Aritmética
Qué deberíamos recordar del Instituto
Qué vamos a estudiar
Algunas aplicaciones del tema
Estructura del tema
Qué conceptos vamos a estudiar
Qué problemas podremos resolver
¿Qué deberíamos recordar del Instituto?
Números primos
División entera
Máximo común divisor
¿QUÉ VAMOS A ESTUDIAR?
División entera
¿Cómo se hace?
¿Para qué sirve?
Números primos
Aritmética modular (o del reloj)
Suma, resta, multiplicación y división
modular
Algunos conceptos de criptografía
ALGUNAS APLICACIONES
Aritmética modular y aplicaciones a la
Criptografía
Suma y resta: cifrado César
Producto e inversos: cifrado Afín
Potencias de números: cifrado RSA
Otras aplicaciones:
Funciones Hash
Números (seudo-)aleatorios
CRIPTOGRAFÍA
Esconder o encriptar un mensaje de forma que no
pueda leerse directamente
● Hay muchísimas técnicas distintas
● Bastantes de ellas usan aritmética modular
● Representamos las letras por números
● Si hay 27 letras tenemos Z
27 (los primeros 27
números enteros)
● Manipular las letras es manipular números
● Es fundamental que tengamos una forma de
deshacer la encriptación
●
CRIPTOGRAFÍA
●
CIFRADO CÉSAR
● Escogemos un número no nulo
● El cifrado es sumar ese número (módulo 27)
● Para descifrar basta con restar el mismo número
CRIPTOGRAFÍA
●
CIFRADO AFÍN
● Escogemos dos números de forma que el
primero sea invertible
● El cifrado es multiplicar por el primer número y
sumarle el segundo (módulo 27)
● Para descifrar basta con restar el segundo
número y luego “dividir” por el primero
CRIPTOGRAFÍA
Los métodos anteriores se llaman clásicos o
simétricos
● Se caracterizan porque, si sabes cómo se cifra,
sabes cómo se descifra
● Hay una clave para cifrar (los valores de a ó de a
y b) que deben ser secretos
●
CRIPTOGRAFÍA
Hoy en día se usan, sobre todo, sistemas
asimétricos o de clave pública
● Se caracterizan porque, si sabes cómo se cifra,
eso no significa que sepas cómo se descifra
● Hay una clave para cifrar que no es secreta
● el primer ejemplo es el sistema RSA
●
¿QUÉ CONCEPTOS VAMOS A ESTUDIAR?
División euclídea
Números primos
Ecuaciones diofánticas
¿QUÉ CONCEPTOS VAMOS A ESTUDIAR?
Aritmética modular
Números módulo n
Inversos módulo n
Exponencial modular
¿QUÉ PROBLEMAS PODREMOS RESOLVER?
¿Cómo se calcula el máximo común divisor?
¿Cómo se sabe si un número es primo?
¿Cómo se resuelve una ecuación diofántica?
¿QUÉ PROBLEMAS PODREMOS RESOLVER?
¿Cómo se opera módulo n?
¿Cómo se calcula el inverso de un número?
¿Cómo se calculan una potencia?
¿Cómo se aplican técnicas básicas de
Criptografía?
Cifrado César y Afín
Cifrado RSA
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