4. Entrelazamiento.

ENTRELAZAMIENTO
►
►
►
►
►
►
Espacio producto tensorial.
Sistemas Compuestos.
Entrelazamiento.
Sistema de n qubits.
qubits.
La base de Bell.
Fotones entrelazados: La Conversión Paramétrica a la baja.
1
1. Espacio producto tensorial
Espacio
p
H1
Dimensión m
Ket

Dimensión n
Ket

Espacio H2
H  H1  H 2
ESPACIO PRODUCTO TENSORIAL DE H1 Y H2
Dimensión
nm
 
Ket
Si a un vector perteneciente a H1 y a otro perteneciente a H2 se les puede asociar un
vector (producto tensorial de ambos vectores) perteneciente a H, entonces H es el
producto tensorial de H1 y H2.
P d
Por
definición,
fi i ió llos vectores
t
d
de H son superposiciones
i i
lilineales
l d
de vectores
t
resultados
lt d
de multiplicar tensorialmente vectores de H1 y vectores de H2.
Propiedades:
(i) c


 c  C , 
( ii )

1
 
  i  H 1,

  c
 H 1, 
2


  H
(iii )     1   2


 H

 

c

2
 1  
2

 
2
 
  1     2

Notación
       ,    
BASES
ORTONORMALES
 i  H
 j  H
1
2
KET EN H
m
i j  H1  H 2
1
ij kl   ik  jl
2
n
   cij ij  c11 11  c12 12  c13 13  ..........  c1n 1n  c21 21  c22 22  c23 23  ..........  c2 n 2n
i 1 j 1
 .....................................................  c m1 m1  cm 2 m2  cm3 m3  ..........  cmn mn
K  (i  1)n  j
mn
   cK K
K 1
OPERADORES
LINEALES

Â
B̂
H1
ˆ  Bˆ
A
A
H2
H1  H2



ˆ
ˆ

  cij i  j    cij A i  B j
 ij
 ij
D fi i ió A
Definición:
ˆ  Bˆ 
Dado Oˆ  H
 Oˆ   ij Aˆi  Bˆ j ; Aˆi  H1; Bˆ j  H2
ij
 c11 


 c12 
c 
 13 
 . 
 . 


 c1n 


 c 21 
 c 22 


 c 23 
 . 


 . 
c 
 2n 
c 
   31 
 c32 
 . 


 . 
c 
 3n 
 . 
 . 


 . 


 . 
 c m1 


 cm 2 
 . 


 . 


 c mn 


ˆA  Bˆ  c i  j   c Aˆ i  Bˆ j  d ijj
ij ij
  ij
  ij
 ij
 ij
rs
c
r Aˆ i s Bˆ j
ij
  d ij rs ijj   d ij  ri  sj  d rs
ij
ij
ij
d rs   Ari Bsj cij
ij
Representación matricial
 A11 B
A B
 21
ˆA  Bˆ   .

 .
 Am1 B
A12 B
. . .
A22 B . . .
.
. . .
.
. . .
Am 2 B . . .
A1m B 
A2 m B 
. 

. 
Amm B 
mm
B es una matriz
ti
nn
AijB es una matriz n  n
A es una matriz
Aˆ  Bˆ
es una matriz
nm nm
2. Sistemas Compuestos
• Por simplicidad, supondremos el sistema compuesto por dos subsistemas
de dos niveles.
Sistema 1
Sistema 2
Espacio de Hilbert H1
Base de H1
Dimensión 2
0
Espacio de Hilbert H2
Base de H2
0
Dimensión 2
Sistema compuesto
1
, 11
2
,1

2

Espacio de Hilbert H 1  H 2
Dimensión 4
Base de H 1  H 2
ESTADO
0

1
 0 2, 0 1  1 2, 1 1  0 2, 1 1  1

2

i , j 1
c ij i
1

j
2

c
ij
ij
|    | 00    | 01   | 10    | 11 
ij
2

3. Entrelazamiento
Estados separables o no entrelazados
“el estado de cada parte está definido”
|  2  c3 | 0  2 c4 | 1  2
|1>1
|  1  c1 | 0 1  c2 | 1 1
|0>1
SISTEMA 1
SISTEMA 2
|  1 2 
|  1   |  2 
Dado
D
d ell estado
t d del
d l sistema,
i t
ell cuall pertenece
t
all espacio
i d
de Hilbert
Hilb t producto
d t ttensorial
i ld
de llos
espacios de Hilbert asociados a los sistemas individuales, es posible expresar dicho estado
a partir del producto tensorial de estados individuales. Es decir, en los estados separables
cada p
parte del sistema tiene un estado definido.
Estados entrelazados (entanglement)
“el
el estado de cada parte NO está definido”
definido
|  1 2 |  1   |  2 
Dado el estado del sistema, el cual pertenece al espacio de Hilbert producto tensorial de los
espacios
i d
de Hilb
Hilbertt asociados
i d a llos sistemas
i t
iindividuales,
di id l
NO es posible
ibl expresar di
dicho
h
estado a partir del producto tensorial de estados individuales. Es decir, en los estados
entrelazados los estados individuales no están definidos.
Ejemplos:
 
1
2
 01  11 
¿Separable o no
separable?
 


1
0 1 11  1
2
Estado de la partícula 1

 

Separable
2
Estado de la partícula 2
1

 00  11
2

1
 00  11    0   1    0   1
2
¿?
Entrelazado

Ejercicio 6: Demostrar que la ecuación anterior no tiene solución
4. Qubits Múltiples
Sistema de n bits clásicos
Sistema compuesto por dos bits clásicos
SISTEMA 1
0
1
El sistema formado por los dos bits
clásicos puede estar en 4 posibles estados
El sistema
i t
formado
f
d por los
l tres
t
bits
bit
clásicos puede estar en 8 posibles estados
SISTEMA 2
0
1
00 01,
00,
01 10,
10 11
000, 001, 010,
011, 100, 101,
110 111
110,
Para un sistema de n bits clásicos, existen 2n estados posibles.
Sistema cuántico de n qubits
|1>1
SISTEMA 1
SISTEMA 2
SISTEMA 1+2
{| 00 , | 01 , | 10 , | 11 }
Base Computacional
|0>1
|  
  | 00    | 01   | 10    | 11 
Para un sistema de n qubits:
• El espacio de Hilbert del sistema tiene 2n dimensiones.
• 2n es el número de estados de la base computacional.
• El estado del sistema se especifica con 2n amplitudes complejas.
• Ejemplo: Para n=500, 2n es mayor que el número estimado de átomos en
el universo
universo. Es inconcebible que un ordenador clásico pueda almacenar tal
cantidad de datos.
5. La base de Bell
Los estados que configuran la denominada Base de Bell son muy importantes en protocolos de
comunicación cuántica, como la codificación densa y el teletransporte. La distinción de estos
estados en lo que se conoce como la medida de la base de Bell (BSM) se revela como algo
fundamental en los experimentos de comunicación cuántica.
 
Estado singlete
 
 
 
Ejercicio 7: comprobar que los estados de Bell
y una base ortonormal.
constituyen
1
2
1
2
1
2
1
2
 10
 01 
 10
 01 
 11  00 
 11  00 
6. Fotones entrelazados: La Conversión Paramétrica a la Baja
Cono Ordinario
 láser   o   e



k laser  k o  k e
Cristal no lineal
Láser
A
B
Los dos fotones tienen
polarizaciones
perpendiculares entre sí
Cono extraordinario
Seleccionando los rayos
donde los conos se
intersecan, se puede
conseguir que el estado de
la pareja sea uno de los
cuatro
t estados
t d de
d B
Bell.
ll
 1  {| H 1 , | V 1 }
 2  {| H  2 , | V  2 }

INVARIANCIA
ROTACIONAL




1

1
2
2
H
1
 H'
1
V
V'
2
2
V
 V'
1
1
H
H'
1  {| H ' 1 , | V ' 1 }
 2  {| H '  2 , | V '  2 }
2

2
