Algunos resultados sobre el número y el grado de ecuaciones

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DOCUMENTO DE TRABAJO
“Algunos resultados sobre el número y el grado de
ecuaciones definiendo una variedad algebraica- Survey”
Fabiana Krongold y Pablo Solernó
D.T.: N° 12
Marzo 1999
Vito Dumas 284, (B1644BID) Victoria, Pcia. de Buenos Aires, Argentina
Tel: 4725-7053 Fax: 4725-7010
Email: [email protected]
Algunos resultados sobre el número y el grado de
ecuaciones definiendo una variedad algebraica
- Survey Fabiana Krongold
Dep. de Matemática. Fac. de Ciencias Exactas y Naturales (UBA)
Pab.I, Ciudad Universitaria. 1428 Buenos Aires
[email protected]
Pablo Solernó
Dep. de Economı́a y Matemática. Universidad de San Andrés
Vito Dumas 284. 1644 Victoria
[email protected]
Estas notas recogen algunos resultados elementales sobre cantidad y grado de ecuaciones
definiendo un conjunto algebraico afı́n, que pueden enunciarse y demostrarse con un
mı́nimo de herramientas de álgebra conmutativa y geometrı́a algebraica.
No todas las pruebas están incluı́das, en algunos casos describimos esbozos de las mismas
y ciertos resultados no son enunciados en su máxima generalidad. El lector interesado
puede consultar los surveys [16], [19] y también [14, Ch.V].
Este apunte es producto de un seminario realizado en el Departamento de Matemática de
la Fac. de Ciencias Exactas (UBA) durante el segundo semestre de 1998. En él participaron, además de los autores, Marcela Almeida, Cristina Blanco, Manuela Blaum, Lisi
D’Alfonso y Gabriela Jerónimo; responsabilizamos a ellas por cualquier error u omisión.
Comenzamos con una breve sı́ntesis de las nociones y resultados básicos de álgebra conmutativa y geometrı́a algebraica, que pueden ser encontrados en cualquier libro de texto
sobre el tema (por ejemplo [5] o [14]).
1
Preliminares
Por simplicidad k denotará un cuerpo algebraicamente cerrado (muchos de los resultados
permanecen válidos para cuerpos más generales) y k [x1 , ..., xn ] el anillo de polinomios en
n indeterminadas sobre k.
1.1
Variedades algebraicas e ideales
Una variedad algebraica V ⊆ k n será el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones
polinomiales (la noetherianidad de k [x1 , ..., xn ] implica que siempre puede definirse una
variedad por un número finito de ecuaciones).
1
Dada una variedad V ⊆ k n se define el ideal de la variedad V al conjunto de todos
los polinomios f ∈ k [x1 , ..., xn ] que se anulan al especializar en cualquier punto de V ; se
comprueba inmediatamente que estos polinomios forman en efecto un ideal en k [x1 , ..., xn ]
que notaremos =(V ). Este ideal cumple obviamente la condición siguiente: si f m pertenece
a =(V ) para algún m ∈ N, entonces f pertenece a =(V ). Un ideal que verifica este condición
se llama radical.
También consideraremos una construcción recı́proca: dado un ideal I ⊆ k [x1 , ..., xn ],
notaremos con V(I) el conjunto algebraico {x ∈ k n ; f (x) = 0, ∀f ∈ I} . Claramente se tiene
la igualdad V(=(V )) = V y la inclusión I ⊆ =(V(I)) que es estricta si el ideal I no es un
ideal radical (ver Teorema 1).
Dada una variedad V ⊆ k n , denotamos con k[V ] al anillo cociente k [x1 , ..., xn ] /=(V ) y
lo llamaremos el anillo de coordenadas de V. Si W ⊆ k m es otra variedad algebraica, un
morfismo de V en W será una aplicación ϕ : k n → k m polinomial (o sea una m−upla de
polinomios en n−variables) tal que ϕ(V ) ⊆ W. No es difı́cil mostrar que a cada morfismo
de variedades ϕ se le asocia unı́vocamente un morfismo de k−álgebras ϕ∗ : k[W ] → k[V ]
y recı́procamente.
Un ideal I se dice primo si cada vez que ab ∈ I, entonces a ∈ I o b ∈ I.
Para cada ideal I se define el radical de I al conjunto de todos aquellos elementos f para
m
los
√ cuales alguna potencia f pertenece a I. Este conjunto es un ideal que notaremos
I y coincide con la intersección de todos los ideales primos que contienen a I.
Los conjuntos algebraicos inducen una topologı́a en k n (llamada topologı́a de Zariski ) que
adoptaremos desde ahora, en la cual los conjuntos cerrados son las uniones finitas de
conjuntos algebraicos. Recordamos que un subconjunto Z de un espacio topológico X
se dice irreducible si Z no puede escribirse como unión de dos cerrados propios. Es fácil
ver que un conjunto algebraico V ⊆ k n es irreducible si y sólo si =(V )es un ideal primo.
La noetherianidad de k [x1 , ..., xn ] implica fácilmente el siguiente resultado: todo conjunto
algebraico V puede descomponerse de una única manera como unión finita de conjuntos
algebraicos irreducibles, que se llaman las componentes irreducibles de V .
1.2
Teorema de los ceros
Hemos visto en la sección anterior que un ideal I ⊆ k [x1 , ..., xn ] siempre está contenido
en el ideal de la variedad definida por I que notamos =(V(I)) . El Teorema de los ceros
describe este último ideal en términos de I :
Teorema 1 (Teorema de los ceros de Hilbert) Sea I un ideal en k [x1 , ..., xn ], entonces :
• I es un ideal maximal si y solo si I = (x1 − α1 , ..., xn − αn ), donde (α1 , ..., αn ) ∈ k n .
√
• =(V(I)) = I ; en particular V(I) = ∅ si y solo si 1 ∈ I.
1.3
Normalización de Noether. Dimensión
Intentamos ahora describir con un poco más de exactitud el anillo de coordenadas de
una variedad y al mismo tiempo introducir una noción de dimensión. Parte de dicha
información está dada por el llamado Teorema de normalización de Noether (Max, no
Emmy). Para ello recordamos que un anillo A se dice que es entero sobre un subanillo B
2
si cada elemento de A verifica una ecuación polinomial mónica sobre B; si ϕ : B → A es
un morfismo de anillos decimos que ϕ es entero si A es entero sobre ϕ(B).
Teorema 2 Sea I ⊆ k [x1 , ..., xn ] un ideal, entonces existe un cambio lineal de variables
(x1 , ..., xn ) 7→ (y1 , ..., yn ) y un entero r, 0 ≤ r ≤ n (independiente del cambio lineal), tal
que el morfismo canónico k[y1 , ..., yr ] → k [x1 , ..., xn ] /I es inyectivo y entero.
La interpretación geométrica del Teorema de Noether es la siguiente: dada una variedad
V ⊆ k n existe un (único) natural r, 0 ≤ r ≤ n, y una aplicación lineal π : k n → k r tal
que π(V ) = k r y para todo z ∈ k r el conjunto π −1 (z) es finito.
Puede demostrarse también que casi todo cambio lineal (x1 , ..., xn ) 7→ (y1 , ..., yn ) (resp.
casi toda aplicación lineal π) verifica el Teorema.
A partir del Teorema de normalización de Noether es posible dar una definición de la
dimensión de una variedad : sea V ⊆ k n una variedad algebraica y sea =(V ) ⊆ k [x1 , ..., xn ]
su ideal; sea r el entero del Teorema de Noether para el ideal =(V ) , entonces se define
dim(V ) := r.
Es posible demostrar que si V se descompone como unión de sus componentes irreducibles
entonces la dim(V ) es igual al máximo de las dimensiones de sus componentes. Si todas las
componentes irreducibles tienen igual dimensión se dice que la variedad es equidimensional.
1.4
Dimensión vs. número de ecuaciones
Intuitivamente es claro que a medida que uno agrega ecuaciones, el “grado de libertad”
(i.e. la dimensión) del conjunto de soluciones va disminuyendo tal como ocurre en el caso
de subespacios lineales; la analogı́a va un poco más allá y la caı́da de dimensión no puede
ser mayor que 1. Más precisamente se tiene el siguiente resultado:
Teorema 3 Sea V ⊆ k n una variedad equidimensional y sea f ∈ k [x1 , ..., xn ] , entonces
vale una y sólo una de las 3 condiciones siguientes:
1. V ∩ {f = 0} es equidimensional de dimensión dim(V ) − 1 (este caso ocurre cuando
f no es divisor de cero ni unidad en k[V ] ).
2. V ∩ {f = 0} tiene igual dimensión que V (en este caso f se anula sobre al menos
una componente de V y f es un divisor de cero en k[V ] ).
3. V ∩ {f = 0} = ∅ (en este caso f es una unidad en k[V ]).
En particular si f1 , ..., fs son polinomios en k [x1 , ..., xn ] y W := {f1 = 0, ...., fs = 0},
entonces W = ∅ o dim(W ) ≥ n − s.
1.5
Grado de una variedad
Introducimos ahora un nuevo invariante: el grado de una variedad (que notaremos deg(V )).
Comenzaremos por una variedad irreducible: sea V ⊆ k n una variedad irreducible y sea
r := dim(V ), como una consecuencia del Teorema de Noether, es posible demostrar que
si uno considera la intersección de V con una variedad lineal L de dimensión n − r en
3
posición “suficientemente general”, la variedad V ∩ L tiene dimensión cero, es decir es un
número finito de puntos. Notemos L el conjunto de las variedades lineales que cumplen
esas dos condiciones.
Definimos entonces deg(V ) de la siguiente manera:
deg(V ) := max ] {V ∩ L / L ∈ L} .
Si bien no es obvio a partir de esta definición , deg(V ) resulta siempre un número natural
(cf. [17, Ch.5] o [9, Section 2]) que generaliza la noción de grado de un polinomio.
Siguiendo [9] , para variedades arbitrarias (no necesariamente irreducibles) se define deg(V )
como la suma de los grados de sus componentes irreducibles.
Calcular grados resulta en general más difı́cil que calcular dimensiones, el siguiente resultado relaciona deg(V ) con las ecuaciones que lo definen:
Teorema 4 (“Desigualdad de Bezout”; cf. [9, Th.1, Cor.1]) Sea V ⊆ k n una variedad
tal que V = {f1 = 0, ...., fs = 0}, entonces se tiene:
deg(V ) ≤
2
s
Y
deg(fi ).
i=1
Número de ecuaciones
Después de introducir las nociones y resultados básicos pasamos a considerar el número
de ecuaciones necesarias para describir un conjunto algebraico en k n . Comencemos por
algunos ejemplos:
Ejemplo 1: Todo conjunto algebraico V en k puede describirse con una sola ecuación.
(Observar que =(V ) ⊆ k[x] es principal.)
Ejemplo 2: Todo conjunto algebraico V de dimensión cero en k n (i.e. un conjunto finito
de puntos) puede darse por n ecuaciones (ver Proposición 11).
Hay varias maneras de ver esto, por ejemplo por inducción en n . Para n = 1 es el ejemplo
anterior; supongamos n > 1 : sean P1 , ..., Ps los puntos de V y sean a1 , ..., at los elementos
de k que aparecen como última coordenada de al menos un punto de V (t ≤ s pues puede
haber puntos con la misma última coordenada). Para cada ı́ndice j, 1 ≤ j ≤ t, el conjunto
V ∩ {xn = aj } es un conjunto algebraico finito definido por las ecuaciones que definen a V
reemplazando xn por aj y por lo tanto definible por ecuaciones en las variables x1 , ..., xn−1 ;
luego, por hipótesis inductiva, existen n−1 polinomios gj1 , ..., gj,n−1 ∈ k [x1 , ..., xn−1 ] cuyos
ceros son las primeras n − 1 coordenadas de los puntos de V ∩ {xn = aj }. Es inmediato
comprobar que V está dado por las ecuaciones f1 = 0, ..., fn = 0 tomando
f1 :=
t
X
k=1
gk1
Y
j6=k
(xn − aj ) , ...... , fn−1 :=
t
X
k=1
4
gk,n−1
Y
j6=k
(xn − aj ) , fn :=
t
Y
(xn − aj ).
j=1
Ejemplo 3: Toda variedad algebraica equidimensional V ⊆ k n de dimensión n − 1 puede
darse por una sola ecuación; más aún, en este caso el ideal =(V ) está generado por un
solo polinomio libre de cuadrados f y deg(f ) = deg(V ).
No daremos la prueba de este hecho aquı́; para una demostración completa ver [14, Ch.II,
Cor.3.10].
Estos tres ejemplos inducirán al muy optmista a pensar que toda variedad algebraica en
k n de dimensión r puede ser dada por n − r ecuaciones, pero esto no es cierto en general
(por ejemplo, el conjunto algebraico formado por los 3 ejes coordenados de C3 no puede
darse por 2 ecuaciones).
El optimista a secas conjeturará algo más débil: toda variedad algebraica en k n puede darse
con n ecuaciones. Si bien esto es verdad, recién en 1972 U.Storch [21] e independientemente
D.Eisenbud y G. E.Evans [6] hallaron una demostración completa de este hecho (ver
Sección 2.3).
Por empezar veamos un resultado clásico debido a Kronecker [12] , que afirma que toda
variedad algebraica en k n pude darse por n + 1 ecuaciones.
2.1
Teorema de Kronecker: n + 1 ecuaciones bastan
Teorema 5 Sea V ⊆ k n una variedad algebraica definida por los ceros de polinomios
f1 , . . . , fs ∈ k [x1 , ..., xn ] , entonces existen polinomios h1 , . . . , hn+1 ∈ k [x1 , ..., xn ] , kcombinaciones lineales de los polinomios f1 , . . . , fs , cuyos ceros definen la misma variedad
V.
Dem.- Basta suponer s > n + 1. Sean F1 , . . . , Fs ∈ k [x0 , x1 , ..., xn ] los homogeneizados de
deg(f )
los polinomios f1 , . . . , fs (es decir, cada Fi es el polinomio homogéneo x0 i fi ( xx10 , ....., xxn0 )).
Sea d := maxi {deg Fi } y sean e1 , . . . , es números enteros no negativos tales que deg(xe0i Fi ) =
d para todo i. Definendo Gi := xe0i Fi (1 ≤ i ≤ s) se tienen polinomios homogéneos
G1 , . . . , Gs ∈ k [x0 , x1 , ..., xn ] de grado d tales que Gi (1, x1 , . . . , xn ) = fi (x1 , . . . , xn ).
Dado que G1 , . . . , Gn+2 son algebraicamente dependientes sobre k, existe un polinomio
no nulo Φ ∈ k[y1 , ..., yn+2 ] tal que Φ(G1 , . . . , Gn+2 ) = 0; como los polinomios Gi son
homogéneos del mismo grado, sin pérdida de generalidad se puede suponer que Φ es
también homogéneo y sea D := deg(Φ).
Ahora se hace una modificación de los polinomios Gi “a la Noether”: sean G11 , . . . , G1,n+1 ∈
k [x0 , x1 , ..., xn ] definidos ası́:
G1i := Gi − t1i Gn+2 (1 ≤ i ≤ n + 1)
donde t11 , . . . , t1,n+1
que Φ(t11 , . . . , t1,n+1 , 1) 6= 0.
P ∈ k son tales
γn+2
Si notamos Φ = γ aγ y1γ1 . . . yn+2
y evaluamos en los polinomios G1 , . . . , Gn+2 se tiene:
X
X
γn+2
γn+2
0=
aγ Gγ11 . . . Gn+2
=
aγ (G11 + t11 Gn+2 )γ1 . . . (G1,n+1 + t1,n+1 Gn+2 )Gn+2
=
γ
γ
=
X
γ
γ
n+1
aγ tγ111 . . . t1,n+1
GD
n+2 +
D−1
X
j=0
5
pj (G11 , . . . , G1,n+1 )Gjn+2
donde cada pj ∈ k [y1 , ..., yn+1 ] es un polinomio homogéneo de grado D − j.
De la igualdad anterior se sigue:
Φ(t11 , . . .
, t1,n+1 , 1)GD
n+2
=−
D−1
X
pj (G11 , . . . , G1,n+1 )Gjn+2
(1)
j=0
Como deg(pj ) > 0 (0 ≤ j ≤ D − 1), cada polinomio pj (G11 , . . . , G1,n+1 ) está contenido
en el ideal de k [x0 , x1 , ..., xn ] generado por los polinomios G11 , . . . , G1,n+1 . Entonces de
la igualdad (1) se deduce que:
q
Gn+2 ∈ (G11 , . . . , G1,n+1 ).
Si s > n+2, repitiendo el anterior procedimiento para los polinomios G11 , . . . , G1,n+1 , Gn+3
se obtienen G21 , . . . , G2,n+1 ∈ k [x0 , x1 , ..., xn ] homogéneos de grado d de la forma:
G2i := G1i − t2i Gn+3 = Gi − t1i Gn+2 − t2i Gn+3 (1 ≤ i ≤ n + 1)
donde t21 , . . . , t2,n+1 son elementos adecuados de k.
Además se tiene que
q
Gn+2 , Gn+3 ∈ (G21 , . . . , G2,n+1 )
(obsérvese que para el polinomio Gn+2 lo anterior es cierto pues el ideal de k [x0 , x1 , ..., xn ]
generado por los polinomios G11 , . . . , G1,n+1 está contenido en el ideal generado por los
polinomios G21 , . . . , G2,n+1 , Gn+3 ).
Repitiendo el anterior procedimiento s − n − 1 veces, se obtienen polinomios homogéneos
Gs−n−1,1 , . . . , Gs−n−1,n+1 ∈ k [x0 , x1 , ..., xn ] de grado d de la forma :
Gs−n−1,1 = G1 − t11 Gn+2
..
..
.
.
− · · · − ts−n−1,1 Gs
..
.
(2)
Gs−n−1,n+1 = Gn+1 − t1,n+1 Gn+2 − · · · − ts−n−1,n+1 Gs
tales que
Gn+2 , . . . , Gs ∈
q
(Gs−n−1,1 , . . . , Gs−n−1,n+1 ).
(3)
Para cada i ∈ {1, . . . , n + 1}, definimos hi (x1 , . . . , xn ) := Gs−n−1,i (1, x1 , . . . , xn ). Se
deduce entonces de (2):
h1 = f1 − t11 fn+2
..
..
.
.
− · · · − ts−n−1,1 fs
..
.
(4)
hn+1 = fn+1 − t1,n+1 fn+2 − · · · − ts−n−1,n+1 fs
Además por (3) se tiene:
fn+2 , . . . , fs ∈
p
(h1 , . . . , hn+1 )
p
p
Para finalizar veamos que (f1 , . . . , fs ) = (h1 , . . . , hn+1 ): la inclusión ⊆ vale pues por
(4) los polinomios f1 , . . . , fn+1 son k-combinación lineal de fn+2 , . . . , fs , h1 , . . . , hn+1 . La
inclusión ⊇ es trivial pues los polinomios hi son k-combinación lineal de los fj .
6
2.2
Teorema de Kronecker con cotas de grado
El Teorema de Kronecker que acabamos de ver admite una versión con cotas de grado
sobre los polinomios h1 , . . . , hn+1 . Dado que estos polinomios se pueden tomar como
k−combinaciones lineales de cualquier conjunto de polinomios que definan a la variedad
V, es suficiente demostrar el siguiente resultado (ver [9, Remark 4, Prop.3]):
Lema 6 Sea V ⊆ k n una variedad algebraica, entonces existen polinomios f1 , . . . , fs ∈
k [x1 , ..., xn ] tales que V = {f1 = 0, . . . , fs = 0} y además deg(fi ) ≤ deg(V ), para todo
i = 1, ..., s.
Dem.- Basta ver que para todo punto P fuera de V existe un polinomio f ∈ k[x1 , . . . , xn ]
tal que deg(f ) ≤ deg(V ), f |V = 0 y f (P ) 6= 0.
Podemos suponer que V es irreducible (el caso general se deduce fácilmente, repitiendo el
argumento para cada componente y multiplicando las ecuaciones).
Sea P := (a1 , . . . an ) 6∈ V ; sin pérdida de generalidad podemos suponer también que la
proyección π : V → k r , (x1 , . . . , xn ) 7→ (x1 , . . . xr ) está en posicion de Noether (i.e. π
es una aplicación suryectiva y de fibra finita) (cf. Teorema 2). Luego π −1 (a1 , . . . , ar )
es un conjunto finito {Q1 , . . . Qt } ⊆ V . Sea ` ∈ k[x1 , . . . , xn ] una forma lineal tal que
`(P ) 6= `(Qi ) ∀i, 1 ≤ i ≤ t y consideremos la aplicación lineal: π` : k n → k r+1 , definida
por x 7→ (π(x), `(x)).
Puede verse que π` (V ) es un cerrado de k r+1 de dimensión r = dim(V ); luego existe
g ∈ k[x1 . . . xr+1 ] tal que π` (V ) = {g = 0} (ver Ejemplo 3 de la sección anterior) y además
deg(g) = deg(π` (V )) ≤ deg(V ) (esta última desigualdad vale pues π` es lineal, cf. [9,
Lemma 2]).
Sea f := g ◦ π` ∈ k[x1 , . . . xn ]. Es claro que deg(f ) ≤ deg(g) ≤ r y que f |V = g|π` (V ) = 0.
Además f (P ) = g(π` (P )) 6= 0, pues si no fuera ası́ se tendrı́a que (π(P ), `(P )) ∈ π` (V )
y por lo tanto existirı́a Q ∈ V tal que Q ∈ π −1 (P ) y `(Q) = `(P ), lo que contradice la
elección de la forma lineal `.
Juntando este Lema y el Teorema 5 se tiene:
Teorema 7 (ver [9, Prop.3] ) Toda variedad V ⊆ k n puede darse por n + 1 ecuaciones
cuyos grados están mayorados por deg(V ).
2.3
Teorema de Storch-Eisenbud-Evans
En 1891 K.Th.Vahlen [22], intentando refinar el resultado de Kronecker, afirma haber
encontrado una curva en k 3 que no puede ser definida por 3 ecuaciones; recién en 1942,
Perron [20] (que en esa época era corronel) encuentra un error en la prueba de Vahlen.
En 1960 M. Kneser [10] demuestra que toda variedad algebraica en k 3 puede ser dada
por 3 ecuaciones. El resultado general (“n ecuaciones bastan”) es demostrado en 1971
independientemente por U.Storch y D.Eisenbud-G. E.Evans.
Teorema 8 Sea V ⊆ k n una variedad algebraica entonces V puede darse por n ecuaciones.
7
Las demostraciones originales pueden encontrarse en [21] y [6]; una prueba corta y elemental aparece en [14, Ch.V, Cor.1.5].
2.4
n − 1 ecuaciones
El Teorema 3 muestra que para definir una variedad algebraica de dimensión cero se
necesitan al menos n ecuaciones, con lo que el Teorema de Storch-Eisenbud-Evans es
optimal. Sin embargo la cuestión acerca de si n − 1 ecuaciones pueden definir una variedad
algebraica recobra sentido si nos restringimos al caso de variedades cuyas componentes
irreducibles tienen dimensión positiva. En este sentido se pueden mencionar los resultados
afirmativos de D.Ferrand, que en 1975 demuestra que toda curva sin puntos aislados
localmente intersección completa (ver definición en la Sección 3.4) en k n se puede definir
por n − 1 ecuaciones. Este resultado fue generalizado por G.Lyubeznik en 1987 para
variedades de dimensión arbitraria, localmente intersección completa y sin puntos aislados.
El caso general permanece abierto.
3
Sobre los grados de generadores de =(V )
En la sección anterior nos interesamos por la cantidad y el grado de ecuaciones cuyos
ceros corresponden a una variedad algebraica dada V ; en esta sección estudiaremos un
problema más algebraico: ¿cuán pequeños o grandes pueden los grados y el número de
generadores del ideal de todos los polinomios que se anulan sobre una variedad ? O dicho
de otra manera: ¿qué se puede decir sobre los grados y el número de generadores de un
ideal polinomial primo o radical ? La situación es muy diferente al caso de las ecuaciones
que acabamos de ver en la sección precedente.
Un ejemplo de Macaulay, reinterpretado por Abhyankar nos hace reflexionar sobre el rol
de los anillos noetherianos desde un punto de vista efectivo y algorı́tmico :
Teorema 9 (ver [1]) Para todo m ∈ N existe una curva irreducible (es decir una variedad
irreducible de dimensión 1) Vm ⊂ k 3 tal que todo sistema de generadores de =(Vm ) ⊂
k[x1 , x2 , x3 ] tiene al menos m elementos.
Existen también resultados generales, aunque poco precisos (si bien algorı́tmicos):
Teorema 10 (ver [11]) Sea V ⊆ k n una variedad, entonces existe una constante c ∈ N ,
que no depende de V , tal que existe un sistema de generadores de =(V ) cuya cantidad y
cr
grados están mayorados por deg(V )n , donde r := dim(V ).
Los resultados que siguen dan algunas respuestas para ciertos casos particulares.
3.1
Dimensión cero
Sea V ⊆ k n una variedad algebraica de dimensión cero y de cardinal t. Supongamos que
todas las primeras coordenadas de los puntos de V son distintas (esto puede obtenerse
8
por un cambio lineal de coordenadas, lo que no modifica ni grados ni cantidad de generadores de =(V )). Entonces se tiene el siguiente resultado, conocido como “The Shape
Lemma” (la demostración es muy simple y queda como ejercicio, sino se puede consultar
[23, Prop.4.4.1]) :
Proposición 11 Existen polinomios p1 , ..., pn ∈ k[x1 ] tales que deg (p1 ) = t y deg (pj ) ≤
t, j = 2, ..., n, tales que
=(V ) = (p1 , x2 − p2, ..., xn − pn ).
Es interesante señalar que la Proposición anterior es falsa para conjuntos algebraicos de
dimensión cero en el espacio proyectivo Pn . Se tiene el siguiente resultado (ver [7]):
Teorema 12 Para todo m ∈ N existe un conjunto finito de puntos V ⊂ P2 tal que =(V ) ⊂
k[x0 , x1 , x2 ] no puede ser generado por m elementos.
3.2
3.2.1
El caso regular
Puntos regulares. Espacio tangente
Sea P un punto de k n , se define el anillo local de P en k n , que notaremos OP,kn , al anillo
de todas las fracciones fg , con f ,g ∈ k [x1 , ..., xn ] , tales que g(P ) 6= 0. OP,kn resulta un
anillo local, es decir, posee un único ideal maximal M : si P := (a1 , ..., an ), entonces
M = (x1 − a1 , ..., xn − an )OP,kn .
Dada una variedad algebraica V ⊆ k n , tal que P ∈ V (es decir =(V ) ⊆ (x1 − a1 , ..., xn −
an )), se define el anillo local de P en V , que notaremos OP,V , al anillo OP,kn /=(V )OP,kn .
Este anillo también resulta un anillo local y su único ideal maximal es la clase de M en el
cociente, que notaremos MP . Intuitivamente OP,V corresponde a las funciones definidas
en un entorno de V alrededor del punto P .
El principio local global (ver [14]) establece que =(V ) = (f1 , . . . , fm ) si y solo si para todo
P ∈ V vale que =(V )OP,kn = (f1 , . . . fm )OP,kn .
Definiremos ahora la noción de punto regular de una variedad (que corresponde a la idea
de un punto liso en una variedad). Por simplicidad supongamos que V es una variedad
algebraica equidimensional y P un punto de V. Diremos que el punto P es regular en V
si vale la igualdad:
dim(V ) = dimk MP /MP2 .
Observar que la definición tiene sentido ya que MP /MP2 admite una estructura natural
de k−espacio vectorial de dimensión menor o igual que n. Esta igualdad se interpreta ası́:
la dimensión de la variedad es igual a la dimensión del espacio tangente a V en el punto
P (ver la definición de espacio tangente que sigue).
Una variedad algebraica V se dice regular si todos sus puntos son regulares.
Ahora definiremos brevemente una noción ı́ntimimamente ligada a la noción de punto
regular: el espacio tangente. Por razones técnicas la naturaleza de nuestra definición será
más algebraica que geométrica.
9
Sea I ⊂ k [x1 , ..., xn ] un ideal y sea P := (a1 , ..., an ) ∈ k n un punto de V(I), dado un
polinomio f ∈ I, notaremos por fP la parte lineal (i.e. de grado 1) del polinomio f al
desarrollarlo en potencias de (x1 − a1 ), ..., (xn − an ) (Taylor).
El espacio tangente (Zariski) al ideal I en el punto P (que notaremos TP,I ) es la variedad
lineal afı́n definida por las ecuaciones fP = 0, donde f recorre todos los elementos de
I. Dada una variedad V ⊆ k n el espacio tangente a V en P será por definición TP,=(V ) ,
que también notaremos por TP,V . Se puede demostrar que P ∈ V es regular si y sólo si
dim(V ) = dim(TP,V ).
Por medio del espacio tangente se puede dar un criterio suficiente para encontrar generadores locales de =(V ):
Lema 13 ([18, Lemma, p.34]) Sea V ⊆ k n una variedad definida por ecuaciones f1 =
t
\
0, ..., ft = 0, y P ∈ V un punto regular. Entonces TP,V =
TP,(fi ) si y sólo si =(V )OP,kn =
i=1
(f1 , . . . ft )OP,kn .
3.2.2
Variedades proyectivas. Inmersión de Veronese
Sea N := n+d
− 1 y sea sd : Pn → PN la aplicación
d
d−1
d
(x0 , . . . , xn ) 7→ (xd0 , xd−1
0 x1 , . . . , x0 xn , . . . , xn ),
de tal manera que las coordenadas de la imagen recorran todos monomios de grado d en
n variables. La aplicación sd es inyectiva y recibe el nombre de inmersión de Veronese.
Puede verse que =(sd (Pn )) es un ideal primo generado por las cuádricas yi yj − yk yt , para
aquellos ı́ndices 0 ≤ i, j, k, t ≤ N tales que sd (x)i sd (x)j = sd (x)k sd (x)t .
d−1
Cada polinomio homogéneo de grado d, F (x0 , . . . , xn ) := α0 xd0 + α1 xd−1
0 x1 + αn x0 xn +
d
· · ·+αN xn , tiene asociado una forma lineal lF (y0 , . . . , yN ) := α0 y0 +· · ·+αN yN que verifica
que F (x) = lF (sd (x)) (en este sentido se dice que sd “linealiza” polinomios homogéneos
de grado d).
La aplicación sd es una inmersión en el sentido usual: si W es una variedad proyectiva en
Pn , entonces para todo punto Q ∈ W , OQ,W es isomorfo a Osd (Q),sd (W ) . En particular
las imágenes de puntos regulares de W resultan puntos regulares de sd (W ).
Estamos ahora en condiciones de dar un esbozo de la demostración del siguiente resultado
debido a D. Mumford:
Teorema 14 (ver [18]) Sea V ⊆ k n variedad irreducible regular de grado d. Entonces
existen polinomios f1 , . . . fm generadores
de =(V ) cuyos grados están mayorados por d.
Además se tiene que m ≤ n+d
−
1.
d
Dem. (sketch)- Por el principio local-global basta ver que existen polinomios f1 , . . . fm
con deg(fi ) ≤ d para todo i, que generen el ideal =(V ) en cada localización OP,kn , donde
P recorre todos los puntos de V .
Sea V la clausura de V en Pn con la topologı́a de Zariski. De acuerdo a la definición
de grado, se tiene que V es una variedad proyectiva irreducible del mismo grado que V .
Siguiendo la demostración del Lema 6 se tiene que V = {Fi = 0, 1 ≤ i ≤ m}, donde
los Fi son todos los polinomios homogéneos de grado exactamente d que pertenecen a
10
=(V ). Observemos
que la cantidad de estos polinomios k-linealmente independientes está
n+d
acotada por d − 1. Obviamente si definimos fi (x) := Fi (1, x) ∈ k[x1 , . . . , xn ] se tiene
que V = {f1 = 0, . . . , fm = 0}. Queremos ver que =(V ) = (f1 , . . . , fm ).
Si qj denotan las cuádricas que describen sd (Pn ), entonces se tiene que:
sd (V ) = {lF1 = 0, . . . , lFm = 0} ∩ sd (Pn ) = {lF1 = 0, . . . , lFm = 0, q1 = 0, . . . , qr = 0}.
Dado que todo P ∈ V es regular, entonces sd (P ) es regular en sd (V ) y por lo tanto en
sd (V ).
El punto central de la demostración (que no haremos aquı́) es la siguiente relación válida
para cada punto P ∈ V :
Tsd (P ),sd (V ) =
m
\
Tsd (P ),(lF ) ∩
i
i=1
r
\
Tsd (P ),(qj ) .
j=1
Aplicando el Lema 13 para las variedades sd (V ) ⊆ sd (k n ) y para el punto sd (P ) (que es
regular en sd (V )) se deduce que
=(sd (V ))Osd (P ),sd (kn ) = (lF1 , . . . lFm , y0 − 1)Osd (P ),sd (kn ) .
(Observar que todas las cuádricas qj son nulas en el anillo Osd (P ),sd (kn ) .)
Calculando explı́citamente el isomorfismo que induce la inmersión de Veronese entre los
anillos locales Osd (P ),sd (kn ) y OP,kn , se obtiene que para todo P ∈ V , =(V )OP,kn =
(f1 , . . . fm )OP,kn y el teorema queda demostrado.
3.3
El caso Cohen-Macaulay
Sea V ⊆ k n una variedad equidimensional, diremos que la variedad es Cohen-Macaulay
si cada vez que se tiene una posición de Noether (cf. Teorema 2) k[y1 , ..., yr ] ,→ k[V ],
entonces k[V ] resulta un k[y1 , ..., yr ]−módulo libre (de rango finito). La noción “CohenMacaulay” es una noción más algebraica que geométrica (ver por ejemplo [14, Ch.VI,
Section 3]), nuestra definición no es la habitual (aunque correcta !) y es sólo con fines
didácticos. Es posible demostrar que toda variedad regular es Cohen-Macaulay (ver [14,
Ch.VI, p.187]).
Una familia de polinomios f1 , . . . , fn−r ∈k [x1 , ..., xn ] se dice que es una sucesión regular
si cada fi no es divisor de cero en el anillo k [x1 , ..., xn ] /(f1 , . . . , fi−1 ), 1 ≤ i ≤ n − r,
y además 1 ∈
/ (f1 , . . . , fn−r ). Es posible demostrar que si f1 , . . . , fn−r es una sucesión
regular, entonces para cada ı́ndice i la variedad Vi := {f1 = 0, . . . , fi = 0} es equidimensional de dimensión n − i (cf. Teorema 3). También se puede demostrar que si
f1 , . . . , fn−r es una sucesión regular y k[y1 , ..., yr ] ,→ k [x1 , ..., xn ] /(f1 , . . . , fn−r ) es una
posición de Noether, entonces k [x1 , ..., xn ] /(f1 , . . . , fn−r ) es un k[y1 , ..., yr ]−módulo libre
(ver [8, Lemma 3.3.1]).
Teorema 15 (ver [2]) Sea r < n y sea f1 , . . . , fn−r ∈ C [x1 , ..., xn ] una sucesión regular
formada por polinomios de grados mayorados por un natural d > 1 definiendo una variedad
algebraica Cohen-Macaulay V . Entonces =(V ) puede generarse por polinomios de grados
acotados por (n − r)d(2 deg(V )2 + 1).
11
Dem.(sketch)- Notemos B y B 0 los anillos C [x1 , ..., xn ] /(f1 , . . . , fn−r ) y C[V ] respectivamente, y sea A := C[y1 , ..., yr ] ,→ B una posición de Noether, entonces es fácil ver que
A ,→ B 0 también resulta una posición de Noether para V . Según lo mencionado antes,
B y B 0 son A−módulos libres. Si π : B → B 0 denota la proyección canónica, entonces
ker(π)+ (f1 , . . . , fn−r ) = =(V ), por lo tanto basta estimar los grados de un sistema de
generadores de ker(π).
A cada elemento b ∈ B se le asocia un único elemento en A del siguiente modo: consideremos el endomorfismo de B que consiste en la multiplicación por b , dado que B es libre
sobre A, está definida la traza de este endomorfismo que llamaremos Tr(b) y que es un
elemento del anillo de polinomios A. Se demuestra que b ∈ ker(π) si y sólo si Tr(bz) = 0
∀z ∈ B (ver [2, Th.4]); dado que Tr es A−lineal se deduce que si {z1 , ..., zN } es un sistema
de generadores de B sobre A, entonces b ∈ ker(π) si y sólo si Tr(bzi ) = 0 ∀i = 1, ..., N.
Como consecuencia de resultados de dualidad sobre anillos intersección completa (ver
[15] o [2, Prop.1]), es posible exhibir explı́citamente polinomios z1 , ..., zN ∈ k[x1 , ..., xn ]
de grados acotados por (n − r)(d − 1), tales que sus clases
P en B forman un sistema de
generadores de B sobre A. Por lo tanto, un elemento b = i ai zi pertenece a ker(π) si y
sólo si (a1 , ..., aN ) ∈ AN pertenece al núcleo de la matriz T := (T r(zi zj ))ij ∈ AN ×N .
Luego, todo el problema se reduce a estimar el grado de un sistema de generadores para
ker(T ); si bien este problema en general admite sólo cotas de grado doblemente exponenciales (ver [4]), en el caso particular en que las columnas de la matriz generan un módulo
libre, existe un s.d.g del núcleo cuyas coordenadas poseen grados acotados por el producto
entre el rango y el máximo de los grados de las entradas de la matriz (ver [2, Cor.10] o
[23, Ch.2, Cor.2.4.1]).
Es posible demostrar que en nuestro caso las columnas de la matriz T forman en efecto un
A-módulo libre de rango igual al rango del A−módulo B 0 (ver [2, Prop.8]) y por lo tanto
existe un sistema de generadores de ker(T ),cuyas coordenadas tienen grados acotados por
rk(B 0 ) maxij {deg(Tr(zi zj )}.
Se obtiene entonces un s.d.g. para ker(π) cuyos grados están acotados por
max{deg(zi )} + rk(B 0 ) max{deg(Tr(zi zj )} ≤ (n − r)(d − 1) + rk(B 0 ) max{deg(Tr(zi zj )}.
i
ij
ij
Para concluir la prueba del Teorema basta estimar rk(B 0 ) y maxij {deg(Tr(zi zj )} : el
primero de ellos se mayora por deg(V ) usando el Teorema de Bezout (cf. [2, Cor.7]),
mientras que el segundo se acota por deg(V ) maxij deg(zi zj ) ≤ deg(V )2(n − r)(d − 1) (ver
[2, Prop.12]).
Observación: La demostración del Teorema 15 puede ser transformada en un método
efectivo que calcula un sistema de generadores de =(V ) (ver [2]).
3.4
Un Teorema de Mohan Kumar
Sea V ⊆ k n una variedad equidimensional de dimensión r . Diremos que V es localmente una intersección completa si para todo punto P ∈ V existen z1 , ..., zn−r ∈
OP,kn (ver Sección 3.2) tales que OP,V = OP,kn /(z1 , ..., zn−r ). Esto ocurre, por ejemplo, si r = 1 (ver Ejemplo 3 de la Sección 2), o más generalmente, si existen polinomios
f1 , ..., fn−r ∈ k [x1 , ..., xn ] tales que =(V ) = (f1 , ..., fn−r ), aunque esta condición no es
12
necesaria. También se puede demostrar que si V es regular (ver Sección 3.2) entonces es
localmente intersección completa (ver [14, Ch.VI, Cor.1.11]). El siguiente resultado fue
obtenido por M. Kumar [13] :
Teorema 16 (ver [13], [14, Ch.V, Th.5.21]) Sea V ⊆ k n una variedad localmente intersección completa (por ej. una variedad regular). Entonces =(V ) puede generarse con n
polinomios.
Observación: El Teorema de Kumar es falso en el espacio proyectivo: de acuerdo a la
Proposición 12 existen conjuntos finitos (y por lo tanto regulares) en P2 cuyos ideales
necesitan un número arbitrariamente grande de generadores.
4
Algunos problemas
En los surveys [16] y [19], como ası́ también en el libro [14] aparecen mencionados varios
problemas abiertos y conjeturas relativos al número y grado de ecuaciones, algunos de
enunciado elemental y otros no tanto. Nosotros mencionaremos algunos más que son de
nuestro interés. Obviamente de todos ellos desconocemos tanto las respuestas como el
hecho de que esas respuestas hoy en dı́a existan.
Problema 1: Dar una versión del Teorema de Storch-Eisenbud-Evans (Teorema 8) con
cotas de grados razonables (por ej. deg(V )).
Problema 2: Sea f1 , ..., fn−r ∈ k [x1 , ..., xn ] una sucesión regular (ver Sección 3.3) cuyos
ceros definen una variedad V ⊆ k n : ¿ existe una sucesión regular g1 , ..., gn−r ∈ k [x1 , ..., xn ]
cuyos ceros definen la misma variedad V y tales que deg(gi ) ≤ deg(V ), para todo i ?
Problema 3: ¿ Es posible dar una versión unificada de los Teoremas 14 y 16 para una
variedad regular V ? (O al menos permitiendo “poco” crecimiento simultáneo de grados
y cantidad de polinomios que generen =(V ).)
Problema 4: ¿ Es cierto que el ideal de cualquier variedad V ⊆ k n puede generarse con
polinomios de grados acotados por deg(V ) ?
Problema 5: Dar algoritmos “razonables” que construyan los polinomios que aparecen
en los Teoremas 5, 8, 14 y 16.
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