1 UCA/FCFMeI - Física II, I Cuat.2013, RECUP. I

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UCA/FCFMeI - Física II, I Cuat.2013, RECUP. I Parcial, 25 de junio de 2013, 9:00 – 13:00 hs
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LAB
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NOTA
Corrigió
Problemas. Dos ejercicios: valor 50 pts., mínimo para aprobar 25 pts. Transcriba resultados,
fórmulas, o valores numéricos, en las casillas indicadas. En los espacios reservados para pasos
intermedios es obligatorio anotar una breve justificación del resultado en cada paso. Los valores
numéricos deben escribirse solamente con cifras significativas y se deben indicar las unidades.
Fórmulas ilegibles, gráficos incompletos, o bien justificación omitida, se consideran parte no
resuelta del ejercicio y no dan puntaje.
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PROBLEMA 1. Principio de superposición: campo y potencial electrostático
Un plano infinito (material aislante) normal al eje
z lleva carga de superficie positiva σ>0
uniformemente distribuida. Está ubicado a la
distancia d del origen, o sea en z=-d como se
indica en Fig.1. Además hay una esfera de radio
r=a<d con centro en z=0, llena con carga de
volumen (carga espacial) negativa, cuya densidad
-ρ<0 es constante. En todo el semiespacio -d≤z
las propiedades dieléctricas son como en aire:
ε=κε0=ε0, κ=1.
Con el fin de simplificar y compactar las
fórmulas se usa E₀≡ρa/3ε0=(1/µ)×σ/(2ε0) para
normalizar todas las expresiones del campo
eléctrico. Del mismo modo, para normalizar el
potencial se usa V₀ = aE₀ = ρa²/3ε0 =
(1/µ)×aσ/(2ε0).
Para el cálculo de un ejemplo numérico los
datos son: ρ= 30 µC/m³, d= 20 cm, a= 10 cm y
el valor de µ=½ (con los datos resulta
E₀=0.113 MV/m).
La carga total de la esfera Q es tal que µQ=µ×ρ×(4πa³/3)= -(2×πa²σ), donde µ es un número
puro (sin dimensiones). En palabras: µQ es igual
(en valor absoluto) al doble de la carga contenida
en un círculo de radio a del plano cargado.
Resumiendo, vale la relación
µ|Q|=2×(πa²σ), µ≡3σ/(2ρa),
P1 - Fig1
P1a) Estudio del campo eléctrico. Hallar las ecuaciones del campo eléctrico total E en todos los
puntos del semiplano z≥-d de Fig.1 (plano meridiano). Escribir fórmulas para las componentes del
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cartesianas del campo Ez, Ex en el semiplano z≥-d, Fig.1, en función de las variables z,x. Distinga
las expresiones que valen en el interior 0≤r≤a de las que valen en el exterior de la esfera (r radio
con centro en O). Use la relación entre el versor radial (r/r) y los versores cartesianos k, i:
(r/r) cos(θ)=k, (r/r)sin(θ)=i.
¿Para qué valores de µ existen dos puntos P₁ y P₂ de cero del campo eléctrico, E=0, P₁ interno,
y P₂ externo? Dar fórmulas para las coordenadas (z,x) de esos dos puntos. Sugerencia: notar que E
tiene simetría de revolución alrededor del eje z, lo cual restringe la posición x de P₁ y P₂
Con los datos del ejemplo (µ=0.5) calcular numéricamente la posición de P₁, P₂ y los valores de
Ez en los puntos (-a,0) y (a,0). Graficar Ez/E₀ (donde E₀≡ ρa/3ε0) sobre el eje z, (x=0) en función de
z/a en el intervalo -2≤z/a≤3 en el diagrama preparado.
Fórmulas:
Valores numéricos:
(P1) (z,x)=
r<a , Ez/E₀ =
(P1) (z,x)=
(P2) (z,x)=
(P2) (z,x)=
afuera , Ez/E₀ =
Ez(-a,0)=
r<a , Ex/E₀ =
Ez(+a,0)=
3
afuera , Ex/E₀ =
Justificación P1a
Gráfico Ez/E₀ como función de z/a sobre el eje z (x=0) con µ=0.5
P1b) Estudio del potencial. Hallar las fórmulas que dan el potencial en el plano z,x; exprese
separadamente adentro y afuera de la esfera r=a. Obligatorio: elegir el potencial de referencia V=0
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en el origen z=0, x=0 de coordenadas (r=0). Normalice V con el potencial V₀=aE₀. Ponga atención
en evaluar la constante de integración de V ajustando el potencial externo con el potencial interno.
Sugerencia: obtenga V por superposición de los potenciales del plano y de la esfera.
En el interior r≤a encontrar la posición (z₀,0) y los valores de µ para los cuales existe un segundo
cero del potencial V(z₀,0)=0.
Con los datos del ejemplo numérico calcular, V(-d,0), V(d,0), y ∆V=V(P₂)-V(P₁) cuando µ=0.5.
Fórmulas:
r<a
Valores numéricos:
V(-d,0),
V(d,0)
V/V₀=
∆V=
afuera
V/V₀=
posición z₀,0:
Justificación P1b:
para µ:
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PROBLEMA 2. Condensador cilíndrico, dieléctrico coaxial y trabajo externo
Un condensador formado por dos conductores cilíndricos coaxiales, radios a y b (a<b), longitud h,
está inicialmente en aire. Se carga con una batería que establece la diferencia de potencial V₀ entre
conductores (potencial V0 positivo en r=a, cero en r=b). En el espacio entre cilindros cabe un tubo
de material dieléctrico sólido, constante dieléctrica κ>1. El volumen que ocupa el tubo dieléctrico
cuando está parcialmente insertado hasta la longitud z es π(b²-a²)z. (z=0 es sin inserción de
dieléctrico, condensador en aire; z=h es condensador con dieléctrico completamente insertado). Se
aproximan las propiedades del condensador con el modelo de cilindros muy largos. Datos para un
ejemplo numérico: a=1 cm, b=2.72 cm, h=9 cm, V₀=120 V, κ=6.
P2a). Inserción de un dieléctrico. Variación de energía electrostática.
El condensador cilíndrico está inicialmente en aire (z=0), la tensión entre placas es V₀. Escribir
fórmulas para la carga Q₀ y la energía U₀. Se acerca el tubo dieléctrico y se deja que penetre en el
condensador. Los campos de borde atraen el dieléctrico y lo tiran hacia el interior. Caso (i): se
desconecta la fem y durante el proceso el condensador permanece aislado. Caso (ii): durante el
proceso el condensador sigue conectado a la fem.
La longitud del tubo dieléctrico es h y se supone que entra paulatinamente hasta z=h. El sistema
es un actuador electromecánico en el cual un pistón se desplaza por acción de fuerzas eléctricas.
Las fuerzas y sus variaciones ocurren en condiciones de cuasi-equilibrio (sin aceleración).
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Caso (i): dar fórmulas para la variación de potencial ∆V=Vh-V₀ y la variación de energía ∆U=Uh-
U₀ entre las configuraciones final e inicial. Caso (ii): dar fórmulas para la variación de carga
∆Q=Qh-Q₀ y la variación de energía ∆U=Uh-U₀, entre las configuraciones final e inicial.
Con los datos del ejemplo realizar el cálculo numérico de las magnitudes, Q₀, U₀ y en los dos
casos citados ∆V, ∆U, ∆Q.
Fórmulas
Q0 =
U₀=
Caso (i):
Caso (ii):
∆V=
∆Q=
Valores Numéricos
Caso (i):
∆V
Caso (ii):
∆Q
Justificación P2a:
∆U=
∆U=
U₀=
Q0=
∆U=
∆U=
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P2b) Fuerza sobre el dieléctrico, trabajo y variación de energía.
La fuerza sobre el dieléctrico debida a los campos de borde varía en el curso del proceso. Hay que
hallar fórmulas para la fuerza eléctrica Fel en función de la longitud insertada z.
Para ello hay que calcular la variación de la capacidad con z, C=C(z) y además la variación de
energía dU del condensador en los dos casos. En el caso (i) aislado, cuando vale dU+dWel=0. En el
caso (ii) conectado a la fem, cuando vale dU+dWel=dWbat.
Dar las fórmulas que describen las funciones Fel(z) en el intervalo 0≤z≤h para ambos casos. Con
los datos del ejemplo calcular numéricamente Fel(0) y Fel(h) en los dos casos.
En el caso (i) graficar el cociente normalizado Fel(z)/Fel(0) en función de z/h en el intervalo
0≤z/h≤1 en el diagrama preparado.
Sugerencia. Para obtener Fel(z) es necesario calcular el trabajo eléctrico dWel en un desplazamiento dz
mediante la variación de energía electrostática dU. En el caso (i) resulta: Fel(z)=-dU/dz, mientras que en el
caso (ii) en cambio Fel(z)=+dU/dz. (Observe que (d/dz)(1/C)=-(1/C²)(dC/dz) y dado que C es constante
cuando z no está comprendido en el intervalo 0≤z≤h, resulta dC/dz =0 fuera del intervalo).
Fórmulas
caso (i): Fel(z)=
Val. Num.
caso (ii): Fel(z)=
caso (i): Fel(0)=
Fel(h) =
caso (ii): Fel(0)=
Fel(h)=
Justificación P2b:
Gráfico del caso (i), condensador aislado. Fel(z)/Fel(0) en función de z/h.
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Teoría. Valor 30 pts., mínimo para aprobar 15. Cuatro preguntas a) hasta d). Se dan 4 respuestas
para cada pregunta y solamente una es correcta. Marque únicamente la casilla correcta.
Seleccionar más de una casilla o dejar todas en blanco equivale a no contestar la pregunta. Para
cada pregunta hay un espacio de justificación de la respuesta elegida. Es obligatorio dar la
justificación porque permite la evaluación personalizada del examen. Escala de puntaje, 4 bien =
30 ptos., 3 bien = 24 ptos., 2 bien = 15 ptos.; no se asigna puntaje a menos de dos aciertos.
Ta. Energía potencial electrostática. Modelo atómico.
Un modelo atómico consiste de un núcleo con
carga qn=+6e (e=1.60×10-19 C) y seis electrones
con carga -e ubicados en los vértices de un
hexágono de lado a. Si se pudiera ignorar la
interacción de los electrones entre sí, la energía
electrostática del sistema sería U′=-k qn2/a.
En cambio, teniendo en cuenta la interacción de
los electrones la energía electrostática U del
modelo vale:
Justificación Ta
a1)
U=-k qn2/a ×0.783.
a2)
U=-k qn2/a×0.527;
a3)
U=-k qn2/a ×0.695;
a4)
U=-k qn2/a ×0.479;
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Tb. Línea de condensadores. Equivalencia de un bloque básico de capacidades.
El circuito de la figura, panel izquierdo, conectado a una batería con tensión V₀, consiste en un
condensador C₀ precedido por un bloque de dos ramas con condensadores iguales C₁ (el bloque
recuerda una letra griega Γ, transpuesta izquierda - derecha).
Hay que hallar el valor del cociente x=C₁/C₀ para el cual el condensador equivalente a la
combinación de los tres condensadores vale Ceq=C₀ (como si el bloque con los C₁ “no existiera”).
Es evidente que el bloque (tipo Γ transpuesta) podría ser repetido varias veces en serie, como se
muestra (con dos bloques) en el panel derecho de la figura y el condensador equivalente seguiría
valiendo Ceq=C₀. Pero con cada bloque previo, el condensador final C₀ recibe menos carga y por lo
tanto sostiene una tensión V<V₀ cada vez menor. Luego de tres bloques previos (tipo Γ
transpuesta), la tensión a través condensador real C₀ se reduce por un factor V/V₀ igual a:
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Tb1)
V/V₀=0.0192;
Tb2)
V/V₀=0.0685;
Tb3)
V/V₀=0.0557;
Tb4)
V/V₀=0.0382.
Justificación
sigue en pg7
sigue Tb
Tc. Fuerza sobre un dipolo debida a un campo eléctrico no uniforme.
evaluar Fel use la aproximación E(r+d)E(r)≈(dE(r)/dr)δ = E’(3a)×(a/300).
El aceite es muy viscoso y ofrece una
fuerza de resistencia FR al movimiento del
dipolo proporcional a la velocidad FR=-µv,
Una esferita de metal conductor de radio a=1 cm
está conectada a una fem que da una tensión
V=120 kV respecto de tierra. La esferita está
sumergida en un aceite aislante con constante
dieléctrica κ=3. A la distancia r=3a del centro hay
un pequeño dipolo con cargas q=±5|e| y
separación δ=a/300. El dipolo está orientado en
dirección radial con la carga negativa ubicada en
r=3a y está sujeto a una fuerza eléctrica Fel. Para
donde µ=2.00×10-13 Ns/m y v=dr/dt. Se
establece la velocidad límite (Fel = FR,
aceleración nula) y la velocidad v del dipolo
vale:
Tc1)
v=-5.62 mm/s;
Tc2) v=-2.27 mm/s;
Tc3)
v=-6.44 mm/s;
Tc4)
Justificación Tc
v=-3.95 mm/s.
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Td. Ley de Ohm: circuito combinación serie - paralelo.
valores de dos resistencias R₁=100 Ω, RV= 2000 Ω,
respectivamente. RV es la resistencia interna del voltímetro y
R₂ es la resistencia a determinar. El voltímetro mide la
Examine el circuito de la figura:
conocidos algunos datos hay que
averiguar el valor de R₂. Los datos
son lectura del voltímetro V= 80 V,
voltaje de batería VB= 100 V y los
tensión entre los vértices asociados a la diagonal. La batería
no tiene resistencia interna. Se obtiene:
d1)
R2 = 500 Ω
d2)
R2 = 450 Ω
d3)
R2 = 650Ω
d4)
R2 = 600Ω
Justificación Td
Laboratorio. Cuatro preguntas. Puntaje: 20 puntos. Mínimo para aprobar: 10 puntos.
Escribir con buena letra y dibujar sólo en los espacios reservados. Expresar los
resultados con claridad y realizar esquemas prolijos. Dar los valores numéricos con un
número correcto de cifras significativas, y usar unidades del Sistema Internacional.
1. Errores
En una experiencia de laboratorio se midió la misma diferencia de potencial de 14,15V
con dos voltímetros diferentes, uno digital con alcance de 20V y error de 1%+3d y otro
analógico con alcance de 15V, clase 1 y error de apreciación 0,1V.
¿Con cuál de los instrumentos se obtuvo la medida más precisa? Justifique
Medida mas precisa con:
Justificación
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2. Cuadrados Mínimos y 3. Condensadores
En una experiencia de laboratorio se midió la capacidad de un capacitor en función de
su área activa y se obtuvo la siguiente tabla:
A(dm2)
1,00
2,00
3,00
4,00
C(pF)
1,11
2,21
3,55
4,40
Aplicando cuadrados mínimos obtenga la
ecuación de la recta de regresión lineal que
representa la capacidad del capacitor en
función de su área activa
Ecuación
Justificación
En base a la ecuación que determine
indique que área debería tener para
lograr una capacidad de 3 pF
Area
Justificación
3. Campo Eléctrico y Potencial Eléctrico
El campo eléctrico E en un punto P(x;y) de la cuba electrostática de 20cm por 30 cm usada en el
laboratorio es de 5V/m y forma un ángulo de 30° con el eje horizontal. La distancia entre los puntos
del entorno A y B es igual a 1cm lo mismo que la distancia entre los puntos C y D. En base a ello
determine cuales fueron las diferencias de potencial VAB Y VCD medidas. Justifique
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VAB
VCD
JUSTIFICACIÓN
A
E
30º
D
C
B
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Resumen de Instrucciones
Para el examen usted recibe un formulario, que es lo único que entregará para la corrección y evaluación.
Deberá entregarlo firmado, con la aclaración de su nombre y apellido en letra de imprenta y con el número
de registro. Escriba solamente en los espacios reservados (bloques y casillas). Las respuestas tienen que
anotarse con tinta.
El examen consta de tres partes: Problemas, Teoría y Laboratorio, por un total de 100 puntos. Problemas:
hay dos ejercicios de 25 puntos cada uno. En Teoría hay cuatro preguntas por un total de 30 puntos. En
Laboratorio: pasos por un total 20 puntos. El parcial se aprueba cuando se alcanza al menos la mitad del
puntaje de cada sección. Es decir, se requiere un puntaje mínimo en cada parte: 25 en Problemas, 15 en
Teoría y 10 en Laboratorio.
El examen se aprueba a partir de 50 puntos formados con los mínimos de cada parte. Con 70 puntos el
alumno aprueba el examen parcial con concepto destacado. A partir de 80 puntos, el concepto por este
examen es distinguido o sobresaliente. Duración: no más de 4:00 horas.
Le recomendamos que comience por los temas que le resulten más familiares. ¡Buen trabajo!
Algunas fórmulas y valores de constantes (Sistema Internacional)
ke ≅ 9 109 Nm2/C2 ; e=1.6 10-19 C, ε0 = 8.85 x 10-12 F/m = 8.85 pF/m
Ley de Gauss
Ley de Gauss para geometría cilíndrica (simetría axial ∂/∂z=0 y simetría de revolución ∂/∂ϕ=0):
2πrhEr=(1/ε0)(h∫ρenc2πr’dr’), siendo ρenc densidad de carga encerrada, h una longitud según z.
Ley de Gauss para geometría esférica (simetría esférica ∂/∂θ=0 y ∂/∂ϕ=0):
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4πr2 Er=(1/ε0)( ∫ρenc4πr’2 dr’), siendo ρenc la densidad de carga encerrada.
Energía potencial electrostática de un sistema de cargas puntuales:
U=(k/2)∑(i≠j)[(qiqj)/rij]
Campo eléctrico de una carga puntual en un medio dieléctrico cuya constante es κ:
E=(1/4πκε0)(q/r2)(r/r)
Condensadores: Q=CV.
2
2
Energía: U=½CV =½Q /C=½QV
-1
-1
-1
Condensadores en paralelo: Ceq= C1 +C2. Condensadores en serie: Ceq = C1 +C2 .
C= ε0A/d, plano. C= 2πε0h/ln(b/a), cilíndrico. C=4πε0 ab/(b-a), esférico.
Densidad de energía eléctrica (vacío): ue = ε0E2/2.
Leyes de Ohm. V=RI, R=ρl/A. Potencia ∆V I. Potencia disipada P=RI2 =V2/R.
-1
-1
-1
Resistencias en serie: Req= R1 + R2. Resistencias en paralelo: Req = R1 +R2 .
Potencial de un aro uniformemente cargado (ubicado en x=0) sobre puntos del eje x:
V(x) = kQ/ [x2+a2]1/2
Campo eléctrico de un segmento de longitud L con densidad lineal λ de carga constante sobre puntos de una
recta normal que pasa por su centro: E=(2kλ/r) sinα
(donde r es la distancia al centro y α es el ángulo que subtiende medio segmento L/2 desde el punto campo).