2010/11 - MasMates

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Colecciones de ejercicios
Inferencia estadística
Selectividad CCSS 2011
1. [ANDA] [JUN-A] Una máquina está preparada para fabricar piezas de, a lo sumo, 10 cm de longitud. Se toma una muestra de
1000 piezas, comprobándose que la media de sus longitudes es de 10.0037 cm. La longitud de las piezas fabricadas por esa
máquina sigue una ley Normal con desviación típica 0.2 cm.
a) Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de
la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm.
b) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación  = 0.025.
c) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la
longitud media de las piezas fabricadas?
2. [ANDA] [JUN-B] a) Una población te tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando
muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato. ¿Cuál es el
tamaño de la muestra?
b) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal con desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño
mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1
kg.
3. [ANDA] [SEP-A] Suponiendo que la variable "años de vida de los individuos de un país sigue una distribución normal con desviación
típica 8.9 años, se desea contrastar la hipótesis de que la vida media de los mismos no supera los 70 años. A partir de una
muestra de 100 individuos se ha obtenido que su media ha sido 71.8 años.
a) Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado.
b) Determine la región crítica para un nivel de significación del 5%.
c) Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?
4. [ANDA] [SEP-B] Sea X una variable aleatoria Normal de media 50 y desviación típica 4. Se toman muestras de tamaño 16.
a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47.5 y 52.5?
5. [ARAG] [JUN-B] La edad a la que obtienen el premiso de conducir los habitantes de una determinada población es una variable
aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 24 años y desviación típica 4 años. Se elige aleatoriamente
una muestra de 100 habitantes de dicha población. Sea X la media muestral de la edad de obtención del permiso de conducir.
a) ¿Cuáles son la media y la varianza de X?
b) Halle el intervalo de confianza al 90% para X.
6. [ARAG] [SEP-B] El tiempo diario de conexión a internet de los alumnos de cierto instituto sigue una distribución normal con
desviación típica 15 minutos. Para estimar la media del tiempo de conexión se toma una muestra y se obtiene, con un nivel de
confianza del 95%, el intervalo de confianza (38 min,46min). Calcular la media y el tamaño de la muestra. Detalle los pasos
realizados para obtener los resultados.
7. [ASTU] [JUN-A] El gasto medio por turista era inicialmente de 56 €. Tras una campaña para aumentar dicho gasto, se tomó una
muestra aleatoria de 3600 turistas, para los que su gasto medio diario fue de 68 €. Suponiendo que el gasto medio diario sigue
una distribución normal con desviación típica 40,
a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que la campaña no ha surtido efecto, frente a la alternativa de que sí ha surtido
efecto, tal como parecen indicar los datos.
b) ¿A qué conclusión se llega con ese contraste para un nivel de significación del 5%?
(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media = 0 y desviación típica = 1:
F(4'5) = 1'000, F(1'96) = 0'975, F(1'64) = 0'95, F(0'95) = 0'83, F(0'05) = 0'52)
8. [ASTU] [JUN-B] Tras unos programas educativos para reducir el porcentaje de fumadores en la Universidad, que estaba en el
10%, se toma una muestra aleatoria de 400 universitarios, de los que se obtiene que 36 son fumadores.
a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que los programas educativos no han producido el efecto deseado, frente a la
alternativa de que sí lo han hecho.
b) ¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?
(Algunos valores de la función de distribución de la Normal de media = 0 y desviación típica = 1:
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F(1'96) = 0'975, F(1'64) = 0'95, F(0'95) = 0'83, F(0'67) = 0'75, F(0'05) = 0'52)
9. [ASTU] [SEP-B] Según el fabricante, el peso medio de los yogures que vende es de 125 g. Un cliente sospecha que últimamente
vienen menos llenos. Para contrastarlo tome una muestra aleatoria de 36 yogures y obtiene un peso medio de 124 gramos.
Suponiendo que el peso de los yogures sigue una distribución normal con desviación típica 3 gramos,
a) Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el peso medio es el que dice el fabricante, freente a la alternativa de que
es menor, tal como parecen indicar los datos.
b) ¿A qué conclusión se llega con el contraste anterior para un nivel de significación del 5%?
(Algunos vcalores de la función de distribución de la Normal de media 0 y desviación típica 1:
F(0'05) = 0'52, F(0'95) = 0'83, F(1'64) = 0'95, F(1'96) = 0'975, F(2) = 0'977)
10. [C-LE] [JUN-B] Una empresa fabrica tornillos para llantas cuyo diámetro sigue una distribución normal de media  y desviación
típica 2 milímetros. Se selecciona un lote de 100 tornillos y resulta una media muestral de 19 milímetros.
a) Determina el intervalo de confianza al 98% para .
b) Para un determinado modelo de automóvil, se exige que el diámetro de los tornilolos sea de 20 milímetros. Plantea un test de
hipótesis que permita decidir si los tornillos fabricados se ajustan a este tamaño, con una confianza del 95%.
11. [C-MA] [JUN-A] La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial sigue una distribución normal con desviación
típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la media de duración obtenida ne esa muestra es de 50
segundos. Se pide:
a) Calcular un intervalo de confianza al 97% para la duración media de las llamadas.
b) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido si la encuesta se hubiera realizado con 100 llamadas de un único
empleado? Razona tu respuesta.
12. [C-MA] [JUN-B] Se ha extraido una muestra de 10 familias de residentes en un barrio, obteniéndose los siguientes datos: 19987,
20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 19942, 20078, 20069. Se supone que la recta familiar de los residentes en el barrio sigue
una distribución normal de desviación típica 150 euros.
a) Encontrar el intervalo de confianza al 95% para la renta familiar media.
b) Interpretar el significado del intervalo obtenido.
c) ¿Crees que sería válido el intervalo de confianza obtenido si la muestra se hubiera elegido entre las familias con más ingresos
del barrio? Razona tu respuesta.
13. [C-MA] [SEP-A] Se ha extraido una muestra de 10 familias residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 19987,
20096, 19951, 20263, 20014, 20027, 20023, 19942, 20078, 20069. Se supone que la renta familiar de los residentes en el
barrio sigue una distribución normal de desviación típica 100 euros.
a) Encontrar el intervalo de confianza al 97% para la renta familiar media.
b) Interpretar el resultado del intervalo obtenido.
c) Si deseamos un intervalo de anchura mayor, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu respuesta.
14. [C-MA] [SEP-B] La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación
típica 10 segundos. Se toma una muestra aleatoria de 100 llamadas y la media de duración obtenida en esa muestra es de 50
segundos. Se pide:
a) Calcular el intervalo de confianza al 95% para la duración media de las llamadas.
b) Interpretar el resultado del intervalo obtenido.
c) Si deseamos un intervalo de anchura menor, ¿qué opciones tendríamos? Razona tu respuesta
15. [CANA] [JUN-A] En 169 poblaciones distintas en el territorio nacional, se ha encuestado a agentes inmobiliarios sobre el precio
de la vivienda, resultando que el precio medio por metro cuadrado es de 1764 euros, con una desviación típica de 258 euros.
a) Estimar el precio medio poblaciones con un 97% de confianza.
b) ¿De qué tamaño tendría que ser la muestra para hacer dicha estimación con un error menor de 30 euros, con una confianza del
97%?
16. [CANA] [JUN-B] Una multinacional asegura que sus empresas franquicias arrojan normalment un beneficio de media de, al menos,
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1.8 millones de euros anuales, con una desviación típica de 0.26 milloes de euros. Para constrastar estos datos se realiza un
estudio a 36 franquicias de esta empresa, obteniéndose una media de 1.7 millones de euros de beneficios.
a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afrimación de la multinacional?
b) ¿Qué podemos decir si el nivel de significación es del 0.5%?
17. [CANA] [SEP-A] La pensión de los jubilados de una región es una normal de media 750 euros y una desviación típica de 100 euros.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un jubilado de esa región tenga una pensión de, al menos, 850 euros?
b) Para una muestra de 200 jubilados de esa región, ¿cuál es la estimación del número que tienen una pensión entre 600 y 800
euros?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la pensión media de una muestra de 100 jubilados sea menor o igual que 700 euros?
18. [CANA] [SEP-A] Para una muestra de 256 jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años y con trabajo, el salario medio
resultó igual a 850 euros. Si la desviación típica es igual a 150 euros,
a) Determinar un intervalo de confianza al 95% para la media del salario de jóvenes sin estudios superiores, menores de 30 años
y con trabajo.
b) Con un nivel de significación del 10%, ¿hay evidencias para rechazar que la media del salario de los jóvenes sin estudios
superiores, menores de 30 años y con trabajo, es como máximo 830 euros?
19. [CANA] [SEP-B] En el año 2006 se hizo un amplio estudio y se concluyó que, como máximo, el 63% de los adultos tenía teléfono
móvil. Para contrastar si esta proporción se mantiene, a principios de 2008 se encuestaron a 160 adultos de los cuales 110 tenían
teléfono móvil.
a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta que la proporción de adultos con teléfono móvil sigue siendo, como máximo, del
63%?
b) Y si la encuesta hubiese sido sobre 224 personas, de las cuales 154 tenían teléfono móvil, con un nivel de significación del 5%,
¿se tomaría la misma decisión?
20. [CANA] [SEP-B] A 40 camioneros se les preguntó cuánto gasoil gastaban a la semana, obteniéndose un consumo medio de 180
litros con una desviación típoca de 35 litros.
a) Determinar un intervalo, al 96% de confianza, para el consumo medio semanal de gasoil.
b) ¿A cuántos camioneros habría que preguntar para obtener una estimación del consumo medio semanal con un error menor de 4
litros y con una confianza del 97%?
21. [EXTR] [JUN-B] En una ciudad se está realizando un estudio para comprobar si los alumnos matriculados en secundaria utilizan
internet para el estudio. En la ciudad hay 900 alumnos matriculados en 1º de E.S.O., 1360 en 2º de E.S.O., 1280 en 3º de E.S.O. y
940 en 4º de E.S.O. Se selecciona mediante muestreo estratificado aleatorio una muestra de 672 alumnos con afijación
proporcional.
a) ¿Cuántos alumnos de cada uno de los cursos hay en la muestra?
b) Si en 4º de E.S.O. contestan afirmativcamente 120 alumnos, ¿cuál es la estimación de la proporción de alumnos que utiliza
internet en ese curso?
c) Para un nivel de confianza del 95%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior.
Justificar las respuestas.
22. [EXTR] [SEP-B] Una bioblioteca desea estimar el porcentaje de libros que posee. La biblioteca está compuesta de 4 salas (Norte,
Sur, Este y Oeste) con 2500, 2740, 4000 y 6900 libros, respectivamente. Se selecciona mediante muestreo estratificado una
muestra del 5% de los libros con afijación proporcional.
a) ¿Cuántos libros de cada una de las salas hay en la muestra?
b) Si en la muestra de la sala Sur hay 30 libros infantiles, ¿cuál es la estimación de la proporción de libros infantiles en esa sala?
c) Para un nivel de confianza del 90%, obtener el error máximo cometido con la estimación puntual anterior.
Justificar las respuestas.
23. [MADR] [JUN-A] Se supone que el tiempo medio diario dedicado a ver TV en una cierta zona se puede aproximar por una variable
aleatoria con dsitribución normal de media  y desviavión típica igual a 15 minutos. Se ah tomado una muestra aleatoria simple de
400 espectadores de TV en dicha zona, obteniéndose que el tiempo medio diario dedicado a ver TV es de 3 horas.
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a) Determínese un intervalo de confianza para  con un nivel de confianza del 95%.
b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error en la estimación de  sea menor o igual que 3 minutos, con un
nivel de confianza del 90%?
24. [MADR] [JUN-B] Se supone que el precio (en euros) de un refresco se puede aproximar por una variable aleatoria con
distribución normal de media  y desviación típica igual a 0,09 euros. Se toma una muestra aleatoria simple del precio del
refresco en 10 establecimientos y resulta:
1,50 ; 1,60 ; 1,10 ; 0,90 ; 1,00 ; 1,60 ; 1,40 ; 0,90 ; 1,30 ; 1,20
a) Determínese un intervalo de confianza al 95% para .
b) Calcúlese el tamaño mínimo que ha de tener el tamaño de la muestra elegida para que el valor absoluto de la diferencia entre la
media muestral y  sea menor o igual que 0,10 euros con probabilidad mayor o igual que 0,99.
25. [MADR] [SEP-A] Se supone que la presión diastólica en una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria
con distribución normal de media 98 mm y desviación típica 15 mm. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 9.
a) Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 100 mm.
b) Si se sabe que la media muestral es mayor que 100 mm, ¿cuál es la probabilidad de que sea también menor que 104 mm?
26. [MADR] [SEP-B] Para determinar el coeficiente de inteligencia  de una persona se le hace constestar un conjunto de test y se
obtiene la media de sus puntuaciones. Se supone que la calificación de cada test se puede aproximar por una variable aleatoria
con distribución normal de media  y desviación típica 10.
a) Para una muestra aleatoria simple de 9 test, se ha obtenido una media muestral igual a 110. Determínese un intervalo de
confianza para  al 95%.
b) ¿Cuál es el número mínimo de test que debería realizar la persona para que el valor absoluto del error en la estimación de su
coeficiente de inteligencia sea menor o igual que 5, con el mismo nivel de confianza?
27. [MURC] [JUN-A] Se sabe que el tiempo diario que los jóvenes dedican a actividades con el ordenador sigue una distribución
normal con desviación típica de 15 minutos. Para una muestra aleatoria simple de 225 jóvenes se ha obtenido un tiempo medio de
100 minutos al día. Dar un intervalo de confianza al 90% para el tiempo diario medio dedicado al ordenador de todos los jóvenes.
28. [MURC] [JUN-B] Se sabe que la edad de los profesores de una Comunidad Autónoma sigue una distribución normal con varianza
de 5 años. Una muestra aleatoria de 200 profesores de dicha Comunidad tiene una media de 45 años. ¿Se puede afirmar con un
nivel de significación del 0,05 que la media de todos los profesores de la Comunidad es de 46 años?
29. [MURC] [SEP-A] Se sabe que el ingreso anual por hogar en España es una variable normal de media 29400 euros y desviación
típica de 17400 euros. Se extrae una muestra aleatoria simple de 400 hogares de la Comunidad de Murcia obteniéndose un
ingreso anual medio por hogar de 26600 euros. Suponiendo que el ingreso anual por hogar en la Comunida de Murcia es una
variable normal con la misma desviación típica, decidir con un nivel de significación del 5% si existe una diferencia significativa
entre el ingreso anual medio por hogar en España y el ingreso anual medio por hogar en la Comunidad de Murcia.
30. [MURC] [SEP-B] Una muestra aleatoria de 150 viviendas de una población tiene un precio medio por metro cuadrado de 2950
euros. Suponiendo que el precio por metro cuadrado es una variable normal con desviación típica de 600 euros, ¿entre qué límites
se encuentra el verdadero precio medio por metro cuadrado de todas las viviendas de la población con un nivel de confianza del
0,99?
31. [RIOJ] [JUN] Conocemos que el tiempo que dedican los individuos de una población al descanso nocturno sigue una distribución
normal con desviación típica 40 minutos.
a) Si la media poblacional es de 450 minutos y se elige una muestra de 36 individuos de esa población, determina la probabilidad
de que el tiempo medio de descano nocturno entre los individuos de la muestra esté entre 440 y 460 minutos.
b) A diferencia del apartado anterior, desconocemos la media poblacional. Si una muestra de tamaño 36 arroja un descanso medio
de 445 minutos, calcula el intervalo de confianza para la media poblacional con 95% de probabilidad.
32. [RIOJ] [SEP] La edad de los trabajadores de una región sigue una distribución normal de media 40 años y desviación típica 7
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años.
a) Tomamos una muestra de 36 trabajadores. Calcula la probabilidad de que la edad media de la muestra esté entre 38 y 42 años.
b) Calcula el intervalo característico correspondiente a una probabilidad edel 90% para las medias de muestras de tamaño 36.
c) Calcula el tamaño que debe tener la muestra para que el intervalo calculado en el aparatado anterior tenga la mitad de longitud
(manteniendo el 90% de probabilidad).
Soluciones
1. a) H0:   10; H1:  > 10 b) (-,10'012) c) es a lo sumo 10 cm 2. a) 40 b) 139 3. a) H0:   70; H1:  > 70 b) (71'464,+) c) si 4. a) N(50,1) b) 0'9876 5. a) 24,
0'4 b) (23'34,24'66) 6. 42, 55 7. a) H0:   65; H1:  > 65 b) no 8. a) H0: p  0'1; H1: p < 0'1 b) no 9. a) H0:   125; H1:  < 125 b) es inferior 10.
(18'534,19'466); no se ajustan 11. (47'83,52'17); no 12. (19952'03,20137'97) 13. (19976'38,20113'62) 14. a) (48'04,51'96) c) menor confianza y/o mayor
muestra 15. (1720'9,1807'1); 349 16. no, si 17. 0'1587, 125, 0'0228 18. (831'625,868'375); si 19. si, no 20. (168'66,191'34), 361 21. a) 135, 204, 192, 141 b)
13% c) 0'02 22. a) 125, 137, 200, 345 b) 22% c) 0'058 23. (2'9755,3'0245); 68 24. (1'194,1'206); 6 25. 0'3466, 0'666 26. (103'47,116'53); 16 27.
(98'355,101'645) 28. no 29. si 30. (2823'85,3076'15) 31. 0'8664; (431'93,458'08) 32. 0'9128; (38'08,41'92); 144
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