Documento 775625
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Símbolo solar con los cuatro elementos. Muchas doctrinas antiguas usaban un grupo de elementos para explicar los patrones en la naturaleza. En este contexto, la palabra elemento se refiere más al estado de la materia (o sea, sólido/tierra, líquido/agua, gas/aire, plasma/fuego) o a las fases de la materia (como en las cinco fases chinas), que a los elementos químicos de la ciencia moderna. Los cuatro elementos clásicos griegos tierra, agua, fuego y aire datan de los tiempos presocráticos y perduraron a través de la Edad Media hasta el Renacimiento, influyendo profundamente en la cultura y el pensamiento europeo.nota 1 Los estados de la materia, según la ciencia moderna y, en menor grado, también la tabla periódica de los elementos y el concepto de combustión (fuego) pueden ser considerados sucesores de aquellos modelos tempranos. Los indios y los japoneses tenían esos mismos cuatro elementos, más un quinto elemento invisible, el éter. Los chinos distinguían una serie de elementos ligeramente diferentes (que todavía se utilizan en la medicina china tradicional) llamados tierra, agua, fuego, metal y madera, y que eran entendidos como diferentes tipos de energía en un estado de constante interacción y flujo entre unos y otros, en oposición a la noción occidental que los relaciona con las diferentes manifestaciones de la materia. Ya desde los tiempos de la Antigua Grecia, Demócrito de Abdera, más por razones de índole filosófica que de índole científica, había postulado la posibilidad de que la materia no era infinitamente continua, esto es, no podía continuarse subdividiendo hasta el infinito, y que eventualmente llegaríamos hasta cierto punto en el cual no nos sería posible continuar subdividiendo la materia con un cuchillo por filoso que fuera. A las partículas incapaces de ser subdivididas más allá de cierto límite mediante simples cortes seccionales las llamó átomos, que en griego significa “no susceptible de corte” (a = no, negación, tomos = corte). Modelos antiguos: Tales de Mileto propuso como el principio o arché de todas las cosas el agua, después Anaxímenes consideró el aire, Heráclito el fuego y Jenófanes la tierra. Para Aristóteles el "eter" o quinto elemento es la quintaesencia, razonando que el fuego, la tierra, el agua y el aire eran terrenales y corruptibles, y que las estrellas no podían estar hechas de ninguno de estos elementos, sino de uno diferente, incambiable, y de una substancia celestial. Los pitagóricos utilizaban las letras iniciales de los cinco elementos para nombrar los ángulos de su pentagrama, y los identificaban con los sólidos platónicos. La teoría de las cuatro raíces de Empédocles (cerca del 450 a. C.) es mencionada por Aristóteles: El fuego es a la vez caliente y seco. La tierra es a la vez seca y fría. El agua es a la vez fría y húmeda. El aire es a la vez húmedo y caliente. Los Cuatro Elementos de los griegos. Diagrama común con dos cuadrados, donde el más pequeño se sobrepone. Las esquinas del más grande muestran los elementos, y las esquinas del menor representan las propiedades. De acuerdo con Galeno, los elementos fueron usados por Hipócrates cuando describía el cuerpo humano, asociándolos con los cuatro humores: la bilis amarilla (fuego), la bilis negra o melancolía (tierra), la flema o pituita (agua), la sangre (aire). La palabra éter fue recuperada por físicos del siglo XIX para denominar el medio invisible que llenaba el universo, el éter luminoso. En 1987, el compositor Robert Steadman escribió una sinfonía en la cual cada movimiento representaba las características de los elementos clásicos de la antigua Grecia: aire, agua, tierra y fuego. De un modo más tópico se han tratado en corrientes de la música contemporánea, como la New age (música). El modelo atómico de Dalton surgido en el contexto de la química, fue el primer modelo atómico con bases científicas, formulado en 1808 por John Dalton. Dalton explicó su teoría formulando una serie de enunciados simples: 1. La materia está formada por partículas muy pequeñas llamadas átomos, que son indivisibles y no se pueden destruir. 2. Los átomos de un mismo elemento son iguales entre sí, tienen la misma masa y propiedades. Los átomos de diferentes elementos tienen masas diferentes. Comparando las masas de los elementos con los del hidrógeno tomado como la unidad propuso el concepto de peso atómico relativo. 3. Los átomos permanecen sin división, aun cuando se combinen en las reacciones químicas. 4. Los átomos, al combinarse para formar compuestos guardan relaciones simples. 5. Los átomos de elementos diferentes se pueden combinar en proporciones distintas y formar más de un compuesto. 6. Los compuestos químicos se forman al unirse átomos de dos o más elementos distintos. Modelo atómico de Thomson El modelo atómico de Thomson es una teoría sobre la estructura atómica propuesta en 1904 por Joseph John Thomson, quien descubrió el electrón1 en 1898, mucho antes del descubrimiento del protón y del neutrón. En dicho modelo, el átomo está compuesto por electrones de carga negativa en un átomo positivo, como un budín de pasas (o un panque) Si bien el modelo de Thomson explicaba adecuadamente muchos de los hechos observados de la química y los rayos catódicos, hacía predicciones incorrectas sobre la distribución de la carga positiva en el interior de los átomos. Las predicciones del modelo de Thomson resultaban incompatibles con los resultados del experimento de Rutherford, que sugería que la carga positiva estaba concentrada en una pequeña región en el centro del átomo, que es lo que se conoció como núcleo atómico. El modelo siguiente fue el modelo atómico de Rutherford. En 1800 Alessandro Volta construyó la primera pila, con lo que el misterioso "fluido eléctrico" resultaba, a partir de entonces, accesible para su estudio. El estudio de la conductividad de los gases (realizada a lo largo del s. XIX) proporcionó grandes sorpresas. A presión ordinaria los gases no conducían la corriente eléctrica, pero si se extraía gas del tubo (con la consiguiente reducción de su presión) aparecían una serie de curiosos fenómenos. Así cuando la presión era de unos 5 mm de Hg el tubo emitía luz cuyo color dependía del gas que llenara el tubo. A 0,1 mm de Hg aparecían franjas luminosas y oscuras, y cuando la presión era de tan solo 0,001 mm de Hg una misteriosa luminosidad verde aparecía en la zona del tubo opuesta al cátodo. El estudio de esta luminosidad tuvo una importancia crucial en el desarrollo de la ciencia. Pronto se demostró que los rayos procedían del electrodo negativo, o cátodo, con lo que fueron bautizados con el nombre de "rayos catódicos". Los rayos catódicos tenían ciertas similitudes con los luminosos: los objetos interpuestos producían sombras, se propagaban en línea recta... etc, pero también diferencias: un campo magnético no tiene ninguna influencia sobre los rayos luminosos y, sin embargo, desvía los rayos catódicos, mostrando que tenían carga eléctrica negativa. La "escuela alemana" (con Hertz como personalidad más destacada) consideraba que los rayos catódicos eran ondas similares a las luminosas, mientras que los científicos ingleses (Davy, Perrin...) se inclinaban por una explicación corpuscular. En este contexto los experimentos de Joseph John Thomson fueron determinantes: En 1894 informó de que la velocidad de los rayos catódicos era muy inferior a la de la luz, lo que ponía a la hipótesis ondulatoria en una difícil situación. Una onda electromagnética debería propagarse a la velocidad de la luz. En 1897, en una conferencia dada en la Royal Society, enunciaba las dos hipótesis básicas que sustentaban sus investigaciones: 1. El tamaño de los portadores tiene que ser pequeño en comparación con las dimensiones de los átomos o moléculas ordinarias. 2. Los portadores son los mismos, cualesquiera que sea el gas utilizado en el tubo de descarga. Segun J.J. Thomson los rayos catódicos estaban formados por "pequeños portadores", dando la razón a los defensores de la naturaleza corpuscular de los mismos: "La suposición de que exista un estado de la materia más finamente subdividido que los átomos de un elemento es una hipótesis sorprendente" Una vez confirmada la existencia de los minúsculos portadores con carga eléctrica negativa (para lo que fue necesario determinar la relación e/m de los mismos) se les bautizó con el nombre de electrones, nombre acuñado porG.H. Stoney en 1891 para lo que él consideraba entonces como las "unidades básicas de electricidad". El descubrimiento del electrón tuvo como consecuencia la revisión del concepto de átomo como partícula fundamental e indivisible. Los átomos dejaron de serlo (etimológicamente "átomo" significa sin partes). En su interior existían otras partículas más pequeñas, pero no serían las únicas, los protones y neutrones no tardarían en mostrase al mundo. 1.1 Modelo atómico de Thomson Según Dalton, el átomo era indivisible, pero a finales del siglo XIX las observaciones empíricas ya indicaban la presencia de partículas cargadas que, por el hecho de poseer carga eléctrica, no podían ser los átomos neutros de Dalton. La conclusión lógica fue que los átomos no eran partículas fundamentales, sino que estaban formados por partículas subatómicas. La primera de estas partículas en descubrirse fue el electrón, identificado por J.J. Thomson a partir de los resultados obtenidos en la experimentación de gases a baja presión en un dispositivo denominado tubo de rayos catódicos, que puedes observar a continuación: Animación 1. Iniciación Interactiva a la materia Mariano Gaite Cuesta Puedes observar cómo, en un tubo de rayos catódicos, al aplicar una diferencia de potencial entre los extremos (compruébalo pulsando el botón Apagar/Encender tubo) se produce la emisión de radiación en forma luminosa, transmitida en línea recta. Esta radiación fue denominada como rayos catódicos, por proceder del cátodo. Ahora bien, al aplicar un campo eléctrico sobre la trayectoria de los rayos, se observó que estos se desviaban hacia la placa cargada positivamente, lo que indicaba claramente que dicha radiación estaba cargada, y más concretamente formada por partículas de carga negativa. Haz la prueba pulsando en la simulación el botón Aplicar campo. ¿Por qué dedujo Thomson que los rayos catódicos estaban formados por partículas de carga negativa? A partir del grado de desviación de los rayos en función del campo eléctrico aplicado pudo encontrar la relación entre la carga eléctrica y la masa de estas partículas, que denominó electrones: 1 Su masa era1837 veces la masa de un átomo de hidrógeno. Su carga era −1,6𝑥10−19 C. Dado que su masa era menor que la del átomo más pequeño y que no dependían del metal que formaba el cátodo, llegó a la conclusión de que los electrones eran partículas fundamentales, constituyentes del átomo, que a partir de entonces dejó de ser indivisible. El electrón, representado como e- , es una partícula componente del átomo, de masa muy pequeña (9.1 ·10-31 kg) y cargado negativamente (-1.6·10-19 C). No se ha encontrado en la naturaleza una carga menor que la del electrón, por lo que su valor se toma como unidad de carga o carga elemental. El modelo atómico de Rutherford es un modelo atómico o teoría sobre la estructura interna del átomopropuesto por el químico y físico británico-neozelandés Ernest Rutherford para explicar los resultados de su"experimento de la lámina de oro", realizado en 1911. El modelo de Rutherford fue el primer modelo atómico que consideró al átomo formado por dos partes: la "corteza", constituida por todos sus electrones, girando a gran velocidad alrededor de un "núcleo" muy pequeño; que concentra toda la carga eléctrica positiva y casi toda la masa del átomo. Rutherford llegó a la conclusión de que la masa del átomo se concentraba en una región pequeña de cargas positivas que impedían el paso de las partículas alfa. Sugirió un nuevo modelo en el cual el átomo poseía un núcleo o centro en el cual se concentra la masa y la carga positiva, y que en la zona extranuclear se encuentran los electrones de carga negativa. Historia Antes de que Rutherford propusiera su modelo atómico, los físicos aceptaban que las cargas eléctricas en el átomo tenían una distribución más o menos uniforme. Rutherford trató de ver cómo era la dispersión de las partículas alfa por parte de los átomos de una lámina de oro muy delgada. Los ángulos resultantes de la desviación de las partículas supuestamente aportarían información sobre cómo era la distribución de carga en los átomos. Era de esperar que, si las cargas estaban distribuidas uniformemente según el modelo atómico de Thomson, la mayoría de las partículas atravesarían la delgada lámina sufriendo sólo ligerísimas deflexiones, siguiendo una trayectoria aproximadamente recta. Aunque esto era cierto para la mayoría de las partículas alfa, un número importante de estas sufrían deflexiones de cerca de 180º, es decir, prácticamente salían rebotadas en dirección opuesta a la incidente. Rutherford pensó que esta fracción de partículas rebotadas en dirección opuesta podía ser explicada si se suponía la existencia de fuertes concentraciones de carga positiva en el átomo. La mecánica newtoniana en conjunción con la ley de Coulomb predice que el ángulo de deflexión de una partícula alfa relativamente liviana por parte de un átomo de oro más pesado, depende del "parámetro de impacto" o distancia entre la trayectoria de la partícula y el núcleo:1 𝑥 = 2𝜋 − 2𝑐𝑜𝑠 −1 𝑏= 2𝐾⁄ (𝐸0 𝑏) √1 + 2𝐾⁄(𝐸 𝑏)2 ( ) 0 2𝐾 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝐸0 2 Donde: , siendo la constante dieléctrica del vacío y la carga eléctrica del centro dispersor. , es la energía cinética inicial de la partícula alfa incidente. es el parámetro de impacto. Dado que Rutherford observó una fracción apreciable de partículas "rebotadas" para las cuales el ángulo de deflexión es cercano a χ ≈ π, de la relación inversa a (1): 𝑏= 2𝐾 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝐸0 2 Se deduce que el parámetro de impacto debe ser bastante menor que el radio atómico. De hecho el parámetro de impacto necesario para obtener una fracción apreciable de partículas "rebotadas" sirvió para hacer una estimación del tamaño del núcleo atómico, que resulta ser unas cien mil veces más pequeño que el diámetro atómico. Este hecho resultó ser la capacidad uniformable sobre la carga positiva de neutrones. Importancia del modelo y limitaciones La importancia del modelo de Rutherford residió en proponer por primera vez la existencia de un núcleo en el átomo (término que, paradójicamente, no aparece en sus escritos). Lo que Rutherford consideró esencial, para explicar los resultados experimentales, fue "una concentración de carga" en el centro del átomo, ya que sin ella, no podía explicarse que algunas partículas fueran rebotadas en dirección casi opuesta a la incidente. Este fue un paso crucial en la comprensión de la materia, ya que implicaba la existencia de un núcleo atómico donde se concentraba toda la carga positiva y más del 99,9% de la masa. Las estimaciones del núcleo revelaban que el átomo en su mayor parte estaba vacío. Rutherford propuso que los electrones orbitarían en ese espacio vacío alrededor de un minúsculo núcleo atómico, situado en el centro del átomo. Además se abrían varios problemas nuevos que llevarían al descubrimiento de nuevos hechos y teorías al tratar de explicarlos: Por un lado se planteó el problema de cómo un conjunto de cargas positivas podían mantenerse unidas en un volumen tan pequeño, hecho que llevó posteriormente a la postulación y descubrimiento de la fuerza nuclear fuerte, que es una de las cuatro interacciones fundamentales. Por otro lado existía otra dificultad proveniente de la electrodinámica clásica que predice que una partícula cargada y acelerada, como sería el caso de los electrones orbitando alrededor del núcleo, produciría radiación electromagnética, perdiendo energía y finalmente cayendo sobre el núcleo. Las leyes de Newton, junto con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo aplicadas al átomo de Rutherford llevan a que en un tiempo del orden de 10−10s, toda la energía del átomo se habría radiado, con la consiguiente caída de los electrones sobre el núcleo.2 Se trata, por tanto de un modelo físicamente inestable, desde el punto de vista de la física clásica. Según Rutherford, las órbitas de los electrones no están muy bien definidas y forman una estructura compleja alrededor del núcleo, dándole un tamaño y forma algo indefinidas. Los resultados de su experimento le permitieron calcular que el radio atómico era diez mil veces mayor que el núcleo mismo, y en consecuencia, que el interior de un átomo está prácticamente vacío. Modelos posteriores El modelo atómico de Rutherford fue sustituido muy pronto por el de Bohr. Bohr intentó explicar fenomenológicamente que sólo algunas órbitas de los electrones son posibles. Lo cual daría cuenta de los espectros de emisión y absorción de los átomos en forma de bandas discretas. El modelo de Bohr "resolvía" formalmente el problema, proveniente de la electrodinámica, postulando que sencillamente los electrones no radiaban, hecho que fue explicado por la mecánica cuántica según la cual la aceleración promedio del electrón deslocalizado es nula. Los experimentos de Lord Ernest Rutherford apoyados con argumentos elementales de balística demostraron en forma concluyente que la materia no es tan absolutamente sólida como se creía, y de hecho que la materia en su mayor parte es fantasmal, con un núcleo en el que se podía considerar que se albergaba toda la carga eléctrica positiva (+) del átomo, y partículas mucho más pequeñas orbitando en torno al núcleo en una forma muy parecida a como lo hacen los planetas en torno al Sol, partículas de carga negativa (-) a la cual se deben los fenómenos de naturaleza eléctrica, loselectrones. La carga positiva situada en el centro del átomo explicaba la estabilidad de la materia en el espacio mientras que los electrones orbitando libremente en torno al átomo explicaban la disponibilidad de los mismos para ser removidos de un átomo a otro haciendo posible la corriente eléctrica. Fue así como se llegó al modelo planetario de Rutherford: El modelo planetario de Rutherford no especificaba ni las velocidades de los electrones en torno al núcleo ni las distancias a las cuales se pudieran encontrar los electrones del núcleo atómico. Se trataba simplemente de un concepto, de una idea. Esta idea sería tomada posteriormente por un físico danés, Niels Böhr, para explicar los fenómenos relacionados con las líneas espectrales de los elementos de lo cual hablaremos a continuación. Casi todos estamos familiarizados de alguna manera con el efecto de los prismas de vidrio con los cuales se logra descomponer a la luz blanca en sus constituyentes esenciales: Cuando después de una lluvia intensa vemos un arco iris, dicho arco iris es producido por las gotitas de lluvia en la lejanía que actuando como prismas pequeños nos mandan a la luz solar descompuesta en su espectro de colores. Si hacemos pasar la luz del Sol o la luz de un foco eléctrico a través de un prisma, o mejor aún, a través de un espectroscopio, veremos un espectro continuo como el siguiente: Sin embargo, si entre la fuente luminosa y nosotros interponemos un gas frío, encontraremos unas líneas ausentes, típicas de un espectro de absorción: Y si lo que hacemos es meter un gas dentro de en un recipiente calentándolo a una temperatura elevada, o mejor aún, sometiéndolo a descargas eléctricas de alta energía, obtendremos un espectro de emisión como el siguiente: En 1885 un maestro suizo, Johann Balmer, encontró que las líneas en el espectro del hidrógeno podían ser representadas mediante la siguiente fórmula: en donde: b = 3645.6·10-8 centímetro = 3645.6 Angstroms = 3645.6 Å m = 3, 4, 5, ... y tras esto procedió a sugerir que esto pudiera tratarse de un caso especial de la expresión: en donde tanto m como n son enteros. A fines del siglo XIX, se habían realizado muchos trabajos experimentales sobre el análisis del espectro discreto de la radiación emitida al producirse descargas eléctricas en los gases. Puesto que de todos los átomos el más liviano y el más sencillo es el del hidrógeno compuesto por un núcleo y un electrón, no resultó ninguna sorpresa en aquél entonces la demostración, mediante medidas espectroscópicas cada vez más exactas, según la cual el hidrógeno presentaba el espectro más simple entre todos los elementos. Se encontró que las diferentes líneas en las regiones visibles y no visibles estaban distribuidas sistemáticamente en varias series. En forma asombrosa se encontró que todas las longitudes de onda del átomo de hidrógeno se obtienen mediante una relación empírica sencilla, conocida como la fórmula de Rydberg: en la cual R es una constante conocida como la constante de Rydberg (en honor al físico suecoJohannes Rydberg) cuyo valor sobre unidades Angstrom para el átomo de hidrógeno es: R = 1.0967758·10-3 /Å en donde: ___na = 1 y nb = 2, 3, 4, ... dá la serie de Lyman (región ultravioleta) ___na = 2 y nb = 3, 4, 5, ... dá la serie de Balmer (región visible) ___na = 3 y nb = 4, 5, 6, ... dá la serie de Paschen (región infrarroja) ___na = 4 y nb = 5, 6, 7, ... dá la serie de Brackett (región del infrarrojo lejano) ___na = 5 y nb = 6, 7, 8, ... dá la serie de Pfund (región del infrarrojo lejano) y así sucesivamente, para otras series que se encuentran aún más lejos del infrarrojo. PROBLEMA: Calcular la longitud de onda más corta y la longitud de onda más larga para la serie de Lyman del hidrógeno. La longitud de onda en la serie de Lyman se obtiene haciendo na = 1 en la fórmula de Rydberg: 1/λ = (1.097·10-3 /Å) [(1/1²) - (1/nb²)] La máxima longitud de onda corresponde a nb = 2: 1/λmax = (1.097·10-3 /Å) [(1/1²) - (1/2²)] λmax = 1215 Å Y la mínima longitud de onda corresponde a nb = ∞: 1/λmin = (1.097·10-3 /Å) [(1/1²) - (1/∞)] λmin = 912 Å Cada elemento tiene su propia serie de líneas espectrales características, lo cual equivale a decir que cada elemento tiene su propia constante de Rydberg. No hay dos elementos con las mismas líneas espectrales, del mismo modo que no hay dos personas distintas que posean exactamente el mismo ADN o las mismas huellas digitales, lo cual permite utilizar a la espectroscopía como método de análisis para la identificación de los elementos que forman parte de una muestra de material. Si tenemos a la mano un “catálogo” con los espectros característicos de cada uno de los elementos, podemos identificar sin mayores problemas los elementos que hay dentro de una muestra de material. A continuación tenemos los espectros de siete muestras distintas de materiales: De este modo, la constante de Rydberg no es exactamente una constante universal, ya que cada uno de los elementos químicos tiene su propia constante de Rydberg. Para todos los átomos similares al átomo de hidrógeno (átomos con un solo electrón en su última órbita, los átomos hidrogenoides) la constante de Rydberg R puede ser derivada de la constante de Rydberg del “infinito” R ∞ de la siguiente forma: siendo R la constante de Rydberg para cierto átomo con un solo electrón, y siendo me la masa del electrón y M la masa del núcleo atómico. En 1913, ofreciendo una hipótesis para aclarar el misterio de la fórmula empírica de Rydberg, Niels Bohr desarrolló una teoría física a partir de la cual se podía obtener deducir la fórmula de Rydberg. Al igual que el modelo atómico planetario de Rutherford, el modelo atómico planetario de Bohr se basa en un sistema planetario en donde un electrón liviano cargado negativamente gira alrededor de un núcleo pesado cargado positivamente. Pero a diferencia del modelo atómico planetario de Rutherford, el modelo atómico planetario de Bohr imponía varios niveles discretos de energía en los cuales podíamos encontrar a los electrones en movimiento en torno al núcleo del átomo, y al imponer tales niveles discretos de energía los electrones no podían estar situados a cualquier distancia arbitraria del núcleo, estas “capas esféricas” quedaban situadas a distancias bien definidas del centro geométrico del átomo. A la capa más cercana al núcleo del átomo se le asignó un número cuántico igual a n = 1, y tras esto la capa inmediata externa tendría un número cuántico igual a n = 2, y así sucesivamente: Una vez definidas las capas energéticas discretas, Bohr postuló la hipótesis de que un fotón de luz con la suficiente energía pudiese hacer “brincar” un electrón de una capa inferior a una capa superior (por ejemplo, de n = 1 a n= 5), absorbiendo el fotón y dejando con ello un “hueco” en el espectro de absorción. Pero no sólo era posible que un electrón pudiese saltar de un nivel energético inferior a uno superior al absorber un fotón. También era posible que saltase de un nivel energético superior a un nivel energético inferior emitiendo un fotón cuya energía debía ser igual a la diferencia entre los niveles energéticos de las capas. Esto podía explicar los espectros de emisión: El modelo atómico planetario de Bohr fue capaz de explicar inclusive predecir la existencia de otras líneas espectrales que fueron siendo descubiertas paulatinamente conforme aumentaba la potencia de la resolución de los espectroscopios gracias a técnicas refinadas en la manufactura de los mismos: Tan sencillo como parece, el modelo atómico planetario de Bohr llegó a un costo difícil de aceptar para quienes estaban acostumbrados a pensar en términos de la física clásica. Para ver el impacto producido por el modelo, considérese el problema clásico de una pelota que es soltada para que vaya rodando sobre un plano inclinado: Desde la perspectiva de la física clásica, la pelota va perdiendo gradualmente energía potencial (en función de su altura) que se va convirtiendo en energía de movimiento (cinética). A cada infinitésimo de pérdida en energía potencial la pelota gana un infinitésimo de energía cinética, y la transición es suave y continua pudiendo aplicarse para el análisis del sistema las herramientas del cálculo infinitesimal. En cambio, en el modelo de Bohr, tal transición suave y continua no existe, ya que el electrón pasa de un nivel energético a otro a “saltos” como si brincase del peldaño de una escalera a otro sin posibilidad de que se estabilice en un valor intermedio de energía: En el ejemplo mostrado en la figura, el electrón “brinca” del nivel n = 3 al nivel n = 2 produciendo un fotón de luz roja con una longitud de onda de 656·10 9 metros y una energía de 1.89 eV (electrón-volts). El por qué la Naturaleza se mueve a “brincos” en el mundo sub-microscópico en lugar de hacerlo en forma suave y continua es un asunto filosófico de fondo que atormentó y consumió al primer descubridor de la cuantización de la energía, Max Planck (en cuyo honor la constante h que rige al mundo sub-microscópico lleva su nombre), y es un asunto que sigue sin resolverse pero que es aceptado con cierta resignación por las generaciones que han crecido acostumbradas al hecho sin tener que pasar por el “shock” por el que tuvieron que pasar los fundadores de la Mecánica Cuántica que tuvieron que digerir la difícil transición en este modo de pensar. Puesto que el diámetro de un átomo es de aproximadamente 10-10 metro mientras que la carga eléctrica positiva está concentrada en un núcleo de aproximadamente 10-14 ó 10-15 metro de diámetro, el electrón debe estar relativamente alejado del átomo, al menos en promedio. La fuerza de atracción eléctrica que mantiene al electrón en su órbita está dada clásicamente por la ley de Coulomb: F = kq1q2/r² siendo k = 1/4πε0 = 9·109 Newton·metro²/coulomb² en el sistema de unidades MKS (ISO) y k= 1 en el sistema de unidades cgs-Gaussiano. Para lograr una estabilidad mecánica, Bohr supuso que esta fuerza de atracción eléctrica entre la carga positiva del núcleo y la carga negativa del electrón era justo lo que se requería para poder proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para mantener al electrón en su órbita circular, ya que sin ella el electrón saldría disparado de su órbita al igual que como ocurriría con la Luna de no ser por eso que Newton bautizó como la “fuerza de la gravedad”. Por simplicidad, y no teniendo evidencias de lo contrario, Bohr supuso que la órbita del electrón en torno al núcleo era una órbita circular. La energía potencial eléctrica U de un electrón situado a una distancia r de un núcleo de carga Ze (siendo Z el número atómico del elemento que está siendo considerado, con Z = 1 para el hidrógeno) es: (Nota: La interpretación general que se le dá al número atómico Z en el modelo atómico planetario de Bohr para otros elementos distintos al hidrógeno tiene que ver con los átomos hidrogenoides, átomos que tienen dos o más protones en su núcleo pero un electrón solitario girando en torno al núcleo,; como el helio ionizado He+ con dos protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el litio doblemente ionizado Li2+ con dos protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el berilio triplemente ionizado Be3+ con tres protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, el boro B 4+ con cuatro protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo, y el carbono C5+ con cinco protones en su núcleo y un electrón solitario orbitando en torno al núcleo. Esto es necesario porque si consideramos dos o más electrones en órbita en torno al núcleo entonces la interacción electrónelectrón por la repulsión entre los electrones dificulta enormemente el análisis matemático del problema). La energía total E del electrón (que de aquí en adelante consideraremos como la energía total del átomo para el caso del hidrógeno) será igual a la suma de la energía cinética y la energía potencial, o sea: Para que haya estabilidad mecánica, la fuerza de atracción eléctrica: debe ser igual a la fuerza centrípeta requerida para mantener al electrón en una órbita circular, siendo ésta igual (clásicamente) a F = mv²/r. Por lo tanto: De esto podemos obtener una expresión para la energía cinética en función de la distancia r: De este modo, podemos ver que para órbitas circulares la energía cinética es igual a la mitad de la energía potencial U. Entonces la energía total E será igual a: Usando la relación: hf = E1 - E2 Para la frecuencia de la radiación cuando el electrón salta de la órbita 1 de radio r1 a la órbita 2 de radio r2, tenemos entonces: Para poder obtener la fórmula de Balmer-Ritz f = cf = cR(1/m² - 1/n²), resulta evidente que los radios de las órbitas estables deben ser proporcionales a los cuadrados de números enteros, o sea: rn = n²r0 en donde r0 es por lo pronto una constante desconocida a ser determinada posteriormente. Esto tiene como consecuencia directa la cuantización de los niveles energéticos del átomo: Tenemos entonces para la frecuencia de la radiación: Tomaremos ahora el problema de determinar r0. La constante r0 es el radio más pequeño posible, pero puede ser determinado considerando el caso especial para un número cuántico n muy grande. Conforme n se aproxima al infinito, la diferencia energética entre órbitas adyacentes se aproxima a cero y la cuantización debe tener un efecto prácticamente nulo. Bohr razonó que para números cuánticos grandes, la física clásica debe dar los resultados correctos. Este principio es conocido como el principio de correspondencia: para un número cuántico n grande la ecuación cuántica se convierte en la ecuación clásica, los cálculos clásicos y los cálculos cuánticos deben dar el mismo resultado. Escribiendo: n1 = n___n2 = n - 1 Tenemos entonces: para n » 1. Entonces, para números cuánticos grandes, la fórmula de arriba para la frecuencia de la radiación toma la siguiente forma: La frecuencia de la radiación predicha por la teoría clásica es igual a la frecuencia de revolución del electrón en torno al núcleo atómico, siendo ésta frev = v/2πr. De lo anterior tenemos entonces para esto último: Haciendo la frecuencia de revolución frev² igual a la frecuencia de radiación f², obtenemos lo siguiente: o bien, despejando para r0: En donde a0 = h²/(4π²ke²m) siendo m = me la masa del electrón. Poniendo la expresión que hemos obtenido arriba para r0 en la fórmula para las frecuencias de radiación, obtenemos lo siguiente: PROBLEMA: Evaluar el radio a0 de la primera órbita del electrón para el átomo de hidrógeno.Utilícense unidades en el sistema MKS-SI para la resolución de este problema. Para el átomo de hidrógeno se tiene Z = 1. En el sistema MKS-SI, la constante k que debe ser utilizada es igual a k = 1/4πε0. Entonces: Históricamente, a esta longitud a0 = 0.529 Å, el primer radio de la órbita del modelo atómico planetario de Bohr, se le consideró tan fundamental que se le dió un nombre especial honrando a su descubridor, el Bohr, frecuentemente midiéndose los radios de las demás órbitas en múltiplos del radio de Bohr a0. La designación aún subsiste, pese al hecho de que en la Mecánica Cuántica moderna se considera que este radio no es observable e inclusive no es posible ascribirle al electrón una distancia fija con respecto al núcleo atómico siendo posible únicamente hablar acerca de laprobabilidad de poder encontrar al electrón a cierta distancia del núcleo, más no la certeza. PROBLEMA: Determínese la energía de un átomo de hidrógeno que se encuentra en su estado fundamental. Utilícense unidades en el sistema MKS-SI para la resolución de este problema. Escribiendo la fórmula para el nivel energético del átomo de hidrógeno en su estado fundamental de la siguiente manera: entonces, utilizando las constantes físicas en el sistema MKS-SI: me = 9.109× 10-31 kilogramo e= 1.602× 10-19 coulomb ε0 = 8.854× 10-12 coulomb²/Newton·metro² h = 6.626× 10-34 joule·segundo tenemos el siguiente resultado: Puesto que 1 electrón-voltio equivale a 1.602× 10-19 joule, la energía del átomo de hidrógeno (considerada aquí como la energía del electrón en el estado fundamental) será igual a -13.6 eV. PROBLEMA: (1) Calcúlese la frecuencia de la rotación de un electrón en el estado n = 10. (2) Calcúlese la frecuencia de la luz emitida cuando un electrón desciende del estado n = 10 al estado n = 9. Utilícense unidades en el sistema cgs-Gaussiano para la resolución de este problema. (1) La energía de un electrón situado en el nivel n = 10, calculada en el sistema de unidades cgsGaussiano, será la siguiente: Suponiendo que toda esta energía es energía cinética de rotación del electrón alrededor del núcleo, entonces podemos calcular con esto su velocidad tangencial orbital: A continuación, calculamos el radio de la órbita cuando el electrón está en el estado n = 10: Teniendo la velocidad tangencial orbital y el radio de la órbita, podemos calcular la frecuencia de la rotación del electrón alrededor del núcleo partiendo del hecho de que la velocidad angular ω es igual a la velocidad tangencial entre el radio y la velocidad angular es también igual a 2π veces la frecuencia de rotación: Por otro lado, la energía del fotón luminoso emitido cuando desciende del nivel n = 10 al nivel n = 9 será: en donde el signo negativo indica que esta es una energía liberada por el átomo en lugar de ser una energía que se le tenga que suministrar. La frecuencia del fotón luminoso (que en este problema identificaremos con la letra ν para no confundirla con la frecuencia de rotación que acabamos de calcular arriba) se obtiene entonces con la fórmula básica que relaciona a la energía de un fotón con su frecuencia: Si comparamos la frecuencia de la rotación de un electrón en el estado n = 10 con la frecuencia de la luz emitida cuando un electrón desciende del estado n = 10 al estado contiguo n = 9, podremos ver que ambas cantidades tienen el mismo orden de magnitud, y de hecho ambos resultados numéricos no están tan alejados el uno del otro. Esto, desde luego, es el principio de correspondencia de Bohr en acción. Este sencillo problema nos demuestra que en realidad no es necesario que los números cuánticos sean tan grandes para que se establezca la correspondencia. Naturalmente que para números cuánticos realmente grandes, la correspondencia se convierte en una igualdad. Y aunque la Comparación se establece suponiendo que el electrón cae de un estado de energía n+1 a un estado de energía contiguo n, podemos comprobar echando números que para números cuánticos grandes la correspondencia se sostendrá con un grado razonable de aproximación aún cuando los estados energéticos no sean contiguos. PROBLEMA: Encuéntrese la diferencia entre las longitudes de onda de la línea del hidrógeno correspondiente a la transición n1 = 3 → n2 = 2 y la línea del helio simplemente ionizado correspondiente a la transición n1 = 6 → n2 = 4. Tómense como valores para las constantes de Rydberg los siguientes: RH = 1.09678×10-3/Å RHe = 1.09722×10-3/Å De la relación fundamental para un elemento con número atómico Z: tenemos lo siguiente para el átomo de hidrógeno con una transición n1 = 3 → n2 = 2: y tenemos lo siguiente para el átomo de helio con una transición n 1 = 6 → n2 = 4: Tomando diferenciales en la primera relación e introduciendo los últimos resultados que vienen siendo lo mismo: En esto último podemos hacer una buena aproximación reemplazando los infinitesimales por incrementos finitos escribiendo así lo siguiente: Regresando a la relación previa, vemos que: Entonces: Metiendo números: Haciendo Z = 1 para el caso del hidrógeno y comparando lo que obtenemos con la fórmula BalmerRitz, tendremos lo siguiente para la frecuencia de Rydberg: Puesto que cada capa representa un nivel energético distinto (y al decir esto nos estamos refiriendo al nivel energético de un electrón que esté situado en una capa cualquiera), se acostumbra representar las transiciones de una capa a otra mediante lo que se conoce como diagramas de niveles de energía como el siguiente: La capa para la cual n = 1 es conocida como el estado fundamental o estado basal. Sin importar el estado que esté ocupando un electrón en un átomo, ya sea que se encuentre en el estado fundamental o que se encuentre en un estado excitado, si proporcionamos suficiente energía al átomo (por ejemplo mediante descargas eléctricas) podemos arrancarle dicho electrón al átomo, de modo tal que si el átomo anteriormente estaba en un estado eléctricamente neutro (con la misma cantidad de cargas positivas que negativas) ahora se encontrará en un estado ionizado, manifestando una carga eléctrica neta positiva: Lo que hemos visto arriba reproduce en esencia la misma línea de pensamiento utilizada por Bohr al estar desarrollando sus ideas. Sin embargo, entre las fórmulas se escondía algo de mucha mayor trascendencia todavía, algo que al ser descubierto sería adoptado por el mismo Bohr como postulado para su modelo atómico. PROBLEMA: Demostrar que el desarrollo original utilizado por Bohr para la obtención de sus fórmulas implica necesariamente la cuantización del momento angular orbital. Clásicamente, el momento angular orbital L de una partícula de masa m girando con una velocidadv en torno a otro cuerpo que actúa como núcleo proporcionando la fuerza atractiva que la mantiene en órbita: está dado por la relación vectorial del producto cruz: siendo p = mv el momentum lineal de la partícula. Para el modelo atómico planetario de Bohr, el momento angular de un electrón moviéndose en una órbita circular de radio rn es: L = mvrn Usando el resultado previo rn = n²r0 tenemos entonces: L = mv(n²r0) = n²mvr0 Usando otro de los resultados previos tenemos: Por otro lado, tenemos también de otro resultado previo lo siguiente: Por lo tanto: Pero mvrn = L. Entonces: Esto último lo podemos compactar aún más usando una notación simplificada propuesta por Paul Adrien Maurice Dirac, conocida como h barrada ó h barra que sirve para representar a la constante reducida de Planck h/2π con un solo símbolo, ħ, permitiéndonos escribir la anterior relación como: Ya desde los tiempos en los que Max Planck había resuelto el problema de la radiación del cuerpo negro descubriendo la famosa constante que lleva su nombre, era obvio que dicha constante tenía las unidades de momento angular. Pero en ese entonces el modelo atómico planetario de Bohr aún no había sido descubierto, y no era muy clara la relación que pudiera tener el momento angular como tal con la cuantización de la energía. Ahora, por vez primera, se tenía un resultado en el cual aparecía la constante de Planck ligada a un número entero positivo n, siendo este resultado la relación más sencilla de todas las relaciones posibles. Esto era la señal más clara de que, a un nivel fundamental, la cuantización del momento angular era algo inclusive más básico que la cuantización de la energía o la cuantización de los radios de las órbitas del electrón en torno al núcleo. La cuantización del momento angular podía utilizarse como punto esencial de partida para la construcción de una nueva ciencia. Bohr no tardó en darse cuenta del hecho, y fue así como en su papel en el cual Bohr anunció su descubrimiento al mundo asentó toda su teoría sobre los siguientes dos postulados: (1) Los electrones se mueven en órbitas circulares estables, consistentes con la ley clásica de la atracción eléctrica entre dos cargas eléctricas opuestas y las leyes clásicas del movimiento de Newton, estando especificadas dichas órbitas por una cuantización del momento angular: L = nħ (2) Cuando un electrón salta de una órbita de energía E1 a una órbita de energía E2, se emite un fotón cuya frecuencia de radiación será: ν = (E1 - E2)/h Con el fin de resolver los problemas acumulados sobre el modelo de átomo planetario, y para explicar el espectro del átomo de hidrógeno, Niels Bohr propone en 1913 un nuevo modelo atómico sustentado en tres postulados: 1. Cualquiera que sea la órbita descrita por un electrón, éste no emite energía. Las órbitas son consideradas como estados estacionarios de energía. A cada una de ellas le corresponde una energía, tanto mayor, cuanto más alejada se encuentre del núcleo. 2. No todas las órbitas son posibles. Sólo pueden existir aquellas órbitas que tengan ciertos valores de energía, dados por el número cuántico principal, n.Solamente son posibles las órbitas para las cuales el número cuántico principal (n) toma valores enteros: n = 1, 2, 3, 4…. Las órbitas que se correspondan con valores no enteros del número cuántico principal, no existen 3. La energía liberada al caer un electrón desde una órbita superior, de energía E2, a otra inferior, de energía E1, se emite en forma de luz. La frecuencia (f ) de la luz viene dada por la expresión: Niels Bohr (18851962) Clic en la imagen para ver animación Los cálculos basados en los postulados de Bohr daban excelentes resultados a la hora de interpretar el espectro del átomo de hidrógeno, pero hay que tener en cuenta que contradecían algunas de las leyes más asentadas de la Física: El primer postulado iba en contra de la teoría electromagnética de Maxwell, ya que según esta teoría cualquier carga eléctrica acelerada debería de emitir energía en forma de radiación electromagnética. El segundo postulado era aún más sorprendente. En la física clásica era inaceptable suponer que el electrón no pudiera orbitar a determinadas distancias del núcleo, o que no pudiera tener determinados valores de energía. La afirmación era equivalente a suponer que un objeto que describe circunferencias atado a una cuerda, no puede describir aquellas cuyo radio no sea un número entero (por ejemplo). El tercer postulado afirmaba que la luz se emitía en forma de pequeños paquetes o cuantos, lo cual (a pesar de que ya había sido propuesto por Planck en 1900) no dejaba de sorprender en una época en la que la idea de que la luz era una onda estaba firmemente arraigada. El átomo de Bohr era, simplemente, un síntoma de que la física clásica, que tanto éxito había tenido en la explicación del mundo macroscópico, no servía para describir el mundo de lo muy pequeño, el dominio de los átomos. Posteriormente, en la década de 1920, una nueva generación de físicos (Schrödinger, Heisenberg, Dirac…) elaborarán una nueva física, laFísica Cuántica, destinada a la descripción de los átomos, que supuso una ruptura con la física existente hasta entonces.
