Tema A - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
R
Primer Parcial MATE1207 Cálculo Vectorial (Tema A) 1
RR
AD
O
Instrucciones:
Lea cuidadosamente y conteste cada pregunta en la hoja asignada. Escriba
con bolı́grafo negro. No desprenda las hojas. Durante el examen no puede
hablar con compañeros, no puede usar calculadora, celular, apuntes,
cuadernos, textos ni aparatos electrónicos. Escriba todo su análisis si desea
recibir el máximo puntaje. Buena suerte. Tiempo: 120 minutos.
Points
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
Total:
50
BO
Question
Score
Chequee su sección en la tabla−→
Sección
Profesor
01
Mauricio Velasco Grigori
06
Mikhail Malakhaltsev
11
Paul Bressler
16
Andrés Angel
21
Edgar Rincon Pabon
26
Marco Boggi
28
Paul Bressler
29
Hernando Echeverri
Mi sección
Nombre:
Código:
Firma:
Bogotá, Septiembre 13, 2014
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que
pueden conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la
integridad de mis compañeros o de la misma Universidad”
Código:
1. (10 points)
Tema A
Pág. 2 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su res-
R
puesta es incorrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
RR
AD
O
Encontrar los puntos en el gráfico de la función z = f (x, y) = x2 + xy + y 2 donde el plano
tangente al gráfico es paralelo al plano x + y + z = 0.
Respuesta:
Solución:
Solution: El vector normal al plano tangente a la grafica de la función f es hfx , fy , −1i =
h2x + y, x + 2y, −1i.
Como el vector normal al plano x + y + z = 0 es h1, 1, 1i, el plano tangente es paralelo
al plano x + y + z = 0 si y sólo si existe λ tal que
2x + y = λ,
x + 2y = λ,
−1 = λ.
Entonces, 3x + 3y = −2, x − y = 0. Por lo tanto x = y = −
Respuesta:
2
2 2
1
y z = f (− , − ) = .
6
6 6
3
2 2 1
(− , − , )
6 6 3
BO
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
Vector normal al plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Vector normal a la superficie en (x,y,z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Plantear que los vectores son paralelos ssi uno se obtiene del otro multiplicando por
alguna constante λ o por plantear que el producto cruz entre los dos vectores normales
debe ser cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Solucion correcta de la ecuacion de paralelismo planteada anteriormente . . . . . . . . . . . . 3
Problema 1 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
Pág. 3 de 15
BO
RR
AD
O
R
Prob. 1 cont.. . .
Código:
2.
Tema A
Pág. 4 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es inco-
La altura de una montaña se describe por la función z = x2 − 3y 2 .
R
rrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
RR
AD
O
(a) (5 points) ¿A qué tasa cambia la altura de la montaña en la dirección de vector ~v =
~i − ~j en el punto Q(2, 2)?
(b) (5 points) Una bola pesada está bajando por la montaña siguiendo el camino de más
rápido descenso y pasa por el punto P (2, 2, −8). Encontrar una ecuación de la recta l
tangente a la trayectoria de la bola a lo largo de la montaña en el punto P .
Respuesta: (a)
(b)
Solución:
~ = h2x, −6yi = 2hx, −3yi. Entonces, ∇z(2,
~
Solution: Tenemos: ∇z
2) = 2h2, −6i =
√
~
4h1, −3i y |∇z(2, 2)| = 4 10.
~v
1
= √ h1, −1i. Entonces, |~u| = 1 y ~u es paralelo a ~v . La tasa de cambio
|~v |
2
de la altura está dada por
BO
(a) Sea ~u =
√
1
16
~
D~u z = ∇z(2,
2) • ~u = 4h1, −3i • √ h1, −1i = √ = 8 2.
2
2
(b) La directión de la recta l tangente en el punto P (2, 2, −8) a la trayectoria de la
1
−3 √
bola está dada por h √ , √ , 4 10i. (Los dos primeros componentes son los de
10 10
1
~
vector unitario
∇z(2,
2).) Por lo tanto, la recta l es parametrizada por
~
|∇z(2,
2)|
√
−3 √
1
−3
~l(t) = h2, 2, −8i + th √1 , √
, 4 10i = h2 + √ t, 2 + √ t, −8 + 4 10ti.
10 10
10
10
Solución alternativa: (b) La bola debe moverse en la directión determinada por el
~
vector ∇z(2,
2) = 2h2, −6i = 4h1, −3i. Entonces, la directión de la recta l tangente en
d el punto P (2, 2, −8) a la trayectoria de la bola está dada por h1, −3, ((2 + t)2 −
dt
t=0
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 2 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 5 de 15
R
3(2 − 3t)2 )i = h1, −3, 40i. Por lo tanto, la recta l tangente en el punto P (2, 2, −8) a la
trayectoria de la bola es parametrizada por
x(t) = 2 + t, y(t) = 2 − 3t, z(t) = −8 + 40t
RR
AD
O
√
8 2
Respuesta: (a)
(b)
√
1
3
x(t) = 2 + √ t, y(t) = 2 − √ t, z(t) = −8 + 4 10t
10
10
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
a) Buscar la tasa de cambio de una función de tres variables x, y y z . . . . . . . . . . . . . . . 0
Encontrar correctamente el valor del gradiente de la función z = z(x, y) . . . . . . . . . . . . 2
b) Del comienzo tomar una función de tres variables y hacer algunas manipulaciones
con ella que no tienen ningún sentido en el contexto del ejercicio (¡algunos estudiantes
llegaron a la recta normal a la montaña!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0
BO
Comenzar la solución correctamente (!) y encontrar los valores de dos primeras coordenadas del vector director de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Problema 2 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
Pág. 6 de 15
BO
RR
AD
O
R
Prob. 2 cont.. . .
Código:
3.
Tema A
Pág. 7 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es inco-
R
rrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
3.5
3
2.5
2
1.5
1
2
RR
AD
O
La figura contiene un dibujo de la curva C dada implicitamente por x2 − 3xy + y 3 − 7 = 0.
4
3
4
5
6
7
8
(a) (2 points) Demuestre que el punto (4, 3) pertenece a la curva.
(b) (3 points) Demuestre que existe una funcion diferenciable f (x) cuya grafica coincide
con la curva C en alguna vecindad del punto (4, 3).
(c) (3 points) Calcule f (4) y f 0 (4).
BO
(d) (2 points) Marque claramente un punto (x0 , y0 ) en la figura tal que la curva C NO
SEA la gráfica de una función diferenciable y = h(x) cerca del punto (x0 , y0 ). Explique
con palabras por qué escogió ese punto.
Respuesta: (c)
Solución:
Solution: a) 42 − 3 · 4 · 3 + 33 − 7 = 16 − 36 + 27 − 7 = 0
b) Sea F (x, y) = x2 − 3xy + y 3 − 7. Entonces, Fx = 2x − 3y y Fy = −3x + 3y 2 . En el
punto (4, 3) tenemos Fx (4, 3) = −1 y Fy (4, 3) = 15.
Ya que Fy (4, 3) 6= 0 el teorema de la función implı́cita implica que existe una funcion
diferenciable f (x) definida en alguna vecindad de 4 tal que f (4) = 3 y F (x, f (x)) = 0,
es decir, la gráfica de f coincide con la curva C en alguna vecindad del punto (4, 3).
d
c) F (x, f (x)) = 0 implica
F (x, f (x)) = Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x))f 0 (x) = 0. En el
dx
1
punto (4, 3) tenemos Fx (4, 3) + Fy (4, 3)f 0 (4) = −1 + 15f 0 (4) = 0, entonces, f 0 (4) = .
15
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 3 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 8 de 15
R
Alternativamente, x2 − 3xy + y 3 − 7 = 0 implica 2x − 3y − 3xy 0 + 3y 2 y 0 = 0. En el punto
(4, 3) tenemos 8 − 9 − 12y 0 + 27y 0 = 0, i.e. −1 + 15y 0 = 0.
RR
AD
O
d) El punto donde la recta tangente es vertical tiene coordinados (6, 2,5).
1
f (4) = 3, f 0 (4) =
Respuesta: (c)
15
Pautas de corrección:
Reglas generales:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
(a) Si se sustituye el punto en la ecuacion de la curva y se verifica que la satisface. . 2
(b) Para usar el Teorema de la funcion implicita es necesario aplicarlo a alguna funcion
diferenciable F (x, y) (que NO debe confundirse con la funcion diferenciable f(x) cuya
existencia queremos demostrar asi que):
Si no se define claramente la funcion F (x, y) de DOS variables a la que aplicamos el
teorema de la funcion implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
Si se calcula la derivada parcial incorrecta de F (x, y) (o incluso si se calculan las dos y
no hay una explicacion acerca de que se esta haciendo en la solucion) . . . . . . . . . . . . . . -1
BO
Como puntaje total en (b) si hay confusion entre F (x, y) y f (x) o si el razonamiento
no es claro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
(c)
por calculo correcto de f (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
por calculo correcto de f 0 (4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
(d)
Si el punto no pertenece a la curva C o si es un punto en la curva C que no cumple la
condición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Si el punto marcado es correcto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Si la justificacion es correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Problema 3 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
Pág. 9 de 15
BO
RR
AD
O
R
Prob. 3 cont.. . .
Código:
4.
Tema A
Pág. 10 de 15
Si su respuesta y justificación son correctas obtendrá el máximo puntaje. Si su respuesta es inco-
R
rrecta podrá obtener créditos parciales de acuerdo a su justificación.
Sea Γ la curva obtenida como intersección del cilindro x2 + y 2 = 1 y el cilindro parabolico
z = y2.
RR
AD
O
(a) (5 points) Hallar la recta tangente a la curva Γ en el punto (0, −1, 1).
(b) (5 points) Hallar la curvatura de la curva Γ en el punto (0, −1, 1).
Respuesta: a)
b)
Solución:
Solution: a) Las ecuaciones paramétricas de la curva son:

 x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t) ,
0 ≤ t ≤ 2π.
~r(t) :

z(t) = sin(t)2
BO
d~r
Por lo tanto,
= h− sin(t), cos(t), 2 sin(t) cos(t)i = h− sin(t), cos(t), sin(2t)i. Es cierto:
dt
3π
d~r 3π
~r
= h0, −1, 1i y
= h1, 0, 0i. Sigue que la recta tangente a la curva dada
2
dt 2
en el punto (0, −1, 1) tiene ecuaciones paramétricas:

 x(t) = t
y(t) = −1

z(t) = 1.
d2~r
d2~r 3π
b) Es cierto: 2 = h− cos(t), − sin(t), 2 cos(2t)i y 2
= h0, 1, −2i. Por lo tanto:
dt
dt
2
d~r 3π
d2~r 3π
× 2
= h1, 0, 0i × h0, 1, −2i = h0, −2, 1i.
dt 2
dt
2
Sigue:
κ
3
π
2
=
k (0, −2, 1) k √
= 5.
1
Solución alternativa parte a):
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 4 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 11 de 15
R
Encontraremos un vector normal al plano tangente de cada superficie y haremos el
producto cruz para obtener un vector director de la recta tangente.
Un vector normal al cilindro x2 + y 2 = 1 es el gradiente de la funcion x2 + y 2 − 1
(2x, 2y, 0)
RR
AD
O
Un vector normal al cilindro parabolico z = y 2 es el gradiente de la funcion y 2 − z
(0, −2y, −1)
Evaluando en el punto (0, −1, 1) tenemos los vectores: (0, −2, 0) y (0, 2, −1) su producto
cruz es:
(2, 0, 0)
por lo que la parametrizacion de la recta tangente es:
(0, −1, 1) + t(2, 0, 0)
Solución alternativa 2 parte a):
√
Tomamos x = t, de la primera ecuacion y = ± 1 − t2 y de la segunda z = 1 − t2 .
Entonces la parametrizacion de la interseccion,
√
r(t) = (t, ± 1 − t2 , 1 − t2 )
BO
escogemos el signo de la raiz dependiendo del punto, en el caso de (0, −1, 1) es menos.
Para encontrar el vector director de la recta tangente derivamos
t
r0 (t) = (1, √
, −2t)
1 − t2
y evaluamos en t = 0 para obtener r0 (0) = (1, 0, 0) por lo que la ecuacion parametrica
de la recta tangente es:
(0, −1, 1) + t(1, 0, 0)
√
CUIDADO: si se toma y = t, entonces de la primera ecuacion x = ± 1 − t2 y z = t2 ,
la parametrizacion en este caso es:
√
r(t) = (± 1 − t2 , t, t2 )
para que pase por (0, −1, 1) necesitamos t = −1 y
±t
r0 (t) = ( √
, 1, 2t)
1 − t2
±t
pero √1−t
2 no esta definido para t = −1, es decir esta parametrizacion no es diferenciable
y no se puede usar para encontrar la recta tangente.
x(t) = t, y(t) = −1, z(t) = 1
Respuesta: a)
b)
√
5
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Prob. 4 cont.. . .
Código:
Tema A
Pág. 12 de 15
Reglas generales:
R
Pautas de corrección:
Cada error en cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
RR
AD
O
Cada error aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1
El “camino” sin solución correcta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0
Créditos parciales:
(a)
Encontrar t0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
d~r
Calcular
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
dt
Dar ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
(b)
d~r Calcular dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
d2~r
.......................................................................2
dt2
d~r d2~r
× 2 y calcular la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Calcular
dt
dt
Errores comunes:
Calcular
NO encontrar t0 o evaluar en un t0 arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -2
Usar la recta encontrada en la parte a) para calcular la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . .-4
BO
Error al encontrar la parametrizacion ~r(t) . . . . -2 puntos en numeral a) y -2 puntos en
numeral b)
Usar una parametrizacion no diferenciable en el punto y obtener un vector tangente -2
Encontrar un vector normal a una de las superficies y usarlo como vector director de la
recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-5
Manipular las ecuaciones para obtener otra ecuacion que debe satisfacer la interseccion
y usar el gradiente de esa ecuacion como vector director de la recta tangente . . . . . . .-5
Calcular el vector normal al cilindro como un vector en R2 o como (2x, 2y, −1) . . . . -2
Problema 4 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
Pág. 13 de 15
BO
RR
AD
O
R
Prob. 4 cont.. . .
Código:
5.
Tema A
Pág. 14 de 15
No hay créditos parciales. Las cinco partes no están relacionadas.
R
Llene la casilla en blanco con F (Falso) o V (Verdadero), según sea el caso.
(a) (2 points) En algun punto la curvatura de la curva x2 + y 2 = 3 es igual a 2. . . . .
(b) (2 points) Existe una función f (x, y) tal que ambas derivadas parciales son iguales a
RR
AD
O
la función y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(c) (2 points) La función f (x, y) = cos(x) sin(y) es una solución de la ecuación diferencial
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y 2
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(d) (2 points) La longitud de la curva parametrizada ~r(t) = (2t, sin(t), cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2π,
es mayor que 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d
d~u(t)
(e) (2 points) Sean ~u(t) y ~v (t) funciones diferenciables. Entonces, (~u(t)×~v (t)) =
×
dt
dt
d~v (t)
. ..........................................................................
dt
Solution:
(a) En algun punto la curvatura de la curva x2 + y 2 = 3 es igual a 2. . . . . . . . . . . F
(b) Existe una función f (x, y) tal que ambas derivadas parciales son iguales a la
función y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
(c) La función f (x, y) = cos(x) sin(y) es una solución de la ecuación diferencial
+
= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F
BO
∂2f
∂y 2
∂2f
∂x2
(d) La longitud de la curva parametrizada ~r(t) = (2t, sin(t), cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2π, es
mayor que 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
(e) Sean ~u(t) y ~v (t) funciones diferenciables. Entonces,
d
d~u(t) d~v (t)
(~u(t)×~v (t)) =
×
.
dt
dt
dt
F
Problema 5 continúa en la página siguiente. . .
Código:
Tema A
Pág. 15 de 15
BO
RR
AD
O
R
Prob. 5 cont.. . .