8. COMPOUND ANGLES Synopsis : 1. i) cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B ii) cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B 2. i) sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B ii) sin (A – B) = sin A cos B − cos A sin B 3. 4. 5. i) tan (A + B) = tan A + tan B 1 − tan A tan B ii) tan (A – B) = tan A − tan B 1 + tan A tan B i) cot (A + B) = cot A cot B − 1 cot B + cot A ii) cot (A – B) = cot A cot B + 1 cot B − cot A sin (A + B) sin (A – B) = sin2A − sin2B = cos2B − cos2A 6. cos (A + B) cos (A – B) = cos2A − sin2B = cos2B − sin2A 7. π i) tan⎛⎜ + A ⎞⎟ ⎝4 = ⎠ = π ⎝4 ii) tan⎛⎜ − A ⎞⎟ = ⎠ = 8. 1 + tan A 1 − tan A cos A + sin A cos A − sin A 1 − tan A 1 + tan A cos A − sin A cos A + sin A i) sin (A + B + C) = ∑ (sin A cos B cos C) − sin A sin B ∑(sin A sin B cos C) ii) cos (A + B + C) = cos A cos B cos C – iii) tan (A + B + C) = 9. tan A + tan B + tan C − tan A tan B tan C 1 − tan A tan B − tan B tan C − tan C tan A i) sin 15° + cos 15° = 3 / 2 = sin 75° + cos 75° ii) cos 15° – sin 15° = 1/ 2 = sin 75° – cos 75° 1 Compounds Angles 10. i) tan 15° + cot 15° = 4 = tan 75° + cot 75° ii) cot 15° − tan 15° = 2 3 = tan 75° – cot 75° 11. i) sin 105° = cos15° = 3 +1 2 2 ii) cos 105° = – sin 15° = 1− 3 2 2 12. i) tan 105° = – cot 15° = – 2 – 3 ii) cot 105° = – tan 15° = 3 − 2 13. i) If tan α = m 1 , tan β = , then m+1 2m + 1 tan (α + β) = 1 ii) If tan α = m+1 1 , tan β = , then tan m 2m + 1 (α − β) = 1. 14. i) cos θ – cos (60° + θ) − cos (60° − θ) = 0 ii) cos θ + cos (120° + θ) + cos (120° − θ) = 0 iii) cos θ + cos (240° + θ) + cos (240° − θ) = 0 iv) sin θ – sin(60° + θ) + sin (60° – θ) = 0 v) sin θ + sin (120° + θ) – sin (120° – θ) = 0 vi) sin θ + sin (240° + θ) – sin (240° – θ) = 0 15. i) If A + B = 45°, then (1 + tan A) (1 + tan B) = 2 ii) If A + B = 135°, then (1 – tan A) (1 – tan B) = 2 iii) If A + B = 225°, then (1 + tan A) (1 + tan B) = 2 iv) If A + B = 45°, then (1 – cot A) (1 – cot B) = 2 v) If A + B = 135°, then (1 + cot A) (1 + cot B) = 2 vi) If A + B = 225°, then (1 + cot A )(1 + cot B) =2 cot A cot B 16. i) tan (45° + θ) tan (45° – θ) = 1 ii) cot (45° + θ) cot (45° – θ) = 1 2