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TEOREMA DE EULER
Teorema de la recta de Euler. En cualquier triángulo, el circuncentro, el baricentro y el
ortocentro son colineales y la distancia del baricentro al ortocentro es doble de la
distancia del baricentro al circuncentro.
DEFINICIONES
Alturas: Es la recta perpendicular de un segmento al vértice opuesto.
Es la medida del segmento perpendicular desde un vértice hasta la recta que contiene al lado opuesto.
También puede decirse que es la distancia entre un vértice y la recta que contiene al lado opuesto.
Ortocentro: es el punto de intersección de las rectas que contienen a los segmentos que
determinan las alturas.
Mediana: Es el segmento recto (no necesario) que va desde el punto medio de un lado
al vértice opuesto.
Baricentro: Es el punto de intersección de las medianas.
Mediatriz: es el segmento recto la recta perpendicular que divide al segmento en dos
partes iguales.
Circuncentro: Es el punto de intersección de las mediatrices.
Recta de Euler: En un triángulo no equilátero, es la recta que une los tres puntos de
intersección: de las alturas, medianas y mediatrices, llamados ortocentro, baricentro y
circuncentro respectivamente.
Demostración de
(No Equilátero) no necesario.
porque son ángulos congruentes debido a que la altura de A es paralela
a mediatriz del segmento [BC].
por opuestos por el vértice.
AHG = EOG por suma de ángulos interior de un triángulo.
Por 2º Criterio de Semejanza de triángulos:
Por lo tanto -Sabiendo entonces que en el baricentro (G) la división de segmentos de la
mediana es la relación Como el Baricentro divide a la mediana en dos segmentos cuya
relación de medidas es de 2 a 1, entonces [AG] es el doble de [GE]Entonces
. entonces al saber que un triángulo es el doble que el otro sabemos entonces que la
medida del segmento HG del triángulo AHG es el doble del segmento GO del triángulo
EOG y así se demuestra que HG = 2GO.
Por lo tanto la razón de semejanza entre los dos triángulos es 2, lo que implica que
.
Observación:
El triángulo equilátero no cumple esta relación.
Ejercicio
En un triángulo acutángulo ABC de ortocentro H , la recta de Euler corta en F al lado
[AC]. Se sabe que:
Hallar la medida del ángulo AFH.
.
Trazar Recta de Euler del triángulo ABC.
Sea Ubicar P pto medio AC,
CP= 3x justificar y
BH= 2x / OP= x
AP = CP= 4x , ubicar OP
FP = 2x / FP = x justificar.
por relación 2/1
OPF
isósceles
OFP = POF = 45º
OPF = 90º
PÔF= 45º
 Falta demostrar que están alineados los 3 puntos. Prueban que
cumplen la relación pero no que están alineados. Hay que agregar
eso. Pueden encontrar una demostración que justifique ambas cosas
a la vez: alineación de los 3 ptos. y la relación.
La demostración que encontraron parte de que están alineados.
 Deben incluir la bibliografía y/o los links que utilizaron. Van en
orden alfabético. Primero el nombre (apellido, inicial del nombre)
luego el año y tercero el título del material, libro documento, etc. Si
es un link escriben: recuperado de …….. y escriben la dirección de
internet.
 Deben incluir el nombre de cada uno de ustedes al final del trabajo y
el año 2015.
 Se supone que en el ejercicio se sabe que se cumple la relación
, no? Redacté mejor porque no se entendía que
era dato.
Falta justificar los pasos más detenidamente. El camino es
correcto.