Método HMNAO de los mínimos cuadrados

Orígenes
El día de Año Nuevo de 1801, el astrónomo italiano Giuseppe Piazzi
descubrió el planeta menor Ceres, siendo capaz de seguir su órbita durante
40 días. Durante el curso de ese año, muchos científicos intentaron estimar
su trayectoria en base a las observaciones de Piazzi (resolver las ecuaciones
no lineales de Kepler del movimiento, es complicado). La mayoría de
evaluaciones fueron inútiles; el único cálculo suficientemente preciso para
permitir al astrónomo alemán Zach, reencontrar a Ceres al final del año, fue
el de Carl Friedrich Gauss de 24 años (los fundamentos de su enfoque ya
los había planteado en 1795, cuando aún tenía 18 años).
En 1829 Gauss fue capaz de establecer la razón del éxito de este
procedimiento: simplemente, el método de mínimos cuadrados es óptimo
en muchos aspectos. El argumento concreto se conoce como teorema de
Gauss-Márkov.
El método de los mínimos cuadrados.
El procedimiento más objetivo para ajustar una recta a un conjunto de
datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el
método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos
características importantes:
Es nula la suma de las desviaciones de los puntos a partir de la recta de
ajuste:
Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra
recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado:
(Mínima).
El procedimiento consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los
residuos
Diagrama de dispersión con muchas observaciones
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Ecuación cartesiana de la Recta de Altura
Si
son los elementos determinantes de una Recta de
Altura (RA), su ecuación en coordenadas cartesianas
es:
Si realizamos varias observaciones simultáneamente, todas ellas
compartirán la misma situación estimada
, aunque distintos pares
de valores
, procediendo cada par de una observación diferente.
Si
es el número de observaciones realizadas, sustituyendo cada
observación
en la ecuación de la Recta de Altura anterior,
tendremos un sistema de
ecuaciones (una por observación) con dos
incógnitas
; si realizamos tres o más observaciones
, tendremos
más ecuaciones que incógnitas. Tomamos las ecuaciones de dos en dos y
las resolvemos, obteniendo
pares
en los que podría encontrase
nuestro barco.
Pero dado que nuestro barco no puede hallarse simultáneamente en cada
uno de los puntos
, hemos de encontrar un punto que sea la mejor
estima. Aquí es donde entra en juego el método de los mínimos cuadrados
y se trata de encontrar el par
que minimiza el error cuadrático.
El diagrama de dispersión es el constituido con los pares
entonces llamando a la suma de los cuadrados de los residuos:
,
Ver el gráfico siguiente.
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Empleamos los procedimientos del análisis matemático para calcular el
mínimo de la función , para lo cual hallamos sus derivadas respecto de y
respecto de igualándolas a cero.
Ordenando los términos.
Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas
. Llamando:
Además:
Tenemos:
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Despejando las incógnitas
obtenemos:
;
El punto
representa la mejor estimación (en el sentido de los mínimos
cuadrados) del punto de intersección de todas las RRAA con respecto a
.
Teniendo en cuenta que
es una variación de latitud:
y que
es
una apartamiento:
(Oeste +), tendremos que la mejor situación
observada es:
; Diferencia de latitudes (Norte + y Sur -)
; Apartamiento (Oeste + y Este -)
=
=
=
=
=
=
=
=
;
;
;
Se calcula la distancia
entre la situación estimada inicial
momento de las observaciones y la posición mejorada
náuticas.
en el
, en millas
ó
Si
>
se sustituye la estima inicial
por la situación
mejorada
y se repiten los cálculos hasta que , la distancia entre
la situación estimada anterior y la situación mejorada, sea menor que
.
La ecuación del movimiento del observador
Una forma común de contabilizar el movimiento del observador, es ajustar
cada altura observada, teniendo en cuenta el cambio en la posición del
observador durante el tiempo de navegación
. Esta corrección del
movimiento del observador, en minutos de arco, es:
Donde
está en nudos y
está en minutos de tiempo; entonces
,
que está en minutos de arco, se añade a la altura verdadera. La cantidad
representa la altura que el astro observado tendría, si fuera
observado en el mismo instante , pero desde una posición de diferente,
una posición avanzada desde
en
, a lo largo de la derrota
de la embarcación. En esencia, el uso de esta fórmula mantiene la posición
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geográfica ( ) del astro observado (el
en el instante ), pero define un
nuevo círculo de posición para la observación; para
positivo, el círculo
tiene un radio mayor si el rumbo de la embarcación se aleja del astro o un
radio menor si el rumbo de la embarcación es hacia el astro. Para una
extensión pequeña en la superficie de la tierra alrededor de la derrota de la
embarcación, esto es esencialmente equivalente a avanzar (o retirar) la RA
de la observación.
Aplicado la ecuación del movimiento del observador a todas las
observaciones, cada una con un
diferente, se obtiene un conjunto de
RRAA que se intersecan cerca de
, definiendo una posición
para el
instante . Cuando se utiliza la ecuación del movimiento del observador,
los valores de
y
se calculan para los instantes individuales de cada
observación , pero para la posición
común.
La ecuación es una aproximación, pero funciona bastante bien para las
observaciones tomadas con pocos minutos de diferencia. Incluso para
distancias de 20 MN, el error propio de la fórmula, es por lo general sólo de
unas pocas décimas de minuto de arco.
Ejemplo: Se observan 3 astros en un crepúsculo
observaciones se reducen con la
= 35º20,3'N
obteniéndose los siguientes determinantes:
= 19:25;
= 19:30;
= 19:35;
= 200,4º;
= 019,0º;
= 053,0º;
vespertino. Las
= 064º22,0'W
= - 4,6'
= +1,7'
= +4,5'
Calcular la situación observada a la hora de la 3º observación, sabiendo que
navega al
= 250º y
= 10 nudos.
Calculamos las correcciones debidas al movimiento del observador.
1
2
3
- 4,6’ 200,4º
= 10 m
+1,7’ 019,0º
= 5m
+4,5’ 053,0º
0m
= 10 nudos
- 3,5’
+1,2’
+4,5’
= 250º
Ayudándonos de la calculadora, obtenemos los coeficientes A, B, C, D y E,
almacenándolos en las memorias del mismo nombre.
= 2,135
= 1,115
= 0,865
= 7,123
= 5,205
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; Diferencia de latitudes
; Apartamiento
;
=
=
=
=
=
=
=
=
35º20,3’N
0,6’N
35º20,9’N
35º20,6’N
5,2’E
6,4’E 064º22,0'W +
064º15,6’W
=
=
35º20,9'N
064º15,6'W
;
;
;
;
; Latitud observada
; Longitud observada
=
5,3MN
; Distancia entre
y
; Comparar este el resultado analítico, con el obtenido gráficamente en la
página 239 del libro “Navegación Astronómica” 2ª edición.
Solución gráfica
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