Ondas y Fluidos Resumen Temas del I.10 al I.19 Energ´ıa en el

Ondas y Fluidos
Resumen
Temas del I.10 al I.19
Energı́a en el Movimiento Ondulatorio
La potencia es la tasa de transferencia de energı́a. La potencia se calcula determinando la tasa
con que realiza trabajo la fuerza que en un segmento de cuerda ejerce sobre un segmento vecino.
P = µνω 2 A2 cos2 (κx − ωt)
en donde ν es la velocidad de la onda. La potencia media es
1
Pm = µνω 2 A2
2
2
ya que el valor medio de cos (κx − ωt), si se calcula el promedio sobre un periodo entero del
movimiento manteniendo x constante, es 1/2.
La energı́a recorre la cuerda a la velocidad de la onda ν, por lo que la energı́a media (∆E)m
que fluye por un punto P1 durante el tiempo ∆t es
1
(∆E)m = Pm ∆t = µνω 2 A2 ∆t
2
Esta energı́a se distribuye a lo largo de una distancia ∆x = ν∆t, de modo que la energı́a media
en ∆x es
1
(∆E)m = µω 2 A2 ∆x
2
Obsérvese que tanto la potencia media como la energı́a media transmitidas son proporcionales
al cuadrado de la amplitud de la onda.
Condición de Frontera y Principio de Superposición
En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras, a esto denominamos “eco”. En un medio de longitud finita, una onda incidente es reflejada en las fronteras,
a esto denominamos “eco”. Las condiciones en los extremo son las denominadas condiciones de
frontera.
La situación es la misma si dos pulsos viajan en sentidos opuestos. Al traslaparse los pulsos, el
desplazamiento será la suma algebraica de los desplazamientos individuales.
Cuando dos ondas se traslapan, el desplazamiento real de cualquier punto de una cuerda, en
cualquier instante, se obtiene sumando los desplazamientos separados:
X
y(x, t) =
yi (x, t)
i
con i = 1, 2
Cuando una onda es reflejada continuamente por los extremos, se produce un fenómeno de
interferencia La configuración de la onda permanece en la misma posición y su amplitud fluctúa.
Hay puntos que nunca se mueven: nodos. A la mitad del camino entre dos nodos hay puntos
donde la amplitud es máxima: antinodos. Como la configuración no parece moverse, a este
hecho se le conoce como: onda estacionaria.
1
Consideramos dos ondas de misma λ y A, viajando en sentido inverso. En un nodo, los desplazamientos son iguales y opuestos y se cancelan: interferencia destructiva. En un antinodo,
los dos desplazamientos siempre son idénticos dando un desplazamiento resultante grande: interferencia constructiva. La distancia entre dos nodos o antinodos sucesivos es λ2 .
Ecuación de Onda Estacionaria
y(x, t) = 2 A sen(κx) sen(ωt) = Aoe sen(κx) sen(ωt)
donde la amplitud Aoe = 2 A. Cada punto sigue teniendo un MAS, todos los puntos oscilando
en fase.
En los nodos, sen(κx) = 0, ⇒ κx = 0, π, 2π, 3π,... o x = 0, πκ ,
x = 0,
2π 3π
, κ ,...
κ
λ 2λ 3λ
, , , ...
2 2 2
La onda estacionaria no transfiere energı́a. Hay un flujo local de energı́a desde cada nodo a los
antinodos adyacentes y de regreso, pero la razón media de transferencia de energı́a es 0.
Ondas Estacionarias en una Cuerda
Consideramos una cuerda de longitud L sujeta en ambos extremos. Cuando se pulsa la cuerda,
se produce una onda que se refleja una y otra vez. La interferencia de las ondas forma una onda
estacionaria. La vibración de la cuerda se transmite al aire, que vibra a la misma frecuencia
que la cuerda.
Como debe haber un nodo a ambos extremos, la longitud de la cuerda debe ser igual a:
λ 2λ 3λ
nλ
,
,
, ...,
2 2 2
2
nλ
,
n = 1, 2, 3,...
2
La condición para haber una onda estacionaria es:
L =
λn =
2L
,
n
n = 1, 2, 3,...
A cada una de las posibles longitudes de ondas corresponderı́a de una posible frecuencia: fn =
ν/λn . La frecuencia más pequeña tiene la longitud más grande: n = 1 ⇒ λ1 = 2 L
f1 =
ν
2L
A esto se le denomina como frecuencia fundamental del sistema. Las otras frecuencias serı́an
los armónicos o sobretonos. La serie amónica esta dada por:
fn = n
ν
= n f1
2L
Para una cuerda con extremos fijos en x = 0 y x = L:
y(x, t) = Aoe sen(ωn t) sen(κn x), con ωn = 2 π fn y κn =
2
2π
λn
Un modo normal de un sistema oscilante, es un movimiento en el que todas las partı́culas del
sistema se mueven sencillamente a la misma frecuencia. Para una cuerda de longitud L, las
longitudes de ondas λn , corresponden a modos normales.
La onda estacionaria en la cuerda y la onda sonora viajando en el aire, tienen el mismo contenido
armónico. El contenido armónico explica la riqueza y complejidad del sonido de los instrumentos
de música. El análisis armónico consiste en encontrar la representación para una vibración
dada.
La suma de ondas senosoidales que representen una onda compleja es una
p serie de Fourier.
Como la frecuencia fundamental es dada como: f1 = ν/2 L y donde ν = FT /µ
f1 =
1 p
FT /µ
2L
Instrumentos con L cortos (Viola, Violı́n) producen sonido de alta frecuencia. Aumentar la
tensión FT también aumenta la frecuencia del sonido. Pero si µ aumenta (usando cuerdas mas
gruesas como en el Cello o Bajo), la frecuencia baja.
Ondas Estacionarias Longitudinales
El fenómeno de reflexión de onda, también se aplica a una onda en un fluido dentro de un tubo
de longitud finita. Las ondas estacionarias en un fluido son ondas de sonido (Ej. voz humana o
instrumentos de viento). Las ondas estacionarias en un fluido son desplazamientos del fluido o
variación de presión: modo de desplazamiento.
El tubo de Kundt es un aparato para demostrar ondas longitudes en un gas y medir su
velocidad. En este tubo, el polvo se acumula entre nodos separados de λ2 . Como la frecuencia
f es conocida, podemos determinar la velocidad de la onda: ν = λ f . Las partı́culas en ambos
lados opuestos del nodo, vibran en oposición de fase. Como las partı́culas se acercan, la presión
aumenta. En el nodo de desplazamiento, el gas experimenta compresión y expansión máxima.
Las partı́culas en ambos lados opuestos a un antinodo de desplazamiento, vibran en fase. La
distancia es constante y no hay variación de presión.
Esto define un nodo de presión: donde la presión y densidad no varı́an.
El antinodo de desplazamiento es, por tanto, un nodo de presión.
Y el nodo de desplazamiento, es un antinodo de presión.
En el extremo de un tubo cerrado, el desplazamiento es cero, pero la presión varı́a de manera
máxima: nodo de desplazamiento = antinodo de presión. En el extremo de un tubo abierto, el
desplazamiento es máximo, pero la presión no varı́a: antinodo de desplazamiento = nodo de
presión.
En un órgano, un soplador, alimenta en aire a una presión de 103 P a (10−2 atm) al extremo
inferior de los tubos. El corriente de aire entra por la abertura estrecha (boca) del tubo. La
columna de aire vibra en el tubo a la frecuencia fundamental + armónicos.
Hay dos tipos de tubos:
1. extremo abierto: nodos de presión
2. extremo tapado: antinodo de presión
3
Tubo abierto
ν
2L
f1 =
(1)
2L
n
con n = 1, 2, 3, ...
(2)
nν
2L
= n f1
con n = 1, 2, 3, ...
(3)
λn =
fn =
(4)
Tubo tapado
ν
4L
f1 =
(5)
4L
n
con n = 1, 3, 5, ...
(6)
nν
4L
= n f1
con n = 1, 3, 5, ...
(7)
λn =
fn =
(8)
Interferencia de Onda
Una onda estacionaria es un ejemplo de interferencia de ondas. También hay interferencias en el
caso de ondas viajeras. La interferencia hace que el flujo de energı́a se canalice en determinada
dirección. Al contrario de una onda estacionaria, el modo de desplazamiento también es un
modo de presión.
En esta condición, ocurre interferencia constructiva siempre que las distancias recorridas por
dos ondas difieren en un número entero de longitud de onda:
∆dconstructiva = 0, λ, 2λ, 3λ, ...
Ocurre interferencia destructiva siempre que las distancias recorridas por dos ondas difieren en
un número medio de longitud de onda:
∆ddestructiva =
λ 3λ 5λ
,
,
, ...
2 2 2
Se usa este fenómeno para controlar el ruido que proviene de fuentes de sonido muy fuertes. Se
usa fuentes de sonido adicional que interfiere de manera destructiva.
Resonancia
Cuando se aplica una fuerza que varı́a periódicamente, se produce en el sistema vibrante una
resonancia. Este fenómeno también ocurre para sistemas con muchos modos normales.
4
Si la frecuencia f esta cerca de uno de los modos normales, el fluido o medio se moverá a la
configuración del modo normal y la amplitud puede aumentar mucho.
La curva de resonancia A(f ) tiene picos, cada vez que f es igual a una frecuencia de un
modo normal.
Si no hubiera fricción o disipación, la energı́a agregada aumentarı́a indefinidamente (en la curvas
de resonancia, los picos serian infinitamente altos).
Un ejemplo más espectacular de este fenómeno es el rompimiento de una copa por la voz amplificada de un cantante. Las frecuencias normales de una copa pueden ser escuchadas dando
golpecito. Si la cantante emite una nota fuerte con una frecuencia exactamente igual a unas de
las frecuencias de los modos normales se pueden producir oscilaciones de grandes amplitudes
con energı́a suficiente para romper el cristal.
Ondas Sonoras
El sonido es una onda longitudinal en un medio (gas).
Un caso ideal: onda sonora en dirección x:
y(x, t) = A sen(ωt − κx)
El desplazamiento es paralelo a la dirección de la onda. Las ondas sonoras pueden describirse en
términos de variación de presión. El oı́do detecta variación de presión. Para una onda senosoidal
la presión fluctúa alrededor de la presión atmosférica (pa ) en forma senosoidal con la misma
frecuencia que los movimiento de las partı́culas en el aire.
Sea p(x, t), la fluctuación de de presión instantánea en una onda sonora en el punto x en el
instante t. La cantidad p(x, t) es la cantidad que la presión difiere de pa . Esto es la presión
manométrica. La presión absoluta es pa - p(x, t).
En términos de onda de densidad la ecuación se escribe como:
p(x, t) = B κ A cos(ωt − κx)
La amplitud de presión es la máxima de fluctuación:
pmax = B κ A
y(x, t) y p(x, t) describen la misma onda pero con frecuencias desfasadas de 1/4 de ciclo.
Intensidad del Sonido
El sonido es una onda viajera, que implica que puede transportar energı́a. La intensidad de
la onda de sonido es la razón media a la cual la onda transporta la energı́a por unidad de área
a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación.
I=
potencia media
unidad de area
La potencia es el producto de la fuerza por la velocidad P otencia = f uerza × velocidad. Para
una onda sonora: P otencia = p(x, t) · νy (x, y), donde νy es la velocidad de la partı́cula.
Para la onda unidimensional (I.16.1):
p(x, t) · νy (x, t) = B κ ω A2 cos2 (κx − ωt)
5
Sobre un periodo T = 2π/ω el valor medio de cos2 es 1/2 por todos x
1
Imed = B ω κ A2
2
Cambiamos ω = νκ y ν 2 = B/ρ
Imed =
1p
ρ B ω 2 A2
2
En términos de pmax y ω = νκ:
Imed =
ωp2max
νp2
= max
2B κ
2B
Imed =
p2max
p2
= √max
2ρν
2 ρB
o
Pulsaciones
Cuando dos ondas de la misma amplitud pero con frecuencias un poco diferentes interfieren
se produce un fenómeno de pulsaciones. La onda resultante semeja una onda senosoidal con
amplitud variable que va desde un máximo a 0 y se repite. La variación de amplitud o
variación de volumen es lo que llamamos pulsación. La frecuencia con la que cambia el
volumen es la frecuencia de pulsación. Una frecuencia de pulsación de unos cuantos Hz es
interpretada con una variación de tono.
La frecuencia de pulsación siempre es igual a la diferencia de las dos frecuencias fA y fB de las
dos ondas que se solapan. El cuadrado de la amplitud (que es proporcional a I) pasa por dos
máximos y dos mı́nimos por ciclo. Ası́ fpul = 2 × 21 (fA − fB ).
Efecto Doppler
Cuanto una fuente de sonido y un oyente están en movimiento relativo la frecuencia del sonido
oı́do no es la misma que la frecuencia emitida por la fuente.
Sea νS la velocidad de la fuente y νL la velocidad del oyente con dirección positiva de L a S.
La rapidez del sonido en el medio es ν. Consideramos el caso cuando solamente el oyente esta
en movimiento hacia la fuente:
νS = 0,
y
νL > 0
La fuente emite una onda sonora de frecuencia fS = λνS ⇒ λS =
acerca al oyente tiene una rapidez relativa mayor: ν + νL .
ν
.
fS
La cresta de onda que se
Ası́ que la frecuencia escuchada es:
ν + νL
λS
ν + νL
=
ν/fS
ν + νL
=
fS
ν
νL
= (1 + )fs
ν
fL =
6
(9)
(10)
La frecuencia es más alta (tono más agudo). Si νL < 0, la frecuencia es más baja. Si los dos
son están en movimiento, en la misma dirección ν > 0 y νL > 0.
La velocidad del sonido es siempre ν porque esta definida por las caracterı́stica del medio. Pero
la frecuencia no es más igual a λνS . El tiempo de emisión de la fuente es el periodo T . Durante
el tiempo, la onda viaja una distancia νT = fνS y la fuente νS T = νfSS .
La longitud de onda es la diferencia entre crestas sucesivas, que depende del desplazamiento
relativo entre la fuente y la onda.
Esto es diferente por delante y por detrás.
Por delante:
λ=
νS
ν − νS
ν
−
=
fS
fS
fS
Por detrás:
λ=
ν
νS
ν + νS
+
=
fS fS
fS
La frecuencia escuchado por el oyente será:
⇒ fL =
ν + νL
ν + νL
=
λ
(ν + νS )/fS
fL =
ν + νL
fS
ν + νS
Para νL = 0, fL < fS (grave);
Para νL 0 νS , fL = fS ;
Sı́ νL > 0 y νS < 0, fL > fS (agudo).
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