Economía Matemática

Introducción
Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Economía Matemática
Martín Brun - Diego Fernández - Mijail Yapor
Facultad de Ciencias Económicas y de Administración - UdelaR
Agosto - Diciembre, 2016
Mijail Yapor
Economía Matemática
Anális
Introducción
Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Índice
1
2
3
4
Introducción
Conceptos introductorios
Tasa de cambio y derivada
Diferenciabilidad de una función
Diferenciación parcial
Determinantes Jacobianos
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de
funciones explícitas
Análisis estático comparativo de modelos con funciones generales
Comentarios iniciales
Diferenciales
Derivadas totales
Funciones Implícitas
Regla de Cramer
Ejercicios
Mijail Yapor
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Introducción
Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Naturaleza del análisis estático comparativo
La estática comparativa realiza una comparación de distintos
estados de equilibrio relacionados con diferentes conjuntos de
parámetros y variables exógenas.
Este tipo de análisis aún no toma en cuenta el proceso de
ajuste de las variables:
solamente se compara el equilibrio inicial (pre-cambio) con el
estado de equilibrio nal (post-cambio).
también se excluye la posibilidad de que el nuevo equilibrio sea
inestable.
Naturaleza de análisis: cualitativo o cuantitativo
Análisis cualitativo: explicita dirección del cambio.
Análisis cuantitativo: analiza magnitud del cambio.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Objetivos del análisis
El problema consiste en hallar una tasa de cambio:
la tasa de cambio del valor de equilibrio de una variable
endógena respecto al cambio en una parámetro particular o
variable exógena.
El concepto matemático de derivada adquiere una importancia
fundamental pues, a través del cálculo diferencial, se relaciona
directamente con el concepto tasa de cambio.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Tasa de cambio y derivada
Caso general:
Consideramos la tasa de cambio de una variable y como
respuesta a un cambio en otra variable x , donde las dos
variables se relacionan mediante la siguiente función:
(1)
Cociente de diferencias: Cuando x varía de un valor inicial x a
un nuevo valor x + ∆x , el valor de la función cambia de f (x )
a f (x + ∆x):
y = f (x)
0
0
0
0
f (x0 + ∆x)
∆y
=
∆x
∆x
(2)
Este cociente de diferencias mide el cambio en y por unidad de
cambio en x .
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Tasa de cambio y derivada (cont.)
Puede interesarnos la tasa de cambio de y cuando ∆x es muy
pequeña. En tal caso, es posible obtener una aproximación de
∆y /∆x eliminando los términos del cociente de diferencias en los
que interviene la expresión ∆x
∆y
f (x0 + ∆x)
dy
= lm
=
= f 0 (x)
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
dx
lm
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(3)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciabilidad de una función
Tomando el límite de la función y = f (x) se puede examinar si
la función es continua en x = x .
Las condiciones para la continuidad de una función son:
0
1
2
3
x = x0 debe estar en el dominio de la función f .
y debe tener un límite cuando x → x0 .
dicho límite debe ser igual a f (x0 ).
Cuando estas tres condiciones se satisfacen se puede escribir:
lm
x→x0
f (x) = f (x0 )
(4)
Por lo tanto, si se aplica el concepto de límite al cociente de
diferencias ∆y
∆x cuando ∆x → 0, tratamos con la pregunda de
si y = f (x) es diferenciable en x = x , es decir, si la derivada
dy
dx existe en x = x .
0
0
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciación parcial: derivadas parciales
Consideremos una función:
f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn )
(5)
Las variables xi , con i = 1, . . . , n, son todas independientes
entre sí, de modo que cada una puede variar por sí misma sin
afectar a las otras:
∆y
f (x1 + ∆x1 , x2 , . . . , xn )
=
∆x1
∆x1
(6)
Denimos la derivada parcial de y con respecto a x1 como:
fi =
∂y
∆y
= lm
∆xi →0 ∆xi
∂xi
(7)
Se dene al vector gradiente como:
grad.f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ∇f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (f1 , f2 , . . . , fn )
(8)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Determinantes Jacobianos
Las derivadas parciales también proporcionan un medio para
probar si existe dependencia funcional (lineal o no lineal) entre
un conjunto de n funciones en n variables. Si se tienen n
funciones diferenciables en n variables, no necesariamente
lineales:


y1 = f 1 (x1 , x2 , . . . , xn )



y = f 2 (x , x , . . . , x )
2
1
2
n

·····················



y = f n (x , x , . . . , x )
n
1
2
n
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(9)
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Determinantes Jacobianos (cont.)
Si fji = ∂yi /xj , se puede escribir el determinante jacobiano
como:
 ∂(y , y , . . . , y )  ∂y1 /∂x1 · · ·

1
2
n 
..
...
|J| = 
=
.
∂(x1 , x2 , . . . , xn )
∂yn /∂x1 · · ·
1
f
1 ···
= ... . . .
n
f
···
1
fn1 .. .
fnn ∂y1 /∂xn .. =
. ∂yn /∂xn (10)
Entonces, el determinante jacobiano |J| será igual a cero para
todos los valores de (x , x , . . . , xn ), si y solo si las n funciones
(f , f , . . . , f n ) son dependientes desde el punto de vista
funcional.
1
1
2
2
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de
funciones explícitas
Ejemplo 1.-
Modelo simple de mercado de un solo bien:
(a, b > 0)
(11)
(c, d > 0)
(
Q(P) = a − bP
Q(P) = −c + dP
- Soluciones de forma reducida: las dos variables endógenas han
sido reducidas a expresiones explícitas de los cuatros
parámetros:
Q∗ =
ad−bc
b+d
- Derivadas estático-comparativas:
P∗ =
a+c
b+d
(12)
∂P ∗
1
∂P ∗
=
=
>0
∂a
∂c
b+d
∂P ∗
∂P ∗
0(b + d) − 1(a + c)
(a + c)
=
=
=−
<0
2
∂b
∂d
(b + d)
(b + d)2
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de
funciones explícitas (cont.)
Ejemplo 2.-
Modelo de ingreso nacional:


Y (C ) = C + I0 + G0
C (Y , T ) = α + β(Y − T )
(α > 0, 0 < β < 1)


T (Y ) = γ + δY
(γ > 0, 0 < δ < 1)
(13)
- Sustituyendo y despejando para Y, el ingreso de equilibrio es:
Y∗ =
α − βγ + I0 + G0
1 − β + βδ
- Derivadas estático-comparativas:
∂Y ∗
=
∂G0
1
1 − β + βδ
>0
∂Y ∗
−β(α − βγ + I0 + G0 )
=
=
∂δ
(1 − β + βδ)2
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−βY ∗
<0
1 − β + βδ
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(14)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Análisis estático comparativo de modelos con funciones generales
En los casos en que a partir del estudio de las derivadas
parciales, la solución de equilibrio de los modelos podemos
expresarlas en forma reducida, la diferenciación parcial de la
solución producirá de modo directo la información estática
comparativa deseada.
Dado que la denición de derivada parcial requiere la ausencia
de cualquier relación funcional entre las variables
independientes, los parámetros y/o variables exógenas que
surgen de la solución de la forma reducida deben ser
mutuamente independientes.
Por otro lado, a partir de la inclusión de funciones generales en
un modelo no es posible obtener una solución explicita en
forma reducida. En estos casos, se deben hallar las derivadas
estáticas comparativas directamente de las ecuaciones
generales del modelo.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Ejemplo de función general
Modelo de ingreso nacional con dos variables endógenas (Y,C):
(
Y = C + I0 + G0
C = C (Y , T0 )
(15)
El cual se puede reducir a una única ecuación (condición de
equilibrio):
Y = C (Y , T ) + I + G
(16)
Dada la forma general de la función Y, no es posible obtener
ninguna solución explícita. Por lo tanto, se deben hallar las
derivadas estáticas comparativas directamente de esta
ecuación.
0
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0
0
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Ejemplo de función general (cont.)
Supongamos que existe una solución de equilibrio Y ∗ , entonces
bajo condiciones generales, se puede tomar a Y ∗ como una
función diferenciable de las variables exógenas T , I , G .
0
0
0
(17)
En alguna vecindad del equilibrio Y ∗ , se cumplirá la siguiente
identidad (identidad de equilibrio):
Y ∗ = Y ∗ (I0 , G0 , T0 )
Y ∗ = C (Y ∗ , T0 ) + I0 + G0
(18)
Los dos argumentos de la función de consumo C no son
independientes. La diferenciación parcial no resulta adecuada
para realizar ejercicios de estática comparativa. Se debe
recurrir al concepto de diferencial total.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciales: diferenciales y derivadas
Por denición, la derivada dy /dx = f 0 (x) es lm∆x→
lo tanto se puede escribir:
0
∆y
dy
−
=δ
∆x
dx
donde δ → 0 cuando ∆x → 0
∆y
∆x
. Por
(19)
Despejando ∆y :
∆y =
dy
∆x + δ∆x
dx
ó ∆y = f 0 (x)∆x + δ∆x
(20)
Esta última ecuación describe el cambio en y (i.e. ∆y ) como
resultado de un cambio especíco -no necesariamente
pequeño- en x (i.e. ∆x ), a partir de algún valor inicial de x en
el dominio de la función y = f (x).
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciales: diferenciales y derivadas (cont.)
La ecuación anterior también indica que, ignorando el término
δ∆x , se puede usar el término f 0 (x)∆x como una
aproximación al verdadero valor ∆y , donde la aproximación es
cada vez mejor a medida que ∆y se hace cada vez más
peque«o. Entonces:
dy = f 0 (x)dx
(21)
0
La derivada f (x) puede interpretarse como el factor de
proporcionalidad entre cambios nitos dy y dx :
dado un cambio especíco dx , se multiplica por el factor f 0 (x)
para obtener dy como una aproximación a ∆y
cuando más peque«o sea ∆x , mejor es la aproximación.
a las cantidades dy y dx se las denomina diferenciales.
Observar que:
dy es función de x y dx .
si dx = 0, entonces dy = 0 .
el diferencial dy sólo se puede expresar
otro diferencial (por ejemplo dx )
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en términos de algún
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciales totales
Consideremos el caso más general de una función de n
variables independientes, mediante una función de utilidad en
la forma general:
(22)
U = U(x1 , x2 , . . . , xn )
El diferencial total se dene como:
dU =
∂U
∂U
∂U
dx1 +
dx2 + . . . +
dxn =
∂x1
∂x2
∂xn
U1 dx1 + U2 dx2 + . . . + Un dxn =
n
X
i=1
(23)
Ui dxi
Cada término de la derecha indica el cambio aproximado en U,
que resulta de un cambio en una de las variables
independientes.
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciales totales: Ejemplo
Desde el punto de vista económico, cada término Ui dxi es la
utilidad marginal del bien i multiplicada por el incremento en
el consumo del mismo. La suma de todos los términos, dU ,
representa el cambio aproximado total de la utilidad
proveniente de todas las fuentes posibles de cambio.
Medidas de elasticidad parcial para una función de utilidad:
(24)
En este caso cada medida de elasticidad se debe denir sólo en
términos del cambio en una de las variables independientes,
por lo tanto existirán n medidas de elasticidad para la función
de utilidad.
Estas se denominan elasticidades parciales:
U = U(x1 , x2 , . . . , xn )
Uxi =
∂U xi
∂xi U
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i = 1, 2, . . . , n
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(25)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Diferenciales totales: Reglas de diferenciales
-
Regla I: dk = 0 con k ∈ R
Regla II: d(cu n ) = cnu n− du
Regla III: d(u ± v ) = du ± dv
Regla IV: d(uv ) = vdu + udv
1
u
Regla V: d( ) = (vdu − udv )
v
v
Regla VI: d(u ± v ± w ) = du ± dv ± dw
Regla VII: d(uvw ) = vwdu + uwdv + +uvdw
1
2
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas totales
Retomando el ejemplo para una función general en el caso del
modelo de ingreso nacional, donde teníamos que:
(26)
Y ∗ = C (Y ∗ , T0 ) + I0 + G0
Nos preguntamos: ¾cómo podemos hallar la tasa de
cambio de la función
y
T0
C (Y ∗ , T0 )
respecto a
T0
cuando
Y∗
están relacionadas?
- la respuesta se basa en el concepto de derivada total
- a diferencia de una derivada parcial, una derivada total no
requiere que el argumento Y ∗ permanezca constante cuando
T0 varía.
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas totales: Efectos directos e indirectos
Consideremos la siguiente situación:
Entonces:
y = f (x, w )
x = g (w )
y = f (g (w ), w )
Las tres variables y , x , w se relacionan:
(27)
(28)
- indirectamente: vía las funciones g y f
- directamente: vía f
El efecto directo se puede representar simplemente por la
derivada parcial fw
dx
dx
El efecto indirecto es: fx dw
= ∂y
∂x dw
La derivada total es la suma de ambos efectos:
dy
dx
∂y dx
∂y
= fx
+ fw =
+
dw
dw
∂x dw
∂w
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(29)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas totales: Efectos directos e indirectos (cont.)
Alternativamente, la derivada total se puede obtener
diferenciando totalmente la función y = f (x, w ) y luego dividir
por dw :
dx
dy
= fx
+ fw
(30)
dy = fx dx + fw dw ⇒
dw
dw
Consideremos ahora la siguiente función:
(
y = f (x1 , x2 , w )
donde
x1 = g (w )
x2 = h(w )
(31)
La variable w puede afecatar a y por tres canales:
1
2
3
Indirectamente vía la función g y luego f .
Indirectamente vía la función h y luego f .
Directamente vía la función f .
dy
∂y dx1
∂y dx2
∂y
dx1
dx2
=
+
+
= f1
+ f2
+ fw
dw
∂x1 dw
∂x2 dw
∂w
dw
dw
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(32)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas totales: Efectos directos e indirectos (cont.)
Consideremos ahora una función del tipo:
y = f (x1 , x2 , u, v )
(
x1 = g (u, v )
donde
x2 = h(u, v )
(33)
La derivada total respecto de u es:
dy
∂y dx1
∂y dx2 ∂y du ∂y dv
=
+
+
+
du
∂x1 du
∂x2 du
∂u du ∂v du
Y como u y v son independientes:
dv
du
= 0.
Por lo que:
dy
∂y dx1
∂y dx2 ∂y
dx1
dx2 ∂y
=
+
+
= f1
+ f2
+
du
∂x1 du
∂x2 du
∂u
du
du
∂u
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(34)
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(35)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Funciones Implícitas
Una función dada de la forma y = f (x) se denomina función
explícita, porque la variable y se expresa explícitamente como
una función de x .
Sin embargo, cuando tenemos una función F (y , x) = 0, esta
función está denida en forma implícita:
- Cuando sólo tenemos una ecuación en la cual la función
y = f (x) está implicada, y cuya forma especica no siempre es
posible conocer, se denomina función implícita.
- Mientras que una función explícita siempre se puede
transformar en una función implícita, la transformación inversa
no siempre es posible.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Teorema de la Función Implícita
Teorema
Dada F (y , x1 , x2 , . . . , xm ) = 0, si:
a) la función F tiene derivadas parciales Fy , Fx1 , . . . , Fxm
b)
continuas
en un punto (y0 , x10 , x20 , . . . , xm0 ) que satisface
F (y0 , x10 , x20 , . . . , xm0 ) = 0, la derivada Fy 6= 0
Entonces, existe una vecindad N, m-dimensional alrededor de
(x10 , x20 , . . . , xm0 ), en la cual y es una función denida
implícitamente de las variables x1 , x2 , . . . , xm en la forma
y = f (x1 , x2 , . . . , xm )
Además, la función implícita f es continua y tiene derivadas
parciales continuas.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas de Funciones Implícitas
Si de la ecuación F (y , x , x , . . . , xm ) = 0 es posible despejar
podemos escribir la función y = f (x , x , . . . , xm ) en forma
explícita y hallar sus derivadas.
y,
1
2
1
2
Pero ¾qué pasa si la ecuación F (y , x , x , . . . , xm ) = 0 no se
puede resolver para y en forma explícita?:
1
2
- Si sabemos que existe una función en los términos de la
función implícita, aún es posible obtener las derivadas deseadas
sin tener que resolver primero para y .
- Para lograrlo se utiliza la regla de la función implícita, que
permite obtener las derivadas de toda función implícita
denida por la ecuación dada para F .
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Regla de la función implícita
Para el desarrollo de esta regla se requiere de las siguientes
condiciones:
1
2
3
Si dos expresiones son idénticamente iguales, sus diferenciales
totales deben ser iguales.
La diferenciación de una expresión que tiene que ver con las
variables y , x1 , x2 , . . . , xm , producirá una expresión en la que
intervienen los diferenciales dy , dx1 , dx2 , . . . , dxm
El diferencial dy se puede sustituir por cierta expresión
conocida, por lo cual no importa el hecho de que no se pueda
expresar la variable y de forma explícita.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Regla de la función implícita (cont.)
Al aplicar los anteriores hechos a la ecuación
F (y , x , x , . . . , xm ) = 0, podemos escribir:
1
2
dF = d 0 = 0 ⇒ Fy dy +F1 dx1 +F2 dx2 +. . .+Fm dxm = 0
(36)
Puesto que la función implícita tiene diferencial total
dy = f dx + f dx + . . . + fm dxm , sustituyendo en la ecuación
anterior:
1
1
2
2
Fy (f1 dx1 +f2 dx2 +. . .+fm dxm )+F1 dx1 +F2 dx2 +. . .+Fm dxm = 0
Factorizando para cada diferencial se tiene que:
(37)
(Fy f1 + F1 )dx1 + (Fy f2 + F2 )dx2 + . . . + (Fy fm + Fm )dxm = 0
(38)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Regla de la función implícita (cont.)
Para que se cumpla la anterior expresión, cada expresión entre
paréntesis se debe anular:
Fy fi + Fi = 0
(39)
Despejando para fi obtenemos la regla de la función implícita
para hallar la derivada parcial fi de la función implícita
y = f (x , x , . . . , xm ):
1
∀i = 1, . . . , m
2
fi =
∂y
Fi
=−
∂xi
Fy
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∀i = 1, . . . , m
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(40)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Funciones Implícitas: extensión al caso de ecuaciones
simultáneas
Tratamos una versión más general del teorema de la función
implícita, en donde un conjunto de ecuaciones simultáneas:


F 1 (y1 , . . . , yn ; x1 , . . . , xm ) = 0



F 2 (y , . . . , y ; x , . . . , x ) = 0
1
n 1
m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..



F n (y , . . . , y ; x , . . . , x ) = 0
1
n 1
m
(41)


y1 = f 1 (x1 , . . . , xm )



y = f 2 (x , . . . , x )
2
1
m

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



y = f n (x , . . . , x )
n
1
m
(42)
Dene el conjunto de funciones implícitas:
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Teorema de la Función Implícita: el caso de ecuaciones
simultáneas
Teorema
Dado el sistema de ecuaciones denido en (41), si:
1
2
Todas las funciones F 1 , F 2 , . . . , F n tienen derivadas parciales
continuas respecto a todas las variables,
en un punto (y10 , . . . , yn0 ; x10 , . . . , xm0 ) que satisface el
sistema de ecuaciones, se cumple:
∂F 1
∂(F 1 , F 2 , . . . , F n ) ∂y1
..
|J| = =
∂(y1 , . . . , yn ) . n
∂F
∂y1
Mijail Yapor
···
..
.
···
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∂F 1 ∂yn .. =
. 6 0
∂F n ∂yn
(43)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Teorema (cont.)
Entonces existe una vecindad m-dimensional de x10 , . . . , xm0 , en la
cual las variables y1 , . . . , yn son funciones de las variables
x1 , . . . , xm . Estas funciones implícitas satisfacen:


y10 = f 1 (x10 , . . . , xm0 )



y = f 2 (x , . . . , x )
20
10
m0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



y = f n (x , . . . , x )
n0
10
m0
(44)
Además, las funciones implícitas f 1 , . . . , f n son continuas y tienen
derivadas parciales continuas.
Mijail Yapor
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Anális
Introducción
Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas
Se pueden hallar las derivadas parciales de las funciones
implícitas directamente de las n ecuaciones F i = 0, sin tener
que despejar la y variables. Diferenciando totalmente y
pasando a la derecha los términos dx :

1
1
1
1

Fy1 dy1 + . . . + Fyn dyn = −(Fx1 dx1 + . . . + Fxm dxm )


F 2 dy + . . . + F 2 dy = −(F 2 dx + . . . + F 2 dx )
y1 1
yn n
x1 1
xm m

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
............



F n dy + . . . + F n dy = −(F n dx + . . . + F n dx )
y1 1
yn n
x1 1
xm m
Además, se pueden escribir los diferenciales de las yi como:(45)

∂y1
∂y1

dx1 + . . . + ∂x
xm )
dy1 = ∂x

m

1

dy = ∂y2 dx + . . . + ∂y2 x )
2
1
∂x1
∂xm m

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......



dy = ∂yn dx + . . . + ∂yn x )
n
1
∂x1
∂xm m
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(46)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas (cont.)
Sustituyendo los últimos diferenciales en los primeros, pero
analizando el caso en que sólo cambia x , manteniendo
constantes las demás variables x , . . . , xm . Es decir,
considerando que dx 6= 0 y dx = . . . = dxm = 0, tenemos el
siguiente sistema de ecuaciones:
1
2
1
2

1 ∂y
1 ∂yn
1

Fy1 ∂x11 + . . . + Fyn ∂x1 = −Fx1


F 2 ∂y1 + . . . + F 2 ∂yn = −F 2
y1 ∂x1
yn ∂x1
x1

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...



F n ∂y1 + . . . + F n ∂yn = −F n
y1 ∂x1
yn ∂x1
x1
(47)
Las derivadas parciales ∂yi /∂x son las variables a determinar.
Mientras que las derivadas parciales Fyij tomarán un valor
especíco cuando se las evalúa en el punto
(y , . . . , yn ; x , . . . , xm ). Por tanto, son valores de
derivadas y se pueden tratar como constantes.
1
10
0
10
0
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Derivadas parciales con ecuaciones simultáneas (cont.)
El sistema puede considerarse como uno lineal, el cual ha
surgido en el proceso de análisis de un problema no
necesariamente lineal (no existen restricciones de linealidad en
el sistema original). En términos matriciales:
1
Fy
1
F 2
y1
..
.
F n
y1
Fy12
Fy22
..
.
Fyn2
 ∂y   1 
. . . Fy1n ∂x11
−F
 2   x21 
. . . Fy2n  ∂y
−F

 x1 
∂x1 
. 
. . . ... 
 ..  = 
 .. 
 . 
−Fxn1
. . . Fynn ∂yn
∂x1
(48)
El determinante de la matriz de coecientes es el determinante
jacobiano, |J|, el cual es 6= 0 en las condiciones del teorema de
la función implícita. Y dado que el sistema no debe ser
homogéneo, es posible armar que existe una solución trivial
no única.
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Regla de Cramer
Es un teorema en álgebra lineal que brinda una solución a un
sistema lineal de ecuaciones en términos de sus determinantes.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:
Ax = b
(49)
Donde:
- A es la matriz de coecientes del sistema,
- (x1 , . . . , xn ) es un vector columna de incógnitas,
- b es un vector columna de términos independientes.
La solución al sistema es:
det (Aj )
(50)
det (A)
En donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima
columna de A por el vector columna b de términos
independientes.
xj =
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
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Ejercicio 7 - Práctica 2: Modelo de Ingreso Nacional IS-LM
Mercado de Bienes:
Y =C +I +G
C = C (Y − T )
G = G0
I = I (r )
T = T (Y )
Donde 0 < C 0 (Y d ) < 1, I 0 (r ) < 0, 0 < T 0 (Y ) < 1 y G
exógena.
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(51)
= G0
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Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
Curva IS:
(52)
Y = C (Y − T (Y )) + I (r ) + G0
Esta ecuación dene implícitamente la curva IS.
Las variables endógenas son Y y r , mientras que G es
variable exógena.
0
Pendiente de la curva IS:
Y = C (Y −T (Y ))+I (r )+G0 ⇒ Y −C (Y −T (Y ))−I (r )−G0 = 0 ⇒
∂(Y − T (Y ))
⇒ dY − C 0 (Y − T (Y ))
dY − I 0 (r )dr = 0
∂Y
dY − C 0 (Y − T (Y )) 1 − T 0 (Y ) dY − I 0 (r )dr = 0
dr
=
dY
1 − C 0 (Y − T (Y )) [1 − T 0 (Y )]
I 0 (r )
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<0
(53)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
Mercado de Dinero:
M d = L(Y , r )
M s = M0s
Ms = Md
Donde LY
>0
y Lr
< 0, M s
(54)
está dada.
Identidad de equilibrio en el mercado de dinero - Curva
LM:
M d = L(Y , r ) = M0s = M s
(55)
Pendiente de la curva LM:
dL(Y , r ) = LY dY + Lr dr = dM0s = 0 ⇒
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dr
LY
=−
>0
dY
Lr
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(56)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
El equilibrio simultáneo en ambos mercados se puede describir
mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
(
Y = C (Y − T (Y )) + I (r ) + G0
L(Y , r ) = M0s
⇒
(
F 1 (Y , r , G0 , M0 ) = Y − C (Y − T (Y )) − I (r ) − G0 = 0
F 2 (Y , r , G0 , M0 ) = L(Y , r ) − M0s = 0
Donde Y y r son las variables endógenas y G , M s las
variables exógenas.
Diferenciando totalmente el sistema (respecto tanto de las
( variables endógenas como exógenas):
dY − C 0 (Y − T (Y )) [1 − T 0 (Y )] dY − I 0 (r )dr = dG
0
0
0
LY dY + Lr dr =
dM s
0
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Economía Matemática
(57)
(58)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
Matricialmente:
1 − C 0 (Y − T (Y )) [1 − T 0 (Y )]
−I 0 (r ) dY
dG0
=
Lr
dr
dM0s
LY
(59)
cuyo determinante jacobiano es:
1 − C 0 (Y − T (Y )) [1 − T 0 (Y )] −I 0 (r )
= ...
|J| = LY
Lr "
... =
1 −C 0 (Y −T (Y )) 1 − T 0 (Y )
Mijail Yapor
#
Lr +LY I 0 (r ) < 0
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(60)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
Dado que |J| =
6 0, este sistema satisface las condiciones del
teorema de la función implícita y es posible escribir las
funciones implícitas:
(
Y ∗ = Y ∗ (G0 , M0s )
r ∗ = r ∗ (G0 , M0s )
(61)
Aunque el sistema no se puede resolver de forma explícita para
Y ∗ , r ∗ , se pueden llevar a cabo ejercicios de estática
comparativa para determinar los efectos de un cambio de una
de las variables exógenas G , M s en los valores de equilibrio.
0
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0
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
Consideremos ahora las derivadas parciales ∂Y ∗ /∂G ,∂r ∗ /∂G
que se deducen al aplicar el teorema de la función implícita al
sistema de ecuaciones diferenciales denido en (59). Si primero
establecemos, por ejemplo, que dM s = 0 y dividimos ambos
lados por dG :
0
0
0
0
1 − C 0 (Y − T (Y )) [1 − T 0 (Y )]
LY
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−I 0 (r )
Lr
" dY ∗ #
dG∗0
dr
dG0
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1
0
=
(62)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Modelo de Ingreso Nacional IS-LM (cont.)
Por la regla de Cramer se llega a:
1 −I 0 (r )
0
Lr dY ∗
Lr
=
=
>0
dG0
|J|
|J|
1 − C 0 (·) [1 − T 0 (Y )] −I 0 (r )
LY
0 −LY
dr ∗
=
=
>0
dG0
|J|
|J|
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Economía Matemática
(63)
(64)
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
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Ejercicio 8 - Práctica 2: Modelo IS-LM con economía abierta
A las dos identidades de equilibrio anteriores para el mercado
de bienes y de dinero, se incorpora una ecuación que reeja el
vínculo de la economía doméstica con el resto del mundo.
Exportaciones netas: sean X las exportaciones, M las
importaciones y E el tipo de cambio nominal.
X = X (E )
X 0 (E ) > 0
M = M(Y , E )
MY > 0 , ME < 0
(65)
Flujos de capital: Sea K el ujo neto de capitales hacia la
economía doméstica, función de la tasa de interés nacional, r ,
y la tasa de interés internacional, rw .
K = K (r , rw )
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Kw > 0, Krw < 0
Economía Matemática
(66)
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Conceptos introductorios
Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.)
Balanza de Pagos:
capital:
suma de la cuenta corriente y la cuenta
(67)
Si suponemos un régimen de tipo de cambio exible, el mismo
se ajusta para mantener la BP en equilibrio (BP = 0). En este
marco, la oferta de moneda extranjera es igual a su demanda
en la economía doméstica.
BP = [X (E ) − M(Y , E )] + K (r , rw )
Equilibrio en economía abierta: tres condiciones
1) demanda agregada igual a oferta agregada:
Y = C (Y − T (Y )) + I (r ) + G0 + X (E ) − M(Y , E )
2) demanda de dinero igual a oferta de dinero: L(Y , r ) = M0s
3) balanza de pagos igual a 0:
BP = X (E ) − M(Y , E ) + K (r , rw ) = 0
las variables endógenas son Y , r , E y las variables exógenas
G0 , M0s , rw
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.)
Expresando las tres ecuaciones anteriores como identidades de
equilibrio: F = 0, F = 0, F = 0:
1
2
3


Y − C (Y − T (Y )) − I (r ) + G0 − X (E ) + M(Y , E ) = 0
L(Y , r ) − M0s = 0


X (E ) − M(Y , E ) + K (r , rw ) = 0
Diferenciando totalmente y escribiendo el resultado en forma
matricial:
1 − CY .(1 − TY ) + MY


LY
−MY
−Ir
Lr
Kr
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  

dY
dG0
0   dr  =  dM0s 
XE − ME
dE
−Krw drw
ME − XE
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Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.)
Analizando el jacobiano:
1 − CY .(1 − TY ) + MY
LY
|J| = −MY
−Ir
Lr
Kr
ME − XE 0 XE − ME |J| = (1 − CY .(1 − TY ) + MY )Lr (XE − ME ) + (ME − XE )LY Kr + . . .
. . . + MY Lr (ME − X
"E ) + (XE − ME )LY Ir
#
|J| = (ME − XE ) LY (Kr − Ir ) + Lr (CY .(1 − TY ) − 1) < 0
Y por tanto, por el teorema de la función implícita, se puede

escribir:
Y ∗ = Y ∗ (G , M s , rw )
0
0

∗
∗
r = r (G0 , M0s , rw )

 ∗
E = E ∗ (G0 , M0s , rw )
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Aplicaciones al análisis estático-comparativo: el caso de funciones explícitas
Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.)
Consideremos el impacto de un cambio en la tasa de interés
internacional (rw ) sobre los valores de equilibrio para Y , r , E .
Se toman por tanto dG = M s = 0 y se dividen ambos lados
del sistema de ecuaciones por drw
0
1 − CY .(1 − TY ) + MY


LY
−MY
0
−Ir
Lr
Kr
Mijail Yapor
  dY ∗  

0
drw∗
dr 
0 
= 0 
 dr
w∗
dE
−Krw
XE − ME
dr
ME − XE
w
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Ejercicio 2: Modelo IS-LM con economía abierta (cont.)
Aplicando la regla de Cramer se tiene que:
dY ∗
=
drw
0
0
−Kr
w
−Ir ME − XE Lr
0 Kr XE − ME −(−Kr Lr (ME − XE ))
=
>0
|J|
|J|
1 − CY .(1 − TY ) + MY
0 ME − XE LY
0
0 ∗
−MY
−Krw XE − ME dr
−Krw LY (ME − XE )
=
=
>0
drw
|J|
|J|
n
o
−K
[
1
−
C
.(
1
−
T
)
+
M
]L
+
L
I
∗
r
Y
Y
Y
r
Y
r
w
dE
|J3 |
=
=
>0
drw
|J|
|J|
Mijail Yapor
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