MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 MOVIMIENTO ARMÓNICO CÁTEDRA DE FÍSICA – FFyB - UBA CASOS YA VISTOS: •MRU F=0; a=0 •MRUV F=cte; a=cte Pero que pasa si F es variable… cómo es el movimiento? VEAMOS UN CASO SENCILLO…. EQUILIBRIO INESTABLE EQUILIBRIO ESTABLE EQUILIBRIO NEUTRO Ep(x) x Movimiento periódico: que se repite EXISTE UNA FUERZA RESTAURADORA FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 FUERZA RESTAURADORA: SE OPONE AL DESPLAZAMIENTO RESPECTO DE UNA POSICIÓN DE EQUILIBRIO ΔX PARA DESPLAZAMIENTOS PEQUEÑOS PUEDE ASUMIRSE QUE F ∝ X SI LA FUERZA RESTAURADORA ES PROPORCIONAL AL DESPLAZAMIENTO: MOVIMIENTO ARMÓNICO 1 2 E pot = kx 2 F =−kx F =−kx ∑ F =ma −kx =ma −kx=m⋅ d2 x dt 2 d2 x k ⋅x =0 dt 2 m x t = A⋅cosω 0⋅t ϕ FEDERICO MONCZOR ω 0 = k /m 2011 MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 x t =cost Pero cómo es la función hallada? PARÁMETROS AMPLITUD (depende de las condiciones iniciales) PERÍODO ó FRECUENCIA (propia del sistema) FASE (depende de las condiciones iniciales) x t = A⋅cos ω 0⋅t ϕ x t = A⋅cosω 0⋅t ϕ A=A/2 T=T/2 ω0=2 ω0 ϕ=0 ϕ=Π/2 A = Amplitud : perturbación máxima respecto de la posición de equilibrio Si la función Cos(t) varía entre 1 y -1 la función A·Cos(t) varía entre A y -A [A]: longitud FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 T = Período : tiempo en el cual el movimiento se repite A . cos ω0⋅t = A.cos ω 0⋅tT f = Frecuencia : número de repeticiones por segundo f= 1 T Si la función COS repite cada 2Π: cos ω 0⋅tT =cos ω 0⋅t2Π ω0⋅t T =ω 0⋅t 2Π ω 0⋅T =2Π ω 0= 2Π =2Π⋅f = k / m T [T]: tiempo [ f ]: 1/tiempo [ω]: rad/tiempo ϕ = FASE : valor de desplazamiento para t=0 x t = A⋅cos ω0⋅t ϕ x 0= A⋅cos ϕ ϕ=0 ϕ=Π/2 •El valor de Φ es arbitrario, depende de cuando se elija t=0 •Si se tienen dos MAS existe una diferencia de Φ, su valor no es arbitrario y posee contenido físico [ϕ]: rad Pensemos de nuevo en el resorte… F =−kx x t = A⋅cos ω 0⋅t ϕ pero qué pasa con la velocidad?? FEDERICO MONCZOR y con la aceleración?? MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 CONSIDERACIONES CINEMÁTICAS POSICIÓN x t = A⋅cos ω 0⋅tϕ VELOCIDAD v t = dx t dt =−ω 0⋅A⋅sen ω0⋅t ϕ ACELERACIÓN a t = dv t =−ω 2⋅A⋅cos ω 0⋅t ϕ 0 dt a t =−ω 2⋅x t 0 CONSIDERACIONES DINÁMICAS F =−k⋅x x x 1 E pot =−∫ F⋅dx=−∫ −k⋅x⋅dx = k⋅x 2 2 0 0 E total=E pot E cin 1 2 si x =A ; E cin=0 ; E total =E pot = k⋅A 2 1 si x=0 ; E pot =0 ; E total =E cin= m⋅v 2 2 max SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ARMÓNICOS MOVIMIENTOS CON LA MISMA DIRECCIÓN Y CON LA MISMA FRECUENCIA x 1 t =A1⋅cos ω 0⋅t ϕ 1 x 2 t = A2⋅cosω 0⋅t ϕ 2 A= A12 A 22 2 A1 A2 cos Δϕ x=x 1 x 2 =A⋅cos ω 0⋅tα ϕ1- ϕ2=0 EN FASE A = A1 + A2 FEDERICO MONCZOR tan α= A1 sen ϕ 1 A2 sen ϕ 2 A1 cos ϕ 1 A2 cos ϕ 2 ϕ1- ϕ2=Π A = A1 - A2 EN OPOSICIÓN DE FASE MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 ALGUNOS CASOS A MODO DE EJEMPLO… Caso 1: El péndulo simple OJO!!! F =−m⋅g⋅senθ Pero para θ pequeños: x senθ≈θ Caso 1: El péndulo simple OJO!!! F =−m⋅g⋅senθ Pero para θ pequeños: x senθ≈θ F =−m⋅g⋅θ x =θ ⋅L análogo a k x m⋅g F =−m⋅g⋅ =− ⋅x =ma L L ω0 = k m⋅ g / L = = m m FEDERICO MONCZOR g L MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 Caso 2: El oscilador angular τ = torca de restitución κ = constante de torsión θ = desplazamiento angular τ =κ⋅θ 2 d θ dt 2 τ =I⋅α= I −κ⋅θ =I I = momento de inercia α = aceleración angular d2θ dt 2 θ t =θ max cos ω 0⋅t ϕ ω 0 = κ / I Caso 3: Oscilaciones de dos cuerpos L=longitud natural del resorte x = ( x2 − x1 ) − L OPERANDO…. masa reducida m1 ⋅ d 2 x1 = + kx dt 2 m2 ⋅ d 2 x2 = −kx dt 2 m1 m 2 d2 ⋅ 2 x 2 − x 1 =−kx m1 m 2 dt La solución es idéntica a la conocida con la masa reducida como m y x2-x 1 como x Pero… un péndulo se frena con el tiempo….. Además de las Fuerzas Restauradoras actúan Fuerzas de Rozamiento que NO son conservativas OSCILACIONES AMORTIGUADAS FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 F Roz ∝v ∑ F =F Re st − F Roz =m⋅a F Re st F Roz −k⋅x −b⋅v =m⋅a a v d2x dx =m⋅ −k⋅x−b⋅ dt − b/ 2m ⋅t x=A0⋅e dt 2 cosω 0 '⋅t ϕ La amplitud disminuye exponencialmente con t ω0 ' = ω0’< ω0 k b − m 2m 2 A0.e-( b / 2 m ) . t -A0.e-( b / 2 m ) . t 1 2 si E total = k⋅A 2 Al disminuir A lo que disminuye es la energía del sistema SISTEMA NO CONSERVATIVO En ambos casos ω0 = Π/2; pero notar que ω0’ varía FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 Por lo tanto, si queremos mantener el movimiento hay que entregar energía al sistema… OSCILACIONES FORZADAS F( t ) = F0 ⋅ senω ' t F( t) F Re st a F Roz ⏞ −k⋅x F sen ω ' t −b⋅v ⏞ +⏞ ⏞ =m⋅ddt x 2 0 2 SOLUCIÓN ESTACIONARIA (permanente en el tiempo) x t = NO depende de las condiciones iniciales ∑ F =F Rest F t−F Roz =m⋅a estacionario transitorio depende de las condiciones iniciales MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO F0 ⋅cosω'⋅t ϕ G bω ' G= m 2 ω 20 −ω' 2 2 b 2 ω ' 2 ϕ =−arctan m ω ' 2 −ω 20 •La oscilación ocurre con ω’ y no con ω0 (es independiente del sistema) Pero… La amplitud depende de la F ejercida y su frecuencia, pero también del sistema (m y ω0) Qué pasa con A al variar ω’?? A es función de ω’ A ω ' = F0 2 m ω 0 −ω ' 2 Si ω’ es muy distinto de ω0; A es pequeña Si ω’ es muy parecido a ω0; A es grande Dado que Etotal = 1 k ⋅ A2 2 A es “una medida” de la energía del sistema Entonces, la transferencia de Energía al sistema aumenta cuando ω’ se asemeja a ω0 FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 ω’ <<< ω0 Φ ≈ 0 ω’ = ω0 Φ = Π/2 ϕ =−arctan bω ' bω ' =−arctan = Π /2 m0 m ω' 2 −ω 2 0 ω’ >>> ω0 Φ ≈ Π Menos amortiguado (b decreciente) Estrictamente la resonancia se alcanza cuando: RESONANCIA ω’/ ω0 RESONANCIA FEDERICO MONCZOR ω ' = ω02 − b/2m 2=ω 0 Estrictamente la resonancia se alcanza cuando: ω ' = ω02 − b/2m 2=ω 0 MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 Ejemplo de resonancia: PUENTE DE TACOMA (US), 1940 L=longitud natural del resorte Oscilaciones de dos cuerpos x = x 2 −x 1 −L 2 m1⋅ m 2⋅ OPERANDO…. d x1 dt 2 2 d x2 dt 2 =+ kx =−kx masa reducida m1 m 2 d2 ⋅ 2 x2 − x 1 =−kx m1 m 2 dt La solución es idéntica a la conocida con la masa reducida como m y x 2-x1 como x x t = A⋅cos ω 0⋅t ϕ ω 0 = k /m SABÍAMOS QUE… F =−k⋅x x x 1 E pot =−∫ F⋅dx=−∫ −k⋅x⋅dx = k⋅x 2 2 0 0 FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 POTENCIAL DE LENNARD-JONES [ ] Ep r =E 0⋅ H2 r0 r 12 −2 r0 r 6 N2 R0 E0 r0 (A) (10-23J) (A) 3,3 43 4,2 E0 (10 -23 J) 131 Notar que para r=r0 Ep r =−E 0 Notar que para r→∞ Ep r ∞ 0 0 [ ] Ep r =E 0⋅ r0 12 −2 r r0 r [ r 12 r 6 dEp =F r =12⋅E 0⋅ 011 − 05 dr r r FEDERICO MONCZOR ] Notar que para r=r0 F r =0 Notar que para r→∞ F r ∞ 0 0 ESPECTROSCOPÍA INFRARROJA Dos cuerpos unidos por un resorte 6 Una molécula diatómica MOVIMIENTO ARMONICO 1 Habíamos visto que para un oscilador armónico….. 1 2 E total = k⋅A 2 si ω= k 2 m k =ω ⋅m 1 2 2 E total = A ⋅m⋅ω 2 Vale decir que para una m y una A definida, la energía del oscilador es una función CONTÍNUA de la frecuencia angular Pero…. a nivel molecular la energía está cuantizada E = n1/2⋅ℏ⋅ω ‘número cuántico’ n energía . . . . 0 4 3 2 1 0 Clásica: todos los Cuántica: sólo valores posibles de ciertos “niveles energía están de energía” permitidos están permitidos La energía de la transición corresponde a la zona del IR FEDERICO MONCZOR 2011 MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 Vibraciones en la vida real El oscilador armónico es un buen modelo para las moléculas diatómicas simples (por ej. HCl) cambio de nivel n=0 n=1 n=1 n=2 n=3 n=4 n=4 n=5 ENERGÍA INCIDENTE υe x p t l 8,65 8,34 8,02 7,72 υ a r m o n I c o (101 3 Hz) 8,65 8,65 8,65 8,65 SISTEMA ESTUDIADO ENERGÍA TRANSMITIDA INTENSIDAD FRECUENCIA Donde disminuye la E transmitida es porque la absorbió el sistema RESONANCIA PROBLEMA Con qué frecuencia vibrará una molécula de cloruro de hidrógeno cuyo átomo de cloro corresponde al isótopo de masa atómica 35 g/mol, si el enlace tiene una constante de fuerza de 96,67 N/m? y una molécula formada con el isótopo de 3 7Cl? FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 Suponiendo que la molécula se comporta como un oscilador armónico, su frecuencia de vibración será… ω 0 = k /m Pero recordar que al tratarse de dos cuerpos unidos por un resorte… m 1⋅m 2 m= m 1 m 2 Entonces… 35 g /mol m35 Cl = m1 H = 6, 022 .10 23 át /mol 1g /mol 6,022. 10 23 át / mol m= =1, 6611296 . 10−24 g /át=1, 6611296 .10−27 kg /át m 35 ⋅m 1 H Cl m 35 m 1 Cl =5,81395 . 10−23 g / át=5, 81395.10 −26 kg /át −27 =1,6149871 . 10 kg H Por lo que… ω 0= k /m= 96 , 67 N / m 1, 6149871 .10− 27 kg f =ω 0 / 2Π= =2, 4466 .10 14 rad /s 2,4466 .10 14 rad / s =3,8939 .10 13 Hz =38 , 94 THz 2Π Para el caso de la molécula formada por el isótopo 3 7Cl… m37 Cl = 37 g / mol 6, 022 .1023 át / mol Luego… m= Entonces… ω 0= k / m= m 37 ⋅m1 H Cl m 37 m 1 Cl =6, 14618. 10−23 g /át=6, 14618 .10−26 kg / át −27 =1, 617416. 10 96 , 67 N / m f =ω 0 /2Π= kg H 1, 307698 .10−26 kg =2, 44475. 1014 rad / s 2, 44475. 10 14 rad / s =3,8909 .10 13 Hz=38, 09 THz 2Π ESPECTRO DEL HCl x t = A⋅cos ω 0 ⋅t ϕ k m con m = m1⋅m 2 m1 m 2 La partición de cada pico es por la diferencia de masa entre el 3 5Cl y el 3 7Cl FEDERICO MONCZOR MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 QUÉ APRENDIMOS EN ESTA CLASE? SISTEMAS EN EQUILIBRIO puede ser INESTABLE NEUTRO ESTABLE porque existe FUERZA RESTAURADORA que determina CIRCUITO OSCILANTE MOVIMIENTO PERIÓDICO si la Fza restauradora PÉNDULO SIMPLE ES PROPORCIONAL A X el movimiento es OSCILADOR ANGULAR SISTEMAS DE DOS CUERPOS un caso particular MOVIMIENTO ARMÓNICO en presencia de rozamiento si existe una Fza externa idealmente AMORTIGUADO SIMPLE FORZADO puede provocar RESONANCIA ESPECTROSCOPÍAS es el fundamento de las Fuerza restauradora y energía potencial HOJA DE FÓRMULAS 1 1 2 E pot = k⋅x 2 F Re st =−kx Posición velocidad, aceleración y parámetros de un oscilador armónico simple ω 0= k /m x t = A⋅cosω 0⋅t ϕ v t = dx t dt a t = =−ω 0⋅A⋅sen ω 0⋅t ϕ ω 0= 2Π =2Π⋅f T f= 1 T dv t =−ω 2⋅A⋅cos ω0⋅t ϕ 0 dt Superposición de dos MAS x =x 1x 2=A⋅cos ω 0⋅tα A= A 2 A 2 2A 1 A 2 cos Δϕ tanα= A1 sen ϕ 1 A2 sen ϕ 2 1 2 A1 cos ϕ 1 A2 cos ϕ 2 Oscilador angular θ t =θ max cosω 0⋅t ϕ ω 0= κ / I Oscilación de dos cuerpos masa reducida m1 m 2 d2 ⋅ x − x =−kx m1 m2 dt 2 2 1 Circuito LC q t =Q⋅cos ω0⋅t ϕ ω 0= 1 LC HOJA DE FÓRMULAS 2 Oscilaciones amortiguadas x t = A0⋅e − b/ 2m ⋅t cos ω 0 '⋅t ϕ ω0 ' = k b − m 2m 2 Oscilaciones forzadas A F ⋅cos ω'⋅t ϕ x t = m ω 2 −ω' 2 0 Oscilaciones forzadas amortiguadas F x t = ⋅cos ω'⋅t ϕ G 2 2 2 2 G= m ω ' −ω 2 b ω' ϕ =−arctan 0 bω ' m ω ' 2 − ω 2 0 FEDERICO MONCZOR 2 MOVIMIENTO ARMONICO 1 2011 HOJA DE FÓRMULAS 2 Oscilaciones amortiguadas x t = A0⋅e − b/ 2m ⋅t cos ω 0 '⋅t ϕ ω0 ' = k b − m 2m 2 Oscilaciones forzadas A F ⋅cos ω'⋅t ϕ x t = m ω 2 −ω' 2 0 Oscilaciones forzadas amortiguadas F x t = ⋅cos ω'⋅t ϕ G 2 2 2 2 G= m ω ' −ω 2 b ω' ϕ =−arctan 2 0 bω ' m ω ' 2 − ω 2 0 BIBLIOGRAFÍA FISICA. Resnick - Halliday - Krane. Vol 1. 4ta Ed. 1998, CECSA, Mexico, DF. FISICA. Wilson - Buffa. 5ta Ed. 2003, Pearson Educación SA, Mexico, DF. FISICA. Feynman. Vol 1. 1987, Addison Wesley IberoAmericana SA, Mexico, DF. RECURSOS ON LINE http://bcs.wiley.com/he-bcs/Books?action=index&itemId=0471216437&bcsId=2037 http://www.kettering.edu/~drussell/Demos.html http://www.physicsclassroom.com consultas bienvenidas a [email protected] (Federico) FEDERICO MONCZOR