Maralboran.org

81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 1
Página 188
PRACTICA
Ve c t o r e s y p u n t o s
1 Dados los puntos A(–2, 0), B(0, 4), C (5, 2) y D(3, –4) halla las coordena→
→
→
→
→
→
das de los vectores AB , BC , CD, DA, AC y BD.
→
→
AB = (0, 4) – (–2, 0) = (2, 4)
DA = (–2, 0) – (3, –4) = (–5, 4)
→
→
BC = (5, 2) – (0, 4) = (5, –2)
AC = (5, 2) – (–2, 0) = (7, 2)
→
→
CD = (3, –4) – (5, 2) = (–2, –6)
BD = (3, –4) – (0, 4) = (3, –8)
→
2 Las coordenadas del vector AB son (–3, 2). ¿Cuáles serán las coordenadas de
B si las de A son (3, –3)?
→
AB (–3, 2)
A(3, –3)
B(x, y)
(–3, 2) = (x, y) – (3, –3) → (–3, 2) = (x – 3, y + 3)
x – 3 = –3 → x = 0 
 Las coordenadas de B son (0, –1).
y + 3 = 2 → y = –1 
3 a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vectores u→ y v→?
→
→
b) Dibuja el vector u + v y di cuáles son sus coordenadas.
→
→
u
→
→
v
→
u
→
a) u (7, –3) y v (0, –3)
→
u+ v
→
v
→
→
b) u + v = (7, –3) + (0, –3) = (7, –6)
4 Dados los vectores u→(4, –2) y v→(–2, –1):
→
→ →
→
→
→
a) Representa los vectores u + v ; u – v ; 1 u y –3v y halla sus coordenadas.
2
→
→
→
b) ¿Cuáles son las coordenadas del vector w = 2u + 3v ?
→
a) u (4, –2)
→
→
→
→
→
v (–2, –1)
u + v = (4, –2) + (–2, –1) = (2, –3)
→
–3v
u – v = (4, –2) – (–2, –1) = (6, –1)
Unidad 8. Geometría analítica
v
→
→
→
→
→
u+
→
b) w = 2 u + 3 v = 2(4, –2) + 3(–2, –1) = (2, –7)
1→
–u
2
→
1→
u = 1 (4, –2) = (2, –1)
2
2
→
–3 v = –3(–2, –1) = (6, 3)
u
→
v
→
u–v
→
–v
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 2
5 a) Representa los vectores u→ = 2x→ + y→ + z→ y v→ = –x→ + 4y→ – 2z→ siendo x→(2, 2),
→
→
y (3, 0) y z (1, –2).
→
→
b) Halla las coordenadas de u y v y comprueba si son iguales.
a)
→
→
y
v
→
2x
→
–2 z
z
→
→
–x
→
u
→
→
→
→
4y
→
b) u = 2 x + y + z = 2(2, 2) + (3, 0) + (1, –2) = (8, 2)
 → →
 u=v
→
→
→
→
v = – x + 4 y – 2 z = – (2, 2) + 4(3, 0) – 2(1, –2) = (8, 2) 
6 a) Halla los puntos medios de los segmentos AC y BD.
B(0, 4)
C(4, 4)
A(–3, 0)
D(1, 0)
→
→
b) Halla las coordenadas de los vectores AB y DC y comprueba que son
iguales.
(
)( )
)( )
a) A(–3, 0) y C(4, 4) → Punto medio M = –3 + 4 , 0 + 4 = 1 , 2
2
2
2
(
B(0, 4) y D(1, 0) → Punto medio M = 0 + 1 , 4 + 0 = 1 , 2
2
2
2
→
→
b) AB = (0, 4) – (–3, 0) = (3, 4); DC = (4, 4) – (1, 0) = (3, 4)
7 El punto medio de un segmento es M(0, –3) y uno de sus extremos es (7, 2).
¿Cuál es el otro extremo?
Llamamos (x, y) a las coordenadas del otro extremo del segmento:
x+7
— = 0 → x + 7 = 0 → x = –7
2
y+2
— = –3 → y + 2 = –6 → y = –8
2

 Las coordenadas del otro extremo
 son (–7, –8).


8 Halla, en cada caso, el punto simétrico de A(–3, –5) respecto de:
a) P(–2, 0)
Unidad 8. Geometría analítica
b) Q(2, –3)
c) O(0, 0)
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
81
Pág. 3
A'(x, y) es el punto buscado.
a) P(–2, 0) es el punto medio del segmento de extremos A y A':
x–3
— = –2 → x – 3 = –4 → x = –1
2
x – 3 , y – 5 = (–2, 0)
2
y–5
2
—=0 → y=5
2
(
)
Luego: A'(–1, 5)
b) Q (2, –3)
x–3

—=2 → x–3=4 → x=7

2
 A' (7, –1)
y–5
— = –3 → y – 5 = –6 → y = –1 
2

c) O(0, 0)
x–3
—=0 → x–3=0 → x=3
2
y–5
—=0 → y–5=0 → y=5
2


 A'(3, 5)


9 a) Determina las coordenadas de los puntos
M, N y P que son los puntos medios de los
lados del triángulo ABC.
B(–1, 3)
→
M
b) Halla las coordenadas de los vectores MN,
→
→
→
→
MP y PN y comprueba que MN = 1 AC ;
2
→
→
→
→
1
1
MP = BC y PN = AB .
2
2
N
A(–4, –2)
P
C(3, –3)
a) M es el punto medio del segmento de extremos A(–4, –2) y B(–1, 3):
(
)(
M = –4 – 1 , –2 + 3 = – 5 , 1
2
2
2 2
)
N es el punto medio del segmento de extremos B(–1, 3) y C(3, –3):
(
)
N = –1 + 3 , 3 – 3 = (1, 0)
2
2
P es el punto medio del segmento de extremos A y C:
(
)(
( )(
P = –4 + 3 , –2 – 3 = – 1 , – 5
2
2
2 2
→
b) MN = (1, 0) – – 5 , 1 = 7 , – 1
2 2
2 2
Unidad 8. Geometría analítica
)
)
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
81
Pág. 4
(
)(
)
)( )
→
MP = – 1 , – 5 – – 5 , 1 = (2, –3)
2 2
2 2
(
→
PN = (1, 0) – – 1 , – 5 = 3 , 5
2 2
2 2
→
→
→
→
AC = (3, –3) – (–4, –2) = (7, –1) = 2MN → MN = 1 AC
2
→
→
→
→
BC = (3, –3) – (–1, 3) = (4, –6) = 2MP → MP = 1 BC
2
→
→
→
→
AB = (–1, 3) – (–4, –2) = (3, 5) = 2PN → PN = 1 AB
2
10 Averigua el valor de k para que se cumpla: 65 , –2 = k(–3, 5)
(
( )
6 , –2 = k(–3, 5) → 6 = –3k
5
5
–2 = 5k







k=–
)
2
5
11 Dados los vectores u→(3, 2), v→(x, 5) y w→(8, y), calcula x e y para que se ve→
→
→
rifique: 2u – v = w.
→
→
→
2 u – v = w → 2(3, 2) – (x, 5) = (8, y) → (6, 4) – (x, 5) = (8, y)
6 – x = 8 → x = –2
–1 = y
(6 – x, –1) = (8, y)
Luego: x = –2, y = –1
12 Comprueba, en cada caso, si los puntos dados están alineados:
a) A(–1, 3), B – 5 , 1 , C (–4, –2)
2 2
(
)
(
)
b) A(1, 0), B(–3, –2), C (5, 2)
a) A(–1, 3), B – 5 , 1 , C(–4, –2)
2 2
(
)
(
→
AB = – 5 , 1 – (–1, 3) = – 3 , – 5
2 2
2 2
→
AC = (– 4, –2) – (–1, 3) = (–3, –5)
)







→
→
AC = 2AB → A, B, C están
alineados.
b) A(1, 0), B(–3, –2), C (5, 2)
→
AB = (–3, –2) – (1, 0) = (– 4, –2)  4
2 → A, B, C están alineados.
→
 – =–
4
BC = (5, 2) – (–3, –2) = (8, 4)  8
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 5
13 Calcula m para que los puntos R(5, –2), S(–1, 1) y T(2, m) estén alineados.
R(5, –2), S(–1, 1) y T(2, m)
→
RS = (–1, 1) – (5, –2) = (–6, 3)  –6
→
= 3
→ –2(m – 1) = 3

m–1
ST = (2, m) – (–1, 1) = (3, m – 1)  3
–2m + 2 = 3 → –2m = 1 → m = – 1
2
Rectas
14 Escribe la ecuación de las siguientes rectas:
a) Pasa por (– 4, 2) y su pendiente es 1 .
2
b) Pasa por (1, 3) y su pendiente es –2.
c) Pasa por (5, –1) y su pendiente es 0.
a) y = 2 + 1 (x + 4) → y = 1 x + 4
2
2
b) y = 3 – 2(x – 1) → –2x + 5
c) y = –1
15 Da un vector dirección y la pendiente de la recta que pasa por A y B en
los siguientes casos:
a) A(–1, 0)
B(0, 3)
b) A(0, –2)
B(5, –2)
c) A(–2, 3)
B(4, –1)
a) A(–1, 0) y B(0, 3)
→
Un vector dirección es AB = (0, 3) – (–1, 0) = (1, 3).
La pendiente es m = 3 = 3.
1
b) A(0, –2) y B(5, –2)
→
Vector dirección: AB = (5, –2) – (0, –2) = (5, 0)
Pendiente: m = 0
c) A(–2, 3) y B(4, –1)
→
Vector dirección: AB = (4, –1) – (–2, 3) = (6, – 4)
Pendiente: m = – 4 = – 2
6
3
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 6
Página 189
16 Halla la ecuación de cada una de las rectas del ejercicio anterior. Esríbela en
forma general.
a) m = 3 y pasa por A(–1, 0) → y = 3(x + 1) → y = 3x + 3
b) m = 0 y pasa por A(0, –2) → y = –2
c) m = – 2 y pasa por A(–2, 3) → y = 3 – 2 (x + 2) → y = – 2 x + 5
3
3
3
3
17 Escribe la ecuación de las siguientes rectas:
→
a) Pasa por (1, 3) y tiene por vector dirección d(2, –1).
→
b) Pasa por (–2, 1) y tiene por vector dirección d(–1, –3).
→
c) Pasa por (3, –2) y tiene por vector dirección d(2, 0).
→
a) Si d(2, –1), la pendiente es m = – 1 .
2
La ecuación será: y = 3 – 1 (x – 1) → y = – 1 x + 7 → x + 2y – 7 = 0
2
2
2
→
b) Como d(–1, –3) → m = 3
La ecuación será: y = 1 + 3(x + 2) → y = 3x + 7 → 3x – y + 7 = 0
→
c) Si d(2, 0) → m = 0
Ecuación: y = –2
18 Halla la ecuación de las siguientes rectas:
a) Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).
b) Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).
c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa por (0, –3).
a) Pendiente de la recta y = –2x + 3 → m = –2
Ecuación: y = 5 – 2(x – 4) → y = –12x + 13 → y + 2x – 13 = 0
b) Pendiente de la recta 2x – 4y + 3 = 0: y = 1 x + 3 → m = 1
2
4
2
Ecuación: y = 1 (x – 4) → 2y = x – 4 → x – 2y – 4 = 0
2
c) Pendiente de la recta 3x + 2y – 6 = 0: y = – 3 x + 3 → m = – 3
2
2
Ecuación: y = –3 – 3 x → 2y = –6 – 3x → 3x + 2y + 6 = 0
2
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 7
19 Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular al
→
vector v , en los siguientes casos:
a) P(–7, 2)
→
v (2, 1)
b) P(4, –3)
→
v (–5, 4)
c) P(5, 1)
→
v (–1, –3)
→
a) Un vector perpendicular a v(2, 1) es (–1, 2), vector dirección de la recta pedida → m = –2
Ecuación: y = 2 – 2(x + 7) → y = –2x – 12 → 2x + y + 12 = 0
→
b) Un vector perpendicular a v(–5, 4) es (4, 5), vector dirección de la recta pedida → m = 5
4
Ecuación: y = –3 + 5 (x – 4) → 4y = –12 + 5x – 20 → 5x – 4y – 32 = 0
4
→
c) Un vector dirección de la recta pedida es (–3, 1), perpendicular a v(–1, –3)
→ m=–1
3
Ecuación: y = 1 – 1 (x – 5) → 3y = 3 – x + 5 → x + 3y – 8 = 0
3
20 Calcula la pendiente y un vector dirección de una recta perpendicular a la
que pasa por A(3, 1) y B (–5, –1).
• Vector dirección de la recta que pasa por A(3, 1) y B(–5, –1):
→
→
v = AB = (–5, –1) – (3, 1) = (–8, –2)
→
• Vector perpendicular a v es (1, – 4), vector dirección de la recta perpendicular a la que pasa por A y B.
• Pendiente → m = – 4
21 Escribe la ecuación de la recta que pasa por (–3, 0) y es perpendicular a
3x – y + 6 = 0.
• Pendiente de la recta 3x – y + 6 = 0 → m = 3
• Pendiente de la recta perpendicular a 3x – y + 6 = 0 es – 1 = – 1 .
m
3
• Ecuación: y = – 1 (x + 3) → 3y = –x – 3 → x + 3y + 3 = 0
3
22 Dados los puntos A(–3, 2) y B(5, 0) halla las ecuaciones de las rectas siguientes:
→
r: pasa por A y es perpendicular a AB .
→
s: pasa por B y es perpendicular a AB .
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 8
→
r: pasa por A(–3, 2) y es perpendicular a AB
→
AB = (5, 0) – (–3, 2) = (8, –2)
→
Vector perpendicular a AB es (1, 4), que es vector dirección de la recta r →
→ m=4
Ecuación de r: y = 2 + 4(x + 3) → y = 4x + 14 → 4x – y + 14 = 0
→
s : pasa por B(5, 0) y es perpendicular a AB
Ecuación de s : y = 4(x – 5) → y = 4x – 20 → 4x – y – 20 = 0
23 Representa las rectas 3x + 6 = 0 y 2y – 5 = 0 y halla su punto de intersección.
3x + 6 = 0 → x = –2 recta paralela al eje Y
5
y=—
2
2y – 5 = 0 → y = 5 recta paralela al eje X
2
( )
Punto de intersección: –2, 5
2
x = –2
24 Escribe la ecuación de una recta perpendicular a r y que pase por (4, –3) en
los siguientes casos:
a) r : 2x + 7 = 0
b) s : –y + 4 = 0
a) r: 2x + 7 = 0
2x + 7 = 0 → x = – 7 es paralela al eje Y.
2
Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje X → y = k
Como pasa por (4, –3), su ecuación es y = –3 → y + 3 = 0
b) r: –y + 4 = 0
–y + 4 = 0 → y = 4 es paralela al eje X.
Por tanto, la recta perpendicular a r es paralela al eje Y → x = k
Como pasa por (4, –3), su ecuación es x = 4 → x – 4 = 0
25 Las rectas r y s pasan por el punto (– 4, 2); r es paralela a 3x – 12 = 0 y s
es perpendicular a ella. Representa r y s y halla su ecuación.
• Por ser r paralela a 3x – 12 = 0, r será de la forma
x = k. Como pasa por (–4, 2) → x = – 4 →
r: x + 4 = 0
• Por ser s perpendicular a 3x – 12 = 0, s será de la
forma y = k'. Como pasa por (–4, 2) → y = 2 →
s: y – 2 = 0
Unidad 8. Geometría analítica
r
2
–4
s
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 9
26 La recta r es paralela a 5x – 4y + 3 = 0, y la recta s es perpendicular a ellas.
Ambas pasan por el punto (1, 3). Escribe las ecuaciones de las rectas r y s.
La pendiente de r coincidirá con la pendiente de la recta 5x – 4y + 3 = 0, por
ser ambas paralelas → m = 5
4
s es perpendicular a r → pendiente de s es – 1 = – 4
m
5
Tanto r como s pasan por el punto (–4, 2), luego:
• Ecuación de r → y = 2 + 5 (x + 4) → y = 5 x + 7 → 5x – 4y + 28 = 0
4
4
• Ecuación de s → y = 2 – 4 (x + 4) → 5y = 10 – 4x – 16 →
5
→ 4x + 5y + 6 = 0
27 Determina el punto de corte de las rectas:
r: 5x + 4y + 3 = 0
s: – 4x + 2y – 5 = 0
Para hallar el punto de corte, resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones:
5x + 4y + 3 = 0 
5x + 4y + 3 = 0
 →
–4x + 2y – 5 = 0 
8x – 4y + 10 = 0
13x
+ 13 = 0 → x = –1
5 · (–1) + 4y + 3 = 0 → 4y – 2 = 0 → y = 1
2
( )
El punto de corte es –1, 1 .
2
Distancias y circunferencia
28 Calcula la distancia entre P y Q:
a) P(3, 5), Q(3, –7)
b) P(–8, 3), Q(–6, 1)
c) P(0, –3), Q(–5, 1)
d) P(–3, 0), Q(15, 0)
→
a) dist (P, Q) = |PQ |= √(3 – 3) 2 + (–7 –5) 2 = √12 2 = 12
b) dist (P, Q) = √(–6 + 8) 2 + (1 – 3) 2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2
c) dist (P, Q) = √(–5) 2 + (1 + 3) 2 = √25 + 16 = √41
d) dist (P, Q) = √(15 + 3) 2 = √18 2 = 18
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 10
29 a) Halla el punto medio del segmento de extremos A(–2, 0), B(6, 4).
b) Comprueba que la distancia del punto medio a cada uno de los extremos
es la misma.
(
)
a) Punto medio M = –2 + 6 , 0 + 4 = (2, 2)
2
2
→
b) dist (A, M) = |AM | = √(2 + 2) 2 + 2 2 = √16 + 4 = √20
→
dist (B, M) = |BM |= √(2 – 6) 2 + (2 – 4) 2 = √16 + 4 = √20
30 Comprueba que el triángulo de vértices A(–1, 0), B(3, 2), C(7, 4) es isósceles. ¿Cuáles son los lados iguales?
Un triángulo es isósceles cuando dos de sus lados miden lo mismo.
→ →
→
Calculamos, pues, |AB |, |AC | y |BC |:
→

|AB | = √(3 + 1) 2 + 2 2 = √16 + 4 = √20


→
→
→

|AC | = √(7 + 1) 2 + 4 2 = √64 + 16 = √80
 |AB | = |BC |


→
|BC | = √(7 – 3) 2 + (4 – 2) 2 = √16 + 4 = √20 
El triángulo de vértices A, B y C es isósceles.
31 Comprueba, mediante el teorema de Pi-tágoras, que el triángulo de vértices
A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6) es rectángulo.
A(–2, –1), B(3, 1), C(1, 6)
→
→
→
 →2
|AB | = √5 2 + 2 2 = √25 + 4 = √29
 |AB | + |BC |2 = |AC |2 por Pitágoras:


→
2
2

( √29 ) 2 + ( √29 ) 2 = ( √58 ) 2
|AC | = √3 + 7 = √9 + 49 = √58


→

29 + 29 = 58
|BC | = √(–2) 2 + 5 2 = √4 + 25 = √29 
El triángulo de vértices A, B y C es rectángulo.
32 Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C y radio r :
a) C(4, –3), r = 3
b) C(0, 5), r = 6
c) C(6, 0), r = 2
d) C(0, 0), r = 5
a) C(4, –3), r = 3
(x – 4) 2 + (y + 3) 2 = 9 → x 2 – 8x + 16 + y 2 + 6y + 9 = 9
x 2 + y 2 – 8x + 6y + 16 = 0
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 11
b) C(0, 5), r = 6
(x – 0) 2 + (y – 5) 2 = 36 → x 2 + y 2 – 10y + 25 = 36
x 2 + y 2 – 10y – 11 = 0
c) C(6, 0), r = 2
(x – 6) 2 + y 2 = 4 → x 2 – 12x + 36 + y 2 = 4
x 2 + y 2 – 12x + 32 = 0
d) C(0, 0), r = 5
x 2 + y 2 = 25 → x 2 + y 2 – 25 = 0
33 Di cuál es el centro y el radio de las circunferencias siguientes:
a) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
b) (x + 1)2 + y 2 = 81
c) x 2 + y 2 = 10
a) (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 → C(2, –3), r = 4
b) (x + 1) 2 + y 2 = 81 → C (–1, 0), r = 9
c) x 2 + y 2 = 10 → C (0, 0), r = √10
Página 190
P I E N S A Y R E S U E LV E
34 Representa en este hexágono los siguientes vectores:
B
→
→
→
→
a) AB + AF
C
b) AC + AF
A
D
O
→
→
→
→
→
→
c) AB + CD
d) AO + AF
F
E
e) AO + BC
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
a) AB + AF = AD
B
C
b) AC + AF = AD
c) AB + CD = AO
A
D
O
d) AD + AF = AE
e) AD + BC = AD
Unidad 8. Geometría analítica
F
E
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 12
35 Calcula m y n para que se verifique x→ = mu→ + n v→ siendo x→(8, 2), u→(–3, 2),
→
v (2, –4).
→
→
→
x(8, 2), u(–3, 2), v(2, –4)
→
→
→
x = m u + n v → (8, 2) = m (–3, 2) + n (2, – 4) →
→ (8, 2) = (–3m + 2n, 2m – 4n)
8 = –3m + 2n 
8 = –3m + 2n
 →
2 = 2m – 4n 
1 = m – 2n
9 = –2m → m = – 9
2
1 = – 9 – 2n → 2n = – 11 → n = – 11
2
2
4
36 a) ¿Cuáles son las coordenadas de los vectores u→, v→ y w→?
→
→
→
b) Calcula m y n de modo que se cumpla: w = mu + n v
→
→
→
a) u(2, 4), v(0, –2), w(–4, 0)
→
→
→
u
→
b) w = m u + n v → (– 4, 0) = m(2, 4) + n(0, –2)
(– 4, 0) = (2m, 4m – 2n) →
w→
→
v
 –4 = 2m → m = –2
→ 
 0 = 4m – 2n → 0 = –8 – 2n → n = –4
37 Halla las coordenadas de un vector w→ que verifique la siguiente igualdad:
→
→
→
→
→
–2w = 3u – 5 v con u (–2, 1) y v (4, –2)
2
→
→
u (–2, 1), v(4, –2)
→
Llamamos (x, y) a las coordenadas del vector w:
→
→
→
–2 w = 3 u – 5 v → –2(x, y) = 3 (–2, 1) – 5 (4, –2)
2
2
(–2x, –2y) = (–6, 3) – (10, –5) → (–2x, –2y) = (–16, 8)
–2x = –16 → x = 8 
→
 → w(8, – 4)
–2y = 8 → y = –4 
38 Determina los puntos que dividen al segmento de extremos A(–5, –2),
B(7, 2) en cuatro partes iguales.
Los puntos que dividen al segmento de extremos A
y B en cuatro partes iguales son N, M y P.
Unidad 8. Geometría analítica
A
N
M
P
B
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 13
M es el punto medio del segmento de extremos A(–5, –2) y B(7, 2):
(
)
M = –5 + 7 , –2 + 2 = (1, 0)
2
2
N es el punto medio del segmento de extremos A y M:
(
)
N = –5 + 1 , –2 + 0 = (–2, –1)
2
2
P es el punto medio del segmento de extremos M y B:
(
)
P = 7 + 1 , 2 + 0 = (4, 1)
2
2
Los puntos que dividen al segmento AB en 4 partes iguales son: M(1, 0),
N(–2, –1) y P(4, 1).
39 En el segmento AB de extremos A(0, 2), B(6, 5), halla las coordenadas de los puntos P y Q tales que:
B
Q
P
→
→
→
→
AP = 1 AB, AQ = 2 AB
3
3
A
O
→ → → →
→
OP = OA + AP = OA + 1 AB = (0, 2) +
3
→ → → →
→
OQ = OA + AQ = OA + 2 AB = (0, 2) +
3
1 (6, 3) = (0, 2) + (2, 1) = (2, 3)
3
2 (6, 3) = (0, 2) + (4, 2) = (4, 4)
3
Solución: P(2, 3) y Q(4, 4)
40 Dado el segmento de extremos A(–1, 5), B(6, –2) halla los puntos P y Q
→
→
→
→
tales que AP = 2 AB y BQ = – 1 AB .
5
5
(
)
→ → → →
→
OP = OA + AP = OA + 2 AB = (–1, 5) + 2 (7, –7) = –1 + 14 , 5 – 14 =
5
5
5
5
(
= 9 , 11
5 5
)
(
→ P 9 , 11
5 5
(
)
)
→ → → →
→
OQ = OB + BQ = OB – 1 AB = (6, –2) – 1 (7, –7) = 6 – 7 , –2 + 7 =
5
5
5
5
(
= 23 , – 3
5
5
)
(
→ Q 23 , – 3
5
5
)
41 Dados los puntos A(0, 4) y B(–5, 0), halla el punto simétrico de B respecto de A y el simétrico de A respecto de B.
A (0, 4), B(–5, 0)
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 14
• Punto simétrico de B respecto de A, lo llamamos B'(x, y) → A es el
punto medio del segmento BB':
x–5
— = 0 → x = 5 
y
2
(0, 4) = x – 5 ,
 B'(5, 8)
2
y
2

—=4 → y=8
2

(
)
• Punto simétrico de A respecto de B, lo llamamos A'(x, y) → B es el
punto medio del segmento AA':
x
— = –5 → x = –10 
y
+
4
2
(–5, 0) = x ,
 A'(–10, –4)
2
y+4
2
— = 0 → y = –4 
2

(
)
42 Halla las coordenadas del punto D, de modo que ABCD sea un paralelogramo, siendo A(1, –1), B(0, 2) y C(6, 5).
Llamamos D(x, y)
→ →
ABCD paralelogramo → AB = DC
→
AB (–1, 3)

→
 (–1, 3) = (6 – x, 5 – y) →
DC (6 – x, 5 – y) 
C
B
D
 6 – x = –1 → x = 7
→ 
5 – y = 3 → y = 2
A
Las coordenadas del punto D son (7, 2)
43
( E S T Á R E S U E LTO E N E L L I B RO ) .
44 Dado el triángulo de vértices A(–5, 4), B(4, 1), C(–1, –2) halla:
a) Las ecuaciones de los tres lados.
b) El punto medio del lado AC.
c) La ecuación de la mediana del vértice B.
a) • Pendiente de AB: m = 1 – 4 = –3 = – 1
4+5
9
3
Ecuación de AB: y = 1 – 1 (x – 4) →
3
→ 3y = 3 – x + 4 → 3y + x – 7 = 0
• Pendiente de AC: m = –2 – 4 = –6 = – 3
–1 + 5
4
2
A
M
B
C
Ecuación de AC: y = –2 – 3 (x + 1) → 2y = –4 – 3x – 3 →
2
→ 3x + 2y + 7 = 0
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 15
• Pendiente de BC: m = –2 – 1 = 3
–1 – 4 5
Ecuación de BC: y = 1 + 3 (x – 4) → 5y = 5 + 3x – 12 →
5
→ 3x – 5y – 7 = 0
b) Punto medio del lado AC:
(
)
M = –5 – 1 , 4 – 2 = (–3, 1)
2
2
c) La mediana del vértice B, parte del punto B y va al punto medio del lado
opuesto al vértice B; en nuestro caso, M: B(4, 1) y M(–3, 1) → pendiente de BM es m = 0.
La ecuación de la mediana es y = 1.
45 Dados los puntos A(–1, 1) y B(3, 4), halla:
a) La ecuación de una recta r que pase por A y sea perpendicular a AB.
b) La ecuación de una recta s que pase por B y sea paralela al eje X.
c) El punto de corte de r y s.
A (–1, 1) y B(3, 4)
→
a) AB = (3, 4) – (–1, 1) = (4, 3) → m = 3
4
Pendiente de r es – 1 = – 4
m
3
r pasa por A y su pendiente es – 4 → su ecuación será:
3
y = 1 – 4 (x + 1) → 3y = 3 – 4x – 4 → 4x + 3y + 1 = 0
3
b) s es una recta paralela al eje X → su ecuación será de la forma y = k. Como pasa por B(3, 4) → y = 4 → y – 4 = 0
c) El punto de intersección de r y s será la solución del sistema:
4x + 3y + 1 = 0  4x + 12 + 1 = 0

13
y=4
 4x = –13 → x = –—
4
(
)
El punto de corte entre r y s es – 13 , 4 .
4
46 En el triángulo de vértices A(–1, 1), B(3, 4), y C(3, 0), halla:
a) La ecuación de la mediatriz de BC.
b) La ecuación de la mediatriz de AC.
c) El punto de intersección de las mediatrices (el circuncentro del triángulo).
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 16
B
M
A
N
C
a) La mediatriz de BC es perpendicular a BC en su punto medio, M:
(
)
M = 3 + 3 , 4 + 0 = (3, 2)
2
2
El lado BC es paralelo al eje Y → la mediatriz será paralela al eje X →
y=k
Como pasa por M(3, 2), su ecuación será y = 2 → y – 2 = 0
b) La mediatriz de AC es perpendicular a AC en su punto medio, N:
(
)( )
N = –1 + 3 , 1 + 0 = 1, 1
2
2
2
Pendiente de AC: m = 0 – 1 = –1
3+1
4
Pendiente de la mediatriz es – 1 = 4
m
Ecuación de la mediatriz: y = 1 + 4(x – 1) → 2y = 1 + 8x – 8 →
2
→ 8x – 2y – 7 = 0
c) La intersección entre ambas mediatrices se calcula resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones:
y–2=0 y=2

11
8x – 2y – 7 = 0  8x – 4 – 7 = 0 → x = —
8
( )
El punto de intersección es 11 , 2 .
8
Página 191
47 Comprueba si los puntos A(14, 0), B(–9, 3), C(2, 3/2) y D(4, 8/7) pertenecen a la recta determinada por los puntos P(–2, 2) y Q(5, 1).
Calculamos la ecuación de la recta r que pasa por P(–2, 2) y Q(5, 1):
→
PQ = (5 + 2, 1 – 2) = (7, –1) → m = – 1
7
Ecuación → y = 1 – 1 (x – 5) → 7y = 7 – x + 5 → r: x + 7y – 12 = 0
7
Para comprobar si un punto pertenece a una recta determinada, se sustituyen
las coordenadas del punto en la ecuación de la recta. Si se verifica la ecuación,
el punto pertenece a dicha recta.
Unidad 8. Geometría analítica
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
81
Pág. 17
A(14, 0) → 14 + 7 · 0 – 12 ≠ 0 → A no pertenece a r.
B(–9, 3) → –9 + 7 · 3 – 12 = 0 → B pertenece a r.
( )
( )
C 2, 3
2
→ 2 + 7 · 3 – 12 ≠ 0 → C no pertenece a r.
2
D 4, 8
7
→ 4 + 7 · 8 – 12 = 0 → D pertenece a r.
7
48 Los puntos A(–3, 1), B(1, –3) y C(4, 3) son tres vértices de un paralelogramo. Halla:
a) El vértice D opuesto a B.
b) El punto M donde se cortan las diagonales.
c) Comprueba que M es el punto medio de las dos diagonales.
A(–3, 1), B(1, –3) y C(4, 3)
→ →
a) Por ser paralelogramo, AD = BC .
D
Llamamos D(x, y).
→
AD = (x + 3, y – 1)
 (x + 3, y – 1) = (3, 6)
→

BC = (4 – 1, 3 + 3) = (3, 6)  x + 3 = 3 → x = 0
y–1=6 → y=7
C
A
El vértice D tiene como coordenadas (0, 7).
(
B
)( )
→
b) Punto medio de AC es M = –3 + 4 , 1 + 3 = 1 , 2
2
2
2
—
c) Calculamos el punto medio de la otra diagonal BD:
(
)( )
1 + 0 , –3 + 7 = 1 , 2 = M
2
2
2
49 Dos lados de un paralelogramo están sobre las rectas r : 2x – y + 1 = 0 y
s : x + 4y – 13 = 0, y el punto (3, –2) es uno de sus vértices.
a) Dibuja el paralelogramo.
b) Halla las ecuaciones de los otros dos lados.
c) Calcula las coordenadas de los vértices.
s
B
a) Representamos las rectas r: 2x - y + 1 = 0
y s: x + 4y – 13 = 0:
C
r pasa por los puntos (0, 1) y (1, 3)
s pasa por los puntos (1, 3) y (–3, 4)
Unidad 8. Geometría analítica
A
r
D(3, –2)
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 18
—
b) • Lado AD paralelo a la recta s:
Pendiente de s es – 1 .
4
—
Ecuación del lado AD :
y = –2 – 1 (x – 3) → 4y = –8 – x + 3 → x + 4y + 5 = 0
4
—
• Lado CD paralelo a la recta r:
Pendiente de r es 2.
—
Ecuación de lado CD :
y = –2 + 2(x – 3) → y = 2x – 8 → 2x – y – 8 = 0
—
c) • El vértice A es el punto de corte de r y AD :
2x – y + 1 = 0  2x – y + 1 = 0

x + 4y + 5 = 0  –2x – 8y – 10 = 0
x–4+5=0
x = –1
–9y – 9 = 0 → y = –1
• Vértice B: punto de corte de r y s:
2x – y + 1 = 0  2x – y + 1 = 0

x + 4y – 13 = 0  –2x – 8y + 26 = 0
x + 12 – 13 = 0
x=1
–9y + 27 = 0 → y = 3
—
• Vértice C: punto de corte de s y CD :
x + 4y – 13 = 0  x + 4y – 13 = 0

2x – y – 8 = 0  8x – 4y – 32 = 0
9x
10 – y – 8 = 0
y=2
– 45 = 0 → x = 5
Los vértices del paralelogramo son: A(–1, –1), B(1, 3), C(5, 2) y D(3, –2)
50 Escribe las ecuaciones de los ejes de coordenadas y de las bisectrices de los
cuadrantes primero y segundo.
Ecuación del eje X → y = 0
Ecuación del eje Y → x = 0
Ecuación de la bisectriz del 1er cuadrante → y = x → y – x = 0
Ecuación de la bisectriz del 2-o cuadrante → y = –x → y + x = 0
51 a) Escribe la ecuación de una recta r que es paralela al eje OY y que pasa por el
punto (–3, 2).
b) Halla el punto de corte de r con la recta: 3x + 4y – 7 = 0
Unidad 8. Geometría analítica
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
81
Pág. 19
a) Por ser r paralela al eje OY su ecuación es de la forma x = k; como pasa
por (–3, 2) → x = –3 → x + 3 = 0
b) Se resuelve el sistema formado por ambas ecuaciones:
3x + 4y – 7 = 0  –9 + 4y – 7 = 0 → 4y = 16 → y = 4

x+
3=0 
El punto de corte es (–3, 4).
52 Halla la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto medio
del segmento de extremos A(0, 4), B(3, 0) y su radio es igual a la mitad de
dicho segmento.
• Punto medio del segmento de extremos A(0, 4) y B(3, 0):
(
)( )
0 + 3, 4 + 0 = 3, 2
2
2
2
( )
→ Centro, C 3 , 2
2
→
• El radio de la circunferencia es 1 |AB |
2
→
→
|AB | = √3 2 + (–4) 2 = √9 + 16 = 5 → r = 1 |AB | = 5
2
2
( )
• Ecuación de la circunferencia de centro C 3 , 2 y r = 5 :
2
2
2
x – 3 + (y – 2) 2 = 25
2
4
x 2 – 3x + 9 + y 2 – 4y + 4 = 25 → x 2 + y 2 – 3x – 4y = 0
4
4
( )
53 Escribe la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto
C (1, –1) y pasa por el punto A(3, 4).
Por tener el centro en C(1, –1) y pasar por el punto A(3, 4), el radio de la
→
circunferencia será r = |AC |= √(–2) 2 + (–5) 2 = √29
Ecuación de la circunferencia de centro C(1, –1) y radio r = √29 :
(x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 29
x 2 – 2x + 1 + y 2 + 2y + 1 = 29 → x 2 + y 2 – 2x + 2y – 27 = 0
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
54 De las siguientes expresiones, indica cuáles son verdaderas:
a) Dos vectores con distinta dirección no se pueden sumar.
b) Dos vectores opuestos tienen igual dirección.
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 20
→
→
→
→
c) Si u = kv y k es negativo, entonces u y v tienen distinta dirección.
→
→
→
→
d) Si u = –v entonces u y v tienen igual módulo.
a) FALSO: se pueden sumar vectores de la misma o de distinta dirección.
→
→
b) VERDADERO: – u = (–1) · u
c) FALSO: tienen la misma dirección y sentidos contrarios.
d) VERDADERO.
55 Dibuja un vector que sumado con u→ nos de el vector
→
v y di cuáles son sus coordenadas.
→
v
→
u
→
u
→
v
→
w
→
→
→
El vector que sumado con u nos da v es w; sus coordenadas son (–7, 0).
56 Sean A, B, C tres puntos no alineados cualesquiera, y M y N los puntos medios de los segmentos AB y BC, respectivamente.
B
M
A
Explica si son ciertas estas igualdades:
→
→
N
C
→
a) AB + AC = 2AN
→
→
b) AC = 2MN
B
M
D
N
M'
A
C
→
→
→
→
a) VERDADERO: AB + AC = AD = 2AN
→ →
→
b) VERDADERO: AC = MM' = 2MN
PROFUNDIZA
57 La figura adjunta parece un trapecio. Comprueba si realmente lo es. Si no lo
es, rectifica las coordenadas del punto D para que sí lo sea.
C(3, 5)
B(–2, 3)
D(12, 3)
A(–3, –2)
Unidad 8. Geometría analítica
81
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
Pág. 21
Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos y otros dos no paralelos.
En nuestra figura, a simple vista, parece que los lados paralelos pueden ser BC
→
→
y AD; comprobemos si los vectores BC y AD tienen la misma dirección:
→
→
BC (5, 2) y AD (15, 5) → 15 ≠ 5 → no son paralelos
5
2
Calculamos las coordenadas del punto D para que sean paralelos:
→
D(12, y)
BC (5, 2)
y+2
y+2
 15
→
=
→ 3=
→ y=4

2
2
AD (15, y + 2)  5
Luego, el punto D debe ser (12, 4).
58 Sea G el baricentro del triángulo ABC, y M, el punto medio del lado AC.
B(b1, b2)
G
M
A(a1, a2)
C(c1, c2)
a) Escribe las coordenadas de M en función de las de A y C.
→
→
b) Halla las coordenadas del vector BG = 2 BM.
3
c) Demuestra que las coordenadas de G son:
(
a) M =
(
a1 + b1 – c1 a2 + b2 – c2
,
3
3
a1 + c1 a2 + c2
,
2
2
)
)
(
)(
→
→
a +c
a +c
a + c – 2b1 a2 + c2 – 2b2
b) BG = 2 BM = 2 1 1 – b1, 2 2 – b2 = 1 1
,
2
2
3
3
3
3
(
→ → →
a + c – 2b1 a2 + c2 – 2b2
c) OG = OB + BG = (b1, b2) + 1 1
,
3
3
(
(
→
a + c – 2b1
a + c – 2b2
OG = b1 + 1 1
, b2 + 2 2
3
3
→
a +b +c
a +b +c
OG = 1 1 1 , 2 2 2
3
3
Unidad 8. Geometría analítica
)
)
)
)
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS
DE LA UNIDAD
81
Pág. 22
59 Toma cuatro puntos cualesquiera que sean los vértices de un cuadrilátero y
prueba que, al unir los puntos medios de los lados de ese cuadrilátero, obtienes un paralelogramo.
Consideramos A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2), D(d1, d2) los vértices de un
cuadrilátero.
Puntos medios:
(
(
(
(
)
)
)
)
• Lado AB → M
a1 + b1 a2 + b2
,
2
2
• Lado BC → N
b1 + c1 b2 + c2
,
2
2
c +d c +d
• Lado CD → P 1 1 , 2 2
2
2
• Lado DA → Q
a1 + d1 a2 + d2
,
2
2
A
M
B
Q
R
D
N
P
C
Si MNPQ es un paralelogramo, el punto medio de MP debe ser el mismo
que el de NQ:
(
)
• Punto medio de MP:
a1 + b1 c1 + d1 a2 + b2 c2 + d2
——
+ —— —— + ——
2
2 ,
2
2
R
=
2
2
R
(
(
a1 + b1 + c1 + d1 a2 + b2 + c2 + d2
,
4
4
)
• Punto medio de NQ:
)
b1 + c1 a1 + d1 b2 + c2 a2 + d2
——
+ —— —— + ——
2
2 ,
2
2
=
2
2
=
(
)
a1 + b1 + c1 + d1 a2 + b2 + c2 + d2
,
=R
4
4
Unidad 8. Geometría analítica