Trigonometry – 1 Exercise – 2 (C) 1. (A) A BC & C C sin A k sin 2 2 C sin A 2 k C sin 2 By componendo and dividendo C C sin A sin k 1 2 2 C C k 1 sin A sin 2 2 AC A 2sin cos 2 2 A AC 2sin cos 2 2 AC B tan cot 1 2 2 A B A A tan tan tan tan 2 2 2 2 tan 2. A B k 1 tan 2 2 k 1 3 cot 76 cot16 cot 76 cot16 Now cot 76 cot16 (supplementary angles) sin(92 ) sin 88 sin 76 sin16 sin 76 sin16 also 1 cot 76 cot16 L.H.S. cos 76 16 sin 76 sin16 1 2sin 76 sin16 3 cot 76 cot16 cot 76 cot16 2 1 cot 76 cot16 cot 76 cot16 1 2sin 76 sin16 sin 88 sin 76 sin16 2 4sin 76 sin16 1 sin 88 2 cos(60 ) cos 92 1 sin 88 2 1 cos92 2 2 cos 92 sin 88 sin 88 2 sin 2 46 sin 88 1 2 2 cos 92 1 2 sin 88 2 cos 2 44 2sin 44 cos 44 cot 44 tan 46 3. (A) 89 2sin sin 45 2 v N : 2(sin1 sin 2 ........ sin 89 ) 1 sin 2 Dv : 2(cos1 cos 2 ...... cos 44 ) 1 2sin 22 cos 452 1 sin 2 1 1 89 sin sin 2 2 1 1 sin 2 89 89 sin sin 2 1 1 2 1 1 sin sin 2 2 89 2sin sin 45 2 1 sin Nv 2 v D 89 sin 2 1 sin 2 2sin 45 4. 2 sin 2x 2024 5 9 x , 2025 4 4 (sin x cos x) 2 1 sin 2x 1 (sin x cos x) i.e. sin x cos x 2024 2025 1 45 1 45 But range of x is given for 5 9 x 4 4 sin x < cox x < 50 hence sin x + cos x should be negative sin x cos x 5. (D) 1 45 B c a C A b A a b sin A ; cos A c c 2 2 c c cos ec A sec A a b 1 1 sin A cos A 2 A is acute sin A cos A 4 1 sin 2A sin 2 A cos 2 A 4 1 sin 2A sin 2 2A 4sin 2 A cos 2 A 4 cos ec2 2A cos ec2A so if cosec 2A is min. then L.H.S. is min. cos ec2A 0 2A 0, least value of cosec 2A= 1 least value of L.H.S.= 4 (1 + 1)= 8 6. (D) tan 4 tan 2 1 tan 2 3 tan 2 sin 6 1 tan 3 tan 1 tan 3 tan cos 4 cos 2 cos 4 cos2 cos 3 cos cos 3 cos sin 6 cos 4 cos 2 2sin 3 cos 3 2 tan 3 sec 2 2 2 cos 3 cos 7. (D) A cot x cot 60 x cot 120 x cot A B 1 cot A cot B 1 tan A B cot A cot B cot 60 cot x 1 cot120 cot x 1 A cot x cot 60 cot x cot120 cot x Let cot x 1 3 A 1 3 1 3 1 3 3 3 3 1 3 1 A 3 A 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 3 2 3 3 3 3 2 3 A 3 2 1 A 8 3 2 1 A 33 8 3 2 1 A 33 9 3 2 1 cot x A 3cot 3 9cot x 3cot 2 x 1 A 3 9 tan 2 x 3tan x tan 3 x 8. a cosec bsec a b sin cos a cos b sin sin cos a b a 2 b2 cos sin 2 2 a 2 b2 a b sin 2 2 sin cos cos sin 2 a 2 b2 sin 2 sin 2 a 2 b2 sin 2 2 a 2 b2 sin 3 3 sin 2 2 a 2 b2 9. A B 90 A B 45 2 2 Take tan on both sides A B tan tan 2 2 1 A B 1 tan tan 2 2 Cross multiply and solve we will get A B 1 tan 1 tan 2 2 2 10. A 340 A A 1 sin A cos sin 2 2 cos 2 A A sin 2 2 A 170 then 2 cos A A sin is negative 2 2 1 sin A cos cos A A sin 2 2 A A sin 2 2 A A 1 sin A cos sin 2 2 cos sin 2 A A sin 2 2 A A cos 2 2 sin 1 sin A 1 sin A 2sin 11. (A) p sin 20 cos 20 p 2 1 sin 40 or sin 40 1 p 2 A 2 A A cos 2 2 cos 40 1 sin 2 40 1 1 p 2 1 1 p 1 p 2 p p 2 2 2 2 1 2 cos 40 p 2 p2 cos 40 p 2 p2 12. (C) sin P 2 P 1 tan 2 2 2 tan P tan 2 P 2 tan 0 2 2 P tan 2 2 tan P 0 2 2 Now product of the roots So if one root is tan other is cot 2 2 equation with roots tan 13. (B) cos 290 sin 20 sin 250 cos 20 C P 1 A P and cot is px 2 2x p 0 2 2 1 sin 20 1 3 cos 20 3 cos 20 sin 20 3 sin 20 cos 20 3 1 2 cos 20 sin 20 2 2 3 sin 40 2 4 sin 60 20 sin 40 3 14. 4 4 3 3 3 (B) xy xy sin x sin y a 2sin cos 2 2 xy xy cos x cos y b 2 cos cos 2 2 xy a tan 2 b a 2 2ab b sin x y 2 2 a b2 a 1 b 15. sec (C) 3 sin sin cos 4 10 10 20 sin 4 10 sin cos 10 10 cos 4 sin cos cos sin sin cos 4 10 4 10 10 10 = 0 cos 4 1 sin 4 cos 4 2 16. (A) 3 4 2 1 cot tan sin 2 2cos sin 1 cot sin 2 sin cos ………. cot cot 2 2 sin 2 cot ………. sin cos cot sin 3 4 ………… 0 ……….. cot 1 1 cot cot so 1 cot will be negative 1 cot cot =–1 17. (A) 1 tan11 1 tan 34 1 tan17 1 tan 28 If A B 45 (1 + tan A) (1 + tan B) = 2 Easy to prove just write A B 45 Take tan on both sides tan (A + B) = 1 tan A + tan B = 1 1 – tan A tan B 4 and you will get the result 1 tan11 1 tan 34 2 1 tan17 1 tan 28 2 2 1 2 Ans 18. 4cos 2 9 3 4cos 27 3 = (Multiply by cos 9 and divide) = (Multiply & divide by cos 27 ) 4 cos 3 9 3cos 9 4 cos 3 cos 9 27 3cos 27 cos 27 cos 27 cos81 sin 9 tan 9 cos 9 cos 27 cos 9 19. 4sin 9 sin 21 sin 39 sin 51 sin 69 sin 81 sin 54 4 sin 9 sin 51 sin 69 sin 21 sin 39 sin 81 sin 54 sin 27 sin 63 4 4 4 sin 54 1 sin 27 cos 27 1 4 sin 54 8 20. cos 2 cos sin cos 2 2cos 2 1 2 cos sin 1 sin cos 2 1 1 2 sin cos 2 2 2 2 sin cos 45 cos sin 45 2 sin 45 2 2sin 2 4 2sin 2 4 21. (B) sin 1765 sin 1800 35 sin 20 90 35 sin 35 sin 325 sin 35 cos ec 1465 cos ec 1465 cos ec 1440 25 cos ec 16 90 25 cos ec 25 sec 295 cos ec25 Ans 0 2 22. 13 3 5 1 5 1 1 sin sin sin sin 10 10 10 10 4 4 2 2 2 2 sin 2 cos cos sin 6 10 10 6 5 1 2 1 4 4 5 1 2 5 4 1 5 16 8 L.H.S. 5 1 16 23. 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin 2 2 2 cos 2 sin 2 2 2 ; 2 2 2 cos sin sin 2 2 cos sin 2 2 cos cos cos 2 2 sin 2 2 cos sin 2 2 cos 1 cos 2 cos 2 Q2 2 2 2 cos 2 sin 2 2 cos sin 2 2 cos tan 4 2 24. (C) cos 2 x cos 1 x 0 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos2 2 1 cos 2 2 cos cos 2 1 2 cos 2 2 cos 2 1 1 2 cos 3 2 2 max 3 25. (B) sin1 sin1c 26. 57 (A) sin 2 1c x 2 y2 2xy 1x y 2 y x 0 sin 2 1 For positive x 1x y , I y 2 y x A.M. G.M. L.H.S. 1 and R.H.S. 1 , so they can be equal only when both L.H.S. = R.H.S. = 1 so 27. x 1 xy y (C) 5tan 4 implies tan 4 5 sin cos k 4 5 sin 4k & cos 5k 5sin 3cos 5(4k) 3(5k) 5sin 2 cos 5(4k) 2(5k) k(20 15) 1 k(20 10) 6 28. (A) sin x cos x 2 sin x 1 2 sin x sin 2 x 2sin x 1 0 sin x 1 2 0 sin x = 1 sin n x cos ecn x 1n 1n 2 29. cos (B) 6 5 2 4 3 cos , cos cos cos , cos 7 7 7 7 7 7 L.H.S. cos cos 2 3 4 5 6 7 cos cos cos cos cos cos 7 7 7 7 7 7 7 2 3 3 2 cos cos cos cos cos cos 0 (1) 1 7 7 7 7 7 7 30. (B) sin 4 cos 4 1 2sin 2 cos 2 1 0 sin 2 2 2 sin 2 2 1 2 2 1 sin 2 2 0 2 2 1 sin 2 2 1 1 2 2 31. (D) cot 0 , sin 2 ? sin 2 sin sin cos cos sin sin cos 0 cot 0 cos 0 sin 2 1 sin 1 sin 2 cos 32. (D) 1 sin 1 , sin 2 , sin 3 1 so, sin 1 sin 2 sin 3 3 1 2 3 90 and cos 1 cos 2 cos 3 = 0 33. cos ec cot 9 cos ec cot 1 cos ec cot 1 q cos ec cot 1 cos ec cot q q cos ec cot 1 q 2 cos ec q cos ec 34. 1 1 q 2 q (B) 4n A tan tan 2..........tan 2n 2 tan 2n 1 1st and last term tan tan 2n 1 tan tan tan 2n 1 4n 4n tan cot 1 tan 4n 4n 4n 2 4n 2nd and 2nd last term 2 tan 2 tan 2n 2 tan tan (2n 2) 4n 4n 2 2 2 2 tan tan tan cot = 1 4n 2 4n 4n 4n so like that all terms will become 1 and middle term will be tan 45 1 35. (C) sin x sin 2 x 1 ……….. ( 1 ) A cos12 3cos10 x 3cos8 x cos6 x 2 cos6 x cos6 x 3cos4 x 3cos 2 x 1 2 cos 6 x cos 2 x 1 2 3 From (1) sin x 1 sin 2 x sin x cos 2 x ………. cos 6 x sin x 1 cos 2 x(sin x 1) A cos6 x sin x 1 2 3 3 sin 2 x sin x 2 3 1 2 1 3 36. (A) cos(A B) 3 5 tan A tan B = 2 sin A sin B = 2 cos A cos B cos A cos B sin A sin B 3cos A cos B cos A cos B ………..(1) 3 5 3 5 1 2 & sin A sin B 5 5 …….from (1) 3 37. (D) 1 2 3 cos 23 1 sin 23 3 cos 23 sin 23 4 2 4 2 1 sin(60 23 ) 2 1 sin 37 2 1 cos 53 2 38. (D) 100 125 225 taking tan on both sides tan 100 125 tan 100 tan 225 tan125 1 tan100 tan125 1 tan100 tan125 1 tan100 tan125 tan100 tan125 tan100 tan125 1 39. (B) tan 20 40 tan 60 3 tan 20 tan 40 3 1 tan 20 tan 40 tan 20 tan 40 3 tan 20 tan 40 3 40. f 0 cot 1 1 cot 1 tan f f 1 1 tan 1 tan it is easy to prove that if 5 then, 4 5 use 4 then take tan on both sides 1 tan 1 tan 2 f f 41. 1 2 (A) tan A 6 ABC tan A, tan B 2 tan A tan A 6 tan A tan A tan B tan C 6 3 2 tan C = 3 tan A tan B tan C 6 tan A tan B 3 tan A tan B 2 tan A, tan B are roots of x 2 3x 2 0 x = 1, 2 so, tan A = 1, tan B = 2, tan C = 3