∫ ½ ∫ ½

Facultad de Contabilidad y Finanzas
2008 – I
SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL
Curso
Profesor
Ciclo
Fecha
:
:
:
:
ESTADÍSTICA II
Ing. Oscar Reyes Almora
VI
LUNES 7 DE ABRIL
Aula
:
A
C - 607
1. Sea X la variable aleatoria discreta correspondiente al puntaje obtenido al tirar dos dados
tetraédricos. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidades de la variable X:
Número
2
P[X = x] 1/16
3
4
5
6
7
8
2/16
3/16
4/16
3/36
2/36
1/36
a) Calcule la P[X ≤ 4].
(1,0 puntos)
P[X ≤ 4]= P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4] = 1/16 + 2/16 + 3/16 = 6/16
(1,5 puntos)
b) Halle la desviación típica.
E(X) = 2(1/16) + 3(2/16) + 4(3/16) + 5(4/16) + 6(3/16) + 7(2/16) + 8(1/16) = 80/16 = 5
V(X) = [22(1/16) + 32(2/16) + 42(3/16) + 52(4/16) + 62(3/16) + 72(2/16) + 82(1/16)] – 25 =
440/16 – 25 = 2,5 → σ = √ 2,5 ≈ 1,58
2. Suponga que el tiempo de vida de un objeto electrónico, en miles de
horas, es una variable aleatoria X cuya función de densidad de
c
probabilidad se aproxima a la función cuya gráfica es la figura que aparece
al lado. Se pide:
a. Halle el valor de c.
(1,0 punto)
[(c/2)c]/2 = 1 → c /4 = 1 → c = 4 → c = 2 (excluimos el negat.)
b. Determine la función de distribución de probabilidad. (1,0 punto)
2
m=-2
b=2 →
2
f(x) =
c. Calcule: P[0 ≤ X ≤ c/4]
P[0 ≤ X ≤ ½] = 0 ∫
½
c/2 X
-2x + 2, si 0 ≤ x ≤ 1
0 , en otro caso
(1,0 punto)
-2(x – 1)dx = -2 0 ∫
½
2
2
(x – 1)dx = -2(x2/2⎢0 – 1x⎢0 ) = -2(1/8 – ½) = 3/4
3. Si V ∼ B(8, 0.55), W ∼ H(50, 8, 30), X ∼ P(3), Y ∼ B(150, 0.4) y Z ∼ N(13, 4), halle:
a) P[V ≥ 6]= P[V = 6]+ P[V = 7]+ P[V = 8]=
(1,0 punto)
= 8C6 (0,55)6(0,45)2 + 8C7 (0,55)7(0,45)1 +8C8 (0,55)8(0,45)0 = 0,15695 + 0,05481 + 0,00837
= 0,22013
b) P[W > 2]= 1 - P[W ≤ 2]= 1 – { P[W = 0] + P[W = 1] + P[W = 2]}
(1,0 punto)
= 1 – {30C0 20C8 /50C8 + 30C1 20C7 /50C8 + 30C2 20C6 /50C8} = 1 – {0,00023 + 0,00433 + 0,03140}
= 1 – 0,03597 ≈ 0,96403
c) P[X ≤ 4]= P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3] + P[X = 4] = e-330/0! + e-331/1! + e3 2
3 /2! + e-333/3! + e-334/4! = 0,04979 + 0,14936 + 0,22404 + 0,22404 + 0,16803 = 0,81526
(1,0 punto)
d) P[65≤ Y ≤ 75]= P[64,5≤ Y´ ≤ 75,5]= P[(64,5-60)/6≤ Z ≤ (75,5 -60)/6] = P[0,75≤ Z ≤ 2,58] =
P[0≤ Z ≤ 2,58] - P[0≤ Z ≤ 0,75]= 0,4951 – 0,2734 = 0,2217
(1,5 puntos)
e) P[Z ≥ 15]= P[Z´ ≥ (15-13)/2]= P[Z´ ≥ 1] = 0,5 - P[0 ≤ Z´≤ 1] = 0,5 – 0,3413 = 0,1587
(1,0 punto)
4. El 75% de televisores a color que vende una tienda comercial son de 14 pulgadas. Calcule la
probabilidad de que de los 10 próximos televisores a color que se vendan, al menos 5 sean de 14
pulgadas? N = 50
(2,5 puntos)
0,75(50) = 37,5 ≈ 38
X = # de televisores vendidos de 14” en la muestra de tamaño 10
Y ∼ H(50,10,38)
RX = { 0, …, 10 }
P[X ≥ 5] = P[X = 5]+ P[X = 6]+ P[X = 7]+ P[X = 8]+ P[X = 9]+ P[X = 10] =
38C5 12C5 /50C10
+38C6 12C4 /50C10 +38C7 12C3 /50C10 +38C8 12C2 /50C10 +38C9 12C1 /50C10 +38C10 12C0 /50C10 =
0,03870 + 0,13303 + 0,27029 + 0,31421 + 0,19043 + 0,04602 = 0,99268
5. Suponga que a un almacén llegan al azar camiones para ser cargados con ladrillos con un
promedio de 8 camiones por día. Calcule la probabilidad de que un día determinado acudan a los
sumo 5 camiones.
(2,5 puntos)
P[X ≤ 5] = P[X = 0]+ P[X = 1]+ P[X = 2]+ P[X = 3]+ P[X = 4]+ P[X = 5] =
e-880/0! + e-881/1! + e-882/2! + e-883/3! + e-884/4! + e-885/5! = 0,00034 + 0,00268 + 0,01073 +
0,02863 + 0,05725 + 0,09160 ≈ 0,19124
6. Suponga que las puntuaciones obtenidas en un examen de un determinado curso tienen
distribución normal con media 80 puntos. Si el 95% de los examinados obtuvieron puntajes entre
60,4 y 99,6:
a) Calcule la desviación estándar de la distribución.
X = puntuación obtenida en un examen
(2,0 puntos)
X ∼ N(80, σ 2)
P[0 ≤ Z ≤ (99,6 – 80)/ σ]= 0,475 → (99,6 – 80)/ σ = 1,96 → σ = 10
b) ¿Qué porcentaje de examinados obtuvieron entre 55 y 98 puntos?
(2,0 puntos)
P[55 ≤ X ≤ 98]= P[(55 – 80)/10 ≤ Z ≤ (98 – 80)/10]= P[-1,8 ≤ Z ≤ 2,5] = P[0 ≤ Z ≤ 1,8] +
P[0 ≤ Z ≤ 2,5] = 0,4641 + 0,4938 = 0,9579
EL PROFESOR
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Fecha
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ESTADÍSTICA II
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VI
LUNES 7 DE ABRIL
Aula
:
B
C - 607
1. Sea X la variable aleatoria discreta correspondiente al puntaje obtenido al tirar dos dados
tetraédricos. La siguiente tabla muestra la distribución de probabilidades de la variable X:
Número
2
P[X = x] 1/16
3
4
5
6
7
8
2/16
3/16
4/16
3/36
2/36
1/36
a) Calcule la P[X ≥ 4].
(1,0 puntos)
P[X ≥ 4] = 1 - P[X < 4]= 1 – {P[X = 2] + P[X = 3]} = 1 – {1/16 + 2/16} = 1 – 3/16 = 13/16
(1,5 puntos)
b) Halle la desviación típica.
E(X) = 2(1/16) + 3(2/16) + 4(3/16) + 5(4/16) + 6(3/16) + 7(2/16) + 8(1/16) = 80/16 = 5
V(X) = [22(1/16) + 32(2/16) + 42(3/16) + 52(4/16) + 62(3/16) + 72(2/16) + 82(1/16)] – 25 =
440/16 – 25 = 2,5 → σ = √ 2,5 ≈ 1,58
2. Suponga que el tiempo de vida de un objeto electrónico, en miles de c/2
horas, es una variable aleatoria X cuya función de densidad de
probabilidad se aproxima a la función cuya gráfica es la figura que aparece
al lado. Se pide:
a. Halle el valor de c.
(1,0 punto)
[c(c/2)]/2 = 1 → c /4 = 1 → c2= 4 → c = 2
2
(excluimos el negat.)
b. Determine la función de distribución de probabilidad. (1,0 punto)
m=-½
b=1 →
f(x) =
c. Calcule: P[0 ≤ X ≤ c/4]
P[0 ≤ X ≤ ½] = 0 ∫
½
c X
-x/2 + 1, si 0 ≤ x ≤ 2
0 , en otro caso
(1,0 punto)
-x/2 dx + 0 ∫
½
dx = -1/16 + ½) = 7/16
3. Si V ∼ B(8, 0.55), W ∼ H(40, 8, 25), X ∼ P(3), Y ∼ B(120, 0.6) y Z ∼ N(12, 4), halle:
a) P[V ≤ 3] = P[V = 0]+ P[V = 1]+ P[V = 2] + P[V = 3]=
(1,0 punto)
= 8C0 (0,55)0(0,45)8 + 8C1 (0,55)1(0,45)7 +8C2 (0,55)2(0,45)6 +8C3 (0,55)3(0,45)5 = 0,00168 +
0,01644 + 0,07033 + 0,17192 = 0,26038
b) P[W ≥ 3]= 1 - P[W < 3]= 1 – { P[W = 0] + P[W = 1] + P[W = 2]}
(1,0 punto)
= 1 – {25C0 15C8 /40C8 + 25C1 15C7 /40C8 + 25C2 15C6 /40C8} = 1 – {0,00008 + 0,00209 + 0,019524}
= 1 – 0,021694 ≈ 0,978306
c) P[X < 4]= P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2] + P[X = 3]
(1,0 punto)
= e-330/0! + e-331/1! + e-332/2! + e-333/3! = 0,04979 + 0,14936 + 0,22404 + 0,22404 = 0,64723
d) P[60≤ Y ≤ 70] = P[59,5≤ Y´ ≤ 70,5]= P[(59,5-72)/5,37≤ Z ≤ (70,5 -72)/5,37] = P[-2,33≤ Z ≤ -
0,28] = P[0,28≤ Z ≤ 2,33]= P[0≤ Z ≤ 2,33]- P[0≤ Z ≤ 0,28] = 0,4901 – 0,1103 = 0,3798
(1,5 puntos)
e) P[Z ≤ 15] = P[Z´ ≤ (15-12)/2]= P[Z´ ≤ 3/2] = 0,5 + P[0 ≤ Z´≤ 1,5] = 0,5 + 0,4332 = 0,9332
(1,0 punto)
4. El 70% de televisores a color que vende una tienda comercial son de 14 pulgadas. Calcule la
probabilidad de que de los 9 próximos televisores a color que se vendan, al menos 5 sean de 14
pulgadas? N = 50
(2,5 puntos)
0,70(50) = 35
X = # de televisores vendidos de 14” en la muestra de tamaño 9
Y ∼ H(50,9,35)
RX = { 0, …, 9 }
P[X ≥ 5] = P[X = 5]+ P[X = 6]+ P[X = 7]+ P[X = 8]+ P[X = 9] =
35C5 15C4 /50C9 +35C6 15C3 /50C9 +35C7 15C2 /50C9 +35C8 15C1 /50C9 +35C9 15C0 /50C9 = 0,17686 + 0,29477
+ 0,28182 + 0,14091 + 0, 02818 = 0,92255
5. Suponga que a un almacén llegan al azar camiones para ser cargados con ladrillos con un
promedio de 7 camiones por día. Calcule la probabilidad de que un día determinado acudan a los
sumo 4 camiones.
(2,5 puntos)
P[X ≤ 4] = P[X = 0]+ P[X = 1]+ P[X = 2]+ P[X = 3]+ P[X = 4] =
e-770/0! + e-771/1! + e-772/2! + e-773/3! + e-774/4! = 0,00091 + 0,00638 + 0,02234 + 0,052129 +
0,09123 ≈ 0,17299
6. Suponga que las puntuaciones obtenidas en un examen de un determinado curso tienen
distribución normal con media 80 puntos. Si el 95% de los examinados obtuvieron puntajes entre
60,4 y 99,6:
(2,0 puntos)
a) Calcule la desviación estándar de la distribución.
X = puntuación obtenida en un examen
X ∼ N(80, σ 2)
P[0 ≤ Z ≤ (99,6 – 80)/ σ]= 0,475 → (99,6 – 80)/ σ = 1,96 → σ = 10
b) ¿Qué porcentaje de examinados obtuvieron entre 60 y 95 puntos?
(2,0 puntos)
P[60 ≤ X ≤ 95]= P[(60 – 80)/10 ≤ Z ≤ (95 – 80)/10]= P[-2 ≤ Z ≤ 1,5] = P[0 ≤ Z ≤ 2] + P[0 ≤
Z ≤ 1,5] = 0,4772 + 0,4332 = 0,9104
EL PROFESOR