módulo matemáticas

Curso Laboratorista Vial C -2015
Módulo de Matemáticas
CURSO LABORATORISTA VIAL CLASE “C”
MÓDULO MATEMÁTICAS
RAÚL MONTES S.
SANTIAGO , MARZO 2015
1
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Módulo de Matemáticas
1.- USO DE CALCULADORA CIENTÍFICA Y CÁLCULO NUMÉRICO DE
EXPRESIONES
1.1 Técnica de aproximación:
El criterio más utilizado para efectuar aproximaciones establece que:
Para una magnitud determinada si el primer dígito suprimido es < 5 , el último dígito
conservado se deja invariable. Si es ≥ 5, se agrega 1 al último dígito.
Ejemplo: Expresar con la aproximación que se indica las siguientes magnitudes:
a) 1,6547293 : Con dos decimales
b) 17, 06597 : Con un decimal
c) 94,491631 : En enteros
d) 0,2345764 : Con tres decimales
1,65
17,1
94
0,235
1.2 Cálculo numérico de expresiones simples
Utilizando la cantidad necesaria de paréntesis adicionales, calcular con la aproximación que
se indica las siguientes magnitudes:
a)
b)
1
1 - 3 (1 - 4 + 2 )
2 7
9 5
=
(Con dos decimales)
100
=
81 + 14
2,69
2,74
(Con dos decimales)
+ 5
2,89
c) 0,72 * 56 * 8 + 0,28 * 15 * 5
0,72 * 56 + 0,28 * 15
=
d) 8 ( 1 – 1/3 )
5 (2 + 2/3 )
(Con un decimal)
=
e) 100 ( 1 - 0,871* 0,28)
1 - 8,3
100
=
(Con dos decimales)
( Con un decimal )
2
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f)
0,25 ( 1 - 13 ) + 0,75 ( 1 - 8 ) =
21
21
g)
1 +
1
2(1 - 1)
3
7
h)
13,8
1,09 + 0,0118 * 21
i)
1
( 1 - 12/17) ( 1- 4/13)
=
( Con un decimal )
=
( Con un decimal )
=
( Con dos decimales )
j) 100 - ( 1 - ( 1 - 0,65 ) ) * 100 =
0,81
k)
100 -
l)
1
83 + 17
2.640 2.720
(Con dos decimales)
=
Con un decimal )
( Con un decimal )
2
5(1–4) +5
7
9
8
=
m) 3 ( 1- 0,28) – 2 ( 1 - 0,36 ) =
6 ( 1- 0,64 )
( Con dos decimales )
( Con dos decimales )
Respuestas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
11,05
2,71
7,7
0,4
82,5
0,56
3,6
10,3
4,91
19,8
3
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k) 73,5
l) 1,96
m) 0,41
1.3
Notación científica (exponencial 10n )
La notación 10n corresponde a una potencia de base 10 y exponente n, la que por definición
está dada por:
10n = 10 x 10 x 10 x ...... x 10
( número 10 multiplicado n veces por si mismo )
De esta manera, las potencias positivas de 10 serán :
101 = 10
102 = 100
103 = 1.000 ..........., etc.
y las potencias negativas serán :
10-1 = 0,1
2
10- = 0,01
10-3 = 0,001 .............., etc.
Es importante recordar dos propiedades básicas de las potencias, aplicables a cualquier
base. Estas son:
100 = 1
y
10-n = 1
10n
Ejemplos de expresión en notación exponencial en base 10:
247.000 = 2,47 x 105
0,00062 = 6,2 x 10-4
1.000.000 = 1 x 106
0,0001 = 1 x 10-4
527,3 = 5,273 x 102
Cálculo de expresiones con magnitudes grandes:
Cuando se efectúa por ejemplo una multiplicación de dos o más magnitudes que contienen
muchos dígitos, la calculadora entrega el resultado en notación exponencial. Por ejemplo:
1.495.270 x 762.595 = 1,14 ..... x 1012 = 1,14 x 1012
4
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Dependiendo del modelo de calculadora que se utilice, en el visor aparecerá una de las
siguientes formas de expresión para este resultado:
1.14 ...... x1012
;
1.14 ...........E12
;
1.14 ......... 12
; 1.14 ..........1012
Ingreso de exponenciales 10n a la calculadora:
Para ingresar un exponencial 10n en la calculadora se utiliza la tecla EXP .
Ejemplos:
2,19 x 107
1,57 x 10-4
2.19 EXP 7
1.57 EXP -4
1.4 Potencias ( an )
Una potencia está dada por la expresión an , en que "a" es la base y "n" el exponente. Por
definición an está dada por:
an = a x a x a x a ......... x a
( "a" multiplicada "n" veces por si misma )
Dentro de las propiedades de las potencias, recordaremos las más importantes para efectos
del cálculo numérico de expresiones. Estas son:
a0 = 1
a-n = 1
an
Ej.: 2-3 = 1/23 = 1/8
(-a)n = an si "n" es par
Ej.: (-2)4 = 16
(-a)n = -an si "n" es impar
Ej.: (-2)5 = -32
Ingreso de potencias a la calculadora:
y
Para ingresar potencias a la calculadora se emplean las teclas x , ^ ó
dependiendo del modelo de máquina.
x■
Con cualquiera de las teclas que se emplee, cuando el exponente es fraccionario, se
debe insertar un paréntesis antes de ingresar el exponente.
Ejemplos:
a)
29 se calcula como
y
2 x 9 = 512
5
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y
b)
5 2/3 se calcula como 5 x (2/3) = 2,92
c)
3 0,45 se calcula como 3 x 0,45 = 1,64
y
1.5 Raíces
Una raíz es una expresión del tipo
argumento o cantidad subradical.
n
Por definición: si
3
Ej.:
x
n
x , en que "n" es el índice de la raíz y "x" es el
= a , esto significa que an = x
= 4 , esto significa que 43 = 64
64
Una raíz puede transformarse en potencia y viceversa. La equivalencia es la que se
indica a continuación:
n
x
n
x 1/
=
Ej.:
3
6 = 6 (1/3) = 1,82
En el caso que el argumento de la raíz sea a su vez una potencia, la igualdad queda
como sigue:
n
xm
= x m/n
Ej.:
4
83
= 8 (3/4) = 4,76
Cálculo de raíces en la calculadora:
Dado que la mayoría de las calculadoras sólo permiten calcular directamente las
raíces cuadradas y cúbicas, desde la raíz cuarta en adelante se expresan en forma de
potencia.
Ej.:
5
= 72 (1/5) = 72 xy (1/5) = 2,35
72
1.6 Funciones log X y 10X :
La función logaritmo decimal ( log ) está definida como :
log a = x
10X = a
Por ejemplo: log 2 = 0,301
10 0,301 = 2
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Por convención log a = log10 a
Propiedades del log:
Las propiedades más importantes del log y que nos pueden ayudar a calcular
algunas de las expresiones que contienen esta función, son las siguientes:
a) log a*b = log a + log b
b) log a/b = log a - log b
c) log an = n * log a
Logaritmos de potencias de 10:
log 1 = 0
log 10 = 1
log 100 = 2
log 1000 = 3
… etc.
( 100 = 1 )
( 101 = 10 )
( 102 = 100 )
( 103 = 1000 )
log 0,1 = -1
( 10-1 = 0,1 )
log 0,01 = -2
( 10-2 = 0,01 )
log 0,001 = -3 ( 10-3 = 0,001 )
…etc.
La función 10x en la mayoría de las calculadoras va ubicada como segunda función
sobre la tecla log, y su utilidad está en que nos permite calcular el logaritmo inverso de un
número ( log-1 ).
a = 10 0,477 = 3
Ej.: Si log a = 0,477
ó
a = log-1 (0,477) = 3
1.7 Cálculo numérico de expresiones con funciones científicas
Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones haciendo uso de paréntesis
adicionales cuando sea necesario y con la aproximación que se indica. Verificar los
resultados obtenidos:
a)
1,65 x 105
=
2,19 x 104 - 9,26 x 103
b)
( 1 - 0,54/0,89 ) 3/2
c)
3,69 + 95 2/3
=
( Con dos decimales )
=
( Con dos decimales )
( Con tres decimales )
Resp: 13,05
Resp: 0,25
Resp: 0,841
1,4 x 95 2/3
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d)
e)
f)
9 log 5 + 2 ( log 5 - log 2,5 ) =
( ( 6,13 x 10-4 ) / ( 4,81 x 10-6) )1/2 =
1
=
12
5 log 10 - 1 log 10
16
6
( Con dos decimales )
(Con dos decimales)
( En enteros )
Resp: 6,89
Resp: 11,29
Resp: 2
8
g)
( 5/9) 4/3 x ( 4/7)3/5 =
h)
100 ( ( 1 + 0,16 )2 - 1 )
0,89
i)
600.000 x ( 1 + 1,5/100)12
j)
1 + 7,5 x 10-2
7,5 x 10-2
( Con dos decimales )
Resp: 0,33
=
( Con un decimal )
Resp: 39,2
=
(En enteros)
( Con dos decimales)
=
Resp: 717.371
Resp.: 14,33
k)
1 + 3 ( 1 – 5/9)
=
( Con dos decimales)
Resp.: 1,53
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2.- SISTEMAS DE MEDICIÓN. EQUIVALENCIAS Y CONVERSIÓN DE
UNIDADES FÍSICAS
2.1 Introducción
Las tres magnitudes básicas o elementales de la Física son las correspondientes a:
♦ Longitud [ L ]
♦ Masa [ M ]
♦ Tiempo [ T ]
De la combinación de éstas se derivan las demás magnitudes tales como área,
volumen, densidad , velocidad, aceleración, fuerza, presión, flujo volumétrico, etc.
2.2 Sistemas de Medición
Los sistemas de medición más utilizados son el Sistema Métrico y el Sistema de
Unidades Inglesas, siendo el primero de ellos el más empleado a nivel local.
2.2.1 Sistema Métrico:
Dependiendo de las unidades empleadas para expresar las tres magnitudes
elementales, el Sistema Métrico comprende los Sistemas MKS y CGS.
A) Sistema MKS ( Metro - Kilogramo - Segundo )
El Sistema MKS es la base del Sistema Internacional de Unidades. Las magnitudes
elementales se expresan , como lo indica la sigla, en las siguientes unidades:
Longitud : metro (m)
Masa : kilogramo (kg)
Tiempo : segundo (s)
B) Sistema CGS ( Centímetro - Gramo - Segundo )
En este caso , la longitud, la masa y el tiempo se expresan en las siguientes
unidades:
Longitud : centímetro ( cm )
Masa : gramo (g)
Tiempo : segundo (s)
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2.2.2 Sistema de Unidades Inglesas :
En los países de habla inglesa las unidades convencionales empleadas para expresar
las tres magnitudes elementales son:
Longitud : pie ( ft )
Masa : libra (lb)
Tiempo : segundo (s)
2.3 Equivalencias Básicas de Unidades
En esta sección se entregan equivalencias básicas entre unidades MKS, CGS e
inglesas.
2.3.1 Magnitudes elementales
Longitud :
1 Km = 1.000 m
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm
1 dm = 10 cm = 100 mm
1 cm = 10 mm
1 mm = 1.000 micrones ( µ )
1 pulgada ( in) = 2,54 cm = 25,4 mm
1 ft = 30,48 cm
( “in” = abreviatura de “inch” )
Masa :
1 Tonelada Métrica (Ton) = 1.000 kg
1 kg = 1.000 g
1 g = 1.000 mg
1 libra (lb) = 453,6 g
Tiempo:
1 hr = 60 min
1 min = 60 s
Nota: Para los efectos del presente curso se podrá utilizar “seg” en lugar de “s” para
expresar segundo.
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2.3.2 Magnitudes obtenidas a partir de las magnitudes elementales
2.3.2.1 Superficie o Area ( A ) :
Unidades métricas más comunes: km2, m2, dm2, cm2, mm2
Unidades inglesas más comunes: in2 , ft2
Equivalencias básicas:
1 km = 1.000 m ► 1 km2 = 1.000.000 m2
1 m = 10 dm ► 1 m2 = 100 dm2
1 m = 100 cm ► 1 m2 = 10.000 cm2
1 m = 1.000 mm ► 1 m2 = 1.000.000 mm2
1 in2 = 6,4516 cm2 = 645,16 mm2
1 ft2 = 929,03 cm2
2.3.2.2 Volumen ( V ):
Unidades métricas más comunes : m3 , dm3 , cm3 , mm3
Unidades inglesas más comunes : in3 , ft3
Unidades prácticas más comunes : litro (l) , mililitro (ml) , galón (gal)
Nota: Para los efectos del presente curso se podrá utilizar “lt” en lugar de “l” para expresar
la unidad litro.
Equivalencias básicas:
1 m = 10 dm ► 1 m3 = 1.000 dm3
1 m = 100 cm ► 1 m3 = 1.000.000 cm3
1 cm = 10 mm ► 1 cm3 = 1.000 mm3
1 m3 = 1.000 lt
1 lt = 1 dm3
1 lt = 1.000 cm3 = 1.000 ml
1 gal = 3,785 lt
1 ft3 = 28,317 lt
1 in3 = 16,39 cm3
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2.3.2.3 Velocidad (v) :
La velocidad está definida por v = distancia
Tiempo
Unidades métricas más comunes: km/hr , m/seg, m/min
Unidades inglesas más comunes: ft/seg , in/seg.
2.3.2.4 Aceleración (a) :
La aceleración está definida por a = variación de velocidad
tiempo
Unidades métricas más comunes: m/seg2 , cm/seg2
Unidades inglesas más comunes: ft/seg2 , in/seg2
Equivalencia básica más importante:
1 m/seg2 = 100 cm/seg2
Caso particular: aceleración de gravedad (g)
Para efectos prácticos g = 9,81 m/seg2 ó
981 cm/seg2
Para cálculos en que se requiera mayor precisión, se podrá utilizar los valores
g = 9,807 m/seg2 ó g = 9,8066 m/seg2
2.3.2.5 Densidad (d) :
La densidad está definida por d =
masa
volumen
Unidades métricas más comunes: kg/m3 , g/cm3 , kg/dm3 , ton/m3
Unidades inglesas más comunes: lb/ft3 , lb/in3
Unidades prácticas más comunes: kg/lt , g/ml
Equivalencias básicas:
1 g/cm3 = 1.000 kg/m3 ó 1 kg/m3 = 0,001 g/cm3
1 kg/dm3 = 1 kg/lt = 1 g/cm3
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2.3.2.6 Caudal o Flujo Volumétrico (Q) :
El flujo volumétrico está definido por Q = volumen
tiempo
Unidades métricas más comunes: m3/hr , cm3/seg , m3/seg
Unidades inglesas más comunes : ft3/min , ft3/seg
Unidades prácticas más comunes : lt/min , lt/seg
2.3.2.7 Flujo Másico ( Q* ) :
El flujo másico está definido por Q* = masa
tiempo
Unidades métricas más comunes : ton/hr , kg/min , g/seg
Unidades inglesas más comunes: lb/min , lb/seg
2.3.2.8 Riego Superficial Másico (R) :
El Riego Superficial Másico está definido por : R = masa
superficie
Unidades métricas más comunes: kg/m2 , g/cm2
Unidades inglesas más comunes : lb/in2 , lb/ft2
Equivalencia básica:
1 kg/m2 = 0,1 g/cm2
2.3.2.9 Fuerza ( F ) :
La Fuerza está definida por F = masa x aceleración
Unidades métricas :
kg x m ,
seg2
Unidades inglesas : lb x in
seg2
g x cm
seg2
, lb x ft
seg2
Unidades prácticas : Newton (N) , Dina (D) ;
Kilogramo-fuerza (kgf) , libra-fuerza (lbf )
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Equivalencias básicas:
1 N = 1 kg x m
seg2
1 D = 1 g x cm
seg2
1 N = 105 D
1 KN = 1.000 N
1 Kgf = 9,8 N
Nota: Cuando sea necesario trabajar con alta precisión se deberá considerar la equivalencia
1 Kgf = 9,8066 N .
Nota: El concepto de carga en el área vial (ej.: ensaye de resistencia de muestras de
hormigón) tiene el mismo significado físico y unidades que el concepto de fuerza abordado
más arriba.
2.3.2.10 Presión ( P ) :
La Presión está definida por
Unidades métricas:
P = Fuerza
Superficie
kg / m x seg2 , g / cm x seg2
Unidades prácticas: N /m2 , D /cm2
Unidades más empleadas : kgf /cm2
Unidades inglesas : lbf /in2 ( psi)
( psi = pound squared inch )
Otras unidades utilizadas: Pascal ( Pa ) , Mega Pascal ( MPa )
Equivalencias básicas:
1 kg /m x seg2 = 1 N/m2
1 g /cm x seg2 = 1 D/cm2
1 Pa = 1 N /m2
1 MPa = 1 N/mm2
1 MPa = 106 Pa
1 kgf/cm2 = 0,098 MPa
Nota: Las unidades empleadas para expresar resistencia de hormigones en el área vial son
equivalentes a las de presión. Las unidades de resistencia más utilizadas en el ámbito vial
son kgf/cm2 y MPa.
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2.3.2.11 Temperatura ( T ) :
Las escalas de temperatura más utilizadas son las escalas Celsius (°C) y Farenheint
(°F).
Equivalencias básicas:
(°F ) = 1,8 x (°C) + 32
Ej.: 25ºC = 77ºF
(°C) = (°F – 32 )
1,8
Ej.: 60ºF = 15,6ºC
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2.4 CONVERSIÓN DE UNIDADES
El objetivo de esta sección es la transformación de unidades físicas, es decir
convertir una magnitud expresada en una determinada unidad en otra equivalente expresada
en otra unidad.
Para los ejercicios de conversión de unidades que se presentan a continuación, se
deben utilizar las equivalencias básicas vistas anteriormente en la sección 2.3.
Ejercicios:
Calcule y complete las siguientes equivalencias de unidades:
1) 0,2 in = .................. mm
2) 15 mm = ............... in
3) 600 µ = ................ cm
4) 8 dm = ................ in
5) 1 ft = ................in
6) 2,5 m = ............... ft
7) 900 cm2 = ................... m2
8) 150 ft2 = ................ m2
9) 200 mm2 = ................. dm2
10) 35 in2 = ................... cm2
11) 1 kg = ............... lb
12) 1 Ton = ............. g
13) 1 hr, 24 min = ................. hr
14) 0,15 hr = .............. seg
15) 2,5 lt = .............. dm3
16) 50 lt = ............... gal
17) 75.000 cm3 = ................... m3
18) 10.000 mm3 = .................lt
19) 80 lt = ................ ft3
20) 6.000 in3 = ................. dm3
21) 0,05 m3 = ............... lt
22) 90 km/hr = ............... m/seg
23) 30 cm/seg = ................ m/min
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24) 1,6 m/seg = ................. ft/min
25) 240 cm/seg2 = ................ft/seg2
26) 2.360 kg/m3 = .................... g/cm3
27) 1,02 kg/lt = ...................kg/dm3
28) 1,85 ton/m3 = ...............g/cm3
29) 2.320 kg/m3 = ...................lb/ft3
30) 2,19 g/cm3 = ................. lb/pulg3
31) 1,25 lt/seg = ................... m3/hr
32) 1,3 kg/m2 = ................. g/cm2
33) 392 KN = ................. kgf
34) 280 kgf/cm2 = ................... MPa
35) 34°C = ..................°F
36) 180 kgf/cm2 = ................... psi
37) 45.000 kgf = ................... KN
38) 50°F = .................. °C
39) 27 N/mm2 = ................... MPa
40) 6 ft3/min = ..................... lt/seg
Respuestas:
1) 5,08
2) 0,59
3) 0,06
4) 31,5
5) 12
6) 8,2
7) 0,09
8) 13,9
9) 0,02
10) 225,8
11) 2,205
12) 1.000.000
13) 1,4
14) 540
15) 2,5
16) 13,2
17) 0,075
18) 0,01
19) 2,8
20) 98,3
21) 50
22) 25
23) 18
24) 315
25) 7,87
26) 2,36
27) 1,02
28) 1,85
29)145
30) 0,079
31) 4,5
32) 0,13
33) 40.000
34) 27,4
35) 93,2
36) 2.560
37) 441
38) 10
39) 27
40) 2,83
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3.- PORCENTAJES Y RAZONES
3.1 Porcentajes:
Básicamente existen tres tipos de cálculo en que se ven involucrados porcentajes, los
que responden básicamente tres tipos de pregunta. Para responder a estas preguntas se
acostumbra hacer uso de la fórmula:
P*C = Q
100
donde:
P = porcentaje (%)
C = cantidad de referencia
Q = cantidad resultante ( resultado)
Ejemplos:
a) ¿Cuál es el 15% de 180 ?
P = 15
C = 180
Q =?
Q = P * C = 15 * 180 = 27
100
100
⇒
El 15% de 180 es 27
b) ¿ Qué porcentaje es 54 de 270 ?
P=?
Q = 54
C = 270
Despejando P de la fórmula anterior se obtiene:
P = Q * 100
C
= 54 * 100 = 20% ⇒ 54 es el 20% de 270
270
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c) ¿ De qué cantidad es 4 el 2,5% ?
C=?
Q=4
P = 2,5
Despejando C de la fórmula obtenemos:
C = Q * 100
P
= 4 * 100 = 160 ⇒ 4 es el 2,5% de 160
2,5
3.2 Razones:
Razón es el cuociente entre dos cantidades homogéneas.
La razón entre dos cantidades a y b es a : b ó a/b y se lee a es a b.
Las dos cantidades que se comparan son los términos de la razón. El primer término
se llama antecedente y el segundo consecuente.
El valor de una razón no se altera cuando sus dos términos se multiplican o dividen
por un mismo número.
Ejemplo: Si la razón 2 : 5 se multiplica por 3 , ésta se convierte en 6 : 15,
manteniéndose el valor del cuociente y por tanto de la razón.
Aplicaciones:

Si dos cantidades A y B están en la razón a : b y su suma es T, las cantidades A y B se
calculan como:
 a 
A
 *T
a b
 b 
B=
 *T
a +b
Nota: Las fórmulas anteriores pueden extenderse a tres o más cantidades.
19
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Ejemplo 1:
Dos materiales A y B en una mezcla están en la razón 2 : 3 . Si la masa de la mezcla
es de 800 kg. ¿Cuál es la masa de cada uno de los materiales ?
 2 
A
 * 800  320 kg
 2  3
 3 
B=
 * 800  480 kg
 2  3
Ejemplo 2 :
Se dispone de una mezcla compuesta por 960 kg de A y 2.160 kg de B. ¿ En qué
razón se encuentran estos materiales en la mezcla ?
A = 960 kg
B = 2.160 kg
Razón entre A y B : 960
2.160
Simplificando el cuociente anterior hasta la mínima fracción equivalente, se obtiene 4/9
Por lo tanto, los materiales se encuentran en la razón 4 : 9
Lo anterior es equivalente a señalar que la mezcla ( 3.120 kg ) está compuesta por 4/13
partes de A y 9/13 partes de B, en que 13 es la suma de 4 y 9.
Ejemplo 3 :
Tres materiales A, B y C en una mezcla están en la razón 4 : 7 : 9 . Si la masa del material
B es 2.401 kg:
a) ¿ Cuál es la masa total de la mezcla ?
b) ¿ Qué porcentaje de la mezcla total corresponde al material C ?
a) Total de partes en la mezcla = 4 + 7 + 9 = 20
B = 7 *T
20
b)
→
C = 9
20
Como 3.087
6.860
2.401 = 7 * T
20
* 6.860
*
→ T = 6.860 kg
= 3.087 kg
100 = 45%
→ El material C representa el 45% de la mezcla
20
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Problemas propuestos:
1.- Calcule y responda las siguientes preguntas:
a) Si el 0,25% de un número es 2,4 ¿ Cuál es el número ?
b) ¿ De qué número es 3/8 el 5% ?
2.- Una mezcla está compuesta por tres materiales A, B y C. Si las 3/8 partes de la mezcla
corresponden al material A y las 2/5 partes corresponden al material B ¿ En qué porcentaje
participa el material C en dicha mezcla ?
3.- Tres cantidades X, Y, Z están en la razón 2 : 4 : 7 . Si la cantidad mayor es 546 ¿ Cuál
es el valor de la suma de dichas cantidades ?
4.- Se dispone de una mezcla compuesta por 10.800 kg de un material A y 4.800 kg de un
material B ¿ En qué razón se encuentran estos materiales en la mezcla ?
5.- Un terreno rectangular de 80 m de frente y 240 m de fondo se modifica de forma tal que
su frente aumenta en 20% y su fondo disminuye en un 30%. ¿Qué sucede con la superficie
final del terreno? ( Calcular el % de aumento o disminución de la superficie )
6.- De un saco que contiene 12,4 kg de arcilla se extrae las 3/8 partes de su contenido. Más tarde se
extrae el 60% de lo que quedaba ¿Cuál es la cantidad final de arcilla en el saco ?
Respuestas:
1.2.3.4.5.6.-
a) 960
b) 7,5
22,5%
1.014
9:4
Su superficie disminuye en un 16%
3,1 kg
21
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4.- PERÍMETROS , AREAS Y VOLÚMENES
En esta sección se entregan las fórmulas para calcular perímetros, áreas y
volúmenes de las principales figuras geométricas, seleccionándose aquellas que en mayor o
menor grado serán utilizadas en el ámbito vial.
4.1 PERÍMETROS Y AREAS
4.1.1 Cuadrado
Cuadrado de lado “a”
P = 4a
A = a2
a
a
Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un cuadrado de lado 15 cm
P = 4 * 15 = 60 cm
A = 152 = 225 cm2
4.1.2 Rectángulo
Rectángulo de lados “a” y “b”
P = 2a + 2b = 2 ( a + b )
a
A= a*b
b
Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un rectángulo de lados 12 y 27 cm
P = 2 * ( 12 + 27 ) = 78 cm
A = 12 * 27 = 324 cm2
22
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4.1.3 Circunferencia y Círculo
Circunferencia de diámetro “D”
o
P=πD
π = 3,1416
D
Círculo de diámetro “D”
R
2
A = πD
4
Ejemplo: Calcular el perímetro de una circunferencia de 15 cm de diámetro
P = π * 15 = 47,1 cm
Ejemplo: Calcular el área de un círculo de 15 cm de diámetro
A = π * 152 = 176,7 cm2
4
4.1.4 Triángulo
Triángulo de lados “a” , “b” y “c”
P = a+b+c
A =
s ( s  a)( s  b)(s  c)
a
b
c
( Fórmula de Herón para cualquier triángulo )
s = semiperímetro = P/2 = a + b + c
2
Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un triángulo de lados 18, 24 y 30 cm
P = 18 + 24 + 30 = 72 cm
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s = 72 = 36 cm
2
A=
36(36  18)(36  24)(36  30)
= 216 cm2
4.1.5 Trapecio
Trapecio de base superior “a”, base inferior “b” y altura “h”
a
P = a + b + c +d
c
d
h
b
A= (a+b)*h
2
Ejemplo: Calcular el área de un trapecio de 30 cm de base superior, 1,20 m de base inferior
y 70 cm de altura.
A = ( 30 + 120 ) * 70
2
= 5.250 cm2
4.2 VOLÚMENES
4.2.1 Cubo
Cubo de arista “a”
a
V = a3
a
a
Ejemplo: Calcular el volumen de un cubo de arista 20 cm
V = 203 = 8.000 cm3
24
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4.2.2 Paralelepípedo ( caja rectangular )
Paralelepípedo de dimensiones “a”, “b” y “c”
b
V=a*b*c
c
a
Ejemplo: Calcular el volumen de una caja rectangular de 15 cm de ancho, 24 cm de largo
y 10 cm de profundidad.
V = 15 * 24 * 10 = 3.600 cm3
4.2.3 Cilindro
Cilindro de diámetro “D” y altura “H”
V = Area basal x Altura
H
2
V = πD
4
*
H
D
Ejemplo: Calcular el volumen de un cilindro de 15 cm de diámetro y 30 cm de altura
V = π * 152 x 30 = 5.301 cm3
4
4.2.4 Esfera
Esfera de diámetro “D”
V = π D3
6
D
Ejemplo: Calcular el volumen de una esfera de 4 cm de diámetro
V = π * 43 = 33,5 cm3
6
25
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4.2.5 Cono
Cono de diámetro basal “D” y altura “H”
H
V = 1 Area basal x altura
3
V= 1
3
*
π D2 * H
4
D
V = π D2 * H
12
Ejemplo: Calcular el volumen de un cono de 20 cm de diámetro basal y 25 cm de altura
V = π * 202 * 25 = 2.618 cm3
12
4.2.6 Cono truncado
Cono truncado de diámetro basal inferior “D”, diámetro basal superior “d” y altura “H”
V = π H ( D2 + d2 + D * d )
12
d
H
D
Ejemplo: Calcular el volumen de un cono truncado de diámetro basal inferior 16 cm,
diámetro basal superior 8 cm y altura 24 cm.
V = π * 24 * ( 162 + 82 + 16 * 8 ) = 2.815 cm3
12
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4.3 Resolución de Problemas Geométricos y Físicos
1) Calcular el volumen de una piscina para curado de probetas de hormigón, llena con agua
hasta el 60% de su capacidad, si sabemos que su largo es de 1,85 m , su ancho 1,20 m y su
profundidad 0,70 m.
Volumen geométrico de la piscina = 1,85 x 1,20 x 0,70 = 1,554 m3 = 1.554 litros
Volumen lleno con agua = 0,6 x 1.554 = 932 litros
2) Si se aplica una fuerza de 490 KN sobre una probeta cilíndrica de 150 mm de diámetro
¿ Cuál es la presión ejercida sobre dicha superficie ? Expresar el resultado en kgf/cm2 y en
MPa.
Superficie =
π *152 = 176,7 cm2
4
Fuerza = 490 KN = 490.000 N = 50.000 kgf
Presión = Fuerza = 50.000
Superficie
176,7
= 283 kgf/cm2 = 27,7 MPa
3) ¿ Cuántas probetas cúbicas de 150 mm de arista se podrán confeccionar con una
carretilla que contiene 65 litros de hormigón fresco, considerando un 20% de pérdida de
material durante la operación de llenado de los moldes ?
Volumen de una probeta cúbica = 153 = 3.375 cm3 = 3,375 litros
Volumen de pérdidas = 0,2 * 65 = 13 litros
Volumen de hormigón aprovechado = 65 – 13 = 52 litros
N° de probetas que se podrán confeccionar = 52
3,375
= 15,4
→ 15 probetas
4) ¿ En qué tiempo se llenará hasta el 75% de su capacidad un tambor cilíndrico de 0,72 m
de diámetro y 1,15 m de altura, mediante una manguera que suministra agua a un flujo
constante de 0,25 litros/seg ? Exprese el resultado en minutos.
Volumen del tambor = π D2 H = π * 0,722 * 1,15 = 0,468 m3 = 468 litros
4
4
Volumen de llenado = 0,75 x 468 = 351 litros
Tiempo empleado = Volumen de llenado = 351 [litros]
= 1.404 seg = 23,4 min
Flujo volumétrico
0,25 [litros/seg]
27
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5) Calcular el diámetro de una partícula esférica cuyo volumen es 0,125 cm3. Expresar el
resultado en mm.
Volumen esfera = π D3 = 0,125
6
Despejando el diámetro de la igualdad anterior se obtiene:
D3 = 0,125 x 6 = 0,2387
→
D=
3
0,2387 = 0,62 cm = 6,2 mm
π
6) Calcular el volumen del Cono de Abrams, utilizado en el muestreo de hormigón fresco,
si sabemos que sus dimensiones son: diámetro basal inferior 200 mm, diámetro basal
superior = 100 mm y altura = 300 mm. Expresar el resultado en litros.
Volumen del Cono de Abrams = Volumen de un cono truncado
V = π H ( D2 + d2 + D x d )
12
V = π * 30 ( 202 + 102 + 20 x 10 ) = 5.498 cm3 = 5,498 litros ≈ 5,5 litros
12
4.4 Problemas propuestos:
1) Calcular el área de un triángulo cuyos lados son 8 , 10 y 14 cm.
Resp.: 39,2 cm2
2) Calcular el área de la sección transversal de un cordón de material, asimilándola a un
trapecio de base inferior 96 cm , base superior 24 cm y altura 75 cm. Expresar el resultado
en m2.
Resp.: 0,45 m2
3) Se regó con asfalto una calzada de 6 m de ancho en una longitud de 1.254 metros
lineales. Si se ocupó 8.650 kg de asfalto, calcule la dosis de riego aplicada en lt/m2. Dato:
La densidad del asfalto utilizado es de 1,02 kg/dm3 .
Resp.: 1,13 lt/m2
4) ¿ Qué altura debería tener un molde cilíndrico de 15 cm de diámetro para que su
volumen fuera igual al de un molde cúbico de 15 cm de arista ? Resp.: 19,1 cm
5) Calcular el volumen geométrico de un acopio de material de forma cónica, de 2,65 m de
diámetro basal y 1,90 m de altura. Resp.: 3,5 m3
6) Mediante una bomba se hizo circular por una tubería un fluido de densidad 1,08 g/cm3 ,
a razón de 4 lt /seg. Si la masa de fluido que circuló por el ducto fue de 3.240 kg, calcule el
tiempo empleado durante la operación. Resp.: 12,5 min
28
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7) Calcular la fuerza aplicada sobre una superficie circular de 10 cm de diámetro, si
sabemos que la presión ejercida fue de 39,2 MPa. Expresar el resultado en KN. Resp.:
308 KN
8) Una partícula pétrea de forma esférica de 1,5 cm de diámetro tiene una densidad de
2,69 gr/cm3 ¿ Cuál es la masa de la partícula? Exprese el resultado en gramos,
aproximando a dos decimales Resp.: 4,76 gr
9) Un terreno rectangular de 45 m de largo y 16 m de ancho se modifica, disminuyendo el
largo en 6 m y aumentando el ancho en 8 m ¿En que porcentaje varía su área respecto al
terreno original? Resp.: Aumenta en un 30%
29
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5.- ECUACIONES LINEALES
5.1 Introducción:
Una ecuación lineal es una igualdad que contiene una incógnita (x), la cual tiene
exponente igual a 1.
Resolver una ecuación lineal consiste en despejar y conocer el valor de la incógnita
x.
Las formas más simples de ecuación para el despeje de la incógnita son :
►
x= b
a
a)
ax=b
b)
x = b
a
►
x = ab
c)
a = b
x
►
x = a
b
d)
x+a=b
►
x = b-a
5.2 Resolución de ecuaciones:
En esta sección se resuelven paso a paso algunos modelos tipo de ecuación lineal.
a) 2X - 9 = 23
2X = 23 + 9
2X = 32
X = 32
2
X = 16
b)
7 – 9X = -3X – 35
-9X + 3X = -35 -7
-6X = -42
/*-1
X = 42
6
X=7
c) 5( 2X – 3 ) = 4 (X + 3)
10X – 15 = 4X + 12
10X – 4X = 12 + 15
30
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6X = 27
X = 27
6
d) X - 3 = 1
3
2
4
X = 9/2
/* 12
4X - 18 = 3
4X = 21
X = 21
4
e) 0,75x + 1 = 1,5x - 1
3
2
2 ( 0,75x + 1) = 3 ( 1,5x - 1 )
1,5x + 2 = 4,5x - 3
-3x = -5
/*-1
x = 5/3
f)
1 - 1,57 = 0,41
X
/* X
X – 1,57 = 0,41X
X – 0,41X = 1,57
0,59X = 1,57
x = 1,57
0,59
x = 2,66
g)
4X - 1 + 7X - 1 = 21
9
3
9
4X -1 + 3 (7X – 1) = 21
/* 9
4X -1 + 21X - 3 = 21
25X - 4 = 21
25X = 25
X = 25
25
X=1
31
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h)
7,5 = ( X – 560 ) * 100
560
(X– 560 ) * 100 = 7,5 * 560
X – 560 = 7,5 * 560
100
X - 560 = 42
x = 602
i)
13,8
=
10,7
1,09 + 0,0118 x
10,7 ( 1,09 + 0,0118x ) = 13,8
1,09 + 0,0118x = 13,8
10,7
1,09 + 0,0118x = 1,2897
0,0118x = 0,1997
x = 0,1997
0,0118
x = 16,9
5.3 Ejercicios propuestos:
a) 13X
2
- 9X = 17
4
2
Resp.: 2
b) X -2 + 5 – X = 2
6
2
3
Resp: 4,5
c) 2 ( 7X – 3) = X - 1
9
9
Resp: 1
d) 0,75X – 3 ( 2 – 0,25X ) = 2 + X
Resp: 16
e)
Resp: 666,2
8,3 = ( 721,5 – x ) * 100
X
32
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f)
8X – ( 16X - 10 ) = 11
3
g) X + 6 = 3
3X – 2
4
Resp: 0,375
h) 2,4X - 15
0,3
Resp.: 0
= 1,8X – 25
0,5
Resp: 6
i) 4X – 2( X - 7) + 4( 5 –X) = 2 – 2( 1 – 3X) - 6(X - 1 )
Resp.: 14
33
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6. INTERPOLACIONES LINEALES
En esta sección se aborda la interpolación lineal con el método analítico ( a partir de
una tabla de datos que representan una recta o de su ecuación ).
6.1 Interpolación lineal a partir de una tabla de datos
Calcule el valor de Y para X = 31, mediante interpolación lineal en la siguiente tabla de
datos: ( Expresar el resultado con dos decimales )
X
8
20
36
48
64
Y
1,6
2,5
3,7
4,6
5,8
Solución:
 Se pide calcular el valor de Y para X = 31
 El valor X = 31 se ubica entre los valores 20 y 36.
 Lo anterior nos permite deducir que el valor buscado de Y estará comprendido entre 2,5
y 3,7 , y más cerca de 3,7 que de 2,5 pues 31 dista 11 unidades de 20 y sólo 5 de 36.
Por lo tanto, la zona de interés estará dada por :
20
2,5
31
Y
36
3,7
Dado que los datos representan una recta ( pendiente constante ), establecemos una
proporción aprovechando la condición de igualdad de pendiente en cualquier punto.
Y – 2,5 = 3,7 – 2,5
31 – 20
36 – 20
Desarrollando la igualdad obtenemos:
( Y – 2,5 ) = 1,2
11
16
34
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16 (Y – 2,5)
= 11 * 1,2
16 Y - 40 = 13,2
16 Y = 53,2
Y = 3,33
Por lo tanto para X = 31 , el valor de Y es 3,33
2.- Calcular el valor de Y para X = 4,9 , mediante interpolación lineal en la siguiente tabla
de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con tres decimales
X
2,4
3,6
6,4
8,4
9,6
Y
0,18
0,27
0,48
0,63
0,72
Y – 0,27
4,9 - 3,6
=
0,48 – 0,27
6,4 - 3,6
Y – 0,27
1,3
= 0,21
2,8
2,8 (Y - 0,27) = 1,3 * 0,21
2,8 Y - 0,756 = 0,273
2,8 Y = 1,029
Y = 0,368
6.2 Interpolación lineal a partir de la ecuación de una recta
Determinar el valor de Y para X = 4,2 en la recta cuya ecuación es:
Y = 0,65 X – 1,27
Solución:
Se reemplaza el valor de X en la ecuación y se determina Y
Y = 0,64 * 4,2 – 1,27 = 1,46
Por lo tanto, cuando X = 4,2 , la variable Y = 1,46.
35
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Problemas propuestos:
1.- Calcular el valor de Y para X = 0,68 , mediante interpolación lineal en la siguiente tabla
de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con un decimal.
X
0,0
0,5
1,0
2,0
4,0
Y
0
20
40
80
160
2.- Calcular el valor de Y para X = 0,59 , mediante interpolación lineal en la siguiente tabla
de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con dos decimales.
X
0,25
0,50
0,75
1,00
Y
1,85
2,18
2,51
2,84
3.- Calcular el valor de Y para X = 4,7 , mediante interpolación lineal en la siguiente tabla
de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con un decimal.
X
0
2
4
6
8
Y
3,6
8,4
13,2
18,0
22,8
4.- Calcular el valor de Y para X = 16, en la recta cuya ecuación es Y = 0,15X + 1,36
Respuestas:
1) 27,2
2) 2,30
3) 14,9
4) 3,76
36