Trayectoria Electrón Acelerado
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Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Trayectoria Electrón Acelerado Ricardo Arturo Rojas Aedo Ponticia Universidad Católica de Chile 20/11/2015 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Índice 1 Introducción 2 Análisis dinámica 3 Partículas Cargadas Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción La dinámica de la partícula cargada acelerada es más compleja de lo que esperamos: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción La dinámica de la partícula cargada acelerada es más compleja de lo que esperamos: Las partículas deben irradiar.... Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción La dinámica de la partícula cargada acelerada es más compleja de lo que esperamos: Las partículas deben irradiar.... cambio en la trayectoria (conservación de energía y momentum) Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción La dinámica de la partícula cargada acelerada es más compleja de lo que esperamos: Las partículas deben irradiar.... cambio en la trayectoria (conservación de energía y momentum) Sin embargo, no es para alarmarse. La teoría que no consideran esta radiación es muy aceptables con los experimentos: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción La dinámica de la partícula cargada acelerada es más compleja de lo que esperamos: Las partículas deben irradiar.... cambio en la trayectoria (conservación de energía y momentum) Sin embargo, no es para alarmarse. La teoría que no consideran esta radiación es muy aceptables con los experimentos: Ordenes de magnitud y límites de la teoría Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) Según la formula de Larmor: Erad ∼ Ricardo Arturo Rojas Aedo e 2 a2 T 6π0 c 3 Trayectoria Electrón Acelerado (1) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) Según la formula de Larmor: Erad ∼ e 2 a2 T 6π0 c 3 Los efectos son poco importantes si (con E0 energía cinética E0 ∼ m(aT )2 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (1) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) Según la formula de Larmor: Erad ∼ e 2 a2 T 6π0 c 3 (1) Los efectos son poco importantes si (con E0 energía cinética E0 ∼ m(aT )2 ): Erad E0 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (2) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) Según la formula de Larmor: Erad ∼ e 2 a2 T 6π0 c 3 (1) Los efectos son poco importantes si (con E0 energía cinética E0 ∼ m(aT )2 ): Erad E0 T e2 ∼τ 6π0 mc 3 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (2) (3) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) T e2 ∼τ 6π0 mc 3 Con τ tiempo característico para el movimiento radiativo Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (4) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) T e2 ∼τ 6π0 mc 3 Con τ tiempo característico para el movimiento radiativo τ para el electrón 6x 10−24 segundos. La luz viaja apenas 10−15 metros Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (4) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas introducción (órdenes de magnitud) T e2 ∼τ 6π0 mc 3 Con τ tiempo característico para el movimiento radiativo τ para el electrón 6x 10−24 segundos. La luz viaja apenas 10−15 metros Sin embargo resulta interesante estudiarlo con miras a casos extremos Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (4) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Dinámica: La ecuación de Newton puede ser escrita como: mv̇ = Fext + Frad Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (5) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Dinámica: La ecuación de Newton puede ser escrita como: mv̇ = Fext + Frad De Frad sólo sabemos que: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (5) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Dinámica: La ecuación de Newton puede ser escrita como: mv̇ = Fext + Frad De Frad sólo sabemos que: debe ser igual a cero si v̇ = 0 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (5) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Dinámica: La ecuación de Newton puede ser escrita como: mv̇ = Fext + Frad De Frad sólo sabemos que: debe ser igual a cero si v̇ = 0 Debe ser independiente del signo de e. Proporcional a e 2 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (5) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Dinámica: La ecuación de Newton puede ser escrita como: mv̇ = Fext + Frad De Frad sólo sabemos que: debe ser igual a cero si v̇ = 0 Debe ser independiente del signo de e. Proporcional a e 2 Debe incorporar información del tiempo característico Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (5) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Dinámica: La ecuación de Newton puede ser escrita como: mv̇ = Fext + Frad (5) De Frad sólo sabemos que: debe ser igual a cero si v̇ = 0 Debe ser independiente del signo de e. Proporcional a e 2 Debe incorporar información del tiempo característico Trabajo hecho en un ∆T debe ser igual a la energía radiada. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z t2 Frad · Vdt = t1 Ricardo Arturo Rojas Aedo Z t2 t1 e2 V̇ · V̇dt 6π0 c 3 Trayectoria Electrón Acelerado (6) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z t2 Frad · Vdt = t1 Z t2 t1 e2 V̇ · V̇dt 6π0 c 3 (6) Integrando por partes, y asumiendo movimiento periódico V · V̇ = 0 en t1 y t2 Z t2 t1 Frad e2 − V̈ · Vdt = 0 6π0 c 3 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (7) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z t2 Frad · Vdt = t1 Z t2 t1 e2 V̇ · V̇dt 6π0 c 3 (6) Integrando por partes, y asumiendo movimiento periódico V · V̇ = 0 en t1 y t2 Z t2 t1 Frad e2 − V̈ · Vdt = 0 6π0 c 3 Frad = 2 e2 = mτ V̈ 3 4πc 3 m V̇ − τ V̈ = Fext Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (7) (8) (9) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z t2 Frad · Vdt = t1 Z t2 t1 e2 V̇ · V̇dt 6π0 c 3 (6) Integrando por partes, y asumiendo movimiento periódico V · V̇ = 0 en t1 y t2 Z t2 t1 Frad e2 − V̈ · Vdt = 0 6π0 c 3 Frad = 2 e2 = mτ V̈ 3 4πc 3 m V̇ − τ V̈ = Fext Esta se conoce como la ecuación de Abraham Lorentz Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (7) (8) (9) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Si tenemos un potencial conservativo central: −1 V̇ = m Ricardo Arturo Rojas Aedo dV dr r r Trayectoria Electrón Acelerado (10) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Si tenemos un potencial conservativo central: −1 V̇ = m dV dr r (10) r Por conservación de energía: dE −e 2 2 e2 = V̇ = − dt 6π0 c 3 6π0 c 3 m2 Ricardo Arturo Rojas Aedo dV dr 2 Trayectoria Electrón Acelerado (11) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Si tenemos un potencial conservativo central: −1 V̇ = m dV dr r (10) r Por conservación de energía: dE −e 2 2 e2 = V̇ = − dt 6π0 c 3 6π0 c 3 m2 dE τ =− dt m Ricardo Arturo Rojas Aedo dV dr dV dr 2 2 Trayectoria Electrón Acelerado (11) (12) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas A su vez la otra constante de movimiento, el momentum angular, variará haciedo un promedio como: τ dL =− dt mr Ricardo Arturo Rojas Aedo dV dr L Trayectoria Electrón Acelerado (13) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas A su vez la otra constante de movimiento, el momentum angular, variará haciedo un promedio como: τ dL =− dt mr Donde se usa el hecho que d dt dV dr L =V·∇ Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (13) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas A su vez la otra constante de movimiento, el momentum angular, variará haciedo un promedio como: τ dL =− dt mr Donde se usa el hecho que d dt dV dr L (13) =V·∇ Ambas variaciones de constantes de movimiento dan cuenta de la diferente dinámica de la partícula. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Avancemos un paso más allá: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Avancemos un paso más allá: L= −mc 2 r 1− Ricardo Arturo Rojas Aedo v2 e − eφ + A · V c2 c Trayectoria Electrón Acelerado (14) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Avancemos un paso más allá: L= −mc 2 r 1− v2 e − eφ + A · V c2 c (14) Donde debemos tomar los potenciales retardados: Z φ= A= 1 Z c Ricardo Arturo Rojas Aedo ρt−R/c dv R Jt−R/c R dv Trayectoria Electrón Acelerado (15) (16) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Y debemos considerar: []ret = X (−1)n R n ∂ n [] n! c n ∂t n n=0 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (17) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Y debemos considerar: []ret = X (−1)n R n ∂ n [] n! c n ∂t n (17) n=0 Así quedará, considerando que el orden uno se anula para φ Z φ= 1 ∂2 ρ dv + 2 2 R 2c ∂t A= 1 c Z Z J R 1 ∂3 ρRdv − 3 3 6c ∂t 1 ∂ dv − 2 c ∂t Ricardo Arturo Rojas Aedo Z Z ρR 2 dv Jdv Trayectoria Electrón Acelerado (18) (19) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Concentrándonos en los últimos términos de la expansión, dado que los anteriores dan las ecuaciones corrientes: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Concentrándonos en los últimos términos de la expansión, dado que los anteriores dan las ecuaciones corrientes: Podemos usar la libertad de Gauge (20) y (21) que satisfaga la condición de Lorentz (22) para que se satisfaga (23) 1 φ̃ = φ − ∂t f c (20) à = A + ∇f (21) 1 ∂2 ∇2 f − 2 2 f = 0 c ∂t (22) 1 ∂ ∇ · à + 2 φ̃ = 0 c ∂t (23) Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Con 1 ∂2 f =− 3 2 6c ∂t Ricardo Arturo Rojas Aedo Z ρR 2 dv Trayectoria Electrón Acelerado (24) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Con 1 ∂2 f =− 3 2 6c ∂t Z ρR 2 dv (24) Nos quedará, notado que R contiene la información de la velocidad: à (2) =− Ricardo Arturo Rojas Aedo 2 X e V̇ 3c 2 Trayectoria Electrón Acelerado (25) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Con 1 ∂2 f =− 3 2 6c ∂t Z ρR 2 dv (24) Nos quedará, notado que R contiene la información de la velocidad: à (2) Ahora, haciendo uso de E = =− 2 X e V̇ 3c 2 (25) −1 ˙ (2) c à E= Ricardo Arturo Rojas Aedo 2 ... d 3c 2 Trayectoria Electrón Acelerado (26) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Luego, la fuerza será Ee y asumiendo que d˙ · d¨ = 0 en los extremos nos quedará X f·V= Ricardo Arturo Rojas Aedo −2 2 d̈ 3c 2 Trayectoria Electrón Acelerado (27) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Luego, la fuerza será Ee y asumiendo que d˙ · d¨ = 0 en los extremos nos quedará X f·V= −2 2 d̈ 3c 2 Desde donde hemos dado una nueva interpretación a la teoría, además de extenderla Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (27) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Luego, la fuerza será Ee y asumiendo que d˙ · d¨ = 0 en los extremos nos quedará X f·V= −2 2 d̈ 3c 2 (27) Desde donde hemos dado una nueva interpretación a la teoría, además de extenderla Sin embargo, estos esfuerzos son estériles ante cargas puntuales como el electrón Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Luego, la fuerza será Ee y asumiendo que d˙ · d¨ = 0 en los extremos nos quedará X f·V= −2 2 d̈ 3c 2 (27) Desde donde hemos dado una nueva interpretación a la teoría, además de extenderla Sin embargo, estos esfuerzos son estériles ante cargas puntuales como el electrón.....es necesario hacer una teoría del electrón y las cargas. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Modelo de Partícula Cargada: Consideremos una partícula como una pelota muy pequeña con cargas internas localizadas. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Modelo de Partícula Cargada: Consideremos una partícula como una pelota muy pequeña con cargas internas localizadas. Propuesta: El ímpetu aparentemente mecánico de una partícula es de origen completamente electromagnético: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Modelo de Partícula Cargada: Consideremos una partícula como una pelota muy pequeña con cargas internas localizadas. Propuesta: El ímpetu aparentemente mecánico de una partícula es de origen completamente electromagnético: dp = fext dt Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (28) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Así nos quedará: E = Es + Eext (29) B = Bs + Bext (30) Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Así nos quedará: E = Es + Eext (29) B = Bs + Bext (30) Z ρEext + Jx Bext dv (31) Z (32) Así quedará: fext = dp =− dt Ricardo Arturo Rojas Aedo ρEs + Jx Bs dv Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Suponemos además que: La partícula está intantáneamente en reposo dp =− dt Z ∂ ρ(x, t) ∇φ(x, t) + A(x,t) dv ∂t Con: µ0 A (x, t) = 4π α Ricardo Arturo Rojas Aedo Z J α (x̃, t̃)ret d ṽ R Trayectoria Electrón Acelerado (33) (34) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Usando la ecuación de continuidad y usando el hecho que segundo miembro es el importante: Z Z n+1 1 X (−1)n dp n−1 ∂ = dv d ṽ ρ(x, t)R N dt 4π0 n!c n+2 ∂t n+1 (35) n=0 N = ρ(x̃, t)v (t) n+1 n−1 − n+2 n+2 Ricardo Arturo Rojas Aedo R·V 2 ! RV Trayectoria Electrón Acelerado (36) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Usando la ecuación de continuidad y usando el hecho que segundo miembro es el importante: Z Z n+1 1 X (−1)n dp n−1 ∂ = dv d ṽ ρ(x, t)R N dt 4π0 n!c n+2 ∂t n+1 (35) n=0 N = ρ(x̃, t)v (t) n+1 n−1 − n+2 n+2 R·V 2 ! RV Usando el hecho que todas las direcciones son igualmente probables, el segundo término valdrá un 1/3: Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (36) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z Z 1 dp ρ(x)ρ(x̃) = v̇ dv d ṽ dt 0 6π0 c 2 R Z Z 1 dp = v̈ dv d ṽ ρ(x)ρ(x̃) dt 1 6π0 c 3 dp e2 = v(n+1) an−1 dt n 6π0 c n+2 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (37) (38) (39) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z Z 1 dp ρ(x)ρ(x̃) = v̇ dv d ṽ dt 0 6π0 c 2 R Z Z 1 dp = v̈ dv d ṽ ρ(x)ρ(x̃) dt 1 6π0 c 3 dp e2 = v(n+1) an−1 dt n 6π0 c n+2 (37) (38) (39) La expansión hasta 1 se justica en el pequeño radio de electrón, o mi partícula cargada Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z Z 1 dp ρ(x)ρ(x̃) = v̇ dv d ṽ dt 0 6π0 c 2 R Z Z 1 dp = v̈ dv d ṽ ρ(x)ρ(x̃) dt 1 6π0 c 3 dp e2 = v(n+1) an−1 dt n 6π0 c n+2 (37) (38) (39) La expansión hasta 1 se justica en el pequeño radio de electrón, o mi partícula cargada... el potencial es casi instantáneo. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Z Z 1 dp ρ(x)ρ(x̃) = v̇ dv d ṽ dt 0 6π0 c 2 R Z Z 1 dp = v̈ dv d ṽ ρ(x)ρ(x̃) dt 1 6π0 c 3 dp e2 = v(n+1) an−1 dt n 6π0 c n+2 (37) (38) (39) La expansión hasta 1 se justica en el pequeño radio de electrón, o mi partícula cargada... el potencial es casi instantáneo. dp 4U = v̇ dt 0 3 c 2 Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (40) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas 4 e2 mv̇ − v̈ = fext 3 6π0 c 3 Que es el resultado que ya habiamos logrado desde otras perspectivas. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (41) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas 4 e2 mv̇ − v̈ = fext 3 6π0 c 3 (41) Que es el resultado que ya habiamos logrado desde otras perspectivas. En otra forma de expandir este mismo producto podemos constatar que (haciendo la transformada de fourier de v(t)) : −iωM(ω)v(ω) = fext (ω) Z Z 2 e iωR/c M(ω) = m0 + 2 dv d ṽ ρ(x)ρ(x̃) 3c R Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado (42) (43) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Haciendo una transformada de Fourier en la carga: M(ω) = m0 + 2 3π 2 c 2 Ricardo Arturo Rojas Aedo Z f (k)2 d 3k 2 k − (w /c)2 Trayectoria Electrón Acelerado (44) Introducción Análisis dinámica Partículas Cargadas Conclusión: Hemos dado con un modelo desde un punto de vista heurístico y formal, para el movimiento de un electrón o partículas cargadas a segundo orden o radiativo, además de dar con caracterísiticas aparentemente mecánicas desde una perspectiva únicamente electromagnética de nuestra partícula. Ricardo Arturo Rojas Aedo Trayectoria Electrón Acelerado
