EJEMPLO LINEA DE INFLUENCIA DEL ESFUERZO DE CORTE EN SECIÓN INTERMEDIA EN SEGUNDO TRAMO (0.4L), PARA CARGAS VERTICALES , CÁLCULO ANALÍTICO POR METODO MIC: A) Cálculo Analítico por Método MIC (Procedimiento de Cálculo) Resolvemos el problema a traves de la solución de la ecuación matricial de Equilibrio (matriz de Rigidez): (ver esquemas. En este se esquematizó un caso general en un punto intermedio del tramo). IPN 160 L := 300 (cm) J := 935 (cm4 ) E := 2100 6 (t/cm2 ) E⋅ J = 1.963 × 10 Rigideces: r11 := 7 ⋅ E⋅ J r12 := 2⋅ E⋅ L B) Esquemas de Superposición: J L r21 := r12 r22 := 7⋅ E⋅ J L Determninación de las reacciones momentos de empotramiento (viga E_E) para el esquema de cedimiento de vínculo correspondiente a un desplazamiento relativo -1 para una sección intermedia donde se evidencia el mecanismo de liberación del G de L en la dirección del esfuerzo de Corte: (basados en las funciones definidas como v3(x) y v2(x). (Tabla de Funciones Elásticas). En el ejemplo esta sección está en x= 0.4L. v3( x ) := 3 ⋅ ⎛⎜ x⎞ 2 ⎛x⎞ ⎟ − 2⋅ ⎜ ⎟ ⎝ L⎠ ⎝ L⎠ ⎡ 3 2 3 ⎛x⎞ ⎤ ⎟ + 2⋅ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ L⎠ ⎝ L⎠ ⎦ v2( x ) := −⎢1 − 3 ⋅ ⎛⎜ ⎣ x⎞ Eje := 0 −1 v3( x)− 0.5 v2( x) 0 Eje 0.5 1 0 100 200 300 x α := 0.4 v ( x ) := β := 1 − α β = 0.6 0 if 0 < x v3( x ) if 0 ≤ x ≤ α L v2( x ) if α L ≤ x ≤ L −1 0.4L − 0.5 v( x) 0 0 0.5 1 0 100 200 300 x 2 x x d v3( x ) → − 4500000 15000 dx 2 x x d v2( x ) → − 4500000 15000 dx θ( x ) := 6⋅ x L 2 6⋅ x − L 2 3 v3( α⋅ L) → 0.352 v2( α⋅ L) → −0.648 −3 θ( α⋅ L) = 4.8 × 10 δi := v3( α⋅ L) δi = 0.352 Desplazamiento Relativo: δd := v2( α⋅ L) −v3( α⋅ L) + v2( α⋅ L) = −1 δd = −0.648 J Mi := −6 ⋅ E⋅ ( α⋅ L) Mi = −130.9 2 ⋅ δi + 2 ⋅ E⋅ R= α⋅ L ⋅ θ( α⋅ L) (tcm) ⎛ r11 r12 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ r21 r22 ⎠ Md := −6 ⋅ E⋅ J ( β⋅ L) 2 ⋅ δd + 2 ⋅ E⋅ J β⋅ L ⋅ θ( α⋅ L) (tcm) Md = −130.9 R01 := Mi R := J R02 := Md R0 := ⎛ R01 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ R02 ⎠ R0 = ⎛ −130.9 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ −130.9 ⎠ ⎛ 4.582 × 104 1.309 × 104 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 4 4⎟ ⎝ 1.309 × 10 4.582 × 10 ⎠ R⋅ X + R0 = 0 X := −R −1 ⋅ R0 ⎛ 2.222 × 10− 3 ⎞ ⎟ X= ⎜ ⎜ − 3⎟ ⎝ 2.222 × 10 ⎠ −3 X1 := 2.222 × 10 −3 X2 := 2.222 × 10 RAD RAD En el Cálculo de la superposición de elásticas (Principio de Superposición de Efectos), en el fundamental debido a la causa deformante cedimniento de vínculo mas las debidas a las incognitas CINEMÁTICAS nos basamos en los resultados de las elásticas de BARRAS ELEMENTALES OBTENIDAS POR INTEGRACIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA LINEA ELÁSTICA DE LA BARRA RECTA, CORRESPONDIENTES A CEDIMIENTOS DE VÍNCULO SEGÚN LAS INCOGNITAS CINEMÁTICAS. (Tablas) Para identificar las elásticas de cada tramo usamos el primer subindice para indicar el sistema (deformaciones en el fundamental debido a causas y/o incógnitas), y el segundo para indicar el tramo. Por otro lado cuando representemos la L de I total podemos referirla a un sistema de ejes con origen movil es decir trasladamos el origen según convenga en función de las ecuaciones analiticas de las elásticas elementales ya resueltas para barras simples. (tablas) Ver las correspondiente soluciónes desarrolladas de los casos que se presentan en este ejemplo y que son vigas simples E_E o E_A para desplazamientos extremos δ=+1 o θ=+1 según corresponda. Ver archivo de Elásticas para C.V. (tablas). Elásticas a Utilizar en la resolución: Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo derecho, θ=+1: E_E v( x) = x 2 L ⋅ ⎛⎜ x ⎝L − 1⎞⎟ ⎠ Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo izquierdo, θ=+1:E_E : v ( x ) = x ⋅ ⎛⎜ 1 − ⎝ x⎞ 2 ⎟ L⎠ Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo izquierdo, θ=+1:E_A v( x) = 2 ⎛ x3 ⎞ ⎜ ⎟ − 3⋅ x + x ⎜ 2 ⋅ L2 ⎟ 2⋅ L ⎝ ⎠ Para giro unitario positivo con sentido horario en el extremo izquierdo, θ=+1:E_A v( x) = − ( L − x) 2⋅ L 2 3 + 3⋅ ( L − x) 2⋅ L 2 −L+x A partir del segundo tramo, se traslada el origen de coordenadas a L, 2L y 3L Las elásticas correspondientes a los diferentes estados y tramos son: Tramo2 (1.4L-2L) Tramo2 (L-1.4L) Tramo1 2 v01 ( x ) := 0 3 ( x − L) ⎤ ⎡ ( x − L) ⎤ v02d( x ) := v02i( x ) := 3 ⋅ ⎡⎢ ⎥ − 2⋅ ⎢ ⎥ ⎣ L ⎦ ⎣ L ⎦ 2 3 ⎡ ( x − L) ⎤ ( x − L) ⎤ ⎤ ⎡ ⎡ ⎢ − 1 − 3⋅ ⎢ ⎥ + 2⋅ ⎢ ⎥⎥ ⎣ ⎣ L ⎦ ⎣ L ⎦⎦ Tramo3 v03 ( x ) := 0 Tramo2 Tramo3 Tramo1 v11 ( x ) := − ( L − x) 2⋅ L 2 3 + 3⋅ Tramo1 v21 ( x ) := 0 ( L − x) 2 ( x − L) ⎤ ⎡ v12 ( x ) := ( x − L) ⋅ ⎢1 − ⎥ L ⎦ ⎣ 2 2⋅ L −L+x Tramo3 Tramo2 v22 ( x ) := X1 = 2.222 × 10 −3 ( x − L) L 2 v13 ( x ) := 0 ⋅ ⎡⎢ ( x − L) ⎣ X2 = 2.222 × 10 L − 1⎤⎥ v23 ( x ) := ⎦ 2 ⎡ ( x − 2 ⋅ L) 3⎤ ⎢ ⎥ − 3 ⋅ ( x − 2 ⋅ L) + ( x − 2 ⋅ L ⎢ 2 ⋅ L2 ⎥ 2⋅ L ⎣ ⎦ −3 α := 0.4 L = 300 Linea de Influencia en intervalos: 0-L (tramo 1) v1( x ) := v01 ( x ) + v11 ( x ) ⋅ X1 + v21 ( x ) ⋅ X2 Linea de Influencia en intervalos: L-1.4L (tramo 2 izquierdo) v2i( x ) := v02i( x ) + v12 ( x ) ⋅ X1 + v22 ( x ) ⋅ X2 Linea de Influencia en intervalos: 1.4L-2L (tramo 2 derecho) v2d ( x ) := v02d( x ) + v12 ( x ) ⋅ X1 + v22 ( x ) ⋅ X2 Linea de Influencia en intervalos: 2L-3L (tramo 3) v3( x ) := v03 ( x ) + v13 ( x ) ⋅ X1 + v23 ( x ) ⋅ X2 Grafica completa de la Linea de Influencia del Esfuerzo de Corte en x=0.4L del tramo 2 para cargas verticales: v ( x ) := 0 if 0 < x EjeViga := 0 Eje de Viga: v1( x ) if 0 ≤ x ≤ L v2i ( x ) if L ≤ x ≤ ( 1 + α) ⋅ L v2d ( x ) if ( 1 + α) ⋅ L ≤ x ≤ 2 ⋅ L v3( x ) if 2 ⋅ L ≤ x ≤ 3 ⋅ L −1 2⋅ L L − 0.5 v( x) 0 EjeViga 0.5 1 0 150 300 450 600 750 900 3 1.05× 10 x x(cm) Tabla de Coeficientes de Influencia para distintos valores de abcisas (cm): v( 0) = 0 v ( 325 ) = 0.062 v ( 350 ) = 0.136 v ( 625 ) = 0.049 v ( 650 ) = 0.085 v ( 925 ) = 0 v ( 950 ) = 0 v ( 375 ) = 0.219 v ( 675 ) = 0.109 v ( 975 ) = 0 v ( 400 ) = 0.309 v ( 700 ) = 0.123 v ( 1000) = 0 v ( 125 ) = −0.115 v ( 420 ) = −0.616 v ( 425 ) = −0.597 v ( 450 ) = −0.5 v ( 725 ) = 0.128 v ( 750 ) = 0.125 v ( 1025) = 0 v ( 1050) = 0 v ( 150 ) = −0.125 v ( 475 ) = −0.403 v ( 775 ) = 0.115 v ( 410 ) = 0.346 v ( 175 ) = −0.128 v ( 500 ) = −0.309 v ( 800 ) = 0.099 v ( 419 ) = 0.38 v ( 200 ) = −0.123 v ( 525 ) = −0.219 v ( 825 ) = 0.078 v ( 420 ) = −0.616 v ( 225 ) = −0.109 v ( 550 ) = −0.136 v ( 850 ) = 0.054 v ( 421 ) = −0.612 v ( 250 ) = −0.085 v ( 575 ) = −0.062 v ( 875 ) = 0.028 v ( 25) = −0.028 v ( 50) = −0.054 v ( 75) = −0.078 v ( 419.9 ) = 0.384 v ( 100 ) = −0.099 v ( 275 ) = −0.049 v ( 300 ) = 0 v ( 600 ) = 0 v ( 900 ) = 0