de matriz en bandas. Este tipo de matrices son frecuentes en problemas
reales. Tienen la ventaja de que son poco aleatorias y muy fáciles de manejar.
Definición 3. Sea A ∈ Mn (K), A = (aij ). Se dice que A es una matriz en bandas si dado
ω ∈ N ∪ {0}, ω < n, se verifica
aij = 0 si |i − j| > ω.
La constante ω se denomina ancho de banda de la matriz A.
Nota 4.
• Si w = 0, la matriz A es diagonal.
• Si w = 1, la matriz es tridiagonal.
• Si w = 2, la matriz es pentadiagonal.
3
Ejemplo 5.
Un automóvil circula con una aceleración proporcional a la suma de la velocidad y el
espacio recorrido, con constante de proporcionalidad 2. Si inicialmente el espacio recorrido
son 0 m. y a los 5 sg. ha recorrido 58 m., calcular, de forma aproximada, lo que habrá
recorrido a los 3 y 4 sg. Hallar, también de forma aproximada, la aceleración y la velocidad
para esos mismos tiempos.
Planteamiento
Llamando
e(t) al espacio recorrido en el tiempo t,
v(t) a la velocidad en el tiempo t,
y a(t) a la aceleración en el tiempo t,
la ecuación que describe el problema es
a(t) = 2(v(t) + e(t)),
o, equivalentemente, añadiendo ya las condiciones iniciales
 2
de(t)
d e(t)



−2
− 2e(t) = 0,

2

dt
 dt
(9)
e(0) = 0,






e(5) = 58.
Aproximación
Sustituimos en (9) las aproximaciones de las derivadas para obtener
e(t + h) − e(t)
e(t + h) − 2e(t) + e(t − h)
−
2
+ e(t − h) = 0,
h2
h
o, agrupando términos
(1 − 2h)e(t + h) + (−2h2 + 2h − 2)e(t) + e(t − h) = 0.
(10)
Discretización
Tomo ahora h = 1, t = 1, 2, 3, 4 y sustituyo los cuatro valores de t en (10). Se obtiene el
siguiente sistema
Para t = 1: − e(2) − 2e(1) + e(0) = 0,
Para t = 2: − e(3) − 2e(2) + e(1) = 0,
Para t = 3: − e(4) − 2e(3) + e(2) = 0,
Para t = 4: − e(5) − 2e(4) + e(3) = 0.
4
sustituyendo las condiciones iniciales y poniéndolo en forma matricial queda

−2 −1
 1 −2

0
1
0
0
0
−1
−2
1

  
0
e(1)
0
0   e(2)   0 

 =  .
−1
e(3)
0
−2
e(4)
58
(11)
Resolución
Resolvemos ahora (11) por el método de Gauss

−2 −1
 1 −2

0
1
0
0
0
0
−1
0
−2 −1
1 −2
 
1
0
0  0
∼
0
0
58
0
−2
1
0
0
−1
−2
1
0
0
−1
−2
−29

0
0 
.
58
696
Ası́
e(1) = 2,
e(2) = −4,
e(3) = 10,
e(4) = −24.
Velocidad y aceleración
de(t)
e(t + h) − e(t)
≈
,
dt
h
d2 e(t)
e(t + h) − 2e(t) + e(t − h)
a(t) =
≈
.
2
dt
h2
v(t) =
Ası́, por ejemplo,
e(4) − e(3)
= −24 − 10 = −34,
1
e(4) − 2e(3) + e(2)
a(3) ≈
= −24 − 20 − 4 = −48.
1
v(3) ≈
Todo ello en las unidades adecuadas.
5